Le problème d’Eshelby (Proc. R. Soc. Lond. A 241 (1957) 376)

Champ de déformation pour une inclusion déformée homogènement ?

F

Déformations internes et externes supplémentaires,- à l’évidence, les déformations externes sont non-uniformes puisque nulles à l’infini

Recherche de la fonction de Green dans le cas d’élasticité anisotrope

Les équations maîtresses

Cas de la ligne de force parallèle à y. Espace direct : le calcul de Stroh.

On injecte dans

non tous nuls , équation du sixième degré à coefficients réels

Six conjugués deux à deux.

On choisit

On obtient :

Phil. M. 3(1958) 625

Cas de la nappe de force parallèle à y. Espace réciproque : les modes propres

On choisit

On réécrit les équations maîtresses

équations de conformité

On injecte les dans et les équations de conformité

où la la loi de Hooke a été utilisée sous la forme suivante

équation du sixième degré à coefficients réels

non tous nuls

Quelques remarques à ce stade :

1)les contraintes et les déplacements décroissent à l’infini : le cristal est un filtre passe-bas qui sélectionne le de plus petite partie imaginaire

2) les polarisations sont également sélectionnées par ce processus sauf cas pathologique où le mode de plus petit n’est pas excité.

Les conditions limites.

Cas du cristal infini.Deux façons d’écrire les conditions limites.

L’une utile pour les calculs dans l’espace direct

L’autre utile pour les calculs dans l’espace réciproque

Cas du cristal semi-infini.On doit ajouter la condition sur la surface « libre »

A ce stade, on a calculé, dans le cas anisotrope,la fonction de Green pour des lignes de force dans l’espace directet pour des nappes de force dans l’espace réciproque.

Pour des objets plus compliqués, on utilise la méthode classique des fonctions de Green, i.e. intégrer le produit de la fonction de Green par la force.

Avec les fonctions de Green de l’espace direct, on peut traiter les fils enterrés de section quelconque.Avec les fonctions de Green de l’espace réciproque, on peut traiter tous les objets enterrés.

La restriction majeure reste sur la forme des interfaces. On a introduit celles-ci au moment du calcul de la fonction de Green,

On ne sait pas traiter les interfaces non-plans, par exemple les fils non-enterrés.

On cherche des solutions du type

qui satisfont les conditions limites.

pour l’espace direct

pour l’espace réciproque

Dans le cas de l’espace réciproque et pour le cristal semi-infini, on trouve

Phys. Rev. 73(2006) 045434

Dans le même esprit Ting introduit des forces  images Pour un calcul dans l’espace direct Q. J. Mech. appl. Math. 45(1992) 119

Cas isotrope

Cristal infini avec

Cristal semi-infini avec forces à la surface

Landau et Lifchitz, Théorie de l’élastcité

Un peu de physique.

1) Eshelby a montré que dans le cas isotrope et pour le cristal infini,des déformations homogènes dans une inclusion ellipsoïdale conduisait à des déformations homogènes après relaxation.

2) Propriétés de symétrie des tenseurs de rang 2Les tenseurs de rang 2 de symétrie cubique sont des scalaires.Une contrainte homogène de symétrie cubique est hydrostatique.

2bis) Une contrainte hydrostatique correspond à des forces extérieures normales à l’interface et de module constant.

3) La fonction de Green enterrée dans le cristal semi-infini décroît avec la profondeur d’enterrement.

3bis) Le résultat d’Eshelby pour les inclusions ellipsoïdales, n’est pas conservépour les inclusions dans un cristal semi-infini.

Discussion

Les approximations faites

a)Elasticité linéaire

b)Elasticité des milieux continus

c)Même constantes élastiques pour l’inclusion et la matrice.

Les questions

1)Validité de a) et de b)Comparaison entre simulations moléculaires et calcul analytique

2) Interactions entre objets ?

Elasticité linéaire

des milieux continus

Simulationsatomistiques

(dynamique moléculaure trempée)

Cu crystal

F

Déplacements F=1.0 Nm -1

x 200

Calcul des déplacements élastiquesO/Cu(101) =0.5

=0.85

Elasticité linéaire anisotrope :comparaison entre ALE et AS,

le cas N/Cu(001).

-0.04

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0 50 100 150 200 250

300 350

Ux *

exp

(z/1

6.5

)

x-28*z

-0.16

-0.12

-0.08

-0.04

0

0.04

Uz * exp(z/21

.7)

uzALE

AS

uxALE

AS

B. Croset et al., PR B 76 (2007) 073405.

=0.44

-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500E(int)meV Eint(Kelvin)

-8

0

2

4

6

8

-2

-4

-6

-150

-100

-50

0

50

100

150

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

E(int)meV

Eint(Kelvin)

-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500-8-6-4-202468E(int)meV Eint(Kelvin)

-150-100-50050100150-1500-1000-500050010001500-8-6-4-202468E(int)meV Eint(Kelvin)

-150

-100

-50

0

50

100

150

-1500-1000-5000

50010001500

Eint(m

eV)

Eint(K

)

1/r3

Elasticité linéaire anisotrope:rôle de l’anisotropie, le cas des faces (001).

Théorème de la divergence

Cas de systèmes biphasés avec contrainte de surface :

les forces sont à la lisière

Symétrie carrée ou ternaire

Les parties de de divergence nulle ne contribuent pas à l’énergie.

Cas anisotrope : deux approximations équivalentes pour les calculs énergétiques

//,0

122

122

///0

0/F

ry

rxbupn

nn

nn

n

21

2134

,0

42relax /)sin(cos

S

n

pn

nn

S

dsdsraFE

I] Pour des calculs d’intégrales le long des lisières

II] Pour des interactions entre quadripoles

Cas du cuivre(très anisotrope

2C44/(C11-C12)=3.2).

Approximation pour p=1

Calcul exact par TF

Utilisation du théorème de la divergence pour des calculs dans l’espace direct