khôlles - classes prépa thierry sageaux, lycée gustave ei...

#73ter

Fonctions de Rp dans Rn

Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel.

Continuité

Exercice 1.Etudier les limites suivantes :

1) lim(x,y)→(0,0)

3xy

x2y2,

2) lim(x,y)→(0,0)

3x− y2

x2 + y2,

3) lim(x,y)→(0,0)

3x+ 2y

x2 + y2,

4) lim(x,y)→(0,0)

1− cos(xy)

y2,

5) lim(x,y)→(0,0)

x2

|x− y|,

6) lim(x,y)→(0,0)

sin(xy)

x.

7) lim(x,y)→(0,0)

||(x, y)||2||(x, y)||∞

.

Exercice 2.

Etudier la continuité de f : (x, y) 7−→

sin

(x2y

x4 + y2

)si x4 + y2 6= 0

0 sinon

.

Exercice 3.

Idem avec f(x, y) =

sin

(1

x+ y

)si y 6= x

0 sinon

.

Exercice 4.1) Etudier la continuité de la fonction

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→

sin(xy)

xsi x 6= 0

y si x = 0

2) Déterminer l'adhérence de l'ensemble E = (x, sin 1x ), x > 0.

Exercice 5.Etudier les continuités des fonctions suivantes :

1)

f1 : R2 −→ R

(x, y) 7−→

(1 + x2y2)

1xy2 si xy 6= 0

ex si xy = 0

,

2)

f2 : R2 −→ R

(x, y) 7−→

x sin y − y sinx

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si x = y = 0

,

3)

g1 : R2 −→ R

(x, y) 7−→

xy cos y − y2 cosx√

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

,

20 février 2017 1 Thierry Sageaux


4)

g2 : R2 −→ R

(x, y) 7−→

e(xy)2 − 1

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon

,

5)

h1 : R2 −→ R

(x, y) 7−→

x2 cos( 3

√y)− y2 cosx√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

,

6)

h2 : R2 −→ R

(x, y) 7−→ xy2 + x2y

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 sinon

,

Exercice 6.Peut-on prolonger par continuité la fonction f au point de coordonnées (1, 1) ?

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ x+ 2y − 3

x+ y − 2

,

Exercice 7.Soit f la fonction de R2 dans R dénie par

f(x, y) =

x2y

x4 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Montrer que

limx→0

limy→0

f(x, y) = f(0, 0) = limy→0

limx→0

f(x, y),

bien que lim(x,y)→(0,0)

n'existe pas.

Exercice 8.Déterminer le domaine de dénition de

f : (x, y) −→+∞∑n=1

(x+ y)n

n2.

La fonction f est-elle continue sur ce domaine ? Sur quel ouvert est-elle C1 ?

Exercice 9.Déterminer les ensembles de dénition des fonctions de R2 dans R dénie par :

1) f(x, y) =

√x2 − y − 1

lnx, 2) g(x, y) = ln

(ln

1

x2 + y2

).

Exercice 10.Déterminer les ensembles de dénition des fonctions suivantes :

1) f1(x, y) = ln(2x+ y − 2)2) f2(x, y) =

√1− xy 3) f3(x, y) =

ln(y − x)

x

4) f4(x, y) =1√

x2 + y2 − 1+√

4− x2 − y2

2 Thierry Sageaux


Exercice 11.

Pour x 6= y, on pose f(x, y) =shx− sin y

ex − ey. Etudier le comportement de f au voisinage de (0, 0).

Exercice 12.

Soit f la fonction dénie par f(x, y) =2xy − y2

x2 + y2. Etudier la limite quand (x, y) tend vers (0, 0) de la

restriction de f à la droite d'équation y = ax, avec a donné. Montrer que f n'a pas de limites à l'origine.

Exercice 13.Soit f la fonction dénie par

f(x, y) =

x2y

x4 − 2x2y + 3y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) Etudier la limite quand (x, y) tend vers l'origine de la restriction de f à la droite d'équation y = ax,avec a donné. Montrer que la restriction de f à toute droite passant par l'origine est continue.2) Calculer la limite à l'origine de la restriction de f à la parabole d'équation y = x2.3) Montrer que f n'a pas de limite à l'origine.

Exercice 14.Déterminer si l'on peut prolonger par continuité les fonctions suivantes au point P .

1) f(x, y) =xy

x2 + y2, P = (0, 0),

2) f(x, y) =x2y

x2 + y2 + xy, P = (0, 0),

3) f(x, y) =x3 + (y + 1)3

x2 + (y + 1)2, P = (0,−1),

4) f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2, P = (0, 0),

5) f(x, y) =x+ 5

(x+ 5)2 + y2−1, P = (−5, 0),

6) f(x, y) =x7 + x4y + x3y

x6 + x3y + y2, P = (0, 0),

7) f(x, y) =(x+ y)2

x4 + y2, P = (0, 0),

8) f(x, y) =(x− 1)2(y − 2)− (y − 2)2(x− 1)

(x− 1)4 + (y − 2)2,

P = (1, 2),

9) f(x, y) =x6

x2 + (y − x)2, P = (0, 0),

10) f(x, y) =sinx2 + sin y2√

x2 + y2, P = (0, 0).

Exercice 15.

1) Etudier la continuité de la fonction suivante : f(x, y) =

y sin x

y si y 6= 0

0 si y = 0.

2) Peut-on prolonger par continuité la fonction g(x, y) =sin(xy)

ysi y 6= 0 ?

Exercice 16.Représenter les lignes de niveau k = ±1 pour les deux surfaces d'équations

1) f1(x, y) = y2,2) f2(x, y) =

x4 + y4

8− x2y2.

Exercice 17.1) Montrer que si x et y sont des réels, on a 2|xy| ≤ x2 + y2.

2) Soit f l'application de A = R2\(0, 0) dans R dénie par f(x, y) =3x2 + xy√x2 + y2

a) Montrer que, pour tout (x, y) ∈ A, on a |f(x, y) ≤ 4||(x, y)||2.b) En déduire que f admet une limite en (0, 0).

3 Thierry Sageaux


Exercice 18.

Soit

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→

xy

x2+y2 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

.

Cette fonction est-elle continue en (0, 0) ?

Exercice 19.Les fonctions suivantes ont-elles des limites en (0, 0) ?

1) f(x, y) = (x+ y) sin

(1

x2 + y2

),

2) f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2,

3) f(x, y) =|x+ y|x2 + y2

,

4) f(x, y) =

(x2 + y2 − 1

xsinx,

sinx2 + sin y2√x2 + y2

).

Exercice 20.Pour quelles valeurs de α > 0 la fonctionf(x, y) =

|x|αyx2 + y4

si x 6= 0

f(0, y) = 0.

est-elle continue sur R2.

Exercice 21.On pose

f(x, y) = Arccos

(1− xy√

(1 + x2)(1 + y2)

).

Etudier la dénition et la continuité de f . Sur quel ouvert Ω la fonction f est-elle de classe C1 ? CalculerDf et interpréter le résultat.

Exercice 22.

Montrer que f : (x, y) 7−→ sin(xy)

sh yconvenablement prolongée en 0 est de classe C∞ sur R2.

Dérivées partielles et diérentielles

Exercice 23.Soit f : R2 −→ R dénie par f(x, y) = 2x+ 5y + x2(

√|y|+

√|x|). Déterminer l'ensemble des points

où f1) est continue,2) est diérentiable,3) est de classe C1,

4) admet des dérivées partielles,5) admet des dérivées directionnelles.

Exercice 24.

Soit p > 0 et

f : R2\(0, 0) −→ R

(x, y) 7−→ | sin(x+ y)|p√x2 + y2

.

1) Pour quelles valeurs de p la fonction f se prolonge-t-elle par continuité en (0, 0) ?2) Pour quelles valeurs de p la fonction est-elle de classe C1 sur R2.3) Même question pour la diérentiabilité en (0, 0).

Exercice 25.Soit une application f : R2 −→ R. On considère les assertions suivantes :

4 Thierry Sageaux


i. L'application f est continue en (0, 0).

ii. Les dérivées partielles∂f

∂x(0, 0) et

∂f

∂y(0, 0) existent et sont continues.

iii. L'application f est diérentiable en (0, 0).

1) Rappeler les implications qu'il y a entre ces propriétés.2) Montrer que chaque implication n'est pas une équivalence. On pourra utiliser les deux fonctionssuivantes :

f(x, y) =

x2 sin 1

x + y2 sin 1y si xy 6= 0

x2 sin 1x si y = 0 et x 6= 0

y2 sin 1y si x = 0 et y 6= 0

0 si (x, y) = (0, 0)

et g(x, y) =

y2x

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Exercice 26.Déterminer si les formes diérentielles suivantes sont des formes diérentielles exactes ?

1) 2(x+ y)dx+ 2(x− 3)dy,2) cosxdx+ sin ydy,3) (x+ y)dx+ (x− y)dy,

4) (sin y−y cosx)dx+(x cos y−sinx)dy,

5) (x2−yz)dx+(y2−zx)dy+(z2 − xy)dz.

Exercice 27.Soit f une fonction et

−→V un champ de vecteurs, tous deux de classe C2 dans un ouvert de l'espace.

Le champ vectoriel−→rot(−→∇f +

−→rotV ) est égal à

1)−→∇f ∧

−→V , 2)

−→rot(−→rot−→V ), 3)

−→0 .

