laboratoire d’astrophysique · 2009-04-21 · epfl - gm 1 cours de physique générale physique...
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EPFL - GM 1
Cours de physique généralePhysique II pour étudiants de première année
en section de mathématiques
Prof. Georges MeylanLaboratoire d’astrophysique
21 avril 2009cours de la semaine # 09a
Bienvenue au
Site web du laboratoire et du cours :
http://lastro.epfl.ch
EPFL - GM 2
Course d’étude
MARDI 28 AVRIL 2009Pas de cours
EPFL - GM 3
Transformation de Lorentztable résumé de Gruber & Benoit (p. 611)
La transformation de Lorentz peut être décrite comme la rotation d’un quadrivecteur
G&B Fig. 21.10 p. 608
EPFL - GM 4
• Invariant :– Deux événements séparés par (cΔt, Δx, Δy, Δz) = (cΔt, Δx)– Intervalle d’espace-temps :
Invariant relativiste• « Quadrivecteur » : (ct, x, y, z)• Transformation de Lorentz (notation avec quadrivecteurs) :
!
ct'x'y'
z'
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
( )*( 0 0
)*( ( 0 00 0 1 00 0 0 1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
ctxy
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' +
ctxy
z
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
=
( +*( 0 0
+*( ( 0 0
0 0 1 00 0 0 1
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
ct'x'y'
z'
"
#
$ $ $
%
&
' ' '
!
" =uc
, " #1
$ =1
1%"2 , $ &1
avec :
!
("s')2
= (#c"t $%#"x)2 $ (#"x$%#c"t)
2 $ ("y)2 $ ("z)
2
= (#2 $%2#2) (c"t)
2 $ ("x)2[ ] $ ("y)
2 $ ("z)2
= ("s)2
!
("s)2
= (c"t)2# ("x)
2
!
("s')2
= ("s)2
(>0, <0, ou =0)
!
ct'
x'
" # $ %
& ' =
cosh( )sinh()sinh( cosh("
# $
%
& ' ct
x
" # $ % & ' avec tanh( =*
– « rotation hyperbolique » dans l’espace-temps
relativité de Galilée ⇔ Δt et |Δx| invariants ⇔ temps et espace absolusrelativité d’Einstein ⇔ (Δs)2 =c2(Δt)2–|Δx|2 invariant ⇔ c=constante
EPFL - GM 5
!
c"t'
"x '
"y '
"z'
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
=
) *+) 0 0
*+) ) 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
c"t
"x
"y
"z
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
!
c"t'
"x '
"y '
"z'
#
$
% % % %
&
'
( ( ( (
=
!
("s')2
= (#c"t $%#"x)2 $ (#"x$%#c"t)
2 $ ("y)2 $ ("z)
2
= (#2 $%2#2) (c"t)
2 $ ("x)2[ ] $ ("y)
2 $ ("z)2
= ("s)2
EPFL - GM 6
Distance ente deux pointsidentique quel que soit l’observateur
• Distance entre deux points dans un espace plat à deux dimensions :(Δd)2 = (Δx)2 + (Δy)2 intervalle spatial 2-D
• Distance entre deux points dans un espace plat à trois dimensions :(Δd)2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 intervalle spatial 3-D
• Distance enter deux points dans un espace spatial et temporel àquatre dimensions, dont trois spatiales et une temporelle :
(Δs)2 = (cΔt)2 + (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 intervalle spatial et temporel 4-D
• Distance enter deux points dans un espace-temps à quatre dimensions,dont trois spatiales et une temporelle :
(Δs)2 = (cΔt)2 - [ (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 ] intervalle espace-temps 4-D
ds2 = intervalle d’espace-temps qui est le même pour tous les observateurs, quelles que soient leurs vitesses
Intervalle d’espace-temps entre votre œil et une étoile située à 1000 al = ?
{ }
EPFL - GM 7
Contraction des longueurs et dilatation du temps
• Règle de longueur Len mouvement longitudinalde vitesse u
y
Oxz
O’
uR R’
L
!
x'
!
x'1
!
x'2
!
z'!
y'
!
x'1 = " x1 #$ct( )x'2 = " x2 #$ct( )
% & '
où les positions x1 et x2 sont définies au même temps t dans R
!
