la méthode du simplexe
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La méthode du simplexe
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1) Algorithme du simplexe
Cet algorithme permet de déterminer lasolution optimale, si elle existe, d’unproblème de programmation linéaire à n
variables. Le principe de la méthode est de transformer
les contraintes qui sont des inéquations enéquations en ajoutant des variables positives
que l’on appelle variables d’écart. uis ontransforme ce s!stème d’équations linéaires jusqu’à trouver la solution optimale.
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2) Les étapes de la méthode
remière étape " La formulationmathématique du problème
#euxième étape " $ise sous formestandard du problème %roisième étape " &pplication de
l’algorithme du simplexe
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3) La formulation mathématique du
problème (1)
& partir de l’énoncé du problème qui estdonné en langage naturel, il faut obtenir saformulation mathématique. C’est la phase
de modélisation. 'l faut déterminer et décrire avec précision
les variables du problème (unités etpériodes de temps de l’observation).
'l faut déterminer et classer les contraintesen vérifiant l’homogénéité des unités.
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3) La formulation mathématique du
problème (2)
'l faut déterminer la fonctionéconomique (ou objectif) et donnerle t!pe d’optimisation recherchée(maximum ou minimum)
Les contraintes et la fonctionéconomique doivent *tre linéaires
par rapport aux variables duproblème sinon l’algorithme dusimplexe n’est pas applicable.
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4) Mise sous forme standard du
problème
Un problème de programmationlinéaire est dit sous formestandard s’il vérifie les
conditions suivantes : Les variables du problème doivent
toutes être positives. Le type d’optimisation doit être une
recherche de maximum. Les contraintes sont des
contraintes d’égalité.
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4a) !ransformation des "ariables
+i une variable x est négative, on pose ! -x. La nouvelle variable ! est positive
et les contraintes et la fonction
économique restent bien linéaires aprèsavoir remplacé l’ancienne variable x par !.
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4a) !ransformation des "ariables
+i une variable x est de signequelconque, on pose x x/-x0 o1 x/ etx0 sont deux nouvelles variables
positives. Les contraintes et la fonctionéconomique restent bien linéaires aprèsavoir remplacé l’ancienne variable x parx/-x0.
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4a) !ransformation des "ariables
+i le t!pe d’optimisation est unerecherche de minimum pour la fonctionéconomique 2, on procède à un
changement de fonction économique enconsidérant 2 (qui est toujours unefonction linéaire des variables).
3n a la propriété min(2) - $ax(-2).
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4b) !ransformation des inégalités en
égalités
Pour cela il faut a!outer desvariables dites variables d’écart"ui doivent être égalementpositives.
#n suppose "u’initialement lesvariables sont : x/, x0, 4 , xn
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Cas d’une contrainte
de type ≤ ou
&u départ on a la contrainte " a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn
≤
b
3n ajoute une variable d’écart epositive, la contrainte devient "
a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn 5 e b
Les nouvelles variables sont :x/, x0, 4 , xn, e
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Cas d’une contrainte
de type ≥ ou
&u départ on a la contrainte " a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn
≥
b
3n retranche une variable d’écart epositive, la contrainte devient "
a/x/ 5 a0x0 5 4. 5 anxn - e b
Les nouvelles variables sont :x/, x0, 4 , xn, e
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#xemple
6orme canonique du programmelinéaire "0x5! 7 899x50! 7 :99! 7 ;99
x ≥9, ! ≥9
6onction économique à maximiser "2 ;9999x 5
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$orme standard
Le problème est mis sous formestandard en ajoutant trois variablesd’écart positives, e/, e0, e;.
0x5!5e/ 899x50!5e0 :99!5e; ;99
x≥
9, !≥
9, e/≥
9, e0≥
9, e;≥
9$ax(;9999x5
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!ableau du simplexe
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème
membreRatio
e1 2 1 1 0 0 800
e2 1 2 0 1 0 700
e3 0 1 0 0 1 300
Z 30000 40000 0 0 0 0
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%ariables en base et horsbase
3n distinguera les variables dites $ en base % etles variables dites $ hors base %. Les variableshors base ont toujours une valeur nulle, lesvariables en base sont celles pour lesquelles ne
figurent qu’un seul / sur leur colonne, les autrescoefficients sont nuls sur la colonne. &u départ =ase> e/, e0, e;? @ors=ase> x,!? Les coefficients de la fonction économique sont
appelés taux marginaux de substitution (ou %$+).'ci ;9999 et
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&emarque 1
+i la fonction économique a dans sonexpression un coefficient constant, il fautle faire figurer dans l’avant-dernière
colonne (celle des seconds membres)avec le signe opposé.
