Introduction aucalcul quantiqueIntroduction au

calcul quantique

Frédéric MagniezCNRS - LRI

Groupe quantique du LRIhttp://www.lri.fr/quantum

2

Vers la nanotechnologie

Taille des composants

Nombre des composants

Vitesse

Gordon Moore 1965

Empêcher ou utiliser les phénomènes quantiques ?

Limitation théorique atteinte en 2020 !!!

Apparition de phénomènes quantiques...

3

Le photon

Caractéristiques :

• la direction,

• la longueur d’onde,

• la polarisation.

4

Filtre polarisant

?

Sortie d’un filtre polarisant :

Lumière polarisée selon la direction du filtre.

Lumière orthogonale au filtre ne passe pas.

5

Jouons avec les photons

50%

50%

• Polarisation verticale : Photon jamais détecté.• Polarisation horizontale : Photon toujours détecté.• Polarisation diagonale : Photon détecté 1 fois sur 2 !

Polarisation diagonale = Mélange statistique ?

100 %

Polarisation diagonale = superposition quantique ...

6

Superposition quantique

)

Etat polarisation : superposition

Filtre : mesure

Mesuredétecté

non détécté

L’observation perturbe le système

θcos2θ

sin2θ

→

↑

θ

7

Evolution quantique

Transformations qui préservent la superposition ?

Condition nécessaire : isométrie

Une isométrie : la lame demi-onde

Symétrie orthogonale autour de son axe

Transformations orthogonales :telle que

Orthogonale Réversible⇒

G ∈O(2)

G ∈R2×2 tGG=Id

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Le qubit

Bit classique : élément déterministe

Bit probabiliste : distribution probabiliste

Bit quantique : superposition quantique

b∈ 0,1{ }

d =(p,q) avec p,q∈ 0,1[ ] tq p+q=1

ψ ∈C 0,1{ } tq ψ =1

ψ =α 0 +β1 avec α 2

+β 2

=1

0 = → et 1 = ↑

9

Evolution du qubit

Transformations unitaires :

G

Unitaire Réversible :⇒

G*

G ∈U(2)

G ∈C2×2 tq G*G =Id

ψ ′ ψ =Gψ

′ ψ =Gψ ψ

Mesure : Lire et Modifier

Mesureα 0 +β11

0α

2

β 2

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Un premier exemple

Le problèmeEntrée :

Sortie : 0 ssi f est constante f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } soit constante, soit balancée

Complexité en requêtes

Contrainte : f est une boîte noire

Déterministe : 1+N/2 requêtes

Quantique : 1 requête

f(3) = ?

f(3) = 1

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Solution quantique (N=2)

Implémentation de f

Sfb −1( )f(b)

bα 0 +β1 (−1) f(0)α 0 + −1( )f (1)

β 1

Attention : n’est pas nécessairement réversible ! xa f (x)

Circuit quantique

0 H Sf MesureH ?

Porte Hadamard : lame demi-onde à 22,5°

Hb12

0 + −1( )b1( )

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Analyse (N=2)

0 H Sf MesureH ?

Initialisation : 0

0 +1( )/ 2Parallélisation :

Appel de la fonction : −1( )f (0)

0 + −1( )f(1)

1( )/ 2

Interférences : −1( )f (0)

0 +1( )+ −1( )f(1)

0 −1( )( )/2

−1( )f (0)

+ −1( )f (1)

( )0 + −1( )f (0)

− −1( )f(1)

( )1( )/2Au final :

f constante 0

f non constante 1

H Mesure0

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Systèmes à 2-qubit

Définition : ψ ∈C 0,1{ }2

tq ψ =1

ψ =α 00 +β 01+γ 10 +δ11 avec α 2

+β 2

+γ2

+δ2=1

C 0,1{ }2

=C 0,1{ } ⊗C 0,1{ } mais 00 + 01 = 0 ⊗ 0 +1( )

00 +11 ≠ψ 1 ⊗ ψ 2

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Transformations unitaires : ψ a Gψ avec G ∈U(4)

MesureMesureαx x

x∈0,1{ }2∑ x

αx

2

14

Le problème des cadenas

Le problèmeEntrée :Sortie :

f : 1,K ,N{ }→ 0,1{ } telle que ∃!x0; f(x0) =1

Contrainte : f est une boîte noire

Complexité en requêtes Probabiliste : (N) requêtesQuantique : ( N) requêtes

x0

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Remarques préliminaires

Implémentation de f

Sfαxx∑ x

Double porte Hadamard

Hx1 0 + −1( )x1 1( )/ 2

αxx∑ x −2αx0x0

Hx2 0 + −1( )x2 1( )/ 2

Hx = x1x2

H−1( )

x•y

y∑ y( )/ 2

avec x•y=x1y1 +x2y2 mod 2

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Solution quantique (N=4)

0 HSδ0

H?

