[jean-pierre derendinger] théorie quantique des champs

7/26/2019 [Jean-Pierre Derendinger] Thorie Quantique Des champs

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or equantique des champs


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Thoriequantique des champs

Jean-Pierre Derendinger

Presses polytechniques et universitaires romandes


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Dans la mme collection:

Mcanique quantique

Constantin Piron

Introduction au gnie nuclaire

Jacques Ligou

Problmes N-corps et champs quantiques

Philippe A. Martin et Franois Rothen

Introduction la physique des solides

Emanuel Mooser

Cristallographie

Dieter Schwarzenbach

Mcanique gnrale

Christian Gruber et Willy BenoitPhysique gnrale

Franois Rothen

Illustration de couverture:

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Table des matieres

1 Theorie des champs classiques 1

1.1 Action, densite lagrangienne, equations du mouvement . . . . . . 2

1.2 Symetries internes et courants de Noether . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Symetries despace-temps et theoreme de Noether . . . . . . . . . 7

1.3.1 Relativite restreinte: le groupe de Poincare . . . . . . . . . 7

1.3.2 Le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4 Le champ spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Masse et spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.6 Le tenseur energie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Equations du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Le champ de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Le champ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Invariance de jauge et theories de jauge . . . . . . . . . . . . . . . 35References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Quantification canonique du champ libre 47

2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Champs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Le champ scalaire reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Le champ scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Champs spinoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4 Champs de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.1 Quantification covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.2 Un exemple de quantification non covariante:la jauge de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5 Propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

v


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vi TABLE DES MATIERES

3 Processus elementaires 91

3.1 Matrice S et theorie asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.1 Le champ scalaire reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.2 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.2.3 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3 Theorie des perturbations, diagrammes de Feynman . . . . . . . . 106

3.3.1 Une expression pour S et les fonctions de Green . . . . . . 106

3.3.2 Le theoreme de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3.3 Diagrammes de Feynman du champ scalaire reel . . . . . . 116

3.3.4 Diagrammes de Feynman de lelectrodynamiquequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.4 Grandeurs observables: sections efficaces, temps de vie . . . . . . 130

3.4.1 Collision de deux particules: section efficace . . . . . . . . 1313.4.2 Desintegration dune particule instable: largeur,

temps de vie, rapports de branchement . . . . . . . . . . . 136

3.4.3 Calculs despace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Densites lagrangiennes phenomenologiques 145

4.1 Invariance ou violation deC,P etT . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.1 La conjugaison de chargeC . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.2 Le spineur de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.3 La parite P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.1.4 Invariance ou violation deC P . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.5 Le renversement du tempsT . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.1.6 La symetrieCP T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2 Interactions fortes et electromagnetiques:QCD et QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3 Interactions derivatives: regles de Feynman . . . . . . . . . . . . . 168

4.4 Champs massifs de spin un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.5 Linteraction faible des fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5 Applications 183

5.1 Annihilation electronpositon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.2 Diffusion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.1 Diffusion electronphoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.2 Rayonnement de freinage (Bremsstrahlung) . . . . . . . . 195

5.2.3 Quarkgluon

quarkgluon . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.3 Desintegrations du W et du Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


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TABLE DES MATIERES vii

5.3.1 Desintegration W . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.3.2 Desintegration W DaUb . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.3.3 Largeur totale, rapports de branchement . . . . . . . . . . 203

5.3.4 Desintegration duZ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.4 Desintegration du muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2065.5 Diffusion profondement inelastique,

modele des partons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5.1 Diffusion electronquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5.2 Diffusion elastique electronproton . . . . . . . . . . . . . 212

5.5.3 Diffusion inelastique profonde . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.5.4 Partons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.6 Desintegration en deux photons du boson de Higgs . . . . . . . . 218

5.6.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.6.2 Une densite lagrangienne effective . . . . . . . . . . . . . . 227References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6 Renormalisation 231

6.1 Contre-termes et theorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Lelectrodynamique a lordre dune boucle: divergences . . . . . . 239

6.3 Regularisation dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.2 Une integrale en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.3 Dautres integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4 Regularisation dimensionnelle delelectrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.4.1 La densite lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.4.2 Propagateur du photon: polarisation du vide . . . . . . . . 251

6.4.3 Propagateur du fermion, self-energie . . . . . . . . . . . . 253

6.4.4 Correction de vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.4.5 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.5 Lidentite de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.6 Ordres plus eleves, renormalisabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2676.7 Groupe de renormalisation, couplages effectifs . . . . . . . . . . . 269

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7 Symetrie spontanement brisee 287

7.1 Le theoreme de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.2 Le mecanisme de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

7.3 Un exemple: le doublet scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . 297

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303


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viii TABLE DES MATIERES

8 Le Modele standard 305

8.1 Groupe et bosons de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.2 Quarks et leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.3 Champs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

8.4 Derivees covariantes, densite lagrangienne . . . . . . . . . . . . . 3108.5 Mecanisme de Higgs et jauge unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.6 Parametres et valeurs numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Appendice A Formulaire, conventions et notations 323

Appendice B Lanomalie chirale 333

Bibliographie 339

Index 345


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Avant-propos

La theorie quantique des champs, qui integre relativite restreinte et mecaniquequantique, est a la base de la description des interactions des particules elemen-taires. Son developpement, dont lorigine remonte a la fin des annees 1920, sestlongtemps concentre sur la physique des photons et des electrons, sur lelectrody-namique quantique. Apres de nombreux detours et plusieurs crises, les interac-tions faibles et fortes des quarks et des leptons y ont trouve aujourdhui leur place.Seule subsiste laversion de la force de gravitation pour la theorie quantique deschamps. . .

Ce texte dintroduction a la theorie quantique des champs est une synthese ducontenu de plusieurs cours de deuxieme cycle ou postgrades donnes a lUniversitede Neuchatel, a lEcole Polytechnique Federale de Zurich et dans le cadre delenseignement postgrade commun aux universites suisses francophones (Troi-sieme cycle de la physique en Suisse romande). Il est destine en priorite aux

etudiants doctorants en physique experimentale des hautes energies et aux etu-diants du deuxieme cycle avec une orientation en physique des particules ou entheorie. Il est admis que le lecteur dispose dune bonne matrise de la mecaniquequantique non relativiste. Dans une moindre mesure, des connaissances de basede la physique des particules peuvent aider a suivre certains exemples ou discus-sions. Lobjectif est de developper les bases du formalisme de la theorie quan-tique des champs, le minimum vital permettant dapprecier la structure detheories telles que lelectrodynamique quantique ou le Modele standard et de lesutiliser pour decrire des systemes physiques simples. En revanche, les fonde-ments phenomenologiques et historiques ou les tests experimentaux des theories

decrivant les interactions fondamentales ne sont pas abordes.

Dans loptique dune introduction au sujet, le texte a deux limitations princi-pales. Premierement, lintegrale de chemin nest pas utilisee, lapproche canoni-que est suivie. Cette option permet une progression plus rapide et plus adapteeaux connaissances de la majorite des etudiants. Deuxiemement, la quantificationdes theories de jauge non abeliennes nest pas discutee, et ne sont envisagees quedes applications perturbatives, dans le domaine relativiste.

La litterature traitant de la theorie quantique des champs est considerable,de haute qualite, avec un bon nombre douvrages a la fois recents et complets.La bibliographie donne une liste etendue douvrages de reference. Quelques lec-

ix


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x AVANT-PROPOS

tures dapprofondissement ou de complement sont en general suggerees a la findes chapitres, ainsi que quelques exercices. Le lecteur desireux de perfectionnerses connaissances et sa dexterite saura se reporter a labondante litterature quipropose nombre de problemes et dexemples autres que ceux traites ici.

Lorganisation de lexpose est relativement traditionnelle. Le chapitre 1 passeen revue les aspects classiques utiles a la construction de la theorie quantique,y compris la derivation de la densite lagrangienne dune theorie invariante de

jauge. Le chapitre 2 est consacre a la quantification canonique des champs libres,a la description des espaces detats et des propagateurs causals. Lexpansionperturbative (diagrammes de Feynman) de la theorie interactive fait lobjet duchapitre 3, laccent etant mis sur le champ scalaire pour sa simplicite et surlelectrodynamique quantique pour son importance. Ce chapitre fait egalementle lien avec les grandeurs mesurees (section efficace, largeur de desintegration,

. . .). Le chapitre 4 le complete par une discussion de quelques points absents delelectrodynamique quantique mais requis par les interactions faibles ou fortes:champs massifs libres de spin un, interactions derivatives; il rassemble aussi di-verses notions plus proches de la phenomenologie et utiles a la formulation demodeles physiques: C, P, T, couleur et chromodynamique quantique, interac-tions faibles des fermions. Le chapitre 5 propose un choix dexemples; il abordeaussi a un niveau elementaire quelques notions marginales a la theorie des champsmais utiles en physique des particules (partons, facteurs de forme, fonctions destructure). La renormalisation est etudiee dans le chapitre 6, qui ne pretendcependant pas donner une presentation complete de cet important sujet. Ladiscussion se concentre sur lelectrodynamique quantique a lordre dune boucleet en regularisation dimensionnelle, avec une section consacree au groupe derenormalisation. La brisure spontanee de la symetrie est le sujet du chapitre 7,presque uniquement au niveau classique puisque la quantification des theories nonabeliennes na pas ete traitee. La construction du Modele standard des interac-tions fortes, faibles et electromagnetiques est presentee dans le dernier chapitre.Enfin, deux appendices contiennent les notations et conventions utilisees ainsi quequelques formules, et une breve discussion de lanomalie chirale. Les chapitres1, 2, 3, 5 et peut-etre 6 forment ainsi lossature dun cours dintroduction a latheorie quantique des champs.

