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REFLEXIONETTRANSMISSIOND’UNEONDEELECTROMAGNETIQUE

AL’INTERFACEENTREDEUXMILIEUXOns’intéressedanscechapitreàlaréflexionetàlatransmissiond’uneondeélectromagnétiquesuruneinterfaceplaneinfinieséparantdeuxmilieux.Onconsidèrequel’interfaceestleplanx=0.Onseplaceraenincidencenormale.

1. Interfaces entre deux milieux Réflexion d’une onde plane progressive harmonique entre deux demi-espaces d’indices complexes n1 et n2 sous incidence normale : coefficients de réflexion et de transmission du champ électrique. Cas d’une interface vide-plasma. Coefficients de réflexion et de transmission en puissance. Cas d’une interface vide-conducteur ohmique de conductivité réelle constante. Cas d’une interface vide-conducteur ohmique dans le domaine optique visible. Polarisation par réflexion vitreuse sous incidence oblique.

Exploiter la continuité (admise) du champ électromagnétique dans cette configuration pour obtenir l’expression du coefficient de réflexion en fonction des indices complexes. Distinguer les comportements dans le domaine de transparence et dans le domaine réactif du plasma. Établir les expressions des coefficients de réflexion et transmission du champ pour un métal réel. Passer à la limite d’une épaisseur de peau nulle. Identifier le comportement du métal dans ce domaine, avec celui d’un plasma localement neutre peu dense en-dessous de sa pulsation de plasma. Associer la forme du coefficient complexe de réflexion à l’absence de propagation d’énergie dans le métal en moyenne temporelle. Identifier l’incidence de Brewster et utiliser cette configuration pour repérer la direction absolue d’un polariseur.

x0

PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse1. Champsréfléchisettransmis:

1.1.Indicecomplexe:Définition:l’indicecomplexenestdéfinipar:

𝑛 =𝑘. 𝑐𝜔

Onpose:n(ω)=n'(ω)-jn"(ω):n'estl'indicederéfraction,n"l'indiced'absorption.

Lechampélectriques’écritalors:

𝐸 𝑡 = 𝐸! . cos 𝜔𝑡 −𝑛!𝜔𝑥𝑐 . exp (−

𝑛"𝜔𝑥𝑐 )

Lechampmagnétiques’écrit:

𝐵! 𝑟, 𝑡 =𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!

𝜔 exp𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛!𝑥/𝑐

Définition:lorsquenestréel,lemilieuestdittransparent;iln’yapasd’absorption.Lechampd’uneondeplanesepropageantselonOxdansunmilieutransparents’écritdonc:

)xcn-t.expj(E=t),(rE 0ωω

PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseLavitessedephaseest: vϕ=ω/k=c/n. 1.2.Conditionsdecontinuitédeschamps:Onadmetque:

Leschampsélectriqueetmagnétiquesontcontinusàlatraverséedel’interface. 1.3.Champsréfléchisettransmis:OnchoisitunchamppolariséselonOy;lechamparrivantsurl’interfaceenincidencenormaledanslemilieud’indicen1s’écritalors:

𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸!. 𝑒! . exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛!𝑥/𝑐 ParsymétrieleschampsréfléchisettransmissepropagentégalementselonladirectionOx:

𝑘! = −𝑘!𝑢! = −𝑛!𝜔𝑐 𝑢! ; 𝑘! = 𝑛!

𝜔𝑐 𝑢!

Leschampsréfléchisettransmiss’écrivent:

𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸!!. exp𝑗𝜔 𝑡 + 𝑛!𝑥/𝑐 et𝐵! 𝑟, 𝑡 =!!!!!∧!!!

!exp𝑗𝜔 𝑡 + 𝑛!𝑥/𝑐

Leschampstransmiss’écrivent:

𝐸! 𝑟, 𝑡 = 𝐸!!. exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛!𝑥/𝑐 et𝐵! 𝑟, 𝑡 =!!!!∧!!!

!exp 𝑗𝜔 𝑡 − 𝑛!𝑥/𝑐

1.4.Coefficientsderéflexionetdetransmissionenamplitude:Lacontinuitéde𝐸enx=0s’écrit:

𝐸! + 𝐸!! = 𝐸!!Lacontinuitéde𝐵enx=0s'écrit:

𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!𝜔 −

𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!!𝜔 =

𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!!𝜔

⟺ 𝑘!𝑢! ∧ 𝐸! − 𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!! = 𝑘!𝑢! ∧ 𝐸!!

⟺ 𝑛!𝑢! ∧ 𝐸! − 𝑛!𝑢! ∧ 𝐸!! = 𝑛!𝑢! ∧ 𝐸!!

soitenmultipliantvectoriellementpar𝑢! etenutilisantl’identité:

c).b.a(b).c.a()cb(a −=∧∧

𝑛!𝐸! − 𝑛!𝐸!! = 𝑛!𝐸!!Onendéduit: 𝐸!! =

!!!!!!!!!!

𝐸!et𝐸!! =!!!

!!!!!𝐸!

LesondesréfléchiesettransmisessontdoncpolariséesrectilignementselonOy.

PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouseLescoefficientsderéflexionetdetransmissionpourlechampélectrique:

𝒓𝑬 =𝒏𝟏 − 𝒏𝟐𝒏𝟐 + 𝒏𝟏

; 𝒕𝑬 =𝟐𝒏𝟏

𝒏𝟐 + 𝒏𝟏

Remarque:onconstatequecescoefficientsontlesmêmesformesquelescoefficientsderéflexionetdetransmissiondel’ondeacoustique;cen’estpasunhasard,carpouruneondeélectromagnétiquel’impédanceest:

𝑍 =1𝑛

𝜇!𝜀!

Onretrouvealors:

𝑟! =𝑍! − 𝑍!𝑍! + 𝑍!

; 𝑡! =2𝑍!

𝑍! + 𝑍!

1.5.Coefficientsderéflexionetdetransmissionenpuissance:

𝜋 =12𝜇!

𝑅𝑒 𝐸 ∧ 𝐵∗ =12𝜇!

𝑅𝑒 𝐸 ∧𝑘∗ ∧ 𝐸∗

𝜔

= 1

2𝜔𝜇!𝑅𝑒 𝑘∗ 𝐸

!=𝜖!𝑐2 𝑛′ 𝐸

!

𝑹 =𝝅𝒓𝝅𝒊

= 𝒓𝑬𝟐; 𝑻 =

𝝅𝒕𝝅𝒊

=𝒏′𝟐𝒏′𝟏

𝒕𝑬𝟐

2. Interfacevide-plasma:Onconsidèreuneondeprovenantd’unmilieuassimiléauvideetentrantdansunplasmaàl’interfacecaractériséeparleplanx=0.Onadonc:

𝑘! =𝜔𝑐 𝑒𝑡 𝑘!

! =𝜔!−𝜔!!

𝑐!

2.1. Domainedetransparence:C’estledomainepourlequelω>ωp.Onaalors:

𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! = 1−𝜔!!

𝜔!

Lescoefficientsderéflexionetdetransmissionsontalorsréels. 3.2.Domaineréactif:C’estledomainepourlequelω<ωp.Onaalors:

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𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! = 𝑗𝜔!!

𝜔! − 1

Lescoefficientsderéflexionetdetransmissionsontalorscomplexes.

2.2. Coefficientsderéflexionettransmissionenpuissance:Lecoefficientderéflexionenpuissanceestdéfinipar:

𝑅 = 𝜋!𝜋! !!!

Ilestpratiquedecalculer 𝜋 par:

𝜋 =12𝜇!

𝑅𝑒 𝐸 ∧ 𝐵∗

Lescalculsmènentalors:

• Dansledomainedetransparence:

𝑅 = 𝜔 − 𝜔!−𝜔!!

𝜔 + 𝜔!−𝜔!!

!

𝑒𝑡 𝑇 = 4𝜔 𝜔!−𝜔!!

𝜔 + 𝜔!−𝜔!!!

• Dansledomaineréactif:R=1etT=0.

Leplasmasecomportealorscommeunmiroirparfait.

3. Interfacevide-conducteur:Rappel:laconductivités’écritdanslecasgénéral:

𝛾(𝜔) =𝛾(0)

1+ 𝑗𝜔𝜏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛾(0) =𝑛. 𝑞!. 𝜏𝑚

4.1.Casoù𝜔𝜏 ≪ 1:Laconductivitéduconducteurestréelle;larelationdedispersionest:

𝑘! = −𝑗𝜇!𝛾𝜔Onaalors:

𝑛! = 1 𝑒𝑡 𝑛! =𝑐𝜔1− 𝑗𝛿

où:

𝛿 = !!!!"

estl'épaisseurdepeauduconducteur.

Oncalculealors:

𝑟! = −1− 𝑗 − 𝜔𝛿𝑐1− 𝑗 + 𝜔𝛿𝑐

𝑒𝑡 𝑡! =2𝜔𝛿𝑐

1− 𝑗 + 𝜔𝛿𝑐

Danslalimiteδ⇾0,ona:𝑟! = −1 𝑒𝑡 𝑡! ≃ 0

Uneondebassefréquenceestentièrementréfléchieparunmétalbonconducteur.

PC-PC*16/17 LycéeSCHWEITZERMulhouse 4.2.Casdudomaineoptique:Onaalors:

𝜔𝜏 ≫ 1Larelationdedispersionpeuts’écrire:

𝑘! =𝜔!

𝑐! − 𝑗𝜔𝜇!𝛾 0

1+ 𝑗𝜔𝜏

≃𝜔!

𝑐! −𝜇!𝛾 0𝜏

=𝜔!

𝑐! −𝜇!𝜏𝑛. 𝑒!. 𝜏𝑚

=𝜔!−𝜔!!

𝑐! Ellealamêmeformequel’équationdedispersiond’unplasma.Dansunbonconducteurcommelecuivre,ona:

ωp≃2.1016rad.s-1.Dansledomaineoptique,ona:

ω≃1015rad.s-1.

L’indiceoptiqueestdoncimaginairepur,etcommeleplasmadansledomaineréactif,l’ondeesttotalementréfléchie.C’estcequiexpliquel’éclatmétallique,etl’utilisationdecouchesmincesdemétaux(argent,aluminium)pourlaréalisationdemiroirs.