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Collège Voltaire, 2015-2016 Mathématiques / Exercices / 3ème Géométrie vectorielle h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-m a 3 - geometrie .pdf Table des matières Série 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015........................................................................... 2 Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.).................. 2 Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)...........2 Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015........................................................................... 6 Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3.............................................................................................................................................. 6 Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015......................................................................... 12 Déterminer les traces des droites.............................................................................................12 Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015.............................................................................. 14 Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3............................................................................................................................................ 14 Déterminer les traces des droites.............................................................................................14 Déterminer la position relative de deux droites...................................................................... 14 Représenter graphiquement les droites................................................................................... 14 Série 54 3MA1 / Géométrie vectorielle /novembre 2015.......................................................................... 20 Calculer le produit scalaire et résoudre des problèmes à l'aide du produit scalaire................ 20 Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016.............................................................................. 22 Déterminer lorsqu'un point appartient à un plan..................................................................... 22 Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan.................................. 22 Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces..........................................................22 Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections. . .22 Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016.............................................................................. 28 Déterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections.........................28 www.dcpe.net/ eleve/ volt1234

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Page 1: Mathématiques / Exercices / 3ème Géométrie vectorielledcpe.net/POII/sites/default/files/cours et ex/ex-ma3-geometrie.pdf · (dépacement horizontal, repère orthogonal) à droite

Collège Voltaire, 2015-2016

Mathématiques / Exercices / 3ème

Géométrievectorielle

h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-m a 3 - geometrie .pdf

Table des matièresSérie 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015...........................................................................2

Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.)..................2Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)...........2

Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015...........................................................................6Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3..............................................................................................................................................6

Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015.........................................................................12Déterminer les traces des droites.............................................................................................12

Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015..............................................................................14Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3............................................................................................................................................14Déterminer les traces des droites.............................................................................................14Déterminer la position relative de deux droites......................................................................14Représenter graphiquement les droites...................................................................................14

Série 54 3MA1 / Géométrie vectorielle /novembre 2015..........................................................................20Calculer le produit scalaire et résoudre des problèmes à l'aide du produit scalaire................20

Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016..............................................................................22Déterminer lorsqu'un point appartient à un plan.....................................................................22Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan..................................22Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces..........................................................22Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections. . .22

Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016..............................................................................28Déterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections.........................28

www.dcpe.net/ eleve/ volt1234

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(dépacement horizontal, repère orthogonal)

,nombre positifà droite

,nombre négatif à gauche

,nombre positif en haut

,nombre négatif en bas

axe des abscisses

axe des ordonnées(dépacement vertical, repère orthogonal)

Série 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015

Objectifs✔ Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.)✔ Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1. Égalité de deux vecteurs

Voici des vecteurs placés dans un repère orthogonal :

b

e

a d

c

a) Les vecteurs a et b sont les seuls vecteurs égaux : a = b Quelle pourrait être la définition d’égalité de deux vecteurs ?

b) Comment pourrait-on indiquer à un interlocuteur les propriétés des vecteurs a et b de la manière la plus simple possible ?

c) Construisez 2 vecteurs u et v égaux au vecteur c . d) Donnez la norme du vecteur v et a :

‖v⃗‖= ‖a⃗‖=Rappel :

Chaque vecteur est déterminé par deux points : son origine et son extrémité.

Déplacement de l’origine à l’extrémité du vecteur :

Exemple : u⃗ =

b

a

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Ex.2.

On considère les vecteurs u⃗ = ( 2−3) , v⃗ = (−1

2 ) et W⃗ = (24 )et les points A(2;4) B(-3;2) C(1;-3)

Représentez sur le repère ci-dessous :

A⃗L = u⃗ A⃗L signifie …………………………………………….……

u⃗ = F⃗A ; v⃗ = A⃗N ; W⃗ = B⃗T ; W⃗ = C⃗X

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Ex.3.On considère les points et vecteurs suivants dans le plan V2.

O⃗P1 =2 O⃗A + 3 O⃗B

O⃗P2 =1.5 O⃗A -2 O⃗B

O⃗P3 = O⃗C -2 O⃗B - O⃗A

v⃗ = O⃗A - O⃗B + O⃗C

Construisez les points P1 à P3 ainsi que le vecteur v⃗ .

