Problème de transport

Formulation du problème de transport. Propriétés de la matrice descontraintes. Adaptation de la méthode du simplexe. Méthode ditedu coin Nord-Ouest, méthode du coût minimal. Problèmes dedégénérescence. Généralisation du problème de transport.

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Le 1e problème de flot à coût minimum à être formulé et résolu.

Ce problème peut être formulé à l’aide d’un graphe simple oùil n’y a pas de sommets intermédiaires,

seulement un ensemble de sommets source S,et un ensemble de sommets puits P.

Le mot transport provient de la considération des sommets dans Scomme des usines et de ceux dans P comme des clients.

Il s’agit de transporter les unités de disponibilité à partir dessources jusqu’aux clients à coût de transport total minimum.

Hypothèse du modèle proposé :

Le coût de transport pour acheminer des biens d’une source i à unedestination j est proportionnel au # d’unités de biens acheminées.

Introduction

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Énoncé général du problème de transport

m origines,n destinations

où ai la quantité de biens à acheminer de la source iaux n destinations,

bj la quantité de biens nécessaire pour satisfaire à lademande à la destination j,

cij coût unitaire de transport entre une source i et unedestination j,

xij la qté transportée de l’origine i à la destination j.

Problème deprogrammation

linéaire dotéd’une structure

particulière.

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Au problème de transport est associé un graphe biparti G

Chaque origine est représentée par un sommet Oi,chaque destination par un sommet Dj,chaque route de l’origine i à la destination j par un arc orienté de

Oi vers Dj.Note : Il n’y a pas d’autres arcs.

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Exemple :

Une entreprise fabrique un seul produit et possède 3 usines et 4 clients.

Les trois usines produiront 3000, 5000 et 4000 unités respectivement.

L'entreprise a pris l'engagement de vendre :4000 unités au client 1,3000 unités au client 2 etau moins 1000 unités au client 3.

Les clients 3 et 4 voudraient tous les deux acheter autant que possibledes unités qui restent.

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Le profit net associé avec le transport d'une unité de l'usine i pour lavente au client j est donné par le tableau ci-dessous :

La direction de l'entreprise veut savoir :- combien d'unités vendre aux clients 3 et 4 et- combien d'unités transporter de chacune des usines à chacun des clients afin de maximiser le profit total.

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On vise à maximiser le profit et non pas de minimiser un coûtcomme c'est le cas au problème de transport.

On n'a qu'à multiplier chaque profit par -1 et puis à minimiser.

Il faut 3 sommets, numérotés 1, 2 et 3 ayant des disponibilités de3000, 5000 et 4000 unités resp., pour représenter les 3 usines.

Il faut aussi 3 sommets, numérotés 1, 2, 3 ayant des demandes de4000, 3000 et 1000 unités resp. pour représenter les 3 premiers clients.Ces demandes assurent au moins 1000 unités pour le client 3.

Maintenant, puisqu'il reste 4000 unités de disponibilité à distribuerparmi les clients 3 et 4, alors nous créons 2 autres sommets 3' et 4avec des demandes de 4000 unités chacun, car les clients 3 et 4peuvent recevoir jusqu'à 4000 des unités disponibles.

Les sommets 3 et 3' représentent le même client physique.

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Nous avons 3000 + 5000 + 4000 = 12000 unités de disponibilité et4000 + 3000 + 1000 + 4000 + 4000 = 16000 unités de demande.

Donc, il faut créer un sommet (usine) fictif 4 avec disponibilité4000.

Ce sommet ne pourra alimenter les clients 1, 2 et 3 maisfournira des unités fictives aux clients 3' et 4.

Ces unités fictives représentent ce que les clients 3' et 4 nerecevront pas des 12000 unités disponibles.

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Usines Clients

Un coût M trèsgrand car aucunflot ne doitemprunter ces arcs.

Un coût nul car onveut utiliser cesarcs bien qu’ilsn’apportent pas deprofit.

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Exemple :L'entreprise Sporcau, spécialiste de la saucisse de porc, dispose de4 laboratoires où elle élabore son produit, et de 5 centres de distributiond'où elle ravitaille sa clientèle.

Le marché de la saucisse de porc est devenu fort concurrentiel et,récemment, l'entreprise a vu se resserrer ses marges. Elle a doncentrepris une étude pour abaisser ses coûts. Les coûts de transport,en particulier, sont rapidement apparus comme plus élevés que ceuxdes concurrents.

