intitulé : etude des structures mécaniques spatiales par la méthode

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

Ministère de L’Enseignement Supérieur Et De La Recherche Scientifique

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE

Faculté des Sciences de l’Ingénieur

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

Ecole Nationale Doctorale de la Mécanique de Construction

MEMOIRE

Présenté pour obtenir le Diplôme de Magister en Génie Mécanique

Option : CONSTRUCTION MECANIQUE

« Mécanique Appliquée en Engineering »

Intitulé :

Etude des Structures Mécaniques Spatiales par la Méthode des Eléments Finis

Présentée par:

Mohamed KHERRAB

Soutenu le : 28 Avril 2010, Devant le Jury :

Président : Mr. A.BOUCHOUCHA Prof. Université Mentouri ConstantineRapporteur : Mr. B.NECIB Prof. Université Mentouri ConstantineExaminateurs : Mr. A. BELLAOUAR Prof. Université Mentouri Constantine Mr. F. MILI Prof. Université Mentouri Constantine

Avril 2010

N° d’ordre : ….. / MAG / 2010

Série : ……. / GM / 2010

Résumé:

Les structures discrètes en treillis sont d’une grande importance dans le domaine d’application de la mécanique, l’aéronautique et le génie civil. Leur analyse statique et dynamique est aussi importante pour leur assurer un bon dimensionnement et éviter leur fissuration, leur rupture et leur désastre due à des conditions extérieuresdurant leur fonctionnement et ainsi d’augmenter leur durée de vie. Cependant, cette analyse reste aussi complexe que la complexité d’assemblage de ces structuressurtout les structures spatiales tridimensionnelles vu leur dimensionnement, l’orientation de leurs éléments et leur condition aux limites. En effet, la méthode des éléments finis (M.E.F) est une nouvelle méthode utilisée pour analyser et calculer ces types de structures par modélisation durant un temps d’exécution minimum.

Notre travail consiste en l’utilisation de la méthode des éléments finis pour l’analyse statique et dynamique des structures mécaniques spatiales tridimensionnelles sous l’effet des excitations extérieurs et sous différentes conditions aux limites. Le cas considéré dans notre travail est la structure tridimensionnelle du pont de chemin de fer en charpente métallique de «Oued Hamimime- Constantine». Les éléments de la structure sont modélisés par deséléments barres, interconnectés aux nœuds où les forces axiales sont déterminées. Les matrices de masse et rigidité de la structure sont déterminées respectivement par assemblage des éléments. Les forces axiales dans chaque élément de la structure ont été calculées en fonction des efforts extérieurs appliqués sur la structure. Aussi les modes de vibrations tridimensionnelles de la structure du pont ont été déterminées et analysées en fonction de différentes conditions aux limites.

Abstract:

The discrete lattice structures are of great importance in the applied field of the mechanics, the aeronautics and the civil engineering. Their static and dynamic analysis is also significant to ensure a good dimensioning to them and to avoid their cracking, their rupture and their disaster due to external conditions during their operation and thus to increase their life span. However this analyzes remains as complex as the complexity of the assembly of these structures especially the three-dimensional space structures because of their dimensioning, the orientation of their elements and their boundary condition. Consequently, the finite element method (F.E.M) is a new method used to analyze and calculate these types of structures by modelling and during a minimum time of execution.

Our work consists on the use of the finite elements method for the static and dynamic analysis of the three-dimensional space mechanical structures under the effect of external excitations and various boundary conditions. The considered case in our work is the three-dimensional structure of the railroad bridge of metal frame of «Oued Hamimime- Constantine». The elements of the structure are modelled by elements bars, inter-connected at their nodes where the axial loads are determined. The matrices of mass and rigidity of the structure are respectively found by assembling the elements. The axial forces in each element of the structure were calculated according to the external applied loads on the structure. Also the three-dimensional vibrations modes of the bridge structure were find and analyzed according to various boundary conditions.

:لخصم

، الھندسة ذات أھمیة كبیرة في مجال تطبیق المیكانیكاالھیاكل الشبكیة المنفصلة ھي ھیاكل .المدنیة و میدان الطیران

مھم أیضا لضمان التصمیم الجید وتجنب لھذه الھیاكل التحلیل الستاتیكي و الدینامیكيلعملیة ، وبالتالي والكوارث الناجمة عن الظروف الخارجیة خالل ا الھشاشةاالنشقاق ،

. و العمر االفتراضيزیادة فترة صالحیتھا

الفضائیة ھیاكل الھذه الھیاكل ، وخصوصا تعقید تجمیع ب التحلیل ال تزال معقدة هبید أن ھذ. التوجھ من عناصرھا وشرط الحدودثالثیة األبعاد نظرا لحجمھا،

ساب وتحلیل ھذه األنواع ھو آخر وسیلة تستخدم لح أن طریقة العناصر المحدودةوالواقع.في أقل مدة تنفیذالنمذجة خالل من الھیاكل

لھیاكل ل الدینامیكي و الستاتیكي استخدام طریقة العناصر المحدودة للتحلیل تمثل في یناعملتحت تأثیر المؤثرات الخارجیة والحدود في ظل في الفضاء الثالثي األبعاد، المیكانیكیة

.ظروف مختلفة

الھیكل الفوالذي ثالثیة األبعاد لجسر السكة الحدید الصلب البنیة ال ندرس لةالحاھذه في و ." قسنطینة-یمواد حمیم"

العقد حیث في ، ومترابطة القضبان عناصر على غرارھیكل مصاغة العناصر .معلومة سبقاالحموالت المحوریة

. العناصر الھیكل على التوالي عن طریق تجمیع وصالبةالبنیةمصفوفات تحدد

القوات المحوریة في كل عنصر من عناصر بنیة حسبت وفقا لألحمال المطبقة على یھااألبعاد لھیكل الجسر تم العثور علالثالثیة أنماط االھتزازات كما أن. الھیكل الخارجي

.وتحلیلھا وفقا لشروط الحدود المختلفة

Dédicaces

Je dédie cet humble travail :

A ma mère et mon père qui leur dévouement et leur affection ont été pour moi un

soutiens tout au long de mes études et de ma vie.

A ma sœur et mon frère et toute la famille.

A tous mes amis.

Remerciements

Je voudrais en premier lieu remercier chaleureusement mon directeur de mémoire

de Magister Monsieur NECIB Brahim, qui a suivi et a encadré ce travail avec

intérêt et disponibilité. Je le remercie aussi de m’avoir initié avec autant de talents à

ce travail de recherche ; aussi pour ses directions scientifiques, ses qualités

pédagogiques, et ses qualités humaines durant toute ma formation de post

graduation de la 1ière promotion de l’Ecole Nationale Doctorale en Mécanique de

Construction (ENDMC). Ses compétences ont fait de ces deux années de formation

les plus riches en enseignement de mon cursus.

Je tiens particulièrement à remercier le ¨Professeur Bouchoucha Ali de l’Université

Mentouri Constantine de m’avoir fait l’honneur de présider le jury de ce mémoire.

Je tiens aussi à remercier les autres membres de jury Messieurs les Professeurs

Bellaouar Ahmed et Mili Fayçal pour avoir accepté à évaluer ce travail.

