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Lentilles minces

PCSI Lycée Dupuy de Lôme

E. Ouvrard (PCSI Lycée Dupuy de Lôme) Optique géométrique 1 / 30

1 Systèmes centrés - conditions de GaussAxe optiqueStigmatismeAplanétismeConditions de Gauss

2 LentillesConstitution

Types de lentilles

Points caractéristiquesFoyers, plans focaux

Distance focale

Plan focal

VergenceConstruction

A partir d’un point objet

Pour un rayon quelconque

Relation de conjugaisonRelations

Exemple

Image réelle / objet réel3 L’œil


Systèmes centrés - conditions de Gauss Axe optique

Système centré

Un système optique est dit centré s’il admet un axe de symétrie. Cet axeest appelé axe optique


Systèmes centrés - conditions de Gauss Axe optique

Système centré

Un système optique est dit centré s’il admet un axe de symétrie. Cet axeest appelé axe optique

axe de symétrie


Systèmes centrés - conditions de Gauss Stigmatisme

Stigmatisme

Un système optique est dit stigmatique si tous les rayons issus d’un pointobjet se rejoignent à la sortie du système optique en un point nomméimage

Stigmatisme Astigmatisme


Systèmes centrés - conditions de Gauss Stigmatisme

Stigmatisme

Un système optique est dit stigmatique si tous les rayons issus d’un pointobjet se rejoignent à la sortie du système optique en un point nomméimage

Stigmatisme

Écran

b

Astigmatisme

Écran


Systèmes centrés - conditions de Gauss Aplanétisme

Aplanétisme

Un système optique centré est dit aplanétique s’il forme d’un objetperpendiculaire à l’axe optique une image perpendiculaire à l’axe optique.


Lentilles Constitution Types de lentilles

Conditions de Gauss

Dans les conditions de Gauss, une lentille mince pourra être considéréecomme stigmatique et aplanétique. Le conditions de Gauss sont lessuivantes

Les rayons incidents sont peu inclinés par rapport à l’axe optique

Les rayons incidents sont peu éloignés de l’axe optique.

On parlera alors de rayons paraxiaux



Dénomination d’une lentille

On nomme la lentille en fonction de la forme des dioptres que l’on observevu de l’extérieur pour chacune des faces.

Exemple : : lentille bi-convexeLes rayons rencontrent un premier dioptre convexe lors du passage de l’airdans le milieu d’indice n puis un second dioptre ... concave lors du passagede n dans l’air.



Lentilles convergentes

biconvexe plan-convexe ménisque convergent

Lentilles divergentes

biconcave plan-concave ménisque divergent


Lentilles Points caractéristiques

O

centre optique

Le centre optique d’une lentille mince se situe au niveau de la lentille, surl’axe optique

� Tout rayon passant par le centre optique ressort sans

subir de déviation.



objet à l’∞



objet à l’∞b

F ′



objet à l’∞b

F ′

Foyer image

L’image d’un objet à l’infini sur l’axe se forme au foyer image F ′ d’unelentille mince.

� Tout rayon incident parallèle à l’axe optique ressort

de la lentille dans une direction passant par le foyer

image F ′



image à l’∞



image à l’∞

b

F



image à l’∞

b

F

Foyer objet

Un objet placé au foyer objet F forme par la lentille une image à l’infini.

� Tout rayon incident passant par F ou dont le

prolongement passe par F ressort de la lentille

parallèlement à l’axe optique.


Lentilles Foyers, plans focaux Distance focale

Distance focale

Le foyers objet et image se situent à une même distance du centre optique,de part et d’autre de celui-ci. On note f ′ la distance focale de la lentille.

� f ′ = OF ′ = −OF

Lentille convergente Lentille divergente


Lentilles Foyers, plans focaux Distance focale

Distance focale

Le foyers objet et image se situent à une même distance du centre optique,de part et d’autre de celui-ci. On note f ′ la distance focale de la lentille.

� f ′ = OF ′ = −OF

� CV: f ′ > 0 DV: f ′ < 0

Lentille convergente

bb

F ′F

Lentille divergente

bb

FF ′


Lentilles Foyers, plans focaux Plan focal

plan focal

Le plan focal objet contient le foyer objet et est orthogonal à l’axe optique.Le plan focal image contient le foyer image et est orthogonal à l’axeoptique.

Les propriétés d’aplanétisme dans les conditions de Gauss permettent d’endéduire que :

� L’image d’un point situé à l’infini hors de l’axe se

forme dans le plan focal image de la lentille

� Un objet situé dans le plan focal objet forme par la

lentille une image à l’infini.


