enveloppes minces

8/17/2019 Enveloppes Minces

1/13

-16 ~

C h a p i t r a i ?

C O U C H E S cniax.1}: u j ^ G C U ; Ï i^ - cw:: ; ;„ ;. : > . ; . ?cac2; ST/ZJZS

I?

~

1 ̂ r̂ô GgMEMIg *

Nous étudions dans ce chapitre les

enveloppes

minces,

les

enveloppes

épûiaocB

soumises à des pressions intérieures et extérieures, les disques en rota-

tion d'épaisseur

constante

ou noii *

Schématisons

l e problème : -

Les forces étant radiales ot

uniformément réparties,

les contraintes

ot

les déformations sont

•symétrig.uog

par rapport à 0 »

En

particulier, il y a

symétrie par rapport à un diamètre quelconque D *

IT«

1 * î

-

St̂ ^

des

.coni;raintes ~

Considérons un point P du tube ou du disque et définissons un sys-

tème

d

axes rectangulaires

P r t z de la

façon suivante

;

Pr , rayon OP de la section droite passent par P

Pt , tangente

en au

cerclo

(

0,

OP)

Pz

f

parallèle à l

f

a^:e do révolution du corps

[M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.


2/13

1 - On admet

que

la

direction

Pz est

principale

des contraintes » . La

contrainte

principale

N

est

telle

que

:

/

N

; £ 0 tub©

\

H • .s

0

disque

~~>

PS

étant principale, les contraintes relatives aux facettes ( P

,

t ) et

( P

,

r ) sont dans le plan P r

t

»

r : < L X

_

^ _

./ » 2 -

Etudions

J Z Î

v

• * • * » >

* -

P © s t normale

à la

facette

par

symétrie

* G

1

est donc

une

contrainte

u

principale H

et

P

est

ime

direction

principale

u îï

- H ne dépend que de 0 P = = r

t »

3

-

P et P, étant deux directions principales, Pr est la 5° direction prin-

Si w

•

cipalo *

La contrainte principale

N

dépend

de r *



3/13

~

l

6

~

I?* 1 * 2 - Etude des déformations. —

1 - OP = r devient

QP

f

« r *

u

OP

4

» r

4 -

d r devient

du

OP

f

,

=

r +

dr *

u +

~^-~

dr

1

dp

L'allongement relatif

do

PP, ,

est

donc

i

£

r

- — |

( i

)

dr

2

- » la

longueur

do la

circonférence

( 0, QP ) est 2 fj r ?

après déformation ,

elle

est 2 { 1

(

r

- f

u )

?

1

T

allongement

relatif

dans

la direction

tangenie

le e s t donc

t _^ _ _

^

f

r̂ rirn

r

T

3 -On adopte les hypothèses

suivantes

pour

l'allongeront

relatif

dans

la

direc-

tion

des

génératrices

*

£ =

a

= été

"tube

/ ~ \

_JB

——

3 /

£^

-: ^

C te disque

IV

̂2 - I3TVEI£P^HIHC^

.

C

f

est un tube dont 1

épaisseur est petite vis à vis du diamètre

intérieu

Traitons

ccmi:io

exenple

le

cas d'un tû s c n z m •* •

H T » 2.

1 «

Contrainte transversale H.

' ' * C

Hypothèse

- l

f

épaisseur


4/13

. 1 - 19 -

p . d .

^xe i

H

=

( 4

t

2e

'

.

IV «

2*2 -

Contraintelongitudinale s ïï

' ' * • •

J : L : I U

'

««'j'

1

*

1

'-*' *^^

2

i

* Considérons

1

équilibre d e

toute

l a

partie

f • . : , . , . . . . .

- .

>.

/V̂

située à gauche d e l a section droite passant

n K ~ " > t r A

•

P

ar

°

i i

H d .

2

1 __ _

%e ̂-

H

t

Xf

1

d

ie

" '

/W

P

i

d

f

où

p. d.