Je n’oublie pas aussi de remercier tous les enseignants de l’ENDMC qui ont

contribués à ma formation et spécialement le Directeur de l’Ecole Mr. Toufik

BOUKHAROUBA, Professeur à l’USTHB de Bab Ezouar - Alger.

Table des matières

Résumé

Introduction ……………………………………………………………...

Chapitre I : Techniques de calcul des structures complexes et leurs

applications

I-1 Introduction aux structures complexes ……………………………….

I-2 Historique de la méthode des éléments finis ………………………….

I-3 Techniques des éléments finis appliquées à l’analyse structurale ……

I-4 Exemples d’application ……………………………………………….

I-4-1 En génie mécanique ………………………………………………

I-4-2 En aéronautique …………………………………………………...

Chapitre II : Théorie de la méthode des éléments finis

II-1 Introduction …………………………………………………………..

II-2 Equation de rigidité d’un élément barre en coordonnées locales ……

II-3 Equation de rigidité d’un élément barre en coordonnées globales …..

II-4 Equation de rigidité d’un élément poutre en coordonnées locales …..

II-5 Equation de rigidité d’un élément poutre en coordonnées globale …..

II-6 Méthode d’assemblage ……………………………………………….

II-6-1 Assemblage d’élément en treillis ………………………………...

II-6-2 Détermination de la force axiale …………………………………

II-6-3 Choix du système de numérotation ………………………………

Chapitre III : Vibration des structures discrètes

III-1 système vibrant à un seul degré de liberté …………………………..

III-1-1 L’équation différentielle du mouvement ………………………..

III-1-2 Vibration libre …………………………………………………..

III-1-3 Vibration forcée …………………………………………………

III-2 Système vibrant à plusieurs degrés de liberté ……………………….

III-2-1 Fréquences et modes propres de vibration ……………………...

Chapitre IV : Analyse statique de la structure discrète en treillis

IV-1 Caractéristiques de la structure considérée …………………….......

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IV-2 Numérotation des barres et des nœuds ……………………………...

IV-3 Organigramme du programme de calcul ……………………………

IV-4 Détermination des forces axiales sous l’effet des charges extérieures

IV-4-1 Forces extérieures appliquées sur la structure (cas1) …………..

IV-4-2 Moments extérieures appliquées sur la structure (cas2) ……….

IV-5 Discussion des résultats ……………………………………………..

IV-6 Conclusion …………………………………………………………..

Chapitre V : Analyse dynamique de la structure discrète en treillis

V-1 Analyse aux valeurs propres (vibration libre)………………………...

V-2 Analyse dynamique directe (vibration forcé) ………… ………………

V-3 Discussion des résultats ……………………………………………...

Conclusion générale ……………………………………………………..

Annexes ………………………………………………………………….

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Introduction

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Introduction :

Dans le domaine de l’industrie mécanique, aéronautique et le génie civil l’optimisation de la résistance de la construction d’une part, et l’économie de la matière et de l’argent d’autre part, sont les principaux buts des constructeurs. Pour cela, la connaissance du comportement d’une structure lorsque celle-ci est soumise à une charge statique ou dynamique se révèle d’une grande importance afin de leur assurer un bon dimensionnement et éviter leur fissuration, leur rupture et leurdésastre due à des conditions extérieures durant leur fonctionnement et ainsi d’augmenter leur durée de vie.

En fait, la connaissance des différentes charges rend le calcul des répartitions des contraintes dans la partie la plus sollicitée possible, qui une fois réalisée, représente la base pour un dimensionnement rigoureux et optimum.

En général, les structures discrètes sont les structures le plus souvent rencontréesdans les domaines de l’industrie des véhicules automobiles (carrosseries, châssis, etc.…) ; de l’aérospatiales (structures spatiales), de l’aéronautiques (fuselages, aileset ailerons d’avions, etc.) et de la construction des structures en génie civil (bâtiments, ponts, charpente métallique, etc.).

L’analyse statique ou dynamique de ces structures reste aussi complexe que la complexité des modes d’assemblage de ces structures en fonction de leur dimension, de l’orientation de leurs éléments et de leurs conditions aux limites. En conséquence, la méthode des éléments finis (M.E.F) est une nouvelle méthode utilisée pour analyser et calculer ces types de structures durant un temps minimum d’exécution. Cette méthode a connu un développement intense à partir de l’année 1956 sous l’impulsion de l’industrie aérospatiale et grâce à la disponibilité despremiers ordinateurs [1]. Dés lors on a assisté au développement de nouveaux éléments tels que : l’élément barre, poutre, treillis, membranes, plaques, coques…etc. Ainsi que l’établissement de nouvelles formulations basées sur des considérations énergétiques et variationnelles [2].

Notre travail consiste donc en l’utilisation de la méthode des éléments finis pour l’analyse statique et dynamique des structures mécaniques tridimensionnelles en treillis sous l’effet des excitations extérieures et sous différentes conditions aux limites. Le cas de la structure considérée est le pont de chemin de fer en charpente métallique de « Oued Hamimime- Constantine ». Les éléments de la structure sont modélisés par des éléments barres, interconnectés aux nœuds où les forces axiales sont déterminées. Les équations de mouvements à l’état statique et dynamique sont formulées et les matrices de masse et de rigidité pour un élément et après assemblage sont calculées.

Introduction

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Le premier chapitre présente les différentes techniques des structures complexes et leurs applications où l’historique des éléments finis, leurs différents types et leur application sont présentés.

Dans le deuxième chapitre, la théorie des éléments finis pour les éléments barres et les éléments poutres a été considérée. Les matrices de rigidité et de masse sont calculées par rapport aux coordonnées locales et coordonnées globales et les différents modes d’assemblages sont discutées.Le troisième chapitre consiste en l’analyse des structures en vibration libre et forcée où l’équation différentielle du mouvement à plusieurs degrés de liberté a été déterminée. Aussi les pulsations, fréquences et modes propres sont formulés.La caractérisation de la structure est représentée dans le chapitre quatre où le pont de chemin de fer en charpente métallique de « Oued Hamimime » est considéré. La numérotation des nœuds et des éléments est prise en compte. Une analyse statique est considérée et les forces dans chaque élément sous l’effet des charges extérieures sont calculées. Les résultats obtenus en se basant sur la méthode développée sont comparées avec ceux obtenus utilisant le SAP2000 et de bons résultats sont obtenus.Le chapitre cinq consiste en l’analyse de la structure discrète à l’état dynamique et sous diverses conditions aux limites. Les différents modes de vibrations à l’état excité sous représentés et de bons résultats ont été obtenus.Une conclusion générale sur les résultats obtenus, des annexes et des références bibliographiques sont enfin représentées à la fin du mémoire.

Chapitre I : Techniques de calcul des structures complexes et leurs applications

3

I- Techniques de calcul des structures complexes et leurs applications :

I-1 Introduction aux structures complexes :

Les structures complexes tri-dimensionnelles sont des structures discrètes composées d’éléments barres ou poutres assemblées entre eux dans l’espace tridimensionnel (3D). Ces types de structures sont rencontrés souvent dans le domaine de la construction mécanique, la charpente métallique, les structures d’aéronautique spatiale, la construction navale et le génie civil… etc.

