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Laminage à chaud

Théorie du laminagepar Pierre MONTMITONNET

Ingénieur de l’École Centrale de ParisDocteur ès SciencesChargé de Recherche au Centre National de la Recherche Scientifique CNRSResponsable adjoint de groupes de recherches au Centre de Mise en forme des Matériaux(CEMEF) de l’École des Mines de Paris

omme pour la plupart des autres techniques métallurgiques, on a su laminerbien avant que la moindre esquisse de théorie ne vienne expliquer pourquoi

on peut laminer. Il n’en reste pas moins que le laminage a fait et continue defaire l’objet d’un nombre considérable de travaux. Certains visent à une compré-hension plus poussée des phénomènes thermomécaniques du système laminoir-produit ; d’autres s’attachent plus prosaïquement à la solution de problèmes plusimmédiats qui se posent sur la machine. C’est de la convergence des deuxapproches que naissent les progrès réels.

Pourquoi des modèles théoriques ? Pour comprendre comment s’écoule lemétal dans un entrefer qui peut être fort complexe géométriquement parlant.Mais surtout pour prédire l’évolution, durant la déformation, des paramètresimportants pour la qualité du produit, ou pour la conduite du laminoir ; en unmot, être utiles à l’ingénieur pour élaborer le meilleur produit au moindre coût.

1. Généralités................................................................................................. M 7 840 - 21.1 Principales grandeurs à calculer ................................................................ — 21.2 Diversité du laminage à chaud................................................................... — 21.3 Équations à résoudre .................................................................................. — 31.4 Méthodes d’approche ................................................................................. — 4

2. Modèles empiriques ................................................................................ — 52.1 Établissement des modèles ........................................................................ — 52.2 Principaux modèles d’élargissement......................................................... — 52.3 Intérêt et limitations des formules d’élargissement ................................. — 62.4 Autres prédictions géométriques............................................................... — 6

3. Modèles d’effort et de couple .............................................................. — 73.1 Méthode des tranches et méthode de la borne supérieure ..................... — 73.2 Modèle de tranches : calcul de l’effort et du couple................................. — 93.3 Modèle de couple par la MBS .................................................................... — 11

4. Étude critique des résultats.................................................................. — 124.1 Présentation générale ................................................................................. — 124.2 Approche cinématique : méthode des lignes de glissement................... — 124.3 Mesure des contraintes............................................................................... — 134.4 Analyse de différentes opérations de laminage ....................................... — 14

5. Méthode des éléments finis .................................................................. — 165.1 Introduction.................................................................................................. — 165.2 Lois de comportement ................................................................................ — 165.3 Introduction du comportement dans les équations ................................. — 185.4 Approche stationnaire ou instationnaire ................................................... — 185.5 Quelques applications................................................................................. — 18

6. Conclusion ................................................................................................. — 21

Références bibliographiques ......................................................................... — 23

C

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.© Techniques de l’Ingénieur, traité Matériaux métalliques M 7 840 − 1

LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

1. Généralités

1.1 Principales grandeurs à calculer

Sur le plan de la thermomécanique de l’écoulement du métal enlaminage à chaud, les principales grandeurs utiles sont les suivantes.

La géométrie finale du produit : pour ne prendre que l’exemplesimple du laminage à la plate de brames ou de tôles, on observe :

— des défauts géométriques en tête et en pied (langue de chat,queue de poisson, figure 1) qui sont des effets de régime transitoireà l’engagement et au dégagement ;

— un élargissement, a priori inconnu, qui s’accompagne d’uneforme convexe ou concave, mais non rectiligne, de la rive.

Tous ces défauts donnent lieu à des chutes (article Tôlerie fortes[M 7 920] dans ce traité), qui sont autant de coûts supplémentaires.Quant au laminage en cannelures, outre les effets d’extrémités,c’est le problème du remplissage qui est posé, c’est-à-dire de laconformité du produit fini au modèle visé.

Les contraintes développées dans le matériau , qui sontimportantes à plus d’un titre :

— contraintes de contact ; elles donnent, par intégration, lecouple C de laminage (lié à la puissance P des moteurs par la relationP = λC ω, λ > 1 représentant les pertes) et l’effort vertical de sépa-ration F ; ce sont elles qui déterminent la déformation des cages,et surtout la flexion des cylindres, qui elle-même donne le profiltransversal en laminage à la plate ; elles ont aussi leur importancepour l’usure des cylindres ;

— contraintes à cœur ; elles jouent aussi sur la qualité du produit :des contraintes compressives favoriseront la fermeture desporosités ; des contraintes dépressives, au contraire, peuvent ouvrirdes fissures internes ou des criques de surface.

La déformation en chaque point du matériau, qui va définirl’écrouissage du produit et sa structure finale (recristallisation...) ; la

vitesse de déformation joue également un rôle structural parallèle.

La température, qui revêt en laminage à chaud de l’acier uneimportance toute particulière. Conditionnant les structures par demultiples phénomènes métallurgiques, elle doit être maintenue dansun intervalle dépendant de la nuance laminée. Au cours du laminage,elle subit des variations parfois importantes (pouvant atteindre unebaisse de 200 oC en surface sur une seule passe), dues au cumul deplusieurs phénomènes :

— échanges radiatifs (surtout) et convectifs avec le milieuextérieur, éventuellement amplifiés et contrôlés par arrosage ;

— refroidissement de la peau par contact avec les cylindres plusfroids ;

— source interne de chaleur due à la déformation plastique,

donnant une puissance .

Enfin, de la connaissance des paramètres précédemment décrits,on peut tirer d’autres conséquences, telle l’usure des cylindres. La loidite d’Achard spécifie que la vitesse d’usure abrasive (ici expriméeen épaisseur usée e ) vaut :

avec HV dureté Vickers de la peau des cylindres,

ku coefficient d’usure abrasive (il dépend de la nuanced’acier et des conditions de contact : lubrification,calamine...).

Intégrée au long du temps, cette formule permet, si l’onconnaît ku , de savoir au bout de combien de kilomètres de produitles cylindres doivent être changés. Il faut noter que cette analysedevrait intégrer les autres modes d’usure présents en laminage àchaud, essentiellement le faïençage, développement d’un réseau defissures superficielles qui dépend des contraintes thermoélastiquesinduites par les cycles thermiques subis par la peau des cylindres.

Pour utiliser toutes les potentialités de la théorie, un modèlecomplet se composera donc (figure 2) :

— d’un cœur mécanique résolvant les équations de la mécaniquepour un corps plastique (ou plus précisément viscoplastique),donnant le champ de vitesse, la géométrie, les contraintes σ, la

déformation et la vitesse de déformation ;

— de modèles périphériques utilisant les résultats précédents :• résolution de l’équation de la chaleur (donnant la

température T ),• calcul des déformations élastiques des outils (laminoir et

cylindres) à partir des contraintes,• prédiction de l’évolution des paramètres métallurgiques à

partir de .

Ces divers modèles doivent être couplés, puisque :— la température modifie les paramètres rhéologiques décrivant

le comportement de l’acier, donc l’écoulement, les déformations etcontraintes ; il en est de même de l’évolution structurale ;

— la déflexion des outillages modifie les conditions aux limitesgéométriques du problème.

1.2 Diversité du laminage à chaud

Le terme de laminage à chaud des aciers regroupe en fait desopérations si différentes qu’on a peine à admettre qu’il s’agisse dumême procédé.

Figure 1 – Défauts géométriques en laminage à chaud

ε

ε.

W σ0 ε=..

dedt --------- ku

σn vg⋅HV

-------------------=

ε ε.

ε , ε ,T et .

Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.M 7 840 − 2 © Techniques de l’Ingénieur, traité Matériaux métalliques

___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

Diversité des matériaux : acier à haut ou à bas carbone, aciersspéciaux peu ou fortement alliés, aciers inoxydables, autant dematériaux aux propriétés mécaniques très différentes, de structuresvariées et présentant des susceptibilités différentes aux défauts, desurface ou internes.

Infinie diversité des géométries : rapports de dimensions enlaminage à la plate (rapport largeur/épaisseur de l’ordre de 3 ou 4en laminage de brames, atteignant 200 à 400 en sortie de finisseurde train à bande) ; variété des sections en laminage en cannelure,poutrelles, tubes...

Diversité des outils : deux cylindres lisses en laminage à la plate,deux cylindres cannelés pour blooms, billettes ou profilés, deux outrois cylindres pour le laminage des barres, deux ou quatre cylindres(les uns entraînés, les autres fous) pour les poutrelles, deux, trois ouquatre cylindres en forme de tonneau pour le laminage-perçage et lelaminage de tubes...

Diversité des conditions de laminage : vitesse (de moins de 1 m/sjusqu’à 100 m/s), taux de réduction, température, lubrification ounon.

Toutes ces opérations n’ont qu’un seul point en commun :l’entraînement du produit par des outils axisymétriques tournantautour de leur axe, en vue de diminuer la section du produit. Maisles conditions sont suffisamment différentes pour que seules lesméthodes les plus sophistiquées puissent prétendre couvrir tout lechamp du laminage à chaud.

1.3 Équations à résoudre

Elles, par contre, ne changent pas.

1.3.1 Équation d’équilibre

C’est l’équation fondamentale de la dynamique, pour les milieuxcontinus :

(1)

ou, sous la forme équivalente, plus usitée, du principe des puis-sances virtuelles :

(2)

avec S surface,

V volume,

(on a ici négligé forces de masse et d’inertie, comme on le fait leplus souvent dans les problèmes de mise en forme des métaux).

Figure 2 – Enchaînement des différents modèles et de leurs variables

σxx∂x∂

-------------σxy∂y∂

-------------σxz∂z∂

-------------+ + ρ g x γ x – ( ) –=

σ

x

y

∂

x

∂

-------------

σ

yy

∂

y

∂

--------------

σyz∂z∂

-------------+ + ρ g y γ y – ( ) –=

σ

x

z

∂

x

∂

-------------

σ

yz

∂

y

∂

-------------

σzz∂z∂

-------------+ + ρ g z γ z – ( ) –=

∀ v*, Ω

σij ε⋅i, j 1=

3

∑ *ij dV Ω∂

T v⋅ *dS=.


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

Ω est le domaine de l’espace occupé par le produit, de frontièreextérieure ∂Ω, σ et T = σ · n représentent les contraintes réelles, et

cette égalité est vraie pour tout champ v* (dont dérive ), ditvirtuel : il peut être différent du champ de vitesse réel, mais doitvérifier les conditions aux limites en vitesse, et être continûmentdifférentiable. Cette équation exprime que la puissance apportée par

les efforts extérieurs à la surface est égale à la

puissance diss ipée à l ’ in tér ieur par la déformat ion

.