" L = x'2#x'
1= $ x
2# x
1( ) " %x =L
$< L
La dimension d’un corps dans ladirection de sa vitesse est contractée
• Horloge de période Δτen mouvementde vitesse u
!
ct1
= " ct'1+#x'( )
ct2
= " ct'2+#x'( )
$ % &
' t2( t
1= " t'
2(t
1'( ) = ")* ' )t = ")*
Une horloge en mouvement retarde
y
Oxz
O’
uR R’
!
x'
!
z'!
y'
!
x'
!
t'1, t'
2, t'
3, ...
Δτ
EPFL - GM 8
Transformation des vitesses• Particule de vitesse v dans R ;
quelle est sa vitesse dans R’ ?
– Si u < c :
!
x'= " x #$ct( ) dx'= " dx #$cdt( )ct'= " ct #$x( ) dt'= " dt # ($ /c)dx( )
y
Oxz
y’
O’x’z’
u
t t’
vR R’
!
v'x =dx'dt'=
" dx #$cdt( )" dt # ($ /c)dx( )
=
dxdt#$c
1#$
cdxdt
!
v'y =dy'
dt'=
dy
" dt # ($ /c)dx( )=
dy
dt
" 1#$cdxdt
% & '
( ) *
!
v'x =vx " u
1"uvx
c2
v'y =vy
# 1"uvx
c2
$
% &
'
( )
v'z =vz
# 1"uvx
c2
$
% &
'
( )
!
r v < c "
r v ' < c
r v = c "
r v ' = c
!
" =uc
, " #1
$ =1
1%"2 , $ &1
EPFL - GM 9
Composition des vitesses• Deux sauts de vitesse standards consécutifs, de vitesses u1 et u2,
sont équivalent à un saut de vitesse standard u3 :– les sauts de vitesse standards forment un groupe
!
v'x
=v
x" u
1"uv
x
c2
# u2
=u
3" u
1
1"u
1u
3
c2
# u2"
u1u
2u
3
c2
= u3" u
1 # u
3=
u1
+u2
1 +u
1u
2
c2
t’
O’x’
R’t’’
O’’x’’
R’’t
Ox
R particuleau reposdans R’’
saut de vitesse u1 saut de vitesse u2
saut de vitesse u3
!
u = u1,
r v =
u3
00
"
#
$ $
%
&
' ' ,
r v '=
u2
00
"
#
$ $
%
&
' '
On applique la transformation des vitesses avec
!
"3
="
1+"
2
1+"1"
2
!
ou bien "3
= "1
+"2 avec "
i= arctanh#
i= ln
1+#i
1$#i
Transformations de Lorentz
*
EPFL - GM 10
• Réponse d’Einstein (en 1905):– L’addition des vitesses est une loi « fausse »,
la loi « correcte » est plus compliquée :160 km/h «plus» 3 km/h = 162.999999999999933 km/h
• Réponse de Galilée (en 1638):– Application de la loi d’addition des vitesses :
160 km/h + 3 km/h = 163 km/h
Exemple 1 : composition des vitesses• Problème simple de cinématique: Dans un train roulant à 160 km/h, un contrôleur marche à 3km/h en
direction de la locomotive.Quelle est la vitesse du contrôleur par rapport aux rails ?
La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !
Exemple numérique présenté durant la leçon du 28 septembre 2007
EPFL - GM 11
Exemple 1 : composition des vitesses• Problème simple de cinématique: Dans un train roulant à 160 km/h, un contrôleur marche à 3km/h en
direction de la locomotive.Quelle est la vitesse du contrôleur par rapport aux rails ?
800’000’000 km/h
court
200’000’000 km/h
1’000’000’000 km/h
879’225’842 km/h
• Réponse de Galilée (en 1638):– Application de la loi d’addition des vitesses :
160 km/h + 3 km/h = 163 km/h
• Réponse d’Einstein (en 1905):– L’addition des vitesses est une loi « fausse »,
la loi « correcte » est plus compliquée :160 km/h «plus» 3 km/h = 162.999999999999933 km/h
La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !
Exemple numérique présenté durant la leçon du 28 septembre 2007
EPFL - GM 12
Problème simple de cinématique :
Réponse de Galilée
Réponse d’Einstein
Exemple 1 : composition des vitesses
La mécanique classique n’est plus valable aux grandes vitesses !
!
vcontrôleur / rails
=v
train / rails+ v
contrôleur / train
1+v
train / railsv
contrôleur / train
c2
!
vcontrôleur / rails
= vtrain / rails
+ vcontrôleur / train
!
vtrain / rails = vitesse du train par rapport aux rails
vcontrôleur / train = vitesse du contrôleur par rapport au train
vcontrôleur / rails = vitesse du contrôleur par rapport aux rails = ?