L’analyse statique ou dynamique de ces structures repose essentiellement sur les méthodes matricielles vues leur complexité et le nombre important d’éléments qui les constituent [3]. Parmi ces méthodes matricielles, la méthode des éléments finis (M.E.F) qui a connu ces dernières années un développement considérable vu la rapidité de résolution des équations lors d’une analyse d’une structure complexe composée d’un nombre important d’éléments.

Par ailleurs, il est intéressant de marquer que la méthode des éléments finis (M.E.F) appliquée à l’analyse des structures, est une technique récente à caractère pluri-disciplinaire c'est-à-dire qu’elle met en œuvre la connaissance des trois disciplines de base [4], qui sont essentiellement :

a) La mécanique des structures qui repose sur la résistance des matériaux, l’élasticité et la plasticité.

b) L’analyse numérique qui donne des méthodes d’approximation et des résolutions des systèmes linéaires.

c) L’informatique appliquée qui est une technique de développement et de maintenance de grands logiciels.

En effet, dans le domaine de l’engineering, l’optimisation de la résistance des structures d’une part et l’économie de la matière d’autre part sont les buts principaux des ingénieurs.

Pour cela, la connaissance du comportement de la structure lorsque celle-ci est soumise à une charge statique ou dynamique se révèle d’une grande importance.

En général, l’analyse des structures en treillis (discrètes) par la M.E.F est basée sur l’étude du comportement de chaque élément indépendant de la structure et par suite


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de l’assemblage de tous les éléments, on aboutit à l’étude du comportement de toute la structure.

Lorsqu’un chargement est appliqué en un point quelconque de la structure, il est directement transmis à travers elle, jusqu’aux points de support, lors de son passage, le chargement donne naissance à des contraintes et des déplacements en tous les points de la structure et par conséquent, les éléments se déforment d’où la géométrie des fissurations ou des ruptures ainsi le but de l’analyse structurale est donc l’étude du comportement d’une structure avant sa réalisation ou sa mise en service afin de s’assurer qu’elle présente une sécurité suffisante pour remplir une fonction définie.

En réalité, une structure en treillis est un système d’élément discret formé de barre ou de poutre de forme géométrique simple ou complexe interconnectés en leur extrémité par rivets ou des joints de soudures.

Les points de connections sont dits « nœuds » où les charges sont supposées être appliquées, ainsi chaque barre n’est soumise qu’à une force axiale c'est-à-dire qu’elle ne subira que des allongements ou des raccourcissements.

I-2 Historique de la M.E.F :

Les bases théoriques de la M.E.F reposent d’une part sur la formation énergétique de la mécanique des structures dont la formulation des théorèmes énergétiques de l’élasticité a été effectuée au siècle dernier, en 1819 NAVIER définit une méthode d’étude des systèmes hyperstatiques basée sur l’application des conditions d’équilibre et de compatibilité par MAX WELL en 1864 et CASTIGLIANO en 1878. [5]

Et d’autres part les méthodes d’approximation, c’est au début du 20ème siècle qu’ont été acquis des résultats fondamentaux dans le domaine des méthodes d’approximation sous l’impulsion de RITZ en 1902 et de GARLEKIN en 1915 puis en 1943 COURANT établit les bases de la M.E.F.

En 1954 DENKE systématise la méthode des forces. En fin de 1955 AGURIS présente une approche unifiée des méthodes de déplacement et des forces, puis l’année suivante TURNER et CLOUTH publient une présentation systématique de la méthode des déplacements, ces deux publications sont particulièrement importantes et représentent véritablement le début de la M.E.F comme technique de calcul des structures complexes.


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Dès lors, on laisse au développement de nouveaux éléments tels que membranes, plaques, coques. Par ailleurs le domaine d’application de la M.E.F limité au début à la statique linéaire s’étend maintenant à la dynamique.

Cette histoire perçut incomplète si l’on omet de mentionner le développement de programmes généraux d’analyse (encore appelés codes généraux), à partir des années 60, ce phénomène a été particulièrement important parce qu’il a véritablement abouti à faire rentrer la M.E.F dans la pratique industrielle.

Il est certain que d’une part, la M.E.F se prête bien à la programmation sur ordinateur (les procédures numériques peuvent être rendues automatiques et modulaires) et que d’autre part, la M.E.F se caractérise par son universalité et son adoptabilité au traitement des problèmes les plus divers.

I-3 Technique des éléments finis appliquée à l’analyse structurale :

La M.E.F dans l’analyse structurale est une technique qui se base primordialement sur l’idée de décomposer la structure en un ensemble (ou en sous-ensemble) de différents composants, ayant chacun un modèle géométrique avec des propriétés physiques particulières. [6]

Notant que la structure peut être continue telle que les plaques, ou ayant par sa nature une forme discrète telle que les treillis. Chaque modèle de composants de la structure est connu comme un type spécifique d’élément finis. Chaque élément fini a une forme structurale bien déterminée et il est interconnecté avec les éléments qui lui sont adjacents par des nœuds ou « Points nodaux ». Les forces agissantes en chaque nœud sont dites « Forces nodales ». L’élément est sujet de déplacements ou rotations aux nœuds, appelés « Degrés de liberté ». [4]


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Figure I-1 : Elément fini typique pour les structures en treillis

La figure I-1 représente un seul élément limité par deux nœuds à ses extrémités(noeud1 et noeud2), Fx, Fy et Fz sont les forces qui agissent aux nœuds ainsi que les moments Mx, My et Mz ; u, v et w sont les déplacements nodaux dans les directions X, Y et Z respectivement ; θ, α et β sont les rotations nodales autour des axes X, Y et Z respectivement.

Ainsi, pour chaque élément fini, un ensemble standard d’équations peut être formulé pour mettre en relation les quantités physiques : Forces et Déplacements. Pour former la structure totale, il faut rassembler tous ces éléments, en qui est, mathématiquement, équivalent à superposer toutes les équations simultanées, qu’il est convenable de résoudre par ordinateur.

X

Y

Z

Fx1, u1

Fy1, v1

Fz1, w1

Fz2, w2

Fy2, v2

Fx2, u2

Mz1, β1

Mz2, β2

Mx1, θ1

Mx2, θ2

My1, α1

My2, α2

E, I, A, L


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Par le biais des charges appliquées à la structure et les conditions aux limites, le système d’équation peut être résolu et les paramètres inconnus déterminés. La substitution de ces valeurs dans la formulation de chaque élément fournit la distribution des contraintes et des déplacements en n’importe quel point à l’intérieur de n’importe quel élément de la structure.

I-4 Exemples d’applications :

En général, il existe plusieurs types d’éléments qui peuvent être utilisés pour l’analyse statique ou dynamique des structures, utilisant la M.E.F. Les éléments les plus souvent rencontrés sont les éléments barres et les éléments poutres qui, lorsqu’ils sont assemblés, peuvent former un treillis, une charpente ou une monture ; des éléments triangulaires, rectangulaires ou quadrilatéraux plats. Les éléments poutres peuvent être courbés, épais ou très minces.