M ' i

;

H

m

J£™_L.

(

5

)

j^ r _r_vL-

z

4 e

1

A

2

-

L

Y.

2.2

^̂ Faiâ ĝ jB̂ cont î̂ * .Oo&d.^^ * «

L'état de

contrainte

en P est

triaxial (Cf 4 « 1 * l )

Nous connaissons

N,

, (4) et H^ (5) » Quant à I , sa valeur

est - p , . Sur le diamètre intérieur et zéro sur le diamètre extérieur *

Sn général on peut admettre que N est négligeable vis à

vis

de H. et N *

r t z

O n

a donc ; ,

p. d.

/

ÎX

T

_

T V _ 3-g 2-

x

i -

J

t - ~r—

^ e

p. d.

} i« i

»

-J£2_~ï ' - '

^2

fl

a ^

^

4

e

• v

K

3

=

N

r

°

Si on

admet

que le

tube résiste

.lorsque la contrainte

principale

majeure

H

ne dépasse pas la

limite d

1

élasticité

ou la

résistance pratique

en

traction atSi l

l

on tient compte d

T

un coefficient de sécurité, il vient (Cf

cîiap

5

K < R

1


5/13

~ 20 -

Epaisseur de cal cul qu'il faut corriger

en fonction

- de la nature de la

construction

(rivure,

soudure)

- de la corrosion «

Voyons

par exemple coraent il y a lieu de modifier (6)

cpour

tenir compte d*une

rivure

«

Cc^f^i€;ient .dé .rirurt * • > • '

On

considère un petit

élément

obtenu en coupant par l'axe des rivets , soit

d s le

diamètre

des rivets

*

pas

* de la rivure.

Ii'équation

d

1

équilibre

de I?,

2*

1

devient î

p.

â2L

.

d

o<

*

a

m

2

H

x 0 x ( a -

d)

x

â̂ l

X

°

2 2

, „ . .

^ ^

- . , ,

.,

H „

_J£L_-i ̂ ( 4> )

, a -

d\

2

e (

—.

)

d

f

Q ,

« u n ( 5

•s . u ^ . i a n , . ;

est

appelé coĉ icient,. d < ^ rivytre

a ' *

Dana le cas d'une rivuro (6)

prend

la fo rme 5

)

p

e

d

e ss —;u***~ -f 2 à 4

j a m

(corrosion)

f -

\

Application ; Calculer l'épaisseur d

f

un corps de bouilleur dans les conditions

suivantes

i

-

p

abs

» 8 kgp/cm2

R

t

» ôkgp/ia^

d

±-

°'

8m

^ç a o 65 3 K M pour

la

corrosion



6/13

«.

21

~

O n obtient

5 0 = 7 * 3 »

Ktam

IV*

2. 4

.

Variation

de

volume -

Le champ dos contraintes est défini par le groupe du § IV.2*3»

Les allongements principales: sont obtenus

en

appliquant la loi de

Hooke

généralisée ( 111.3*3)

f

£

t

• £ • t •

-7

[

H

t - v

*

]

|£a- &. •-7 JA -V »

t

l

Par

conséqtient,

la

génératrice

de

longiioiir

h devient

. h (i+L.)

La

longueur de la circonférence intérieure rt 4.

*

derient :

i ̂

<

+

^ - t

w

Le volime du cylindre V

«

—~x h devient :

2

4

r i

*

2

( 1 4 - e j

v «

l

J^

-L

x

ï i ( 1 +

l

a

)

d'où l'augaentation relative

de

volume

^̂ 11

= 1 '+

2

C

"

:

Y » * .

r?

« 2

.

5 - Argiea u en rotation —

Applique

la

foraule (4)

ou

p. est

la

force

de.

masse

par

unité

« L v x

de

surface,

soit

:

2

n

- re^V

̂

a,

/2

.

