La division,les nombres décimaux

et les fractions

Les compétences en mathématiques des élèves en fin d'école primaire

Les notes d'information DEPP N°10.17 octobre 2010

Les résultats en fin de primaire

• Plus de 25% des élèves (27,9% ont une maîtrise optimale de l'ensembledes exigences du programme

• 30,7% élèves ont des performances satisfaisantes pour suivre avecprofit le cursus au collège

• 15% des élèves sont en grande difficulté (11,8%) et même 3,2%d'entre eux en très grande difficulté

• 25% restants ( 26,4%), construction des automatismes en cours maiscapacités partielles qui ne permettent pas le transfert de compétencesdans des situations nouvelles

Cinq compétences évaluées en 385 items

• Identifier des notions (67)o reconnaître des notions mathématiques et choisir un résultat.

• Exécuter un calcul (25)o calculer mentalement et choisir un résultat

• Traiter des données (175)o analyser des données mathématiques et choisir un résultat

• Produire en autonomie(110)o analyser, réaliser, résoudre un problème, exécuter un tracé,

rédiger une réponse

• Contrôler-valider(8)o juger ou vérifier une réponse

Si on vous demande de définir …

Quel … souvenir ?

Une opération …

Un nombre entier … naturel … relatif …

Un nombre rationnel … réel …

Une fraction …

Un nombre décimal …

Qu’est-ce qu’une opération ?

« concrètement » :

Une opération traduit une « action » sur des nombres, qui se rapportent à dessituations concrètes, issues de l’expérience quotidienne

mathématiquement :

a et b sont des nombres entiers, c est le résultat de l’opération :

(a ; b) c

Quelques rappels …

L’ensemble des entiers naturels IN = {0, 1, 2, …, n, …}

À l’E.E., • Les expressions « entier naturel », « entier » et « naturel » sont synonymes.

• IN est un ensemble infini dit dénombrable.

• IN a un plus petit élément : 0.

• IN n’a pas de plus grand élément.

L’ensemble des entiers relatifsZ = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}, n naturel

• Z est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.

• Z n’a ni plus petit ni plus grand élément.

• Chaque entier relatif a un successeur et un prédécesseur uniques.

• Ordre ≤ (ou <) prolonge celui de IN, mais attention…

• Entre deux entiers relatifs consécutifs, on ne peut intercaler aucun entier relatif. Division (exacte) pas toujours faisable.

•IN Z • La relation | a cours dans Z privé de 0.

• À l’E.E. : hors sujet en mathématiques

L’ensemble Q des nombres rationnels

• Un élément de Q peut toujours être écrit sous forme de fraction,

C’est-à-dire comme le quotient p / q de deux nombres entiers relatifs, où q ≠ 0.

• Q est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.

•IN Z Q • À l’E.E. : hors sujet sauf fraction-partage et fraction décimale

L’ensemble IR des nombres réels

• Il y a d’abord les rationnels, ceux qui peuvent s’écrire sous forme de fraction à numérateur et dénominateur entiers relatifs, ce dernier étant ≠ 0.

• Il y a surtout les autres, les irrationnels comme √2, π. Ils sont « beaucoup plus nombreux ». Étude en Terminale S.

•IN Z Q IR ( Complexes)

La divisionUn peu d’histoire …

La division à la française …Voir site de JL Bregeon, IUFM Auvergnehttp://jean-luc.bregeon.pagesperso-orange.fr/Page%200-3.htm

En 1927, le programme du Cours Elémentaire 2 était le suivant :

• La division (chercher la valeur d’une part)

• La division (chercher le nombre de parts)

• Reste de la division

• Le diviseur a 1 chiffre et le quotient à plusieurs chiffres

• Zéros intercalés au quotient

• Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres

• Le quotient poussé aux décimales

• Le dividende est décimal

• Le diviseur est décimal

• Le diviseur est terminé par des zéros.

La division d

Alors, on dit quoi ?•3 est un décimal.•3,14 est un décimal;•π est un décimal.•π est un rationnel.•La fraction 4 / 3 est un décimal.•La fraction 3 / 4 est un décimal.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.•Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.•Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.•Toute fraction est plus petite que 1.•La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite sous forme de fraction décimale.•Le quotient de deux réels est une fraction.•Un entier naturel a une écriture fractionnaire.•Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal 0,988.•Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.•Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.•Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale ou sous forme de somme de fractions décimales.•L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.•455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.•31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.•Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction.•Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction décimale.•Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.•Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.•Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000•Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.•Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.1,234 = 12/10 + 34/10

Programme du cycle 3 Les nombres décimaux et les fractions :

• fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ;

• nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près.

Socle commun : Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique

A) Les principaux éléments de mathématiques

L’élève est capable de : • écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres

décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples ;

• utiliser les techniques opératoires des quatre opérations sur les nombres entiers et décimaux (pour la division, le diviseur est un nombre entier) ;

Progression cycle 3 (rien en CE2)

CM 1 CM 2Fractions

• Nommer les fractions simples et décimales en

utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart,

dixième, centième.

