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Collège Voltaire, 2016-2017

EXERCICES

FONCTION http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma1-fonction.pdf

Table des matièresSérie 30 1MA / Fonction / Novembre 2016.....................................................................................................3

Comprendre la signification de fonction,d'image, de préimage et de graphe...........................3Trouver les images et les préimages..........................................................................................3Représenter le graphique de la fonctions f................................................................................3Trouver le domaine de définition et les zéros d'une fonction....................................................3Résoudre une inéquation ou une équation à l'aide d'une représentation graphique..................3

Série 31 1MA / Fonction / Décembre 2016......................................................................................................9Représenter des fonctions de degré 1........................................................................................9Déterminer la pente,l'ordonnée à l'origine et le zéro de la fonction..........................................9Résoudre une équation et une inéquation à l'aide de la représentation graphique....................9

Série 32 1MA / Fonction / Décembre 2016.................................................................................................... 11Représenter des fonctions de degré 1......................................................................................11Déterminer la pente,l'ordonnée à l'origine et le zéro de la fonction........................................11Déterminer l'équation d'une droite à partir de la représentation graphique.............................11Représenter une droite à partir de l'équation d'une droite.......................................................11

Série 33 1MA / Fonction / Travail en salle informatique / Décembre 2016..........................................15Représenter graphiquement une fonction à l'aide de Geogebra..............................................15Comprendre la représentation graphique d'une fonction.........................................................15

Série 34 1MA / Fonction / Travail de groupe / Janvier 2017....................................................................16Résoudre des systèmes d'équations 2x2 à l'aide de représentation graphique........................16Pas de solution, une seule solution ou une infinité de solution d'un système d'équation, déterminer la raison de ces différences à l'aide de la représentation graphique et des équations des droites...............................................................................................................16

Série 35 1MA / Fonction / Janvier 2017........................................................................................................ 17Déterminer et représenter une fonction du premier degré à partir de points...........................17Résoudre un problème à l'aide d'une fonction de degré 1 et de sa représentation graphique. 17

Série 36 1MA / Fonction / Février 2017......................................................................................................... 19Représenter une fonction du deuxième degré.........................................................................19

Série 37 1MA / Fonction / Travail de groupe / Février 2017...................................................................23Représenter graphiquement des fonctions de degré 2.............................................................23Comprendre et expliquer à l'aide de la représentation graphique et du polynôme du second degré de la fonction : les zéros, la courbure de la parabole(concave ou convexe), etc...........23Montrer les liens entre le graphe et le polynôme du second degré de la fonction..................23

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctiondegre2.pdf...........23Série 38 1MA / Fonction / Mars 2017............................................................................................................24

Résoudre graphiquement des équations et des inéquations de polynômes de second degré. .24Série 39 1MA / Fonction / Mars 2017............................................................................................................26

www.dcpe.net/ eleve/ volt1234

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma1-fonction.pdf

Trouver les zéros, les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie d'une parabole...............26Faire le lien entre la représentation graphique, le discriminant, a, -b/2a, les zéros x1 et x2, etc..................................................................................................................................................26

Série 40 1MA / Fonction / Avril 2017.............................................................................................................30Trouver le minimum et le maximum d'une parabole..............................................................30Résoudre des problèmes impliquant une fonction de degré 2 ( par exemple : avec un minimum ou un maximum (optimisation), etc.).....................................................................30

Série 41 1MA / Fonction / Travail de groupe / Avril 2017.........................................................................37Faire une ‘’mini’’ étude de fonction (degré 2) :......................................................................37déterminer le domaine, les zéros, l’ordonnée à l’origine, le tableau des signes, l’axe de symétrie, le sommet, préciser s’il y a un minimum ou maximum et représenter graphiquement la fonction.......................................................................................................37

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctionetudedegre2.pdf37Série 42 1MA / Fonction / Travail de groupe / Avril 2017........................................................................38

Représenter graphiquement des fonctions inverses et racines carrées....................................38Série 43 1MA / Fonction / Avril 2017.............................................................................................................39

Trouver les points d'intersection entre 2 fonctions (de degré 1 et 2 / de degré 1 et racine carrée) par graphique et par calcul..........................................................................................39

Série 44 1MA / Fonction / Mai 2017...............................................................................................................42Comprendre la notion de valeur absolue.................................................................................42 Représenter une fonction avec une valeur absolue et introduire les fonctions par morceaux.................................................................................................................................................42

Série 45 1MA / Fonction / Mai 2017...............................................................................................................44Comprendre et représenter graphiquement des fonctions par morceaux................................44