C’est dans cette m*me cellule que l’ontrouvera l’opposé de la valeur de la
fonction économique pour la solution encours et donc l’opposé de l’optimumquand il sera atteint.
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&emarque 2
3n remarque, dans le tableauinitial, que pour chaque variable enbase on a un seul un sur la colonneet les autres coefficients sont nuls.& chaque étape, le tableau devrarépondre à cette exigence.
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'onstitution du tableau
Auand le problème est mis sous formestandard, on peut appliquer l’algorithme dusimplexe. Les différentes équations linéairessont placées dans un tableau. Chaque équationest une ligne du tableau, la dernière ligne estréservée pour la fonction économique.
Les colonnes correspondent aux variables duproblème. & droite du tableau l’avant dernièrecolonne contient les seconds membres deséquations. La dernière colonne contient ce quel’on appelle les ratios qui seront expliqués plusloin.
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Les calculs qui sont effectués sontdes calculs de combinaisonslinéaires sur les lignes du tableau.
3n suppose comme cela est signalédans la remarque ci-dessus quetoutes les variables d’écart ont uncoefficient /.
3n recherche un maximum de lafonction économique.
) Appliation de l*algorithme du simplexe
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+épart de l*algorithme
&u départ, on a une solutionréalisable du problème enconsidérant que les variables d’écart
sont égales aux seconds membreset que les autres variables sontnulles.
Cette solution respecte bien lescontraintes de positivité et leségalités sont satisfaites
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,rinipe de l*algorithme
& chaque étape de l’algorithme, on choisitune variable hors base que l’on appellevariable entrante et une variable en baseque l’on appelle variable sortante afind’améliorer la solution précédente.
uis on transforme le tableau pour leremettre sous sa forme standard. Bneffet, les colonnes des variables en basene doivent avoir qu un seul / et des 9ailleurs.
Cette transformation se fait parcombinaison linéaire des lignes.
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'hoix de la "ariable entrante
3n choisit celle dont le &'( eststrictement positif et le plusgrand possible.
+i tous les %$+ sont négatifs ounuls, l’optimum est atteint.L’algorithme s’arr*te
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'hoix de la "ariable sortante
&près avoir choisi la variable entrante, oncalcule pour chaque ligne représentantune contrainte, le ratio qui est le rapport
entre le coefficient du deuxième membrede la contrainte et le coefficient sur lacolonne de la variable entrante.
Ce ratio peut *tre infini si le coefficient est
nul. La variable sortante est celle dont le ratio
est le plus petit strictement positif.
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!ransformation du tableau
&près choix de la variable entrante et de lavariable sortante, on transforme le tableau.
L’intersection de la colonne de la variable
entrante et de la ligne de la variablesortante s’appelle le pivot.
'l faut transformer le tableau parcombinaisons linéaires sur les lignes pour
faire apparaDtre un / sur le pivot et des 9ailleurs sur la colonne de la nouvellevariable en base.
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$in de l*algorithme
L’optimum est atteint lorsque tous les %$+ sontnégatifs. Les variables hors base sont nulles. Lesvaleurs des variables en base se lisentdirectement sur le tableau puisque leur coefficient
est / et que les autres variables qui ont uncoefficient non nuls sur la m*me ligne sont horsbase.
La valeur de l’optimum est l’opposé de la valeurqui figure sur la ligne de la fonction économique à
l’avant dernière colonne. 3n vérifiera cette valeuren remplaEant les valeurs des variables dans lafonction économique.
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Méthode appliquée - l*exemple
Base x y e1 e2 e3 2ème
membre Ratio
e1 2 1 1 0 0 800
e2 1 2 0 1 0 700
e3 0 1 0 0 1 300
Z 30000 40000 0 0 0 0
A ce stade les variables en base sont e1, e2 et e3. On remarqueque pour chaque variable en base on a un seul 1 sur la colonne etque les autres coefcients sont nuls.Base={e1, e2, e3}es variables hors base sont ! et ".#orsBase={!, "}
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&emarques sur le tableau initial
#n admettra "u’) cha"ue étape lesvariables hors base sont nulles. Lesvariables en base se calculent dans letableau en tenant compte du fait "ue
les variables hors base sont nulles. &vec ce tableau initial, on a une solution
intermédiaire (au départ) " x9 et !9 (car ces variables sont hors
base) e/899, e0:99, e;;99. Bn effet,
chaque ligne du tableau correspond à uneégalité.
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&emarques sur le tableau initial
La valeur de * est l’opposé de la case+ème membre de la ligne de *. 3npeut la recalculer, par vérification, avec la
formule 2
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%ariable entrante
Base x y e1 e2 e3 2ème
membreRatio
e1 2 1 1 0 0 800
e2 1 2 0 1 0 700
e3 0 1 0 0 1 300
Z 30000 40000 0 0 0 0
$ariable entrante = Celle qui correspond au plusgrand TMS strictement positif %tau! mar&inal desubstitution' coefcient () de la *onction ob+ecti*. ci " estla variable entrante.
