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Chapitre 5 : Programmation Linéaire(Méthode du Simplexe)

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe)

Algorithme du simplexe Objectifs de la leçon :

-Comprendre la notion de base et solution de base.

-Savoir résoudre un problème de programmation linéaire à l’aide de la méthode du simplexe.

Dans cette leçon :

1- Introduction.

2- Problème canonique et solution de base.

3- Formule d’accroissement de la fonction objective.

4- Critère d’optimalité.

5- Itération de l’algorithme du simplexe.

6- Organigramme de l’algorithme du simplexe.

7- Tableau du simplexe.

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1.Introduction Soit le problème canonique de programmation linéaire suivant :

max2211 →+++ nnxcxcxc (1)

=+++++

=+++++

=+++++=+++++

mnmnjmjmm

ininjijii

nnjj

nnjj

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

2211

2211

222222121

111212111

(2)

0,,0,0 21 ≥≥≥ nxxx (3) Ici on suppose nmrangAbbb m ≤=≥ ,0,,, 21 . Le problème (1)-(3) peut être écrit sous sa forme matricielle :

≥

=

→

;0

,

,max'

x

bAx

xc

(4)

4


où A=A(I,J) -est la matrice des conditions, ( )jIAaj ,= -les colonnes de A,( ) ( )JcJc t=' -le vecteur des coûts, b= b(I) -le vecteur des contraintes,

( ) ( )JjxJxx j ∈== , -le vecteur des paramètres, { } { }nJmI ,,2,1,,,2,1 == -les ensembles d’indices des lignes et des colonnes de la matrice A.

On sait que le nombre de points extrêmes d’un tel problème peut atteindre Cmn .

La méthode du simplexe est une méthode itérative. Elle démarre d’un point extrême ( sommet de départ ) et passe au sommet voisin , et ceci constitue une itération de l’algorithme du simplexe. Pour cela , on doit définir le point extrême de départ et le test d’arrêt. 2- Problème canonique et solution de base Définition 1 Tout vecteur x vérifiant les contraintes (2) et (3) est appelé solution réalisable (admissible ) du problème (1)-(3).

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) Définition 2 Une solution réalisable 0x est optimale si )'max(' 0 xcxc = , pour toute solution réalisable x. Définition 3 Une solution réalisable x est dite de base si (n-m) de ses composantes sont nulles, et aux autres jmjj xxx ,,, 21 , correspondent m vecteurs jmjj aaa ,,, 21 de la matrice de condition A linéairement indépendants . L’ensemble JB={ }mjjj ,,, 21 est appelé ensemble des indices de base ; JH=J\JB ensemble des indices hors base. Autrement Une solution réalisable ( )Jxx= est solution de base si ( ) 0== HH Jxx ,

oùAB ,0det ≠ AB=A(I,JB) La matrice AB est appelée matrice de base , Bj Jjx ∈, -les composantes de base ;

Hj Jjx ∈, - les composantes hors base. Définition 4 Une solution de base x est dite non-dégénérée si jx >0, j∈JB.

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Exemple 1 Soit le système :

=+−=+−+.972732

431

4321xxx

xxxx

La solution basique liée à la base AB=A (I,JB) =(a3,a4 )=

−−

1713 , avec JB={ 3, 4},

est de la forme : x=(0,0,x3 ,x4) et ⇒≠= 04det BA le système bxA BB = admet une solution unique de base qui sera :

( )211,2

1,0,0 −=x .

3-Formule d’accroissement de la fonction objective

Soit ( )nxxxx ,....,, 21= une solution réalisable de base avec la matrice de base ( ) BHBB JJJJIAA /,, == .

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) Effectuons la partition suivante :

[ ] ( )

===

H

BHHHB x

xxJIAAAAA ,,, , ( ) ( )HHBBH

BHHBB JccJcccccJxxJxx ==

=== ,,),(),(

.

Considérons une autre solution réalisable quelconque xxx ∆+= .

L’accroissement de la fonction objective Z est donc égale à :

( ) ( ) xcxcxcxZxZZ ∆=−=−=∆ ''' . (5)

Comme x et x sont réalisables alors :

( ) 0=∆=−⇒== xAxxAbAxxA .