Série 46 1MA / Fonction / Mai 2017...............................................................................................................48Déterminer le domaine, les zéros, les images, les préimages, l'ordonnée à l'origine, les coordonnées du sommet, l'axe de symétrie des fonctions de degré 2.....................................48Déterminer graphiquement l'intersection entre deux fonctions (degré 1 et 2)........................48Déterminer graphiquement l'intersection entre une fonction et l'axe Ox ou Oy.....................48Résoudre graphiquement des inéquations et des équations....................................................48

Série 47 1MA / Fonction + Logique / Mai 2017.............................................................................................54Résoudre un problème avec une fonction de degré 2..............................................................54Montrer des liens entre les fonctions et la logique..................................................................54

Série 48 1MA / Fonction / Mai 2017...............................................................................................................57Trouver les points d'intersection entre 2 fonctions (fonction degré 1 et inverse) par graphique.................................................................................................................................................57

Série 30 1MA / Fonction / Novembre 2016

Objectifs✔ Comprendre la signification de fonction,d'image, de préimage et de graphe✔ Trouver les images et les préimages✔ Représenter le graphique de la fonctions f✔ Trouver le domaine de définition et les zéros d'une fonction✔ Résoudre une inéquation ou une équation à l'aide d'une représentation graphique


Ex.1.Soit : 2 x - 3

est une expression en x (une seule inconnue) de degré 1. La valeur de cetteexpression dépend de la valeur (numérique) que nous attribuons à x .

a) Attribuer des valeurs numérique à l'inconnue x (3 exemples)

b) Appelons y cette expression : 2 x – 3 ligne 1 : Nous dirons que y est exprimé en fonction de x ligne 2 : y = f ( x )

Faites le lien entre la ligne 1 et la ligne 2

c) Réécrire les réponses de la question a avec la notation f(x) = y

d) y est appelé image de x par f .

- Trouvez l'image de 5 par f . L'image de 5 par f est …………………..



e) x est appelé préimage de y par f.

- Trouvez la préimage de 5 par f . La préimage de 5 par f est …………………..




Ex.2.

a) y =f(x) = x 1 f est une fonction irrationnelle de x .

-Calculez : l’image de 0 ; 3 et 5 par f

-Déterminez le domaine de f (ensemble Df de tous les nombres réels x pour lesquels y est calculable )

- Calculez : l’ensemble des préimages de y=8 par f

-Déterminez les zéros de f

b) y=f ( x )=1

2 x−1 f est une fonction rationnelle de x .

-Calculez : l’image de -3 ; 0 et 3 par f

-Déterminez le domaine de f

-Déterminez les zéros de f

- Calculez :l’ensemble des préimages de y=8 par f

Ex.3.

Soit la fonction : f(x) = -3x+ 7a) Trouvez l'image de 3 par f .

b) Notez le couple comme indiqué ci-dessous : (……… ; …….)

Indication : Vocabulaire • x est appelée 1ère coordonnée ou abscisse ,

• y est appelée 2ème coordonnée ou ordonnée.

Définition Nous appellerons graphe de f l’ensemble de tous les couples (x ;y) denombres réels dont la 2ème coordonnée est l’image de la 1ère coordonnée :

( x ; y=f(x))

c) Trouvez l'image de 1 par f et notez le couple comme auparavant.

Trouvez l'image de 2 par f et notez le couple comme auparavant.

d) Pour visualiser ou illustrer l’ensemble des couples définis par chaque fonction, il nousfaut une représentation graphique. Dans le repère ci-dessous, reporter les couplesobtenues dans les exercices précédents et tracer le graphe de f.

Ex.4.Soit la fonction f :

f : x ➜ y=f(x)= 2 – 0.5x f : ensemble de départ ➜ ensemble d’arrivée

ou f : source ➜ but

a) Trouvez l'image de 0 par f.

b) Déterminez les zéros de f.

c) Déterminez le domaine de f.

d) Représentez la graphe de f sur le repère orthonormé ci-dessous :

e) Résolvez l'inéquation suivante à l'aide de la représentation graphique de f f (x)≥0

f) Résolvez l'équation suivante à l'aide de la représentation graphique de f f (x)=0

Ex.5.Soit la représentation graphique de la fonction f:

Indication : Df= [-6;6]

a) Nous pouvons lire sur cette représentation graphique de f que :

f ( -6 ) = ……………… f ( -3 ) = …………………… f ( 0 ) = ………………… f (1) =………………

b) Résoudre les inéquations par la représentation graphique :

f (x)>0 si x…………………………………………………… S= ……………………………………………....

f (x)⩽0 si x ………………………………………………… S=…………………………………………………...

c) Si l’on voulait construire le graphe d’une fonction f donnée par son expressionalgébrique, nous serions surtout intéressé par :

-Les zéros de la fonction f sont : x = ……………………………………………

f∩Ox =…………………………………...………………………………………….…. Intersection entre la fonction f et l'axe des abscisses

-f ( 0 ) est la deuxième coordonnée du seul point d’intersection de f avec l’axe desordonnées f∩Oy = ………………………………. Intersection entre la fonction f et l'axe des ordonnées

d) Combien peut-on avoir d’images au maximum d’un x?

e) Combien peut-on avoir de préimages d’un y ?

f) A quoi correspond la préimage de y=0 par f ?