Construisez un point P4 tel que O⃗C = O⃗A + O⃗P4

Écrivez O⃗Q comme combinaison linéaire de O⃗A et O⃗B

Écrivez O⃗Q comme combinaison linéaire de O⃗A et O⃗C

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Ex.4.On considère les points A, B et C dans l'espace V3.

Construisez les points Pi:O⃗P1 = O⃗A + O⃗B + O⃗C

O⃗P2 =0.5 O⃗B +0.5 O⃗C

O⃗P1 = O⃗C - O⃗B

Trouvez la combinaison linéaire, en fonction de O⃗A , O⃗B et O⃗C , des vecteurs

O⃗Q et O⃗N .

Ex.5.On donne quatre vecteurs relativement à la base canonique de l'espace V3.

a⃗ = (1

−32 ) b⃗ = (

08

−5) c⃗ = (218

−11) d⃗ = (111)

Calculez les composantes de v⃗ =3 a⃗ −2( c⃗ − b⃗ )

Exprimez, si possible, c⃗ et d⃗ comme combinaison linéaire de a⃗ et b⃗ .

Calculez ‖a⃗‖ et ‖a⃗+ b⃗‖

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Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015

Objectifs✔ Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.Pour pouvoir représenter une droite de notre choix dans l'espace V3, que faut-il ? Cochez la/les bonne(s) réponse(s) et justifiez vos réponses par un croquis.

Vrai Faux

On a nécessairement besoin de 3 points

On a besoin de 2 points

On a besoin uniquement d'un seul point

On a besoin d'un point et un vecteur

On a besoin de seulement un vecteurQuiz sur le site : http://www.dcpe.net/POII/node/140

Login: eleve Mot de passe : volt1234

Ex.2.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par les pointsA (2 ;3 ;5) et B (1 ;5 ;7 )

Ex.3.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par A (1;2 ;3 ) et a pour vecteur directeur d⃗ : d⃗ =2 i⃗ −3 j⃗ + k⃗

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Ex.4.On donne une droite d par la représentation paramétrique:

(xyz )=(

523)+ λ(

−133 ), λϵ R

Les points ci-dessous appartiennent-ils à la droite d ?a) A (6 ;−1 ;−8 )

b) B (3 ;8 ;9 )

c) C (6 ;−1; 0 )

d) D (−6 ;35 ;36 )

e) E( 174 ;174

;254 )

f) F( 275 ;45;95 )

Ex.5.On donne une droite d par le système d'équations paramétriques:

{x=2−5ky=−1+kz=3k

, kϵℝ

Déterminez le point de d :

a) qui a une abscisse égale à 12b) qui a une ordonnée égale à 5c) qui a une cote égale à -2d) dont l'abscisse et la cote sont égalese)dont la cote est égale au double de l'ordonnée

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Ex.6.Soient A (2;−1 ;0 ) ;B (1 ;−1 ;3 ) ;C (5 ;−2;1 ) ; D (2;6 ;7 ) quatre points

a) Trouver les équations paramétriques des droites d AB et dBC

b) Le point E (1;−1 ;6 ) appartient-il à la droite d AB ?

c) Le point F (−2;−1 ;12 ) appartient-il à la droite d AB ?

d) Le point G(338 ;13;115 ) appartient-il à la droite dCD ?

e) Trouver quelle doit être la valeur de β pour que le point H ( 54 ; β ;172 )

appartienne à la droite dCD

Ex.7.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par A (−3 ;5 ;2 ) et

parallèle à j⃗ .

Ex.8.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par (0 ;−2;−7 ) et estparallèle à i⃗ .

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Ex.9.Deux droites p et q sont données chacune par un système d'équations paramétriques:

p: {x=4−3 ty=6 t

z=8−5 t, tϵℝ q :{

x=3+2 ty=5−2 t , tϵℝ

z=1+t

Donnez pour chacune d'elles un système d'équations cartésiennes du type:x−a1

d1

=y−a2

d2

=z−a3

d3

Ex.10.Une droite t est donnée par le système d'équations cartésiennes:

x−23

=y−17

=z−32

Donnez une représentation paramétrique de la droite.

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Ex.11.Montrez que les systèmes d'équations suivants déterminent la même droite.