Comme

∆∆=∆

H

B

xxx , d’où 0=∆+∆=∆ HHBB xAxAxA ⇒ HHBB xAAx ∆−=∆ −1 et en

vertu de la relation (5) on obtient :

( ) HHHHBBHHBB xcxAAcxcxcZ ∆+∆−=∆+∆=∆ − '''' 1

⇒ ( ) HHHBB xcAAcZ ∆−−=∆ − '' 1 .

Construisons le m-vecteur y = y( I ) dit des potentiels : 1'' −= BB Acy ; (6)

et le vecteur ∆= ∆(J) = (∆j , j∈J ), dit des estimations :

∈−=∆−=∆

.,''''

JjcaycAy

jjj (7)

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) Remarque 1

( ) 0'' =∆=∆ BB J par construction.

En utilisant (6) et (7), l’accroissement de la fonctionnelle prend la forme suivante :

jJj

jHH xxZH

∆∆−=∆∆−=∆ ∑∈

' (8)

Comme jx j ∀≥ ,0 et Hj Jjx ∈∀= ,0 , donc .,0 Hjjjj Jjxxxx ∈≥∆=∆+= En utilisant cette dernière inégalité et la relation (8) on déduit le critère d’optimalité.

4-Critère d’optimalité Théorème 1

Soit { }BAx, une solution réalisable de base de départ, l’inégalité vectorielle ( ) 0≥∆=∆ HH J est suffisante pour l’optimalité de la solution de base x . Elle est

aussi nécessaire lorsque x est non dégénérée.

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) Preuve : -Condition suffisante :

Soit x une solution de base, telle que ( ) 0≥∆=∆ HH J , et considérons une autre

solution réalisable quelconque xxx ∆+= .

Comme xxx ∆+= ≥ 0 , donc 0≥∆+= HHH xxx et x est de base, c’est à dire,

0=Hx donc ( ) 0≥∆ HJx et en utilisant l’hypothèse ( ) 0≥∆ HH J on obtient l’inégalité suivante :

0''' ≤∆∆−=−=∆ HH xxcxcZ

⇒ xxcxc ∀≤ ,'' solution réalisable, et ceci montre que x est une solution optimale du problème. -Condition nécessaire :

Faisons la preuve par absurde.

Soit { }BAx, une solution optimale non dégénérée, et supposons que l’inégalité 0≥∆H n’est pas vérifié, c’est à dire, ,0 HJj ∈∃ tel que 0j∆ <0.

Construisons la solution réalisable xxx ∆+= , où x∆ est l’accroissement de x.

Pour cela posons :

=∈=∆

,,,/,0

0

0jjjJjx H

j θ

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) avec θ ≥ 0, et de l’admissibilité de x ( )bxA = , on calcule :

( ) HHBBB xAAJxx ∆−=∆=∆ −1''

= 01

jB aA−−θ .

Vérifions l’admissibilité de x par rapport à la contrainte directe ( )0≥x :

HHH xxx ∆+= ,ici 0≥Hx car 0≥θ et 0=∆ Hx partout sauf pour 0jj= .

01

jBBB aAxx −−= θ , ici on sait que Bx >0( x non dégénérée).

Donc pour θ suffisamment petit 0≥Bx .De là x est une solution réalisable.

En utilisant l’accroissement de la fonctionnelle, on obtient :

( ) ( ) 0' jxcxZxZ ∆−=∆=− θ >0, ce qui implique xc' > xc' et ceci contredit l’optimalité de x .

Remarque 2

Si les composantes du vecteur 01

jB aA− sont non positives, alors le problème de départ possède une solution infinie.

En effet, en construisant x admissible, il faut avoir 01

jBBB aAxx −−= θ .

Comme Bx >0 et si 00

1 ≤−jB aA , alors Bx est positif ou nul pour toute valeur de

θ, ce qui implique que x est une solution admissible .

De là en tendant vers l’infini θ , on obtient : ( ) ∞→∆−=∆+= 0''' jxcxcxcxZ θ

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5-Itération de l’algorithme du simplexe :

Soit { }BAx, une solution réalisable de base de départ et supposons que le critère d’optimalité n’est pas vérifié, c’est à dire l’inégalité ∆j ≥ 0 , j∈JH , n’est pas vérifiée .