P

ie

-

̂^

d'où

:

,2

2 2

=

P^ ̂V.

f

eo

r

)

*

4^

l

ou :

N, = » ' . P

T

2

v

'

viti;

-

s

- li---.'.i»3



7/13

IY

3

MgELQPP]̂ ^ EPAISSÊ ^

1^ » 3» 1

~

Hise_

^̂ é̂ m̂ ^

rit

dî

jgi^].èBe

Dans les enveloppes épaisaea on no peut plus

considérer

les contraintes ïï

et

c

K

constantes dans l

1

épaisseur de la paroi

Isolons un petit élément

a a

1

b

b

r

d

f

ouverture

d

c

^

et de

largeur unité et cherchons 1

équation

rn

. . d

f

éffiiilffire

—

La somae algébrique de la projection des forces sur

l'aze

de

l'élément

est

nulle

N » r do£ « » force appliquée sur la paroi interne de l'élément »

(H

- f ^-«

3?

, dr ) ( r - f

dr

)d

< « £ •

1

=

force

appliquée

sur la

paroi

externe

2 de l'élément »

do/

2

1,

t

d r * 1 * ...L̂ X̂ s = s

force

appliquée sur

les

parois

2 latérales «

D'où l

1

équation

̂M

N

» r d

c


8/13

a M

Soit

N.

- I - r —-£- = 0

I

r d

*

R

jLP.a r.

::

.

r

;i u

e

* *

Pour les enveloppes minces, nous écrirons

H

r

- -

P

ie

d

intérieur

r = ——~—«,——~

2

d H. ~£v A

»

r

«

P

ie

d

£? e

r

r i *

£•

d'où l'équation

I, + p. - -i- x ~Ï2~

= 0

t i* 2 •

e

f

comparable

si p. est négligeable

devant

les autres termes avec (4:) de

I \ T * 2 ^ 4 *

xe

11

faut joindre à l'équation d'équilibre ( 7 ) , les relations entre contraintes

et défortiations .

Utilisons las foraules de LâliE ( 1 0 )

III,J.3

.

\

.. Xe

+2/-i-e

r

<

i

t

- X a +

/4

l

t

i

z

« X e

+ /

,

£

z

\

L^s

$_ , Ç ,

*

C sont donnes

par les

formules

(l), (2)

?

- (3) de 17*1,2 »

j» ^̂'t ^*- Z

Ces allongements ont pour valeurs :

C

du r u /^ r « ,

î^ « «±u

v =2 ̂ *

^- gs. - a -

Cte

r

,

^-t ^̂ r

êr r

S'étant fonction que de u en portant ïï ,

H

dans ( 7 ) nous obtenons une

r

* u

équation différentielle

en u i

Après

calculs, il vient

:

d

ji... +J.. *L

-

ĝ

» 0 (8)

d

2 r dr r

r .



9/13

- 24 -

17.,

3» 2 - FQBH^g^DE_LAMg^«

- On peut

écrire

(8)

sous

la

forme

.:

d

f

1

à

N

1

n

~Ji~ — ~ ~~ ( r

u

) =

0

dr L

r

dr

- J

Intégrons une lèro fois :

L

JL.

r u . ) -

r d r

4

d

(

ru) _

„

~- U.

4»

dr

1

Intégrons

une

2èiae

fois

:

d

,

où

L.»

s

.̂

+

l£

(

9 )

1

2 r

Cette valeur do u

permet

de calculer .N , • ï^. N

g

, en fonction de r ,

C et C p . - En

effet

î

.„ ô = ^ _

+

f

" — r

*•--t "̂Z

C

1

C

2

°1

G

2/

«

J_ ̂ +J_ + + a

2

/&

2

/2

/£

/r

| 0 ̂ 0

+

a

D'où

l'osiorassion

dos contraintes

H

r

= A ( c

r

+

a )

+ 2 ̂ ( L

.J.)

r

N

t

= )( C

1

4 - a ) +

2yU

(2l. + -̂)

Hz

-

A

(c,

+-A.)