{x=3+2ky=5−2kz=1+k

, kϵℝ ; {x=5+2ry=3−2rz=2+r

, rϵℝ et {x=−1+sy=9−s

z=−1+s2

, sϵℝ

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Réponses :

Ex 2: (xyz )=(

235)+ t(

−122 ); t ∈R

Ex 3: (xyz )=(

123)+ t(

2−31 ); t∈R

Ex 4: a) non b) oui c) oui d) oui e) non f) oui

Ex 5: a) (12 ;−3 ;−6) b) (−28;5 ;18 ) c) ( 163 ;−53;−2) d) ( 34 ;−

34;34 ) e) (-12 ;-3 ;-6)

Ex 6 a) d AB :{x=2−ty=−1z=3 t

; t ∈R dBC :{x=1+4ny=−1−nz=3−2n

; n∈ R b) non c) oui d) non e) β=8

Ex 7: (xyz )=(

−352 )+t (

010); t∈R

Ex 8: (xyz )=(

0−2−7)+t (

100); t∈R

Ex 9: p:x−4−3

=y6=z−8−5

q :x−32

=y−5−2

=z−1

Ex 10: t :(xyz )=(

213)+t (

372); t∈R

Ex 11 : Vérifier que même vecteur directeur & un point en commun.

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Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015

Objectifs✔ Déterminer les traces des droites

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.Calculez les intersections des droites d et e avec les plans yOz , xOz et xOy

d :(xyz )=(

1−33 )+ λ(

11

−3) , λϵℝ e :(xyz )=(

−56

−2)+μ(501) , μϵℝ

Ex.2.Déterminez les traces des droites suivantes:

(xyz )=(

259)+k (

053) , kϵℝ (

xyz )=(

4−71 )+k (

200) , kϵℝ

Définition : On appelle trace d'une droite d (sur les plans de coordonnées) les points d'intersection de d avec les plan xOy, xOz et yOz

Ex.3.Soit la droite d passant par les points A (5 ;−2 ;6 ) et B (2 ;4 ;15 )

Calculez les intersections de la droite avec les plans yOz , xOz et xOy

Ex.4.Déterminez les traces de la droite d passant par les points :

A (−4 ;−2 ;163 ) et B (3 ; 32 ;−4)

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Ex.5.

a) Cochez la/les bonne(s) réponse(s) .Vrai Faux

Les droites ont toujours 3 traces

Certaines droites ont une trace

Certaines droites n'ont pas de trace du tout

Certaines droites ont deux traces

b) Justifiez vos réponses notamment avec un croquis.

Quiz sur le site : http://www.dcpe.net/POII/node/151

Login: eleve Mot de passe : volt1234

Réponses :

Ex 1: a) (2;−2 ;0 ) ; (0 ;−4 ;6 ); ( 4 ;0 ;−6 ) b) (5 ;6 ;0 ) ; (0 ;6 ;−1 ) ; pasde trace sur ( xOz )

Ex 2: a) (2;−10 ;0 ) ; pasde trace sur yOz ; (2; 0;6 ) b) pas de trace sur xOy∋xOz ; (0 ;−7 ;1 )

Ex 3: (0 ;8 ;21 ); ( 4 ;0 ;9 ); (7 ;−6 ;0 )

Ex 4: (0 ;0 ;0 ) ; (0 ;0 ;0 ) ; (0 ;0 ;0 )

Ex 5 : Vérifier que même vecteur directeur & un point en commun.

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Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015

Objectifs✔ Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3

✔ Déterminer les traces des droites✔ Déterminer la position relative de deux droites ✔ Représenter graphiquement les droites

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.

Soit la droite d d'équations paramétriques d :{x=5−λ

y=−1+3 λz=1+λ

, λϵ R

a) Le point A (3 ;5 ;2 ) appartient-il à d ?b) On donne les points B (1;6 ; 0) et C (3 ;0 ;−2 ) . La droite (BC ) est-elle parallèle à d ?c) Établissez une représentation paramétrique de la droite (BC ) .

Ex.2.

La droite d a pour équations cartésiennes: x−33

=− y6

=2−z2

a) Donnez un vecteur directeur de db) Donnez un système paramétrique de dc) Donnez une représentation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite e qui est parallèle à d et qui passe par le point C (1 ;0 ;−2 ) .

Ex.3.

La droite d a pour équations cartésiennes: x−3−1

= y=z−42

a) Déterminez les traces de d

b) Donnez une représentation paramétrique de la droite d

c) Représentez graphiquement la droite d (esquisse soigneuse !)

Ex.4.