1.3.2 Équations rhéologiques

Relations entre le tenseur des contraintes et ses dérivées, d’une

part, et les tenseurs cinématiques : . Pour un corps viscoplastiqueisotrope, cela se traduira par l’équation entre tenseurs :

(§ 5.2) (3)

1.3.3 Loi de frottement

On appelle ainsi toute relation permettant de calculer τ en fonctiondes paramètres qui la conditionnent (propriétés mécaniques etphysico-chimiques des surfaces des deux corps en présence et dulubrifiant, rugosités, température, pression, vitesses...). En laminage,le frottement joue un rôle particulièrement important : c’est lui quirend possible le laminage en entraînant le produit dans l’emprise(analyse du phénomène au paragraphe 3.2.5). Laminer sansfrottement est impossible, et le frottement requis est d’autant plusfort que l’on vise des réductions importantes sur des produits épaisavec de petits cylindres.

L’effet du frottement sur les champs de vitesse et de contraintespeut être également très marqué ; nous verrons qu’il l’est d’autantplus que le produit est mince (§ 3.2.5) : les phénomènes de surfacejouent d’autant plus que le rapport surface/volume (≈ 1/épaisseur)est grand. Il sera donc essentiel en laminage à froid, moinsfondamental en laminage à chaud.

Dans la suite du texte, nous utiliserons, outre la loi de Tresca(D5) :

— la loi de Coulomb : τ = min (µσn , τmax) ;— la loi dite de Norton : τ = α ||vg ||p ;

avec p paramètre de sensibilité du frottement à la vitesse deglissement.

1.3.4 Équation de la chaleur

(4)

qui exprime que la chaleur créée par la déformation plastique en un point (x, y, z ) de l’espace en est évacuée par le mouvement

du point matériel échauffé et par conduction , le

reste servant à échauffer ce point de l’espace.

1.3.5 Équations du comportementthermoélastique pour les outillages

avec 1 tenseur unité,

α coefficient de dilatation linéaire.

1.3.6 Modèles structuraux divers

Ils expriment l’endommagement, la taille de grain, la probabilitéde criques... en fonction des paramètres d’histoire thermomécaniquevus avant.

1.4 Méthodes d’approche

L’ensemble de ces équations aux dérivées partielles, plus lacomplexité des géométries et des comportements rhéologiques,rendent l’analyse générale extrêmement difficile. Toute l’évolutioninitiale du laminage s’est donc faite par essais et erreurs. Puis, deces essais, on a pensé à tirer des lois empiriques permettant unegénéralisation limitée. Les approches se sont alors diversifiées enfonction de la complexité des problèmes :

— du fait de la difficulté de l’analyse, la géométrie du produit enlaminage à plat a fait l’objet d’essais qui ont conduit à des formulesempiriques, valables dans un certain domaine de conditions delaminage (§ 2) ; ces formules se sont affinées progressivementdepuis les années 30 jusqu’aux années 70 ;

— on a, par contre, assez vite (années 30) su analyser les effortset les couples en laminage à plat à partir de formes simplifiées deséquations du paragraphe 1.3 (méthode des tranches, § 3.1.1) ; dansce domaine se sont donc imposés des modèles plus rationnels, bienque de précision limitée, et restreints aux géométries relativementsimples ;

— la relative simplicité des équations de la thermique lui aégalement permis de faire l’objet assez rapidement de modèles, enparticulier pour le laminage à la plate, et plus spécialement pour lerefroidissement en sortie de train ;

— pour les géométries plus complexes (laminage en cannelure),rien de très rationnel ne s’est dégagé, et on en est resté au stadedes essais dont on tire des règles empiriques de conception decannelure.

Ce n’est que récemment que le développement de la méthode deséléments finis, joint à l’explosion des performances des calculateurs,a permis d’entrevoir pour un futur proche des analyses relativementgénérales du laminage à chaud, incluant, en particulier, descouplages thermiques ou structuraux raisonnablement représen-tatifs de la réalité (§ 5).

Nous allons maintenant passer en revue les apports de cesdifférentes étapes de la réflexion sur la mécanique du laminage. Ilne peut être question de traiter ici de tous les aspects du problème.Nous nous concentrerons sur le calcul de l’écoulement et descontraintes dans le métal ; nous omettrons les effets liés à l’élasticitédes outillages, ou à la thermique hors emprise, malgré la grandeimportance pratique de ces sujets.

ε*.

Ω∂T v⋅ *dS

Ωσij ε⋅

i, j 1=

3

∑ *ij

dV.

ε, ε.

ε , ε , T, structure( )=.

ρc ∂T∂t

---------- vx∂T∂x

---------- vy∂T∂y

---------- vz∂T∂z

----------+ + + λth ∂2T∂x 2

------------ ∂2T∂y 2------------ ∂2T

∂z 2------------+ + =

+W x, y, z( ).

W( ).

vx∂T∂x

---------- ∂2T∂x 2------------

ρc ∂T∂t

----------

σ E1 ν+------------ ε Eν

1 ν+( ) 1 2ν–( )----------------------------------------- εxx εyy εzz+ +( ) Eα

1 2ν–---------------- T T0–( )– 1+=


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

2. Modèles empiriques

2.1 Établissement des modèles

Nous appellerons ainsi toute approche qui ne se fonde pas surune résolution, même sous forme simplifiée, des équations, maissur l’analyse de résultats expérimentaux. Ceux-ci sont soit desrelevés systématiques en production, soit des essais menés spécia-lement en laboratoire pour effectuer des mesures et corréler la gran-deur recherchée (exemple : élargissement en laminage à la plate)aux paramètres de l’opération (exemple : rapport épaisseur/largeur,rayon du cylindre, réduction). Ces campagnes d’essais sont menéessoit sur un acier, soit sur un matériau de simulation (plomb, pâteà modeler). Dans ce dernier cas, il faut bien avoir présent à l’espritque des problèmes de similitude peuvent dégrader la prévisionquantitative [1]. Pour les mêmes raisons, l’extrapolation des résul-tats à des types de laminage autres que ceux sur lesquels ont étéétablies les formules est hasardeuse, comme nous le montreronsau paragraphe 2.3.

Les corrélations prennent l’aspect soit de formules simples, soitd’abaques. On préfèrera toujours ces derniers s’ils existent, carnous avons relevé de très nombreuses erreurs dans les formules,y compris dans les articles originaux.

L’essentiel des modèles empiriques, au sens strict, concerne l’élar-gissement en laminage à plat (brames, tôles ou bandes). La raisonen est simple : comme nous le verrons, on a su très tôt résoudreapproximativement les équations en contraintes et calculer effort etcouple de laminage. Le problème de l’écoulement du métal, donccelui de l’élargissement, est resté rebelle très longtemps, et a doncnécessité ces prévisions empiriques.

2.2 Principaux modèles d’élargissement

Le point de départ est que l’élargissement dépend de :— l’épaisseur initiale h1 ;— la réduction r ;

— la largeur initiale l1 ;— du rayon des cylindres R ;— du frottement.

Ainsi, une brame très épaisse et peu large subira un fortélargissement, et ce d’autant plus que la réduction et le frottementseront élevés.

Ces divers paramètres sont ensuite souvent regroupés au gré del’imagination des auteurs des diverses formules (exemple : la

longueur d’emprise ). Parmi tous les facteurs influentsles auteurs ne gardent que ceux qu’ils jugent les plus importantsdans les conditions qu’ils étudient.

Les résultats sont donnés en termes d’élargissement absolu∆l = l2 – l1 , relatif ∆l /l1 ou encore par le coefficient d’élargissement

, qui exprime le rapport des déformations dans le sens

travers et dans celui de l’épaisseur.

Quelques formules (2), (3), (4) et (5) ont été regroupées dans letableau 1, réinterprétées chacune sous deux formes différentes :

— en fonction de paramètres décrivant la géométrie de l’emprise(largeur initiale l1 , épaisseur initiale h1 , longueur L et réduction r ) ;

— en fonction de grandeurs directement connues du lamineur :l1 , h1 , R (rayon des cylindres) et r.

L’origine expérimentale des formules a été, chaque fois que pos-sible, précisée dans le tableau 2. Il est à noter que certains auteursont ultérieurement tenté d’améliorer, de généraliser leur formule, enintroduisant des paramètres supplémentaires. Par exemple Sparlingcherche à tenir compte de l’état de surface des cylindres en modulantles valeurs de ses cinq constantes (tableau 3) :

(0)

(0)

(0)

L R r h1⋅ ⋅=

Sln l2

l1-------

ln h1

h2---------

-----------------------=

S A exp B l

1 h

1 ---------

C h

1

R ---------

D r E –=

Tableau 1 – Quelques formules empiriques donnant le facteur d’élargissement S

Auteurs formule en formule en

Siebel

Wusatowski

Hill

Sparling

Helmi-Alexander

l1

L------- ,

l1

h1

--------- , rh1

R--------- ,

l1

h1

--------- , r

0,35 l

1 L

------

1

–

r

ln 1

r

–

( ) ------------------------– 0,35 l

1

h

1 ---------

1

– h

1

R ---------

1/2

– r

3/ 2

ln 1

r

–

( ) ------------------------–

exp 1,987 2 l

1 L ------

1,12 –

l

1 h

1

--------- 0,12

r 0,56 – exp 1,987 2 h

1 R ---------

0,56 l

1

h

1 --------- –

12------ exp

12 2 --------------

l

1 L -------–

12--- exp

12 2 --------------

l

1 h 1 --------- h

1

R ---------

0,5 r 0,5 – –

0,981 exp 1,615 l

1 L

------ 1,1

l

1 h

1

--------- 0,2

–

r 0,3 – 0,981 exp 1,615 l

1

h

1 ---------

0,9 h

1

R --------

0,55 r 0,25 – –

0,95 l1h1---------

1,1–exp

12

---------– l

1 L

------ h

1

l

1 --------

0,9710,95 l1

h1---------

1,1–exp

12

---------– h

1

R --------

0,5 l

1

h

1 ---------

0,029 r 0,5 –


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

2.3 Intérêt et limitations des formules d’élargissement

Alexander, pour proposer sa formule, a conduit une campagned’essais importante (240 essais de laminage). On peut voir sur lafigure 3 que sa formule permet un bon ajustement des résultats

expérimentaux dans le domaine et

. Mais les conditions (rayon R = 47,5 mm, vitesse0,15 m/s) sont assez éloignées des conditions usuelles de laminageà chaud ; en particulier, la thermique du procédé, ainsi que le frot-tement, peuvent en être modifiés, ce qui laisse planer un doute surl’utilisation de la formule. Dans une moindre mesure, il en est demême des essais de Sparling (R = 125 mm, ). C’estl’occasion de rappeler que même sur l’acier, les conditions de simi-litude restent un facteur important et délicat de toute approche enlaboratoire.

