Cours / 3MA1 / 2018-2019

AnalysePartie 1 : Rappel, limite et continuité

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TABLE DES MATIERESPartie 1

1.A. Introduction...............................................................................................31.B. Rappel de 2ème (fonction).........................................................................41.C. Parité d’une fonction..................................................................................51.D. Croissance d’une fonction...........................................................................61.E. Maximum et minimum d’une fonction (extremum).....................................71.F. Extremum et croissance d’une fonction (résumé).......................................81.G. Limite (introduction)..................................................................................91.H. Limites latérales.......................................................................................101.I. Limite d'une fonction (résumé).................................................................111.J. Propriétés des limites...............................................................................121.K. Propriétés des limites infinies..................................................................131.L. Asymptotes...............................................................................................151.M. Continuité................................................................................................18

Partie 2 (suite)1.N. Propriétés des fonctions continues...........................................................201.O. Notion de dérivée (nombre dérivée, tangente,sécante,etc.).....................221.P. Approximation d'ordre 1...........................................................................271.Q. Théorème : lien entre continuité et dérivabilité........................................291.R. Fonction dérivée.......................................................................................311.S. Règles de dérivation.................................................................................32

1.S.1 Dérivée de la somme de deux fonctions.....................................................321.S.2 Dérivée du produit...................................................................................331.S.3 Dérivée de l'inverse d'une fonction............................................................341.S.4 Dérivée du quotient de deux fonctions.......................................................351.S.5 Dérivée de la composée de deux fonctions..................................................361.S.6 Dérivée de f(x)= xn..................................................................................371.S.7 Limite et dérivée de fonctions trigonométriques..........................................41

1.T. Théorème en lien avec la croissance et les extremums.............................441.T.1 Théorème:relation entre une fonction croissante et sa dérivée.......................441.T.2 Théorème: relation entre extremum et le nombre dérivée.............................461.T.3 Théorème de Rolle...................................................................................471.T.4 Théorème des accroissements finis............................................................501.T.5 1er corollaire du théorème des accroissements finis (dérivée et fonction constante)......................................................................................................511.T.6 2e corollaire du théorème des accroissements finis (dérivée et fonction croissante)......................................................................................................52

1.U. Tableau des variations..............................................................................531.V. Convexité et concavité des fonctions dérivables.......................................541.W. Application du calcul différentiel à l'optimisation....................................581.X. Tables CRM et analyse 3e année................................................................60

Analyse, p.2

1.A. Introduction

DéfinitionL’analyse est l’étude des nombre réels et des relations que l’on peut établir entre eux (un nombre x en fonction d’un nombre y). Il s’agit de la suite du chapitre des fonctions de 2ème année.L'analyse (du grec άναλύειν, analuein) a pour point de départ la formulation rigoureuse du calcul infinitésimal. C'est la branche des mathématiques qui traite explicitement de la notion de limite, que ce soit la limite d'une suite ou la limite d'une fonction. Elle inclut également des notions comme la continuité, la dérivation et l'intégration.

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29

Histoire

Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens sesont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires.

L'analyse moderne a été fondée au XVIIe siècle avec le calcul infinitésimal (ou intégral et différentiel) de Newton et Leibniz.

Au XIXe siècle, Cauchy introduisit le concept de suite de Cauchy et commença la théorieformelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique. Riemann introduisit sa théorie de l'intégration, puis Karl Weierstrass sa définition des limites. (…)

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_%28math%C3%A9matiques%29

Livres CRM de référence

1) Monographique CRM n°25: FUNDAMENTUM de mathématique ANALYSE pour lathéorie et les exercices (3ème) 2) Monographie CRM n°27: Notions élémentaires (pour les notions acquises en 1ère et 2ème)

1) 2)

Source : http://www.crm-diffusion.ch/produits/livres-crm/

Analyse, p.3

1.B. Rappel de 2ème (fonction)Pour ce chapitre, nous allons notamment utiliser les notions du chapitre des fonctions (2ème année). Voici les liens pour le cours et les exercices sur les fonctions :

▶ cours-ma2-fonction.pdf ▶ ex-ma2-fonction.pdf

Voici quelques définitions utiles pour la suite du cours.Définitions

FonctionUne fonction f associe à chaque élément x (préimage) dans un ensemble de départD au plus un et un seul élément y ( l’élément x a une image ou aucune image par f) dans un ensemble d’arrivée A.

Domaine (ensemble) de définitionL’ensemble de tous les éléments x qui ont une image par f est noté Df

ApplicationUne fonction f est une application, lorsque à chaque élément x de départ estassocié exactement un et un seul élément y (l’élément x a forcément une imagepar f). Le domaine Df est le plus grand ensemble sur lequel il est possible définirl’application f: Df → ℝ

Zéros d’une fonctionLes zéros de la fonction f sont les valeurs de x telles que f(x)=0

Ordonnée à l'origine d’une fonction

f ( 0 ) est la deuxième coordonnée du seul point d’intersection de f avec l’axe des y =ordonnée à l'origine= y0

Opérations sur les fonctionsSoient f et g deux fonctions numériques définies de D → AL’addition est notée : f + g : x → (f+g)(x) = f(x)+g(x)

La multiplication est notée : f •g : x → (f•g)(x) = f(x)•g(x)

La soustraction est notée : f - g : x → (f-g)(x) = f(x)-g(x)

La multiplication par un réel λ : λ •g: x → λ •g(x)

La division est notée : fg

: x → fg(x )=

f (x )g (x)

La fonction composée de f suivie de g est la fonction notée : Remarques.: f est définie de D → I et g est définie de I → A)

g o f : x → g ( f ( x )) Analyse, p.4

Bijectionf est dite application bijective si et seulement si chaque y de A est image d’un et d’un seul x de D (si chaque y a une et une seule préimage x)

Surjectionf est dite application surjective si et seulement si chaque y de A est image d’au moins un x de D (si chaque y a au moins une préimage x)

Injectionf est dite application injective si et seulement si chaque y de A est image d’au plus un x de D (si chaque y a au plus une préimage x)

Réciproque dune fonction Si f est une application bijective de D → A, alors il existe une application réciproque rf de A → D tel que y=f(x) ⇔ rf( y )= x

1.C. Parité d’une fonction

Définitions

Fonction paireSi f(- x)=f(x) pour tout x de l’ensemble de définitionde f , on dite que f est une fonction paire. Lareprésentation graphique d’une fonction paire estsymétrique par rapport à l’axe Oy.

Exemple : f(x) = x4 -4 x2 car f(-x)= (-x)4 -4(-x)2= x4 -4 x2= f(x)

Fonction impaireSi f(- x) = -f(x) pour tout x de l’ensemble dedéfinition de f , on dite que f est une fonction impaire.La représentation graphique d’une fonction impaire estsymétrique par rapport à l’origine .

Exemple : f(x)= x3 -x car f(-x)= (-x)3 -(-x)=- x3 +x =-f(x)

Analyse, p.5

1.D. Croissance d’une fonction

Définitions

CroissanceUne fonction est croissante sur un intervalle I :

si x1 < x2 , alors f (x1)≤ f (x 2) pour tout x1 , x2 dans I (en logique , une implication (conditionnelle) est notée:

x1<x2 ⇒ f (x1)≤ f ( x2)∀ x1 ; x2 ∈ I)

Une fonction est strictement croissante sur un intervalle I :

si x1 < x2 , alors f (x1)< f (x 2) pour tout x1 , x2 dans I (en logique : x1<x2 ⇒ f (x1)< f (x 2) ∀ x1 ; x2 ∈ I)

DécroissanceUne fonction est décroissante sur un intervalle I :

si x1 < x2 , alors f (x1)≥ f (x 2) pour tout x1 , x2 dans I (en logique : x1<x2 ⇒ f (x1)≥f (x2) ∀ x1 ; x2 ∈ I)

Une fonction est strictement décroissante sur un intervalle I :

si x1 < x2 , alors f (x1)> f (x 2) pour tout x1 , x2 dans I (en logique : x1<x2 ⇒ f (x1)> f (x2) ∀ x1 ; x2 ∈ I)

Remarques -les fonctions croissantes conservent l’ordre : ..<... ⇒ ...< ...

-les fonctions décroissante inversent l’ordre : ..<... ⇒ ...> ...

- la lecture du graphique de gauche à droite montre que la fonction croissante ‘’monte’’.- Pour indiquer que f est croissante, nous noterons : f - Pour indiquer que f est décroissante,nous noterons : f- Les fonctions constantes vérifient les deux définitions.

Elles sont donc simultanément croissantes et décroissantes.

Analyse, p.6

x1 x2

f(x1)

f(x2)

f

2 3 4-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0 1

1

x

y

x1x2

f(x1)

f(x2)

f

2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0 1

1

x

y

1.E. Maximum et minimum d’une fonction (extremum)

Définitionsf est une application (fonction définie sur un intervalle I) , f : I → ℝ

Maximum localLe nombre f(a) est un maximum local d’une fonction f, s’il existe un intervalle ouvert V contenant a tel que f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈ V∩I

Minimum localLe nombre f(a) est un minimum local d’une fonction f, s’il existe un intervalle ouvert V contenant a tel que f(x) ≥ f(a) pour tout x ∈ V∩I

Remarques - Un extremum local est soit un maximum local, soit un minimum local. - On dit que f admet un maximum (ou minimum) local en a et que le

maximum (ou minimum) local est f(a).- Un intervalle ouvert V contenant a est appelé un voisinage de a- Si pour tout x ∈ I on a f(x) ≤ f(a) , alors f(a) est un

maximum absolu - Si pour tout x ∈ I on a f(x) ≥ f(a) , alors f(a) est un

minimum absolu Exemples

a)

f(u) est un maximum local de f dans un intervalle ouvert contenant u. f(w) est un minimum local de f dans un intervalle ouvert content w. f(u) et f(w) sont deux extremums locaux de f.

b) f(x)= √ x admet un minimum en 0 c) f(x) = x3 admet aucun extremum sur ℝ

Analyse, p.7

1.F. Extremum et croissance d’une fonction (résumé)

Un des buts de cette année sera d’étudier une fonction avec notamment la détermination des extremums (min. et max.) et de la croissance ( ) de la fonction. Le tableau des variations permettra de résumé toutes ces informations (cf. chapitre : tableau des variations). Les notions de limite et surtout de dérivée (cf. chapitres : limite et dérivée) seront nécessaires pour déterminer les extremums et la croissance d’une fonction .