0 H H

Initialisation : 00

00 + 01+10 +11( )/ 2Parallélisation :

Appel de f : −1( )f( x)

xx∑( ) /2= x

x∑( )/ 2− x0

Interférences : 00 − −1( )x0•y

y∑ y( )/ 2

Sf

H

H

Appel de :0

Regroupement :

−00 − −1( )x0•y

y∑ y −200( )/2=−H ⊗ H x0

−x0

Mesure0

0

H

H

H

H

H

HMesure x0

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Analyse géométrique

sinθ( ) = 1N

Plan=VectR x0 , ψ 0( )

S

x0⊥ oSψ 0

=R2θ

x0

ψ 0 = 1N Σ xx0

⊥

θ

Sx0

⊥ =Sf

Sψ 0

=−H⊗n

oSδ0oH⊗n

ψ1

ψ 2

ψ3

G =−Sf oH oSδ0

oH

T ≈π4

N itérations de G

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Transformée de Fourier quantique

QFTnH

H

H

M M M

QFTn x =1

2n/ 2 −1( )x•y

y∑ y

avec x•y= xiyi mod 2i∑

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Un peu de théorie

f : 0,1{ }n→ CToute fonction se décompose dans

δx( )x∈0,1{ }n : f = f(x)δx .x∑

χy( )y∈ 0,1{ }n , avec χy(x) = −1( )

x•y .

La base de Dirac :

La base de Fourier :

f =12n

ˆ f (y)χyy∑ , avec ̂ f (y)= χy(x) f(x) .

x∑

Transformée de Fourier discrète

Analogue quantique f : 0,1{ }n→ C tq f 2 =1

f = f(x) x QFTn ⏐ → ⏐ ⏐x∑ QFTn f =

12n/2

ˆ f (y) yy∑ .

Remarque : Implémentation efficace de QFT !

20

Le problème de Simon

Le problèmeEntrée :

Sortie : s

f : 0,1{ }n → 0,1{ }

n tq ∃!s∈ 0,1{ }n, s≠0n ,

f (x) = f(y) ⇔ (x =y ou x=y⊕ s) .

Complexité en requêtes

Contrainte : f est une boîte noire

Probabiliste : requêtes

Quantique : O(n) requêtes

Ω 2n/4( )

Idée : utiliser QFT pour rechercher la période s.

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Solution quantique0n

U f

Mesure ?

Initialisation : 0n 0n

x 0n∑ /2n/2Parallélisation :

Appel de la fonction : x f(x) /2n/ 2∑Interférences :

Au final :

y ∈s⊥Mesure0n QFTn QFTn

−1( )x•y

y f(x) / 2n∑−1( )

x•y+ −1( )

x⊕s( )•y( ) y f (x) /2n∑−1( )

x•y1+ −1( )

s•y( ) y f(x) /2n∑

−1( )x•y

y f(x) / 2n−1

y : s•y=0∑

0n0n

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Retrouver la période

Après n itérations : sont observés y1,y2,K ,yn ∈s⊥

Avec probabilité (1) : sont de rang (n-1) y1,y2,K ,yn

Résoudre le système :

y1 •t =0

y2 •t =0

M

yn •t =0

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

Solutions : et !0n s

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GénéralisationGroupe abélien G quelconque

Il existe un circuit quantique polynomial en ln|G| qui trouve la période d’une fonction quelconque sur G.

FactorisationEntrée : n NSortie : un diviseur non trivial de n

Calcul de l’ordre d’un élémentEntrée : n,a NSortie : le plus petit entier q tq aq =1 mod n

Réduction : Factorisation Calcul de l’ordre≤RVérifier PGCD(a,n)=1

aq/2 =-1 mod naq/2 −1( ) aq/ 2 +1( ) =0 mod n

PGCD aq/ 2 ±1,n( )

Calculer l’ordre q de a mod nRecommencer si q impair ou SinonRenvoyer

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Principales applications

• Cryptographie– Protocole de distribution de clés secrêtes [Bennett, Brassard 84]

Implémentation : ~ 100 km

• Information quantique– Téléportation [B, B, Crépeau, Jozsa, Peres, Wooters 93]

Réalisation [Bouwmeester, Pan, Mattle, Eibl, Weinfurter, Zeilinger 97]

• Algorithmique– Factorisation, logarithme discret, ... [Shor 94]

– Recherche [Grover 96]Nb qubits ? 1995 : 2, 1998 : 3, 2000 : 5 [Chuang (IBM)] - 7 [Los Alamos]

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A suivre...• Problèmes ouverts

– problème des collisions

– isomorphisme de graphes– classes de complexité quantique

• Lienshttp://www.lri.fr/quantum

• Stages, thèseshttp://www.lri.fr/algo/stages

Classique Quantique

Plusieurs collisions

Unique collision Θ N( )

Θ N( ) Ω N4( )−Ο N3( )

Ω N( )−Ο N3/4( )

f : 1,K ,N{ }→ 1,K ,N{ }