Série 31 1MA / Fonction / Décembre 2016

Objectifs✔ Représenter des fonctions de degré 1 ✔ Déterminer la pente,l'ordonnée à l'origine et le zéro de la fonction ✔ Résoudre une équation et une inéquation à l'aide de la représentation graphique


Ex.1.Soit la fonction : f(x)= 3

2x - 3

a) Trouvez l'image de 0 par f. Justifiez.

b) Déterminez le zéro de f. Justifiez.

c) Faites une représentation graphique de cette fonction.

d) Donnez la pente de f :e) Donnez l'ordonnée à l'origine : f) A l'aide du graphique, résolvez l'inéquation suivante: f(x) < 3

Justifiez à l'aide du graphique.


Ex.2.Soit la fonction : f(x)= -2x -3

a) Donnez la pente de la fonction f :

b) Donnez l'ordonnée à l'origine de la fonction f :

c) Faites une représentation graphique de cette fonction .

d) A l'aide du graphique, résolvez l'inéquation suivante: f(x) = -2 Justifiez à l'aide du graphique.

e) A l'aide du graphique, résolvez l'inéquation suivante: f(x) > -5 Justifiez à l'aide du graphique.

f) Complétez f∩Ox =…………………………………...………………………………………….….

f∩Oy = ……………………………….

Série 32 1MA / Fonction / Décembre 2016

Objectifs✔ Représenter des fonctions de degré 1 ✔ Déterminer la pente,l'ordonnée à l'origine et le zéro de la fonction ✔ Déterminer l'équation d'une droite à partir de la représentation graphique✔ Représenter une droite à partir de l'équation d'une droite


Ex.1.Esquissez les fonctions suivantes sur le repère ci-dessous:

a) f (−1 )=2 et la pente du graphe de f vaut −2

b) g (0 )=−1 et la pente du graphe de g faut 32

c) h (2 )=0 et la pente du graphe de h vaut −35

d) p (3 )=1 et la pente du graphe de p vaut 1

e) m ( 4 )=5 et la pente du graphe de m vaut 0


Ex.2.Déterminez les équations des droites représentées ci-dessous:

Ex.3. Soit la droite d'équation , d : 3 x+4 y=5

a) Quelle est la pente de la droite d?

b) Quelle est son ordonnée à l'origine ?

c) Est-ce que le point (15 ;−10 ) appartient à la droite d? Justifiez par calcul.

d) Donner 2 points qui appartiennent à la droite d.

e) Donner 2 points qui n'appartiennent pas à la droite d.

f) Quels sont le(s) zéro(s) de la droite d ?

g) Faites la représentation graphique de la droite d sur le repère ci-dessous.

Ex.4.Soient les applications suivantes :

d1: y=−56

x+4 d2 (x )=4 x−2 d3 : y=−x+1

d4 ( x )=34x d5 (x )=6 d6 : x=−3

a) Pour chaque droite, dites quelles est la pente, l'ordonnée à l'origine et les zéros de l'application affine correspondante, si possible.b) Donnez le graphe de chaque droite sur le même repère. Indications : l'axe des abscisses variant de -5 à 5 et celui des ordonnées de -5 à 7.

c) Le graphe de la droite d6 représente-t-elle une fonction ? Justifiez

d) Que vaut d1∩d2 ?

Série 33 1MA / Fonction / Travail en salle informatique / Décembre 2016

Objectifs✔ Représenter graphiquement une fonction à l'aide de Geogebra ✔ Comprendre la représentation graphique d'une fonction

Voir :

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonction.pdf

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonction.pdf

Série 34 1MA / Fonction / Travail de groupe / Janvier 2017

Objectifs✔ Résoudre des systèmes d'équations 2x2 à l'aide de représentation graphique✔ Pas de solution, une seule solution ou une infinité de solution d'un système d'équation, déterminer

la raison de ces différences à l'aide de la représentation graphique et des équations des droites

Voir :

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-systemefonction.pdf

Série 35 1MA / Fonction / Janvier 2017

Objectifs

✔ Déterminer et représenter une fonction du premier degré à partir de points✔ Résoudre un problème à l'aide d'une fonction de degré 1 et de sa représentation graphique.