Exemplef(x)= 0.5 x4 - x2

Tableau des variations :

- La fonction f admet un maximum local en 0 et ce maximum local est f(0)= 0.

- La fonction f admet des minimaux absolus en -1 et 1 et le minimum absolu est -0.5.

Analyse, p.8

1.G. Limite (introduction)‘’En mathématiques, la limite d'une suite ou d'une fonction en un point est la valeurparticulière dont elle s'approche éventuellement lorsque la variable ou l'indices'approche du point en question. Cette valeur et ce point peuvent être un réel ou infini.Dans cette définition très intuitive, la notion de «s'approcher» reste à définir avecprécision.Exemples :- La suite des inverses des entiers (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) converge vers 0.- La suite constante (3, 3, 3, 3, 3, ...) converge vers 3.- La suite alternée (1, –1, 1, –1, 1, ...) diverge. converge vers 1. ‘’ Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29Finalement, l'idée essentielle de la notion de limite peut s'exprimer ainsi:

La limite d'une fonction en un point donné est le nombre duquel s'approchent les images f ( x ) lorsque x s'approche de plus en plus près du point donné.

Exemples

a) f ( x )=x2−1

x−1Comme f n'est pas définie en 1 ( f (1) n'existe pas), nous désirons connaître les valeurs de f ( x ) lorsque x s'approche du nombre 1 . Nous allons calculer l'image, par f , de nombre de plus en plus proches de 1 . f (0,5 )=1,5 f (1,5 )=2.5 f (0,9 )=1,9 f (1,1 )=2.1 f (0,99 )=1,99 f (1,01 )=2.01 f (0,999 )=1.999 f (1,001 )=2.001Nous remarquons que lorsque x s'approche de plus en plus de 1 , l'image de f ( x ) s'approche de plus en plus près de 2 .Nous dirons que le nombre 2 est la limite de la fonction f lorsque x tend vers 1. Nous noterons:

b) Soit la fonction : f : ℝ+∗→ ℝ+

∗ Le graphe de la fonction f : x →

1x

Lorsque x tend vers +∞ (vers un nombre très grand), la fonction f s’approche de 0.

Notation : limx→+∞

(1x)=0 (cf. chap. asymptote)

Il serait faux d'écrire: f (∞)=0 car ∞∉ℝ

Analyse, p.9

limx→1

f (x )=2

limx→0

f (x )

1.H. Limites latérales

DéfinitionOn dit que L1 est la limite à gauche de f en aet on note : ou

On dit que L2 est la limite à droite de f en a et on note :

ou

Exemple f (x)= 1x

ou

ou

La définition de limite s’applique aux nombres réels et peut s’étendre à +∞ / −∞ . Les limites infinies existent (cf. chap. : propriétés particulières des limites infinies), maiselles n'appartiennent pas aux nombres réels.

Dans ce cas où les limites latérales sont différentes, la fonction f n'admet pas de limite Si alors n'existe pas.

Propriété

Si limx→ax < a

f (x ) = limx→ax > a

f (x ) alors limx→a

f (x ) existe

Exemple

f (x)= 1(x−3) ²

Comme et alors

Analyse, p.10

limx→0−

f (x )=−∞

limx→3x > 3

f (x )=+∞ limx→3

f (x )=+∞limx→3x < 3

f (x )=+∞

limx→0x < 0

f (x )=−∞limx→0x < 0

f (x )=+∞

limx→ax < a

f (x )=L1 limx→a−

f (x )=L1

limx→ax < a

f (x )=L2 limx→a+

f (x )=L2

ax x

x <a x >a

a– a+

limx→0x < 0

f (x )=+∞ limx→0+

f (x )=+∞

limx→0x < 0

f (x )=−∞

1.I. Limite d'une fonction (résumé)

Définition

Soit une fonction f définie au voisinage de a (autour de a , mais pas forcément en a).Nous écrivons lim

x→af ( x )=L

Et nous énonçons "la limite de f(x), quand x tend vers a, est égale à L"Si pour des valeurs de x suffisamment proches de a (à gauche et à droite), mais différentes de a, f(x) se rapproche aussi près que l'on veut de L.

Résumé

1. La notion de limite est une notion locale

2. Pour décider si une fonction admet une limite en un point a , on considère des nombres très proches de a , mais différents de a .

3. Il est possible que la limite d'une fonction en un point n'existe pas. Mais si cettelimite existe, alors elle est unique.

4. Pour que la limite d'une fonction en un point existe, il faut que les limites à gauche et à droite existent et soient égales.

5. Les notions de limite en un point a et d'image de a sont indépendantes. lim

x→af ( x )=L ne veut pas dire que f (a )=L .

Remarques

-La fonction f n'est pas forcément définie pour x=a . La seule chose qui est importante est que f soit définie "tout à côté" de a , c'est-à-dire sur un intervalle ouvert contenant a , saut éventuellement en a . La valeur de a ne doit pas nécessairement appartenir au domaine de définition def .Dans la majorité des cas, a∉D f .

-La définition rigoureuse (pas à apprendre) de la limite est la suivante: limx→a

f ( x )=L signifie:

∀ ϵ>0 ,∃ δ>0 tel que ,∀ x , 0<|x−a|<δ , alors |f ( x )−L|<ϵ

Analyse, p.11

1.J. Propriétés des limites

Si f et g admettent respectivement les limites L1 et L2 en a alors :

a) f + g admet L1 + L2 comme limite en a, (ou limx→a[f (x )+g (x )] = lim

x→af ( x)+lim

x→ag (x )

b) f·g admet L1·L2 comme limite en a, (ou limx→a[f (x )⋅g (x )] = lim

x→af ( x)⋅lim

x→ag( x) )

c) λ⋅f admet λ⋅L1 comme limite en a ( λ∈ℝ ) (ou limx→aλ f (x ) = λ lim

x→af (x ) )

d) 1

g admet

2

1

L comme limite en a sauf si L2 = 0, (ou lim

x→a

1g (x ) =

1limx→a

g (x ) )

e) f

g admet 1

2

L

L comme limite en a sauf si L2 = 0 (ou lim

x→a

f ( x)g (x )

=

limx→a

f ( x)

limx→a

g (x ))

Cela signifie qu'il est possible de séparer une limites en plusieurs autres limites pour autant que chacune de celles-ci existent dans ℝ .

Dans ce paragraphe, f et g sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I sauf,éventuellement en un point a de I. L est un nombre réel.

f) Si limx→ax < a

f ( x) = limx→ax > a

f ( x) = L , alors et réciproquement.

Cela signifie que f admet la limite L en a si et seulement si les limites latéralesde f sont toutes deux égales à L.

g) Si f(x) ≥ 0 ∀ x∈ I\{a} et si f admet la limite L en a , alors L ≥ 0.Une fonction positive ne peut pas avoir de limite négative.

h) Si f admet une limite non nulle en a , alors il existe un voisinage V de a tel que :f(x) ≠ 0 ∀ x∈ V.

i) Si f est un polynôme, alors la limite est simplement l'image : limx→a

f ( x )=f (a)

Il est important, lors des calculs, de savoir quelles sont les propriétés utilisées et d'appliquer les règle de calcul ci-dessus.

Analyse, p.12

limx→a

f ( x)=L

mêmes règles avec : −constante et /ou −∞ et /ou 0⁻

1.K. Propriétés des limites infinies Limites infinies

Les opérations sont définies pour les nombre réels, c’est pourquoi nous utiliserons les guillemets lors de calcul avec des limites l’infinies. Les propriétés des limites ne se généralisent pas sans autre aux limites infinies, mais voici quelques propriétés ci-dessous.Si la constante est réel strictement positif, alors :

Les expressions suivantes sont des formes indéterminées :

Dans une situation de ce type, on peut, selon les cas, conclure que la limite est nulle, ou bien est un réel non nul, ou bien est infinie ou bien même n'existe pas. Voici quelques exemples pour illustrer l'utilisation des propriétés des limites et/ou la manière de lever l'indétermination :

Exemples

a) limx→+∞

(2x+7 ) = = = ’’ ’’= +∞ Justification : f + g admet L1 + L2 et λ⋅f admet λ⋅L1 · et

b) limx→−∞

4x =

limx→−∞

4

limx→−∞

x = ’’ 4−∞ ’’= 0 Justification : f /g admet L1 / L2 et

c) limx→4

x−2x+3 =

limx→4

x−2

limx→4

x+3 = 27 Justification : f /g admet L1 / L forme pas indéterminé, la

limite est simplement l'image

d) F orme indéterminée :

limx→−∞

( x ³+10 x ²) = = =’’ −∞⋅1 ‘’= −∞

Justification : calcul algébrique(factorisation) et f·g admet L1·L2 et

Analyse, p.13

' ' constante+(+∞)=+∞ ' '

' ' constante+∞ =0 ' ' ' ' +∞constante

=+∞' '

' ' constante−(+∞)=−∞ ' '

limx→+∞

2x+ limx→+∞

7 2 limx→+∞

x+ limx→+∞

7 2⋅(+∞)+7

constante⋅(+∞)=+∞

constante(−∞)

=0

' ' 0⋅(+∞) ; +∞+∞ ;

00

; (+∞)−(+∞) ' '

' ' constante⋅(+∞)=+∞ ' '

2⋅(+∞)+7

' ' constante0⁺

=+∞' '

' ' +∞0⁺=(+∞)⋅

10⁺=(+∞)⋅(+∞)=+∞ ' ' ' ' 0⁺

+∞=(0⁺)⋅1+∞=0 ' '

' ' (+∞)⋅(+∞)=+∞' '

' ' (+∞)+(+∞)=+∞ ' '

constante⋅(−∞)=−∞

−∞+∞

limx→−∞

( x ³) limx→−∞

(1+ 10x)

limx→a

f (x )=±∞

limx→−∞

[x ³ (1+ 10x)]

e) F orme indéterminée :00

Méthode par factorisation :

limx→3

x2−9

x 2−3 x

= limx→3

( x+3)( x−3)x ( x−3)

= limx→3

( x+3)x

= 63 =2

Justification : calcul algébrique (factorisation) et f /g admet L1 / L2 Il est nécessaire de connaître les identités remarquables pour cette méthode.

f) F orme indéterminée :00

Méthode avec le conjugué :

g) limx→1

x2−1

√x−1= lim

x→1

x2−1

√x−1⋅√ x+1

√ x+1=

limx→1( x2−1)⋅√x+1

(√ x)²−(1)²=

limx→1( x+1)( x−1)⋅√ x+1

x−1

= limx→1(x+1)⋅√x+1 = lim

x→1(x+1)⋅lim

x→1(√ x+1) = (1+1)(√1+1) =4

Justification : utiliser le conjugué de √ x+1 à savoir √ x−1 pour éliminer la racine du dénominateur et utiliserdiverses propriétés des limites