Laide de Philippe Page a ete precieuse lors de lelaboration de la premiereversion des notes de cours. Jaimerais len remercier, ainsi que les collegues etetudiants qui ont contribue a lamelioration du texte par leurs remarques et cor-rections. Jai beneficie des competences de Liliane Deppierraz et Christophe Bor-lat lors de la realisation finale de louvrage. Je remercie enfin Nicole Derendingerpour son soutien, sa patience et laide apportee a la mise en informatique dumanuscrit.


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Chapitre 1

Theorie des champs classiques

Dans lapproche traditionnelle que nous suivrons, letude dune theorie quantiquedes champs comprend deux phases. Il sagit dabord de construire la theorie,ce qui revient a formuler la fonctionnelle dactionS qui la definit. Un certainnombre de regles qui decoulent du formalisme de la theorie des champs limitent lesformes admissibles de laction. Violer ces regles vide la deuxieme phase, letude ducontenu physique de la theorie, de toute signification. Le formalisme de la theoriequantique des champs permet avant tout dextraire de laction, traitee dans lecadre de la mecanique quantique relativiste, les quantites physiques observables,en general par le biais de la theorie des perturbations. Le but principal de ce cours

est detudier ce formalisme, de developper les outils de la theorie des perturbationset de discuter les fonctionnelles daction utiles a la description des interactionsdes particules elementaires.

En fait, le contenu physique de la theorie est entierement determine par lechoix des champs et des symetries. La forme de la fonctionnelle daction endecoule1. Laction elle-meme na pas de signification physique propre. Linfor-mation physique se trouve dans la classification des champs et le contenu ensymetries, quelles soient exactes ou spontanement brisees.

Dans le contexte de la theorie relativiste des champs qui nous interesse ici,

un champ est une fonction de lespace-temps. Par exemple, dans la theorie deMaxwell, le champ electromagnetique F(x, t) est un champ classique. Sa dy-namique, fixee par les equations de Maxwell, est conforme au principe de relativiterestreinte (les equations de Maxwell sont qualifiees de covariantes relativistes).La theorie de Maxwell est donc une theorie relativiste de champs classiques. Latheorie quantique des champs considere des champs a valeurs operatorielles. Cepassage du champ classique a loperateur de champ est souvent qualifie dedeuxieme quantification.

Ce premier chapitre decrit brievement les notions classiques a la base de la

1Ce nest que partiellement vrai si la theorie est supersymetrique.

1


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2 THEORIE DES CHAMPS CLASSIQUES

theorie quantique des champs: la fonctionnelle daction et le formalisme lagran-gien, les symetries de laction et les lois de conservation deduites du theoreme deNoether, ainsi que les champs scalaires, vectoriels et spinoriels et les equationscinematiques de Klein-Gordon et Dirac. Le but est dobtenir la fonctionnelle

daction la plus generale decrivant des champs de spins 0, 1/2 et 1 qui pourraetre traitee dans le cadre de la theorie quantique des champs.

1.1 Action, densite lagrangienne, equations du

mouvement

Les theories quantiques des champs utilisees pour decrire les interactions des par-ticules elementaires peuvent etre formulees a partir dun principe daction qui estune simple generalisation de la situation rencontree en mecanique classique. Onpourrait egalement se donner les equations dynamiques qui decoulent de laction(les equations dEuler-Lagrange) comme point de depart du formalisme. Mais ilsavere que lutilisation de laction simplifie la quantification de la theorie.

En mecanique classique, les equations du mouvement dun systeme de parti-cules ponctuelles sont obtenues a partir dune action

S[q] =

t2

t1dt L(q(t), q(t), t), (1.1)

ouL est la fonction de Lagrange. Laction S est une fonctionnelle de lensembledes coordonnees q(t) = {q1(t), . . . , q 3N(t)} des N particules du systeme (tri-dimensionnel) et de leurs vitesses q(t) ={q1(t), . . . ,q3N(t)}, au temps t. Leprincipe de moindre action postule que les trajectoires physiques sont cellespour lesquelles la fonctionnelle daction S a un extremum, en general un mini-mum. Il en decoule un ensemble dequations differentielles, les equations dEuler-Lagrange, qui sont les equations du mouvement du systeme: elles determinent

son evolution temporelle.

Pour les obtenir, supposons que la fonctionnelleSest stationnaire pourq(t) =Q(t), et considerons des trajectoires differant peu de Q(t) de la forme q(t) =Q(t) +q(t). La quantite est un parametre et on peut supposer que q(t)sannule aux temps t1 et t2; Q(t) etq(t) concident donc aux temps t1 ett2. Lavaleur de laction pour les trajectoires q est une fonction du parametre , et lastationnarite de laction pour q(t) =Q(t) sexprime par la condition

ddS[q]

=0

= 0. (1.2)


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ACTION, DENSITE LAGRANGIENNE, EQUATIONS DU MOUVEMENT 3

On a:d

dS[q] =

t2t1

dt3Ni=1

L

qi(t)qi(t) +

L

qi(t)qi(t)

= t2

t1dt

3Ni=1

Lqi(t)

ddt Lqi(t)

qi(t),

en integrant par parties avecqi(t1) = qi(t2) = 0. Puisqueq(t) est arbitrairepour t1< t < t2, la condition de stationnarite implique les equations differentielles

L

qi(t) d

dt

L

qi(t)= 0, i= 1, . . . , 3N, (1.3)

qui sont les equations dEuler-Lagrange du systeme decrit par laction S. Ellesforment un systeme de 3N equations differentielles du deuxieme ordre (au plus),en general couplees et non lineaires.

Lextension de ce formalisme a la dynamique de champs est immediate. Con-siderons le cas le plus simple de champ classique: une fonction de lespace-temps(x) a valeur dans les nombres reels ou complexes. Nous utilisons la notationsuivante: x denote le quadrivecteur de composantes x, avec x0 =ct et le choixdunites c = 1 2. Le systeme physique a maintenant un nombre infini de degresde libertes: au lieu des 3Ncoordonnees qi(t), on considere a chaque temps t lesvaleurs du champ en chaque point de lespace. Comme auparavant, uneactionet unefonction de Lagrangesont introduites,

S[] =

dt L (1.4)

mais il convient dutiliser egalement une densite lagrangienneL(, ) avec3

L=

d3x L(, ). (1.5)

Le volume dintegration ne sera pas specifie plus precisement. Il depend dusysteme physique considere et peut etre fini ou infini. Donc

S[] = d4x L(, ). (1.6)

Le principe de moindre action stipule que les champs physiques du systeme(x) correspondent aux extrema de laction S. Par analogie avec le cas discretetudie plus haut, on considere lactionS[], avec= + , etant un champquelconque sannulant aux bords du volume dintegration. Alors, puisque S eststationnaire en ,

d

dS[]

=0

= 0.

2Lensemble des notations utilisees est defini dans lappendice A.3

La densite lagrangienne peut en principe dependre explicitement de x,L(, , x). Nousomettrons cette possibilite.


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Apres une integration partielle utilisant lannulation de aux bords du volumedintegration, la derivee est

d

d

S[] = d4x

L(, )

L(, )

=

. (1.7)

Sauf mention contraire, la repetition dun indice (ici lindice ) implique parconvention une somme sur toutes ses valeurs. Comme le champ est arbitraire,la condition de stationnarite conduit a lequation

L(, )

L(, ) = 0 (1.8)

dont les champs physiques sont solutions. Par rapport au cas de la mecaniqueclassique de particules ponctuelles, on a en fait une infinite dequations dEuler-

Lagrange (vues comme des equations differentielles dans le temps), en chaquepoint spatial du volume du systeme physique considere. Elles determinent ladynamique spatio-temporelle du champ(x) puisque leurs solutions sont precise-ment les champs physiques (x). Lorsque la densite lagrangienne est fonction duchamp et de ses premieres derivees uniquement, les equations dEuler-Lagrangesont au plus du deuxieme ordre. Ceci est suffisant pour decrire les interactionsde champs relativistes quantifies.

La generalisation au cas dune action dependant de plusieurs champs, notescollectivement i(x), i = 1, . . . , M , est simple. A nouveau, puisque laction eststationnaire pour les champs physiques i(x), on aura

d

dS[i]

=0

= 0, (1.9)

ou i(x) =i(x) +i(x). Cette equation est vraie pour des variations i(x)

independantes et arbitraires de chaque champ, sannulant au bord du volumedintegration. On aura donc une equation dEuler-Lagrange pour chaque champi(x) apparaissant dans la densite lagrangienne:

iL(j, j)

iL(j, j) = 0, i= 1, . . . , M . (1.10)

1.2 Symetries internes et courants de Noether

Laction S possede une symetrie sil existe un ensemble de transformations deschamps i et des coordonnees despace-temps laissant S invariante. Lensemblede toutes les symetries de laction forme necessairement un groupe de symetrie.

Considerons une theorie de champs classiques definie par laction

S[j] =

d4x L(j , j). (1.11)


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SYMETRIES INTERNES ET COURANTS DE NOETHER 5

Les equations dEuler-Lagrange

iL(j, j)

iL(j , j) = 0, (1.12)

determinent la dynamique des M champs j

, j = 1, . . . , M . Supposons ensuiteque cette action possede une symetrie interne, cest-a-dire quil existe une (ouplusieurs) transformation agissant sur les champs selon

j(x) j(x) = Ujk k(x) (1.13)(on somme, de 1 aM, sur les indices repetes). En general, la matriceUde dimen-sion (M M) nest pas unique. Lensemble des matrices Uforme un groupe,G.Cette symetrie est qualifiee dinternepuisquelle transforme les champs sans agirsur lespace-temps: les coordonnees ne sont pas affectees par la transformation.Cest une symetrie qui commute avec les symetries despace-temps du groupe de

Poincare qui seront considerees dans la section suivante.