⇔
⇔ Eq. 21.17 (G&B)
EPFL - GM 13
21.8 Illustrations21.8.2 Vitesse d’émission d’une particule
• Un méson K + au repos se désintègre ( K + → µ+ ν) en émettant unmuon de vitesse 0,72 c. Calculons la vitesse du muon émis par un K +de vitesse 0,998 c dans la cas où le muon est émis dans la directiondu mvt du méson.
• Dans le cadre de la mécanique newtonienne, on aurait :
• Dans le cadre de la mécanique relativiste, l’Eq. (21.17) montre quel’on obtient au contraire :
résultat en accord avec les observations expérimentales.
EPFL - GM 14
Dynamique relativiste du point matériel• Mouvement d’un
point matériel demasse m décritdans référentiel R
• A chaque instant t :– repère Oxyz de R, avec O sur le point matériel et Ox selon la vitesse v du point– référentiel R’ en saut de vitesse standard par rapport à R avec u = v– à t’ = 0 on a v’ = 0, et on suppose que v’ << c pendant un temps dt’→ on peut appliquer les lois de la dynamique non-relativiste dans R’ :
y
Oxz
y’
O’x’z’
tt’
R(t) R’(t)
v(t)
v(t+dt)
r(t+dt)=drtrajectoire dans R u = v(t)
!
r F ' = m
d2r r '
dt'2
!
Avec Fx=F’x et Fy,z=(F’y,z)/γ:
!
r F =
d
dtm"
r v ( )
!
F'x = md2x'
dt'2= m"d2x
dt'2= m d
dt"dxdt( ) = ddt m"vx( )
F'y = md2y'
dt'2= m
d2y
dt'2= m" d
dt"dy
dt
# $ %
& ' ( = " d
dtm"vy( )
)
* +
, +
!
ct = " ct'+#x'( )x = " x'+#ct'( )y = y' , z = z'
$
% &
' & (
cdt = " c +#dx'dt'( )dt' ( dt ) "dt' car dx'
dt'<< c
dx = " dx'dt'
+#c( )dt' ( d2x
dt'2
= "d2x'
dt'2
$
% &
' &
EPFL - GM 15
• On trouve la même forme pour p sur la basede la conservation de la quantité de mouvement :
Quantité de mouvement relativiste• Nouvelle définition de la
quantité de mouvement … et la loi fondamentale de la dynamique reste valable en relativité restreinte :
!
r p = m
"r v = m
"r # c
!
" =1
1#r v
2/c
2=
1
1#r $
2 ,
r $ =
r v
c
avec:
!
Attention ! r F "m
r a
!
r F =
dr p
dt
!
r p = m"
r v = m
r v 1#
r $ 2( )
#1/ 2
= mr v 1+O
r $ 2( )[ ] %m
r v
• Limite non-relativiste (β = v/c << 1) :
!
1. r p collinéaire à
r v "
r p = #($)
r $
2. r p = m
r v si v << c " #(0) = mc
3. La quantité de mouvement totale d'un système isolé est constante dans tous les référentiels d'inertie
!
r p = m"
r v # $(%) =
$(0)
1&%2⇒
EPFL - GM 16
Quantité de mouvement relativiste (2)• Collision élastique de deux particules identiques: 1 + 2 → 3 + 4 dans le référentiel R du centre de masse toutes les vitesses sont égales
x
y
!
r " 1
!
r " 2
!
r " 3
!
r " 4
–a a
b
–b
R
x’’
y’’
!
r " ' '
1
!
r " ' '
2
!
r " ' '
3
!
r " ' '
4–d d
g
–e
R’’ saut de vitesse –a
e
–g
x’
y’
!
r " '1
!
r " '2
!
r " '3
!
r " '4
–d d
R’saut de vitesse +a
saut de vitesse +d
!
Saut de vitesse de R'' à R' avec " = 1
1# d2: e =$'4y =
$' '4y
"(1#$' '4x
0
{d)
=g
"= g 1# d
2
Dans R’, conservation de la quantité de mouvement selon y’:
!
" #(g)g $ # d2
+e2( )e = $#(g)g +# d
2+e
2( )e " #(g)g = # d2
+e2( )e
!
p'1y + p'2y = p'3y + p'4y
!
" # d2
+e2( ) = #(g)
g
e=
#(g)
1$ d2 Si b→0, alorse→0 et g→0, et:
!