Choisissons l’indice jJjjH

jJj ∆=∆∈

∈∆ ,00 min/ 0

.

Le but de l’itération est de faire rentrer cet indice j0 dans la base (autrement dit la colonne aj0 va rentrer dans la base).

Donc il faut trouver un indice j1∈JB, qui sortira de la base (à cet indice correspond la colonne Bj Aa ∈1 ).Et ceci constitue l’itération, qui procède au

passage de la solution de base ( point extrême ){ }BAx, à la solution { }BAx, (sommet voisin ) et tel que ( ) ( )xZxZ ≥ . La nouvelle solution de base x sera trouvé de la manière suivante :

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θ+=xx ,où est la direction du changement et θ le pas le long de cette direction.

Construisons la direction de la manière suivante : Sur JH , posons :

=∈=

.0

0,1

,\,0jj

jJj Hj

Sur JB :

x doit être réalisable, donc elle doit vérifier bxA = et comme bAx= donc 0=Aθ , c’est à dire 0=A .

De cette dernière relation on obtient :

( ) HHBBB AAJ

1−−== .

De là 0≥=+= HHHH xx θθ et BBB xx θ+= ⇒ 01

jBjj aAxx −−= θ .

Si les composantes du vecteur 001 ≤−

jB aA , alors ,0,0 ≥∀≥ θjx donc on peut prendre θ = ∞ et on aura une solution infinie.

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Si parmi les composantes du vecteur 01

jB aA− , ils existent celles qui sont

négatives, donc en augmentant θ certaines composantes de Bx seront négatives.

Pour avoir 0≥Bx , il faut prendre un pas maximal 0θ :

jJj B

θθ∈

=min0 = 10

0

,0/min jBjjjj

j Jjxxx θ=

∈ , jjB xoùJj0

,1∈ est la jème composante

de 01

jB aA− .

La nouvelle base sera :

( )1\ jJJ BB = 0j∪ et ( )j1a\BB AA = 0ja∪ .

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Soit { }BAx, une solution réalisable.

Calculer 1'' −= BB Acy et Hjjj Jjcay ∈−=∆ ,' .

Stop, Le maximum de la fonction objective tend vers l’infini.

Hj Jj∈≥∆ ,0

0/ 00 jHJj ∆∈∃

et 001 ≤−

jB aA .

Stop, x est une solution optimale.

Déterminer HJj

jjj∈∆=∆ min/ 00 , et

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1 / jj θθ = =

∈ Bjjjj

j Jjxxx ,0/min 0

0

.

Calculer ( ) ( ) ( )( )HB JxJxJxx ,== / ( ) ( ) 0

1jBBB aAJxJx −−= θ ,

0=jx , 0j\HJj∈ , 00 θ=jx .

Poser ( )1j\BB JJ = 0j∪ , ( )0j\HH JJ = 1j∪ , ( )BB JIAA ,= ,

d’où { }BAx, la nouvelle solution réalisable de base.

Oui

Non

Oui

Non

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) 7-Tableau du simplexe :

Les différents calculs qu’on aura à effectuer dans les différentes étapes de résolution seront disposés dans le tableau suivant

c 1c 2c 3c …… mc 1+mc …..

jc …... nc

Bc Base b 1a 2a 3a …… ma 1+ma ….. ja …... na θj

1c 1a 11 xb = 1 0 0 …… 0 1,1 +mx …..

jx1 ….. nx1 θ1

2c 2a 22 xb = 0 1 0 …… 0 1,2 +mx …..

jx2 ….. nx2 θ2

3c 3a 33 xb = 0 0 1 …… 0 1,3 +mx …..

jx3 ….. nx3 θ3

mc ma mm xb =

0 0 0 …… 1 1, +mmx …..

mjx

….. mnx θm

BB xcZ '= ∆j ∆1=0 ∆2=0 ∆3=0 …… ∆m=0 ∆m+1 ….. ∆j ….. ∆m

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Remarque 3 : Les m-vecteurs de la base ne sont pas forcement les premiers.