Pour les 3 exemples suivants (forme indéterminée : ∞∞ ) :

Il faut mettre xn en évidence au numérateur et au dénominateur (n est le degré le plus haut du dénominateur). Après simplification, il est possible de calculer la limite car l'indétermination est levée.

h) limx→+∞

2 x2−9

x2+4 x

= limx→+∞

x ²(2− 9

x2)

x ² (1+ 4x)

= limx→+∞

2− 9

x2

1+ 4x

=limx→+∞

2− limx→+∞

9

x 2

limx→+∞

1+ limx→+∞

4x

= 2−01+0 =

21

i) limx→+∞

2x−9

x2+4 x

= limx→+∞

x ²( 2x−

9

x 2)

x ²(1+ 4x)

= limx→+∞

2x−

9

x2

1+ 4x

=limx→+∞

2x− lim

x→+∞

9

x2

limx→+∞

1+ limx→+∞

4x

= 0−01+0 =

01 =0

h) limx→+∞

x ³−9

x2+4 x

= limx→+∞

x ²( x− 9

x 2)

x ² (1+ 4x)

= limx→+∞

x− 9

x 2

1+ 4x

=limx→+∞

x− limx→+∞

9

x2

limx→+∞

1+ limx→+∞

4x

= ‘’+∞−01+0 ‘’= +∞

Analyse, p.14

1.L. Asymptotes

-Asymptote verticale (équation de l’asymptote : x=a)

DéfinitionSi au moins l'une des conditions suivantes est vérifiée : lim

x→ax < a

f ( x)=+∞(ou−∞) ou limx→ax > a

f ( x)=+∞(ou−∞)

alors il existe une asymptote verticale (l'équation de l'asymptote verticale est une droite : x=a)

Remarque

Si f est une fonction rationnelle f(x)= P( x)T (x )

où P(x) et T(x) sont des polynômes et si le

nombre a est un zéro de T(x), alors x=a peut être l’équation d’une asymptote verticale , mais il faudra vérifier que lim

x→ax < a

f ( x)=+∞(ou−∞) ou limx→ax > a

f ( x)=+∞(ou−∞) pour vérifier

l’existence de l’asymptote verticale et pour exclure un ‘’trou’’ dans la fonction.

Exemples

f(x)=x+1x−1

f(x)= (x+1)(x−1)x−1

x=1 est un zéro de T(x) dans les deux cas

Asymptote verticale : x= 1 Pas d’asymptote, mais un ‘’trou’’ lim

x→1x < 1

f ( x)=' ' 2

0−' '=−∞

limx→1

( x+1)( x−1)(x−1)

=limx→1(x+1)=2

limx→1x > 1

f ( x)=' ' 2

0+' '=+∞

Analyse, p.15

-Asymptotes affines

Les limites à l’infini sont utiles et nécessaires pour déterminer les asymptotes affines :

Limites à l’infini limx→ ±∞

f (x )

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle ] a; +∞ [, on écrit limx→ + ∞

f (x)=L si la

fonction f s’approche de la limite L dès que x est suffisamment grand.

Même idée avec limx→ −∞

f (x )=L

Deux possibilités d’asymptote affine :

Asymptote oblique (équation de l’asymptote : y=mx+h)

DéfinitionSi au moins l'une des conditions suivantes est vérifiée :

limx→+∞

[ f ( x)−d ( x)]=0 ou limx→−∞

[ f ( x )−d (x )]=0

alors il existe une asymptote oblique

L’ équation de l'asymptote oblique est une droite : d(x)= y=mx+h, m est la pente et h est l'ordonnée à l'origine. On peut déterminer par calcul m et h à l’aide des limites suivantes :

limx→ + ∞

( f (x)x )=m et limx→ + ∞

( f (x)−mx )=h (idem pour x → −∞ ).

Exemples

Analyse, p.16

Asymptote horizontale (équation de l’asymptote : y= h)

Cas particuliers de l’asymptote affine, lorsque m= 0 (éq.: y= mx+h = h) , Définition

Si au moins l'une des conditions suivantes est vérifiée : lim

x→+∞f ( x )=h ou lim

x→−∞f (x )=h h=constante∈ℝ

alors il existe une asymptote horizontale

L'équation de l'asymptote horizontale est une droite : d(x)= y= h et elle sera déterminée par le calcul des limites ci-dessus.

Exemples

Analyse, p.17

1.M. Continuité

Définition :

f est une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a∈ I.

On dit que f est continue en a si : limx→a

f ( x)= f (a)

Continue signifie "limite égale image".Conséquences :Pour qu'une fonction soit continue en a , il faut :

-qu'elle soit définie en a,-qu'elle admette une limite en a-et que cette limite soit égale à l'image de a.

Origine géométrique :La continuité est associée à la notion de continuum dont l'origine est géométrique. Dans un continuum géométrique, comme le plan ou l'espace, un point peut se déplacer continûment pour s'approcher à une précision arbitraire d'un autre point. La notion de continuité est définie de manière rigoureuse en mathématiques.

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Continuité_(mathématiques)

Exemples :Fonctions pas continues

la fonction est discontinue en 0.4 la fonction est discontinue en 0.4

Fonction continue

la fonction est continue en 0.4 Analyse, p.18

Définition : f est continue dans un intervalle ouvert ]a ; b[une fonction f est continue sur un intervalle ouvert ]a ; b[ si elle est continue en tout point de l'intervalle

f est continue dans un intervalle fermé [a ; b] Une fonction f est continue sur l'intervalle [a ; b] si elle l'est en chaque point de ]a ; b[ et si f est continue à droite en a ( )et à gauche en b (limx→b−

f (x )=f (b) ).

Exemples :

1) Si f est un polynôme, alors f est continue sur .(cf. propriété des limites)

2) La fonction f(x) = x est continue sur (sans démonstration)f n'est pas continue en 0 car en 0 cette fonction n'est continue qu'à droite.

g

f

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11

-12

-13

-14

0 1

1

x

y

3) Les fonctions sin et cos sont continues sur (sans démonstration)

4) f ( x )={ x2−1, si x≤2

4−x , si x>2 f n'admet pas limite en 2, f est discontinue en 2, car

Remarque : la limite de gauche en 2 est égale à l'image de 2, donc la fonction f est continue à gauche en 2, bien que f ne soit pas continue en 2.

Analyse, p.19

limx→a+

f (x )=f (a)

ℝ

ℝ+∗

ℝ

limx→2+

f ( x)=2 et limx→2−

f (x )=3

1.N. Propriétés des fonctions continues

1) Si f et g sont continues en a , alors f + g et f·g sont continues en a.

2) Si f est continue en a et si λ∈ℝ , alors λ⋅f est continue en a..

3) Si f est continue en a, alors f1 est continue en a sauf si f(a) = 0.

4) Si f et g sont continues en a , alors gf est continue en a sauf si g(a) = 0.

5) Si f est continue en a et si g est continue en f(a), alors g∘ f est continue en a.

6) Théorème de BolzanoSi f est continue sur [a ; b] et si (f(a) et f(b) sont de signes opposés, alors f a au moins un zéro dans [a ; b] .

7) Théorème de la valeur intermédiaire (CRM p. 77)Si f est continue sur [a ; b] et si f(a) ≠ f(b), alors pour chaque réel u compris entre f(a) et f(b) il existe un point c de ]a ; b[ tel que f(c) = u

(la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b)).

8) Théorème de Bolzano-WeierstrassL'image d'un intervalle fermé par une fonction continue est un intervalle fermé.

Remarque: par contre, l'image d'un intervalle ouvert par une fonction continue peut être un intervalle quelconque. (ouvert, fermé, semi-ouvert).

9) Corollaire (conséquence directe du théorème de Bolzano-Weierstrass) Une fonction f continue sur un intervalle fermé [a ;b] admet un minimum absolu et un maximum absolu sur cet intervalle.

Remarques:- Les propriétés 1 à 5 découlent directement des propriétés des limites. Par exemple, voici la démonstration de (1) :

Par hypothèse, nous avons limx→a

f ( x)= f (a) et limx→a

g( x)=g (a )

Montrons que : limx→a[(f +g)( x )]=(f +g)(a)

limx→a[(f +g)( x )] = lim

x→a[f (x )+g (x )] = lim

x→af ( x)+lim

x→ag (x ) =f(a) +g(a)= (f+g)(a)

Analyse, p.20

-Les réciproques de ces propriétés sont en général fausses.Par exemple, si f + g est continue en a, f et g ne le sont pas forcément :

f(x) = {x2 si x≤13 si x>1

g(x) = {1 si x≤1−1 si x>1

(f + g)(x) = {x2+1 si x≤12 si x>1

Avec les fonctions f et g ci-dessus, f + g est continue en 1 mais f et g sont

discontinues en 1.

- Résumé des théorèmes : Si f continue sur un intervalle fermé [a ;b] , alors il existe un maximum =M et un minimum=m tels que f([a ; b])= [m ; M] et la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre les deux extremums :

m (minimum) et M (maximum).

Analyse, p.21

1.O. Notion de dérivée (nombre dérivée, tangente,sécante,etc.)

Le but de ce chapitre est de développer des méthodes permettant de dégager les principales propriétés graphiques des fonctions réelles.Nous parviendrons donc à esquisser une représentation fidèle d'une fonction à priori quelconque.

Par exemple, la fonction représentée ci-dessous est f(x) = x3

x2−4.

f

10-5-10-15-20

10

-5

-10

0 5

5

x

y

Comment passer de l'équation au graphique ?

Dans ce paragraphe, I désigne un intervalle ouvert non-vide, f une fonction définie sur I et a un nombre de I.

Analyse, p.22

Définition Nombre dérivée

La limite , notée f '(a), est, pour autant qu'elle existe :

f '(a) = limx → a

f ( x )−f (a)x−a

f '(a) est appelé : nombre dérivé de f en a ou dérivée de f en a

ou dérivée de f au point a.

Le nombre dérivé f'(a) est une notion locale, attachée au point (a ; f (a ) )

Interprétation graphique

Regardons dans un premier temps la signification graphique de la fractionf (x )−f (a)

x−a. Cette fraction est le taux de variation de la fonction f entre a et x.

Elle correspond à la pente de la sécante S.