Exercice 28.Pour le champ de vecteurs

−→B = xy2−→i + 2x2yz

−→j + 3yz2−→k , trouver ÷

−→B et

−→rot−→B .

Exercice 29.Déterminer si les champs suivants sont des champs de gradients et si oui, déterminer leurs potentiels

scalaires.

1)−→V (x, y) = (y, x),

2)−→V (x, y) = (3x2y+2x+y3, x3 +3xy2−2y),

3)−→V (x, y) = (cosx, sin y),

4)−→V (x, y) = (y + 1

x , x+ 1y ),

5)−→V (x, y) = (x+ y, x− y),

6)−→V (x, y, z) = (x2 − yz, y2 − zx, z2 − xy).

Exercice 30.

On considère la forme diérentielle ω =dx√x2 + y2

+

√x2 + y2 − xy√x2 + y2

dy.

Montrer en passant en coordonnées polaires que ω est la forme diérentielle totale d'une fonctionU(ρ, θ) et donner l'équation des courbes de niveau de U (i.e. d'équation U = cst).

Exercice 31.

A tout point M de R2\(0, 0), on associe le vecteur unitaire −→u (M) =

−−→OM

||−−→OM ||

.

En posant ρ = ||−−→OM ||, montrer que la divergence de ce champ de vecteurs est égale à 1

ρ .

Exercice 32.Un champ central dans R3 est donné par

−→V (−→x = f(r)−→x où r =

√x2

1 + x22 + x2

3 et f est une applicationdérivable de R dans R. Montrer qu'un champ central est toujours un champ de gradients et calculer sonpotentiel.

5 Thierry Sageaux


Exercice 33.Soit le champ de vecteurs déni dans R3 par

−→V (x, y, z) = (yz+x2y3, xz+x3y2, f(x, y)) où f : R2 −→ R

est une application de classe C1. Trouver les applications f pour que−→V soit un champ de gradients.

Calculer alors les potentiels de−→V .

Exercice 34.

Montrer que l'expression ω =xdx

x2 + y2+ y

1− x2 − y2

x2 + y2dy est la diérentielle totale d'une fonction f

que l'on déterminera.

Exercice 35.Etudier la continuité ainsi que l'existence et la continuité des dérivées partielles premières de la

fonction :

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→

x2 si |x| > y

y2 si |x| ≤ y

Exercice 36.1) Rappeler la dénition de l'adhérence d'une partie A de Rn.2) Soient A et B deux parties de Rn. Montrer l'inclusion

A ∩B ⊂ A ∩B.

3) Donner un exemple pour lequel cette inclusion est stricte.

Exercice 37.Trouver a > 0 tels que

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→

x2ay

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) soit continue sur R2.2) soit diérentiable sur R2.

Exercice 38.

Montrer que f(x, y) =x3 + y3

x2 + y2admet des dérivées partielles en tout point de R2 mais n'est pas de

classe C1.

Exercice 39.Soit p > 0 un entier. On dénit une application f de R2 dans R par f(0, 0) = 0 et sinon :

f(x, y) = (x+ y)p sin1√

x2 + y2.

La fonction f est-elle continue ? Admet-elle des dérivées partielles ? Est-elle de classe C1 ?

Exercice 40. (Centrale 1998)Soit f : R2 −→ R dénie par

6 Thierry Sageaux


f(x, y) = xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0

Montrer que f est C1 sur R2 et admet des dérivées partielles deuxièmes croisées distinctes en (0, 0).

Exercice 41.

Etudier la fonction f au voisinage de (0, 0) dénie par f(x, y) =x sinx+ y sin y

x2 + y2.

Exercice 42.Justier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer.

1) f(x, y) = ex cos y, 2) f(x, y) = (x2+y2) cos(xy), 3) f(x, y) =√

1 + x2y2.

Exercice 43.

Montrer que l'application f : R2 −→ R dénie par

f(x, y) =x2y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

f(0, 0) = 0est de classe

C1.

Exercice 44. Composition de fonctions.Soit f une fonction de classe C1 sur R2. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions

suivantes :1) g(x, y) = f(y, x),2) g(x) = f(x, x),

3) g(x, y) = f(y, f(x, x)),4) g(x) = f(x, f(x, x)).

Exercice 45.Etant données deux fonctions g0 et g1 d'une variable réelle, de classe C2 sur R, on dénit la fonction

f sur ]0,+∞[×R par f(x, y) = g0( yx ) + xg1( yx ).Justier que f est de classe C2, puis prouver que

x2 ∂2f

∂x2(x, y) + 2xy

∂2f

∂x∂y(x, y) + y2 ∂

2f

∂y2(x, y) = 0.

Exercice 46.Soit f la fonction dénie par f(x, y) =

x

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0).

1) Montrer que f est de classe C1 sur R\(0, 0).2) Trouver la dérivée directionnelle en (0, 0) dans toutes les directions puis

−→∇f(0, 0).

3) La fonction f est-elle diérentiable en (0, 0) ?

Exercice 47.Soit f : R2 −→ R dénie par

f(x, y) =

xy√x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) La fonction f est-elle continue ?2) La dérivée directionnelle fv(0, 0) existe-t-elle pour tout vecteur v = (a, b) de R2\(0, 0) ? Endéduire que f n'est pas diérentiable en (0, 0).3) Calculer les dérivées partielles de f en (0, 0).4) Montrer en utilisant la dénition de la diérentiabilité d'une fonction que f n'est pas diérentiableen (0, 0).

Exercice 48. (Centrale 99)Soit f la fonction dénie de R2 dans R par :

7 Thierry Sageaux


∀(x, y) ∈ R∗ × R, f(x, y) = x2 sin( yx ).

1) La fonction f admet-elle des dérivées partielles sur R2 ?2) La fonction f est-elle de classe C1 sur R2 ?

3) Calculer ∂2f∂x∂y (0, 0) et ∂2f

∂y∂x (0, 0).

Exercice 49.Soit f : R2 −→ R une application de classe C1.

1) On dénit, pour tout (x, y) ∈ R2 xé,g : R −→ R

t 7−→ g(t) = f(tx, ty).

Montrer que g est dérivable sur R et calculer sa dérivée.2) On suppose désormais que f(tx, ty)− tf(x, y) pour tout (x, y, t) ∈ R3.

a) Montrer que, pour tout (x, y, t) ∈ R3, on a f(x, y) = x∂f

∂x(tx, ty) + y

∂f

∂y(tx, ty).

b) En déduire qu'il existe des réels α et β que l'on déterminera tels que, pour tout (x, y) ∈ R2, ona f(x, y) = αxβy.

Exercice 50. DiérentiellesJustier la diérentiabilité des fonctions suivantes et calculer les diérentielles.

1) f(x, y) = exy(x+ y)2) f(x, y, z) = xy + yz + zx

3) f(x, y) = (y sinx, cosx)

Exercice 51.On dénit sur R2 l'application suivante :

f(x, y) =

xy

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) La fonction f est-elle continue en (0, 0) ?2) La fonction f admet-elle des dérivées partielles en (0, 0) ?3) La fonction f est-elle diérentiable en (0, 0) ?

Exercice 52.On dénit sur R2 l'application suivante :

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) La fonction f est-elle continue sur R2 ?2) La fonction f est-elle de classe C1 sur R2 ?3) La fonction f est-elle diérentiable sur R2 ?

Exercice 53.1) Démontrer que pour tout (x, y) ∈ R2, on a |xy| ≤ x2 − xy + y2.

2) soit f la fonction f : (x, y) 7−→

xpyq

x2 − xy + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)où p et q sont des entiers non

nuls. Pour quelles valeurs de pp et q cette fonction est-elle continue ?3) Montrer que si p+ q = 2, alors f n'est pas diérentiable.4) On suppose que p + q = 3 et que f est diérentiable en (0, 0). Justier qu'alors il existe deuxconstantes a et b telles que f(x, y) = ax + by + o(||(x, y)||). En étudiant les applications partielles

8 Thierry Sageaux


x 7−→ f(x, 0) et y 7−→ f(0, y), justier que a = b = 0. Conclure à l'aide de x 7−→ f(xx) que f n'estpas diérentiable en (0, 0).

Exercice 54.Justier que les applications suivantes sont diérentiables et calculer leur matrice jacobienne.1) f(x, y, z) =

(12 (x2 − z2), sinx sin y

).

2) f(x, y) =(xy, 1

2x2 + y, ln(1 + x2)

).

Exercice 55. Fonctions homogènesSoit f une application de classe C1 de R2 dans R et r ∈ R. On dit que f est homogène de degré r si

∀(x, y) ∈ R2, ∀t > 0, f(tx, ty) = trf(x, y)

1) Montrer que si f est homogène de degré r, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degrér − 1.2) Montrer que si f est homogène de degré r si et seulement si

∀(x, y) ∈ R2, x∂f

∂x(x, y) + y

∂f

∂y(x, y) = rf(x, y).

3) On suppose que f est de classe C2. Montrer que

x2 ∂2f

∂x2(x, y) + 2xy

∂2f

∂x∂y(x, y) + y2 ∂

2f

∂y2(x, y) = r(r − 1)f(x, y).

Exercice 56.Montrer que la fonction f dénie sur U =]0,+∞[2 par :

f(x, y) =xy

(1 + x)(1 + y)(x+ y)

se prolonge par continuité à U . Calculer supU f(x, y).