Quoi qu’il en soit, les formules choisies sont comparées dans letableau 4. On considère la formule d’Alexander comme référence.On notera la grande dispersion des résultats dans chaque case dutableau. Il est également frappant que chaque formule a, par rapportà la référence choisie, un domaine de validité très restreint ; encorela référence elle-même n’est-elle pas exempte de reproches, commenous l’avons vu. (0)

2.4 Autres prédictions géométriques

Il n’existe pas, à notre connaissance, d’autre étude ayant fait l’objetde campagnes d’essais ou de mesure intensive suivies de l’établis-sement de conclusions pratiques à vocation générale, comme lesformules ci-avant. En ce qui concerne la géométrie cependant, onpeut noter quelques tentatives sur la forme optimale de la tête d’unlingot en vue de limiter la mise au mille après blooming, ou encore

une étude de la chute de tête au slabbing en fonction des réductionsde largeur et d’épaisseur effectuées. Ces études, citées parRoberts [6], sont cependant limitées à des tendances, puisque lesauteurs se sont placés dans le cadre d’un produit donné, sans vuegénéralisatrice.

Tableau 2 – Conditions expérimentales des essais à l’origine des formules empiriques (1)

Paramètre Siebel Wusatowski Sparling Alexander

Matériau.................................................. acier bas carbone acier au carbone acier au carbone acier 0,18 % C

Vitesse v ............................................m/s 0,15

Réduction r.........................................(%) 10 < r < 30

Rayon des cylindres R................... (mm) 125 47,5

Largeur initiale l1 ........................... (mm)

Épaisseur initiale h1 ...................... (mm)

Environnement ....................................... Laboratoires(plusieurs auteurs)

Données industrielles diverses Laboratoire Laboratoire

Température .....................................(oC) 700 à 1 200 1 000 à 1 200 1 000

(1) La formule de Hill est purement théorique.

Tableau 3 – Valeurs des paramètres de la loi de Sparling généralisée en fonction des conditions de contact (1)

État du cylindre Type de calamine A B C D E

Lisse calamine mince 0,851 1,766 0,643 0,386 – 0,104

Lisse calamine épaisse 0,955 1,844 0,643 0,386 – 0,104

Rugueux calamine mince 0,993 2,186 0,569 0,402 – 0,123

Rugueux calamine épaisse 0,980 2,105 0,569 0,402 – 0,123

(1) Ces valeurs sont obtenues sur une série d’expériences différentes de celle correspondant au tableau 1. La différence entre les résultats souligne le peu deconfiance que l’on peut avoir dans leur utilisation.

0,4 v 17 0,6

10 r 50 10 r 90 10 r 30

90 R 215 210 R 600

6 l1 200 5 l1 180 33 l1 250 5 l1 80

3,3 h1 61 2 h1 90 12,7 h1 25,4 4,7 h1 12,7

1l1h1--------- 13, 3,75 R

h1--------- 7,5

10 r 30 %

v 0,6 m/s

Tableau 4 – Facteur d’élargissement Spour une réduction de 20 %.

Comparaison des 5 formules du tableau

1

Auteur

h

1

/

R

0,03 0,1 0,3

Wusatowski 1 0,757 0,578 0,363

Sparling 1 0,691 0,497 0,282

Hill 1 0,436 0,389 0,324

Siebel 1 0,810 0,444 0,256

Alexander 1 0,722 0,576 0,400

Wusatowski 4 0,328 0,112 0,017

Sparling 4 0,289 0,092 0,013

Hill 4 0,289 0,184 0,088

Siebel 4 0,203 0,111 0,064

Alexander 4 0,156 0,123 0,084

Wusatowski 10 0,061 0,004 0,000

Sparling 10 0,060 0,004 0,000

Hill 10 0,127 0,041 0,007

Siebel 10 0,081 0,044 0,026

Alexander 10 0,056 0,044 0,030

l1

h1

---------


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

3. Modèles d’effort et de couple

Il s’agit de décrire ici des approches fondées sur des méthodesclassiques de résolution des équations de la plasticité qui, par deshypothèses simplificatrices, permettent de ramener les trèscomplexes équations aux dérivées partielles du paragraphe 1.4 à deséquations beaucoup plus simples, solubles analytiquement ou dumoins à un coût informatique faible. Commençons par décrire laméthode des tranches et celle de la borne supérieure.

3.1 Méthode des trancheset méthode de la borne supérieure

3.1.1 Méthode des tranches

C’est par essence une technique de calcul des contraintes [7](figure

4

). Les hypothèses sont les suivantes, dans le cas du laminage

(article Plasticité en mise en forme [M 590] dans ce traité).

Les axes principaux des contraintes sont les axes privilégiés de lagéométrie de l’opération (O

x

= direction de laminage, O

y

= directiontransversale, O

z

= droite joignant les axes des cylindres). Donc, dansle repère O

xyz

, le tenseur des contraintes s’écrit sous la formesimple :

il n’y a pas de cisaillement interne

.

Il en est de même pour les déformations. On dit qu’« une trancheverticale reste une tranche verticale ».

La déformation est plane, c’est-à-dire que :

il n’y a pas

d’élargissement

. On montre alors que, dans l’approximation rigideplastique :

(5)

Il n’y a donc plus que deux contraintes inconnues,

σ

xx

et

σ

zz

.

Figure 3 – Représentation schématique de la relation de Helmi et Alexander

(tableau

1

)

et confrontation avec l’expérience

[2]

σxx 0 0

0 σyy 0

0 0 σzz=

εyy 0=.

σyy12------ σxx σzz+( )=

Figure 4 – Principe de la méthode des tranches :découpage de l’emprise en tranches verticalesd’épaisseur infinitésimale d

x

et bilan des forces appliquées sur les faces


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

Le comportement est rigide plastique

(pas d’élasticité)

, et régi parle critère de Von Mises (27), qui, moyennant les hypothèses précé-dentes, s’écrit :

(6)

Les contraintes et les déformations sont homogènes en

z

(et en

y

aussi d’ailleurs)

, c’est-à-dire que

σ

xx

et

σ

zz

ne dépendent que de

x

.

On néglige les forces de masse (

g

) et d’inertie

.

Si l’on reporte ces hypothèses dans les équations d’équilibre (1),il reste :

on a manifestement oublié quelque chose, quoi donc ?

L’absence de cisaillement interne ne doit pas nous faire oublierqu’il existe à la surface une force de cisaillement, le

frottement

. Celarevient à dire que

σ

xz

varie, mais discontinûment, avec

z

:

σ

xz

=

τ

(cission de frottement) en

z

=

±

h

/2

et

σ

xz

= 0 pour –

h

/2 <

z

<

h

/2

Cette discontinuité nous force à reprendre l’analyse des équationssous forme intégrée en z. Pour cela, on considère une trancheverticale, où, du fait des hypothèses précédentes, les contraintes sontconstantes. On fait l’inventaire des forces qui lui sont appliquées(figure 4) et, en écrivant l’équation classique F = mγ = 0 pour cettetranche, on obtient une équation d’équilibre simplifiée, qui est uneéquation différentielle ordinaire du premier ordre, dont les coef-ficients sont des fonctions connues de x. La résolution en est facile(méthode de Runge-Kutta le plus souvent : article Méthodes numé-riques de base [A 1 220] dans le traité Sciences fondamentales). Onobtient ainsi une des contraintes σxx ou σzz ; le critère de plasticité (6)permet d’en déduire la seconde, et la relation (5) la troisième.

On obtient enfin l’effort et le couple de laminage par intégration :

(7)

(8)

avec θ angle d’emprise.

3.1.2 Méthode de la borne supérieure (MBS)

Nous partons cette fois non plus des équations d’équilibre sousforme différentielle, mais sous la forme intégrée du principe des puis-sances virtuelles (2). L’introduction du théorème du travailmaximal (7) permet d’écrire le théorème dit de la borne supérieure.

Soit v le champ de vitesse réel et T les contraintes extérieuresappliquées : soit v* un champ de vitesse virtuel dit cinématiquementadmissible et plastiquement admissible, c’est-à-dire vérifiant lesconditions aux limites, continûment différentiable et incompressible

:

c’est-à-dire que le champ de vitesse réel est celui qui dissipe le moinsde puissance dans le champ de contraintes réel. Dans le cas du

laminage, la puissance des efforts extérieurs est évi-

demment égale, puisque la force de séparation F ne travaille pas, à :

F1 et F2 sont les tensions amont et aval et v1 , v2 les vitesses d’entréeet de sortie ;

si, de plus, il n’y a pas de tensions :

Soit, en appliquant le théorème de la borne supérieure :

Bien sûr, on ne connaît pas C* (ou T, les contraintes de contact),mais on sait que :

La méthode de la borne supérieure consiste donc à :— choisir un champ de vitesse v* incompressible et vérifiant les

conditions aux limites : ici, le vecteur vitesse vt d’un point encontact avec le cylindre doit lui être tangent ;

— calculer la puissance dissipée à l’intérieur du matériau ; onmontre qu’il peut exister des discontinuités de vitesse tangentiellele long de certaines lignes ou surfaces (l’interface cylindre-produiten est une) ; l’expression complète de la puissance dissipée s’écritalors :

(9)

où Sd est la surface de discontinuité (discontinuité forcémenttangentielle, avec une vitesse de glissement vt ), ∂Ωc la surface decontact, et où le frottement est exprimé par la loi de Tresca (29) ;

— appliquer le théorème de la borne supérieure :

— en déduire l’estimation du couple , qui est unmajorant du couple réel C.

σxx σzz–23

--------- σ0=

( )

dσxx

dx------------ 0 ou σxx constante==

F 0

L

σzzdx

cos θ-----------------=

C 0

L

τ R dxcos θ-----------------=

∂vx

∂x-----------

∂vy

∂y-----------

∂vz

∂z----------+ + 0= , le métal se déformant à volume constant

∂Ω

T v*⋅ dS ∂Ω

T v⋅ dS

∂ΩT v*⋅ dS

Wext C ω F2v2 F1v1–+=.

Remarques

a ) L’expression mathématique du champ de vitesse choisi peutdépendre de quelques paramètres λ i (exemple : le glissement enavant). On est alors en droit de prendre le plus petit des

majorants C* en cherchant tel que :

∀

ce qui permet d’obtenir une meilleure approximation de C.b ) Rien n’empêche de supposer une composante de v*

correspondant à un écartement des cylindres à une vitesse ve . On

calcule alors une puissance dissipée , qui sera égale,puisque cette fois la force de laminage travaille, à :

et on obtient C* et F * par :

ce qui permet de déterminer également l’effort de laminage,bien qu’il ne travaille pas, au prix d’un effort d’imagination dansla construction du champ de vitesse.