Sécante

En géométrie, une droite est sécante à un autre objet géométrique lorsqu'elle « coupe » cet autre objet.Pour étudier une courbe au voisinage d'un de ses points P(a,f(a)), il est utile de considérer les sécantes issues de P, c'est-à-dire les droites passant par P et un autre point Q(x;f(x)) de la courbe. C'est à partir de ces sécantes qu'est définie la notion de tangente à la courbe au point P(a,f(a)) : il s'agit de la limite, quand elle existe, des droites sécantes issues de P(a,f(a)) lorsque le deuxième point Q(x;f(x)) se rapproche de P le long de la courbe.

Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_s%C3%A9cante

Analyse, p.23

TangenteL'équation de la droite tangente à f au point (a ; f (a ) ) est:

Ta (x)= y=f ' (a ) ∙ ( x−a )+ f (a ) (voir justification ci-dessous))Cette droite tangente sera notée Ta.

a= Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe#/media/File:Tangente2.gif

Nous savons maintenant que f '(a) correspond graphiquement à la pente de la droite tangente à f au point (a ; f(a)).

Nous dirons plus simplement "la pente de latangente à f en a".

Le but de ce paragraphe est de justifier laformule permettant de calculer l'équation dela tangente à une fonction f donnée en unpoint a donné.

Il s'agit donc de calculer la penteet l'ordonnée à l'origine de ladroite Ta.

Nous savons que la pente de Ta est f '(a) . L'équation de la tangente est donc de la forme : Ta(x) = f '(a) x + b.

Reste à calculer l'ordonnée à l'origine b.Comme le point (a ; f(a)) est commun à f et à Ta, nous pouvons écrire f(a) = Ta(a).En substituant x par a dans l'équation de la tangente nous obtenons alors f(a).= f '(a)a + bDe cette dernière égalité, nous déduisons que b = f(a) – f '(a) a.Il en résulte que Ta(x) = f '(a) x + f(a) – f '(a) a = f '(a) (x – a) + f(a).Ta(x) = f '(a)(x – a) + f(a)Cette formule figure dans le formulaire CRM

Analyse, p.24

x

y

f

a

f(a)

Ta

Autre notationUne autre définition (mais tout à fait équivalente) de la dérivée est parfois utilisée. Cette nouvelle définition s'obtient en notant h = x – a.

En partant de f '(a) = limx → a

f ( x )−f (a)x−a

et en posant h = x – a et donc x = a + h,

la définition devient :

f '(a) = limh → 0

f (a+h)−f (a )h

En effet, si x tend vers a, alors h = x – a tend vers 0.

Dérivabilité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I⊂ℝ et soit a Iϵ

On dit que f est dérivable en a si limx → a

f ( x )−f (a)x−a

existe et est un nombre réel.

Graphiquement, une fonction dérivable en a est :

- une fonction qui admet une tangente non verticale en ce point, sinon une tangente verticale impliquerait une dérivée en a : f'(a) = ∓∞ et comme ∓∞∉ ℝ f n'est pas dérivable en a (c.f. définition de dérivabilité).

- une fonction qui doit être définie et continue en a mais cela ne suffit pas forcément :

f doit de plus être "lisse" en a , sinon limx → a

f ( x )−f (a)x−a

n'existe pas, car les limites à

gauche et à droite sont différentes (c.f. exemples de la page suivante).

Analyse, p.25

x

y

f

a x = a+h

f(a)

f(a+h) = f(x)

Quelques exemples graphiques de fonction non dérivables en a

1) f est discontinue en a.

f '(2–) = 1 et f '(2+) = – ∞

2) f est anguleuse en a.

f '(1–) = 1 et f '(1+) = – 2

3) f admet un point de rebroussement en a.

f '(3–) = – ∞ et f '(3+) = + ∞

4) f(x) = 3√ x

La tangente est verticale en a.

Ici, f '(0–) = f '(0+) = + ∞

f n'est pas dérivable en 0 car la limite estinfinie.n'appartient pas au nombre réel

Analyse, p.26

2 3-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0 1

1

x

y

f

2 3-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

0 1

1

x

y

f

2 3 4 5-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11

2

3

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0 1

1

x

y

f

2 3-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

0 1

1

x

y

40 1

1

x

y

1.P. Approximation d'ordre 1

Dans le but de simplifier certains calculs, il est parfois utile de remplacer une fonction donnée par une droite.Il faut bien évidemment choisir une droite qui soit une bonne approximation de la fonction !Par exemple, pour calculer la valeur de 4,1 , nous allons approcher la fonction

f(x) = x par la droite d(x) = 14x+1 .

Les images de 4,1 par f et par g sont environ égales.

√4.1≃d (4.1)=14⋅4.1+1=2.015

L'avantage de cette approximation est qu'elle permet de calculer une racine carrée à l'aide des quatre opérations uniquement.Pour comparaison, la valeur de 4,1 indiquée par la calculatrice est : √4.1≃ 2,0248456... . (Cette dernière valeur est elle aussi une approximation)Notre approximation est donc une bonne approximation !

La droite d est une approximation d'ordre 1 de la fonction f au voisinage de 4.(Pour une approximation d'ordre 2, on approche la fonction f à l'aide d'une parabole.)

Analyse, p.27

ProblèmeComment calculer l'équation de la droite d ? Considérons une fonction f dérivable en un point a. Pour que la droite d soit une bonne approximation de la fonction f au voisinage de a, nous allons imposer deux conditions :

a) d(a) = f(a) ce qui semble logique

b)x a

f (x) – d(x)lim 0

x – a� La seconde condition signifie que,lorsque x tend vers a,l'écart

entre f et d tend vers 0 beaucoup plus vite que x – a.

A partir de ces deux conditions, nous allons calculer la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite d. Notons d(x) = mx + n.La 1re condition nous donne m·a + n = f(a) donc n = f(a) – ma.La 2e condition nous donne

x a

f (x) – mx – nlim 0

x – a�

par substitution

x a

f (x) – mx – f(a) + malim 0

x – a�

x a

f (x) – f(a) mx – malim – 0

x – a x – a�

� �� �� �

x a

f (x) – f(a)lim – m 0

x – a�

� �� �� �

f '(a) = m.Finalement, l'équation de la droite d est :

d(x) = f '(a)x + f(a) – f '(a)a = f '(a)(x – a) + f(a).La droite d est donc la tangente à f en a (c.f. définition de l'équation de la tangente).

ConclusionLa droite qui approche le mieux la fonction f au voisinage du point a est la tangente à fen a. Ta est donc l'approximation d'ordre 1 de f au voisinage de a.

ExempleCherchons à calculer 8,8 à l'aide d'une approximation d'ordre 1.Nous allons donc considérer la fonction f(x) = x et calculer la tangente à f en 9.

f '(9) = x 9 x 9 x 9

x – 3 x – 3 1 1 1lim lim lim

x – 9 3 3 6( x – 3)( x 3) x 3� � �

T9(x) = f '(9)(x – 9) + f(9) = 1

(x – 9) 36

Finalement, 8,8 T9(8,8) = 2,966 (Valeur de la calculatrice : 2,966479…)

Analyse, p.28

1.Q. Théorème : lien entre continuité et dérivabilité

ThéorèmeSi f est dérivable en a, alors f est continue en a.

DémonstrationPour démontrer que f est continue en a, il faut montrer que lim

x→af ( x)= f (a) .

Pour cela, nous allons partir de l'égalité

f (x )=f ( x)−f (a)

x−a(x−a)+ f (a) astuce algébrique

limx→a

f ( x) = limx→a(f (x )−f (a)

x−a( x−a)+ f (a)) astuce algébrique

= limx→a

f (x )−f (a)x−a

⋅limx→a(x−a)+ lim

x→af (a)

propriétés des limites applicables car les trois limites existent :▪f est dérivable en a par hypothèse (1e limite)▪et x-a est continue , car polynôme (2e limite)

▪ f(a) est une fonction constante donc continue (3e limite)

= f ' (a) ⋅ limx→a

0 + f (a) définition f'(a) et calcul des limites = f(a) algèbre et calcul de limite

La limite en a de f est égale à son image f(a). La fonction f est donc continue en a.

Illustration

limx→a

f ( x)= f (a) limx→a

f ( x)=b≠ f (a) (pas continue)

f continue et dérivable f pas continue pas dérivable (contraposée)→La conditionnelle est équivalente à sa contraposée.

f ' (a −)=+∞ f ' (a +

)=−∞ (pas dérivable)

Analyse, p.29

Réciproque

Si f est continue en a, alors f est dérivable en a. La réciproque de ce théorème est fausse.

Cela signifie qu'une fonction continue en a n'est pas forcément dérivable en ce point.

Exemple

la fonction valeur absolue : f ( x )=|x|={ x , si x ≥0−x , si x<0

Cette fonction est continue en a=0, par contre, elle n'est pas dérivable en a=0. En effet:

f est continue en zéro, car:

limx→0+

f (x ) = limx→0+

x =0 et limx→0−

f (x ) = limx→0−

x =0

donc limx→0

f (x ) =0

f n'est pas dérivable en zéro, car:

f'(0)= limx→ 0(|x|−0x−0

) = limx→ 0

|x|x

= { limx→0⁺

xx=1

limx→ 0⁻

−xx=−1

La limite n'existe pas et donc f n'est pas dérivable en a=0. Graphiquement, cela correspond à deux tangentes possibles au point (0;f(0) de pente 1 et -1.

Analyse, p.30

1.R. Fonction dérivée

Jusqu'ici, nous n'avons considéré la dérivée d'une fonction f qu'en un point a(bien que a puisse être "quelconque").

Lorsqu'une fonction f est dérivable en chaque point d'un intervalle, il est possible de définir la fonction dérivée de f : la fonction qui, pour chaque point x de l'intervalle, donne la pente de la tangente à f en ce point.

Définition

Si une fonction est dérivable en chaque point d'un intervalle I nous dirons qu'elle est dérivable sur I. Si f est dérivable sur I, la fonction dérivée de f est : f': I → ℝ x → f ' (x )

Remarque

Pour calculer la fonction dérivée de f, il suffit de calculer f '(a) pour a quelconque.(Il faut tout de même que a soit dans le domaine de dérivabilité de f )

Comme x est la notation usuelle pour la variable des fonctions, nous écrirons doncf '(x) = .... et non f '(a) = ....