• Utiliser ces fractions dans des cas simples de

partage ou de codage de mesures de

grandeurs.

Fractions• Encadrer une fraction simple par deux

entiers consécutifs.• Écrire une fraction sous forme de

somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.

• Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

Nombres décimaux

• Connaître la valeur de chacun des chiffres de

la partie décimale en fonction de sa position

(jusqu’au 1/100ème).

- Savoir :

. les repérer, les placer sur une droite

graduée,

. les comparer, les ranger,

. les encadrer par deux nombres entiers

consécutifs,

. passer d’une écriture fractionnaire à une

écriture à virgule et réciproquement.

Nombres décimaux• Connaître la valeur de chacun des

chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusqu’au 1/10 000ème).

-Savoir :- les repérer, les placer sur une droite

graduée en conséquence,• les comparer, les ranger,• produire des décompositions liées à une

écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; 1 000... et 0,1 ; 0,01 ; 0,001...

• Donner une valeur approchée à l’unité près, au dixième ou au centième près.

Ce chapitre est un chapitre délicat, la notion est difficileet les élèves construisent rapidement de faussesreprésentations des fractions ou des décimaux (denombreuses analogies avec les entiers en sont les causes).

Particularités

• Les nombres décimaux sont inclus dans les rationnels.

• Il existe quelques fois plusieurs écritures pour un mêmenombre, ½ égale 0,5 et des fois non 1/3 est différentde 0,3.

• Il n’existe pas de suivant à un nombre décimal : 1,4n’est pas le suivant de 1,3 !!

Entre 1,3 et 1,4 il y a une infinité de nombresdécimaux !!

Remarques :

Les écritures à virgules.

J’utilise l’expression « écriture à virgule » pour l’écriture d’un nombre avec une virgule.

Cette expression n’est pas synonyme de nombre décimal :

• 2 = 2,00 c’est l’écriture à virgule d’un nombre entier.

• 1,5 c’est l’écriture à virgule d’un nombre décimal.

• 3/2 c’est l’écriture fractionnaire d’un nombre décimal.

• 0,3 c’est l’écriture à virgule approchée de la fraction 1/3.

• 3,14 c’est l’écriture à virgule approchée du nombre réel pi (les rationnels sont eux aussi insuffisants pour résoudre certains problèmes et l’on a besoin d’un ensemble de nombre plus grand contenant les rationnels qu’on appelle les nombres réels : quelle est la longueur du côté d’un carré de 2cm² d’aire ?).

Questions

• Si c’est si complexe pourquoi avons-nous besoin des fractions ?Pour résoudre des problèmes où les entiers ne donnent pas de solution (mesure / partage…).

Conséquences

Les procédures de calculs se rapprochent de celles des nombres entiers et lesexpressions sur les mesures, la monnaie … utilisent le principe d’échange d’unpaquet de 10 pour une unité dans le rang supérieur.

- Si les décimaux sont inclus dans les rationnels, pourquoi avons-nous besoin des nombres décimaux ?

En fait cette question n’est pas la bonne, elle se formule plutôt sous la forme : pourquoi avons-nous besoin des écritures à virgules ?Parce qu’on peut étendre la numération décimale de position aux écritures à virgule :

Nous sommes sur une difficulté des fractions, les deux représentationssont identiques mise à part la disposition des parts.• Pourtant dans la 1ère représentation, j’ai dessiné 3 gâteaux, j’ai partagéchacun en 3 parts égales et j’en ai colorié 7 parts.

• Dans la 2ème représentation, j’ai dessiné 1/3 d’un gâteau 7 fois.

En résumé dans la 1ère représentation , j’ai colorié 7 parts sur 9 soit les 7/9de 3 gâteaux ; dans la deuxième représentation, j’ai colorié 1 part sur 3 septfois soit 7 X 1/3 d’un gâteau.

Dans les deux cas, on a représenté une fraction de quelque chose. C’est cequelque chose qui est essentiel d’identifier, surtout avec les enfants, c’estaussi important que la notion plus évidente de parts égales.Et donc le gâteau ne permet pas de représenter une fraction supérieure à 1.

• Qu'est-ce que 7/3 ?

Les fractions

Les limites des travaux sur les fractions

à l’école primaire.

• Enseignement limité au sens : pas de techniques automatisées.

• « La seule raison d’être des fractions à l’école primaire, c’est d’aider à la compréhension des décimaux » (R. Charnay)

• Quelle représentation de 5/3 ?

– Un seul sens à l’école primaire : 5 fois 1/3

Un best-off des « théorèmes-élèves »

• 3/4 confondu avec 3,4

• 12/10 identifié à 12,1

• 12/100 identifié à 12,1

• 120/10 identifié à 110

• 3/4 < 75/100 car 3 < 75 et 4 < 100

• Chez Leclair, l’essence coûte 1,49€ le litre.