La nature des effets physiques et la géométrie des structures, peuvent déterminer le choix des éléments appropriés dans les différents domaines. [7]

I-4-1 En génie mécanique :

Parmi d’innombrables applications de la M.E.F et le choix des éléments finis appropriés pour l’analyse structurale dans le domaine du génie mécanique, on citera les 2 cas suivants :

a) La modélisation du piston d’un moteur à combustion interne, représenté sur la figure I-2, peut se faire avec l’utilisation d’éléments en coque épaisse. Le modèle représenté peut servir pour la détermination des contraintes et des déformations du piston dont le changement consiste, essentiellement, à la pression des gaz en combustion, des efforts d’inertie ainsi que les effets thermiques.


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Figure I-2 : Modélisation d’un piston

b) La figure I-3 représente le maillage d’une bielle de moteur fait à l’aide d’élément poutre spatial en forme prismatique. Ce modèle tient en compte les sollicitations de la bielle dont, essentiellement, la flexion et les contraintes axiales.

Pour des raisons de simplifications de la structure de la bielle, il est possible de subdiviser cette dernière en trois parties, qui sont : la tête de bielle, le corps et le pied de bielle.


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Figure I-3 : Bielle de moteur modélisée par l’élément poutre spatial prismatique

I-4-2 En aéronautique :

A cause du caractère spécial des structures des appareils d’aéronautique et des constructions spatiales, la M.E.F s’avère un outil primordial d’analyse pour de telles structures, et parmi lesquelles on cite les deux exemples suivants :

a) La modélisation de l’aile et du fuselage d’un avion, représenté sur la figure I-4, utilise généralement des poutres, des plaques et des éléments en coques. Ce modèle peut être utilisé pour l’analyse des contraintes statiques, des vibrations libres, des pulsations des ailes et des coques, et l’optimisation pour un minimum de poids et un maximum de résistance.


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Figure I-4 : Modélisation de l’aile et du fuselage d’un avion

b) Dans la construction spatiale, on retrouve souvent, les structures en treillis. La figure I-5.a montre une grande structure spatiale flexible dont une seule cellule est représentée sur la figure I-5.b. la structure peut être modélisée par un nombre énorme d’éléments barres.

Figure I-5.a : Structure spatiale en barre


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Figure I-5.b : Cellule d’une structure spatiale en barres

Les éléments barres de cette cellule sont interconnectés à leurs extrémités par des joints à faible moment de flexion.


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II-1 Introduction :

Il est souvent impossible de trouver analytiquement la solution à un problème de la mécanique des milieux continus. On doit alors utiliser des méthodes numériques pour approcher cette solution. La méthode des éléments finis (M.E.F) est l’une de ces méthodes, elle permet par exemple de calculer numériquement le comportement d'objets même très complexes, à condition qu'ils soient continus et décrits par une équation aux dérivées partielles (EDP) linéaire : mouvement d'une corde secouée par l'un de ses bouts, comportement d'un fluide arrivant à grande vitesse sur un obstacle, déformation d'une structure métallique, etc.

L’analyse des structures en treillis par la M.E.F est basée sur l’étude du comportement de chaque élément indépendant de la structure et par suite de l’assemblage de tous les éléments, on aboutit à l’étude du comportement de toute la structure. [3]L’assemblage de la structure et ses composants élémentaires doivent répondre aux conditions et principes suivants, pour permettre l’étude du comportement du treillis et de ses éléments :

- Conditions d’équilibre : les forces agissant sur toute la structure ou sur chacun des éléments considérés comme un corps libre, doivent être en équilibre.

- Conditions de compatibilité : les déplacements de l’ensemble de la structure ou de chacun de ses éléments doivent être compatibles. En d’autres termes les déplacements des extrémités des éléments qui sont connectés à un même nœud doivent être identique. On peut encore dire que, si on effectue une section sur un élément, les déplacements de l’élément à gauche et à droite de cette section doivent être égaux.

- Loi de Hooke : le comportement de la structure doit satisfaire à la loi de Hooke qui décrit le rapport entre la charge et la déformation des matériaux. Dans toute l’étude qui suit on considèrera que la déformation est proportionnelle à la charge, ce qui se traduit par l’équation :

………….. II-1Où : F est la charge appliquée K est le coefficient de proportionnalité et qui représente physiquement la rigidité de l’élément. δ est le déplacement provoqué par l’application de la charge.


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- Conditions aux limites : les conditions aux limites exigent que les conditions d’équilibre et de compatibilité en chacune des limites de la structure soient satisfaites.

En formulant les équations régissant le comportement de chaque élément indépendant par le biais de la loi de Hooke, et en superposant toutes ces équations, on aboutit à une équation globale pour toute la structure, qui lie les forces nodales aux déplacements nodaux, sous la forme :

…II-2

Et qu’on appelle : équation de rigidité. Cette équation revêt une forme différente dans le cas d’un élément poutre que dans celui d’un élément barre. Cela est dû au fait que l’élément poutre travail essentiellement à la flexion, tandis que l’élément barre travaille à la compression.

II-2 Equation de rigidité d’un élément barre en coordonnées locales :

Un élément barre est caractérisé par une : section faible, épaisseur faible, ne supporte pas de moment, et généralement utilisé en structure discrète.Soit un élément barre, dirigé suivant l’axe local x, représenté dans la figure II-1

Figure II-1 : élément barre en coordonnées locales.

Aux deux extrémités 1 et 2 de la barre agissent, respectivement, deux forces F1 et F2

aux quelles correspondent les deux déplacements respectifs U1 et U2. Le nombre total de degrés de liberté pour cet élément est donc égal à deux. Pour relier les deux forces aux deux déplacements, il est nécessaire d’établir un système d’équation sous une forme matricielle. Ceci peut se faire en utilisant la méthode de l’énergie de déformation.

FX1, U1FX2, U2

L

1 2


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Equation de rigidité par la méthode de l’énergie :

Pour le cas de contrainte ou de déformation uniaxiale, la déformation est définie par :

ε = ……………..II-3

Δx : longueur infinitésimale.

Pour pouvoir utiliser, ultérieurement, cette équation, il faut faire appel à la notion de fonction de déplacement et à celle de fonction de forme.

Dans le cas uniaxial, le déplacement axial u(x) à une distance x du point nodal 1 peut être considéré comme une variation linéaire de x :

…………………. II-4

Où a0 et a1 sont deux constantes à déterminer à l’aide des conditions aux limites.

Conditions aux limites :

Nœud 1

Nœud 2

Où u1 et u2 sont les déplacements au nœud 1 et 2, respectivement.

En remplaçant dans l’équation II-4, on obtient :

……………………..II-5a

Où : ………………….II-5b

f1(x) et f2(x) décrivent la distribution ou la forme du déplacement associé au nombre de degrés de liberté U1 et U2, respectivement.

L’expression de l’énergie de déformation a la forme suivante :


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………………II-6

Soit : =

……….II-7

Selon le théorème de CASTIGLIANHO

…..II-8

: Force aux nœuds

En écrivant sous la forme matricielle :

………..II-9

Le terme représente la rigidité axiale de la barre.

Ou symboliquement :

…………II-10

Matrice de rigidité.