Fonctions implicites

Exercice 57.Soit f(x, y) = x2 + 1 + xey − y.1) Montrer qu'il existe une fonction ϕ telle que, dans un voisinage du point (0; 1), les relationsf(x, y) = 0 et y = ϕ(x) soient équivalentes.2) Calculer ϕ(0), ϕ′(0) et ϕ′′(0).3) Ecrire le développement limité à l'ordre 2 de ϕ au voisinage de 0.4) Représenter Γ = (x, y), f(x, y) = 0 au voisinage du point (0, 1).

Exercice 58.1) Montrer que l'équation y3 + x + y = 0 dénit une fonction implicite y = ϕ(x) au voisinage del'origine (0, 0).2) Calculer ϕ(0), ϕ′(0), ϕ′′(0) et ϕ′′′(0).3) Ecrire le développement limité à l'ordre 3 de ϕ au voisinage de 0.4) Représenter Γ = (x, y), f(x, y) = 0 au voisinage du point (0, 0).

Exercice 59.On considère la fonction F : R3 −→ R dénie par F (x, y, z) = x3z2 − z3xy.1) Dire pourquoi il n'existe pas de fonction ϕ(x, y) dénie dans un voisinage U de (0, 0), non identi-quement nulle, telle que ϕ(0, 0) = 1 et F (x, y, ϕ(x, y)) = 0 pour tout (x, y) ∈ U .2) Montrer que l'équation F (x, y, z) = 0 dénit une fonction implicite z = ψ(x, y) au voisinage dupoint P0 = (1, 1, 1).

Calculer les dérivées partielles premières de ψ en P0.

9 Thierry Sageaux


Développement limité

Exercice 60.Pour chacune des fonctions explicitées ci-dessous, écrire le développement limité à l'ordre 2 au voisinage

du point indiqué. En déduire une équation du plan tangent.1) f(x, y) = xy + x2 + 4y2 en (1, 2),2) f(x, y) = x2y + 3xy + y4 en (1, 2),3) f(x, y) = ln(1 + 2x+ 3y) en (0, 0).

Exercice 61.Soit f(x, y) = ex cos y.1) Trouver le développement limité d'ordre 0, 1 et 2 de f au voisinage du point (0, π3 ).2) Donner des valeurs approchées de f(−1

10 ,π3 + 1

50 ) en utilisant les approximations précédentes.

Exercice 62.Soit f : R2 −→ R2 la fonction dénie par f(x, y) = x2y + 3y − 2.1) Trouver le développement limité d'ordre 2 de f(x, y) autour de (1, 2).2) Trouver une équation du plan tangent au graphe de f en (1, 2).3) Trouver les points du graphe de f qui admettent un plan tangent horizontal (i.e. parallèle au plan(xOy).4) Montrer en utilisant le théorème des fonctions implicites que l'équation f(x, y) = 0 peut être écritelocalement comme y = ψ(x). (Plus précisément : pour chaque (x0, y0) qui vérie f(x0, y0) = 0, onpeut trouver un voisinage V de x0 et une fonction ψ : V −→ R tel que f(x, ψ(x)) = 0 pour x ∈ V .

Exercice 63.1) Déterminer le développement limité à l'ordre 2 de la fonction g(x) = ex au voisinage de 1 et deh(y) = sin y au voisinage de π.2) En déduire le développement limité à l'ordre 2 de la fonction f(x, y) = ex sin y au voisinage dupoint P0 = (1, π).3) Calculer f(P0) ainsi que les valeurs des dérivées partielles d'ordre 1 et 2 en P0 et en déduire ledéveloppement limité de f au voisinage de P0.

Equations aux dérivées partielles

Exercice 64.On cherche toutes les fonctions g : R2 −→ R solutions de

∂g

∂x− ∂g

∂y= a,

où a est un réel xé.

1) On pose f la fonction de R2 dans R dénie par : f(u, v) = g

(u+ v

2,v − u

2

).

En utilisant le théorème de composition, montrer que∂f

∂u=a

2.

2) Intégrer cette équation pour en déduire f .3) En déduire les solutions de l'équation initiale.

Exercice 65.Chercher toutes les fonctions f de classe C1 sur R vériant

∂f

∂x− 3

∂f

∂y= 0.

10 Thierry Sageaux


Exercice 66. Equation des cordes vibrantesSoit c 6= 0. Chercher les fonctions de classe C2 de l'équation aux dérivées partielles suivante :

c2∂2f

∂x2=∂2f

∂t2.

On pourra s'aider du changement de variables u = x+ at et v = x+ bt.

Exercice 67. (Centrale 2001)Intégrer

x2 ∂2f

∂x2− y2 ∂

2f

∂y2= 0

sur des ouverts convenables.

Exercice 68. (Mines 1999, Centrale 2001)Intégrer

∂2f

∂x2− ∂2f

∂y2=

1√x2 − y2

sur un ouvert convenable.

Exercice 69.Intégrer

∂2f

∂x2− 3

∂2f

∂x∂y+ 2

∂2f

∂y2= 0.

Exercice 70.Intégrer

z

(x∂z

∂x+ y

∂z

∂y

)+ x2 + y2 = 0.

Exercice 71.Résoudre l'équation aux dérivées partielles :

2xy∂f

∂x+ (1 + y2)

∂f

∂y= 0

Exercice 72.On considère l'application dénie sur une partie de R2 à valeurs dans R par f(x, y) =

√ln(2x+ 3y + 1).

1) Trouver le domaine de dénition puis le domaine de continuité de f .2) Calculer les dérivées partielles et trouver leurs domaines d'existence.

Exercice 73.

Soit f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

1) Calculer les dérivées partielles premières de f .2) Montrer que les dérivées partielles deuxièmes croisées valent ±1. Pourquoi ceci ne contredit pas lelemme de Schwarz ?

Exercice 74.1) Calculer ∆f pour f(x, y) = (x2 + y2)α. Déterminer les valeurs de α telles que ∆f = 0.2) Calculer ∆f pour f(x, y) = ln((x2 + y2)k). Déterminer les valeurs de k telles que ∆f = 0.

11 Thierry Sageaux


Extrema

Exercice 75.Déterminer les points critiques des fonctions suivantes :

1) f(x, y) = 2x2y + 2x2 + y, 2) f(x, y) = xy2(1 + x+ 3y).

Exercice 76.Chercher les points critiques de f(x, y) = x((ln(x)2 + y2) pour x > 0 et déterminer s'il s'agit d'un

minimum, d'un maximum (relatif ou absolu) ou d'un point selle.

Exercice 77.Une boîte rectangulaire ouverte au dessus a un volume de 32m3. Trouver les dimension de la boîte

pour que sa surface totale soit minimale.

Exercice 78.Etudier les extrema relatifs ou globaux de

1) f1(x, y) = x2 + xy + y2 + 2x+ 3y,2) f2(x, y) = (x− y)2 + (x+ y)2,3) f3(x, y) = xey + yex,

4) f4(x, y) = (3x+ 4y)e−(x2+y2),

5) f5(x, y) = x4 + y4 − (x− y)3,6) f6(x, y) = x3 + y3 + 3xy,7) f7(x, y) = x3 + 3xy − y2 + y + 1.

Exercice 79.Soit f : R2 −→ R la fonction dénie sur R2 par f(x, y) = 2x3 + 6xy − 3y2 + 2.1) Déterminer les extrema relatifs de la fonction f .2) La fonction f possède-t-elle des extrema absolus sur R2 ?3) Représenter le segment de droite L = (x, y) ∈ R2, −2 ≤ x ≤ 0, y = x + 1. Déterminer lesextrema absolus de la restriction de f à L et préciser en quels points de L ils sont atteints ?

Exercice 80.Soit f : R2 −→ R l'application dénie par f(x, y) = 2x3 − y2 + 2xy + 1.1) Déterminer les extrema locaux de f .2) La fonction f possède-t-elle des extrema absolus sur R2 ?3) Représenter T = (x, y) ∈ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.

Justier l'existence d'un maximum absolu M et d'un minimum absolu m pour la restriction de fà T . Les déterminer.

Exercice 81.Soit f : R2 −→ R l'application dénie par f(x, y) = 2x2 + 2y2 + x2y2 − x4 − y4.1) Déterminer les extrema locaux de f .

2) Montrer que f(x, y) ≤ 2r2 − r4

4où r2 = x2 + y2. En déduire que f(x, y) ≤ 4.

3) Trouver le maximum global de f et les points où il est atteint. Y a-t-il un minimum global ?

Exercice 82.Trouver la plus petite distance de l'origine (0, 0) à l'hyperbole d'équation x2 + 8xy + 7y2 = 225.

Exercice 83.Soient D = (x, y) ∈ R2, x2 − 1 ≤ y ≤ 1− x2 et F (x, y) = y2 − x2y + x2.1) Trouver les points critiques de F .2) Trouver des paramétrisations pour les deux morceaux réguliers du bord Γ de D.3) Trouver les maxima et les minima globaux de la fonction F restreinte au bord Γ de D.4) Trouver les maxima et les minima globaux de la fonction F restreinte à D.

12 Thierry Sageaux


Exercice 84.Soit f(x, y) = (x2 − y)(3x2 − y).1) Pour t ∈ R xé, montrer que la restriction de f à la droite d'équation y = tx admet un minimumen 0.2) Soit λ ∈ R. On note Cλ la parabole d'équation y = λx2. Pour quelles valeurs de λ la restriction def à Cλ admet-elle un minimum en 0 ? un maximum en 0 ?3) Le point (0, 0) est-il un extremum de f ?

Exercice 85.Trouver le point du plan d'équation 2x− y + 2z = 16 le plus près de l'origine.