Exemple f : ℝ+

∗→ ℝ

x → √x

Calcul de f '(a) :

f '(a) = limx → a

√x−√ax−a

= limx → a

√x−√a(√x−√a)(√ x+√a)

= limx → a

1(√ x+√a )

=1

2√a

La fonction dérivée de f est donc : f' : ℝ+∗→ ℝ

x →

12⋅√ x

Analyse, p.31

1.S. Règles de dérivation

Le but de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer des formules qui nous permettront par la suite de calculer rapidement des dérivées. (Sans avoir besoin de calculer des limites)Ces formules sont énoncées de la façon suivante dans le formulaire CRM :

1) (f + g)'(x) = f '(x) + g '(x) 4) (1f)' (x)=−

f '(x )f ² (x)

2) (f g)'(x) = f '(x) g(x) + f(x) g '(x)

5) (fg)' (x)=

f '(x )⋅g (x)−f (x )⋅g '(x )g (x)

3)6) (g∘ f )' (x)=(g ' ∘ f )(x )⋅f ' ( x)

Nous allons énoncer précisément et démontrer ces formules.

1.S.1 Dérivée de la somme de deux fonctions

Énoncé Si f et g sont toutes deux dérivables en a, alors la fonction f + g est aussi dérivable en a et (f + g)'(a) = f '(a) + g '(a).

Démonstration

(f + g)'(a) = limx→ a

( f +g )( x )−( f +g )(a )x−a

définition de la dérivée

= limx →a

f ( x )+g( x )−f (a)−g(a )x−a

définition de la fonction f + g

= limx →a( f ( x )− f (a )

x−a+g( x )−g (a )

x−a ) algèbre

= limx →a

f ( x )−f ( a)x−a

+ limx → a

g ( x )−g( a)x−a

La séparation en deux limites est

possible car les deux limites existent : f et g sont dérivables en a

= f '(a) + g '(a). dérivée de f et g en a (hypothèse de départ)

Analyse, p.32

(λ f )' (x)¿=λ f ' (x) λ∈ℝ

1.S.2 Dérivée du produit

Dérivée du produit de deux fonctions

Énoncé Si f et g sont toutes deux dérivables en a, alors la fonction f⋅g est aussi dérivable en a et ( f⋅g )'(a) = f ' (a)⋅g(a)+ f (a)⋅g ' (a) .

Démonstration

( f⋅g )'(a) = limx →a

( f⋅g)( x )−( f⋅g )( a)x−a

définition de la dérivée f⋅g

= limx →a

f ( x )⋅g ( x )−f (a )⋅g(a )x−a

définition de la fonction f⋅g

= limx →a

f ( x )⋅g ( x )− f (a )⋅g( x )+ f (a )⋅g ( x )−f (a )⋅g(a )x−a

astuce algébrique

= limx → a(g ( x ) f ( x )− f (a )

x−a+ f (a )

g( x )−g (a)x−a ) algèbre

= limx → a

g( x )⋅limx →a

f ( x )−f (a )x−a

+ limx → a

f ( a)⋅limx → a

g (x )−g(a )x−a

propriétés des limites applicables car les 4 limites existent :▪g est dérivable en a par hypothèse donc fonction g continue(1e limite)

▪f et g sont dérivables en a (2e et 4e limite)▪ f(a) est une fonction constante donc continue (3e limite)

= f ' (a)⋅g(a)+ f (a)⋅g ' (a) Notation: ▪ fonction g continue lim

x → ag( x )=g (a) (1e limite)

▪ définition de la dérivée de f et g (2e et 4e limite)▪ calcul de la limite (3e limite)

Dérivée du produit d'un nombre avec une fonction

Énoncé Si f est dérivable en a et si λ∈ℝ , alors la fonction λ⋅f est aussi dérivable en a et ( λ⋅f )'(a) = λ⋅f ' (a)

Démonstration La démonstration est laissée en exercice (cf. série d’exercice).

h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma 3 - analyse .pdf

Analyse, p.33

1.S.3 Dérivée de l'inverse d'une fonction

Énoncé

Si f est dérivable en a et si f(a) 0, alors la fonction 1f

est aussi dérivable en a et

(1f)' (a)=−

f ' (a)f ²(a)

Démonstration

/

x a

1 1(x) (a)f f1 (a) lim

f x a�

définition de la dérivée

= x a

1 1f (x) f (a)

limx a�

définition de la fonction

f1

= x a

f (a) f (x)f (x)f (a)

limx a�

algèbre (dénominateur commun)

= limx →a (

−( f ( x )−f ( a))x−a

⋅1

f (x )⋅f ( a)) algèbre

= −limx →a

f ( x )−f (a )x−a

⋅limx → a

1f ( x )⋅f (a )

algèbre et propriétés des limites applicables car les 2 limites existent : ▪ f est dérivable en a(1e limite)

▪ f est continue car dérivable par hypothèse en a (2e limite)*

= – f '(a) 1

f (a )⋅f (a )

Notation: ▪ définition de la dérivée de f (1 limite) ▪ fonction f continue lim

x → af ( x )=f (a) et propritétes des limites(2e limite)

= −f ' (a )

f 2(a ) algèbre

*RemarqueComme f(a) 0 et puisque la fonction f est continue en a, (car dérivable en ce point) il existe forcément un voisinage de a sur lequel f ne s'annule pas. (cf. chapitre sur les

limites). La fraction 1

f (x ) est donc bien définie sur ce voisinage. (donc lorsque x tend

vers a)

Analyse, p.34

1.S.4 Dérivée du quotient de deux fonctions

Énonce

Si f et g sont toutes deux dérivables en a et si g(a) 0 alors la fonction gf

est

aussi dérivable en a et ( fg)' (a)=

f ' (a)⋅g(a)−f (a)⋅g ' (a)g ²(a)

.

Démonstration

Comme la fonction fg

est égale à la fonction f⋅1g

, il est possible de démontrer cette

nouvelle formule en utilisant les résultats précédents (dérivées du produit et de l'inverse).

(fg)' (a)=( f⋅

1g)' (a) algèbre

= f ' (a)⋅( 1g )(a)+ f (a )(1g ) '(a ) dérivée du produit

= f '(a )g (a )

+ f (a )⋅−g ' (a )

g2 (a) dérivée et définition de l'inverse

= f '(a )⋅g( a)− f (a )⋅g ' (a)

g2( a) algèbre

Analyse, p.35

1.S.5 Dérivée de la composée de deux fonctions

ÉnoncéSi f est dérivable en a et si g est dérivable en f(a), alors la fonction g∘ f est dérivable en a et (g∘ f )' (a)=(g '∘ f )(a)⋅f ' (a)

Démonstration

Cas 1) Lorsque f (x)≠ f (a )

(g∘ f )' (a) = limx→a

(g∘ f )(x )−(g∘ f )(a )x−a

définition de la dérivée de g∘ f

= limx→a

g (f ( x ))−g (f (a))x−a

définition de la dérivée de g∘ f

= limx→a(g (f (x ))−g (f (a))

x−a⋅f ( x )− f (a)f ( x )− f (a)

) astuce algébrique si f (x)≠ f (a )

= limx→a(g (f (x ))−g (f (a))

f (x )−f (a)⋅f ( x )− f (a)

x−a) algèbre

= limf (x )→ f (a)

(g(f (x ))−g (f (a ))

f (x )−f (a))⋅f ' (a)

-propriétés des limites applicables car les 2 limites existent : ▪ f est dérivable en a (hyp.) (2e limite)

▪ g∘ f est dérivable en f(a) (hyp.) (1e limite) -f dérivable donc continue (si x a alors f(x) f(a))→ → (1e limite)

= g ' (f (a)) ⋅ f ' (a) Notation : définition de la dérivée de g en f(a)

Cas 2) Lorsque f(x)=f(a)

( a)= (g∘ f )' (a) = limx→a

g (f ( x ))−g (f (a))x−a

définition de la dérivée de g∘ f

= limx→a

g (f (a))−g( f (a))x−a

car f(x)=f(a)

= limx→a

0x−a =0 calcul de la limite

(b) = (g '∘ f )(a)⋅f ' (a) =0 car f'(a)=0 = limx→a(f (x )−f (a)

x−a) = lim

x→a(f (a)− f (a)

x−a)

A partir de (a) =(b), on déduit que (g∘ f )' (a) = (g '∘ f )(a)⋅f ' (a)

Analyse, p.36

1.S.6 Dérivée de f(x)= x n

ÉnoncéLa dérivée de la fonction f(x) = xn est f '(x) = n xn – 1.

DémonstrationNous allons démontrer ce résultat en trois temps :

lorsque n est un entier strictement positif (n ∈ ℕ∗ )

lorsque n est un entier strictement négatif (n ∈ ℤ−∗ )

lorsque n est un rationnel. (n ∈ ℚ )

Il est possible de démontrer que cette formule reste vraie lorsque l'exposant est un réelirrationnel. (Cette démonstration est de niveau universitaire et ne sera donc pas présentée dans ce cours.)

La première des trois démonstrations se fera par récurrence.

Le principe de récurrence est le suivant :Considérons une affirmation (une formule par exemple) qui dépend d'un entier positif n.Si nous parvenons à démontrer que : 1) l'affirmation est vraie pour n = 1, 2) si l'affirmation est vraie pour un certain entier n, alors elle l'est aussi pour l'entier suivant, n + 1, alors cette affirmation est forcément vraie pour chaque nombre entier positif.

En effet,comme elle est vraie pour n= 1 et pour l'entier suivant, elle est vraie pour n= 2. Comme elle est vraie pour n= 2 et pour l'entier suivant, elle est vraie pour n= 3etc.

Une image pour mieux comprendre le principe: les dominos placés debout pour être prêts à tomber en cascade:

(1) Initialisation: le domino n=1 tombe(2) Hérédité: La chute du domino n entraine la chute du domino n+1(3) Conclusion: Tous les dominos tombent

Analyse, p.37

Énoncé ISi f(x) = xn alors f '(x) = n xn – 1 ∀ x ∈ ℝ et ∀ n ∈ ℕ∗

Démonstration I (par récurrence)

Il s'agit de prouver que :

1) la formule est vraie pour n = 1

f(x) =x f'(x)= 1 x 0=1 car f'(a)= limx→a

f (x )−f (a)x−a

= limx→a

x−ax−a =1

2) si la formule est vraie pour n (hypothèse de récurrence), alors elle l'est aussi pour n + 1 (à démontrer (xn +1)'=(n+1) xn +1-1 = (n+1) xn ).