Jusqu'ici, l'horaire quotidien d'acheminement des produits entrelaboratoires et centres de distribution était dressé par un répartiteuraverti armé de son bon sens et de son flair.

Chez Sporcau, on pense qu'il s'agit là du maillon faible de la chaînede contrôle des coûts de transport et on veut que le répartiteur adopteune méthode qui mènera à un horaire quotidien optimal.

Yves Nobert et al., 95, pp. 337-341.

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Les 4 laboratoires fonctionnent 7 jours sur 7. Les viandes qu'on yconditionne sont livrées aux centres de distribution où s'approvisionnenttous les clients de Sporcau, du supermarché à la boucherie de quartier.

Une carcasse de porc livrée le jour 1 dans un laboratoire réapparaît sousforme de saucisses le jour 3 sur les étals du rayon de la charcuterie desclients.

Chaque centre de distribution enregistre les commandes de saclientèle et les communique à la direction de l'entreprise, qui assure unapprovisionnement adéquat.

Le transport, au tarif kilométrique âprement négocié et incompressiblede 2$ la tonne, est confié aux camions réfrigérés de la société Dicam.

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Distances (km) entre les laboratoires et les centres de distribution.

Chaque laboratoire s'approvisionne en carcasses de porc désosséesauprès de coopératives d'éleveurs de son voisinage, qui lui enfournissent chaque jour une quantité convenue.

Les pertes de poids subies lors de la transformation de la chair àsaucisse en saucisses sont compensées par le poids des additifsalimentaires et celui des emballages.

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On recherche un plan d'acheminement à coût minimal des laboratoiresaux centres de distribution. Les saucisses de Sporcau sont expédiéesdirectement des m origines (ici m = 4) aux n destinations (ici n = 5)selon des coûts de transport directement proportionnels aux qtés

transportées et sans que leur soient imposées, sur les routes empruntées,des conditions quant à leur poids maximal ou minimal.

14Réseau de transport chez Sporcau

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Données pertinentes présentées sous forme d’un tableau appelé« tableau de transport »

Coûtunitaire

detransport

Disponibilité iDemande j à satisfaire par le centre Cj.

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Propriétés caractéristiques du problème de transport :

Hypothèse non restrictive :

Disponibilité totale > demande totale

Ajouter une destination fictive de plus avec comme demande :

Disponibilité totale < demande totale

Ajouter une origine fictive de plus avec comme disponibilité :

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Théorème :

Moyennant la condition précédente, le problème de transportpossède toujours une solution optimale (finie).

Preuve :

Si la condition précédente est satisfaite, l’ensemble des solutionsréalisables du problème de transport n’est jamais vide :

xij = ai bj

ai

i

est un exemple.

D’autre part, on a nécessairement pour toute solution réalisable :

xij min {ai, bj}.

Autrement dit, l’ensemble des solutions réalisables doit êtrecompact. Il existe donc un minimum.

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Théorème :

La matrice A des coefficients des contraintes est de rang (m + n - 1).

Théorème :

La matrice A est totalement unimodulaire, c’est-à-dire que toutesous-matrice carrée de A possède un déterminant égal à 0, +1 ou –1.

Théorème de Dantzig, Heller, Tompkins et Gale :

La matrice d’incidence aux arêtes d’un graphe est totalementunimodulaire les sommets du graphe peuvent être répartis en 2ensembles disjoints tels que 2 sommets adjacents ne soient pas dansle même ensemble.

Corollaire :

Si les ai et bj sont entiers, les valeurs des variables sont entières danstoute solution de base réalisable et il existe donc au moins unesolution optimale entière.

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2 autres propriétés importantes du problème de transport :

Théorème :

Toutes les bases du problème de transport sont triangulaires.

Note : Une matrice carrée B est dite triangulaire s’il existe aumoins une ligne (ou colonne) dans B avec exactementun élément non nul et tel que la sous-matrice obtenueen supprimant la ligne et la colonne contenant l’élémentnon nul possède la même propriété et ainsi de suite.

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Théorème :

Il y a une correspondance biunivoque entre les bases du problèmede transport et les arbres partiels de G : un tel arbre constitue unensemble de « routes de base » du graphe de transport G.