Unesymetrieest une transformation qui laisse laction invariante. Les syme-tries apparaissant dans les theories de champs decrivant les interactions des par-ticules elementaires sont de plusieurs types. Certaines sont discretes, le groupeG possedant un nombre fini delements. Les symetries continues correspondent aun groupe dont les elements (les matricesU) sont des fonctions dun nombre finide parametres continus I. Nous allons considerer des transformations qui sontdes fonctions analytiques des parametres I. Le groupeGest alors un groupe deLie. On peut se restreindre a des transformations infinitesimales et poser

Ujk =

jk+ iI(T

I

)jk,

j =

j

+ j

, j

=iI(TI

)jk

k

, (1.14)les parametresI etant infinitesimaux (on somme sur I). Lensemble de matriceslineairement independantes TI forme un ensemble de generateurs de lalgebrede Lie du groupeG . Les symetries continues sont de deux types. Lorsque lesparametres I sont independants du point de lespace-temps, la symetrie estdite globale. Elle transforme les champs de la meme facon dans tout lespace-temps. Par exemple, le nombre baryonique et les nombres leptoniques sont dessymetries globales du Modele standard dans sa version minimale. Par contre,on peut envisager des transformations laissant laction invariante et qui agissentdifferemment selon le point dans lespace-temps:

j(x) j(x) = Ujk (x)k(x). (1.15)Dans ce cas, les parametres sont des fonctions I(x) et la transformation est unesymetrie de jauge. Les theories de champs classiques invariantes de jauge serontetudiees dans la derniere section de ce chapitre.

Le lien entre groupe de Lie et algebre de Lie peut se resumer comme suit. Latransformation infinitesimale (1.14) peut etre vue comme lexpansion au premierordre dans les parametres infinitesimaux Ide lelement du groupeG

U(I) eiIT

I

=n0

1

n! (iITI

)n

. (1.16)


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CommeG est un groupe, la loi de groupe indique que

U(I)U(I) =U(I) G.

Dautre part, pour deux matrices A etB , on a

eAeB =eC, C=A + B+1

2[A, B] + C

ou la matriceCcontient une infinite de termes dordres plus eleves que A2,ABou B2 secrivant uniquement a partir de commutateurs. Pour des elements dugroupe de la forme (1.16), la loi de groupe devient

iITI =i(I+ I)T

I 12

IJ[TI, TJ] + commutateurs dordres plus eleves.

Elle est donc equivalente a la donnee des relations de commutations

[TI, TJ] =ifIJKTK, (1.17)

qui definit lalgebre de Lie du groupeG. Les nombres fIJK sont les constantesde structurede lalgebre de Lie. Ces notions joueront un role important dans laconstruction des theories de jauge non abeliennes (ou theories de Yang-Mills) quisont a la base du Modele standard des interactions fortes et electrofaibles.

Pour etudier certaines consequences de linvariance de laction sous une trans-formation infinitesimale (1.14), il convient dabord de remarquer que si S est

invariante sous une transformation locale dont les parametres I dependent dex, Ssera egalement invariante sous les transformations globales, pour lesquelles

I = 0. Linvariance de laction sous une transformation infinitesimale (1.14)globale sexprime par les egalites suivantes:

0 =S[j ] =

d4x L =

d4x

Lj

j + Lj

(j)

=

d4x

Lj

j

.

(1.18)

Le dernier pas utilise le fait que les champs physiques sont solutions des equationsdEuler-Lagrange et nest donc vrai que pour ces solutions. Linvariance delaction,S= 0, implique que la variation de la densite lagrangienne est au plusune derivee totale dune quantite qui sannule au bord du volume dintegration:

L =V, (1.19)

V etant une fonction des champs j et j, et des parametres I, qui sont

arbitraires. Par consequent,

J= 0, J= Lj j V (1.20)


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SYMETRIES DESPACE-TEMPS ET THEOREME DE NOETHER 7

Le courant conserveJdepend de lensemble des parametres de la transformationde symetrie. Pour une transformation continue infinitesimale, au premier ordreen I, on a

j =iI(TI)jk

k etV =IVI si bien que linvariance de laction

implique

JI = 0, JI =i Lj (TI)kj k VI . (1.21)

On a donc construit un courant conserve pour chacun des parametres de lasymetrie continue interne: cest le theoreme de Noether pour les symetries in-ternes.

Par la suite, nous considererons uniquement des symetries internes qui laissentla densite lagrangienne invariante. Le courant de Noether est alors donne parlexpression (1.21) avecVI = 0.

Lequation de conservation des courants JI secrit

tJI0 + JI = 0.

En prenant lintegrale de cette equation sur un volume spatial V, on obtient

d

dt

V

d3x JI0 =

Vd3x JI =

V

ds JI. (1.22)

Si le volume est choisi tel que le courant JI sannule sur son bord V, on aura

d

dtQ

I

(t) = 0, Q

I

(t) =

V d

3

x J

I0

=Q

I

. (1.23)

A chaque symetrie continue de laction correspond un courant conserve et unecharge totale QI independante du temps. La composante temporelle du courant

joue le role de densite de charge.

1.3 Symetries despace-temps et theoreme de

Noether

1.3.1 Relativite restreinte: le groupe de Poincare

Le principe de relativite restreinte impose que laction soit invariante sous lestransformations du groupe de Poincare, qui comprend les translations despace-temps et les transformations de Lorentz. Sur les coordonnees despace-temps,laction du groupe de Poincare est

x x = x + a, (1.24)

ou

est une transformation de Lorentz. Chaque element g est donc carac-terise par g = (, a). Il sagit de transformations globales ( et a sont


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independants de x) qui peuvent etre continues (translations, transformationsde Lorentz propres) ou discretes (parite, renversement du temps). Les transfor-mations de Poincare laissent invariant lelement dintervalle entre deux pointsprochesx etx + dx, qui secrit

ds2 =dxdx, (1.25)

etant la metrique de Minkowski4. Les quantites dx forment un vecteur

contravariant par rapport aux transformations de Lorentz,

dx =x

xdx = dx

, (1.26)

dapres (1.24). La condition dinvariance de lintervalle,ds2 =ds 2, exige

=, (1.27)

qui caracterise completement les transformations de Lorentz. Elle contient dixconditions independantes qui reduisent a six le nombre de parametres (conti-nus) de la transformation de Lorentz. La transformation de Lorentz du vecteurcovariant des derivees partielles secrira

=

x =

x

x

x =

, (1.28)

la derniere egalite definissant , qui est linverse de :

=. Il suit

de (1.27) que

= , (1.29)

ou est linverse de, =

.

Les matrices et sont numeriquement identiques. On les utilisera pourmodifier la nature covariante ou contravariante dun indice vectoriel puisque

=

.

Les indices seront donc montes en utilisant

et abaisses grace a .

Il suit de (1.27) que toute matrice peut se decomposer en un produit

= D0 (1.30)

avec D = 1, P , T , P T alors que 0 a determinant unite et 0

0 1. LensembleL+ des matrices 0 forme le sous-groupe des transformations de Lorentzpropreset orthochrones. Les elements discrets apparaissant dans D sont la parite

P : (x0, x)

(x0,

x), (1.31)

4Les conventions utilisees sont definies dans lappendice A.


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et le renversement du temps

T : (x0, x) (x0, x), (1.32)

Plutot que de considerer directement lequation de definition (1.27), il estsouvent plus simple de se restreindre a une transformation infinitesimale,

=+

, (1.33)

les quantites etant supposees petites face a lunite. Ceci nest possible que

pour une transformation de L+, mais la decomposition (1.30) permet de discuterlensemble du groupe de Lorentz a partir de (1.33) et (1.30). Au premier ordreen, la condition (1.27) devient simplement

+ = 0, (1.34)

et est une matrice antisymetrique quelconque. Comme mentionne plus haut, legroupe de Lorentz a six parametres continus, correspondant a trois angles de ro-tation et aux trois parametres v/capparaissant dans un boost (ou glissement)de Lorentz vers un referentiel inertiel de vitesse relative v.

Nous allons par la suite utiliser la notion de generateurs de lalgebre de Liedu groupe de Lorentz. Pour lintroduire, on pose

x =x =

1

2

i(M)x

, (1.35)

ou les M =M sont des operateurs agissant dans lespace-temps, choisisindependamment des parametres . Dapres (1.35), il faut que

i(M)x =x x.

La solution est de remplacer les M par des operateurs differentiels de la forme(M)= (L

), avec

L =i (x x) . (1.36)

On verifie que ces operateurs satisfont lalgebre de commutateurs

[M, M] = i (M + M M M) . (1.37)Les relations de commutation (1.37) definissent lalgebre de Lie du groupe deLorentz dont les M sont les generateurs (qui forment une base de lalgebrede Lie). Chaque realisation des regles de commutation (1.37) correspond a unerepresentation particuliere de lalgebre de Lie. Par exemple, le choix (1.36) utilisedes operateurs differentiels agissant sur les coordonnees despace-temps. Un autrechoix consisterait a representer tous les generateurs par le nombre zero. Cest

une realisation triviale de lalgebre, en une dimension puisquun nombre reelrepresente chaque element.