Ex.1.a) Déterminez l’équation de la droite passant par les points A (7 ;−2) et

B (−3 ;1) . Représentez graphiquement.b) Déterminez l’équation de la droite qui coupe l’axe Ox en I (−5 ;0) et dont la

pente vaut −58

. Représentez graphiquement.

c) Déterminez la fonction affine ou linéaire f telle que f (2 )=5 et dont le graphe passe par A (5 ;5) . Représentez graphiquement.

d) Trouvez l’abscisse du point C ( x ;10 ) sachant que les points A (1 ;1) ,B (3 ;−2) et C( x ;10) sont alignés.

Ex.2.Voici la représentation graphique de la fonction f : prix en francs d'une course de taxi en fonction du nombre de kilomètres x parcourus (taxi très bon marché !)

a) D'après le graphique, déterminez le prix d'une course de 1km, 2km, 3 km, 5 km, 10 kmb) Déterminez f (0 ) . Que représente cette valeur ?c) Quelle est la distance qui correspond à un prix de 6,50 francs ?d) Quelle est la pente de la droite f ? Quelle est son équation ?e) Combien coûte 1 km de trajet supplémentaire ? Quel rapport y a-t-il avec la pente de f ?f) Déterminez par calcul le prix d'une course de 60 km, puis d'une course de 95 km.g) Complétez: pour x km, il faut payer p francs, avec p= f (x )

Ex.3.Pour mesurer une température, nous utilisons le degré Celsius (°C), mais il est aussi

possible d'utiliser le degré Fahrenheit (°F). La correspondance entre les deux se fait au

moyen d'une fonction affine.

a) Sachant que l'eau gèle à 32°F (0°C) et bout à 212°F (100°C), déterminez la

fonction permettant de donner la température en degrés Fahrenheit connaissant

la température en degrés Celsius (Les Fahrenheit en fonction des Celsius).

b) Déterminez la fonction permettant de donner la température en degrés Celsius

connaissant la température en degrés Fahrenheit.

c) S'il fait -20°C, donnez la température en degrés Fahrenheit.

d) Un livre de Ray Bradbury s'intitule "Fahrenheit 451".

Quelle température en °C cela donne-t-il ?

e) Représentez la fonction déterminée en a), en plaçant les °C en abscisse et les °F

en ordonnée.

Série 36 1MA / Fonction / Février 2017

Objectifs✔ Représenter une fonction du deuxième degré


Ex.1. Soit la fonction : f(x)= x2


b) Trouvez les préimage de 4 par f. Justifiez.

c) Trouvez les préimage de 9 par f. Justifiez.

d) Déterminez le zéro de f. Justifiez.

e) Faites la représentation graphique de f sur le repère ci-dessous :


Ex.2.Soit la fonction : f(x)= x2 -4


b) Trouvez les préimage de 5 par f. Justifiez.

c) Trouvez les préimage de 0 par f. Justifiez.

d) Déterminez les zéros de f. Justifiez.


Ex.3.Soit la fonction : f(x)= (x-1)(x+1)


b) Trouvez l'image de -2 par f. Justifiez.

c) Déterminez le zéro de f. Justifiez.


Ex.4.Soit la fonction : f(x)= x2 +2x+1


b) Trouvez l'image de -2 par f. Justifiez.

c) Déterminez le zéro de f. Justifiez.


Série 37 1MA / Fonction / Travail de groupe / Février 2017

Voir travail de groupe✔ Représenter graphiquement des fonctions de degré 2✔ Comprendre et expliquer à l'aide de la représentation graphique et du polynôme du second degré

de la fonction : les zéros, la courbure de la parabole(concave ou convexe), etc.✔ Montrer les liens entre le graphe et le polynôme du second degré de la fonction

Voir :

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctiondegre2.pdf

Série 38 1MA / Fonction / Mars 2017

Objectifs✔ Résoudre graphiquement des équations et des inéquations de polynômes de second degré


Ex.1. Soit la représentation graphique de la fonction g ci-dessous :

Résoudre les équations et les inéquations suivantes :

a) g(x )=0 b) g(x )=−4 c) g(x )<0 d) g(x)≥0


Ex.2. Soit la représentation graphique de la fonction f ci-dessous :

- Résoudre les équations et les inéquations suivantes :

a) f (x)=0 b) f (x)≤0 c) f (x)=−2 d) f (x)>−2

La fonction représentée ci-dessus est la suivante : f(x) = - 12

(x-3)(x-6)

- Faites la résolution par calcul des équations et inéquations ci-dessus.

Série 39 1MA / Fonction / Mars 2017

Objectifs✔ Trouver les zéros, les coordonnées du sommet et l'axe de symétrie d'une parabole✔ Faire le lien entre la représentation graphique, le discriminant, a, -b/2a, les zéros x1 et x2, etc.