II-3 Equation de rigidité d’un élément barre en coordonnée globale :

Un élément barre confondu avec un axe est montré dans la figure 2-2. L’axe est

un axe de coordonnées locales et les axes (x,y) sont les axes de coordonnées

globales ou de références. L’axe est orienté d’un angle quelconque θ.

Les paramètres relatifs dans le système de coordonnées sont affectés de « »

(une barre), afin de les différencier de ceux exprimés dans le système de coordonnées (x,y). Dans le système de coordonnées globales, chaque point nodal a


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une force horizontale Fx et force verticale Fy, un déplacement horizontal U et un déplacement vertical V.

Figure II-2 : Elément barre dans un système de coordonnées globales.

D’après la figure II-2, nous avons au point nodal 1 et au point nodal 2, les expressions suivantes :

Nœud 1 ……. II-11a

Nœud 2 ……..II-11b

Avec : et

Les équations (II-11a) et (II-11b) peuvent s’écrire ainsi :

…………II-12

En utilisant la même définition de l’énergie de déformation utilisée au paragraphe précédent et que l’on peut énoncer de la façon suivante :

FX1, u1

FX2, u2

FY1, V1

1

2

Y

X

1, 1

FY2, V2

2, 2


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L’énergie de déformation ou le travail est égal à la demi-somme des produits de forces nodales par les déplacements nodaux correspondants.

…………..II-13

En remplaçant II-10 dans II-13, on trouve :

Tout calcul fait, concernant le produit des trois matrices de cette dernière équation, on obtient :

………….. II-14

En utilisant le théorème de CASTIGLIANHO on trouve :

………….. II-15

Cette matrice de rigidité possède une forme facile à mémoriser. Nous pouvons, simplement, retenir la matrice de rigidité sous la forme :

………………….II-16a

Où

…………………. II-16b


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II-4 Equation de rigidité d’un élément poutre en coordonnées locales :

Un élément poutre est représenté sur la figure II-3. L’axe longitudinal de la poutre est confondu avec l’axe de coordonnée X. l’élément est considéré avoir deux degrés de liberté en chaque extrémité : une déformation transversale V, et un angle de rotation θ.

Un moment de flexion M et une force de cisaillement Y correspondant respectivement aux deux degrés de liberté θ et V, agissant en chaque nœud.

Figure II-3 : élément poutre rectiligne à section droite uniforme

Caractéristique de l’élément :

: Section, : Moment d’inertie, : Module de Young, : Déflexion transversale,

: Ongle de rotation ( )

Le comportement de cette poutre est décrit par une fonction polynomiale du troisième degré, qui est la fonction de déplacement caractéristique à cet élément :

Où :

Dans notre cas pas de charge

………………………..II-17

Où les constantes a1, a2, a3 et a4 sont déterminées par les conditions aux limites au point 1 et 2.

M1, 1 M2, 2

Y2, V2Y1, V1

X

Y


19

Condition aux limites :

Les équations des déplacements aux nœuds peuvent être écrites sous la formematricielle suivante :

…………………. II-18

La forme inverse de l’équation II-18 donne les expressions des constantes ai :

…………..II-19

Ou symboliquement :

…………… II-19a

Après substitution des coefficients ai de l’équation II-19 dans l’équation II-17, et après réarrangement, on obtient la forme finale de la fonction de déplacement :

……. II-20

Avec :

, ,

, …………… II-21

Pour un élément poutre à section droite uniforme, l’énergie de déformation est donnée par :


20

…………… II-22

En appliquant le théorème de CASTIGLIANHO

……………..II-23

En combinant les équations II-22 et II-23, on obtient :

…………… II-24

Avec :

i,j= 1, 2, 3, 4

Les sont les dérivées secondes des fonctions de formes exprimées

dans les équations II-21.

Après toutes les procédures de dérivation et de substitution, on aboutit à l’équation de rigidité en coordonnées locales :

……… II-25

Ou symboliquement :

…………………….. II-25a

II-5 Equation de rigidité d’un élément poutre en coordonnées globales :

La figure II-4, représente un élément poutre entrant dans la composition d’une structure en treillis, et qui occupe une position qui n’est pas horizontale. Un tel élément est soumis à une force axiale, une force de cisaillement et un moment de flexion. Cet élément doit posséder trois degrés de liberté en chaque point nodal :


21

Deux composantes de déplacement U et V dans les directions x et y, respectivement, et un angle de rotation θ.

Aux degrés de liberté U et V correspondent, respectivement, deux forces X et Y, et au degré de liberté θ correspond un moment M ; en chaque point nodal.

Cet élément est orienté arbitrairement d’un angle φ avec l’axe x, et a les propriétés géométriques et physiques suivantes :

- E : module de YOUNG.- I : Moment d’inertie.- A : Aire de la section transversale droite.- L : Longueur de la poutre.

Figure II-4 : Elément poutre arbitrairement orienté.

Pour obtenir la matrice de rigidité pour un élément poutre, il faut combiner, en premier, la matrice de rigidité pour un élément barre (II-9) et la matrice de rigidité pour un élément poutre (II-25), toujours dans le cas des coordonnées locales. Ensuite, on transforme cette matrice aux cordonnées globales.

Lorsqu’un élément barre et un élément poutre sont combinés ensemble, nous obtenons l’élément poutre en flexion soumis à l’effort axial. Alors les équations de rigidité sont :

x

y

Y1, V1

Y2, V2

X1, U1

X2, U2

M1, 1

M2, 2


22

…II-26

Pour un assemblage convenable ; il est désirable d’arranger les degrés de liberté dans un certain ordre, avec un ordre indiciel croissant donnant à cette même équation la forme suivante :

…II-27

Ou symboliquement :

……. II-27a

Pour la transformation des coordonnées, on considère un élément poutre arbitrairement orienté dans le plan soit : ; coordonnée locales et coordonnée

globales.


23

Dans le système de coordonnée locale ; l’équation de rigidité est donnée par (II-27). Pour trouver l’équation dans les coordonnée globales ; il faut transformer les six (6) forces nodales et moments de flexion du système de coordonnée locale au système de coordonnée globale, par l’équation :

……. II-28

Où :

Symboliquement (II-28), devient :

………….II-29

Où est la matrice de transformation (qui est une matrice orthogonale),

c.à.d :

Donc :

x

y

Y1, V1

Y2, V2

X2, U2

M1, 1

M2, 2

X1, U1


24

Les degrés de liberté aussi peuvent êtres transformer des coordonnées locales auxcoordonnées globales, et on écrira donc, et sous forme symbolique :

……… II-30

…….. II-31

Comme la matrice et orthogonale, on peut donc déduire que :

……….II-32

Avec : : matrice de rigidité dans les coordonnées globales.

Donc, on obtient la forme finale de l’équation de rigidité pour un élément poutre dans le système de coordonnées globales :

II-32

II-6 Méthode d’assemblage :

II-6-1 Assemblage d’élément en treillis :

Dans les deux cas de treillis en poutre ou en barres après la formulation des équations de rigidité de tous les éléments du treillis, on passe à la formulation de la matrice de rigidité globale de la structure.


25

La méthode se fait par la superposition de tous les effets agissant aux nœuds et ainsi à l’assemblage des vecteurs forces généralisées des éléments de la structure.