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Par la suite, nous considererons des representations de lalgebre de Lie (1.37)de la forme

M =L + S, (1.38)

les operateurs L etant definis par (1.36) alors que les S forment une represen-

tation matricielle de lalgebre (1.37) qui commute avec L. Nous aurons en effeta agir a la fois sur les coordonnees et sur les champs.

Il est facile detendre cette discussion aux translations

x x =x + a =x + ax. (1.39)Les generateurs P des translations sont introduits en posant

x =x + x, x =i(aP)x, (1.40)

par analogie avec (1.35). Dapres (1.39), les operateurs differentiels

P = i (1.41)generent les translations. En utilisant les generateurs de Lorentz (1.36), on verifiefacilement que

[M, P] = iP iP,[P, P] = 0.

(1.42)

Ces relations, associees a lalgebre de Lorentz (1.37), forment lalgebre de Lie dugroupe de Poincare, dont les dix generateurs sont M et P. Par la suite, une

representation generale de lalgebre de Poincare sera donnee par les operateurs(1.38), (1.36) et (1.41). Ces equations sont essentielles pour caracteriser le com-portement des champs sous les transformations du groupe de Poincare. Nousverrons plus loin que ce comportement est directement lie aux spins des champsen question.

Pour une theorie de champs classiques invariante relativiste, decrivant unensemble de champsi(x), il sera necessaire de connatre laction sur les champsdes transformations du groupe de Poincare:

i(x)

i (x).

Il doit etre possible de reconstruire le champi , dans les coordonneesx , a partirdes valeurs du champi(x). Nous nutiliserons que des champs pour lesquels unerelation lineaire

i (x) =S(g)ijj(x) (1.43)

existe. La matriceS(g) depend de lelement (abstrait) g = (, a) du groupe dePoincare utilise pour transformer les coordonnees. Il sagit dune representationlineaire du groupe de Poincare. Lequation (1.43) donne la relation fonctionnelledefinissant. Le changement de coordonnees inverse exprimex comme fonctiondex et donc

i (x) =S(g)ijj(x(x)). (1.44)


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Par exemple, pour une transformation de Lorentz x = x, ou matricielle-mentx= x, on a

i (x) =S(g)ijj(1x), (1.45)

ou encorei (x) =S(g)ijj(x). (1.46)

Pour une transformation infinitesimale,

x = x + x, S(g)ij =i

j+ S(g)ij,

on aura, au premier ordre en x etS(g),

i (x) = i (x + x) =i (x) + [i (x)]x =i (x) + [i(x)]x

= i(x) + S(g)ijj(x),

dapres (1.43). Il y a donc une relation lineaire entre les fonction i et i aupointx:

i (x) i(x) = S(g)ij j(x) i(x)x =S(g)ij xij

j(x)

= S0(g)ij

j(x).(1.47)

La version infinitesimale de (1.43) secrit donc

i (x)

i(x) =S(g)ij j(x) =S0(g)

ij

j(x) + xi(x). (1.48)

Le choix deS0(g) caracterise completement la transformation des champs. Pourelaborer ce point, nous allons considerer separement les translations et les trans-formations de Lorentz.

Translations

Pour une translationx= x + a, il est naturel de definir la valeur des champsi

enx comme etant simplement la valeur dei enx= x a. On aura donc

i

(x) =i

(x), (1.49)

cest-a-direS(g)ij =

ij, S(g)

ij = 0. (1.50)

Dautre part,

i (x) =i(x a) = n0

1

n!(a)ni(x) =eai(x). (1.51)

Dapres (1.47) et poura infinitesimal, on obtient

S0(g)ij

j(x) = iaPi(x), (1.52)


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en utilisant les generateurs (1.41) des translations. Le meme resultat decoule de(1.50) insere dans (1.48).

Transformations de Lorentz

Le traitement des transformations de Lorentz est plus complique puisquil faiten general intervenir des operateurs S(g) non nuls. Une transformation in-finitesimale secrit

x = x + x, x =x=1

2iL

x.

Dapres (1.36), les operateurs differentiels L sont donnes par L = i(x x). On observe ensuite que le dernier terme dans la transformation (1.48)peut secrire

xi(x) =

12

iLi(x).

Nous allons alors poser

S(g)j k= 1

2i(S

)j k, (1.53)

si bien que

S0(g)j k = 1

2i(S)j k+ L

jk

= 1

2i(M)j k. (1.54)

Cest le choix desS [ou deS(g)] qui caracterise les transformations de Lorentzpropres orthochrones des champs. Nous verrons plus loin que ce choix determineegalement le spin (intrinseque) des champs en question.

1.3.2 Le champ scalaire

Il sagit du cas le plus simple pour lequel

S(g) = 0 S = 0.

Cest la representation triviale, de dimension 1, de lalgebre de Lie. Elle agit doncsur un champ unique (x) pour lequel

(x) =(x), (1.55)

comme dans le cas des translations. Nous verrons que le champ scalaire, qui peutetre reel ou complexe, est sans spin.


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1.3.3 Le champ vectoriel

Unchamp vectorielest un quadrivecteur de champs V(x) dont la transformationde Lorentz utilise des generateurs S de la forme

(S) =i ( ) . (1.56)

On aura donc

V (x) V(x) = S(g)V(x)= 1

2i[i

i] V(x)= V(x),

(1.57)

ou les indices sont abaisses ou eleves avec ou , comme dhabitude. La

transformation ci-dessus est identique a celle dun quadrivecteur (contravariantou covariant), dou le nom de champ vectoriel.

Un champ vectorielV(x) se transforme de la meme facon que le gradient dunchamp scalaire (x), qui est donc un champ vectoriel particulier. En effet,

(x) (x) = (x).Pour une transformation infinitesimale,

(x) (x) =(x).

Nous verrons queV(x) est utilise dans la description dune particule de spinunite.

1.3.4 Le champ spinoriel

Les champs spinorielspermettent de decrire la physique de particules de spin1/2. Il en existe une generalisation pour les spins demi-entiers plus eleves quine sera pas discutee ici. La construction des spineurs est plus sophistiquee quecelle des champs tensoriels, tels que les champs scalaire et vectoriel. Nous nousbornerons a construire leurs transformations infinitesimales, cest-a-dire a obtenirles generateursS. Ceux-ci utilisent lesmatrices de Dirac, qui satisfont lalgebredanticommutateurs (algebre de Dirac)

{, } = 2I. (1.58)Cette algebre peut etre representee par des matrices (4 4) et Iest la matriceidentite en quatre dimensions. Un exemple de realisation est le suivant:

0 = 0 I

2I2 0

, i = 0

ii 0

, i= 1, 2, 3, (1.59)


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ou les matrices de Pauli sont notees i etI2 est la matrice unite en deux dimen-sions. Il sagit de la representation chirale, oude Weyl.

En utilisant lalgebre de Dirac (1.58), on verifie facilement que les matrices

= i4

[, ] (1.60)

verifient lalgebre de Lie du groupe de Lorentz (1.37). Elles forment donc lesgenerateurs dune representation de lalgebre (1.37) agissant sur un champ aquatre composantes

(x) =

1(x)2(x)3(x)4(x)

, (1.61)

qui est un spineur de Dirac. Nous allons donc identifier les generateurs Sapparaissant dans (1.53) avec les et la transformation de Lorentz du spineurde Dirac est donc

(x) (x) =(x) + S()(x),S() = 1

2i

.(1.62)

Le champ de Dirac porte en fait une representation reductible de lalgebre de Liedu groupe de Lorentz. Pour le montrer, introduisons la matrice

5= i0

1

2

3

, (1.63)

qui satisfait5=5,

25 =I4, {5, } = 0. (1.64)

Par consequent,[5,

] = 0. (1.65)

Il est alors possible de construire un ensemble complet de projecteurs orthogonaux

PL=1

2(I4+ 5), PR=

1

2(I4 5), (1.66)

pour lesquels

P2L= PL, P2

R=PR, PLPR= PRPL= 0, PL+ PR= I4. (1.67)

Les projecteurs commutent avec les generateurs:

[PL, ] = [PR,

] = 0. (1.68)

Puisque les quatre valeurs propres de5sont 1, 1, 1, 1, les projecteurs permet-tent de definir deux spineurs a deux composantes

L= PL= PLL, R= PR= PRR, (1.69)


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qui se transforment separement sous le groupe de Lorentz:

L = 12 iPL = 12 iPL = PL,R =

12

iPR =

12

iPR = PR.

(1.70)

Les spineurs a deux composantes L et R peuvent etre consideres comme desentites independantes puisquils ont des transformations de Lorentz bien definies.Ce sont des spineurs de Weyl.

Les projecteurs PL et PR sont les projecteurs de chiralite; L et R sont lesspineurs de chiralites gauche et droite. Dans la representation chirale (1.59), lamatrice5 est diagonale:

5=

I2 0

0 I2

. (1.71)

On aura donc

L=

L

0

, R=

0R

,

en termes de spineurs a deux composantesL etR.

1.3.5 Masse et spin

Les champs scalaires, vectoriels et spinoriels possedent des transformations de

Poincare bien definies, qui les caracterisent. Ils portent des representations dugroupe de Poincare et de son algebre de Lie. Ces representations peuvent elles-memes etre caracterisees au moyen desoperateurs de Casimir, au nombre de deuxpour le groupe de Poincare. Les operateurs de Casimir commutent avec les dixgenerateurs P et Mde lalgebre de Poincare. Ils ont donc une valeur propreunique pour chaque representation irreductible. De plus, ces valeurs propres sontdes invariants (sous translations, rotations et boosts de Lorentz): ce sont desnombres quantiques intrinseques (independants dun choix de coordonnees) quisuffisent a caracteriser la representation du champ. Ces deux nombres quantiquessont la masseet le spindu champ (ou, plus generalement, de la representation).