Supposons donc la formule vraie pour n hypothèse de récurrence(xn + 1)'= (x·xn)' algèbre

= (x)'·xn + x·(xn)' dérivée du produit

= xn + x·nxn – 1 formule valable pour xn (hyp.) et pour x1 (dém. point 1)

= xn + nxn algèbre

= xn(1 + n) algèbre

= (n + 1) xn algèbre

La formule est vraie pour n + 1 donc pour tout entier positif.

Finalement, (xn)' = nxn – 1 ∀ x ∈ ℝ et ∀ n ∈ ℕ∗

Autre démonstration I' (à l'aide de la définition du nombre dérivé)

f ' (a)=limx→a

f (x )−f (a)x−a

=limx→a

xn−an

x−a

= limx→a

( x−a ) (xn−1+xn−2a+…+x an−2

+an−1 )x−a

= limx→a(xn−1

+xn−2a+…+xan−2+an−1

)=an−1+an−2a+…+a an−2

+an−1⏟n fois

=nan−1

Analyse, p.38

Énoncé II

Si f(x) = xn alors f '(x) = n xn – 1 ∀ x ∈ ℝ∗ et ∀n ∈ ℤ−

∗

Remarquesa) Lorsque l'exposant est un entier négatif, le domaine de f est ℝ∗

( p.ex. : f (x)=x−3=

1

x3

¿

)

b) La démonstration se fera en utilisant la dérivée de l'inverse et la formule pour n et n est un nombre entier strictement positif

Par exemple, (x−3) '=(

1

x3)' définition de x – 3

= −(x3

) '

( x3 )2 dérivée de l'inverse

= −3 x2

x6 formule pour n = 3 et algèbre

= – 3x – 4 algèbre

Démonstration IIPuisque n ∈ ℤ−

∗ ., cela implique que -n ∈ ℕ∗

(xn)' = (1

x−n) ' algèbre

= −(x−n)'

(x−n)2

dérivée de l'inverse

= −(−nx−n−1

)

x−2n car – n est un entier positif (énoncé I)

= n x – n – 1 x2n algèbre

= nx – n – 1 + 2n algèbre

= nxn – 1 algèbre

Finalement, (xn)' = n xn – 1 ∀ x ∈ ℝ∗ et ∀n ∈ ℤ−

∗

La formule est maintenant démontrée pour tout entier n ( ∀n ∈ ℤ ),

En effet pour n=0: f(x) =x 0 f'(x)= 0 x 0-1= 0 ∀ x ∈ ℝ∗

car f'(a)= limx→a

f (x )−f (a)x−a

= limx→a

1−1x−a = lim

x→a

0x−a = lim

x→a0=0

Analyse, p.39

Énoncé III

Si f(x) = xn alors f '(x) = n·xn – 1 ∀ x ∈ ℝ+∗ et ∀n ∈ ℚ

Remarques

a) Lorsque l'exposant est rationnel, le domaine de f est ℝ+∗ .( ex. : f (x)=x

−12 =

1√x

)

b) La démonstration se fera en utilisant la dérivée de la composition de fonctions et la

formule pour n ∈ ℤ :Si f(x) = xn alors f '(x) = n xn – 1 ∀ x ∈ ℝ∗ et ∀n ∈ ℤ

Démonstration

Si n est un nombre rationnel, il peut s'écrire sous forme d'une fraction.

Posons n = pq

où p ∈ ℤ et q ∈ ℕ∗

.

Pour démontrer que (xpq ) '=

pq

xpq−1

, nous allons dériver la fonction (xpq )

q

de deux façons différentes :

(a) = ((xpq )q)' = (q (x

pq )q−1)(x

pq ) ' dérivée de g∘ f et (xq)' = q xq-1 q ∈ ℕ∗

(b) = ((xpq )q)' = (x p

) ' = px p−1 algèbre et (xp)' = p xp-1 p ∈ ℤ

Comme (a) = (b), nous obtenons une équation dans laquelle apparaît la dérivée de xpq :

(q (xpq )q−1)(x

pq ) ' (x

pq ) ' = px p−1 reste à isoler (x

pq ) '

(xpq ) ' =

px p−1

q(xpq )q−1

… et à réduire l'expression obtenue (algèbre).

(xpq ) ' =

pq⋅x p−1

xp− p

q algèbre

(xpq ) ' = p

q⋅x

p−1−p+ pq algèbre

(xpq ) ' = p

q⋅x

pq−1

algèbre

Finalement (xn)'= n xn-1 ∀ x ∈ ℝ+

∗ et ∀n ∈ ℚ

Rappel La formule reste vraie lorsque l'exposant est irrationnel. p. ex : (xπ)' = πxπ – 1

Analyse, p.40

1.S.7 Limite et dérivée de fonctions trigonométriques

Dans ce paragraphe, nous allons démontrer les égalités suivantes. (Ces formules figurent dans le formulaire CRM.)

I) sin'(x) = cos(x) ∀ x ∈ ℝII) cos'(x) = – sin(x) ∀ x ∈ ℝ

III) tg'(x) = 1

cos2( x ) = 1 + tg2(x) si x ≠ π

2+kπ , k∈ℤ

Quelques rappels

a) sin(α) – sin(β) = 2·cos (α+β2 ) ·sin (α−β2 )

b) limx → 0

sin( x )x

= 1 (démonstration ci-dessous)

c) cos2(x) + sin2(x) = 1

d) tg(x) = sin( x )cos (x)

Démonstration du rappel (b) : limx → 0

sin( x )x

= 1 avec x en radians

Pour étudier cette limite, nous aurons besoin de deux théorèmes:

Théorème 1: Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a , sauf éventuellement en a

Si f ( x )≤ g ( x ) pour tout x∈I ∖{a} et limx → a

f (x ) et limx → a

g ( x ) existent,

alors limx → a

f (x ) ≤ limx → a

g ( x )

Théorème des deux gendarmes:

Soit f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I contenant a ,sauf éventuellement en a .

Si f ( x )≤h ( x )≤ g(x ) pour tout x∈I ∖{a} et limx → a

f (x ) = limx → a

g ( x ) =L ,

alors limx → a

h( x )=L

Premièrement: Montrons que limx →0⁺

sin( x )x

= 1

Analyse, p.41

Prenons x>0 , mesuré en radians, x∈ ]0 ; π2 [

Idée: Faire une comparaison d'aires

Aire ∆OIM≤ Aire secteurOIM ≤ Aire∆OIT

1 ∙ sin (x )

2≤x2≤

1 ∙ tan (x)2

Rappel à la fin de la démonstration (*)

sin ( x )≤ x≤sin ( x )cos ( x )

multiplie par 2et tan ( x )=sin ( x )cos ( x )

1≤x

sin ( x )≤

1cos ( x )

divise par sin ( x ) qui est >0

1≥sin ( x )x

≥ cos ( x ) inversion

limx →0⁺

1 ≥ limx →0⁺

sin ( x )x

≥ limx →0⁺

cos(x ) théorème 1 , les fonctions x↦1

et x↦ cos ( x ) sont continues.

1 ≥ limx →0⁺

sin( x )x

≥ 1 cos(0)=1

Selon le théorème des deux gendarmes, nous avons donc limx →0⁺

sin( x )x

= 1

Deuxièmement: Montrons que limx →0⁻

sin( x )x

= 1

Il suffit de remarquer que la fonction est paire:

Si x>0 alors −x<0 , donc: sin (−x )−x

=−sin ( x )−x

=sin ( x )

x

Conclusion: car limx → 0

sin( x )x

= 1 car: limx →0⁻

sin( x )x

= limx →0⁺

sin( x )x

=1

Rappel(*): Aire secteur d'angle x [rad ] est x2

Aire secteur

π ∙ r2⏟comparaison d ' aires

=x

2π⏟comparaisond ' angles

⇒ Aire secteur=x

2π∙π ∙ r2, avec r=1

Analyse, p.42

1) Démonstration I (dérivée du sinus)

sin'(a) = limx → a

sin( x)−sin (a )x−a

définition de la dérivée

= limx → a

2cos ( x+a2 ) sin ( x−a2 )

x−a rappel (a)

= limx → a(2cos ( x+a2 )

sin ( x−a2 )

x−a

2

12 ) algèbre

= limx → a

(2 12

cos ( x+a2 ))⋅limx → a

sin ( x−a2 )

x−a2

algèbre et les deux limites existent

= cos ( 2a2 )⋅limy → 0

sin ( y)y

substitution y = x−a2

et y tend vers 0

= cos (a)⋅1 rappel (b)

= cos(a)Finalement, sin'(x) = cos(x) ∀ x ∈ ℝ

Démonstration II (dérivée du cosinus)

Pour démontrer cette égalité, nous allons dériver la fonction cos2(x) + sin2(x) qui est constante. ( cos2(x) + sin2(x) )' = (1)' rappel (c)

(cos2(x) )' + ( sin2(x) )' = 0 dérivée de f+g

(cos2(x) )' = – ( sin2(x) )' algèbre

2cos(x) cos'(x) = – 2sin(x) sin'(x) dérivée composition de fonction

cos'(x) = −2sin( x )cos( x )

2cos(x ) = – sin(x) algèbre et dérivée de sinus

Finalement, cos'(x) = – sin(x) ∀ x ∈ ℝ

Remarque

La démonstration de la troisième égalité, tg'(x) = 1

cos2(x) = 1 + tg2(x), se fait à l'aide

des deux résultats précédents et de la dérivée du quotient car tg( x ) =sin( x )cos(x )

.

Elle est laissée en exercice.

Analyse, p.43

1.T. Théorème en lien avec la croissance et les extremums

1.T.1 Théorème:relation entre une fonction croissante et sa dérivée

Théorème " f f ' ≥ 0 "

Énoncé Si f est croissante sur l'intervalle ouvert I et si f est dérivable sur I, alors f '(a) ≥ 0 ∀ a ∈ I.

Illustration

Lorsque la fonction est croissante,les tangentes à f sont toutes de pentes positives.

Cela signifie que f '(a) ≥ 0 ∀ a ∈ I.

Démonstration Soit a un nombre quelconque de l'intervalle I.

Considérons la fraction f ( x )−f (a)

x−a où x ∈ I.

Si x < a ▪ alors f(x) ≤ f(a) et donc f(x) – f(a) ≤ 0 car f est croissante ▪ d'autre part, x – a < 0.

Dans ce cas, la fraction est donc positive ou nulle : f ( x )−f (a)

x−a ≥ 0.

Si x > a ▪ alors f(x) ≥ f(a) et donc f(x) – f(a) ≥ 0 car f est croissante.