Wext C ω=.

C *ω C ω

C*ω ∂Ω

T v*⋅ dS Ω

σij ε⋅i, j 1=

3

∑ *ij

dV Cω= =.

Wint Ω

σ0 ε⋅ dV Sd

σ0

3--------- v *

tdS

Ω∂ c

m σ0

3--------------- v *g dS+ +=

. .

C*ω ∂Ω

T v*⋅ dS Wext Wint C ω= = =. .

C *Wint

ω-----------=

.

C *min

i , C*∂λi∂

------------ 0=

W ve( ).

W ve( ) C * ω F * ve+=.

C*W ve 0=( )

ω----------------------------- F *

W ve( )∂ve∂

--------------------- ve 0===

. .


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

3.2 Modèle de tranches :calcul de l’effort et du couple

3.2.1 Notion de point neutre et de zone neutre

Dans la pratique usuelle, le produit entre dans l’emprise à unevitesse v1 inférieure à la vitesse périphérique linéaire des cylindres(vc = ωR ), et en sort à v2 >vc . Cela évite le patinage. On définit ainsile glissement en avant :

Cela a, sur le plan mécanique, une conséquence importante. Prèsde l’entrée d’emprise, le produit avance moins vite que les cylindres.Le frottement tend à l’entraîner vers l’aval : on dit qu’il est moteur.Mais près de la sortie, c’est le produit qui se met à aller plus vite.Il est donc freiné par le cylindre (frottement résistant). Il y a doncchangement du signe de τ.

Dans le cas des géométries très minces (laminage à froid parexemple), la vitesse est constante par tranche d’abscisse x. Enécrivant l’incompressibilité de la déformation plastique (c’est-à-direla constance du débit volumique) :

v1 h1 = vc hc = v2 h2

on définit une épaisseur hc , qui correspond à un point C appelépoint neutre, où la vitesse du produit égale celle du cylindre et où τchange de signe.

En fait, dans le cas des produits épais, on peut imaginer unesituation où une zone à glissement nul (v = vc), d’extension non nulle,occupe une partie de l’emprise. Par analogie, on l’appellera zoneneutre. Nous en verrons une schématisation au paragraphe 3.3.

Dans cette approche par la méthode des tranches, nous nousplacerons dans le cadre de la première hypothèse (point neutre etnon pas zone neutre).

3.2.2 Mise en équations

La figure 4 représente les différentes forces agissant sur unetranche de métal. L’équilibre de la tranche [x, x + dx ] donne, en pro-jection sur l’axe Ox :

et, si l’on fait l’hypothèse d’un frottement de Coulomb (|τ | = µ |σn |,τ > 0 et σn > 0) avec µ facteur de frottement (rapport de la force defrottement à la force normale) :

En projection verticale, l’équilibre sur une demi-tranche s’écrit :

Le critère de plasticité (6) permet d’écrire, nous l’avons vu, que :

Finalement, l’équation d’équilibre s’écrit (avant le point neutre) :

(10)

Après le point neutre, τ change de signe. On vérifiera sans peineque :

(11)

avec h = h 2 + 2R (1 – cos θ ).

Il convient d’ajouter à cette équation d’équilibre ses conditionsaux limites :

avec F1 et F2 forces de tension amont et aval,

S1 et S2 aires des sections d’entrée et de sortie du produit.

3.2.3 Résolution simple : cas des petits angles

L’angle d’attaque est en général assez petit ; c’est

toujours le cas en laminage à froid, c’est moins vrai en laminage àchaud ; mais cette hypothèse est néanmoins souvent faite, du faitde la considérable simplification qu’elle introduit. On va exprimerl’équation (10) en fonction de la variable angulaire θ. Comme α estpetit et que θ < α :

et donc h = h2 + R θ 2.

Il est alors aisé de montrer [7] que :

qui s’intègre immédiatement en :

(12)

avec B constante d’intégration.

Or à l’entrée :

et en sortie :

T1 et T2 représentant les contraintes de tension amont et aval.

On peut donc tracer, en tenant compte des conditions aux limites(figure 5), les deux courbes :

Gv2 vc–

vc-----------------=

d h x( ) σxx[ ] 2 σnsin θ τ cos θ–( ) dxcosθ----------------=

d hσxx( )dx

------------------------ 2 σn tan θ µ–( )=

σn σ

zz 1 µ tan θ

+--------------------------------–=

σzz σxx2σ0

3------------–=

d hσxx( )dx

------------------------ 2 σ xx 2

σ

0

3 ------------– tan θ µ

–

1 µ

tan θ

+-------------------------------–=

d hσxx( )dx

------------------------ 2 σ xx 2

σ

0

3 ------------–

tan θ µ

+

1 µ

tan θ

–-------------------------------–=

σxxF1

S1-------- en entrée et σxx

F2

S2-------= en sortie=

α ∆hR

----------≈

tan θ sin θ θ ; cos θ 1≈ ; 1 cos θ–θ 2

2--------≈≈ ≈

ddθ----------

σzz

2σ0 / 3----------------------σzz

2σ0 / 3----------------------

------------------------------------------ 2 R θ µ ±( ) – h

2

R

θ 2+

-----------------------------------=

σzz

2σ0

3-------------

------------- B – hR

------ exp ± 2 µ Rh

2

------ arctan θ Rh

2

--------- =

σzz σxx2σ0

3------------–

F1

S1------

2σ0

3------------– T1

2σ0

3------------–= = =

σzzF2

S2---------

2σ0

3------------– T2

2σ0

3------------–= =

σ zz–

2

σ

0 3

------------– hh

1 --------- 1

T

1 2

σ

0

3

------------

------------– =

exp 2

µ

Rh

2

---------

arctan – Rh

2

--------- θ arctan Rh

2

--------- α +

σ zz+

2

σ

0 3 ------------– h

h

2 --------- 1

T

2 2

σ 0

3

---------------

---------------– exp 2 µ Rh

2

--------- arctan Rh

2

--------- θ =


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

Leur intersection est le point neutre, donné par

θ

N

tel que :

La courbe est appelée

colline de

frottement

. L’aire sous-tendue par cette courbe est l’effort delaminage. La courbe de cission s’en déduit simplement par

(dans l’hypothèse des petits angles,

σ

zz

≈

σ

n

). Enfin, le couple est, à

R

près, l’aire sous-tendue par lacourbe

τ

(

x

). Cette aire est donc la différence entre deux contribu-tions, positive avant et négative après le point neutre.

3.2.4 Influence des tensions

La figure

5, montre l’effet des tensions. Une tension amont abaissela courbe ; en conséquence :

— le point neutre se déplace vers la sortie ; une contre-tractionexcessive peut donc conduire au patinage, quand θN devient égalà 0 (point neutre en sortie, ou même virtuel, après la sortie) ;

— l’effort diminue ;— le couple augmente, puisque la contribution négative (après

le point neutre) diminue.

L’inverse se produit pour une traction aval ; le point neutre sedéplace vers l’entrée, l’effort et le couple de laminage diminuent.

3.2.5 Effets du frottement

Les pentes de la colline de frottement augmentent avec lefrottement, et ce d’autant plus que le produit est plus mince ; en effet,reprenons la formule (12) :

Le facteur est donc capital pour le caractère plus ou moins

« pointu » de la colline de frottement.

Un autre point important vient de ce qu’en laminage c’est lefrottement qui entraîne le produit dans l’emprise. Pour que le produits’engage, il faut que la résultante des forces qui lui sont appliquéessoit dirigée vers l’aval. Considérons (figure 4) la tranche située enentrée (angle α ) : elle est soumise à σn et τ. En projection sur l’axeOx (direction de laminage), la condition d’engagement s’écrit :

(13)

Comme , elle est d’autant plus contraignante que

la prise de fer ∆h est plus grande et que les cylindres sont petits.

Une fois le produit engagé, on estime que la condition denon-patinage est :

condition moins difficile à réaliser.

3.2.6 Influence du rayon du cylindre

L’effort augmente rapidement avec le rayon du cylindre (figure 7).En effet, la pente de la colline de frottement augmente comme L,c’est-à-dire comme , de même que la longueur L sur laquelle ilfaut intégrer les contraintes. On aurait donc intérêt à laminer avecde petits cylindres. Mais :

— l’angle d’attaque serait alors très grand en laminage

à chaud de produits épais ; il y aurait refus d’engagement etpatinage ;

— les déflexions élastiques du cylindre qui conditionnent la tenuedes tolérances géométriques (profil et planéité pour les tôles et lesbandes) seraient inacceptables.

D’où le compromis consistant à laminer avec des cylindres detravail de taille juste suffisante pour un bon engagement, que l’onrenforce par des cylindres d’appui de plus grande taille pour limiterles flexions élastiques.

3.2.7 Déformation

Par hypothèse, la déformation est homogène dans une tranche

verticale et vaut .

Figure 5 – Influence des tensions de laminage sur le profilde contrainte normale (colline de frottement )

2 Rh2--------- arctan R

h2--------- θN R

h2--------- arctan R

h2--------- α=

1

2 µ ---------- ln

h

1 h

2

---------

1

T

2

2

σ

0

/ 3

----------------------–

1

T

1

2

σ

0

/ 3

------------------------–

--------------------------------- –

σzz σzz min σ zz– , σ zz

+ ( ) = [ ]

τ ± min µσ zz , σ

0 3

---------- =

σ zz–

2 µ Rh2--------- arctan R

h2--------- θ 2 µ R

h2--------- arctan R

h2--------- α≈

2≈ µ Rh2--------- R

h2--------- ∆h

R---------⋅ ⋅ 2µ R ∆h

h2------------------- 2µ L

h2---------≈ ≈

Lh2---------

τ cos α σn sin α+ 0 ou µ τσn---------- tan α=

tan α ∆hR

-----------≈

µ 12----- tan α

R

α ∆hR

-----------=

ε x( ) 23

--------- lnh1

h x( )--------------

=


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

3.2.8 Modèle de Sims

En laminage à froid, domaine d’élection de la méthode destranches, des résolutions plus sophistiquées sont utilisées (levée del’hypothèse des petits angles [8], prise en compte des déformationsde cylindres [9]). Dans le cadre du laminage à chaud, un modèle trèsutilisé est celui de Sims, qui, outre l’hypothèse des petits angles,

suppose aussi un frottement maximal . On trouvera dans

l’ouvrage de Roberts [6] un système complet d’abaques permettantde calculer l’effort et le couple par ce modèle.