Considérant la structure en treillis la plus simple dans le cas tridimensionnelle, celle composé de six barres (poutres) formant un tétraèdre, représenté sur la figure II-5. La première étape consiste à éliminer les conditions aux limites du treillis, et essayer de faire apparaitre tous les degrés de libertés et les composantes des forces existantes aux nœuds.

Figures II-5 : assemblage d’une structure en treillis dans l’espace

Après la formulation de la matrice de rigidité de chaque élément, on effectue l’assemblage en respectant les deux points suivants :

a) Les déplacements nodaux pour chaque élément sont les même que les déplacements aux joints communs.

b) Les efforts internes à l’élément où les forces aux nœuds pour chaque élément doivent être en équilibre avec les efforts externes à chaque nœud commun.

12 3

4

5 6

1

2

34


26

La superposition des effets dans le cas du treillis nous donne les équations suivantes :

II-6-2 Détermination de la force axiale :

Pour un élément finis dans l’espace, la force axiale est désignée par S comme représenté sur la figure II-6.

Figure II-6 : Force axiale dans un élément finis dans l’espace.

S

S


27

L’équation de la force axiale est donnée par :

………. II-33

n : le numéro de l’élément barre ou poutre de la structure.

II-6-3 Choix du système de numérotation :

L’assemblage est lié essentiellement à la numérotation de la structure.

La première étape dans une étude par la M.E.F consiste à identifier les éléments et nœuds de la structure et cela en leur donnant des numéros.

Sachant que la méthode conduit à résoudre une équation matricielle linéaire dans laquelle les matrices sont symétriques et bandées c'est-à-dire les éléments non nuls se trouvent sur la diagonale parallèle à la diagonale principale, le temps mis par l’ordinateur pour résoudre l’équation peut considérablement être réduit si la largeur de la bande est rendue étroite, et cette dernière dépend de la numérotation des nœuds.

Pour minimiser la largeur de la bande, il est nécessaire de minimiser au maximum la différence entre les numéros des nœuds.

La méthode de calcul de cette largeur de bande définit par :

…….. II-34

Où :

: Largeur de bande de la matrice.

: Différence maximale pour les numérotations des nœuds à l’extrémité de

chaque élément.

: Nombre de degrés de liberté pour chaque nœud.

D’après l’équation III-15, on voit bien qu’en minimisant on minimisera la

largeur de bande , ainsi minimale sera obtenue en numérotant la

structure à travers sa plus petite dimension, ce qui est montré dans l’exemple suivant :


28

Figure II-7

= 36

Figure II-8

= 24

Donc la largeur de la bande est minimale dans le deuxième cas de numérotation c'est-à-dire verticalement.

Des études récentes ont montrés que la différence entre les résultats d’une structure en élément barre et celles de la même structure en élément poutre ne diffèrent pas trop (pas plus de 0,1%). [8,9]

1

10

15141311

6 7 8 9

151296

5 8 11 14

1310741

2

3

12

2 3 4 5


29

III- Vibration des structures discrètes:

Tous les corps possédant une masse et une élasticité sont capables de vibrer. Onappelle vibration d’un corps élastique, lorsque ses particules font le mouvement autour d’une position d’équilibre.

C'est-à-dire, quand on écarte le corps élastique de sa position d’équilibre il tend à y revenir.

III-1 systèmes vibrant à un seul degré de liberté :

Pour l’étude des vibrations, on considère généralement le modèle le plus simple à un degré de liberté qui est constitué d’une masse (m) attachée à un ressort de rigidité (K) et un amortisseur de coefficient (c), chargé d’une force d’excitation extérieur F(t). [10]

Figure III-1 : Schématisation d’un système à un degré de liberté.

III-1-1 L’équation différentielle du mouvement :

Plusieurs méthodes sont possibles pour trouver l’équation du mouvement. Dans ce cas élémentaire la méthode la plus simple consiste à exprimer directement l’équilibre dynamique de toutes les forces agissant sur la masse (m), donc en se basant sur la loi fondamentale de la dynamique (seconde loi de Newton), et d’après la figure III-1, on peut écrire :

…………………III-1

L’équation III-1 est une équation du 2ème ordre à coefficient constant.

K

c

mx x


30

III-1-2 Vibration libre :

On suppose que , l’équation III-1 devient :

…………………….III-2

L’équation III-2 est l’équation différentielle de la vibration libre.

Selon le coefficient d’amortissement, on distingue deux cas :

1- c=0 : Vibration libre non amortie.2- c≠0 : Vibration libre amortie.

a) Vibration libre non amortie (c=0) :

Dans ce cas l’équation différentielle III-2 devient :

………….III-3

Ou elle peut s’écrire sous la forme :

…………………..III-4

Où : . Est la fréquence naturelle.

La solution générale de l’équation III-4, est un mouvement harmonique de la forme :

…………….III-5

A et B sont des constantes déterminées d’après les conditions aux limites.

b) Vibrations libre amortie (c≠0) :

L’équation III-2 peut être réécrite sous la forme :

…………………..III-6

Où : et .

Et la solution générale est de la forme : .


31

III-1-3 Vibration forcée :

Maintenant on considère que la force d’excitation F(t) n’est pas nulle, on revient alors à l’équation III-1, qui peut être réécrite sous la forme :

……………. III-7

La force F(t) est une force d’excitation harmonique de la forme :

.

La solution de l’équation III-7 est de la forme :

: Solution totale. : Solution homogène. : Solution particulière.

III-2 systèmes vibrant à plusieurs degrés de liberté :

On prend en considération un système à deux degrés de liberté comme montre la figure III-2.

Figure III-2 : Système à deux degrés de liberté.

Pour trouver les équations différentielles du mouvement, on procède de la même manière précédente. On exprime directement l’équilibre dynamique de toutes les forces associées à chaque sous-système, c'est-à-dire appliquées sur la masse (m1) et sur la masse (m2), comme le montre la figure III-3. [11]

K1

c1

m1

x1 x2

m2K0K2

c2


32

Figure III-3 : Equilibre dynamique des corps.

D’après la seconde loi de Newton, on obtient l’équation différentielle du mouvement du système de la figure III-2, comme suit :

Ce système d’équation peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :

Symboliquement :

…………….III-8

Où : matrice de masse, matrice d’amortissement, matrice de rigidité.

On peut généraliser ce procédé pour un système ayant (n) degrés de liberté, on obtient alors un système de (n) équations différentielles qui s’écrit comme suit :

…………………………………………………….

……………………………………………………..

x1 x2


33

…………..III-9-a

Ou symboliquement :

…………..III-9-b

: est le vecteur de déplacement.

: est le vecteur force d’excitation externe.

Comme on le voit, la dimension des matrices correspond au nombre de degrés de liberté. Les Kij, cij et mij avec i≠j sont les coefficients d’influence (couplage) de rigidité, d’amortissement et de masse respectivement. On remarque dans l’exemple précédent du système à deux degrés de liberté que seuls les coefficients d’influence de rigidité sont présents car il n’y a que le couplage par élasticité.

La solution de l’équation III-9 est :

Où :

: est la solution homogène, sa détermination mène à la superposition de n

modes de vibrations.