La droite d a pour équations cartésiennes: x−33

=y

−6=

2−z2

a) Déterminez les traces de db) Donnez une représentation paramétrique de la droite dc) Représentez graphiquement la droite d (esquisse soigneuse !)

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Ex.5.O, A, B et C sont des points de l'espace V3.Les données sont relatives à la base ( O⃗A ; O⃗B ; O⃗C ) .

d1 est la droite passant par (0 ; 1 ; 0) et de direction O⃗A .

d2 est la droite passant par (1 ; 0 ; 1) et (1 ; 1 ; 1).

1) Tracez les droites d1 et d2 sur la figure ci-dessus.

2) Déterminez l'équation paramétrique de chacune de ces droites.

3) d1 et d2 sont-elles sécantes ?

Ex.6.d1 est la droite passant par les points A(10 ; – 3 ; 2) et B(– 5 ; 6 ; – 1) ,

d2 est la droite passant par C(3 ; 2 ; – 1) et de direction e⃗1 + e⃗2 - e⃗3 ) . .

a) Représenter graphiquement ces droites.

b) Calculer d1 d∩ 2.

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Ex.7.Déterminez les équations cartésiennes et paramétriques des droites:

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Ex.8.

Soient les droites d1:x−32

=− y−1=z−13

et d2:−x=y−33

=z−24

a) Calculer l'intersection d1∩d2 b) En déduire la position relative des deux droites considérées.

Ex.9.

Soient les droites d :1−x= y−3=z−34

et d ' :x3=2− y=

z+192

a) Déterminer l'intersection d ∩d 'b) En déduire la position relative des deux droites considérées

Ex.10.

Soit Les droites d : x−1= y+1=z+34

et d ' : x−5= y−7=z−14

a) Déterminer l'intersection d ∩d 'b) En déduire la position relative des deux droites considérées.

Ex.11.

Soient les droites d : x−1= y+1=z+34

et d ' : x−13= y−11=z−45

4a) Déterminer l'intersection d ∩d 'b) En déduire la position relative des deux droites considérées.

Ex.12.

Déterminer les équations paramétriques et cartésiennes de la droite:a) parallèle à l'axe Oy et passant par le point (5 ;4 ;1 )

b) parallèle à l'axe Oz et passant par le point (2; 0;−7 )

c) parallèle à la droite d'équations x+42

= y−3=2−z5

et passant par le point

(1;−4 ;6 )

d) parallèle à la droite d'équations x+42

=3− y

4=z9

et passant par le point

(11 ;−2;0 )

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Réponses

Exercice 1: a) non b) oui c) (xyz )=(

160)+λ(

2−6−2)

Exercice 2: a) d⃗=(3

−6−2) b) {

x=3+3 ky=−6 kz=2−2k

kϵ R c) (xyz )=(

10

−2)+λ (3

−6−2), λϵ R

x−13

=y

−6=

z+2−2

Exercice 3: a) (5 ;−2 ;0 ); (3 ;0 ;4 ) ; (0;3 ;10 ) b) {x=−λ+3

y=λz=2 λ+4

, λϵ R c)

Exercice 4: a) (6 ;−6 ;0 ) ; (3; 0;2 ); (0 ;6 ;4 ) b) {x=3+3 λy=−6 λ

z=−2 λ+2, λϵ R c)

Exercice 6 d1 d∩ 2= ∅

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Exercice 7: Représentation paramétrique

Equations cartésiennes

1

(xyz )=(

302)+ λ(

010) , λϵ R

x=3 ; yϵR; z=2

2

(xyz )=(

302)+ λ(

0−52 ) , λϵR

z−5

=z−22

; x=3

3

(xyz )=(

302)+ λ(

−35

−2) , λϵRx−3−3

=y5=

z−2−2

4

(xyz )=(

302)+ λ(

3−50 ) , λϵR

y−5

=x−33

; z=2

5

(xyz )=(

350)+ λ(

001) , λϵ R

x=3 ; y=5 ; zϵR

6

(xyz )=(

000)+ λ(

350) , λϵ R

x=3=y5; z=0

Exercice 8: a) d1∩d2={(1 ;0 ;−2 ) } b) sécantes Exercice 9: a) d ∩d '

=∅ b) gauchesExercice 10: a) d ∩d '

=∅ b) parallèles et distinctesExercice 11: a) d ∩d '

=d=d ' b) parallèles et confonduesExercice 12:

Equations paramétriques

Equations cartésiennes

1

{x=5

y=4+kz=1

kϵ R x=5 ; z=1, yϵR

2

{x=2y=0

z=−7+k kϵ R

x=2 ; y=0 ; zϵR

3

{x=−4+2ky=3+kz=2−5k

kϵ R

x−12

=y− (−4 )

1=z−6

4

{x=11+2ky=−2−4 k

z=9kkϵ R

x−112

=y+24

=z9

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Série 54 3MA1 / Géométrie vectorielle /novembre 2015

Objectifs✔ Calculer le produit scalaire et résoudre des problèmes à l'aide du produit scalaire.

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.

On considère les vecteurs a⃗=(−231 ) ,b⃗=(

0−24 ) et c⃗=(

204)

a) Calculez : a⃗⋅b⃗ , a⃗⋅c⃗ et b⃗⋅c⃗ b) Parmi ces trois vecteurs , y en a-t-il deux qui sont orthogonaux ?c) Calculez : (2 a⃗ - b⃗ ) ⋅ ( b⃗ + c⃗ )

d) Calculez : a⃗ ⋅ ( b⃗ + c⃗ )

a⃗⋅ b⃗ + a⃗ ⋅ c⃗ puis comparez les résultats

Ex.2.On donne quatre points coplanaires :

A(– 4 ; 5 ; 3) B(– 1 ; 1 ; 5) C(5 ; 5 ; 4) D(2 ; 9 ; 2)Montrez que le quadrilatère de sommets ABCD est un rectangle.

Ex.3.d1 est la droite passant par les points A(8 ; – 1 ; 3) et B(11 ; 11 ; 5) ,

d2 est la droite : (xyz )=(

41

−1)+λ (2

−13 );λ∈ℝ

Ces deux droites sont-elles de directions perpendiculaires ?L'angle entre les droites se retrouve entre les vecteurs directeurs.

Ex.4.A(2 ; 0 ; 0) B(0 ; 2 ; 0) C(0 ; 1 ; 3)

Représentez le triangle ABC.

Calculez les angles de ce triangle.

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Ex.5.

d1 est la droite : . (xyz )=(

020)+λ (

123); λ∈ℝ

d2 est la droite passant par les points A(0 ; 1 ; 3) et B(0 ; 3 ; – 3).a) Calculez l'équation paramétrique de d2.

b) Montrez que ces deux droites sont sécantes.

c) Calculez l'angle entre ces deux droites.

Ex.6.On considère les vecteurs:

a⃗=(111) , b⃗=(

2−14 ) , c⃗=(

123), d⃗=(

12

−3) , e⃗=(110) , f⃗ =(

311) , g⃗=(

11

−2) , h⃗=(−201 ) , m⃗=(

412)

a) Déterminez les paires de vecteurs orthogonaux.

b) Calculez: ( a⃗+ d⃗+ g⃗ ) ∙ ( b⃗+ e⃗−m⃗) , (2 a⃗− b⃗ ) ∙ f⃗ et ( c⃗+d⃗ ) ∙ ( f⃗ +e⃗ )

c) Calculez: ( b⃗ ∙ c⃗ ) a⃗ , ( b⃗ ∙ h⃗ ) c⃗ , ( b⃗ ∙ c⃗ )m⃗ , ( g⃗ ∙a⃗ ) d⃗ et ( a⃗ ∙ b⃗ ) ( d⃗ ∙ a⃗ )

Réponses :

Ex.1 a) a⃗⋅b⃗ =-2 , a⃗⋅c⃗ =0 et b⃗⋅c⃗ =16 b) a⃗ et c⃗

c) (2 a⃗ - b⃗ ) ⋅ ( b⃗ + c⃗ )=-40

d) a⃗ ⋅ ( b⃗ + c⃗ )= a⃗⋅ b⃗ + a⃗ ⋅ c⃗ =-2 Le produit scalaire est distributif sur l'addition

Ex 2 Comme A⃗B = D⃗C , le quadrilatère est un parallélogramme.