Une démonstration de ce théorème est présentée dans[M. Simonnard, Programmation linéaire technique du calcul économique. Dunod, 1972, pp.186-187].

Preuve :

Nous verrons maintenant comment tirer profit des propriétés duproblème de transport pour résoudre plus simplement ce problèmeà l’aide du simplexe.

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Généralement, pour résoudre ce problème, celui-ci est représenté defaçon compacte en un tableau rectangulaire, dit tableau de transport T :

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Obtention d’une solution de base réalisable initiale

Nous pouvons appliquer la méthode des 2 phases et introduire m + nvariables artificielles. Lorsque celles-ci sont exclues de la base, nousavons en main une solution de base réalisable initiale.

Voici une méthode plus simple :

xij = ai bj

ai

i

est une solution réalisable.

Mais ceci n’est pas une solution de base car la matrice A est de rangm + n – 1; donc, une soln de base doit comporter au plus m + n –1valeurs strictement positives.

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Voici comment l’obtenir :

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Exemple :

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Cette solution comprend (3 + 5 – 1 ) = 7 nombres positifs.

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En éliminant la 1ière contrainte, la base correspondante qui est forméedes vecteurs {P11, P12, P22, P23, P24, P34, P35} a la structure:

28Note : Cette méthode ne tient pas compte du coût; la soln peut s’avérer

être loin de la soln optimale.

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D'autres règles de démarrage tiennent explicitement compte descoûts et peuvent ainsi économiser du temps de calcul à la méthodedu simplexe - moyennant le temps supplémentaire nécessaire pourles appliquer.

Jusqu'ici, aucune règle ne s'est prouvée empiriquement etuniformément meilleure que les autres.

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Algorithme du problème de transport (simplexe adapté)

1. Rechercher une solution de base réalisable initiale.

2. Appliquer un test d’optimalité.

3. Si la solution courante n’est pas optimale,rechercher une solution de base réalisable améliorée.

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Test d’optimalité

Le problème de transport s’énonce comme suit :

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La dernière équation de ce système exprime que si xij 0, on doitavoir : cij = ui + vj.

Or xij ne peut être différent de zéro que si c'est une variable de base;soit I l'ensemble des couples d'indices (i, j) des variables de base.

Il en résulte qu'étant donné une soln de base réalisable et un ensembledes valeurs des ui et vj vérifiant le système de (m + n - 1) équationsà (m + n) inconnues suivant :

cij = ui + vj (i, j) I

la solution de base considérée est optimale si et seulement si:cij - (ui + vj) ≥ 0 i = 1, ..., m;

j = 1, ..., n.

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L'indétermination du système résulte du fait que l'on aintroduit (m + n) variables duales associées à (m + n) équations nonindépendantes; l'une d'entre elles est une conséquence des (m + n - l)autres, de sorte que l'on choisira arbitrairement l'une des variablesduales, disons vn = 0.

Remarques :

Une fois que l'on a fixé, par exemple vn = 0, la résolution du système est immédiate puisqu'il est triangulaire.

Après avoir calculé la valeur des variables duales, il devient facile decalculer la valeur des composantes du vecteur de coût relatif :

cij - (ui + vj), i = 1, ..., mj = 1, ..., n, pour les variables hors-base.

Si l'une de ces composantes est plus petite que zéro, alorsnous ne sommes pas à l'optimum.

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Exemple :

Considérons de nouveau l’exemple précédent avec la solution debase obtenue par la méthode du coin Nord-Ouest :

La soln n’est pas optimale car, par ex., c31 – u3 – v1 = 5-3-7 = -5 < 0.

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Passage à une autre solution de base réalisable :

Pour passer d’une soln de base réalisable à une autre et améliorer lavaleur de la fonction objective, il faut appliquer la méthode dusimplexe :

- déterminer les variables d’entrée et de sortie,- déterminer la nouvelle solution de base réalisable.

Dans l’exemple précédent, puisque c31 – u3 – v1 < 0, l’algorithmedu simplexe nous dit qu’il y a avantage à introduire x31 dans la base.

Posons x31 = , une valeur positive. Pour que les totaux marginauxrestent satisfaits, il faut modifier la solution en conséquence.