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'alul des ratios
Base x y e1 e2 e3 2ème
membreRatio
e1 2 1 1 0 0 800 ,--/
e2 1 2 0 1 0 700 0--+
e3 0 1 0 0 1 300 1--/
Z 30000 40000 0 0 0 0
On calcule les ratios en divisant pour chaque variable de labase %pour chaque li&ne', le coefcient du second membrepar le coefcient de la colonne de la variable entrante.
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%ariable sortante
Base x y e1 e2 e3 2ème
membre Ratio
e1 2 1 1 0 0 800 ,--/
e2 1 2 0 1 0 700 0--+
e3 0 1 0 0 1 300 1--/
Z 30000 40000 0 0 0 0
$ariable sortante = Celle correspondant au plus petit ratiostrictement positif %coefcient du 2-me membrecoefcient colonnede la variable entrante'.
ci e3 est la variable sortante.
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!ransformation du tableau
Pivot intersection variableentrante et sortante
#ans la colonne du pivot " 'l fautmettre un / à la place du pivot etun 9 ailleurs. Bn effet, il s’agit de lanouvelle variable en base.
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$aire appara.tre un 1 sur le pi"ot
+i le pivot n’est pas égal à /, il fautdiviser toute la ligne par le pivot.
'ci le pivot est déjà à /.
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$aire appara.tre des / sur le reste de
la olonne de la nou"elle "ariable en
base 'l faut retrancher à
chaque ligne uncertain nombre de
fois la ligne dupivot pour faireapparaDtre un 9.
Base x y e1 e2 e3 2ème
membre
Ratio
e1 2 1 1 0 0 800 ,--/
e2 1 2 0 1 0 700 0--+
e3 0 1 0 0 1 300 1--/
Z 30000 40000 0 0 0 0
pivot /our la li&ne de e1, il*aut lui retrancher lali&ne du pivot. Onremplace la li&ne 1 par
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Autres transformations
our la ligne de e0, il faut luiretrancher deux fois la ligne dupivot.. 3n remplace L0 par L0-0L;
our la ligne de 2, il faut luiretrancher
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!ableau 2
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 2 0 1 0 -1 500
e2 1 0 0 1 -2 100
y 0 1 0 0 1 300
Z 30000 0 0 0 -40000 -12000000
optimum nest pas atteint %1 4 est
()'
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%ariable entrante0 ratios et "ariable
sortante du tableau 2
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 2 0 1 0 -1 500 2--+3+
2-
e2 1 0 0 1 -2 100 /--/3/--
y 0 1 0 0 1 300 1---3
∞
Z 30000 0 0 0 -40000 -12000000
$ariable entrante ! et sortantee2
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!ransformations sur le tableau 2
Le pivot est déjà à /. 'l faut remplacer L/ par L/ - 0FL0
L; ne doit pas *tre changée (il ! adéjà un 9) L< doit *tre remplacée par L<
;9999FL0
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!ableau 3
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 0 0 1 -2 3 300
x 1 0 0 1 -2 100
y 0 1 0 0 1 300
Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000
optimum nest pas atteint %1 4 est
()'
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%ariable entrante0 ratios et "ariable
sortante du tableau 3
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 0 0 1 -2 3 300 31--13/--
x 1 0 0 1 -2 100 34/--+342-
y 0 1 0 0 1 300
31--/31--
Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000
$ariable entrante e3 et sortantee1
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#tape 1
+i"ision du pi"ot par 3
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 0 0 1/3 -2/3 1 300/3=100
x 1 0 0 1 -2 100
y 0 1 0 0 1 300
Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000
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#tape 2
Apparition des / sur le reste
de la olonne Variables
en base x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 0 0 1/3 -2/3 1 300/3=100
x 1 0 0 1 -2 100
y 0 1 0 0 1 300
Z 0 0 0 -30000 20000 -15000000
l *aut remplacer 2 par 2 5 261, 3 par 301 et 7 par 702))))61
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!ableau 4
Variablesen base
x y e1 e2 e3 2ème membre Ratio
e1 0 0 1/3 -2/3 1 100
x 1 0 2/3 -1/3 0 300
y 0 1 -1/3 2/3 0 200
Z 0 -20000/3 0 -50000/3 0 -17000000
optimum est atteint %ous les 4 sont
n8&ati*s'
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&ésultats
3ptimum " /: 999 999 G;99
H099 Iérification "
2;9999G 5