▪ d'autre part, x – a > 0

Dans ce cas, la fraction est aussi positive ou nulle : f ( x )−f (a)

x−a ≥ 0

En résumé, la fraction f ( x )−f (a)

x−a est positive ou nulle ∀ x ∈ I\{a}.

Comme cette fraction admet une limite en a, (car f est dérivable en ce point) cette limite est elle aussi positive ou nulle (cf. propriétés des limites).

Nous pouvons donc écrire : limx → a

f (x )−f (a )x−a

= f '(a )≥0

Ce raisonnement étant valable pour chaque point a de I, nous avons finalement f '(a) ≥ 0 ∀ a ∈ I. CQFD !

Analyse, p.44

a

Taf

2 3 4 5-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

x

y

Remarques- De façon analogue, il est possible de démontrer que, si la fonction est décroissante, la dérivée est forcément négative ou nulle.(Cette démonstration serait un bon exercice ...)

- A la fin de ce paragraphe, nous démontrerons que la réciproque de ce théorème est vraie.(C'est-à-dire : si la dérivée est positive, alors la fonction est croissante.)Ce résultat nous permettra alors de connaître la croissance d'une fonction en déterminant les signes de sa dérivée.

Exemple d'utilisation de la réciproqueConsidérons le polynôme f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2.

Un rapide calcul nous donne : f '(x) = 3(x – 1)(x – 3).

Cherchons les signes de f ' pour connaître la croissance de f :

x 1 3f '(x) + 0 – 0 +f(x) 2 – 2

Il est ensuite possible, à partir du tableau ci-dessus, d'esquisser le graphe de la fonction f :Même approximative, cette esquisse permet de dégager quelques propriétés fondamentales de cette fonction.

Analyse, p.45

f

0 2

2

x

y

1.T.2 Théorème: relation entre extremum et le nombre dérivée

Théorème ( f est définie sur un intervalle I et a ∈ I)

Si f admet un extremum en a et si f est dérivable en a, alors f '(a) = 0.

Illustrationf '(a2) = f '(a3) = 0Il y a un maximum en a1 et unminimum en a4 mais f n'est pasdérivable en a1 ni en a4.

Démonstration (théorème du maxiumum)Nous démontrerons ce théorème lorsque f(a) est un maximum.Dans le cas d'un minimum, la démonstration est analogue et peut être faite en exercice.

Comme f admet un maximum en a, il existe un intervalle ouvert contenant a tel quef(x) ≤ f(a) (cf. définition maximum) ⇔ f(x) - f(a) ≤ 0 ∀ x ∈ V∩I

Considérons la fraction f ( x )−f (a)

x−a où ∀ x ∈ V∩I :

Si x < a , alors f ( x )−f (a)

x−a≥ 0 donc lim

x → a⁻

f (x )−f (a)x−a

= f ' (a )≥0

Si x > a , alors f ( x )−f (a)

x−a≥ 0 donc lim

x → a ⁺

f (x )−f (a)x−a

= f ' (a )≤0

Comme f est dérivable en a et f '(a–) = f '(a+) = f '(a) et ce nombre est forcément nul.

Finalement, limx → a

f (x )−f (a )x−a

= f '(a )=0 . CQFD !

RemarqueLa réciproque de ce théorème est fausse. Cela signifie que si f '(a) = 0, f n'admet pas forcément un extremum en a.

Par exemple, la fonction f(x) = x3 représentée ci-contreadmet une tangente horizontale en 0 mais le point (0 ; 0)n'est pas un extremum de f.Un tel point est appelé point d'inflexion ou palier de f.

Analyse, p.46

f

-1-2-3-4-5-6

2

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

1.T.3 Théorème de Rolle

Michel Rolle était un mathématicien français né 50 ans après l'escalade et mort en 1719, soit 70 ans avant la révolution française.

Énoncési f est continue sur [a ; b],

dérivable sur ]a ; b[

et si f(a) = f(b),

alors ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f '(c) = 0. (En c, la tangente est horizontale)

Illustration 1Dans l'exemple ci-contre nous trouvons deux points c qui vérifient f '(c) = 0.Ce sont les points c1 et c2.

Rappel : Si f continue sur un intervalle fermé [a ;b] , alors

- il existe un minimum et un maximum =M et un minimum=m tels que f([a ; b])= [m ; M] . - la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires entre les deux extremums :

m (minimum) et M (maximum).

(cf théorème en lien avec la continuité)

Analyse, p.47

a b

f(a) = f(b)

f

c1

c2

m

M

0 1

1

x

y

PI

f

0 1

1

x

y

Démonstration

L'idée est de prouver que f admet un extremum en un point en lequel elle est dérivable.

Cas1 m = MDans ce cas, la fonction f est constante sur [a ; b] et donc f '(x) =0 ∀ x ∈ ]a ; b[.

Le théorème est donc vrai dans ce cas.

Cas 2 m < MComme f n'est pas constante, l'un au moins des nombre m et M est différent de f(a) (et donc aussi différent de f(b), car f(a)=f(b))

Supposons que f(a) ≠ M et M > f(a) (*) et notons c la (ou une) préimage de M donc M=f(c).

Une des préimages de m ou de M se trouve forcément dans l'intervalle ouvert ]a ; b[ . En effet, il y a bien (au moins) un nombre c1 tel que f(c1)=m soit un minimum, car l'image M existe (c.f. rappel : f([a ; b])= [m ; M]) et de même pour un nombre c2 tel que f(c2)=M soit un maxiumum. Deux types de situation : - Illustration 1 (page précédente): c1 , c2 ∈ ]a ; b[

- Illustration 2 : c1 ∈ ]a ; b[ et c2=a

Si c2 =a , alors c1 ≠ b , car f(b) =f(a) Dans le cas où M = f(a), nous aurons forcément m < f(a) Le point (c1 ; f(c1)) sera alors un minimum.

De plus, f(x) ≤ f(c) ∀ x ∈ [a ; b], et le point (c ; f(c)) est donc un maximum de f (car f([a ; b])= [m ; M]).

Comme f est dérivable sur ]a ; b[ donc en c, nous savons, selon le théorème précédent,que f '(c) = 0.

CQFD

-Illustration de la nécessité de chacune des hypothèses : Analyse, p.48

Une hypothèse manquante, conclusion fausse ∄ c ∈ ]a ; b[ tel que f '(c) = 0.

1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[3) f (a )≠f (b )

1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[3) f(a)=f(b)

1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[ 3) f(a)=f(b)

Réciproque : Si ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f '(c) = 0. (En c, la tangente est horizontale)alors f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f(a) = f(b),

-Illustration pour montrer que la réciproque est fausse à l’aide de 3 exemples différentsPartie fausse de la conclusion Ex. :1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[3) f (a )≠f (b )

1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[3) f(a)=f(b)

1) f continue sur [a;b]2) f dérivable sur ] a;b[ 3) f(a)=f(b)

Analyse, p.49

1.T.4 Théorème des accroissements finis Théorème de Lagrange : Joseph Louis Lagrange, 1736 – 1813 Ce théorème découle directement du théorème de Rolle.

Énoncési f est continue sur [a ; b]

et dérivable sur ]a ; b[,

alors ∃ c ∈ ]a ; b[ tel que f '(c) = f (b)−f ( a)

b−a.

Illustration

La fraction f (b)−f ( a)

b−a représente

la pente de la droite d.

Le théorème affirme l'existenced'au moins un point c en lequel latangente à f est parallèle à d.

Il y a deux points c sur l'illustration ci-contre."La croissance de f en c est égaleà sa croissance moyenne sur [a ; b]."

Démonstration

Nous allons appliquer le théorème de Rolle à la fonction f – d sur l'intervalle [a ; b].Cela est possible pour les raisons suivantes :Comme la fonction d est un polynôme, elle est continue et dérivable sur ℝ donc sur [a ; b].La fonction f – d (écart entre f et d) est donc continue sur [a ; b] (propriétés des fonctions continue : si f et g sont continues en a , alors f - g sont continues en a) etdérivable sur ]a ; b[ (dérivée de la somme : si f et g sont toutes deux dérivables en a,alors la fonction f -g est aussi dérivable en a et (f - g)'(a) = f '(a) - g '(a).).De plus, (f – d)(a) = (f – d)(b) = 0.La fonction f – d vérifie donc les hypothèses du théorème de Rolle.Le théorème de Rolle nous assure de l'existence d'un point c ∈ ]a ; b[ tel que

(f – d)'(c) = 0, c'est-à-dire tel que f '(c) = d'(c) = pente de d = f (b )−f (a)

b−a.

Analyse, p.50

d

f

a

b

f(a)

f(b)

c1c2-10 0 10

10

x

y

1.T.5 1 er corollaire du théorème des accroissements finis (dérivée et fonction constante)

" f ' = 0 ⇒ f = cte "

Un corollaire est une conséquence directe.

ÉnoncéSi f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et f '(x) = 0 ∀ x ∈ ]a ; b[,

alors f(x) = f(a) ∀ x ∈ [a ; b]. (Cela signifie que f est constante sur [a ; b].)

DémonstrationNous allons appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction f sur

l'intervalle [a ; x]. Considérons un nombre x de l'intervalle ]a ; b].

Par hypothèses du corollaire, la fonction f vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur l'intervalle [a ; x].

Nous savons donc que : ∃ c ∈ ]a ; x[ tel que f '(c) = f ( x )−f (a)

x−a.

Comme f '(c) = 0, (par hypothèse du corollaire)

f(x) – f(a) est aussi forcément égal à 0.

f(x) – f(a) = 0 f(x) = f(a).

Ce raisonnement étant valable pour tout x de l'intervalle ]a ; b],

nous en déduisons que f(x) = f(a) ∀ x ∈ ]a ; b] et donc que f(x) = f(a) ∀ x ∈ [a ; b] (Car f(a) = f(a) !)

Réciproque La réciproque est vraie : f '(x) = cte f ‘(x) = 0

Conséquence(conséquence utile pour la 4ème année, cf. primitive)Il découle de ce théorème que si deux fonctions f et g ont la même dérivée,

alors (f –g)(x) = cte. En effet, pour autant que les hypothèses du corollaire soient

respectées, si f '(x) = g '(x),alors (f – g) '(x) = 0 et donc (f – g) (x) = cte.

Par exemple, les fonctions f ( x) = sin2(x) et g (x) = – cos2(x) ont la même dérivée.(à vérifier !). Nous pouvons en déduire que la fonction (f – g)(x) = sin2(x) + cos2(x) est une constante. (Nous retrouvons ici le théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique.)

