Formation des images, lentilles minces

Contexte : Les lentilles sont le système de base de toute l’optique géométrique. Leur utilisation est très répandue, seules ou en association avec d’autres systèmes optiques. On peut citer les lunettes de vue, les objectifs des appareils photographiques (cf ci-contre), la lunette de Galilée (ci-dessous), la lunette astronomique.

Le cristallin de notre œil est équivalent à une lentille sphérique convexe.

Objectif d’appareil photo

Objectif d’appareil photo

Lunette de Galilée

Introduction : Nous avons défini dans le cours précédent, les 3 points particuliers d’une lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss. Nous poursuivons l’étude de la formation des images par une lentille mince. Dans tous les cas, L’approche est essentiellement descriptive et repose sur la maîtrise de la construction des rayons lumineux.

Plan : I) Tracés d’images avec une lentille II) Relations de conjugaison et grandissement

2.1 Définition du grandissement transversal 2.2 Formules de conjugaison et grandissement

2.3 Condition expérimentale pour avoir une image réelle (lentille convergente)

I) Tracés d’images avec une lentille mince : A la suite des tracés faits à la fin du cours précédent, on peut en déduire le principe de construction d’images suivant :

Principe de construction :

Pour représenter l’image 𝐴′𝐵′ d’un objet 𝐴𝐵 perpendiculaire à l’axe optique (∆) avec 𝐴 sur (∆) et 𝐵 hors de (∆), il faut tracer deux des trois rayons suivants issus de 𝐵 afin de déterminer 𝐵′ :

1. Le rayon passant par le centre optique 𝑂 n’est pas dévié par la lentille.

2. Le rayon incident issu de 𝐵 et parallèle à l’axe optique émerge en passant par 𝐹′.

3. Le rayon incident issu de 𝐵 et passant par 𝐹 émerge parallèlement à l’axe optique.

Dans les conditions de gauss, 𝐵′ est à l’intersection de ces rayons et on déduit par aplanétisme, la position de 𝐴′, projeté orthogonal de 𝐵′ sur (∆).

Règles à respecter pour les tracés :

• Les rayons doivent obligatoirement être orientés par une flèche.

• Les rayons incidents (avant la lentille dans le sens de propagation) et les rayons émergents (après la lentille dans le sens de propagation) sont tracés en traits pleins, avec une flèche dessus.

• Les prolongements des rayons incidents (dans l’espace après la lentille) et les prolongements des rayons émergents (dans l’espace avant la lentille) sont tracés en traits pointillés.

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/construction_lentille.php?typanim=Flash

Remarques : Les tracés seront toujours effectués avec une échelle transversale plus grande que l’échelle longitudinale. Les rayons représentés ne seront pas « peu inclinés et peu éloignés de l’axe optique » mais les constructions tiennent compte des conditions de Gauss.

A chaque fois, deux rayons issus de 𝐵 seulement sont nécessaires pour obtenir l’image 𝐵’.

⇒ Effectuez soigneusement les tracés suivants avec une lentille convergente. Positionnez au préalable les foyers objet F et image F’. Précisez, sous le tracé, le caractère réel ou virtuel de l’objet et de l’image, dites si l’image est agrandie, rétrécie ou de même taille et si elle est droite (même sens que l’objet) ou renversée (sens opposé à l’objet).

1. Objet …………… tel que 𝟎𝑨 > 𝟐𝒇!

2. Objet …………. tel que 𝒇! < 𝟎𝑨 < 𝟐𝒇!

3. Objet ……………. tel que 𝟎𝑨 < 𝒇!

4. Objet réel dans le plan focal objet

5. Objet …….

⇒ Dans quel cas obtient-on avec une lentille convergente, une image virtuelle ?

⇒ Effectuez de même le plus soigneusement possible les tracés suivants avec une lentille divergente. Commencez en plaçant les foyers objet F et image F’. Précisez le caractère réel ou virtuel de l’objet et de l’image, dites si l’image est agrandie, rétrécie ou de même taille et si elle est droite (même sens que l’objet) ou inversée (sens opposé à l’objet).

1. Objet réel

2. Objet ……. tel que 𝟎𝑨 < 𝒇!

3. Objet ……. …. tel que 𝒇! < 𝟎𝑨 < 𝟐 𝒇!

4. Objet ……. …. tel que 𝟎𝑨 > 𝟐 𝒇!

5. Objet virtuel 𝑨𝑩 dans le plan focal objet

⇒ Où se forme l’image ? Sous quel diamètre apparent 𝛼! est-elle vue ? On exprimera 𝛼! en fonction de

𝐴𝐵 et de 𝑓! en tenant compte de son orientation. ⇒ Quel est le seul cas d’obtention d’une image réelle avec une lentille divergente ? ⇒ Construire à présent, après avoir placé les 3 points particuliers de la lentille, avec une lentille

convergente puis avec une lentille divergente, l’image d’un objet à l’infini vu sous le diamètre apparent 𝛼. Où se forme dans chaque cas, l’image et quelle est sa taille ?

http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_mince.php?typanim=Flash

II) Relations de conjugaison et formule du grandissement.

2.1 Définition :

Pour un système optique quelconque, on définit le grandissement transversal 𝛾! par la relation : 𝛾! =!!!!

!"

avec 𝐴!𝐵! image de 𝐴𝐵 à travers le système.

• Si 𝛾! > 1, l’image est droite et agrandie • Si 0 < 𝛾! < 1, l’image est droite et plus petite que l’objet • Si −1 < 𝛾! < 0, l’image est plus petite et renversée • Si 𝛾! < −1, l’image est renversée et agrandie.