Exemple 2 : Nous allons résoudre le problème de programmation linéaire suivant, par la

méthode du simplexe :

=≥=+−=++−

=++→+=

.5,1,0632532

4max,2

521

421

321

21

jxxxxxxx

xxxxxZ

j

On a { }5,4,3,2,1=J et { }5,4,3=BJ , { }2,1=HJ avec 3IAB= , donc la solution réalisable de base est ( )6,5,4,0,0=x ,dressons alors le premier tableau du simplexe :

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c 2 1 0 0 0

Bc Base b 1a 2a 3a 4a 5a θj

0 3a 4 1 1 1 0 0 4 L 11

0 4a 5 -2 3 0 1 0 / L 12

0 5a 6 2 -3 0 0 1 3 L 13→vecteur

sortant

Z=0 ∆j -2 -1 0 0 0

↑vecteur rentrant

On remarque que la relation Hj Jj∈∀≥∆ ,0 , n’est pas vérifiée , donc la solution réalisable de base initiale n’est pas optimale, on doit alors changer la base de la manière suivante :

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,2min 1 −=∆=∆∈ jJj H

donc 10=j , de là le vecteur 1a va rentrer dans la nouvelle

base, et calculons jJj Bθθ

∈=min0 :

326,41

453 ==== θθ , d’où ,3min 5

01

====∈

θθθθ jJjj Bde là, le vecteur a5 va sortir de

la base, et la nouvelle base est { } { }2,5,1,4,3 == HB JJ , Pour déterminer la nouvelle solution x , dressons le 2ème tableau du simplexe :

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Programmation Linéaire (Méthode du Simplexe) c 2 1 0 0 0

Bc Base b a1 a2 a3 a4 a5 θj

0 a3 1 0 2

5 1 0 2

1− 5

2 →L 21 = L 1

1 21− L 1

3

0 a4 11 0 0 0 1 1 / L 22 = L 1

2 + L 13

2 a1 3 1 2

3− 0 0 2

1 / L 23 = 2

1 L 13

6=Z ∆ j 0 -4 0 0 1

↑

La nouvelle solution de base est donc ( )0,11,1,0,3=x de plus elle n’est pas

optimale, car 042 −=∆ .

On doit alors changer la base une autre fois :

,4min 2 −=∆=∆∈

jJj H

donc le vecteur 2a va rentrer dans la base.

Comme 3min1 θθθ ==∈

jJjj

B, donc le vecteur a3 sortira de la base.

D’où, on obtient : { } { }3,5,1,4,2 == HB JJ , pour déterminer la nouvelle solution x , dressons le 3ème tableau du simplexe :

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c 2 1 0 0 0

Bc Base b a1 a2 a3 a4 a5 jθ

1 2a 5

2 0 1 5

2 0 51−

→L 31 =

52

L 21

0 4a 11 0 0 0 1 1 L 32 = L 2

2

2 1a

518 1 0

53 0

51 L 3

3 = L 23 + 5

3 L 21

Z = 538 ∆ j

0 0 58 0

51

La nouvelle solution de base est donc x = ( )0,11,0,52,5

18 , comme ∆ j ≥ 0,

∀j∈ J H , l’algorithme s’arrête et la solution obtenue est optimale, avec Z = 538

Remarque 4 :

L 32 par exemple, désigne la 2ème ligne du 3ème tableau.

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Chapitre 5 : Programmation Linéaire(Problème de Transport)

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Programmation Linéaire(Problème de Transport)

Problèmes de transport Il s’agit de déterminer la façon optimale d’acheminer des biens à partir de m entrepôts et de les transporter vers n destinations et cela à moindre coût. Nous allons faire l’hypothèse que toute la marchandise de tous les entrepôts doit être acheminer vers les différentes destinations. Nous allons illustrer ce problème à partir de l’exemple suivant.

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Bibliographie

1) Cours Théorie des graphes ,Mme Djoudi Naïma . 2) La recherche opérationnelle et l'optimisation combinatoire:présentation,méthodes

secteurs d’application,Marie-Christine Costa ENSTA-CEDRIC-Paris avec la participation de Jean-Charles Billaut Polytech-Tours.

3) Recherche Opérationnelle:Programmation Linéaire.M.AIDENE,et B.OUKACHA. 4) Les Graphes par L’exemple, F.DROESBEKE, M.HALLIN, CL.LEFEVRE. 5) Précis de recherche opérationnelle.Nicole-Sylvie GUILLOT-LE GARFF,et Manuel BLOCH.

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