Exercice 86.1) Déterminer les points critiques de la fonction f(x, y) = x2 + y2 − xy.2) Déterminer les points critiques de la fonction f sous la contrainte x2 + y2 = 1.3) Quels sont les maxima et les minima de la fonction f restreinte au disque D = (x, y) ∈ R2, x2 +y2 ≤ 1 ?

Exercice 87.Soit f : R2 −→ R dénie par f(x, y) =

xy

1 + x2 + y2.

1) Montrer que f est C2 sur R2.2) Donner le développement de Taylor de f à l'ordre 2 à l'origine.3) Déterminer les extrema de f .

Exercice 88.

On considère la fonction f(x, y) = xye−(x2+y2)

2 .1) Etudier les extrema relatifs de f sur R2.2) Démontrer que f(x, y) tend vers 0 quand x2 + y2 tend vers +∞.3) Déduire de ce qui précède l'existence des extrema globaux de f sur R2 et les déterminer.

Exercice 89.1) Montrer que si f présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de f en a sont nulles.2) Soit f la fonction dénie sur R2 par f(x, y) = x2 + y2 − 2x− 4y. Montrer que f admet (1, 2) pourseul point critique. Montrer qu'il s'agit d'un maximum.3) Soit f la fonction dénie sur R2 par f(x, y) = x3 + y3 − 6(x2 − y2).

a) Montrer que f possède quatre points critiques.b) En calculant f(t, 0) et f(0, t), prouver que f n'admet pas d'extremum en (0, 0).c) Ecrire la formule de Taylor à l'ordre 2 en (4, 0). En déduire que f admet un minimum local en(4, 0).d) Finir l'étude locale des autres points critiques.

Exercice 90.La fonction f dénie sur R2 par f(x, y) = x2 + y3 admet-elle un extremum?

Exercice 91. (Centrale 1998)Calculer les extrema locaux de f dénie sur R2 par f(x, y) = x2 + y2 + x3.

Exercice 92. (Centrale 1997)Déterminer les extrema locaux de f(x, y) = x2 + 2y2 − x sur le disque unité fermé.

Exercice 93. (Mines 2001)Déterminer les bornes de la fonction f : (x, y) 7−→ x2 − x+ 2y2 sur le disque unité fermé.

13 Thierry Sageaux


Exercice 94. (Mines 2000)Quels sont les extrema de f : (x, y) 7−→ xey + yex ?

Exercice 95. (Mines 2000)Soit a > 0. Montrer que l'application f de ]0,+∞[2 dans R dénie par :

(x, y) 7−→ a

x+a

y+xy

a

admet un minimum global et le calculer.Même question avec l'application f de ]0,+∞[2 dans R dénie par :

(x, y) 7−→ a

xy+ x2 + y2.

Exercice 96. (Mines 2000)Déterminer les points critique set les extrema de f(x, y) = x3 + 3xy2 − 12y − 15x.

Exercice 97.Extrema de x4 + y4 − 2(x− y)2 dans le disque fermé de centre O et de rayon 2.

Exercice 98. (Mines 2000)Extrema de 2xy2 + ln(4 + y2) sur R2, puis sur la bande 0 ≤ x ≤ 1.

Exercice 99. (Centrale 1998)Déterminer les extrema de f(x, y) = cosx+cos y− cos(x+y) et préciser s'ils sont locaux ou globaux ?

Exercice 100. (Centrale 1996)Déterminer les extrema locaux de f : (x, y) 7−→ x3y2(1− x− y).

Exercice 101. (Centrale 1999)Soit f dénie sur R2 par f(x, y) = x2y3(x+ 2y − 2).Donner les maxima locaux de f .Possède-t-elle des maxima sur D = (x, y) ∈ R2, x2y3 < 1.

Exercice 102. (Centrale 1996)On pose pour (x, y) ∈ R2 :

f(x, y) =

y(x− y) si x ≥ yx(y − x) sinon.

La fonction f est-elle de classe Cn (pour n ∈ 0; 1) ? Quel est le maximum de f sur [0; 1]2 ?

Exercice 103. (Mines 2000)Extrema sur la boule unité fermée de R3 de : (x, y, z) 7−→ x3 − x2 − y2 − y − z2 + 1.

Exercice 104. (Centrale 1999)Soit ABC un triangle d'un plan euclidien d'aire S > 0, dont on note a, b et c les longueurs des côtés.

Soit M un point appartenant à l'intérieur T du triangle. On note x, y et z les distances du point Mrespectivement aux côtés BC, CA et AB.

Exprimer S à l'aide de x, y, z, a, b, c. En déduire maxM∈T

xyz.

Exercice 105.1) Maximum du périmètre d'un triangle inscrit dans un cercle.

14 Thierry Sageaux


2) Maximum du volume d'un tétraèdre inscrit dans une sphère.

Exercice 106.Minimum de la surface latérale d'un tétraèdre MABC dont la base ABC est un triangle donné, et

que M appartienne à un plan parallèle au plan de ce triangle.

Exercice 107. (Centrale 1996)Le triangle ABC a trois angles aigus. Soit X ∈ [AB], Y ∈ [BC] et Z ∈ [CA]. Montrer l'existence de

(X,Y, Z) tel que le périmètre du triangle XY Z soit minimal. Le caractériser.

Exercice 108. (Centrale 1996)Soit F : R2 −→ R2 dénie par (x, y) 7−→ (x2 − y2 + 2ax, 2ax− 2ay).1) Déterminer la jacobienne J(x, y) de F .2) Ensemble Γ des zéros de J ?3) Image de Γ par F ?4) Image par J d'un vecteur tangent en (x, y) à Γ ?

Exercice 109. (X 1997)Soit U l'ouvert de Rn déni par : ∀(i, j) ∈ [[1, n]]2, i 6= j ⇒ xi 6= xj .Pour x = (x1, . . . , xn) ∈ U , on pose

f(x) =n∑i=1

x2i −

∑1≤i≤j≤n

ln |xi − xj |.

1) Montrer que f admet un minimum sur U .2) Soit a = (a1, . . . , an) ∈ U où ce minimum est atteint.

On pose H =n∏k=1

(X − ak). Prouver que H ′′(ak)− 4akH′(ak) = 0 pour 1 ≤ k ≤ n.

3) Trouver une équation diérentielle satisfaite par H. Calculer H.4) Calculer min

Uf pour n ∈ 2; 3.

Exercice 110. (Centrale 1996)Déterminer le volume maximum d'un parallélépipède rectangle dont la surface totale et le périmètre

sont donnés.

Exercice 111.Soit f une fonction convexe dénie sur Rn dans R. Montrer que tout point critique de f admet un

minimum global.

Exercice 112.Soit f : R2 −→ R telle que, pour tout (x, y) ∈ (R2)2, on a

|f(x)− f(y)| ≤ ||x− y||2.

Montrer que f est constante.

Exercice 113.Etudier les extrema de la fonction

f : R2 −→ R(x, y) 7−→ eaxy

avec a > 0 sous la contrainte g(x, y) := x3 + y3 + x+ y − 4 = 0.

Exercice 114. (ENS 1999)1) Soit f une fonction de C∞(R2,R). Que vaut

15 Thierry Sageaux

Fonctions de Rp dans Rn∫ ∫D(0,R)

f(x, y)dxdy

en coordonnées polaires ?2) On suppose que ∆f = 0. Montrer que la fonction g dénie par

g(ρ) =

∫ 2π

0

f∗(ρ, θ)dθ

est égale à une constante que l'on déterminera.3) Sous ces hypothèses, prouver que∫ ∫

D(O,R)

f(x, y)dxdy = πR2f(0, 0).

4) Que dire de f si f(0, 0) est le maximum de f ?

Gradient et Laplacien

Exercice 115.1) Déterminer les gradients des champ scalaires f suivants :

a) f(x, y, z) = xy2 − yz2 b) f(x, y, z) = xyz sin(xy)2) Déterminer divf où f est le champ de vecteurs :

a) f(x, y, z) = (2x2y, 2xy2, xy)b) f(x, y, z) = (sin(xy), 0, cos(xz))c) f(x, y, z) = (x(2y + z),−y(x+ z), z(x− 2y)).

Exercice 116.Soit D =]0; +∞[×R. Soit l'application

f : D −→ R(x, y) 7−→ y

x.

1) Dessiner l'ensemble Γk = (x, y) ∈ D, f(x, y) = k pour k ∈ −2, 1, 2.2) Montrer que l'application f est de classes C1 sur D et calculer sa diérentielle en tout point.

3) Dessiner le vecteur gradient−→∇(p) pour p ∈ R2 le point d'abscisse 1 de chacun des ensembles Γk.

Que remarque-t-on ?

Exercice 117.On considère f de classe C2 de R2 dans R. Donner l'expression du laplacien par rapport aux variables

en coordonnées polaires. (i.e. poser f(r, θ) = F (r cos θ, r sin θ) et exprimer ∆F en fonction de F , r, θ etles dérivées partielles de F ).

Exercice 118.On rappelle qu'un champ de vecteurs F dérive d'un potentiel scalaire s'il existe un champ scalaire f

tel que F = grad(f). Montrer que les champs suivants dérivent d'un potentiel scalaire et déterminer tousles potentiels scalaires dont ils dérivent.

1) F (x, y, z) = (2xy + z3, x2, 3xz2), déni sur R3.

2) F (x, y) =

(−y

(x− y)2,

x

(x− y)2

), déni sur U = (x, y) ∈ R2, x > y.