Le grandissement permet de calculer directement la taille finale de l’image en connaissant la taille de l’objet et les différentes positions des images et objet. En général, les positions se déduisent de l’application des relations de conjugaisons.

2.2 Relations de conjugaison et grandissement La formule de conjugaison est la relation qui relie la position d’un point objet A de l’axe optique avec la position du point image A’ sur l’axe optique. On l’obtient rigoureusement à l’aide des lois de Descartes, mais on peut l’obtenir à l’aide de considérations géométriques. Pour cela nous allons calculer le grandissement transversal de deux manières différentes. Considérons la construction géométrique ci-dessous réalisée avec une lentille convergente.

𝑂 est le centre optique de la lentille, 𝐹 son foyer principal objet et 𝐹’ son foyer principal image.

⇒ En utilisant le théorème de Thalès, donner 3 expressions différentes du grandissement transversal 𝛾! =

!!!!

!". Bien noter que ces relations font intervenir des mesures algébriques ! Pensez à orienter les

axes et à vérifier éventuellement la cohérence des résultats obtenus en regardant le signe de ces mesures algébriques.

On pose 𝑓! = 𝑂𝐹! ; on rappelle que 𝑂𝐹 = −𝑂𝐹! pour une lentille mince placée dans l’air.

⇒ En déduire la relation de conjugaison de Newton (avec origines aux foyers) : 𝐹𝐴.𝐹!𝐴! = −𝑓!".

On peut aussi préférer une relation qui exprime les positions de l’image et de l’objet par rapport au centre. Partant de la relation précédente on peut écrire

(𝐹𝑂 + 𝑂𝐴). (𝐹!𝑂 + 𝑂𝐴!) = −𝑓!"

⇒ En développant et en divisant par 𝑓!.𝑂𝐴 .𝑂𝐴!, montrer que l’on obtient une deuxième relation de conjugaison dite de Descartes avec origine au centre optique O sous la forme :

1𝑂𝐴!

−1𝑂𝐴

= 1𝑓!

Rq : Cette relation suppose vérifiée l’égalité 𝑂𝐹 = −𝑂𝐹!.

Remarque : Les relations obtenues sont valables que la lentille mince soit convergente ou divergente.

Quelles relations choisir ? Cela dépend des données de l’énoncé ou du résultat cherché :

• données par rapport au centre ⇒ Descartes

• données par rapport aux foyers ⇒ Newton

Les formules de Newton permettent souvent de conclure plus rapidement.

Exemple : Une loupe est constituée d’une lentille convergente de focale 𝑓 ′ = 5 𝑐𝑚. On observe un objet réel étendu de 1 𝑐𝑚 situé à 3 𝑐𝑚 de la lentille.

⇒ Faire une construction à l’échelle. Déterminer graphiquement la position de l’image, sa taille et sa nature.

⇒ Retrouver la position et la taille de l’image par le calcul.

2.3 Condition d’obtention d’une image réelle à partir d’un objet réel Les constructions géométriques précédentes montrent que l’obtention d’une image réelle à partir d’un objet réel n’est possible qu’avec une lentille convergente.

Notons 𝐷 = 𝐴𝐴! la distance algébrique supposée fixée entre l’objet et l’écran sur lequel on observe l’image. Cherchons les positions de la lentille convergente qui conjuguent l’objet et l’écran.

Notons 𝑥 = 𝑂𝐴 la distance algébrique lentille- objet correspondant à l’une de ces positions et 𝑓! la distance focale image de la lentille.

⇒ Montrer en utilisant la relation de conjugaison de Descartes que pour que des positions de lentille conjuguant l’objet et l’écran existent, il faut alors nécessairement une distance objet–écran supérieure à 4 fois la distance focale de la lentille.

On retiendra : Pour obtenir avec une lentille convergente de distance focale f′, une image réelle d’un objet réel, il faut placer l’écran à une distance D de l’objet quatre fois supérieure à la distance focale :

𝐷 ≥ 4𝑓!

Ce critère est essentiel pour choisir la lentille adaptée à l’encombrement du montage.

TD lentilles minces 2 Exercice 1 :

Un objet 𝐴𝐵 de 0,5 𝑐𝑚 est placé 30 𝑐𝑚 devant une lentille convergente de focale 𝑓! = 20 𝑐𝑚 ,

perpendiculairement à son axe.

1) Faire un schéma à l’échelle 1/10e horizontalement. 2) Déterminer la position, la nature et la taille de l’image en utilisant les formules de Descartes.

3) Retrouver les résultats en utilisant les formules de Newton.

Exercice 2 :

La Lune est vue sous un diamètre angulaire 𝛼 = 31′ (minutes d’arc).

1) Convertir cet angle en radians.

On en fait l’image sur un écran d’une simple lentille convergente de distance focale 𝑓′ = 50 𝑐𝑚.

2) Où placer l’écran et quel est le diamètre de l’image ?

Exercice 3 : L’objectif d’un appareil photographique est assimilé à une lentille mince convergente de distance focale 𝑓′ = 50 𝑚𝑚. La distance d entre la lentille et la pellicule où se forme l’image est variable pour permettre la mise au point. On désire photographier des objets dont la distance à la lentille varie entre 𝐷 = 0, 60 𝑚 et 𝐷 → ∞. 1) À quelle distance de l’objectif doit se trouver la pellicule pour prendre une photo d’un objet situé à l’infini ?

2) De combien et dans quel sens doit-on déplacer la pellicule pour prendre une photo d’un objet situé à la distance minimale 𝐷 = 0, 60 𝑚 ?

Exercice 4 :

Où se trouve la lentille divergente ? Justifier par une construction graphique illustrant les deux situations présentées.