3.3 Modèle de couple par la MBS

3.3.1 Modèle de base

Le mode d’écoulement est représenté sur la figure

6

. Le matériauest divisé en trois zones [10] :

— dans le bloc

➀

, le matériau est rigide et a pour vitessela vitesse d’entrée ;

— il en est de même dans le bloc

➂

(vitesse de sortie) ;— dans le bloc

➁

, le matériau est aussi rigide, mais le vecteurvitesse correspond à une rotation dont l’axe est celui des cylindres,et de vitesse égale à celle des cylindres.

Donc, dans les trois blocs. Ce modèle revient à concentrertoute la déformation dans les deux lignes (C1) et (C2), que l’on montreêtre des arcs de cercle. Par construction géométrique, le champ devitesse ainsi mis au point se trouve dépendre d’un paramètre, parexemple l’ordonnée

y

1

du centre de (C1), puisque

r

1

,

r

2

,

y

1

et

y

2

sont reliés par les relations géométriques suivantes (figure

6

) :

y

2

+

r

2

=

h

2

Puisqu’il n’y a ni , ni vitesse de glissement au contact produit-cylindre, il ne reste dans l’expression de la puissance dissipéequ’un terme :

Il ne reste qu’à calculer le vecteur tangent

t

, à y projeter

v

1

et

v

2

pour obtenir

v

t

et l’intégrer le long de

S

d

. En divisant par

ω

, ontrouve alors le couple :

(14)

Tout peut donc s’exprimer en fonction de

y

1

seul. Il reste alors àminimiser

C

par rapport à

y

1

, et à reporter la valeur correspondantede

y

1

dans (14) pour obtenir le couple [remarque

a

) § 3.1.2].

On notera que cette formule ne fait pas intervenir le frottement :il existe, mais ne travaille pas puisqu’il n’y a pas glissement. Celane sera réaliste que dans le cas de produits

épais

(au sens que l’ondonnera à ce terme au paragraphe 4.3).

La figure

7

montre, à titre d’illustration, l’évolution du couple avecla réduction pour le laminage de brames sous diverses géométries.

3.3.2 Extensions de la méthode

3.3.2.1 Amélioration du champ de vitesse

On peut améliorer légèrement les résultats en supposant que larotation du bloc

➁

limité par (C1) et (C2) ne se fait pas à vitesseangulaire constante

ω

=

ω

0

= vitesse angulaire du cylindre, maisavec un

ω

dépendant de la distance

d

du point considéré au centredu cylindre [11] :

ω

1

est un paramètre supplémentaire de l’écoulement.

Figure 6 – Géométrie de l’écoulementdans la méthode de la borne supérieure par blocs rigides

τσ0

3---------=

ε 0=( ).

ε 0=.

r 12 y 1

2– r 2

2 y 22

–=

R 2 R h2 h1–+( )2– r 12 h1 y1–( )2–=

Figure 7 – Influence du rayon du cylindre

R

et de l’épaisseur initiale

h

1

sur le couple de laminage déterminé par l’équation (14)

ε.

Wint Sd

σ0

3--------- v*

t dS=.

Cσ0

3--------- r 1

2 arcsin h1 y1–

r1------------------ arcsin y1

r1-------+=

+r 22 π

2------ arcsin y2

r2------+

ω ω 0d R–

R--------------- ω1+=


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

Les courbes (C1) et (C2) ne sont alors plus des cercles, maispeuvent se calculer en exprimant la continuité de la vitesse nor-male [v1(x ) · n (x ) = v2 (x ) · n (x ), x étant le vecteur position d’unpoint de la courbe où la normale est n ; v1 et v2 sont les vecteursvitesse en ce point, vus des deux blocs adjacents].

Les formules se compliquent, et le couple ne peut plus s’exprimeranalytiquement. La puissance (ou le couple) dépend maintenant dedeux paramètres (par exemple l’abscisse du point d’intersectionsur Ox de (C1) et (C2), et ω1). Le minimum sera donc plus bas queprécédemment, et on a un majorant plus proche de la valeur réelle(tableau 5). (0)

3.3.2.2 Calcul de l’élargissement par la MBS

Cette fois-ci, le champ de vitesse va se compliquer considéra-blement, puisqu’il faut introduire une composante vy pour obtenirl’élargissement, tout en respectant l’incompressibilité et lesconditions aux limites. Un choix possible est [12] :

(15)

dont on vér ifiera a isément qu ’ i l es t incompress ib le

.

Le choix de l’évolution de la largeur l (x ) est capital. Kobayashi [12]choisit :

(16)

les inconnues sont l’élargissement total (∆l ) et la pente en entrée

d’emprise α. Il faut y ajouter v1 (vitesse d’entrée) ou, ce qui est équi-valent, la position du point neutre.

Il faut noter que la formule (15) donne pour vy un élargissementindépendant de z, donc sans bombé (bord vertical rectiligne).

On calcule la puissance dissipée par ce champ et on la minimisepar rapport à α, ∆l et v1 . Les valeurs de α et ∆l à l’optimum sontreportées dans l’équation (16) et donnent l’évolution de la largeursous emprise.

L’élargissement total ∆l est donné figure 8. La comparaison avecune courbe expérimentale lissée montre que, malgré la relativesophistication du modèle, il reste des progrès à faire.

4. Étude critique des résultats

4.1 Présentation générale

Les modèles précédents font appel à des méthodes de résolutionapprochées. Il reste à savoir le degré de précision que l’on peut enattendre ou, plus exactement, à déterminer dans quels cas l’utilisa-tion de l’une ou de l’autre technique est justifiée. Pour cela, nousallons nous appuyer sur deux méthodes de référence.

La première est une analyse des résultats de la méthode deslignes de glissement [7]. Il s’agit d’une résolution exacte des équa-tions de la plasticité, moyennant quelques hypothèses fortes : défor-mation plane, comportement rigide-plastique sans écrouissage ;

dans les exemples qui suivent, le frottement maximal , ou

est supposé régner dans l’emprise. Cette méthode nous

renseignera sur les diverses manières dont la matière s’écoule enfonction de la géométrie de l’emprise.

La deuxième approche s’intéresse aux contraintes, et ce par lebiais de l’expérience.

Ces mesures, si elles ne sont pas sans reproche, sont richesd’enseignements sur la mécanique du laminage, et nous permettrontde nous faire une idée de la validité des modèles simplifiés duparagraphe 3, ainsi que, par la suite, des résultats des modèlesd’éléments finis (§ 5).

4.2 Approche cinématique :méthode des lignes de glissement

Nous ne présenterons pas cette méthode, qui relève du spécialistedu fait de sa complexité de mise en œuvre. Il nous suffira d’inter-préter des schémas du type de ceux des figures 9 [13] et 10. Nousen retiendrons que certaines zones sont en déformation plastique(celles qui sont parcourues de lignes), d’autres sont rigides (zonesmortes laissées vierges). L’analyse de l’essai de bipoinçonnement

Tableau 5 – Couple de laminagedéterminé par la méthode de la borne supérieure

(R = 600 mm ; )

Géométrie

Couple

(en 104 N · m) : formule (14)

Couple

(en 104 N · m) : formule (14)

modifiée

h1 = 200 mm ; h2 = 140 mm 565,4 536,4

h1 = 150 mm ; h2 = 120 mm 312,7 291,3

h1 = 110 mm ; h2 = 99 mm 146,8 125,6

0 85 MPa =

vxv1l1h1

h x( )l x( )-------------------------------=

vz v 1 – l 1 h 1 zh x

( )

---------------- dd

x ---------- 1

l x

( ) -------------- =

v

y v 1 – l 1 h 1 yh x

( )

------------------ dd

x ---------- 1

l x

( ) --------------- =

∂vx

∂x-----------

∂vy

∂y-----------

∂vz

∂z----------+ + 0=

l x( ) l1 αx 3 ∆lL2------- 2α

L---------– x 2 α

L2--------- 2 ∆l

L3---------– x 3+ + +=

dldx----------

Figure 8 – Élargissement calculé par le modèle de Oh et Kobayashi

[12]

en fonction de la réduction. Comparaison avec une courbe expérimentale (IRSID)

m 1=

τσ0

3---------=


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

(dont la similitude avec le laminage, sur le plan mécanique, est bienconnue) nous révèle un premier facteur capital : l’élancement del’emprise

L

/

h

:•

L

/

h

proche de 0 est le cas du poinçonnement simple d’un massifsemi-infini (figure

9

f

) : une zone morte rigide s’enfonce avec lepoinçon et repousse latéralement le matériau environnant, qui« tourne » dans l’éventail avant de remonter pour former desbourrelets de part et d’autre du poinçon ;

• pour

L

/

h

≈

0,2 (figure

9

e

), les deux poinçons interagissentsous la forme de deux bulbes qui se joignent sur le plan de symétrie ;l’analyse montre que les contraintes à cœur (tant

σ

xx

que

σ

zz

) sontde tension (attention à l’endommagement du métal !) ;

• pour

L

/

h

≈

1 (figure

9

d

), nous arrivons à des configurationsplus utiles au lamineur (§ 4.4) ; la déformation se localise sur lesdiagonales de l’emprise, dont le reste constitue quatre zones mortes ;c’est la célèbre « croix du forgeron », parfaitement visible expéri-mentalement ; ce schéma nous rappelle fortement le modèle de MBSdu paragraphe 3.3, qui traitera donc efficacement ce type degéométrie ;

• si

L

/

h

augmente encore, les bandes cisaillées se dilatentprogressivement, ce qui revient à dire que les zones mortes serestreignent ;

• enfin, pour environ (figure

9

a

), la zone mortes’amenuise et, au moins pour des frottements raisonnables, la défor-mation tend à devenir homogène ; la méthode des tranches, quirepose précisément sur cette hypothèse, sera donc bien adaptée àces configurations.

La figure

10

est là pour montrer que les conclusions sont bienles mêmes dans le cas du laminage que pour lebipoinçonnement [14].

4.3 Mesure des contraintes

4.3.1 Technique expérimentale

La plus courante consiste à implanter des capteurs de contraintes

dans le cylindre, sous la forme d’aiguilles qui affleurent à sa surface(figure

11

). Quand le capteur entre en contact avec le produit, il est

repoussé par la pression et soumis à des contraintes qui sont mesu-rées par des jauges résistives ; l’enregistrement de ce signal encontinu permet de mesurer l’évolution de la contrainte normale toutau long de l’emprise (figure

12

). Un raffinement de la techniqueconsiste à placer au même endroit un deuxième capteur, oblique,qui sera sensible non seulement aux contraintes normales

σ

n

, maisaussi aux contraintes tangentielles

τ

(frottement). Connaissant

σ

n

parle capteur normal, on peut déconvoluer son effet et remonter à

τ

.Cependant, compte tenu de la délicatesse de la technique expéri-mentale et des hypothèses faites pour le dépouillement, on ne devraconsidérer ce dernier résultat que comme une simple tendance.