Loperateur de Casimir dont la valeur propre est la masse est facile a construi-re. Comme le carre dun quadrivecteur est un invariant, on choisit simplementloperateur

P2 =PP= PP. (1.72)

Lannulation du commutateur [P2, P] est triviale alors que

[P2, M] =P[P, M] + [P

, M]P = 0,

en utilisant lalgebre de Poincare (1.42). La valeur propre de P2 pour chaquechamp irreductible sera

m2c2,


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m etant la massedu champ. Du point de vue du groupe de Poincare, la valeurproprem2c2 peut etre un nombre reel quelconque, positif, nul ou negatif. Seulesles valeurs propres nulles et positives sont observees dans la nature5.

Le deuxieme operateur de Casimir est plus subtil. Il est necessaire dintroduirequatre operateurs formant le vecteur de Pauli-Lubanski:

W=1

2P

M, (1.73)

ou est completement antisymetrique avec

0123= 1.

Les operateurs W ont les proprietes suivantes:

[W, P] = 0,

[W, M ] = i (W W)[W, W] = iPW.

(1.74)

Ces relations se demontrent en utilisant les regles de commutation (1.37) et (1.42)de lalgebre de Lie du groupe de Poincare. La deuxieme indique que W setransforme comme un quadrivecteur. Puisque le carre dun quadrivecteur est uninvariant, on definit ensuite

W2 =WW. (1.75)

Il suit des relations (1.74) que

[W2, P] = [W2, P2] = [W2, M] = 0.

En prenant garde aux commutateurs (et a laide des identites de lappendice A),loperateurW2 secrit aussi

W2 = 12

P2MM+ 2P

PMM

. (1.76)

Le second operateur de Casimir de lalgebre de Poincare est donc W2. A nouveau,chaque champ portant une representation irreductible de lalgebre de Poincaresera caracterise par un nombre quantique correspondant a la valeur propre deW2 dans cette representation.

Finalement, lalgebre de Poincare admet six operateurs mutuellement com-mutants: P,P2 etW2. On peut les diagonaliser simultanement et leur associerleurs valeurs propres respectives, p,p2 =pp etW2.

Pour comprendre la signification du nombre quantique associe a W2, con-siderons un champ massif, cest-a-dire une representation irreductible pour laquel-le la valeur propre de P2 est p2 = m2, m2 > 0, avec c = 1. Par transformationde Lorentz, on peut toujours choisir des coordonnees dans lesquelles

p = (m, 0, 0, 0) (1.77)

5Une valeur negative signalerait un tachyon.


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(referentiel au repos). Ce choix est invariant sous rotation despace, cest-a-diresous laction des operateurs M12,M23 etM31. On a alors

Wi = 12 m0ijkMjk , i, j, k= 1, 2, 3,W

0

= 0.

(1.78)

Explicitement, W1 = mM23, W2 = mM31, W3 = mM12 (puisque 0123 =0123= 1). De plus, en utilisant la derniere equation (1.74), il vient

[Wi, Wj] = iijkmWk

[Wi, W0] = 0. i,j,k= 1, 2, 3,

ouijk = jik =jki ,123 = 1 et on somme sur les indices repetes. En posant

Mi =1

2ijkMjk =

1

mWi, (1.79)

il vient[Mi, Mj ] =iijk Mk, (1.80)

qui montre que les operateurs M= (M1, M2, M3) forment un moment cinetiquequantique. Ensuite, comme

W2 =WW= W0W0

3i=1

WiWi = m2M2 (1.81)

dans les coordonnees choisies, et que les valeurs propres dun moment cinetique

quantique sont (h= 1)s(s + 1),

s etant un nombre entier ou demi-entier positif ou nul, on obtient finalement quela valeur propre de W2 est

m2s(s + 1) =W2 (m = 0) s: spin. (1.82)Ce resultat est vrai dans nimporte quelles coordonnees puisque W2 est un inva-riant du groupe de Poincare. Par contre, la relation entre les operateurs demoment cinetique Mi et les generateurs de Poincare P et M depend des

coordonnees.

Nous allons ensuite montrer que s est le spin intrinseque du champ. Pourcela, il suffit de considerer la forme generale des operateurs P et M agissantsur les champs, qui est donnee par (1.41) et (1.54). Avec M = L+S,L=i(x x) etP= i, il est clair que

W =1

2PM =

1

2PS.

La partie orbitale L ne contribue pas au vecteur de Pauli-Lubanski. Seule la

partie S, qui est de ce fait qualifiee de partie de spin, intervient. Le nombres dans la valeur propre de W2 est donc entierement determine par le choix de


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la transformation du champ (1.43), cest le spin (intrinseque) du champ. Et lestrois operateurs de moment cinetique apparaissant dans lexpression (1.81) sonten fait les operateurs de spin

S= (S1, S2, S3) = (S23, S31, S12). (1.83)

Le cas de masse nulle demande quelques precautions. Lorsque p2 = 0, on peutchoisir des coordonnees telles que

p = (E,E, 0, 0). (1.84)

Il suit de sa definition (1.73) que le vecteurW est orthogonal aP: WP= 0.Avec le choix ci-dessus, on peut alors poser

W= p+ (0, 0, W2, W3), WW= (W2)2 (W3)2.

Comme de plus (1.84) conduit a [W2, W3] = 0, il ny a pas de contrainte quanti-fiant la valeur propre de WW (spin continu). Les etats de masse nulle ob-serves dans la nature sont cependant ceux pour lesquels W2 et W3 sannulentet

W= p, W2 = 0 (m= 0). (1.85)

La constante de proportionnalite est en general (lorsque W agit sur plusieurschamps) une matrice dont les valeurs propres donnent lhelicitedes composantesdu champ. Dans le referentiel (1.84), il vient

W0 =W1 =ES23, (1.86)

et les valeurs de lhelicite sont simplement les valeurs propres de S23. Notez queS23 est loperateur qui genere les rotations dans le plan (x2, x3), qui laissent levecteur (1.84) invariant. Dans un referentiel quelconque, lhelicite est donnee par

la projection du spin Sle long de limpulsion p, cest-a-dire par p S|p|1. Dansle referentiel choisi, p= (E, 0, 0) et lhelicite se reduit aS1 =S23.

Nous pouvons maintenant justifier les assertions sur les spins des champsscalaire, vectoriel et spinoriel faites dans la section precedente. Pour le champscalaire, S = 0, W

= 0, et le spin est donc nul (de meme que lhelicite si lamasse est nulle). Pour le champ vectoriel, les operateurs S sont donnes par

(1.56). En inserant Sdans lexpression (1.76), on obtient la matrice

(W2)= 2[p2pp] (1.87)qui agit sur les composantes du champ vectoriel V(x). Notez que p est unvecteur propre de W2 avec valeur propre nulle: (W2)p

= 0. Dans le cas

massif,P2 =p2 =m2 >0, les valeurs propres de W2 sobtiennent de la manieresuivante. Definissons

V(x) =VT(x) + V

L (x),

VT(x) =V pV

p2 p,

VL (x) = pV

p2 p.


29/359


La partie transverseVT(x) est orthogonale au vecteurp,VT(x)p= 0, alors que

la partie longitudinale VL (x) est parallele a limpulsionp. Il vient

(W2)V

T(x) = 2m2VT(x),(W2)V

L(x) = 0.

(1.88)

On obtient donc que les quatre composantes du champ vectoriel V(x) correspon-dent aux trois composantes VT(x) transverses dun champ de spin 1 ajoutees aun champ de spin nul, la partie longitudinale VL (x).

Pour un champ vectoriel sans masse, les valeurs propres de loperateur S23

[donne dans (1.56)] sont 0, 0, 1, 1: ce sont respectivement les helicites des com-posantesV0, V1, V2 + iV3 etV2 iV3 du champ vectoriel, dans le referentiel ou

p = (E,E, 0, 0).

Finalement, un spineur de Dirac se transforme avec

S== i

4[, ].

Avec P =i, ces generateurs permettent de calculer loperateur W2, quiprend la forme dune matrice (4 4) agissant sur les composantes du spineur. Apartir de la forme (1.76), on obtient facilement

W2 =

3

4m2, (1.89)

qui indique que le champ spinoriel a bien spin 1/2.

Si on utilise la representation des matrice (1.59) dans les coordonneesdefinies par (1.77), les operateurs de spin (1.79) deviennent simplement

Si =

1

2i 00 1

2 i

.

Chaque spineur de WeylLetRcorrespond donc a un spin 1/2. Cette derniere

egalite indique aussi que les valeurs de lhelicite pour chaque spineur de Weyl demasse nulle sont +1/2 et1/2.

1.3.6 Le tenseur energie-impulsion

Nous avons vu que le theoreme de Noether implique lexistence dun courant con-serve pour chaque symetrie interne continue de laction. Ce theoreme sappliqueegalement aux symetries agissant sur lespace-temps, et donc a linvariance sous

les transformations de Poincare. La forme des courants conserves est cependantdifferente de celle donnee en (1.21), pour les symetries internes.


30/359


Dans cette section, nous allons construire les courants conserves associes alinvariance sous translations. Ces courants jouent un role particulier puisquilsexpriment la conservation de lenergie et de limpulsion. Ils fournissent egalementlhamiltonien de la theorie de champs, qui sera utile par la suite.