Lentilles Vergence

Vergence

Une lentille convergente (V > 0) fait converger un faisceau de lumièreparallèle

Une lentille divergente (V < 0) fait diverger un faisceau de lumièreparallèle

On définit la distance focale f ′ telle que

� f ′ =1

V

association de lentilles

Lorsque l’on accole deux lentilles de vergences V1 et V2, l’ensemble peutêtre vu comme une unique lentille de vergence totale Veq avec

� Veq = V1 + V2


Lentilles Construction A partir d’un point objet

bF bF ′b

A



bF bF ′b

A

bB

On choisit un point B hors de l’axe dans le plan normal à l’axe optiquecontenant A



bF bF ′b

A

bB

Un rayon parallèle à l’axe optique ressort en passant par le foyer image



bF bF ′b

A

bB

Un rayon passant par le foyer objet F ressort parallèlement à l’axe optique.



bF bF ′b

A

bB

Un rayon passant par le centre optique ne subit pas de déviation.



bF bF ′b

A

bB

b

B′

L’image se trouve à l’intersection des rayons refractés par la lentille



bF bF ′b

A

bB

b

B′

bA′

Le système étant considéré comme aplanétique, l’image de AB doit êtredans le plan normal à l’axe optique.


Lentilles Construction Pour un rayon quelconque

bF bF ′



bF bF ′

←ÐSou

rce

àl’∞

On imagine que le rayon provient d’une source ponctuelle à l’infini



bF bF ′

←ÐSou

rce

àl’∞

On représente un second rayon provenant de cette même source.



bF bF ′

←ÐSou

rce

àl’∞

Ce second rayon passant par O n’est pas dévié



bF bF ′

←ÐSou

rce

àl’∞

plan focal image

L’image de la source doit se former dans le plan focal image.



bF bF ′

←ÐSou

rce

àl’∞

plan focal image

Les rayons issu de cette source se coupent donc dans ce plan.


Lentilles Relation de conjugaison Relations

Relation de conjugaison

Une lentille de distance focale f ′ = OF ′ donne d’un objet sur l’axe A uneimage sur l’axe A′ telle que

Formule de Descartes:1

OA′−

1

OA=

1

f ′

Formule de Newton: FA.F ′A′ = −f ′2

Grandissement

Une lentille de distance focale f ′ = OF ′ donne d’un objet AB transversalune image A′B′. On définit alors le grandissement transversal γ tel que

� γ =A′B′

AB=

OA′

OACes relations seront fournies mais il faut connaître la définition du

grandissement transversal


Lentilles Relation de conjugaison Exemple

Exemple

d = 4 cm

f ′ = 1, 5 cm

Ob b b

A

F ′

F



Exemple

d = 4 cm

f ′ = 1, 5 cm

Ob b b

A

F ′

FbA′

OA = −d

1

OA′=

1

OA+

1

f ′=−1

4+

1

1, 5=

5

12

OA′ =12

5= 2, 4 cm



Exemple

d = 4 cm

f ′ = 1, 5 cm

Ob b b

A

F ′

F

b

bA′

OA = −d

1

OA′=

1

OA+

1

f ′=−1

4+

1

1, 5=

5

12

OA′ =12

5= 2, 4 cm

On a donc le grandissement γ =OA′

OA=

2, 4

−4= −0, 6


Lentilles Image réelle / objet réel

Objectif : Déterminer une condition sur la distance D objet-écranpermettant de former une image sur l’écran de l’objet par une lentille dedistance focale f ′.

D = en fonction de OA et OA′

OA′ est solution de l’équation :....... en fonction de OA′, D et f ′

Admet une solution si D condition sur D

On vérifie que OA′ condition sur OA′




D = AA′ = A0 +OA′ = −OA +OA′

OA′ est solution de l’équation :....... en fonction de OA′, D et f ′






D = AA′ = A0 +OA′ = −OA +OA′

OA′ est solution de l’équation :

OA′2

−D.OA′ +D.f ′ = 0 car1

OA′=

1

OA′ −D+

1

f ′






D = AA′ = A0 +OA′ = −OA +OA′

OA′ est solution de l’équation :OA′

2

−D.OA′ +D.f ′ = 0

Admet une solution si D> 0 car ∆ =D2 − 4.D.f ′





D = AA′ = A0 +OA′ = −OA +OA′


2

−D.OA′ +D.f ′ = 0

Admet une solution si D> 0

On vérifie que OA′=D

2±

1

2.√

D2 − 4.D.f ′ > 0




D = AA′ = A0 +OA′ = −OA +OA′


2

−D.OA′ +D.f ′ = 0

Admet une solution si D> 0

On vérifie que OA′=D

2±

1

2.√

D2 − 4.D.f ′ > 0

couple objet/image réels par une lentille convergente

Une lentille convergente de distance focale f ′ peut former d’un objet réelune image sur un écran à une distance D de l’objet si :

� - b D > 4.f ′


L’œil Modélisation

Accommodation

La distance cristallin-rétine reste fixe. Pour accommoder, l’œil modifie lavergence du cristallin


L’œil œil au repos

Punctum remotum

C’est la distance où se trouve un objet observé par l’œil au repos, notée dpr

Pour l’œil normal,

� dpr = ∞

dcr



Punctum remotum



� dpr = ∞

b F′

dcr



Punctum remotum



� dpr = ∞

b F′

dcr

Vergence au repos Vrepos =1

dcr

≃1

1, 7.10−3= 59 Dioptries


L’œil Accommodation Principe

Vision au repos

bF ′

dcr



bF ′

dcr



Vision de près

bF ′

dcr

Accommodation

Les muscles modifient la courbure des dioptres du cristallin afind’augmenter sa vergence pour former l’image de l’objet observé sur larétine

Punctum proximum

C’est la distance minimum dde vision de l’œil. Pour l’œil normal,

� dpp = âge de la personne cm


L’œil Accommodation Exemple

Une personne de 25 ans a un œil qualifié de normal. La vergence du

cristallin au repos est V0 = 60 diopries. Déterminer la vergence V1 du

cirstallin associée le punctum proximum.