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Il faut déterminer un chemin, qui passe par des cases marquées(xij > 0), qui se ferme sur la case choisie (ici x31) et qui est obtenuen se déplaçant successivement, parallèlement aux lignes etparallèlement aux colonnes du tableau.

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Un tel chemin est unique, car il traduit tout simplement le fait que P31

s’exprime comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base :

P31 = P11 – P12 + P22 – P24 + P34.

La valeur maximum possible de se détermine, comme dansl'algorithme du simplexe, en exprimant que toutes les variablesrestent positives ou nulles, il est clair ici que la valeur maximum de est 1, et que pour cette valeur x22 = 0 (donc P22 sort de la base).

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La nouvelle soln de base et les valeurs duales associées seront donc :

Cette solution n’est pas optimale puisque ne sont pas satisfaites niu3 + v2 c32 ni u3 + v3 c33. On poursuit jusqu’au tableau final :

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Énoncé de l’algorithme du problème de transport

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Dégénérescence

C’est le cas lorsqu’il y a moins de m + n – 1 valeurs xij strictementpositives.

Cela peut se présenter soit, lors de la recherche d’une solution debase réalisable initiale, soit, au cours d’une itération.

Comment remédier aux problèmes de dégénérescence dansl’algorithme de transport ?

(i) Conserver une trace des variables de base nulles afin de pouvoirappliquer sans difficulté l’algorithme de transport.

(ii) Perturber les constantes ai et bj pour éviter un cycle.

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Dégénérescence lors du calcul de la soln de base réalisable initiale

Cela survient à chaque occasion où une ligne et une colonne sontsaturées simultanément par une attribution, on réduit ainsi de 1 lenombre d'attributions nécessaires à l'obtention d'une soln initiale.

Le # idéal d'attributions, qui est égal à (m + n -1) ne pourra doncêtre atteint.

Pour contourner ces difficultés, on procède ainsi :

[NOBE 95, pp. 367-375]

Chaque fois qu'on sera amené à effectuer une attribution quisature à la fois une ligne et une colonne, on choisira, dans cetteligne ou dans cette colonne, une autre case que celle qui reçoitl'attribution, pour y inscrire explicitement 0.

La variable associée à cette case sera considérée comme unevariable de base prenant la valeur 0.

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Voici une façon heuristique de choisir la case où inscrire ce 0 :

Dans les 2 rangées saturées par l'attribution, on choisit la casede coût unitaire minimal pour y inscrire 0.

Dans le cas où ce coût minimal se retrouve dans plus d'une casede ces rangées, on tranche au hasard.

Voici une façon heuristique de choisir la variable de sortie dans le casoù plusieurs variables de base ont la valeur 0 :

Parmi les variables candidates au rôle de variable sortante,on choisit celle dont le coût unitaire est maximal.

En cas d'égalité, on tranche au hasard.

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Optimum multiple

Il est aisé de reconnaître la non unicité de l’optimum en examinantles composantes du vecteur de coût relatif : cij – ui – vj.

Si l’on a en main une solution de base réalisable optimale,une condition nécessaire pour qu’il en existe une autre est :

il existe une variable xij qui n’appartient pas à la base etpour laquelle l’équation duale est satisfaite en tant qu’égalité.

Cette condition est suffisante si, en introduisant le vecteur Pij dans labase, la variable xij prend une valeur positive.

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Généralisations du problème de transport

Au lieu d’un coût unitaire fixe, nous sommes en présence d’uncoût non linéaire : cij(xij) ou, de façon plus générale, cij(x).

L’objectif du problème de transport s’énonce alors comme suit :

cij(xij) i = 1, 2, …, mj = 1, 2, …, n

cij(x) i = 1, 2, …, mj = 1, 2, …, n

ou encore

Les quantités demandées aux destinations et celles disponibles auxsources ne sont pas fixes.

- lesquelles dépendent des quantités produites aux sources.

Des fonctions de coût non linéaires peuvent être introduites dans lemodèle :- afin de prendre en compte les différences qui interviennent entre les quantités demandées et celles acheminées.

51FIN

Il se peut que les quantités disponibles aux sources doivent êtreacheminées à des centres de distribution avant d’arriver auxdestinations.

Il se peut aussi que les quantités acheminées d’une source i à unedestination j doivent respecter certaines limites :

Lij xij Dij.

On se ramène alors au problème de flot à coût minimum.