4 -

^y^<

cv

En faisant

xm changement do

variable,

il

vient

:

~i .

A

-~4

r

r

2

I

t

A

.

+

-f- 10)

r

'

H

«

G

:

2



10/13

«25

-

Détenainatiga

de A .B

8

G ;

.

1) \

S8

'

r

p

1

r- fc j

d'où - p = A

-.

JL (a)

R

2

R

1

2)\ -

-p

2

r.E

2

- B U

«

A -

i-

(b)

K

\ F

3}

G

«

—

P

étant

la

force

longi-

• S

tudinale

dans le tufce

et S sa

section droite

*

1

1

1

lous poserons

«-*^

= h ^ v « — * » h ~-* «

h

r 2 2

^

̂ ^

(a) .>

f -

PI

= A - B

h

1

(b) j > j - P

2

«

A - B h

2

(a)

- (b) ^

>

-

PI

+ p

2

« B (

hg

- 1̂ )

- >

d'où

B

=

~i

Z~~

h

l

h

2

et -p

t

b

2

+ p

2

̂ =

A ( ̂

-h

2

)

A

_ P i

\ P

2

h

1

h

1 ^



11/13

Porter en absisses 11 »

* *~ ,

en ordonnées les

contraintes

N ,

N.

% Dans

2

r

ce

système

d

f

a}ces

, r N et

H

sont représentés

par

des droites *

.Chorcitoris

deux

points

de la

droite représentative

de

H

»

Nous savons

que

pour

k

» ît

t

_v H

r

« -

P

1

y point

E

&

*

fcg

>

»

r

« -P

2

'

^_

v

point F

E F

représente

la

variation

de I en

fonction

de h

*

r

Pour obtenir

^, , remarquons que N.

»

H quand

h « 0

j c

l

est

le

point

A

•

t

t

r

-26

-,

Formules de LM S :

p h ~ p

h

p

-

p

2

~

N =

-i~=~ ^— L

-

~i~ =-—.

H

r

h

1 -

h

2

h

1 - ̂ ;

(

10')

p h

2

- p

h

p -

p

»

...'....

^

:


12/13

P j -̂ , h

2

Nous avons -~» = -~-~

d'on

x ~ —

z h

2

Ix,

-J^

j> s-

Cr la

contrainte N. nax

est égale à If,

nax

= 2 x

4 - p,

;

soit

t /

i » i

h

0

P

1

(ho + ̂

)

t

=

2

^ ,

—•̂ * P , - - -5—i

h

l

~

"2

h,

-

l^

La

condition

de résistance

o s b

s

ï ï

t <

R

t

d'où

PI

( h

2

+ h

1

)

<

R

t

(̂ - h

2

)

h

2

(

PÎ

- R

t

) <

'̂

( R

t

-

l

)

-27-

La p o n - c o de la

droite

H étanb opposée à cello de

î l

, la

construction

s'en

t «

r

déduit aiséncnt «

^̂

5

*

4

- gÂ ÎCULIER̂ p

1

̂ J>__P

2

Raisonnons stir l

époro

î

p -

étant très grande

par

rapport

à Pp , on pout

négliger p

* La

plus

gronde

contrainte principale

ose

alors H. poior h

~

h, *



13/13

28

-

1

R

R

4 ~

P

R

0 t / ÏL- P

cô o h

= L _>

J_

)

/

JLJL_> «L

>

\/JL_A.

R

2 R

2 \-

P

2

R

1

^

R

t ~

p

l

o

= Sp

~ ^

nous

âonno

/"

a. + p ' -,

« > M v^-^

1

-

i

\ -

» i

On voit donc gu

f

il existe une prussion limite î

* -C

R

t

Poirr

axismontor

cette

pression,

il

faudra .frcttor

lo

tube

*

S é é

enveloppes minces

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