Ex.1. Soit la fonction f(x)= -x2+2x+8

a) Donnez les zéros de la fonction f.

b) Trouvez l'axe de symétrie de la fonction f.

c) La fonction est-elle convexe ou concave ?

d) Donnez les coordonnées du sommet de la parabole.

e) Tracez le graphe de la fonction f.Indications :- le graphique doit occuper au moins les deux tiers du quadrillage ci-dessous.


Ex.2.a) Complétez le tableau ci-dessous :

f ( x )=x2−6 x+11 g ( x )=x2+5 x h ( x )=x2+6 x+5

p (x )=2x2+5 x−3 d ( x )=4−x2 v ( x )=−12

x2−x+4 n ( x )=−x2−2x−1

Fonction ∆(discriminant)

Les zéros de la fonction (x1 et x2)

x1+x2

2-b/2a a

f

g

h

p

d

v

n

b) Identifiez chacune des fonctions (f,g,h,p,d et v) sur les graphiques de la page suivante. Justifiez.

c) Esquissez le graphe de la fonction n

d) Montrez le lien entre les colonnes du tableau (question a) et les graphes.

e) Factorisez les fonctions.

Soit les représentations graphiques des fonctions précédentes :

f) Dans le tableau ci-dessous esquissez le graphe d’une fonction f définie parf (x)=ax2

+bx+c (a≠0) qui satisfait aux deux conditions indiquées sur les bords :

∆>0 ∆<0 ∆=0

a>0

a<0

Série 40 1MA / Fonction / Avril 2017

Objectifs✔ Trouver le minimum et le maximum d'une parabole ✔ Résoudre des problèmes impliquant une fonction de degré 2 ( par exemple : avec un minimum ou un

maximum (optimisation), etc.)


Ex.1. Pour chaque fonction parabolique ci-dessous, indiquez si elle possède un minimum ou un maximum. Déterminez l'ensemble de ses zéros et les coordonnées du minimum ou du maximum.

a) f ( x )=x2+3 x+2

b) f ( x )=x2+4 x+3

c) f ( x )=x2+8 x+5

d) f ( x )=x2−x−1

e) f ( x )=−x2+7 x+3

f) f ( x )=x2−4 x+6

g) f ( x )=2 x2+5 x+1

h) f ( x )=−2 x2+5 x−3

i) f ( x )=2 x2+4 x+1

j) f ( x )=3 x2+5x+1

k) f ( x )=−10 x2−7 x−1

l) f ( x )=12 x2−11 x+5

m) f ( x )=−30 x2+23 x−4


Ex.2.Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n'utilise pas de clôture le long de la rivière.

a) Pour chaque champ, calculez la longueur de la clôture et l'aire du champ. Que constate-t-on ? Quel est, parmi ces trois formes de champs, celui qui permet aux moutons de brouter le plus d'herbe ?

b) Le dessin ci-dessus propose trois configurations différentes. Combien y a-t-il d'autresconfigurations possibles ?

c) Parmi toutes les configurations possibles, la forme du champ B donne-t-elle l'aire maximale ?

Un fermier désire délimiter une parcelle de terrain pour faire brouter ses moutons. Il dispose de 2420 mètres de clôture pour construire un enclos rectangulaire le long d'une rivière. Il n'utilise pas de clôture le long de la rivière. Les dimensions x et y de l'enclos sont exprimées en mètres.

d) Quel est l'ensemble des valeurs possibles pour x ?

e)Trouvez une relation entre x et y , puis exprimer y en fonction de x

f) Déterminez l'aire A de l'enclos en fonction de la longueur x c.à.d. A=f ( x )

g) Pour quelle valeur de x l'aire A de l'enclos est-elle maximale ?Jusifiez en esquissant le graphe de f.

h)Quelles sont alors les dimensions de l'enclos et son aire maximale ?

Ex.3.Parmi tous les triangles rectangles tels que la somme de leur deux cathètes vaut 60 centimètres, quelles sont les dimensions de ceux ayant leur hypoténuse la plus courte ? Remarque: l'hypoténuse H est la plus courte lorsque son carré H 2 est minimal

Ex.4.Lorsqu'on lance un objet en l'air depuis une hauteur de 1,5 mètres, avec une vitesse

initiale de 6[ms ] , sa hauteur en fonction du temps est: h (t )=−4,9 t2+6 t+1,5 (dans

les unités MKSA). Dans cet exercice, des réponses avec 3 chiffres significatifs sont suffisantes.

a) Au temps t=0 s , l'objet se trouve à une hauteur de 1,5 m. Ensuite il monte puis redescend. Après combien de temps l'objet se retrouve-t-il à une hauteur de 1,5 m ?

b) A quels instants l'objet se trouve-t-il à une hauteur de 3,2 mètres ?

c) A quel instant l'objet se trouve-t-il le plus haut et quelle est cette hauteur ? Quelle est cette hauteur maximale ?