: est une solution particulière qui dépend de l’excitation.

III-2-1 Fréquences et modes propres de vibration :

Pour trouver les fréquences et les modes propres d’un système à plusieurs degrés de liberté, on étudie alors les vibrations libres non amorties, donc l’équation III-9-b, devient :

……………… III-10


34

Pour la résolution de cette équation, on se basant sur le système à un degré de liberté, cherchant pour chaque sous-système une solution harmonique de la forme :

Qui peut s’écrire pour tous les sous-systèmes, sous une forme matricielle :

…………… III-11

Dérivant l’équation III-11, deux fois par rapport au temps, on obtient :

… III-12

Substituant III-12, dans l’équation de mouvement III-10, et on trouve :

………………III-13

Calculant maintenant le déterminant de la matrice , si ce

déterminant est différent de zéro, on obtient une solution triviale , c'est-

à-dire le système est à l’état de repos, et ce cas ne nous intéresse pas, et si le déterminant est nul, on obtient une solution non triviale.

Cette équation est dite équation des fréquences

propres du système. [12]

Le calcul du déterminant, nous mène à une équation polynomiale de degré (n)

en . Les (n) solutions (ω12, ω2

2, …, ωn2) sont les carrés des fréquences de (n)

modes de vibrations possible. On appelle 1er mode, la vibration du système avec la plus basse fréquence, le 2ème mode avec la fréquence suivante…etc.

La solution du système mène à la superposition de (n) modes correspondant aux (n) fréquences, c'est-à-dire pour le ième sous-système la solution s’écrit :

. [10]


35

IV- Analyse statique de la structure discrète en treillis:

Le but de l’analyse statique est la détermination des déplacements, des réactions aux appuis et des forces axiales agissants sur les différents éléments de la structure. La structure considérée est le pont de chemin de fer en charpente métallique de Oued Hamimime (Constantine) (figure 4-1). Ce pont est soumis à des forces impulsives extérieures dues aux accès brutaux des trains. Sa structure est discrétisée en éléments barres interconnectés aux nœuds. Le choix de l’élément barre revient a la minimisation du nombre globale de degrés de liberté de la structure afin de pouvoir introduire toutes les données dans la mémoire de l’ordinateur. Ce choix n’affecte pas la précision des résultats obtenus comparativement à l’élément poutre [8].

IV-1 Caractéristiques de la structure :

La structure en treillis est en acier de densité ρ= 7850 Kg/m, et de module d’élasticité E= N/m2.

La structure est composée de deux sections rectangulaire différentes, A1 pour les barres verticales et horizontales et A2 pour les barres obliques, avec :

A1= 24,4 * 10-3 m2

A2= 16 * 10-3 m2

W1= 1870,0074 N/m W2= 1232,136 N/m

W= M * g [N/m] et M= ρ * A [Kg/m]

IV-2 Numérotation des barres et des nœuds :

Comme on l’a vu au chapitre précédent, la première étape consiste à identifier les éléments et les nœuds de la structure en leur donnant des numéros, et cela suivant saplus petite dimension (figure IV-1).


36

Fig

ure

IV

-1:

nu

mér

otat

ion

des

nœ

ud

s et

des

élé

men

ts d

e la

st

ruct

ure

.


37

DEBUT

IV-3 Organigramme du programme de calcul :

Nous utiliserons la programmation sur MATLAB, pour pouvoir comparer les résultats obtenus. L’organigramme de ce programme est représenté ci après :

Lire

- Nombres des nœuds et des éléments- Coordonnées des nœuds- Paramètres physiques (E, ρ, d…etc.)

Calcul de la matrice élémentaire [K]

For i=1, n

Calcul de la matrice de rigidité globale [K]

Assemblage

Lire les forces (moments) appliquées

Réarrangement des lignes de [K]

Lire les conditions aux limites

Réarrangement des colonnes de [K]

Résolution du système [K]. [U]= {F}


38

Organigramme de MATLAB

Dans le but de valider le programme élaboré, les résultats issus de ce dernier sont confrontés à celles obtenues en calcul de structures par éléments finis sous logiciel SAP2000.

IV-4 Détermination des forces axiales sous l’effet des charges extérieures :

Comme il a été cité, les forces axiales dans tous les éléments de la structure originale du pont sont déterminées en utilisant l’élément barre, par ailleurs les charge extérieures appliquées sur la structure sont de deux types : force et moment.

Calcul de l’inverse de [K]

Calcul de la matrice de déplacement [U]

Afficher les résultats [U]

FIN

Calcul des forces axiales

Calcul de la matrice des réactions aux appuis [R]

Afficher les résultats [F]


39

VI-4-1 Forces extérieures appliquées sur la structure (cas1):

Ces forces sont appliquée aux nœuds 25, 27, 29 et 31 avec une force de P= -100 N.(Figure IV-2).

Figure IV-2 : Forces extérieures appliquées sur la structure (AA)


40

On répète le même chargement mais avec différentes conditions aux limites :

- Appui simple/appui simple (AA)- Appui simple/ encastrement (AE)- Encastrement/ encastrement (EE)- Et le cas spécial : Encastrement/ extrémité libre (EL)

Pour se dernier cas on peut le considérer comme une aile d’avion, et les forces seront appliquées sur l’extrémité libre (nœuds 53 et 55). (Figure IV-3)

Figure IV-3 : Forces appliquées sur la structure dans le cas d’une aile d’avion


41

Les déplacements de la structure AA sont résumés dans le tableau suivant :

Tableau IV-1 : déplacements des nœuds de la structure AA (cas 1).

TABLE: Joint DisplacementsJoint u1 u2 u3 R1 R2 R3Text m m m Radians Radians Radians