Linvariance sous les transformations de Lorentz mene egalement a des lois deconservation que nous ne discuterons pas en detail ici. Alors que linvariance sousrotations despace conduit simplement a la conservation du moment cinetiquetotal des champs, les transformations de Lorentz qui melangent temps et espacesont necessairement plus subtiles: on ne peut discuter leurs lois de conservationen termes de charges independantes du temps et linterpretation de ces lois perdson caractere intuitif. Elles correspondent a une generalisation a lespace-tempsquadri-dimensionnel de la conservation du moment cinetique total des champs,qui est une consequence de linvariance sous les rotations spatiales.

Considerons la quantite

T= Li

i L (T=T). (1.90)

Nous devons supposer que la densite lagrangienne ne depend pas explicitementde x:L=L(i, i). Elle est donc invariante (de forme) sous les translations.Nous voulons calculer la divergence T. Tout dabord,

[

L] =

L

i

i + L

i

i.

Dautre part,

Li

i

=

Li

i + Li

i

= L

i

i + Li

i =L,

en utilisant les equations du mouvement. Il vient donc

T= 0, (1.91)

et letenseur energie-impulsionTest conserve6.

Nous avons donc construit quatre (les valeurs de = 0, 1, 2, 3) courants con-serves. Nous allons maintenant montrer que lesTsont les courants de Noetherassocies aux translations despace-temps

x x =x + a,6

Il sagit du tenseur energie-impulsion canonique, en general non symetrique (voir lexercice1.1).


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qui forment un groupe de transformations continues a quatre parametres. Nousnous placerons dans un cadre legerement plus general en considerant des trans-formations infinitesimales des coordonnees de la forme

x

x

= x

+ x

, (1.92)

ou x peut dependre de la position x. La transformation des champs associeeest

i(x) i (x) =i (x) + xi, (1.93)et donc

i i (x) i(x) =i (x) i(x) + xi. (1.94)La variation fonctionnelle du champ sera notee

0i =i (x)

i(x), i =0

i + xi. (1.95)

En regardant la densite lagrangienne comme un champ local, sa variation seradonc

L =0L + xL, (1.96)ou

0L = Li

0i +

Li

0i.

Ensuite,0

i =0i,

si bien que

L =xL +

Li

0i

+

Li

Li

0

i. (1.97)

Le dernier terme sannule pour des champs verifiant les equations du mouvement.Finalement:

L =xL +

Li

0i

. (1.98)

Il sagit ensuite de considerer la variation de laction. La transformation in-

finitesimale de d4

xest d4x d4x = J d4xou le jacobien J est

J=

det

x

x

= 1 + x,au premier ordre. Donc

d4x= d4x x. (1.99)

La variation de laction secrit finalement

S=Ld4x+ d4xL= d4x Lx + Li 0i , (1.100)


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avec0i =i xi. Linvariance de laction,S= 0, implique donc a nou-

veau la conservation dun ou plusieurs courants, selon le nombre de parametresapparaissant dans la transformation de symetrie.

Notez que le resultat (1.100) generalise le theoreme de Noether pour les syme-tries internes discute dans la section precedente. Celui-ci sobtient avec x = 0pour une symetrie interne.

Une translation est caracterisee par labsence de transformation du champ:

Translation : x =a, i = 0 0i = ai.

Il vient alors

S=

d4x

L L

ii

a= 0 (1.101)

pour des valeurs arbitraires des parametres a

. Le tenseur energie-impulsion

T = L + Li

i (1.102)

est donc conserve, T = 0. Les quantites

P =

Vd3x T0, (1.103)

qui sont les charges associees aux courants T, sont independantes du tempssi le volume spatial V est choisi de facon telle que le tenseur energie-impulsion

sannule a son bord. Le quadrivecteurP donne limpulsion totaledu systemede champs contenu dans le volume V. Sa composante temporelle P0 est lenergietotale du systeme (cest lhamiltoniendu systeme de champs) et

T00 = L0i

0i L

est la densite denergie des champs.

1.4 Equations du champ libre

Dans la section precedente, nous avons construit des champs locaux de spin 0,1/2 et 1. Il sagit maintenant dobtenir les equations decrivant leur propagationlibre.

La propagation libre est evidemment controlee par limpulsion du champ,p,qui est obtenue en agissant sur le champ avec loperateur differentiel P= i.Les equations du mouvement sont donc des equations differentielles. La quantitede mouvement nest pas arbitraire. La condition de couche de masse,

p2 =pp= m2,


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EQUATIONS DU CHAMP LIBRE 23

oumest la masse, doit etre satisfaite. Pour un champ libre, on sattend a obtenirdes solutions sous la forme de superpositions dondes planes, de la forme eipx.

Deux equations differentes sont utiles a la description des bosons et des

fermions. Nous allons les discuter successivement. Elles peuvent etre obtenuescomme equations dEuler-Lagrange des actions de Klein-Gordon et de Dirac.

1.4.1 Le champ de Klein-Gordon

Lequation relativiste la plus simple decrivant un champ libre est lequation deKlein-Gordon. Son contenu physique est simplement dimposer que le champ soitune superposition lineaire dondes planes (un paquet dondes) dont la propagationest conforme a la condition de couche de masse de la cinematique relativiste,

p2

=m2

. LoperateurP2

m2

etant represente par

P2 m2 = ( + m2), == 1c2

2

t2 ,

lequation de Klein-Gordonest simplement

( + m2)(x) = 0. (1.104)

Comme loperateur + m2 est invariant de Lorentz, on peut en principe lappli-quer a un champ de spin arbitraire. Elle sapplique en particulier au champ

scalaire, sans spin,(x).Londe plane

eikx =ei(k0tkx)

est une fonction propre de loperateur dalembertien avec valeur proprek2.Elle sera donc une solution de lequation de Klein-Gordon pour autant que lequadrivecteur dondek satisfasse la conditionk2 =m2. La solution de lequation(1.104) peut alors secrire

(x) = 1

(2)3 d4k c(k)eikx(k2

m2). (1.105)

La fonction c(k) determine la composition en ondes planes du paquet dondesscalaire(x). Le caractere scalaire du champ est respecte par cette expressionqui est manifestement invariante relativiste. La distribution de Dirac permetdintegrer surk0. En definissant

k =

k

2+ m2,

il vient

(k2 m2) =(k0)2 2k= 12k(k0 k) + (k0 + k) , (1.106)


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et

(x) =

d3k

(2)32k

c(k, k)e

i(ktkx) + c(k, k)ei(kt+kx)

.

Avec le changement de variablek

k dans le second terme et en definissant

a(k) =c(k, k), b(k) =c(k, k),on obtient finalement

(x) =

d3k

(2)32k

a(k)eikx + b(k)e+ikx

k= (k, k)

=

d3k

(2)32k

a(k)ei(kt

kx) + b(k)e+i(ktkx),

(1.107)

qui est la forme de la solution que nous utiliserons par la suite. Il est a noter

que malgre les apparences, la mesure dintegration d3

k2k est invariante de Lorentz:

cest une consequence des egalites (1.106). Pour differencier les deux termes, onutilise couramment la terminologie suivante:

onde denergie positive: eikx, avec k =

k, k

. Comme londe est de la

formeei(ktkx), le vecteurk est limpulsion spatiale de londe.

onde denergie negative: e+ikx, avec k =

k, k

egalement. Londe est de

la formeei(kt+kx) et on dira que k est limpulsion (spatiale) de londe

denergie negativek.Linteret et la signification de cette convention peu intuitive apparatront lors dela quantification du champ.

La solution generale de lequation de Klein-Gordon pour un champ scalairereel est donnee par lequation (1.107), avec b(k) =a(k).

Lequation de Klein-Gordon pour le champ complexe (x) est lequationdEuler-Lagrange de la densite lagrangienne

L = ()() m2. (1.108)Cette densite lagrangienne possede une symetrie: elle est invariante sous les ro-tations de la phase du champ complexe

(x) (x)= ei(x), (1.109) etant un nombre reel. Comme il sagit dune symetrie globale continue, letheoreme de Noether implique lexistence dun courant conserve et dune chargeindependante du temps. Le courant secrit

j =

L +

L = ()i ()i.


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ouA etBsont des matrices (44). Ces matrices sont determinees en demandantque le spineur soit aussi solution de

( + m2)(x) = 0,

cest-a-dire de lequation de Klein-Gordon qui impose la condition de couche demassep2 =m2. Lequation (1.113) implique

(iA+ B)(iA B)(x) = 0,

cest-a-dire 1

2{A, A}+ i[A, B]+ B2

(x) = 0,

ou{A, A} = AA +AA ={A, A} est lanticommutateur de A et A.Demander que verifie lequation de Klein-Gordon (+m

2)= 0 revient ademander

{A

, A

} = 2

I, [A

, B] = 0, B

2

=m

2

I (1.114)(Iest la matrice unite). On peut donc choisirB = mI, alors que les matricesA,qui verifient lalgebre de Dirac (1.58), peuvent etre remplacees par les matrices. Lequation de Diracest donc

(i m)(x) = 0. (1.115)Elle peut etre reformulee en utilisant les spineurs de Weyl a deux composantesdefinis par (1.69):

= L+ R,

PL= L, PR= R,

les projecteurs etant donnes par (1.66). Comme

PL =PR, PR

=PL,

il vientPL(i

m) = iR mL = 0,PR(i

m) = iL mR = 0.(1.116)

Les deux spineurs a deux composantes satisfont des equations differentielles cou-plees sauf si la masse est nulle. Un champ spinoriel de masse nulle pourra doncen principe etre decrit par un seul spineur de Weyl. Un champ spinoriel massif

utilisera un spineur de Dirac entier7.

Covariance relativiste

Lequation de Dirac satisfait au principe de relativite restreinte. Nous connaissonsles transformations de Lorentz du champ spinoriel [eq. (1.62)] et des deriveespartielles [eq. (1.28)]:

= ,(x)

(x) =S()(x).