4.3.2 Profils de contraintes en 2D

Là encore, les résultats de la littérature [15] peuvent s’analyseren fonction du paramètre géométrique

L

/

h

(figure

12

) :— pour les faibles valeurs (

L

/

h

≈

1 à 2), le profil de contraintesprésente souvent deux

bosses

, une proche de l’entrée, l’autre versla sortie d’emprise ;

— pour les valeurs moyennes (

L

/

h

≈

2 à 2,5), on distingue unseul maximum, peu marqué (c’est-à-dire une colline de frottementpeu pointue) ;

— la colline de frottement est par contre bien marquée pour.

L / h 5

Figure 9 – Localisation de la déformation : zones plastiqueset zones mortes en bipoinçonnement

(d’après

[13]

)

L/ h 3

Figure 10 – Localisation de la déformation : zones plastiques et zones mortes en laminage

(d’après

[14]

)


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________
Comment interpréter ce phénomène ? Pour les géométries quenous appellerons « épaisses » (L /h petit), on a vu qu’il se produisaitune concentration de la déformation, sous forme de cisaillement,au point d’attaque (figure 6). Pour réaliser ce cisaillement, il fautappuyer fort ; d’où un pic de contrainte normale. Au-dessus de lazone morte, l’absence de déformation entraîne une baisse de σn ,avant que le f rot tement, conformément au modèle duparagraphe 3.2.3, ne produise le second maximum au point neutre(comme le montre, sur les profils de contraintes expérimentaux, laquasi- coïncidence de ce deuxième maximum avec le point τ = 0).
Au fur et à mesure que L /h augmente (on va vers les « géométriesminces »), cette concentration de cisaillement s’estompe, atténuantle pic de contrainte normale de l’entrée, qui finit par disparaître, nelaissant que la colline de frottement à un pic.

Notons qu’un second paramètre important serait probablement

h /R .

Mais la rareté des données avec des cylindres de rayons trèsdifférents empêche toute conclusion nette.

4.3.3 Champs de contraintes de contact en 3D

Rien n’empêche de reprendre la technique expérimentale précé-dente en plaçant des capteurs à diverses positions suivant l’axe Oy.On obtient alors des représentations des contraintes de contact tellesque celles de la figure 13 [16]. La répartition selon la coordonnéey dépend essentiellement du facteur l/h (largeur/épaisseur) :

— pour l /h petit (barres), le maximum de contrainte se trouvesur le plan de symétrie ;

— pour l /h grand (tôles), il se rencontre plutôt au voisinage dubord.

4.4 Analyse de différentes opérationsde laminage

Il nous reste à replacer dans ce cadre d’analyse les principalesopérations de laminage à chaud à la plate.

Figure 11 – Technologie des capteurs de contraintes [15]

Remarque : compte tenu des difficultés expérimentales, cesmesures n’ont été à l’heure actuelle effectuées qu’à froid. Celan’empêche pas l’application au laminage à chaud desconclusions à venir, dans la mesure où les facteurs géométri-

ques sont respectés, et c’est ce qui importe : la

rhéologie et la thermique ne jouent, en ces matières, que desrôles secondaires, les profils de contraintes sont essentielle-ment déterminés par la géométrie de l’emprise : c’est ce quemontrent les calculs par éléments finis exposés auparagraphe 5.

ou l ′angle d ′attaque α, tel que tan α ∆hR

---------- LR-----

hR------ = = ≈

Lh

-----

l1h1--------- ,

h 1 R --------- ...

Figure 12 – Profils de contraintes en laminage à froid de tôles

[15]


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

4.4.1 Laminage d’une brame

Compte tenu de ces valeurs, on aura un élargissement modéré[la formule d’Alexander (tableau

1

) donne S = 0,114, soit unélargissement de 4 % = 32 mm]. Les contraintes normales seront

maximales en entrée , et une zone

morte se développera sur une fraction importante de l’emprise ; laconséquence en est une quasi-insensibilité au frottement de l’effortet du couple au frottement. Ce frottement doit d’ailleurs être fort(refus d’engagement si le coefficient de frottement de Coulomb

µ

< 0,43). Une hétérogénéité marquée de suivant l’épaisseur seproduit. Du point de vue des modèles, la borne supérieure duparagraphe 3.3 sera plus efficace que la méthode des tranches duparagraphe 3.2. Autrement dit, on pourra calculer correctement lecouple (MBS), mais pas l’effort (méthode des tranches).

L’existence d’une zone morte (

v

g

≈

0) entraîne, de plus, que l’usureabrasive (§ 1.2) sera faible. Elle sera d’ailleurs, paradoxalement,d’autant plus faible qu’un frottement élevé amplifiera le phénomènede zone morte. C’est un des cas, non rares en mise en forme, oùaugmenter le frottement peut diminuer l’usure, contrairement auxidées trop souvent reçues.

cas assez analogue au précédent, si ce n’est que l’élargissement serap lus fa ib le ( la formule d ’Alexander donne S = 0 ,052 ,donc 2 % = 16 mm d’élargissement), et l’engagement du produitsera possible avec des frottements plus faibles (pour

µ

< 0,25).

4.4.2 Train à bande

Figure 13 – Champs de contraintes de contact 3Den laminage à plat de barres de largeur

l

variable

1

er

exemple

:

h

1

= 300 mm ;

r

= 30 % ;

R

= 500 mm

L

= 212 mm ; épaisseur moyenne dans l’emprise

; l’angle d’attaque est

α

= 23

o

(tan

α

= 0,424)

si la largeur initiale

l

1

est de 800 mm, ;

2

e

exemple

:

h

1

= 100 mm ;

r

= 30 % ;

R

= 500 mm ;

l

1

= 800 mm

L

= 122 mm ;

; tan

α

= 0,245

Exemple :

h

1

= 30 mm ;

r

= 30 % ;

R

= 500 mm ;

l

1

= 1 000 mm

L

= 67 mm ;

; tan

α

= 0,134

La zone morte a tendance à se restreindre, on aura une colline defrottement plutôt plate. L’élargissement est faible (S = 0,014, soit0,5 % = 5 mm).

h 12----- h1 1 r–( ) h1+[ ] 255 mm = ≈

L

h----- 0,83=

l1L----- 3,77 ;

l1h1------ 2,7==

h1

R------- 0,6=

fort angle d ′attaque et faible Lh-----

ε

h 85 mm =

L

h------ 1,44=

l1L----- 6,5 ;

l1h1

-------- 8 ;h1

R-------- 0,2===

h 25,5 mm =

L

h------ 2,63=

l1L----- 15 ;

l1h1-------- 33,3= ;

h1

R-------- 0,06==


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

5. Méthode des éléments finis

5.1 Introduction

Le lecteur aura remarqué que les quatre premiers paragraphessont illustrés essentiellement d’exemples tirés du laminage à plat.C’est que toutes les approches précédentes s’adaptent mal auxproblèmes de géométrie plus complexe.

La diversité beaucoup plus grande des géométries du laminage encannelures rend illusoire l’établissement de formules empiriques,d’autant que la forme du bord compte alors autant que l’élargisse-ment moyen que donnent ces formules. On en reste donc au stadedes

recettes

qui disent que telle géométrie de cannelure conduira àun plus fort élargissement que telle autre : pas de chiffres.

La méthode des lignes de glissement (§ 4.2), par essence, nes’applique pas en 3D (c’est un problème de nature des équations).

La méthode des tranches pourrait s’appliquer, aux produitsminces tout au moins ; mais la complexité de la géométrie la rendraittrès délicate d’emploi, et, à notre connaissance, aucune tentative n’aété faite dans ce sens. D’ailleurs, elle ne dirait rien de l’élargissement,problème fondamental du laminage des profilés complexes.

Comme nous l’avons vu, la méthode de la borne supérieures’applique en 3D ; mais dans une cannelure, la difficulté d’imaginerun bon champ de vitesse, respectant les conditions aux limites,laisse prévoir une mauvaise précision ; de plus, un modèle différentdoit être élaboré pour chaque géométrie.

C’est là que la méthode des éléments finis va prendre tout sonintérêt. Elle peut, d’un certain point de vue, être considérée commeun outil de détermination d’un champ de vitesse, généralisant laMBS. Fondamentalement, il s’agit de remplacer les fonctionsinconnues solutions des équations (1), (2), (3) et (4) par desapproximations. Pour cela, on va mailler le domaine Ω occupé parle système (produit ou produit + cylindres), c’est-à-dire le découperen éléments Ωe , tels que la réunion des Ωe approxime Ω(figure 14). Cela définit les nœuds du maillage, sommets des poly-èdres Ωe . Une approximation de la fonction inconnue (par exem-ple une composante du vecteur vitesse vi ) sera complètementdéfinie par la donnée des valeurs nodales vi λ (ième composante duvecteur v au point λ) et par le choix de fonctions d’interpolation (oude pondération) Nλ .

(17)

avec NEL nombre de nœuds de l’élément Ωe . Les fonctions Nλ sont

telles que .Ce sont le plus souvent des fonctions linéaires ou quadratiques enchacune des coordonnées x, y et z.

On a ainsi remplacé la fonction continue vi (x, y, z ) par la donnéed’un nombre fini de valeurs nodales vi λ , qui devront être telles queles fonctions approximées qu’elles définissent par (17) vérifient leséquations du problème équation (2).

On obtient alors un système de 3 × NBN équations (NBN est lenombre total de nœuds) à 3 NBN inconnues vi λ .

Il reste à ce stade 9 fonctions inconnues : les σi j et les vi ; la loirhéologique permet de calculer les contraintes en fonction desvitesses (ou des déplacements). C’est l’objet du paragraphe 5.2.Remarquons que la méthode des éléments finis, plus puissante etplus générale que les précédentes, va permettre d’affiner considé-rablement le comportement introduit dans les modèles.

5.2 Lois de comportement

À chaud, le comportement des métaux est connu pour êtresensible à la vitesse de déformation : il est dit viscoplastique. Il estde plus incompressible (déformation à volume constant). On setrouve alors face à une série de choix :

— y a-t-il un seuil d’écoulement ?— doit-on prendre en compte l’élasticité ?

— quelle forme donner à la relation ?— comment prendre en compte la structure du matériau et son

évolution avec la déformation plastique ?