Au repos, l’objet observé est à l’infini, la distance cristallin-rétine

correspond à la distance focale du cristallin : dcr =1

V0






Au punctum proximum, on applique la relation de conjugaison avec :

OA = −dpp et OA′ = +dcr =1

V0

donc1

OA′−

1

OA=

1

f ′→ V0 +

1

dpp

= V1

Soit V1 = V0 +1

dpp

= 60 + 4 = 64 dioptries


L’œil Taille perçue

dcr


L’œil Taille perçue

dcr

αTaille perçue par l’œil

La taille perçue d’un objet est proportionnelle à l’angle α sous lequel estvu cet objet

Avec un seul œil, nous somme incapables de déterminer la distance nousséparant d’un objet.


Systèmes optiques Loupe Exemple

Une personne lit un journal où une lettre a une hauteur h = 6 mm. Elle est

âgée de 60 ans. Déterminer la valeur maximum de l’angle α caractérisant

la taille de l’image formée sur la rétine de la lettre.

α



Une personne lit un journal où une lettre a une hauteur h = 6 mm. Elle est

âgée de 60 ans. Déterminer la valeur maximum de l’angle α caractérisant

la taille de l’image formée sur la rétine de la lettre.

α

L’œil doit être placé au plus près de la lettre

Le punctum proximum est égal à l’âge dpp = 40 cm

L’angle est très faible de sorte que α ≃ tanα =h

dpp

=0, 6

60= 10

−2 rad



Cette personne intercale une loupe entre son œil et le journal.

Déterminer la position et la taille de l’image de la lettre formée par la

loupe

En déduire l’angle α′ caractérisant la taille de l’image formée sur la

rétine de la lettre.

Loupe f ′ = 30 cm

bc bc

F



Cette personne intercale une loupe entre son œil et le journal.

Déterminer la position et la taille de l’image de la lettre formée par la

loupe

En déduire l’angle α′ caractérisant la taille de l’image formée sur la

rétine de la lettre.

Loupe f ′ = 30 cm

bc bc

F

α′



Loupe f ′ = 30 cm

bc bc

F

α′

1

OA′=

1

OA+

1

f ′=

1

−20+

1

30=−1

60cm−1 soit OA′ = −60 cm

La taille de l’image est H =OA′

OA.h =

60

20.6 = 18 mm

α′ ≃ tanα′ =H

A′O + dpp

=1, 8

60 + 60= 1, 5.10

−2 rad

La personne percevra donc la lettre plus grande que sans la loupe


Systèmes optiques Fonctionnement optimal

Loupe f ′ = 30 cm

bc bc

F

Grossissement par une loupe

Lorsque l’objet est placé au foyer objet d’une loupe, le grossissement de laloupe a pour expression

� - b Gloupe =dpp

f ′


Systèmes optiques Fonctionnement optimal

Loupe f ′ = 30 cm

bc bc

F

α′

Grossissement par une loupe

Lorsque l’objet est placé au foyer objet d’une loupe, le grossissement de laloupe a pour expression

� - b Gloupe =dpp

f ′


Systèmes optiques Lunette afocale

lunette afocale

Un système afocal donne d’un objet à l’infini une image à l’infini. Il permetd’observer grâce à l’œil des objets à l’infini (utilisé en astronomie). Ondéfini le grossissement G tel que

� G =α′

α

α : angle entre l’axe optique et le rayon incidentα′ : angle entre l’axe optique et le rayon sortant.

α

α′



L1 L2

bF ′

1bF1

α



L1 L2

bF ′

1bF1

α

� - b Le foyer image de l’objectif est confondu avec le

foyer objet de l’oculaire

b Grossissement de la lunette: G =−V2

V1


Systèmes optiques Microscope Constitution

Objectif

b bFobj F

′

obj

Oculaire

b bFoc F

′

oc



Principe du microscope

Le microscope des constitué d’un objectif et d’un oculaire.



Objectif

b bFobj F

′

obj



L’objectif donne une image intermédiaire agrandie de l’objet observé



Objectif

b bFobj F

′

obj

Oculaire

b bFoc F

′

oc






Objectif

b bFobj F

′

obj

Oculaire

b bFoc F

′

oc




L’oculaire forme de cette image intermédiaire une image à l’infinipour une observation sans accommodation

Pour un œil normal, le foyer objet de l’oculaire doit se situer au niveau del’image intermédiaire.


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