7Ou un spineur de Majorana (sect. 4.1.2) qui a deux composantes.


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La forme de la matrice S() a ete construite dans la section precedente. Pourune transformation infinitesimale

=+

,

S() =I+ S(), S() = 18 [, ].

(1.117)

Sans utiliser immediatement ce resultat, supposons que (x) est solution delequation de Dirac dans les coordonnees x. On cherche alors a construire(x) = S()(x) qui verifie lequation de Dirac dans les coordonnees trans-formees x comme consequence de (i m)(x) = 0. On observe que

(i m)(x) = (i m)S()(x)= S() {iS()1S() m} (x).

Si on exige que

=S()S()1, (1.118)

il vient(i m)(x) =S()(i m)(x) = 0, (1.119)

et le champ transforme(x) est solution de lequation de Dirac dans les nouvellescoordonneesx . La condition de covariance relativiste de lequation de Dirac estdonc lequation (1.118), qui peut etre vue comme une equation pour S(). Pourune transformation infinitesimale, elle devient

= [S(), ].

La forme (1.117) est solution de cette derniere equation. Nous avons donc montreque lequation de Dirac est covariante relativiste si(x) est un spineur de Lorentz.

Densite lagrangienne, courant de Noether

Lequation de Dirac decoule de la densite lagrangienne

L =i m, (1.120)ou et , qui est un spineur ligne, = (

1

2

3

4), doivent etre consideres

comme des champs independants. En fait, nous allons fixer la relation entre eten exigeant que leurs deux equations du mouvement soient lequation de Dirac.La variation de donne simplement

0 =L

= (i m),

qui est lequation de Dirac. Celle de conduit a

0 =L

L

= m i= [0(i m)0],


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qui est, a un facteur0 pres, le conjugue hermitique de lequation de Dirac si ondefinit le spineur conjugue de Dirac

= 0. (1.121)

Lequation de Dirac pour le spineur conjugue est donc

i()+ m= 0. (1.122)

Nous avons vu [eq. (1.119)] que (i m) acquiert un facteurS() soustransformation de Lorentz. On peut egalement definir en exigeant linvariancede Lorentz de quantites telles que ouL. Il faut donc que

S()1,

ou, pour une transformation infinitesimale,

= S() = 18

[, ]. (1.123)

CommeS() nest pas unitaire, S()1 =S() et on ne peut pas identifier a :

=1

8

[, ]= 18

0[, ]0 = S().

Par contre, = 0 verifie bien la transformation (1.123).

Il est peut-etre utile de mentionner que la densite lagrangienne (1.120) peutetre remplacee par

L= i2

() ()

m,

qui traite plus symetriquement et . L differe deL [eq. (1.120)] par unederivee(. . .) qui ne contribue pas aux equations du mouvement.

En termes des spineurs de Weyl,

L =iLL+ iRR mLR mRL, (1.124)

ouL=

L

0 =PR, R= PL. (1.125)

Ainsi que mentionne lors de la discussion de lequation de Dirac, le couplage entreL etR est uniquement du au terme de masse.

La densite lagrangienne de Dirac est invariante sous les transformations glo-bales continues [symetrie U(1)]

ei , ei,


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et le theoreme de Noether implique que le courant

jDirac= i L

= i L

i L

= (1.126)

est conserve: jDirac= 0. La composante temporelle du courant,

j0Dirac= 0= (1.127)

est clairement positive, contrairement au courant obtenu dans le cas du champde Klein-Gordon complexe.

Le cas de masse nulle correspond a une extension de la symetrie au groupeU(1)U(1), et donc a lapparition dun second courant conserve. Les transfor-mations independantes de L etR,

L ei L, L L ei,R ei R, R R ei,

(1.128)

qui sont appelees transformations chirales, sont des invariances et leurs courantsconserves (courants chiraux) sont

JL = LL

L= LL= 12

(1 + 5),

JR=

L

R

R=

R

R=

1

2

(1

5).

Autrement dit, le courant axial

jA= 5, (1.129)

qui, du fait de lequation de Dirac, verifie

jA= 2im5,

est conserve lorsque la masse mest nulle.

Solutions de lequation de Dirac

Comme dans le cas du champ de Klein-Gordon, nous allons considerer des ondesplanes de la forme:

(+)k (x) = e

ikxu (k) ,

()k (x) = e

+ikxv (k) ,(1.130)

avec k0 = k =

m2 + k2 puisque les solutions de lequation de Dirac verifientla condition de couche de masse k2 =m2. Les spineurs u (k) etv (k) ont quatrecomposantes. Comme

i

eikx

= keikx,


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lequation de Dirac devient

(k m) u(k) = (k m) u (k) = 0,(k+ m) v(k) = (

k+ m) v (k) = 0,

(1.131)

en utilisant le Feynman slash

k= k.Comme pour le champ de Klein-Gordon, nous dirons quune solution de la forme

(+)k (x) a une energie positive et

()k (x) une energie negative.

Pour construire les solutions des equations (1.131), il est utile dintroduireles projecteurs sur les energies positive et negative. On remarque dabord que sik2 =m2,

kk = 12 kk{, } = k2I4,(k+ m) (k m) = (k m) (k+ m) = (k2 m2) I4= 0,

(k+ m)2 = (k2 + m2) I4+ 2m k = 2m (k+ m) ,(k m)2 = (k2 + m2) I4 2m k = 2m ( k+ m) .

En consequence,

+=k+ m

2m , = k m

2m , (1.132)

forment un ensemble complet de projecteurs orthogonaux:

2+= +, 2= , += += 0, ++ =I4. (1.133)

Comme Tr[+] = Tr[] = 2, chaque projecteur a deux valeurs propres +1 etdeux valeurs propres 0. A partir dun spineur constant w, des solutions auxequations (1.131) peuvent alors simplement etre obtenues en posant

u(k) = +w, v(k) = w.

+ et projettent respectivement sur les solutions denergie positive u(k) et

negative v(k), dou leur nom. Comme chaque projecteur selectionne deux desquatre composantes de w, on trouvera deux solutions independantes de typeu(k) ainsi que deux de typev(k).

Pour etre plus concret, choisissons des matrices avec0 diagonale:

0 =

I2 0

0 I2

, i =

0 ii 0

, 5=

0 I2I2 0

. (1.134)

Pour une particule massive au repos, k = (m,0),k= m0 et

+=k+ m

2m = I

2 0

0 0

, = k

m

2m = 0 0

0 I2

.


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Un ensemble de solutions dans ce referentiel est alors donne par

u()(m,0) =u(), v()(m,0) =v(), = 1, 2, (1.135)

avec

u(1) =

1000

, u(2) =

0100

, v(1) =

0010

, v(2) =

0001

.(1.136)

Pourk quelconque, les spineurs

u()(k) = 12m(m+k)

(k+ m)u(),

v

()

(k) =

1

2m(m+k) ( k+ m)v()

,

(1.137)

sont des solutions des equations de Dirac (1.131) qui se reduisent a u() et v()

lorsquek = (k, k) = (m,0). On a alors:

u()(k) = 12m(m+k)

u()(k+ m),

v()(k) = 12m(m+k)

v()( k+ m),(1.138)

etu(1) = (1 0 0 0), u(2) = (0 1 0 0),v(1) = (0 0 1 0), v(2) = (0 0 0 1).

Les normalisations choisies sont les suivantes:

u()(k) u()(k) = ,

v()(k) v()(k) = ,u()(k) v()(k) = v()(k) u()(k) = 0.

(1.139)

De plus,

u()(k) u()(k) =v()(k) v()(k) =k

m

. (1.140)

Finalement, nous ecrirons lexpansion en ondes planes dune solution de lequationde Dirac sous la forme

(x) =

d3k

(2)3m

k

2=1

b(k)

(+)()k + d

(k)

()()k

, (1.141)

avec

(+)()k (x) =e

ikx u() (k) , ()()k (x) =e+ikx v() (k) . (1.142)

Les nombres b(k) et d(k) sont les coefficients de la superposition lineairedondes planes, et le facteur m est conventionnel.


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La signification de lindice peut etre elucidee en se souvenant que lesoperateurs de spin sont8

S=1

2

00

.

Les spineursu() etv() sont clairement des etats propres deS3, qui est diagonal,avec les valeurs propres +1/2 lorsque = 1, et1/2 lorsque = 2. Comme k + mcommute avecS3 lorsquek= (0, 0, |k|), cette remarque reste vraie dansce cas pouru()(k) etv()(k). Lindice distingue donc les valeurs propres deS3pour les solutions denergie positive ou negative.

Deux remarques devraient encore etre faites avant de clore cette section.Le choix (1.134) des matrices de Dirac est commode lorsquon sinteresse aureferentiel au repos dune particule massive. Il est cependant souvent plus utiledadopter un choix avec 5 diagonal, comme par exemple dans (1.59). Dans ce

cas, les solutions sont obtenues en remplacant (1.136) par

u(1) = 1

2

1010

, u(2) = 12

0101

, v(1) = 12

1010

, v(2) = 12

01

01

.

(1.143)Les remarques ci-dessus concernant la signification de restent evidemment va-lables.

Ensuite, on verifie facilement que2

=1

u()u() =1

2(I+ 0),

2=1

v()v() = 12

(I 0)

(quel que soit le choix de 0). Avec lidentite

(k m)0(k m) = 2k(k m),

qui est verifiee lorsque k 2 =m2, il vient

2=1

u()(k) u()(k) = +,2

=1

v()(k) v()(k) = . (1.144)

Ces derniers resultats seront utiles lorsquil sagira de sommer sur les orientationsdu spin dune particule (ou antiparticule) de spin 1/2.