Comme de plus A⃗B ⋅ B⃗C , ce parallélogramme est forcément un rectangle.Ex. 3 Ces deux droites sont de direction perpendiculaire.Ex. 4 Les angles sont (environ) : 55,46° , 77,08° et 47,46°.Ex. 5 Le point d'intersection est I(0 ; 2 ; 0). L'angle est 126,27° ou 53,73°.Ex. 6 a) a⃗ et d⃗ ; a⃗ et g⃗ ; b⃗ et h⃗ ; d⃗ et m⃗

b) ( a⃗+ d⃗+ g⃗ ) ∙ ( b⃗+ e⃗−m⃗)=−15 ; (2 a⃗− b⃗ ) ∙ f⃗=1 et ( c⃗+d⃗ ) ∙ ( f⃗ +e⃗ )=16

c) ( b⃗ ∙ c⃗ ) a⃗=(121212) , ( b⃗ ∙ h⃗ ) c⃗=(

000) , ( b⃗ ∙ c⃗ )m⃗=(

481224) , ( g⃗ ∙a⃗ ) d⃗=(

000) et ( a⃗ ∙ b⃗ ) ( d⃗ ∙ a⃗ )=0

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Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016

ObjectifsDéterminer lorsqu'un point appartient à un plan Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.Soit Π le plan d’équation : 2x+3y-3z-5=0. a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? A(0 ;2 ;2) B(4 ; 3/2 ; 5/2)b) Trouver trois points distincts C , D et E ∈ Π et différents de A et B.

c) Trouver deux vecteurs directeurs et un vecteur position à Π .

d) Déterminer l’équation vectorielle(représentation paramétrique) et les équations

paramétriques de Π .

Ex.2.

Soit Π le plan d'équation : (xyz )=(

315)+n(

−213 )+k (

1−43 ) ; k , n∈ℝ .

a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? A(3;4;3) B(4 ;-3;8) .

b) Trouver deux points distincts C et D ∈ Π et différents de A et B.

c) Trouver deux vecteurs directeurs et un vecteur position à Π .

Ex.3.

On donne les points A(3;4;0) , B(-3;8;1) , C(1;2;-3) , D(11;1;1) , E(3;3;-1) ,

F(8;3;1) , G(0;5;-1) , P(-5;-2;-5) et Q(0;4;-3)

a) Déterminer l'équation cartésienne du plan (ABC)

b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (PQ) et du plan (ABC))

c) Montrer que la droite (DE) est incluse dans le plan (ABC)

d) Montrer que la droite (F;G) est strictement parallèle au plan (ABC)

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Ex.4.Trouver les équations paramétriques d'un plan Π passant par le point A(2;0;-3) et

contenant les vecteurs suivants : a⃗=(2

−16 ) et b⃗=(

0−35 )

Ex.5.La colonne de gauche sert à représenter graphiquement le plan, celle de droite définit celui-ci en donnant trois points non alignés lui appartenant.a) Dessiner (à gauche) le plan satisfaisant les conditions (de droite).b) Trouver, avec ou sans calculs, l’équation paramétrique correspondante.Exemple :

a) (0 ;0 ;0) ,(1; 0; 0)et (0 ;1 ;0) ∈ Π

Équation paramétrique de Π :

(xyz )=t (

100)+s(

010) ; t , s∈ℝ

b) (0 ;0 ;2),(1 ;0 ;2)et(0;1 ;2) ∈ Π

c) (3 ;0 ;0), (3 ;1 ;0)et (3 ;0 ;1) ∈ Π

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d) (1 ;0 ;0) ,(1 ;1 ;0)et (0 ;0 ;1) ∈ Π

Équation paramétrique de Π :

e) 2;3;0 , 0;3;0 et 0;0;2

Équation paramétrique de Π :

Ex.6.Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite d et d'un plan α , dans les cas suivants:

a) d : {x=−4−5ky=8+6kz=3−k

k∈ℝ

α : 2x+3y-z-5 =0b)d : {

x=4+3ky=3+kz=4−k

et α : {x=3+3 p−qy=−2−5 p+qz=7+3 p−q

c) d(AB) avec A(-1;0;4) et B(1;2;0) α : x-y+2z-3=0

Ex.7.

Soit Π le plan d’équation vectorielle : (xyz )=(

4−23 )+k (

−77

−4)+m(−34

−4 ) ; k ,m∈ℝ .