Ex.5.

Un porche a une forme de parabole d'équation y=−34

x2+3 x

Indication : y et x en [m]

a) Quelle est la hauteur du porche ?

b) Une voiture de 2m20 de large et de 1m50 de haut passe-t-elle sous le porche ?

Ex.6.Une grenouille saute de A vers B ; sa trajectoire est une parabole d'équation

y=−12

x2+x Indication : x (longueur) et y ( hauteur) en [dm]

Quelle est la distance entre A et B et quelle est la hauteur maximale atteinte par la grenouille ?

Ex.7.

La fonction esquissée ci-dessous est la droite f ( x )=20−32x

Les sommets du triangle ombré sont (0 ;0 ) ; (a ;0 )

et (a ; f (a ) ) , a réel positif.

a) Calculez la hauteur du triangle lorsque a=1 , a=4et a=10

b) Calculez l'aire du triangle lorsque a=4 .

c) Exprimez l'aire du triangle en fonction de a .

d) Pour quelles valeurs de a l'aire du triangle est elle nulle ?

e) Pour quelle valeur de a l'aire est-elle maximale ?

f) Quelle est cette aire maximale ?

Réponses

Ex. 1

Sommet Zéros: Z f ∆=b2−4 ac

a) MinS (−3

2;−

14 ) Z f= {−2 ;−1 } 1

b) Min S (−2 ;−1 ) Z f= {−3 ;−1 } 4

c) Min S (−4 ;−11) Z f= {−4−√11 ;−4+√11} 44

d) MinS ( 12 ;−

54 ) Z f={1−√5

2;1+√5

2 } 5

e) MaxS ( 72 ;

614 ) Z f={7−√61

2;7+√61

2 } 61

f) Min S (2;2 ) Z f=∅ −8g) Min

S (−54;−

178 ) Z f={−5−√17

4;−5+√17

4 } 17

h) MaxS ( 54 ;

18 ) Z f= {1 ;1,5 } 1

i) Min S (−1 ;−1 )Z f={−1−√2

2;−1+√2

2 } 8

j) MinS (−5

6;−

1312 ) Z f={−5−√13

6;−5+√13

6 } 13

k) MaxS (−7

20;

940 ) Z f={15 ;

12 } 9

l) minS (−11

24;11948 ) Z f=∅ -119

m) MaxS ( 2360 ;

49120 ) Z f={ 4

15;12 } 49

Ex. 3 chaque cathète mesure 30 cm

Ex.4. a) t≅1,22 s b) t=0,455 s à la montée et t≅0,779 s à la descente c)hmax≅ 3,34m

Série 41 1MA / Fonction / Travail de groupe / Avril 2017

Voir travail de groupe✔ Faire une ‘’mini’’ étude de fonction (degré 2) :✔ déterminer le domaine, les zéros, l’ordonnée à l’origine, le tableau des signes, l’axe de symétrie, le

sommet, préciser s’il y a un minimum ou maximum et représenter graphiquement la fonction

Voir :

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctionetudedegre2.pdf

Corrigé: série 41 suite http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctionetudedegre2suite.pdf

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctionetudedegre2suite.pdf

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctionetudedegre2.pdf

Série 42 1MA / Fonction / Travail de groupe / Avril 2017

Objectifs✔ Représenter graphiquement des fonctions inverses et racines carrées

Voirhttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctioninverseetracine.pdf

http://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/tg-ma1-fonctioninverseetracine.pdf

Série 43 1MA / Fonction / Avril 2017

Objectifs

✔ Trouver les points d'intersection entre 2 fonctions (de degré 1 et 2 / de degré 1 et racine carrée)par graphique et par calcul

Ex.1.Voici la représentation graphique de deux fonctionsNous noterons f la parabole et g la droite

a) Déterminez graphiquement leurs points d'intersection

b) Déterminez les équations des deux fonctions représentées(pour la parabole, écrire sous forme factorisée et développée(réduite) )

c) Déterminez par calcul leurs points d'intersections

d) Déterminez l'ordonnée à l'origine de chacune des fonctions (par calcul)

e) Combien y a-t-il de points d’intersection possible entre une droite et une parabole ? Énumérez les possibilités et illustrez avec des représentations graphiques.