Exercice 119.

Soit f une fonction C2 sur ]− 1; 1[. On pose g(x, y) = f

(cos 2x

ch 2y

).

Trouver f pour que ∆g = 0.

Exercice 120. (Centrale 1996)Soit ϕ l'application de R2 dans R2 dénie par :

16 Thierry Sageaux


ϕ(x, y) = (x+ y, xy)

1) Quelle est la matrice jacobienne de ϕ ?2) Montrer que ∆ = (x, y) ∈ R2, |y| < |x| est un ouvert et que ϕ induit un C∞ diéomorphismede ∆ sur ϕ(δ).

Exercice 121. (X 1999)Soit

An = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, ∀i > 0, xi ≥ 0 etn∑i=1

x2i ≤ 1.

On dénit une application f de An dans R en posant :

f(x1, . . . , xn) =∑

0≤i≤j≤n

xixji+ j + 1

avec x0 =

√1−

n∑i=1

x2i .

Montrer que f admet un maximum λ atteint en un point (y1, . . . , yn) et que pour tout i ∈ [[1, n]] :

n∑j=1

yji+ j + 1

= λyi.

Intégrales curvilignes

Exercice 122.Calculer la longueur de chacun des arcs de courbes suivants :1) x = y2 avec 0 ≤ y ≤ 1,2) x = a cos t, y = a sin t, z = bt avec 0 ≤ t ≤ t0,3) ρ = a(1 + cos θ avec a > 0 et 0 ≤ ρ ≤ a.

Exercice 123.

Calculer l'intégrale curviligne

∫C

(x+ y)dx+ (x− y)dy où C est l'arc de cercle déni par x = cos t et

y = sin t, t variant de 0 à 2π.

Exercice 124.


∫C

xydx + (x + y)dy où C est l'arc de cercle déni par x = cos t et

y = sin t, t variant de 0 à 2π.

Exercice 125.


∫C

(y + z)dx+ (z + x)dy + (x+ y)dz

x2 + y2lorsque

1) C est le segment de droite allant de A = (1, 1, 1) à B = (2, 2, 2).2) C est l'hélice dénie par x = cos t, y = sin t et z = t, t variant de 0 à 2π.

Exercice 126.


∫Γ

y2dx− x2dy lorsque

1) Γ est le segment de droite allant de A = (1, 0) à B = (0, 1).2) Γ est l'arc de cercle de centre (0, 0) de rayon 1 et d'extrémités A = (1, 0) et B = (0, 1).

Exercice 127.

Montrer que l'intégrale curviligne

∫Γ

xy2dx+ x2ydy est nulle lorsque Γ est un arc de simple fermé.

17 Thierry Sageaux


Calculer cette intégrale lorsque Γ = Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 où Γ1 est l'arc de parabole d'équation y2 = 4 − 3xlimité par en A par la droite d'équation y = x et en B par l'axe des x ≥ 0, Γ2 est le segment de droiteallant de B à O et Γ3 est le segment de droite allant de O à A.

Calculer une primitive de xy2dx+ x2ydy. Retrouver

∫Γi

xy2dx+ x2ydy pour i ∈ 1, 2, 3.

Exercice 128.

Déterminer une fonction u(x, y) telle que du =(x+ 2y)dx+ ydy

(x+ y)2

Exercice 129.Soit ω = P (x, y)dx+Q(x, y)dy avec

P (x, y) =(3x2 − y2)(x2 + y2)

x2yet Q(x, y) =

(3y2 − x2)(x2 + y2)

xy2.

1) Montrer que, dans le domaine D = (x, y), x > 0, y > 0, la forme diérentielle ω est totale.2) Déterminer u dans D telle que du = ω.

3) Calculer l'intégrale curviligne

∫Γ

ω lorsque Γ est l'arc déni par x = t+ cos2 t, y = 1 + sin2 t avec

0 ≤ t ≤ 2π.

Exercice 130.1) Calculer le travail du champ de vecteurs

−→V (x, y) = (y2, x2) sur la demi-ellipse d'équation x2 +

4y2 − 4 = 0 et y ≥ 0 parcourue une fois dans le sens direct.

2) Calculer le travail du champ de vecteurs−→V (x, y) = (cosx, sin y) sur le cercle unité parcouru deux

fois dans le sens des aiguilles d'une montre.

3) Calculer le travail du champ de vecteurs−→V (x, y) = (x2 + y2, x2 − y2) sur le triangle OAB avec

A = (1, 0) et B = (0, 1) parcouru une fois dans le sens direct.

Exercice 131.Calculer le travail eectué par la force

−→F = (yzx)

−→i +(x+z)

−→j +(x+y)

−→k pour déplacer une particule

de l'origine O au point C = (1, 1, 1)1) le long de la droite (OC).2) le long de la courbe x = t, y = t2, z = t3.

3) Reprendre les mêmes questions avec−→G = (x+ yz)

−→i + (y + xz)

−→j + (z + xy)

−→k .

Intégrales doubles

Exercice 132.

Changer l'ordre d'intégration dans l'intégrale double :

∫ 4

0

(∫ 12x

3x2

f(x, y)dy

)dx.

Exercice 133.


∫ 1

0

(∫ 3x

2x

f(x, y)dy

)dx.

Exercice 134.


∫ a

a2

(∫ √2ax−x2

0

f(x, y)dy

)dx.

Exercice 135.Déterminer l'aire de la partie D du plan délimitée par les courbes d'équation : y = x et y2 = x.

18 Thierry Sageaux


Exercice 136.

Calculer

∫ ∫D

(x − y)dxdy où D est une partie du plan délimitée par les droites d'équation x = 0,

y = x+ 2 et y = −x.

Exercice 137.

Calculer

∫ ∫D

xydxdy où D est la partie du plan délimitée par les courbes d'équation y = x2 et

y = x3.

Exercice 138.Soit f : [0, 1]2 −→ R une fonction continue. La droite d'équation y = x délimite dans le carré [0, 1]2

deux triangles isométriques T1 et T2. Montrer qu'en général,∫ ∫T1

f(x, y)dxdy 6=∫ ∫

T2

f(x, y)dxdy

Puis en utilisant le changement de variable u = y, v = x, montrer que

∫ ∫T1

xydxdy =

∫ ∫T2

xydxdy.

Exercice 139.Soit D le quart de disque unité déni par D = (x, y), 0 ≤ x, 0 ≤ y, x2 + y2 ≤ 1.Utiliser le passage aux coordonnées polaires pour calculer l'intégrale

I =

∫ ∫D

(4− x2 − y2)dxdy

Exercice 140.Déterminer le centre de gravité d'un demi-disque homogène.

Exercice 141.Déterminer le centre de gravité de la surface située à l'extérieur du cercle de rayon 1 et délimitée par

la cardioïde d'équation ρ = 1 + cos θ.

Exercice 142.

Soit I =

∫ ∫Ta

√xye−x−ydxdy avec Ta = (x, y) ∈ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ a et a > 0. Calculer

I à l'aide du changement de variable

x = tu

y = (1− t)u

Exercice 143.

Soit D le domaine limité par r = p(θ) avec 0 ≤ θ ≤ 2π et le segment

θ = 0

p(0) ≤ r ≤ p(2π).

1) Montrer que l'aire de D est égale à A(D) =1

2

∫ 2π

0

p2(θ)dθ.

2) Trouver l'aire de la cardioïde d'équation r = a(1 + cos θ).3) Trouver l'aire de l'escargot d'équation r = aθ avec a > 0.4) Dessiner les lignes de coordonnées r = Cte puis θ = Cte dans le plan cartésien (xOy).5) Dessiner les lignes de coordonnées x = Cte puis y = Cte dans le plan polaire (O, ρ, θ).

Exercice 144.Soit D le domaine limité par le cercle d'équation x2 + y2 − 2y = 0 parcouru dans le sens direct.

19 Thierry Sageaux


Calculer à l'aide de la formule de Green-Riemann

∫ ∫D

(x2 − y2)dxdy.

Exercice 145.Calculer l'intégrale curviligne I le long de la courbe fermée γ constituée par les deux arcs de parabole

d'équation y = x2 et x = y2, orientée dans le sens direct avec

I =

∫γ

(2xy − x2)dx+ (x+ y2)dy.

Vérier le résultat en utilisant la formule de Green-Riemann.

Exercice 146. Intégrale de Gauss

On pose In =

∫ n

0

e−x2

dx et I = limn→+∞

In.

Pour n ∈ N, on considère le quart de disque Dn = x2 + y2 ≤ n2, x ≥ 0, y ≥ 0 et le carréCn = 0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ n

1) Calculer les intégrales Jn =

∫ ∫Dn

e−(x2+y2)dxdy en utilisant un changement de variable en coor-

données polaires.

2) Considérons l'intégrale Kn =

∫ ∫Cn

e−(x2+y2)dxdy. Montrer que Kn = I2n.

3) Expliquer pourquoi Jn ≤ Kn ≤ J2n.4) Quelle est la limite quand n tend vers +∞ de Jn, J2n et Kn ?5) Trouver I.

Intégrales triples

Exercice 147.Calculer l'intégrale triple ∫ 2

0

∫ √2x−x2

0

∫ a

0

z√x2 + y2dzdydx.

Exercice 148.Soit D le domaine D = (x, y, z) ∈ R3, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+ 2y + z ≤ 1.1) Représenter graphiquement D.2) Calculer ensuite de deux manières diérentes l'intégrale triple∫ ∫ ∫

D

xdxdydz.