Analyse, p.51

0 1

1

x

y

1.T.6 2 e corollaire du théorème des accroissements finis (dérivée et fonction croissante)

" f ' ≥ 0 f "ÉnoncéSi f est continue sur [a ; b],

dérivable sur ]a ; b[

et f '(x) ≥ 0 ∀ x ∈ ]a ; b[ ,

alors f est croissante sur [a ; b].

DémonstrationIl s'agit de prouver que: x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2) ∀ x1 ; x2 ∈ [a ; b] (déf. de la croissance )Considérons donc deux nombres x1 et x2 tels que a ≤ x1 < x 2 ≤ b.Nous allons appliquer le théorème des accroissements finis à f sur l'intervalle [x1 ; x2].(Cela est possible car f vérifie forcément les hypothèses de ce théorème sur cet intervalle.)

Nous savons donc que ∃ c ∈ ]x1 ; x2[ tel que f '(c) = f ( x2 )− f ( x1 )

x2−x1.

Comme f '(c) ≥ 0 (et x2 – x1 > 0) nous pouvons déduire que f(x2) – f(x1) ≥ 0.

Finalement, si x1 < x2, alors f(x1) ≤ f(x2), f est donc croissante sur [a ; b].

Remarquesa) La réciproque de ce théorème est vraie. Elle a été démontrée au début de ce paragraphe.b) Il est possible de démontrer le théorème " f ' ≤ 0 ⇒ f ".(La démonstration est analogue à la précédente et pourrait être faite en exercice)

Exemple

Considérons la fonction : f(x) = 10x6x

52

Nous pouvons déterminer la croissance de f

à partir des signes de sa dérivée. Un rapide calcul nous donne : f '(x) = 22 )10x6x()3x(10

.

Indiquons les signes de f ' ainsi que la croissance de f dans un tableau :x 3

f '(x) + 0 –

f(x) 5

Les résultats trouvés nous permettent d'esquisser le graphe de la fonction f.

Analyse, p.52

1.U. Tableau des variations Le tableau utilisé à la page précédente est appelé tableau des variations (ou tableau de monotonie) de la fonction f.Dans un tel tableau figurent : le domaine et les zéros de f, le domaine et les zéros de f ', les signes de f ', la croissance (et décroissance) de f, les éventuels extremums de f.Exemple :

Élaborons le tableau des variations de la fonction f (x) = x3

x2−4.

D(f) = ℝ \{± 2} et le seul zéro de f est x = 0.

Calcul de f '(x) : f '(x) = 3 x2( x2−4 )−x3

(2 x )

( x2−4 )2= . .. =

x2( x2−12 )

( x2−4 )2

D(f ') = ℝ \{± 2} et les zéros de f ' sont 0 et ∓√12 (0 et env. ∓3.46 )

Signes de f ' : Il est utile de remarquer que f '(x) n'est négative que lorsque x2 – 12 est négatif. (c.-à-d. entre – √12 et √12 pour autant que f ' soit définie)

x – √12 – 2 0 2 √12f '(x) + 0 – – 0 – – 0 +Ce tableau n'est pas nécessaire : il est possible d'indiquer les signes de f ' directement dans le tableau des variations de f ci-dessous.

Tableau des variations de f x – √12 – 2 0 2 √12

f '(x) + 0 – – 0 – – 0 +

f(x) – 5,2Max

0PI

5,2Min

Remarquesa) Les images de ± √12 sont calculées pour placer ces points particuliers sur le graphique.b) f n'admet pas d'extremum en 0 bien qu'il y ait une tangente horizontale en cepoint. Un tel point est appelé palier ou point d'inflexion (à indiquer dans le tableau).

Analyse, p.53

1.V. Convexité et concavité des fonctions dérivables

Considérons une fonction f dérivable sur un intervalle I.

Définition Fonction convexe

La fonction f est dite convexe sur I si, pour chaque point a de I, le graphe de f est situé au-dessus de la droite Ta sur tout l'intervalle I.

Formellement

x ∈ I et ∀ a ∈ I f(x) ≥ f '(a)(x – a) + f(a)

Illustration

Sur l'illustration ci-dessus, le graphe de f est au-dessus de celui de Ta sur tout l'intervalle I et cette propriété reste vérifiée pour n'importe quel autre point a de I.La fonction f est donc convexe sur I.

Remarque

La convexité est une notion qui existe aussi pour des fonctions non dérivables.La définition donnée ci-dessus ne concerne cependant que les fonctions dérivables.

Analyse, p.54

Définition Fonction concaveLa fonction f est dite concave sur I si, pour chaque point a de I, le graphe de f est au-dessous de la droite Ta sur tout l'intervalle I.

Formellement :x ∈ I et ∀ a ∈ I f(x) ≤ f '(a)(x – a) + f(a)

Illustration

Sur l'illustration ci-dessus, le graphe de f est au-dessous de celui de Ta sur tout l'intervalle I.Comme cette propriété reste vraie pour chaque point a de I, la fonction f est concavesur I.

Remarque

Si f est un polynôme de degré ≤ 1 (une droite), alors f vérifie les deux définitions.Dans ce cas, la fonction f est doncconvexe et concave.

Exemple

f est concave sur ]a ; b] et convexe

sur [b ; c[.Le point b est aussi appelépoint d'inflexion de f. C'est en b que lacourbure de f change.

Analyse, p.55

Remarque

x

y

f

Si f est une fonction convexe sur I alors f ' est une fonction croissante sur I.(Les pentes des tangentes augmentent.)Cela signifie que si f ' est dérivable, alors (f ')' est positive.

Définition Dérivée seconde

Une fonction dérivable dont la dérivée est elle-même dérivable est une fonction dite deux fois dérivable.(f ')' se note f '' et est appelée dérivée seconde de f.

Exemple

f(x) = x3

f '(x) = 3x2 dérivéef ''(x) = 6x dérivée seconde(et f '''(x) = 6) dérivée troisième

Théorème

Si f est deux fois dérivable sur I, alors :1) f est convexe sur I f ''(x) ≥ 0 ∀ x ∈ I2) f est concave sur I f ''(x) ≤ 0 ∀ x ∈ I

La démonstration de ce théorème ne sera pas exposée dans ce cours.

Un dicton raconte qu'en regardant la tête de la dérivée seconde, il est possible de connaître la courbure de f

Analyse, p.56

Remarquesa) Convexité et concavité déterminent la courbure de f.b) La convexité sera notée ∪ , la concavité : ∩ c) Il est possible d'ajouter une ligne au tableau des variations pour y faire figurer la

courbure de la fonction mais il est en général plus simple d'élaborer un second tableau pour cette nouvelle notion.

ExempleDéterminons la courbure du polynôme : f(x) = x3 – x2 – 4x + 4 = (x – 2)(x + 2)(x – 1).f '(x) = 3x2 – 2x – 4f ''(x) = 6x – 2

zéro de f '' : x = 31

x 1

3

f ''(x) – 0 +

f(x) ∩2,59PI ∪

Dans une étude de fonction, ce tableau vient compléter le tableau des variations.La courbure de f change en 1

3 . Nous appellerons aussi point d'inflexion un tel point.

Analyse, p.57

1.W.Application du calcul différentiel à l'optimisation(autrement dit : l'utilité de l'étude de fonction pour la fabrication des boîtes de conserves)

Introduction

On désire fabriquer une boîte cylindrique en fer blanc d'une contenance de 1 litre.(1 dm3 de volume)Quelles doivent être les dimensions de ce cylindre pour que sa fabrication nécessite un minimum de fer blanc ?

Pour optimiser la fabrication de cette boîte, il faut rendre minimale l'aire latérale A du cylindre.

Aire latérale en fonction de R et h :

A(R ; h) = 2πRh + 2πR2

Pour avoir un volume de 1 litre :

πR2h = 1 h = 2πR1

l'unité est le décimètre

Aire latérale en fonction de R :

A(R) = 2πR 2πR1

+ 2πR2 = R2 + 2πR2

Analyse, p.58

2R

2πRh

Notons R le rayon du cylindre

et h sa hauteur.

Il s'agit maintenant de calculer le minimum de cette

fonction A. (esquissée ci-contre)

Pour cela, il faut étudier (partiellement) cettefonction.

A(R) = R2 + 2πR2

A'(R) = 2

3

2 R2R4

R4R2 π

π

A'(R) = 0 R3 = π42 R =

3 π2

1 0,54 dm

Il faudrait encore vérifier que le rayon obtenu correspond bien à un minimum. (C'est bien le cas !)(Dans ce cas, la nature même du problème nous interdit de penser qu'il s'agit d'un maximum.)

Pour utiliser un minimum de fer blanc, il faut donc choisir un cylindre de 0,54 dm de rayon.Calculons maintenant la hauteur du cylindre :

h = 2πR1

= 1

π ( 13√2π )

2=

( 3√2 π )2

π=

( 3√2π )2

π⋅

3√2π3√2π

=2π

π⋅3√2π=

23√2 π = 2R

Il convient donc de fabriquer un cylindre dont la hauteur est égale à son diamètre.

Synthèse de la démarche utilisée

1) Exprimer sous forme de fonction la grandeur à optimiser. ( A(R ; h) = ...)

2) En utilisant les contraintes imposées, ( volume = 1 litre ) écrire cette fonction de sorte qu'elle ne dépende que d'une variable. ( A(R) = ...)

3) Etudier cette dernière fonction pour trouver la valeur qui la rend optimale.

4) Il peut être utile de contrôler que le résultat est plausible et correspond bien à la solution du problème.

Analyse, p.59

A

0 4

4

x

y

1.X. Tables CRM et analyse 3e année Tables CRM, éd. 2000-2006 , quelques pages en lien avec les notions abordées :

Analyse (p.65-82)

zéro , parité,fonction,etc. ▶ p.65

croissance, extremum, etc.▶ p.66

opérations sur les fonctions et réciproque▶ p.67-68

représentation graphique de quelques fonctions▶ p.69-71

limite▶ p.72

asymptotes, continuité, thm valeur intermédiaire,etc.▶ p.73

calcul différentiel▶ : dérivée, tangente, règle de dérivation,etc p.74

dérivées de fonctions usuelles, théorème des accroissements finis ,etc. ▶ p.75

2▶ e corollaire du T.A.F. (f’ ≥ 0 f croissante), convexité, etc.→ p.76

Ensemble (p.5-6)

ensemble des nombres naturels, entiers,etc.▶

Logique (p.3-4)

conditionnelle (inférence),inconditionnelle, contraposition, réciproque, etc. ▶

Analyse, p.60