Ex.2.Soit les couples de fonctions :

a) f ( x )=−x+3et g ( x )=√ x−1

b) f ( x)=12x+1et g ( x )=√ 2 x+1

c) f ( x )=x+4 et g ( x )=√ 2−x

Pour chaque couple de fonctions:1) Déterminez le domaine des fonctions f et g .2) Représentez graphiquement.3) Déterminez par lecture graphique leur point d'intersection.4) Déterminez par calcul leur point d'intersection

Corrigé :

Ex. 2

Série 44 1MA / Fonction / Mai 2017

Objectifs

✔ Comprendre la notion de valeur absolue ✔ Représenter une fonction avec une valeur absolue et introduire les fonctions par morceaux

Ex.1.La valeur absolue

ExempleUn nombre réel est constitué de deux parties : un signe + ou – et une valeur absolue.+7 est constitué du signe + et de la valeur absolue 7.–5 est constitué du signe – et de la valeur absolue 5.La valeur absolue de +7 est donc 7, la valeur absolue de –5 est donc 5 (opposé de -5).

Défintion :Pour tout nombre réel x , la valeur absolue de x (notée |x| ) est définie par : |x| = x , si x > 0 |x| = − x , si x < 0 |x| = 0 , si x = 0

a) Représentez la fonction valeur absolue : f(x)= |x|

Ex.2.a) Représentez graphiquement les fonctions suivantes :

f(x)= |x−2| g(x)= |x+6|

a) Représentez graphiquement les fonctions suivantes :

f(x)= |3−x| g(x)= |2 x+1|


Objectifs

✔ Comprendre et représenter graphiquement des fonctions par morceaux

Ex.1.Représentez les fonctions suivantes :

a)

f ( x)={−x+2,si x<−1x+4, si x≥−1

b)

f ( x )={−x , si x<0

x2−4 x , si0≤ x<42 x−8, si x≥4

c)

f ( x)={−x ( x+2 ) , si x<0x2 ; si x≥0

d)

f ( x )={( x+2 ) ( x+3 ) , si x<−1

2, si−1≤x<3x−1, si x≥3

Solutions

a) f ( x)={−x+2,si x<−1x+4, si x≥−1

b) f ( x)={−x , si x<0

x2−4 x , si 0≤ x<42 x−8, si x≥4

c) f ( x )={−x ( x+2 ) , si x<0x2; si x ≥0

d) f ( x)={( x+2 ) ( x+3 ) , si x<−1

2, si−1≤x<3x−1, si x≥3


Objectifs✔ Déterminer le domaine, les zéros, les images, les préimages, l'ordonnée à l'origine, les coordonnées

du sommet, l'axe de symétrie des fonctions de degré 2✔ Déterminer graphiquement l'intersection entre deux fonctions (degré 1 et 2)✔ Déterminer graphiquement l'intersection entre une fonction et l'axe Ox ou Oy✔ Résoudre graphiquement des inéquations et des équations

Soit la fonction : f(x)= -x2 +3x +4

a) Donnez le domaine de f.b) Donnez l'image de -4 par f.

Donnez les préimages de 0 par f.

c) Donnez le(s) zéro(s) et l'ordonnée à l'orgine de f.

d) Donnez les coordonnées du sommet de la fonction f.

e) Sur un repère orthonormé (1 unité = 1 carré et intervalle [-10;10] pour les deux axes), représentez la fonction f (au verso).

f) Donnez l'équation de l'axe de symétrie.

g) Résolvez graphiquement les équations et inéquations suivantes :

f(x) =0 f(x) < 0 f(x) ≥ -3 f(x)= 5

h)Trouvez graphiquement les intersections suivantes:

f ᑎ Ox = …………………………... f ᑎ Oy =…………………………...

Soit la fonction g : g(x)= -2x +8

i) Donnez le domaine de g.

j) Donnez l'image de -4 par g.

k) Donnez les préimages de 7 par g.

l) Donnez le zéro et l'ordonnée à l'orgine de g.

m) Y-a-t-il un sommet ? Si oui, donnez le sommet de la fonction g.

n) Représentez cette fonction sur le repère orthonormé de la page précédente.

o) Résolvez graphiquement les équations et inéquations suivantes :

g(x)=0 f(x)= g(x) f(x) < g(x)

p) Trouvez graphiquement les intersections suivantes:

g ᑎ Ox =……………………………………...

g ᑎ Oy =……………………………………...

g ᑎ f =………………………………………

Soit la fonction h : h(x)= x2 + 3.5 x +1.5

q) Représentez cette fonction sur le même repère orthonormé que les fonctions précédentes.

r) Résolvez les équations et inéquations suivantes graphiquement :

h(x) =0 h(x) < 0 h(x) =g(x)

f(x)= h(x) g(x) > h(x) f(x) < h(x)

s) Trouvez les intersections graphiquement :

h ᑎ Ox =……………………………………...

h ᑎ Oy =……………………………………...

g ᑎ h =……………………………………...

f ᑎ h =……………………………………...