Chez Ochant, elle ne coûte que 1,5€ le litre

• De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est celuiqui a la partie décimale la plus longue

• De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est celuiqui a la partie décimale la plus grande

• On lit 3,257 « trois virgule deux cent cinquante sept ». Le chiffre des centièmesest donc 2

• Fatou a 2 pièces de 1€, 2 pièces de 20 cent et de 9 pièces de 1 cent. Johndispose lui de 2 pièces de 1€ et d’une pièce de 50 cents. Fatou qui a davantagede pièces que John a donc davantage d’argent …

• On ne peut pas donner avec nos pièces une somme comprise entre 6,78€ et6,79€. Il n’y a donc pas de décimal à intercaler entre 6,79 et 6,79

• Graduation d’une droite « lue » comme graduation régulière

• Partage d’une quantité, d’une grandeur « lu » comme partage égalitaire(équitable)

• 1/2, 3/5, 7/10 … sont des décimaux, ayant chacun une écriture décimale. Donc2/3 qui a aussi une écriture décimale est … décimal

• 1/2, 3/5, 7/10 … sont des décimaux. Il s’écrivent avec une virgule. Donc seuls lesnombres à virgule peuvent être décimaux

• Repérer un décimal sur une droite régulièrement graduée sans avoir identifié les graduations. Par ex, graduation régulière de 2 en 2 entre 4 et 5 lue comme graduation régulière de 1 en 1

• 34,56 est plus grand que 35,5 car le premier a plus de chiffres que le second

• Compter en dixièmes à partir de 7,8 : 7,9 7,10 7,11 etc. …

• Compter en centièmes à partir de 7,97 : 7,98 7,99 7,100 7,101 …

• 7,50 = 7,5 donc 12,05 = 12,5

• Suite à une soustraction, on trouve 07,05. Donc le résultat est 7,5

• 4 dixièmes = 4,10

• 6 centièmes = 6,100 ou 6 centièmes = 6,001 ou 6 centièmes = 6,01

Les difficultés rencontrées par les élèves sur les fractions

• Le sens

• Les relations d’ordre (comparaison)

• Les calculs

Le sens des fractions

• Les faux amis : la tarte– Les élèves raisonnent sur une part de tarte comme

une entité.

– Préférer les travaux sur les aires ou les longueurs.

• Articulation langage-concept : importance du lexique.– Ex : 4 tiers et 2 tiers = 6 tiers…. Sans savoir ce

qu’est un tiers !

Les relations d’ordre

• A construire physiquement (situations auto–validantes)

– Anticipation d’un résultat puis vérification. Ex : bandes de différentes longueurs.

• Utiliser la bande numérique

• Travaux d’encadrement des fractions par des entiers

Les calculs

• Light : se limiter aux cas simples

• Décomposition en somme d’entier et de fraction

– Reconstruction du 3/3=1 à partir de la définition du tiers

– Tartes de nouveau envisageables ici ! (bien que…)

Les décimaux

Les décimaux

• Révélateur de l’enseignement ‘à coup de règle’ (R. Charnay)

– Enseignement de recettes

– Pas de travail sur les fondements

– Mélanges et interférences

• Un exemple : 23,4 x 100 = 2340

– Quelles justifications?

Les décimaux• Règle « du zéro » : ne marche pas !

• Règle de la virgule : ne marche pas non plus !

• Seules les stratégies basées sur le sens fonctionnent

– Chaque terme de la décomposition est 100 fois plus grand

– 2 dizaines deviennent 2 milliers.3 unités deviennent 3 centaines.4 dixièmes deviennent 4 dizaines.

• La virgule ne bouge pas, ce sont les chiffres qui changent de classe!

• On ne prend pas appui sur des règles formelles mais sur des stratégies

http://www.gdms74.edres74.ac-grenoble.fr/spip.php?rubrique16

Pour aller plus loin …Individuellement, en équipe de cycle, …

Pour aller plus loin …Individuellement, en équipe de cycle, …

www.crdp-montpellier.fr/bsd/index.aspx

Ces ressources s'adressent aux enseignants et futurs enseignants désireuxde se documenter sur la pratique de la classe. Elles intéresserontégalement les formateurs en quête de moyens d'observer des pratiques, àl'appui de questions didactiques circonscrites, dans le primaire et lesecondaire.

Chaque module s'articule autour du film d'une séquence d'enseignement enclasse, visant des acquisitions de compétences précises et explicites. Il s'yassocie des commentaires, des extraits des programmes et orientations,des sélections documentaires et, éventuellement, des liens sur d'autresséquences pertinentes.

Alors, on dit quoi ? Correction Faux

•3 est un décimal.•3,14 est un décimal;•π est un décimal.•π est un rationnel.•La fraction 4 / 3 est un décimal.•La fraction 3 / 4 est un décimal.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.•Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.•Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.•Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.•Toute fraction est plus petite que 1.•La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite sous forme de fraction décimale.•Le quotient de deux réels est une fraction.•Un entier naturel a une écriture fractionnaire.•Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal 0,988.•Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.•Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.•Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale ou sous forme de somme de fractions décimales.•L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.•455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.•31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.•Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction.•Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction décimale.•Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.•Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.•Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000•Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.•Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.•1,234 = 12/10 + 34/100