5.2.1 Seuil d’écoulement

Une représentation 1D ou 3D dans l’espace des contraintesprincipales (figure 15) permet de comparer les deux situations. Dansle cas où un seuil existe, une faible contrainte ne donne aucunedéformation plastique (c’est-à-dire irréversible). La déformation nese produit qu’à partir d’une certaine valeur de la contrainteéquivalente (en 1D) ou du critère de plasticité [en 3D ; par exemplele critère de Von Mises, (D3)]. Elle est d’autant plus rapide que l’écartentre la contrainte appliquée et le seuil est plus grand.

Pour un métal à chaud, l’existence du fluage (déformationirréversible sous faible contrainte) pose la question de l’existencedu seuil. Pour ce qui nous concerne, vu les vitesses de déformationrencontrées en laminage, on se trouve dans un domaine oùl’existence du seuil a peu d’importance (figure 15). Beaucoup detravaux le négligent donc, sans que cela ait d’influence sur lesrésultats.

5.2.2 Comportement rigide-viscoplastiqueou élasto-viscoplastique ?

À l’intérieur de la surface d’écoulement (figure 15), un état decontraintes non nul se traduit en fait par une déformation élastique,réversible. On fait toujours l’hypothèse de Prandtl et Reuss quisuppose l’additivité des vitesses de déformations élastique etplastique (ou viscoplastique) :

Cependant, dans de nombreux cas, on néglige la déformationélastique, comme ayant peu d’influence sur les résultats. On noteranéanmoins que l’on ne peut alors plus calculer de contraintesrésiduelles.

vi x,y , z( ) Nλλ 1=

NEL

∑ x,y , z( ) viλ=

Nλ 1xλ 2

, y λ 2

, z λ 2 ( ) δ λ

1 , λ 2 1 si λ 1 λ 2 , 0 sinon = == ( ) =

Figure 14 – Maillage en éléments finis

ε–.

ε ε el ε vp+=. . .


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

5.2.3 Forme de la relation entre

On postule souvent une dépendance en loi puissance. C’est la loide Norton-Hoff :

(18)

avec

K

consistance,

m

sensibilité à la vitesse,

p

pression hydrostatique.

On peut inverser cette loi qui devient :

(19)

avec

σ

eq

contrainte équivalente.

Si l’on doit travailler sur un large intervalle de , la loi puissancepeut ne pas être suffisante. On peut alors recourir à la loi de Sellarset Teggart (article

Écrouissage d’alliages d’Aluminium

[M 230] dansle présent traité) :

Z

=

Z

0

[sh (

α

σ

eq

)]

q

avec

Z

paramètre de Zener-Hollomon

qui synthétise l’action de la vitesse de défor-mation et de la température,

α

, q constantes expérimentales,

Q

(J · mol

–1

) énergie d’activation de la déformationplastique,

R

8,32 J · mol

–1

K

–1

constante molaire des gaz,

Z

0

constante qui dépend du matériau.

En 3D, cette équation se généralise par :

(20)

(21)

À ces lois sans seuil, on peut ajouter une composante élastique :

(22)

avec ,

D

est la matrice d’élasticité, exprimée en fonction des coef-ficients

E

et

ν

(

E

module de Young et

ν

coefficient de Poisson).

On peut enfin introduire un seuil de plasticité, par exemple par :

(23)

(24)

5.2.4 Prise en compte de l’évolution structurale

Le plus souvent, elle se fait à travers les deux paramètres thermo-

mécaniques les plus importants de ce point de vue :

T

et , sous

la forme de la consistance . On effectue un calcul couplé,dans lequel on modifie nœud par nœud la valeur de

K

pour prendre

en compte les champs déjà calculés de

T

et . Un calcul itératif estnécessaire.

La forme la plus fréquente de

K

est :

avec

K

1

et

K

2

constantes numériques exprimant la variation avec latempérature.

Les courbes expérimentales présentent en général un maxi-mum suivi d’un plateau, dus à la restauration et à la recristallisation.Pour en tenir mieux compte, on pourra aussi prendre :

qui , pour , présente une asymptote hor izonta led’ordonnée

K

0

(

T

).

Des approches plus fines se mettent actuellement en place, à partirdu calcul de variables d’état structurales (c’est-à-dire ne dépendantque de la structure du métal à l’instant considéré). Ces variables sontcalculées par intégration d’une équation d’évolution qui englobel’histoire thermomécanique subie (par exemple [17]).

Figure 15 – Représentation des comportements plastiqueset viscoplastiques

(Pour le critère plasticité, se reporter à la formule

(27)

dans le tableau Nomenclature et Définitions)

et ε.

p 1– 2+ K ε ,T, structure( ) 3 ε( )m 1–× ε=. .

ε 32

--------- K 3σeq

-------------1– / m p1+

σeq-------------------- avec σ eq

2 32-----= σ ij

2

i,j 1=

3

∑=.

ε.

ε exp QRT----------=

.

ε vp 32----- ε

σ

eq --------- p 1 + ( ) 3

2 -----

Z

0 sh

α

σ

eq

( )[ ]

q

σ

eq ------------------------------------------- p 1 + ( ) = =

..

p1+( ) 23-----

σ

eq ε --------- ε vp 2

3 α --------- 1

Z ------ arg sh Z

Z

0 --------

1/ q ε vp

= = .. .

ε ε el ε vp+=. . .

ε el.

D 1– ⋅=.

ε vp. 32

--------- K 3σeq

---------------1– / m p1+

σeq-------------------- par exemple.=

ε vp 32

--------- 3 K( ) 1– / m σeq σ0–( )1/ m p1+σeq

-------------------- si σeq σ0=.

ε vp 0= si σeq σ0<.

εK ε ,T( )

ε

K ε ,T( ) K0 T( ) ε n⋅=

K0 T( ) K1 K2 T⋅ ouK1

T------ K2– ou K1 exp Q

RT----------–=

σ ε( )

K ε ,T( ) K0 T( ) exp γ T ( ) –

ε ε

0

T

( )

+------------------------------

=

ε ∞→


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

5.3 Introduction du comportementdans les équations

Quelle que soit la loi rhéologique choisie, le résultat doit en êtrel’expression de σij .

On notera qu’avec le comportement décrit par (18) ou (20) uncalcul explicite de la relation σ (v ) est possible ; il ne l’est pasavec (22) ou (23), ce qui complique la formulation.

Quoi qu’il en soit, le système obtenu est résolu numériquementle plus souvent par la méthode de Newton-Raphson (articleMéthodes numériques de base [A 1 220] dans le traité Sciences fon-damentales). Cela fait, nous connaissons les viλ à l’instant considéré(et donc, par interpolation, une approximation du champ v sur ledomaine Ω).

5.4 Approche stationnaire ou instationnaire

5.4.1 Définitions

Les opérations de laminage sont très largement de régimepermanent. Ce qui veut dire que, mis à part les effets d’extrémités,toute l’opération peut être décrite par la donnée, à un seul instant,des variables évoquées au paragraphe 1.

Deux cas se présentent donc :— on s’intéresse aux extrémités : on doit alors faire un calcul

complet (instationnaire) entre le début de l’engagement et la fin dudégagement ; ce calcul sera incrémental ;

— on néglige les extrémités ; un seul calcul est alors nécessaire,à un instant quelconque, représentatif de toute l’opération (calculstationnaire).

Le problème se complique si l’on prend en compte l’élasticité :les équations demandent alors à être résolues incrémentalement.C’est une raison supplémentaire pour négliger l’élasticité ! Enpratique :

— pour le régime permanent, on sera amené à négliger l’élasticitépour des raisons de facilité numérique, sachant que son influenceest du second ordre, sauf pour les contraintes résiduelles ;

— on ne fera de calcul instationnaire que si l’on est intéressé parles effets d’extrémités. On peut alors prendre en compte l’élasticité,pratiquement sans coût supplémentaire.

5.4.2 Évolution de la géométrie

Plaçons-nous à un instant t. Dans le cas d’un calcul instation-naire, on a jusqu’ici obtenu le champ de vitesse v (t ). On calculealors la géométrie à t + ∆t (position des nœuds à t + ∆t ) par :

xi λ (t + ∆t ) = xi λ (t ) + vi λ (t ) · ∆t

et on recommence le calcul sur cette nouvelle géométrie entret + ∆t et t + 2∆t.

Pour un calcul stationnaire où le temps n’intervient pas se posele problème des surfaces libres (figure 16). On est obligé desupposer une géométrie initiale sous emprise. Cette géométrie n’aaucune chance d’être la vraie (sinon, le calcul serait inutile !). Il vadonc falloir la modifier en fonction du champ de vitesse trouvé surcette géométrie approchée. Deux méthodes sont utilisées.

La méthode des lignes de courant qui revient à exprimer que lestrajectoires des nœuds extérieurs sont des lignes de courant(tangentes au champ de vitesse en chacun de leurs points), régies parl’équation :

Si ∆x est la distance en x entre un point et celui situé juste enamont sur la ligne de courant :

sont les déplacements à donner au point considéré par rapport auxcoordonnées y et z de l’antécédent. Par récurrence, on construitainsi toutes les lignes de courant, c’est-à-dire la discrétisation de lasurface libre. Comme cette modification de Ω va changer le champde vitesse solution, un calcul itératif est nécessaire.

La méthode globale : sur la surface libre stationnaire, on doit avoirv · n = 0 (vecteur vitesse tangent à la surface). Or cela n’a pas étéimposé comme condition aux limites dans le calcul du champ devitesse : il y a donc une composante normale à la surface libre(figure 16). Définissons une fonction croissante du flux dematière v · n à travers la surface libre ∂ΩL , par exemple :

On va modifier la géométrie (c’est-à-dire la position des nœudsde ∂ΩL ) jusqu’à minimiser J. Là encore, un processus itératif estindispensable.

5.5 Quelques applications

5.5.1 Cartes de en laminage à la plate

La figure 17 compare les cartes de déformation obtenues dansdeux cas de laminage. L’un est une géométrie mince (R = 400 mm ;h1 = 10 mm; h2 = 8 mm), l’autre épaisse (R = 400 mm ; h1 = 100 mm ;h2 = 80 mm). On observe que dans le premier cas, les courbes d’iso-

valeurs de sont à peu près verticales, et est indépendant de zdans le produit fini, contrairement au second cas, où d’ailleurs la

carte de ressemble fortement à l’hypothèse du modèle duparagraphe 3.3. On peut noter aussi la différence des profils decontraintes, conformément aux résultats expérimentaux duparagraphe 4.3.