Décrivez et illustrez (sans les axes de coordonnées) le sous-ensemble du plancorrespondant à chacune des données suivantes.

a) k=0 et m=1 c) m=0 et −1≤k≤1

b) k=1 et m∈ℝ d) 0≤m≤1 et 0≤k≤2

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Réponses:

Exercice 1a) A B b) Par exemple :

Posons x=1et y=0 , on calcule z : C(1 ;0 ;-1) Posons x=1 et y=1, on calcule z : D(1 ;1 ;0) Posons x=−2et y=0 , on calcule z : E(-2 ;0 ;-3)

c) Par exemple : Vecteurs directeurs : et C⃗D=(0

−1−1) et C⃗E=(

−3−1−3)

Vecteur position : O⃗C=(110)

d) (xyz )=(

110)+s (

0−1−1)+t (

−3−1−3) et {

x=1−3 ty=1−s−tz=−s−3 t

, s , t∈R

Remarque : La représentation paramétrique, vectorielle et cartésienne d’un plan n’est pas

unique.

Exercice 2a) A B b) Par exemple : C(3;1;5) et D(1;2;8)

c) Par exemple : Vecteurs directeurs : D⃗C=(−213 ) et C⃗B=(

1−43 )

Vecteur position : O⃗C=(315)

Exercice 3

a) (ABC ) :(xyz )=(

340)+k (

−641 )+n(

−2−2−3) et (PQ ):(

xyz )=(

−5−2−5)+t (

562) ,t ∈R

le point d'intersection entre le plan et la droite est: (−1513

;3413

;−4513 )

b) (ABC ): x+2 y−2 z−11=0

c) (DE ):{x=11−8 sy=1+2 s1−2 s

, s∈R

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Exercice 4

Équations paramétriques de :

x 2k 2

y k 3 ,k

z 6k 5 3

¡

Remarque : La représentation paramétrique et cartésienne d’un plan n’est pas unique.Exercice 5

a) 0;0;0 , 1;0;0 et 0;1;0

Équation paramétrique de :

(xyz ) = t ∙(

100)+s ∙(

010) , s, t∈R

Remarque : planOxy

b) 0;0;2 , 1;0;2 et 0;1;2

Équation paramétrique de :

(xyz ) = (

002)+t ∙(

100)+s ∙(

010) , s, t∈R

Remarque : // planOxy

c) 3;0;0 , 3;1;0 et 3;0;1

Équation paramétrique de :

(xyz ) = (

300)+t ∙(

010)+s ∙(

001) , s, t∈R

Remarque : // planOyz

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d) 1;0;0 , 1;1;0 et 0;0;1

Équation paramétrique de :

(xyz ) = (

100)+t ∙(

010)+s ∙(

−101 ) , s, t∈R

e) 2;3;0 , 0;3;0 et 0;0;2

Équation paramétrique de :

(xyz ) = (

030)+t ∙(

100)+s ∙(

0−32 ) , s, t∈R

Exercice 6:

a) k=−89

donc ( 49 ;83;359 ) b) k=−1 (1;2 ;5 )

c) d :(xyz ) = (

−104 )+t ∙ (

22

−4) , t∈R on trouve t=12

donc le point cherché est:

(0 ;1;2 )Exercice 7:

a) A(1 ;2 ;-1) est un point appartenant au plan .

b) C' est l'équation d'une droite appartenant au plan de vecteur directeur v⃗=(−34

−4 ) et de

vecteur position O⃗A=(−35

−1) .

c) C'est l'équation d'un segment de droite d'extrémité A(11 ;-9 ;7) et B(-3 ;5 ;-1) appartenant auplan .

d) C'est un plan limité par les points : A(4 ;-2 ;3) , B(1 ;2 ;-1) , C(-10 ;12 ;-5) et D(-13 ;16 ;-9).

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Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016

ObjectifsDéterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections

Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf

Ex.1.Soit le plan d’équation Π : 0.5x -y +2z=1 et le plan d’équation Π ' : -x+2y-4z=-2 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.

Ex.2.Soit le plan d’équation Π : x +2y -z= -6 et le plan d’équation Π ' : 3x+y-2z=-1 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.

Ex.3.Soit le plan d’équation Π : 3x -y -z= -2 et le plan d’équation Π ' : -6x+2y+2z=3 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.

Réponses:

Exercice 1L'intersection est le plan lui-même, car les deux plans sont les mêmes.

Exercice 2

L'intersection est une droite: {x=11+3ky=1k

z=17+5kk∈ℝ

Exercice 3Pas d'intersection, les plans sont parallèles, mais différents

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