Exercice 149.Représenter graphiquement et calculer le volume limité par les surfaces de R3 d'équation z = 2x2 +y2

et z = 4− y2.

Exercice 150.Calculer l'intégrale triple : ∫ ∫ ∫

V

√x2 + y2 + z2dxdydz

20 Thierry Sageaux


où v est la boule de centre (0, 0, 0) et de rayon R.


V

(x+ y + z)2dxdydz

où V est la partie commune au paraboloïde d'équation 2az ≥ x2 + y2 et à la boule d'équation 3a2 ≥x2 + y2 + z2.


V

zdxdydz

où V est le domaine limité par le demi-ellipsoïde supérieur d'équationx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 et par le plan

d'équation z = 0.


V

zdxdydz

où V est le domaine limité par le cône d'équation z2 =h2

R2(x2 + y2) et le plan d'équation z = h.


V

dxdydz

où V est le domaine limité par la surface d'équations x2 + y2 + z2 = 2Rz et x2 + y2 = z2 et contenant lepoint (0, 0, R).

Exercice 155.Calculer la longueur de chacun des arcs de courbes suivant :1) y = 1− ln(cosx) avec 0 ≤ x ≤ π

4 ,2) y = a ch(xa ) avec a > 0 et 0 ≤ x ≤ x0 (chaînette),

3) x23 + y

23 = a

23 avec a > 0 (astroïde),

4) ρ = aekθ avec a > 0, 0 ≤ θ ≤ 2π et k ∈ R (spirale logarithmique),5) (y − z)2 = 3a(y + a) et 9x2 + 8y2 = 8z2 avec 0 ≤ x ≤ x0.

Exercice 156.Calculer l'intégrale curviligne ∫

Γ

y2dx− dy

2− x2

21 Thierry Sageaux


lorsque1) Γ est l'arc de cercle de centre (0, 0) de rayon 1 et d'extrémités A = (1, 0) et B = (0, 1).2) Γ est le contour ACB réunion des deux segments (x, y), x = 1, 0 ≤ y ≤ 1 et (x, y), y = 1, 0 ≤x ≤ 1.

Exercice 157.Calculer les intégrales suivantes directement puis en inversant l'ordre d'intégration :

1)

∫ 2

1

ydxdy, 2)

∫ 1

0

∫ x2

0

dydx+

∫ 2

1

∫ 2−x

0

ydydx.

Exercice 158.Considérons la forme diérentielle suivante :

ω(x, y) = (2xy + y2 − 1)dx+ (2xy + x2)dy

et soit−→V le champ vectoriel qui correspond à ω.

1) Exprimer l'intégrale curviligne correspondant à la circulation du champ−→V le long du segment de

droite reliant les points A = (1, 0) et B = (0, 1) (orienté de A vers B), puis calculer cette intégrale.

2) Déterminer si ω est exacte. Le champ−→V est-il un champ de gradients ? Si c'est le cas, déterminer

f telle que−→V =

−→∇f .

3) Calculer le travail du champ−→V le long de la courbe Γ de paramétrisation

x = cos5 t

y = sin4 tavec

t ∈ [0, π2 ].

Exercice 159.Trouver le centre de gravité de la surface plane délimitée par la parabole d'équation y = 6x− x2 et la

droite d'équation y = x.

Exercice 160.Soit l'ensemble D = (x, y), x2

4 + y2

9 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

1) Déterminer l'aire de D en utilisant le changement de variables

x = 2r cos θ

y = 3r sin θ.

2) Calculer l'intégrale I =

∫ ∫D

12 cos(9x2 + 4y2)dxdy.

Exercice 161.1) Calculer l'aire de l'ellipse d'équation x2

a2 + y2

b2 = 1.

2) On considère le domaine limité par l'astroïde γ(t) = (cos3 t, sin3 t). Calculer son aire.3) La cardioïde est la courbe dénie en coordonnées polaires par r(θ) = 1 + cos θ. Calculer son aire.

Exercice 162.Calculer l'intégrale triple ∫ ∫ ∫

V

dxdydz

(1 + x+ y + z)3

où V est limité par les plans de coordonnées et par le plan d'équation x+ y + z = 1.

Exercice 163.Calculer le volume du corps limité par le plan (xOy), le cylindre d'équation x2 + y2 = az et la sphère

d'équation x2 + y2 + z2 = a2.

22 Thierry Sageaux


Intégrales de surfaces

Exercice 164.Représenter graphiquement les surfaces de R3 suivantes :

1) S1 :

x = u

y = v

z =√u2 + v2

, (u, v) ∈ R2, 2) S2 :

x = u2

y = v

z = u

, (u, v) ∈ R2.

Exercice 165.1) Donner une paramétrisation du cylindre inni d'axe (Oy) et de rayon R > 0.2) Paramétrer la sphère centrée à l'origine et de rayon R > 0. Donner l'expression du verseur normalextérieur en tout point

a) en coordonnées cartésiennes,b) en coordonnées sphériques.

Exercice 166.On considère une lamelle sphérique de rayon R et densité surfacique constante d0.1) Calculer la masse de la lamelle.2) Calculer le moment d'inertie par rapport à son centre de gravité.3) Calculer le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité.

Exercice 167.On considère une balle de rayon R et densité volumique constante d0.1) Calculer le moment d'inertie par rapport à son centre de gravité.2) Calculer le moment d'inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité.

Exercice 168.Soit f : R2 −→ R une fonction diérentiable et Σ la surface de R3

Σ = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ R2.

Montrer que, pour tout point (x, y), le vecteur unitaire normal à Σ au point (x, y, f(x, y)) est −→n (x, y) =1√

1 + f ′2x + f ′2y

(−f ′x,−f ′y, 1).

Exercice 169.1) Calculer l'intégrale sur la surface

Σ = (x, y, z) ∈ R3, z = x3, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π

de la fonction dénie par f(x, y) = 3x3 sin y.2) Calculer l'intégrale sur la surface dénie par

Σ = (x, y, z) ∈ R3, x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 3

de la fonction dénie par f(x, y) = x+ 1.

Exercice 170.Trouver une équation du plan tangent en A = (1, 0, 1) à la surface Σ paramétrée par

S :

x = u− vy = uv

z = u2 + v2

u ≥ 0, v ≥ 0.

23 Thierry Sageaux


Déterminer ensuite une équation cartésienne de cette surface.

Exercice 171.

Calculer le ux à travers la surface limitée par l'ellipse d'équations

x2

a2 + y2

b2 = 1

z = 0avec a > 0 et

b > 01) du champ de vecteurs de R3 :

−→V (x, y, z) = (1, 2, 3),

2) du champ de vecteurs de R3 :−→W (x, y, z) = (z, y, x2).

Théorèmes de Stokes et Ostrogradski

Exercice 172.

Calculer le ux du champ de vecteurs−→V (x, y, z) = (x, y,−z) à travers le demi-sphère

x2 + y2 + z2 = 1

z ≥ 0.

Exercice 173.Calculer la circulation du champ de vecteurs

−→V (x, y, z) = (y − z, z − x, x − y) le long de l'ellipse E

(après avoir préciser le sens de parcours) d'équations

x2 + y2 = 1

x+ z = 1

1) directement,2) en utilisant la formule de Stokes.

Exercice 174.On considère la boîte cylindrique S composée du cylindre d'équation x2 + y2 = R2 et 0 ≤ z ≤ h et de

deux disques de rayon R aux niveaux z = 0 et z = h. Soit−→V le champ de vecteurs déni par

−→V (x, y, z) = x2−→i + y2−→j + z2−→k .

1) Déterminer si−→V est un champ de gradient.

2) Déterminer si−→V est le rotationnel d'un autre champ de vecteurs.

3) Calculer le ux de−→V à travers S directement.

4) Calculer le ux de−→V à travers S en utilisant la formule d'Ostrogradski.

Normes

Exercice 175.

1) Trouver une CNS sur la matrice A =

(a bc d

)pour que l'application de R2 dans R dénie par

N(x, y) = |ax+ by|+ |cx+ dy| soit une norme sur R2.2) Soit x ∈ Rn et K un compact de Rn. Montrer que la distance d(x,K) = inf

y∈K|x− y| est atteinte en

un point y ∈ K.

Exercice 176.1) Déterminer si l'ensemble (x, y) ∈ R2, x2 ≤ y, y2 ≤ x est compact.2) Pour quels p ∈ 1; 2 la norme ||.||p sur Rn vérie-t-elle l'identité suivante :

||x+ y||pp + ||x− y||pp = 2||x||pp + 2||y||pp pour tout x et y dans Rn.

24 Thierry Sageaux


Exercice 177.Vérier que chacune des applications suivantes dénit une norme dans R2. Tracer la boule unité

autour de l'origine correspondante.1) N1 : (x, y) 7−→ |x+ y|+ |2x− y|2) N2 : (x, y) 7−→ |x+ y|+ |x|3) N3 : (x, y) 7−→ max|x+ 3y|, |x− y|

Exercice 178.Trouver la meilleure constante C telle que ||x||2 ≤ C||x||∞ pour tout x ∈ Rn.

Exercice 179.1) Rappeler les dénitions des normes ||.||1, ||.||2 et ||.||∞.2) Pour tout x ∈ Rn, montrer que

||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ n||x||∞

3) En déduire une démonstration de l'équivalence de ces normes.