"(d)="(0)
1# d2 CQFD
*
EPFL - GM 17
Force et accélération en relativité restreinte
!
d"dt
=d
dt
1
1#r v
2/c
2
$
% &
'
( ) =
# d
dt1#
r v
2/c
2( )
2 1#r v
2/c
2( )3 / 2
="3
2c2
dr v
2
dt="3
c2
r v *
r a +
r v *
r a =
c2
"3
d"dt
!
r F "
r v = m#
r a "
r v +m
r v "
r v
d#dt
= m#c2
#3
d#dt
+mr v
2 d#dt
= mc2 1
#2+
r v
2
c2
$
% &
'
( )
d#dt
= mc2 d#
dt
⇒ la force est parallèle à l’accélérationsi et seulement si elle est parallèleou perpendiculaire à la vitesse
!
r F = m"
r a +m
r v
d"dt
= m"r a +
r v
r F #
r v
c2
$ % &
' ( )
!
r F =
dr p
dt=
d(m"r v )
dt= m"
r a +m
r v
d"
dt⇒ F ≠ ma et la force n’est en
général pas parallèle àl’accélération
!
r F "
r v = 0 #
d$dt
= 0 #
r F = m
$r a
$ = constante # v = constante
% & '
• Si F est perpendiculaire à v :
!
r F = m"
r a +
r F
r v
2
c2
# r F 1$
r v
2
c2
% & '
( ) * = m"
r a #
r F = m"3r
a
• Si F est parallèle à v :
EPFL - GM 18
Energie cinétique relativiste
y
Oxz t
RvA=0γA=1, TA=0
F
A BvB=v
γB= γ, TB=T
trajectoire
!
T = mc2
1"r # 2( )
"1/ 2
"1[ ] = mc2
1+1
2
r # 2 +O
r # 4( ) "1[ ] =
1
2mc
2r # 2
1
2m
r v 2
1 2 3 +O
r # 4( )
• Limite non-relativiste (β = v/c << 1) :
• Une particule au repos dans R au point A se déplace aupoint B sous l’effet d’une force, en acquérant uneénergie cinétique T :
!
T = TB" T
A=
r F # d
r r
A
B
$ =r F #
r v dt
A
B
$= mc
2 d%dt
& ' (
) * + dt
A
B
$ = mc2%
A
B
= mc2 %
B" %
A( ) ,
!
T = mc2(" #1)
• Théorème de l’énergie cinétique entre A et B :
EPFL - GM 19
Quantité de mouvement et énergie cinétiqueen fonction de la vitesse
0
1
2
3
4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
β=v/c
p/mcQuantité de mouvement relativiste :p = mγβc= mγv
Quantité de mouvement newtonienne :p = mβc = mv
0
1
2
3
4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
β=v/c
T/mc2Energie cinétique relativiste :T = mc2(γ–1)
Energie cinétique newtonienne :T = mv2/2
Remarques :– on retrouve la
mécaniquenewtonienne siv << c (β << 1)
– en relativité,v est bornée(par c)mais ni p ni Tne sont bornées
EPFL - GM 20
Energie potentielle de masse• On observe une particule au repos
qui se désintègre. Exemples :
• Lois de conservation :– Quantité de mouvement totale conservée– Energie cinétique pas conservée !
⇒ de l’énergie potentielle est libérée sous forme d’énergie cinétique
!
Z0" quark +antiquark +gluon" hadrons
!
Z0" q q g" hadrons
temps de vie moyen du neutron = 15 min
!
neutron" proton +électron +antineutrino
Attention :« taux de change » très élevé:
!
1g de matière correspond à
10"3# (3#10
8)
2$10
14J
ou ~ 3MW pendant 1 an
énergiepotentiellede masse
!
Emasse
pot= mc
2
Einstein, 1905
!
masse"énergie équivalencemasse-énergie
– On introduit une énergie interne associée à la masse, de sorte quel’énergie totale (énergie cinétique + énergie de masse) soit conservée :
EPFL - GM 21
Energie potentielle de masse (2)• Soit α la constante de proportionnalité
entre masse et énergie interne de masse.• Désintégration d’une particule de masse M en
deux particules identiques de masses m :
!
Conservation de E dans R': T(M,v) +Emasse
pot (M) = T(m,u) +2Emasse
pot (m)
Mc2 "(v) #1( ) +$M = mc
2 "(u) #1( ) +2$m (1)
Conservation de r p dans R': M"(v)v = m"(u)u (2)
!