Helicite, masse nulle et chiralite

Lhelicite est la projection du spin dans la direction de limpulsion p. Elle estmesuree par loperateur

8Voir le paragraphe 1.3.4.


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|p|1 p S, S= (23, 31, 12), kl = i4

[k, l],

dont les valeurs propres sur un spineur sont +1/2 (helicite droite) et 1/2 (helicitegauche).

Pour un spineur de masse nulle, lequation de Dirac devient i(x) = 0,cest-a-dire, pour une onde plane denergie positive (x) =eipxu(p),

p u(p) = 0, p0 = |p|.La relation

50p= 5p0 + 2p S (1.145)

implique2|p |1p S u(p) = 5 u(p). (1.146)

Un etat propre de la chiralite (5u(p) = 1) est donc un etat propre de lhelicitede valeur propre1/2 pour une solution denergie positive, et1/2 si lenergieest negative,p0 = |p|. Sur les spineurs de Weyl de masse nulle9

p S|p| L=

1

2L,

p S|p| R=

1

2R. (1.147)

Ces resultats sappliquent egalement dans la limite ultrarelativiste |p| m,p0 =p 2 + m2 |p|qui est souvent valable en physique des hautes energies.

Les projecteurs distinguent les solutions denergie positive et negative. Il

existe de meme un projecteur qui selectionne la solution pour laquelle le spin estdans une direction donnee quelconque. On definit cette direction au moyen dunquadrivecteurn de genre espace, avec n2 = 1. Alors

P(n) =1

2(I+ 5n) (1.148)

est un projecteur, P(n)2 = P(n) puisquenn =I. Un ensemble complet estobtenu en lui ajoutant le projecteur P(n) = I P(n). Si par exemple, pourune particule massive, on se place dans le referentiel du centre de masse et onchoisitn= (0, 0, 0, 1),

P(n) =1

2I 2

0S3selectionne les solutions ayant la meme valeur propre de0 et de 2S3, cest-a-direcelle denergie positive avec le spin en haut (spineur u(1)) et celle denergienegative avec le spin en bas (spineurv (2)).

Pour un spineur de masse non nulle, un choix particulier de n conduit auprojecteur sur les etats propres de lhelicite10:

np=

|p|m

, p0

m|p|p

.

9

Cest lorigine de la notationL, R= left, right.10Dans la limite non relativiste,|p| m,|p| 0, np (0, |p|1p).


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Commep np= 0,npp= pnp et

[P(np), ] = 0.

On montre avec laide de lidentite (1.145) que

P(np)=1

2

I 2 S p|p|

= 1

2

I 2 S p|p|

. (1.149)

Pour une solution denergie positive (particule),P(nk)selectionne letat dheli-cite gauche. Pour une solution denergie negative (antiparticule), P(nk)retientlhelicite droite.

Il est parfois utile dutiliser une base des solutions de lequation de Dirac

construite a partir detats propres de lhelicite, au lieu des spineurs u()

et v()

qui sont des etats propres de S3. Dans la representation (1.134) des matrices deDirac,

S p= 12

p 0

0 p

.

Definissons alors

u()(p) = [2m(m+ p)]1/2(p + m)

()

0

,

v()(p) = [2m(m+ p)]1/2(p m) 0() ,= 1, 2, (1.150)

ou les quatre spineurs a deux composantes () et() sont solutions de

|p|1( p)(1) = (1), |p|1( p)(2) = (2)

|p|1( p)(1) = (1), |p|1( p)(2) = (2).(1.151)

Clairement,

|p|1(S p)u()(p) = u()(p),|p|1(S p)v()(p) = v()(p),

1=12

, 2= 12

.

Dans la representation chirale (1.59) des matrices de Dirac, les quatre solutions(1.150) deviennent

u()(p) = [2m(m+ p)]1/2(p + m)

()

()

,

v()

(p) = [2m(m+ p)]1/2

(p m)()

()

, = 1, 2.

(1.152)


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INVARIANCE DE JAUGE ET THEORIES DE JAUGE 35

1.5 Invariance de jauge et theories de jauge

Le concept dinvariance de jaugeest a la base de la construction du Modele stan-

dard des interactions fortes, faibles et electromagnetiques des particules elemen-taires. Il determine, conjointement avec les restrictions imposees par la coherencede la theorie quantique des champs, la forme possible des interactions des quarkset des leptons, impose lexistence de bosons de jauge (photon, gluons, WetZ0)et la structure de leurs interactions.

Pour formaliser le principe dinvariance de jauge, nous allons considerer toutdabord une theorie classique decrivant un ensemble de champs scalaires reelsi(x) et de spineurs I(x) sans masses ni interactions. La densite lagrangiennene comprendra donc que les termes de propagation dependant de derivees deschamps. De plus, comme les composantes gauches (IL) et droites (

IR) se trans-

forment separement sous le groupe de Lorentz, elles sont independantes dans latheorie libre et sans masse. La densite lagrangienne est:

L0= 12

(i)(i) + iLI

IL+ iRJ

JR (1.153)

(on somme sur les indices repetes i, I et J). Les nombres de champs scalaires,de fermions gauches et droits seront respectivement notes Ns, NL et NR. Enprincipe, NL etNR peuvent etre differents.

La densite lagrangienne possede automatiquement une invariance globale e-tendue. Premierement, le terme cinetique des champs scalaires est invariant sousles transformations

i i = Oijj ,Ns

k=1

Oki Ok

j =ij. (1.154)

Matriciellement,OO =I, O est une matrice reelle orthogonale et le groupe desymetrie est le groupe des rotationsO(Ns). Ensuite, les transformations globales

IL IL= UIJJL, (U)IJUJK=IK,IR IR= VIJJR, (V)IJVJK=IK,

(1.155)

laissent la densite lagrangienne (1.153) inchangee. Il sagit des transformationsunitaires du groupe U(NL) U(NR): cest la symetrie chiraledes theories defermions sans masse, deja rencontree dans la section 1.4.2. La theorie (1.153)possede donc une symetrie globale O(Ns) U(NL) U(NR).

Pour discuter linvariance de jauge, nous allons imposer quun sous-groupe decette symetrie globale soit une symetrie locale de la densite lagrangienne. Plus


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precisement, nous allons demander que les transformations

j j =

eiATAsj

kk,

JL JL = eiATA J

K KL,

JR JR =

eiATArJ

KKR ,

(1.156)

avec des parametres A dependant du point de lespace-temps,

A A(x),soient des symetries de jauge de la theorie. Chaque element du groupe detransformations (groupe de jauge) apparaissant dans (1.156) a ete ecrit commelexponentielle dun element de lalgebre de Lie du groupe de jauge. Nous avonsvu dans la section 1.2 que les matrices TAs forment un ensemble de generateursde cette algebre de Lie. Cest egalement le cas des matrices TA etT

Ar . Les regles

de commutation

[TA , TB

] =ifABCTC , = s, our, (1.157)

sont donc verifiees. Ces generateurs sont en general differents pour les scalaires[les matricesTAs ] et les spineurs [les matrices T

A etT

Ar ]: les champs

i,IL etIR

se transforment en general selon des representations differentes de lalgebre. Enparticulier, puisque lesi sont des champs reels, les matrices TAs seront purement

imaginaires. Nous ne considererons que des groupes de symetrie compacts pourlesquels les generateurs sont des matrices hermitiques (TAs,,r = (T

As,,r)

) et lesconstantes de structure fABC sont des nombres reels qui peuvent etre choisiscompletement antisymetriques: fABC =fCAB = fBAC.

Champs de jauge et derivees covariantes

Comme

(j) =

ei

ATAs

j

k

k +

ei

ATAs

j

k

k,

(JL) =

ei

ATA

JK

KL +

eiATA

JK

KL,

(JR)

=

eiATArJ

K

KR +

eiATArJ

K

KR ,

(1.158)

la densite lagrangienne (1.153) nest pas invariante de jauge. Pour restaurerla symetrie, il est necessaire de compenser les deuxiemes termes. Ceci requiertlintroduction dunchamp de jauge11 AA (x) pour chaque transformation indepen-dante et donc pour chaque generateur (dou lindice A). Les transformations

11

Aussi appele potentiel de jauge, par analogie avec le quadrivecteur des potentiels dans latheorie de Maxwell.


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INVARIANCE DE JAUGE ET THEORIES DE JAUGE 37

de ces champs de jauge sont ensuite determinees en imposant que les deriveescovariantes

Dj =

j iAA (TAs )jkk,D

JL =

JL

iAA (T

A )

JK

KL,

DJR =

JR iAA (TAr )JKKR ,

(1.159)

aient les memes transformations que les champs eux-memes (une somme sur lesvaleurs de lindiceAest sous-entendue). On veut donc obtenir:

Dj Dj =

ei

ATAsj

kD

k,

DJL DJL =

ei

ATA

JK

DKL,

DJR

D

JR = eiATAr J

K

DKR .

(1.160)

Dans un premier temps, il est plus facile de se restreindre a des transformationsinfinitesimales, cest-a-dire, pour les champs scalaires,

i = iA(TAs )i

jj,

i = iA(TAs )

ij(

j) + i(A)(TAs )

ij

j,

Di = iA(TAs )

ijD

j

+ij{(A)(TAs )ij (AA )(TAs )ij iAA B([TA, TB])ij}.Pour que la derniere ligne sannule, il faut que

A

(AA )TA

s =

A

ATAs + AA

B,C

fAB

[jean-pierre derendinger] théorie quantique des champs

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