Réponses

Représentation graphique des fonctions f,g et h

Soit la fonction : f(x)= -x2 +3x +4a) Df= ℝ

b) l'image de -4 par f est -72, les préimages de 0 par f sont -1 et 4c) les zéros de f sont -1 et 4 et l'ordonnée à l'orgine de f est 4d) S(1.5 ; 6.25 )e) c.f. graphique f) x= 1.5g) f(x) =0 S={-1;4} f(x) < 0 S= ]-∞ ; -1[ U ]4 ; +∞ [ f(x) ≥ -3 S= [-1.54 ; 4.54 ] f(x)= 5 S= {0.36 ; 2.62}

h) f ᑎ Ox ={( -1; 0) ; ( 4; 0)} f ᑎ Oy ={( 0; 4) }

Soit la fonction g : g(x)= -2x +8

i) Dg= ℝ

j) l'image de -4 par g est 16k) la préimage de 7 par g est 0.5l) le zéro de g est 4 et l'ordonnée à l'orgine de g est 8m) pas de sommetn) c.f. graphiqueo) g(x)=0 S={4} f(x)= g(x) S={1;4} f(x) < g(x) S= ]-∞ ; 1[ U ]4 ; +∞ [ p) g ᑎ Ox ={( 0; 4) }

g ᑎ Oy ={( 8; 0) }g ᑎ f = {( 1; 6) ; ( 4; 0)}

Soit la fonction h : h(x)= x2 + 3.5 x +1.5

q) c.f. graphiquer) h(x) =0 S={-3 ; -0.5} h(x) < 0 S= [-3 ; -0.5 ] h(x) =g(x) S={-6.5 ; 1} f(x)= h(x) S={-1.25 ; 1} g(x) > h(x) S= [-6.5 ; 1] f(x) < h(x) S= ]-∞ ; -1.25[ U ]1 ; +∞ [ s) Trouvez les intersections graphiquement :

h ᑎ Ox = {( -3; 0) ; ( -0.5; 0)}h ᑎ Oy = {( 0; 1.5)}g ᑎ h ={( 1; 6) ; ( -6.5; 21)}f ᑎ h ={( 1; 6) ; ( -1.25; -1.31)}

Série 47 1MA / Fonction + Logique / Mai 2017

Objectifs

✔ Résoudre un problème avec une fonction de degré 2 ✔ Montrer des liens entre les fonctions et la logique

Un îlot a le profil d’une parabole entre sa pointe sud et sa pointe nord de l’île.

a) Représentez graphiquement cette parabole donnée par la fonction f sur le repère ci- dessous :

f(x)= −110

x2−

310

x +2810

x en mètres

Indications : - Trouvez l’ensemble des zéros de f (y=0, niveau de la mer) - Donnez la forme factorisée et le tableau des signes de la fonction f - Déterminez le point le plus élevé de l’îlot

b) Les propositions ci-dessous sont-elle vraie/fausse ? Justifiez.

f(x)= −110

x2−

310

x +2810

= −110

( x-4)(x+7)

Proposition R : ∃ x ( f(x) = 0 )

Proposition S : ∀ x ( f(x) = 0 )

Proposition P : ∃ x ( f(x) > 0 )

Proposition N : ∃ x [( −110

( x- 4) > 0 et x+7 > 0 )]

Proposition M :

∃ x [ ( −110

( x-4) > 0 et x+7 > 0 ) ou ( −110

( x- 4) < 0 et x+7 < 0 ) ]

Corrigé (graphique) :


Objectifs

✔ Trouver les points d'intersection entre 2 fonctions (fonction degré 1 et inverse) par graphique

Voici la représentation graphique de deux fonctions f et d :

f(x)= 1

x−4 d(x)= ?

a) Déterminez leurs points d'intersection en vous aidant du graphique.

b) Donnez l’expression algébrique de la droite d.

c) Représentez sur le graphique ci-dessus la fonction g : g(x)= x-4.

d) Déterminez graphiquement les points d'intersection entre f et g.

e) Donnez le domaine de définition de f. Justifiez.

f) Combien y a-t-il de points d’intersection possible entre une droite et une fonction inverse ? Énumérez les possibilités et illustrez en esquissant des courbes.

g) Lorsque x tend vers un nombre très grand positif (vers l’infini : + ∞ ) , la fonction s’approche d’une nombre. Lequel ?

Remarque :

Ce nombre nous permet de trouver l’asymptote horizontale de la fonction, l’équation de l’asymptote horizontale de la fonction f est : y= 0 (droite horizontale)

-Placez l’asymptote horizontale de la fonction f sur le graphique de la page précédente. -Que signifie : asymptote horizontale de la fonction f ?

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