5.5.2 Élargissement en laminage à la plate

Nous présentons maintenant un calcul 3D, calqué sur des expé-riences de simulation sur plasticine. La figure 18 compare lesélargissements :

— d’un bloom (200 mm de large, 111 mm de haut ; R = 100 mm ;réduction 30 %) ; l’élargissement est fort, et le bord prend une formeconcave (diabolo ) ; l’expérience est fidèlement reproduite ;

— d’une brame (200 mm de large, 26 mm de haut ; R = 100 mm ;réduction 15 %) ; l’élargissement est très faible (≈ 1 %), le bord restedroit ou légèrement convexe ; là encore, la plasticine confirme.

dxvx

--------- dyvy

--------- dzvz

--------= =

Figure 16 – Problème de l’élargissement dans un calcul stationnaire

∆yvy

vx------- ∆x et ∆z

vz

vx------- ∆x==

J Ω∂ L

v n⋅( )2 dS=

ε

ε ε

ε.


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

Figure 17 – Comparaison de géométries minces et épaisses. Calcul par éléments finis en 2D pour des déformations viscoplastiques sans seuil (18)(doc. CEMEF)


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

5.5.3 Formes d’extrémité

Nous avons vu que les défauts d’extrémité (queue de poisson,repliements, langue de chat, figure 1) sont cause de mise au millecoûteuse. Mis à part l’expérience, aucune méthode autre que leséléments finis ne s’est révélée satisfaisante pour prévoir ces phéno-mènes fins d’écoulement instationnaire. La figure 19 montre uncalcul de l’amorce d’un défaut de repliement en tête de brame. Pourun bon calcul, il est nécessaire :

— de mailler finement la tête du produit ;— d’utiliser un pas de temps ∆t petit pour bien suivre l’évolution ;— de prendre en compte précisément la thermique.

Cela, en 3D, conduit à un coût de calcul très élevé (plusieurscentaines d’heures CPU sur un ordinateur de type VAX 750). Parcontre, on peut traiter en 2D, et à bien moindre coût, le repliement.Queue de poisson et langue de chat sont, par contre, du ressortexclusif du 3D.

5.5.4 Effets thermiques

On a déjà cité les principaux phénomènes :— refroidissement par les cylindres (peau) ;— échauffement par la déformation plastique (cœur).

La figure 20 [18] présente une comparaison entre températurecalculée et mesurée (thermocouples insérés dans une brame). Onnotera l’ampleur du refroidissement de surface (100 oC ici, alors quela réduction est faible, donc le temps de contact modéré). Dans lecas du laminage en cannelure, où les coins sont encore plus soumisau refroidissement, on peut atteindre des chutes de températurede – 200 oC. Il faut cependant remarquer que les très forts gradientss’atténuent très vite après la sortie de l’emprise (interpasse, [19]).

5.5.5 Géométries complexes

La figure 21 présente quelques exemples de calculs de calibrageque l’on peut trouver dans la littérature. Ces applications restent dudomaine de la recherche, mais des progrès rapides sont enregistrés.Il ne fait aucun doute que, dans les prochaines années, les résultatsseront suffisamment fiables pour justifier l’utilisation « en routine »de ces calculs dans la conception des gammes de laminage.

Figure 18 – Comparaison de l’élargissement et de la forme de la rive pour un produit étroit ou large. Calcul par éléments finis en 3D(doc. CEMEF)

Figure 19 – Amorce de repliement. Calculs instationnairespar éléments finis en 3D d’après (20) (doc. CEMEF)

Figure 20 – Comparaison de températures de surface calculéeset mesurées [20]

Figure 21 – Quelques exemples de calibragestraités par la méthode des éléments finis : calculs stationnaires en 3D(pour (a) passe carré - ovale, se reporter en [20])


___________________________________________________________________________________________________________________ LAMINAGE À CHAUD

6. ConclusionCommençons par récapituler quelques résultats synthétiques. Un

point important est que la mécanique du laminage à chaud en termesd’écoulement (forme d’extrémités, élargissement) ou en termes derépartition des contraintes de contact, est essentiellement liée à lagéométrie de l’opération ; la rhéologie ne joue qu’un rôle secondaire,à travers surtout la sensibilité à la vitesse (m ). Cela n’empêche pasque, au degré de précision demandé aujourd’hui, la prise en comptefine de la rhéologie est indispensable.

Le second point est l’importance des phénomènes thermiques, cequi ne surprendra pas les praticiens. Même si nous n’en avons pasabordé ici tous les détails, il apparaît que des évolutions thermiquestrès amples et très rapides, avec de forts gradients, se produisent.Leur importance se fait sentir tant pour l’écoulement du métal, quepar ses conséquences sur sa structure et ses qualités métallurgiques.

Des différentes méthodes de calcul survolées, nous retiendronsplusieurs points importants.

La méthode des tranches (méthode de Sims par exemple) doitêtre limitée aux produits minces au sens que nous avons défini. Elledonne alors une bonne approximation de l’effort et du couple, si lesdonnées physiques (frottement, rhéologie) sont correctes. Mais ellene dit rien de l’évolution géométrique.

Pour ces produits minces, on peut bâtir des champs de vitesse(non présentés ici) qui donnent de bonnes approximations par laméthode de la borne supérieure, mais sans apporter de « plus » parrapport à la méthode des tranches. L’apport de la MBS se fait sentirpour les produits plats plus épais, mais avec des limitations (calculde l’élargissement).

Enfin, la méthode des éléments finis s’impose comme la tech-nique générale qui va connaître un développement considérabledans la pratique des prochaines années. Déjà, la plupart des grandesentreprises sidérurgiques se sont dotées, ou vont le faire, de telsmoyens. L’universalité des géométries traitables, la possibilité deprendre en compte toutes les finesses de la rhéologie, trouvent leurcontrepartie dans le coût informatique très élevé de ces codes en 3D.Signalons que l’utilisation de ces codes se fait par deux voies :

— une utilisation intensive des résultats pour la connaissancefine des processus mis en jeu par le laminage ;

— le tracé d’abaques qui, linéarisés autour d’un point de fonc-tionnement, peuvent servir au contrôle on-line.

Terminons par un point fondamental : quelle que soit laméthode choisie, les résultats ne pourront jamais être plusprécis que les données. Et il reste bien du travail à accomplir pourcomprendre et quantifier correctement le comportementrhéologique et structural des aciers.

(0)

Nomenclature et Définitions

Cinématique

x (x, y, z ) vecteur position (m)u (ux , uy , uz ) vecteur déplacement (m)v (vx , vy , vz ) vecteur vitesse (m · s–1)vg vecteur vitesse de glissement produit - cylindre (m · s–1)

tenseur des vitesses de déformation (s–1) :

tenseur des (petites) déformations ; même expression que en remplaçant les vitesses par les déplacements.

(25) vitesse de déformation généralisée (s–1)

(26) déformation généralisée (intégrale prise en suivant la trajectoire du point matériel)

γ vecteur accélération (m · s–2)g vecteur accélération de la pesanteur (m · s–2)

Dynamique

F force de laminage (N)C couple de laminage (N · m)

tenseur des contraintes (Pa)

p pression hydrostatique (Pa)

T vecteur contrainte sur une facette de normale nT = σ · nσn = T · n contrainte normaleτ = ||T – T · n|| contrainte tangentielle

ε.

ε vx∂x∂

---------- 12-----

vx∂y∂

----------vy∂x∂

----------+12-----

vx∂z∂

----------vz∂x∂

----------+

12-----

vx∂y∂

----------vy∂x∂

----------+vy∂y∂

---------- 12-----

vy∂z∂

----------vz∂y∂

----------+

12----

vx∂z∂

----------vz∂x∂

----------+12----

vy∂z∂

----------vz∂y∂

----------+vz∂z∂

----------=

.

ε ε.

ε 23------ ε ij

2

i, j 1=

3

∑=. .

ε 0

t

ε dt=.

σxx σxy σxz

σxy σyy σyz

σxz σyz σzz=

p 13 -----– σ xx σ yy σ zz + + [ ] =


LAMINAGE À CHAUD ___________________________________________________________________________________________________________________

Thermique

T température (K ou oC)λ th conductivité thermique (W · K–1 · m–1)ρ masse volumique (kg · m–3)c capacité thermique massique (J · kg– 1 · K–1)

diffusivité thermique (m2 · s–1)

puissance dissipée (W)

W énergie de déformation (J)

Rhéologie

E module de Young (Pa)ν coefficient de Poissonσ0 contrainte d’écoulement (Pa)n coefficient d’écrouissagem sensibilité à la vitesse

consistance (Pa · sm)

Plasticité [7]

Pour qu’un corps soumis à des contraintes soit en déformation plastique (irréversible), il faut que les composantes de σ vérifient une équa-tion dite de critère de plasticité. Le plus utilisé est celui de Von Mises :

(27)

Si , la déformation est élastique.

est interdit (on ne peut pas appliquer à un corps plastique des contraintes quelconques).

Si , la déformation est plastique.Si tel est le cas, on montre que :

; c’est la loi d’écoulement (28)

Imaginons un essai de traction simple. Seul σxx existe, et le critère s’écrit :σxx < σ0 : déformation élastique ;σxx = σ0 : déformation plastique ;comportement bien connu ; de même, en cisaillement (essai de torsion), seul σ θz existe, et :

: déformation élastique ;

: déformation plastique.

Une contrainte de cisaillement est donc toujours inférieure à ; c’est en particulier vrai pour une cission de frottement (contrainte de cisaillement sur une facette parallèle à la surface de contact), et l’on écrira :

(29)

est le coefficient de frottement de Tresca (friction factor en anglais).

Laminage

L longueur d’arc de contact (m)

l largeur de la tôle ou de la bande (m)

h épaisseur ; h1 : en entrée ; h2 : en sortie (m)

r réduction (r = 1 – h2/h1)

ω vitesse angulaire du cylindre (rad · s–1)

R rayon du cylindre (m)

Nomenclature et Définitions (suite)

aλ th

ρc----------=

W.

K T, ε , structure( )

g σ( ) σxx σyy–( )2 σyy σzz–( )2 σzz σxx–( )2 6 σ xy2 σ yz

2 σ xz 2

+ +( )+ + + 2 σ 02 ε( )= =

g σ( ) 2 σ 02 ε ( )<

g σ( ) 2 σ 02 ε ( )>

g σ( ) 2 σ 02 ε ( ) =

εij λpl g∂σij∂

------------ avec λpl 0>=.

σθz σ0 / 3<

σθz σ0 / 3=

σ0 / 3

τ m σ0 / 3 ; 0 m 1 =

m

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© Techniques de l’Ingénieur, traité Matériaux métalliques

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laminage théorie

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