(1)
(2) "
c2 #(v) $1( ) +%
#(v)v=
c2 #(u) $1( ) +2%
#(u)u où u = 2v
1+ v2
/c2
à résoudre pour avoir α en fonction de v
Solution: α = c2 indépendamment de v !
!
Emasse
pot(m) ="m
après
avant
Référentiel R du centre de masse
reposv–v m m
M
après
avantsaut de vitesse –v
Référentiel R’ où une masse m est au reposrepos
v
m m
M
uu = 2v/(1+v2/c2)
EPFL - GM 22
Relation énergie – quantité de mouvement• Energie totale d’une particule de masse m et de vitesse v :
• Vitesse :
• Relation entre énergie et quantité de mouvement :
• Particule de masse nulle :
– Exemple : le photon (particule de lumière)
!
E = T +Emasse
pot= mc
2(" #1) +mc
2 $
!
E = m"c2
!
r p = m"
r # c $
r # =
r p
m"c=
r p c
m"c2 $
!
r " =
r p c
E
!
E2"
r p
2c
2= m
2c
4
!
1"r # 2 = 1
$2 % E
2 " Er # ( )
2
= E$
& ' ( ) * +
2
% E2 "
r p c( )
2= mc
2( )2
%
!
m = 0 " E = pc " # =1 Remarque:
les quantités E, pc et mc2
ont toutes la dimensiond’une énergie
Unités courantes: eV, MeV, …
EPFL - GM 23
Scalaires et quadrivecteurs• Scalaire (ou invariant) :
– grandeur que ne change pas par changement de référentiel :• Exemples : c, (Δs)2, m, mc2
• Quadrivecteur :– ensemble de 4 composantes (A0, A1, A2, A3) = ( A0, A ) qui se
transforme comme (ct, x, y, z) = ( ct , x ) par changement deréférentiel (transformation de Lorentz)
• Exemple :– produit scalaire de deux quadrivecteurs :– carré de la norme d’un quadrivecteur
= produit scalaire d’un quadrivecteur par lui-même :
• Le carré de la norme d’un quadrivecteur est un scalaire :– par exemple
!
(A0,
r A )
2= A
0
2"
r A
2= A
0
2"A
1
2"A
2
2"A
3
2
!
c"t, "x( )2
= (c"t)2# "x( )
2
= ("s)2 est un scalaire
!
(A0,r A ) " (B
0,r B ) = A
0B
0#
r A "
r B
!
c"t,"x( ) = (ct2,r x
2) # (ct
1,r x
1)
EPFL - GM 24
Quadrivecteur énergie–quantité de mouvement
!
" = 1#t
Temps propre τ d’une particule de vitesse v(= temps dans le référentiel où la particule est au repos) :
!
ct,r x ( )Quadrivecteur position :
Quadrivecteur vitesse :
!
dd"
ct,r x ( ) = # d
dtct,
r x ( ) = #c,#
r v ( )
Quadrivecteur vitesse/c :
!
","r # ( ) de norme
2= ","
r # ( )
2
= "2 $ "r # ( )
2
= "21$
r # 2( ) =1
En multipliant ce dernier quadrivecteur par le scalaire mc2,on obtient un quadrivecteur de norme2 = m2c4 :
!
m"c2, m"
r # c2( ) = E,
r p c( ) est un quadrivecteur
!
E2"
r p
2c
2= m
2c
4
Conséquence :
l’énergie et la quantité de mouvementse transforment de la façon suivantelors d’un saut de vitesse standard :
transformation de Lorentz
!
E'
p'x c
p'y c
p'z c
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
=
( )*( 0 0
)*( ( 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
E
pxc
pyc
pzc
"
#
$ $ $ $
%
&
' ' ' '
EPFL - GM 25
Résumé de relativité restreinte
!
Relativité restreintev/c <<1
" # " " " Mécanique newtonienne
c = constante temps et espace absolus
(c$t)2 % $x( )2
invariant $t et $x invariants
r & =
r v /c, ' = 1%
r & 2( )
%1/ 2
r p = m'
r & c #
r p = m
r v
T = mc2(' %1) # T = 12mv2
E = m'c2 # E = Einterne + 12mv2
r & =
r p c/E # v = 2T/p
E2 %r p 2c2 = m2c4 # T =
r p 2 /(2m)
r F =
dr p
dt
r F =
dr p
dt
conservation duquadrivecteur (E,
r p c)
conservation de r p
conservation de l'énergie
Postulats
Grandeursphysiques
Loi de ladynamique
Lois deconservation
!
" =uc
, " #1
$ =1
1%"2 , $ &1