Exercice 180.Déterminer si l'ensemble (x, y) ∈ R2, x2 ≤ y, y2 < x est ouvert, fermé. Trouver son adhérence, son

intérieur et sa frontière.

Exercice 181.Les applications de R2 suivantes sont-elles des normes :

1) f(x, y) = |x−y|+ |x+y|, 2) g(x, y) = x2 + y2, 3) h(x, y) =√xy.

Exercice 182.Déterminer l'intérieur, la frontière et l'adhérence des ensembles suivants. Déterminer également s'ils

sont ouverts, fermés, ou ni l'un ni l'autre.1) A = (x, y, z) ∈ R3, 0 < x2 + y2 + z2 ≤ 1,2) B =

( 1n ,

1m ) ∈ R2, (n,m) ∈ N\02

,

3) C = (x, y) ∈ R2, y ≥ x2, y ≤ 1− x2,4) D = (x, y) ∈ R2, (x2 + y2 − 4)(x2 + y2 − 1) < 0.

Exercice 183.

Exercice 184.

Exercice 185.

Exercice 186.

Exercice 187.

Exercice 188.

Exercice 189.

Exercice 190.

Exercice 191.

Exercice 192.

25 Thierry Sageaux


Exercice 193.

Exercice 194.

Exercice 195.

Exercice 196.

Exercice 197.

Exercice 198.

Exercice 199.

Exercice 200.

Exercice 201.

Exercice 202.

26 Thierry Sageaux


Solutions des exercices

Exercice 2.Il sut de calculer les limites le long des droites d'équations y = ax avec a ∈ R, puis sur la parabole

d'équation y = x2.

Exercice 4.2) E = (x, sin 1

x ), x > 0 ∪ (0, y), y ∈ [−1; 1].

Exercice 6.La limite n'existe pas.

Exercice 10.1) Demi plan supérieur délimité par la droite d'équation 2x+ y − 2 = 0.2) Le domaine de dénition est la réunion de la partie située sous l'hyperbole de référence pour x > 0et au-dessus pour x < 0, ainsi que de l'axe des ordonnées.3) On trouve un demi-plan auquel on a retiré une portion de droite : y − x > 0 et x 6= 0.4) On trouve une couronne, le cercle intérieur n'étant pas dans le domaine, l'extérieur oui.

Exercice 11.Considérer (xn, yn) avec xn = n

−12 + n−3 et yn = n

−12 .

Exercice 16.1) Vide pour k = −1, deux droites parallèles pour k = 1.2) Un cercle.

Exercice 17.1) Il sut de développer (|x| − |y|)2.

2) a) On trouve donc que |xy| ≤ ||(x, y)||222

et d'après l'inégalité triangulaire,

|f(x, y)| ≤3||(x, y)||22 +

||(x,y)||222

||(x, y)||2≤ ||(x, y)||2

b) 0.

Exercice 18.Non, on prend x = y = t et en faisant tendre t vers 0, on trouve f(t, t) = 1

2 .

Exercice 19.1) On a |f(x, y)| ≤ |x|+ |y| ≤ ||(x, y)||1. Donc la limite est 0.2) Non, car lim

x→0f(x, x) = 0 et lim

x→0f(x, 2x) = −3

5 .

3) Non, car limx→0

f(x, y) = +∞.

4) On étudie la limite de chacune des deux fonctions : f = (f1, f2).On trouve facilement lim

(x,y)→(0,0)f1(x, y) = −1.

D'autre part, |f2(x, y)| ≤ | sinx2|

x2

x2√x2 + y2

+| sin y2|y2

y2√x2 + y2

.

Mais on a sin x2

x2 −→ 1 etx2√x2 + y2

≤ x2 + y2√x2 + y2

≤√x2 + y2.

Donc f(x, y) tend vers (−1; 0).

27 Thierry Sageaux


Exercice 20.Poser x = r cos θ et y = r sin θ.

Exercice 42.

1)∂f

∂x(x, y) = ex cos y et

∂f

∂y(x, y) = e−x sin y.

2)∂f

∂x(x, y) = 2x cos(xy)− y(x2 + y2) sin(xy) et

∂f

∂y(x, y) = 2y cos(xy)− x(x2 + y2) sin(xy).

3)∂f

∂x(x, y) =

xy2√1 + x2y2

et∂f

∂y(x, y) =

yx2√1 + x2y2

.

Exercice 43.On utilise la majoration x2 ≤ x2 +y2 pour obtenir |f(x, y)| ≤ y3, ce qui prouve la continuité en (0, 0).

La fonction f est clairement C1 en dehors de (0, 0).

D'autre part,∂f

∂x(x, y) =

2xy5

(x2 + y2)2et∂f

∂y(x, y) = x2y2 3x2 + y2

(x2 + y2)2.

Montrons que f admet des dérivées partielles en (0, 0). Pour cela, on calcule f(x, 0) − f(0, 0) = 0 ce

qui prouve que f admet une dérivée partielle par rapport à la première variable valant∂f

∂x(0, 0) = 0.

Idem pour la seconde variable. Il reste à démontrer que ces dérivées partielles sont continues en (0, 0).On a ∣∣∣∣∂f∂x (x, y)

∣∣∣∣ = 2|xy|(

y2

(x2 + y2)

)2

≤ 2|xy|

ce qui prouve que∂f

∂x(x, y) tend vers 0 =

∂f

∂x(0, 0) qi (x, y) tend vers (0, 0).

De même, on a ∣∣∣∣∂f∂y (x, y)

∣∣∣∣ ≤ 1

4|3x2 + y2|.

et la dérivée partielle est continue par rapport à la seconde variable, donc f est C1.

Exercice 44.

1) On a∂g

∂x=∂f

∂x

∂y

∂x+∂f

∂x

∂x

∂x, donc

∂g

∂x(x, y) =

∂f

∂y(y, x)

et symétriquement,∂g

∂y(x, y) =

∂f

∂x(y, x)

2) On a g′(x) =∂f

∂x(x, x) +

∂f

∂y(x, x).

3) Pour simplier, on note h(x) = f(x, x). On a donc

∂g

∂x(x, y) = h′(x)

∂f

∂y(x, h(x)) =

(∂f

∂x(x, x) +

∂f

∂y(x, x)

)∂f

∂y(x, h(x)).

De même,∂g

∂y(x, y) =

∂f

∂x(y, h(x)).

4) Avec les mêmes notations que précédemment, on obtient la somme des quantités précédemmentcalculées.

Exercice 45.La fonction f est de classe C2 comme composée de fonctions de classe C2. En notant t = y

x , on a

28 Thierry Sageaux


∂f

∂x(x, y) =

−yx2g′0(t) + g1(t)− y

xg′1(t),

∂2f

∂x2(x, y) =

2y

x3g′0(t) +

y2

x4g′′0 (t) +

y2

x3g′′1 (t)

∂f

∂y(x, y) =

1

xg′0(t) + g′1(t),

∂2f

∂y2(x, y) =

1

x2g′′0 (t) +

1

xg′′1 (t)

et∂2f

∂x∂y(x, y) =

−1

x2g′0(t)− y

x3g′′0 (t)− y

x2g′′1 (t)

et la somme de ces expressions donne le bon résultat.

Exercice 49.1) Elle est C1 comme composée de fonctions de classe C1. On a

g′(t) = x∂f

∂x(tx, ty) + y

∂f

∂y(tx, ty).

2) a) On peut alors écrire g(t) = tf(x, y) et on a g′(t) = f(x, y) et la question précédente nit laréponse.

b) Il sut d'appliquer la relation précédente pour t = 0. On a f(x, y) = αx+βy avec α =∂f

∂x(0, 0)

et β =∂f

∂y(0, 0)

Exercice 50.1) df = (y(x+ y) + 1)exydx+ (x(x+ y) + 1)exydy.2) df = (y + z)dx+ (x+ z)dy + (x+ y)dz.3)

Exercice 51.1) On a f(x, x = 1

2 qui ne tend pas vers 0 quand x tend vers 0, donc f n'est pas continue en (0, 0).

2) Puisque f(x, 0) = 0, on a∂f

∂x(0, 0) qui existe et vaut 0. Idem pour

∂f

∂y(0, 0).

3) Elle ne peut pas l'être car elle n'est pas continue.

Exercice 52.1) Pas de problème sur R2 en dehors de (0, 0). On a

|f(x, y)− f(0, 0)| ≤ x2 + y2

2

ce qui donne la continuité en (0, 0).

2) La fonction f est de classe C1 en dehors de (0, 0). On trouve de plus∂f

∂x(x, y) =

x4y − y5 + 4x2y2

(x2 + y2)2.

D'autre part, on a f(x, 0)− f(0, 0) = 0, ce qui prouve que∂f

∂x(0, 0) existe et vaut 0. On a alors∣∣∣∣∂f∂x (x, y)− ∂f

∂x(0, 0)

∣∣∣∣ ≤ |x|4|y|+ |y|5 + 4|x|2|y|3

(x2 + y2)2

≤ 6(x2 + y2)52

(x2 + y2)2

≤ 6√x2 + y2

en utilisant |x| ≤√x2 + y2 et |y| ≤

√x2 + y2. Ceci prouve que

∂f

∂xexiste et est continue sur R2.

Idem pour∂f

∂y. Donc f est C1.

29 Thierry Sageaux


3) Toute fonction C1 est diérentiable.

Exercice 53.1) On utilise (|x| − |y|)2 = x2 − 2|xy|+ y2.

2) On a |f(x, y)| ≤ |xy||xp−1yq−1|

x2 − xy + y2≤ xp−1yq−1. Cette dernière quantité tendant vers 0 sauf si p−1 =

q − 1 = 0, i.e. p + q = 2. Dans ce cas, on a f(x, x) = 1, qui ne tend pas vers 0 si x tend vers 0 et fn'est pas continue en (0, 0).3) Si p+ q = 2, la fonction n'est pas continue : a fortiori, elle ne peut pas être diérentiable.4) Si p + q = 3, la fonction f est diérentiable en (0, 0), alors f(x, y) = f(0, 0) + df(0,0)(x, y) +o(||(x, y)||). Mais la diérentielle est ici une application linéaire de R2 dans R. On note (ab) sa matrice.On obtient alors le résultat demandé. Ensuite, puisque f(x, 0) = 0 = ax+o(|x|), on obtient que a = 0.De même en étudiant y 7−→ f(0, y), on trouve b = 0. Ainsi, f(x, x) = o(|x|). Mais f(x, x) = x 6= o(|x|).

Exercice 54.

1) J(x,y,z)f =

(x 0 −z

cosx sin y sinx cos y 0

)2) J(x,y)f =

y xx 12x

1+x2 0

Exercice 64.

1) par composition, on a :∂f

∂u=∂g

∂x

(u+ v

2,v − u

2

)× 1

2+∂g

∂y

(u+ v

2,v − u

2

)× −1

2=a

2.

2) Pour tout v, il existe une constante h(v) telle que f(u, v) =au

2+ h(v). Puisque f est de classe C1,

il en est de même de h.3) La fonction g est solution de cette équation si et seulement si il existe h : R −→ R de classe C1

telle que, pour tout u, v on a :

g

(u+ v

2,v − u

2

)=au

2+ h(v).

Pour revenir à x et y, il faut procéder au changement de variable inverse : x = u+v2 et y = u−v

2 . On a

donc g(x, y) =a(x− y)

2+ h(x+ y).

Exercice 65.L'idée est de faire un changement de variable linéaire : u = ax + by et v = cx + dy. On dénit alors

F (u, v) = f(x, y). On a donc

∂f

∂x= a

∂F

∂u+ c

∂F

∂vet∂f

∂y= b

∂F

∂u+ d

∂F

∂v.

En prenant (a, b, c, d) = (1, 0, 3, 1) qui est bien un changement de variable inversible, on obtient∂F

∂u= 0.

Donc F est une fonction de v seulement et f est solution de l'équation si et seulement si il existe g unefonction C1 dénie sur R et telle que f(x, y) = g(3x+ y).

Exercice 66.Avec le changement proposé, on a F (u, v) = f(x, y) qui donne

∂2f

∂x2=∂2F

∂u2+ 2

∂2F

∂u∂v+∂2F

∂v2et∂f

∂t= a2 ∂

2F

∂u2+ 2ab

∂2F

∂u∂v+ b2

∂2F

∂v2.

L'équation devient alors

30 Thierry Sageaux


(c2 − a2)∂2F

∂u2+ 2(c2 − ab) ∂

2F

∂u∂v+ (c2 − b2)

∂2F

∂v2= 0.

En prenant a = c et b = −c, elle devient∂2F

∂u∂v= 0 dont la solution générale est F (u, v) = φ(u) + ψ(v)

où φ et ψ sont C2. On trouve donc la solution générale de l'équation initiale :

f(x, t) = φ(x+ ct) + ψ(x− ct).

Exercice 67.Poser u = xy et v = x

y .

Exercice 68.Poser u = x+ y et v = x− y.

Exercice 71.

Poser x =u2 + v2

2et y =

u

v.

Exercice 88.1) On utilise la symétrie de f pour réduire le nombre de cas à étudier.

Exercice 89.1) On étudie les fonction fi(t) = f(a + tei) où ei est une base de l'espace de départ. Ces fonctionsadmettent un extremum en 0 et ainsi, d'après la théorie classique des fonctions en une variable, on

f ′i(0) = 0. Mais f ′i(0) =∂f

∂xi(a).

2) On a les dérivées partielles :∂f

∂x= 2x − 2 et

∂f

∂y= 2y − 4. Elles ne s'annulent qu'en (1, 2) et f

présente un minimum global en ce point car f(1 +X, 2 + Y ) = −5 +X2 + Y 2.3) a) On trouve (0, 0), (4, 0), (0,−4) et (4,−4) comme points critiques.

b) On a f(t, 0) ∼ −6t2 < f(0) pour t 6= 0 et f(0, t) ∼ 6t2 > f(0) pour t 6= 0, donc pas d'extremum.c) Les dérivées partielles d'ordre 2 sont :

∂2f

∂x2(x, y) = 6x− 12,

∂2f

∂x∂y(x, y) = 0 et

∂2f

∂y2(x, y) = 6y + 12.

La formule de Taylor écrite avec le changement de variable x = 4 +X et y = Y donne :

f(4 +X,Y ) = −32 + 6X2 + 6Y 2 + ||(X,Y )||2ε(||X,Y ||).

Donc f admet un minimum local en (4, 0).d) De même, on trouve un maximum local en (0,−4) et pas d'extremum en (4,−4).

Exercice 90.Il n'y a que (0, 0) comme point critique et f(0, y) = y3, donc pas d'extremum.

Exercice 111.On procède par contraposée, i.e. on prend un point x ∈ Rn qui n'est pas un minimum global et on va

prouver que dfx 6= 0.Soit y ∈ Rn tel que f(y) < f(x), alors pour tout t ∈]0, 1[, on a f(tx+ (1− t)y) ≤ tf(x) + (1− t)f(y).

On écrit le développement limité de f en x :

f(tx+ (1− t)y) = f(x) + dfx(tx+ (1− t)y − x) + o(1− t) = f(x) + dfx((1− t)(y − x)) + o(1− t)

D'où

31 Thierry Sageaux


(1− t)dfx(y − x) + o(1− t) ≤ (1− t)(f(y)− f(x)) ⇒ dfx(y − x) + ot→1(1) ≤ f(y)− f(x).

En faisant tendre t vers 1, on obtient

dfx(y − x) ≤ f(y)− f(x) < 0.

Elle n'est donc pas nulle.

Exercice 112.On xe x ∈ R2. Pour h ∈ R2, on a |f(x + h) − f(x)| ≤ ||h||2 ⇒ f(x + h) = f(x) + o(||h||). Donc f

est diérentiable en x et dfx = 0. Comme R2 est convexe, cela implique que f est constante.

Exercice 113.On note G = (x, y) ∈ R2, g(x, y) = 0. On calcule les dérivées partielles de f et g :

∂f

∂x(x, y) = ay exp(axy),

∂f

∂y(x, y) = ax exp(axy),

∂g

∂x(x, y) = 3x2 + 1 et

∂g

∂y(x, y) = 3y2 + 1.

En un point (x, y) de G où f atteint un extremum (sur G), les diérentielles sont proportionnelles,donc

ay exp(axy)

3x2 + 1=ax exp(axy)

3y2 + 1⇒ 3y3 + y = 3x3 + x.

Mais la fonction t 7−→ t3 + t est strictement croissante et donc injective, ce qui entraîne que si (x, y)représente un extremum lié, alors x = y.

On en déduit x3 + x− 2 = 0 dont la seule racine est x = 1.On remarque de plus que lim

(x,y)∈G||(x,y)||→+∞

f(x, y) = 0. Ainsi, par compacité, la fonction admet un maximum

qui est atteint en (1, 1).

Exercice 115.1) a) grad(f) = (y2, 2xy − z2,−2yz)

b) grad(f) = (yz sin(xy) + xy2z cos(xy), xz sin(xy) + x2yz cos(xy), xy sin(xy)).2) a) div(f) = 8xy.

b) div(f) = y cos(xy)− x sin(xz).c) div(f) = 0.

Exercice 117.On a r =

√x2 + y2 et θ = Arctan( yx ). D'où

∂r

∂x=

2x√x2 + y2

=x

r= cos θ et

∂r

∂y= sin θ,

∂θ

∂x=− sin θ

r,

∂θ

∂y=

cos θ

r.

En utilisant le théorème de décomposition des dérivations :

∂F

∂x=∂F

∂r

∂r

∂x+∂F

∂θ

∂θ

∂x=∂F

∂rcos θ − ∂F

∂θ

sin θ

ret

∂F

∂y=∂F

∂rsin θ +

∂F

∂θ

cos θ

r.

On dérive une seconde fois, et après simplication, on obtient :

∆F =∂2F

∂r2+

1

r

∂F

∂r+

1

r2

∂2F

∂θ2.

Exercice 118.On prouve l'existence théorique d'un champ scalaire en observant que les champs de vecteurs sont

dénis sur un ouvert étoilé et que leur rotationnel est nul.

1) On doit résoudre∂f

∂x(x, y, z) = 2xy + z3,

∂f

∂y(x, y, z) = x2 et

∂f

∂z(x, y, z) = 3xz2.

La deuxième donne facilement f(x, y, z) = x2y + h(x, z) et en utilisant les autres, on trouve

32 Thierry Sageaux


f(x, y, z) = x2y + xz3 + cste.

2) On trouve f(x, y) =y

x− y+ cste.

Exercice 146.3) Un dessin de Dn, Cn et D2n sut.

Exercice 148.2) en intégrant par piles puis par couches.

33 Thierry Sageaux

khôlles - classes prépa thierry sageaux, lycée gustave ei...

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