1 0,00025 -0,00001 -0,000037 -0,000099 0,00009 8,262E-062 0 0 0 -0,000129 0,000093 -3,866E-063 0,000242 -0,000012 -0,000037 0,000143 0,000093 -0,000014 0 0 0 0,000173 0,000097 -8,465E-075 0,000236 -0,000013 -0,000339 -0,000144 0,000089 3,011E-066 -0,000031 -9,686E-06 -0,000307 -0,000153 0,000083 2,809E-067 0,000228 -0,000014 -0,00033 0,000151 0,000095 -5,184E-068 -0,00003 -8,151E-06 -0,000298 0,000158 0,000089 -8,167E-069 0,000209 -0,000018 -0,000624 -0,000149 0,000082 2,982E-0610 -0,000048 -0,000014 -0,000597 -0,000151 0,000078 4,012E-0611 0,000202 -0,00002 -0,000605 0,000154 0,000087 -7,303E-0612 -0,000046 -0,000013 -0,000578 0,000155 0,000083 -5,756E-0613 0,000172 -0,000027 -0,000875 -0,000149 0,00007 2,178E-0614 -0,000053 -0,000016 -0,000853 -0,000149 0,000066 4,529E-0615 0,000166 -0,000029 -0,000847 0,000156 0,000076 -8,006E-0616 -0,00005 -0,000014 -0,000826 0,000155 0,000071 -4,914E-0617 0,000127 -0,000039 -0,00108 -0,000151 0,000053 1,096E-0618 -0,000047 -0,000014 -0,001064 -0,000148 0,00005 7,157E-0619 0,000123 -0,00004 -0,001044 0,000161 0,000059 -7,832E-0620 -0,000045 -0,000013 -0,001028 0,000156 0,000056 -5,812E-0621 0,000077 -0,000052 -0,001222 -0,000186 0,000035 5,183E-0622 -0,000033 -0,00001 -0,001218 -0,000162 0,000034 -0,0000010123 0,000074 -0,000049 -0,001179 0,000169 0,000038 -7,396E-0624 -0,000032 -0,000011 -0,001176 0,000146 0,000036 1,466E-0625 0,000026 -0,000053 -0,001274 -0,000173 7,298E-06 -1,212E-0626 -0,000011 -9,848E-06 -0,001279 -0,000167 8,968E-06 5,379E-0727 0,000025 -0,000046 -0,00123 0,000186 5,982E-06 0,000001428 -0,000011 -0,000012 -0,001234 0,00018 7,668E-06 -1,385E-0729 -0,000026 -0,000053 -0,001274 -0,000173 -7,298E-06 1,212E-0630 0,000011 -9,848E-06 -0,001279 -0,000167 -8,968E-06 -5,379E-0731 -0,000025 -0,000046 -0,00123 0,000186 -5,982E-06 -0,000001432 0,000011 -0,000012 -0,001234 0,00018 -7,668E-06 1,385E-0733 -0,000077 -0,000052 -0,001222 -0,000186 -0,000035 -5,183E-0634 0,000033 -0,00001 -0,001218 -0,000162 -0,000034 0,0000010135 -0,000074 -0,000049 -0,001179 0,000169 -0,000038 7,396E-0636 0,000032 -0,000011 -0,001176 0,000146 -0,000036 -1,466E-0637 -0,000127 -0,000039 -0,00108 -0,000151 -0,000053 -1,096E-0638 0,000047 -0,000014 -0,001064 -0,000148 -0,00005 -7,157E-06


42

39 -0,000123 -0,00004 -0,001044 0,000161 -0,000059 7,832E-0640 0,000045 -0,000013 -0,001028 0,000156 -0,000056 5,812E-0641 -0,000172 -0,000027 -0,000875 -0,000149 -0,00007 -2,178E-0642 0,000053 -0,000016 -0,000853 -0,000149 -0,000066 -4,529E-0643 -0,000166 -0,000029 -0,000847 0,000156 -0,000076 8,006E-0644 0,00005 -0,000014 -0,000826 0,000155 -0,000071 4,914E-0645 -0,000209 -0,000018 -0,000624 -0,000149 -0,000082 -2,982E-0646 0,000048 -0,000014 -0,000597 -0,000151 -0,000078 -4,012E-0647 -0,000202 -0,00002 -0,000605 0,000154 -0,000087 7,303E-0648 0,000046 -0,000013 -0,000578 0,000155 -0,000083 5,756E-0649 -0,000236 -0,000013 -0,000339 -0,000144 -0,000089 -3,011E-0650 0,000031 -9,686E-06 -0,000307 -0,000153 -0,000083 -2,809E-0651 0,00003 -8,151E-06 -0,000298 0,000158 -0,000089 8,167E-0652 -0,000228 -0,000014 -0,00033 0,000151 -0,000095 5,184E-0653 -0,00025 -0,00001 -0,000037 -0,000099 -0,00009 -8,262E-0654 0 0 0 -0,000129 -0,000093 3,866E-0655 -0,000242 -0,000012 -0,000037 0,000143 -0,000093 0,0000156 0 0 0 0,000173 -0,000097 8,465E-07

Et les réactions aux appuis de la structure AA sont résumées dans le tableau suivant :

Tableau IV-2 : réaction en base de la structure AA (cas 1).

TABLE: Joint ReactionsJoint F1 F2 F3 M1 M2 M3Text N N N N-m N-m N-m2 53470,29 664,32 42509,54 0 0 04 51623,39 -664,32 42509,91 0 0 054 -53470,29 664,32 42509,54 0 0 056 -51623,39 -664,32 42509,91 0 0 0


43

Pour les forces axiales supportées par les barres voici le tableau qui les représente :

Tableau IV-3 : forces axiales de la structure AA (cas1).

TABLE: Element Forces - FramesFrame P1 P2 P3 M1 M2 M31 -657,03 -928,99 -1,99 1,85 -26,85 -1191,392 -40946,16 -228,84 -626,21 17,23 -1469,99 -520,943 0 -928,98 -2,59 2,87 -10,17 -1126,824 -40482,19 -264,4 842,03 -13,25 1955,44 -604,775 -24065,06 -152,52 -90,76 16,93 -114,33 37,696 -24671,32 -514,07 84,96 -101,18 138,65 -470,517 -53241,21 -570,86 37,83 -54,01 33 -518,088 -51419,79 -105,85 -22,26 -35,17 -55,28 144,539 -239,35 -656,49 -0,89 -18,19 -8,01 -967,2210 45108,5 -223,06 -115,71 -11,55 -333,09 -264,8311 207,41 -649,39 1,22 -18,3 5,41 -903,912 43998,88 -242,22 136,11 2,78 369,72 -319,613 -730,38 -954,59 -2,1 3,66 -17,99 -1262,3114 -34858,79 169,25 -805,49 0,29 -1794,42 396,4115 749,62 -955,95 -2,82 3,66 -24,16 -1252,5816 -33927,39 218,8 826,84 4,24 1847,1 507,8717 -44355,78 -201,61 -56,22 6,09 -87,44 2,7618 -45606,18 -483,88 66,83 -11,98 96 -404,119 -28568,46 -596 66,09 4 91 -573,5220 -27415,02 -89,33 -70,86 -5,66 -94 155,5221 -283,31 -655,66 0,22 -16,96 -0,97 -953,0522 38160,02 -216,81 -137,08 -2,17 -368,51 -243,223 272,59 -655,32 -0,07876 -18,04 -3,53 -946,5524 37093,59 -239,46 141,21 1,24 378,36 -302,9925 -675,89 -957,5 -3,2 3,35 -25,39 -1268,1426 -29083,2 144,44 -816,8 -1,46 -1834,45 335,1327 688,58 -957,64 -0,77 3,33 -12,77 -1265,6928 -28163,57 190,73 826,02 -2,2 1855,98 439,3729 -60911,92 -228,78 -60,74 5,41 -89,41 -21,530 -62836,33 -451,6 74,91 -0,06902 110,07 -341,3231 -7645,01 -548,96 62,81 4,35 88,49 -479,6532 -7154,64 -131,83 -64,6 0,95 -90,02 118,4933 -298,72 -654,97 0,1 -16,24 -1,89 -947,0234 31309,31 -207,28 -139,51 -0,54 -371,75 -211,735 283,36 -655,64 0,01058 -16,23 -2,58 -949,8536 30222,74 -229,15 141,39 -0,52 378,66 -270,1537 -674,75 -957,13 -3,9 3,34 -28,82 -1263,6338 -23295,25 115,03 -820,6 -3,34 -1847,02 269,8439 695,62 -957,28 0,01216 3,41 -8,58 -1265,5240 -22369,39 160,46 824,73 -4,39 1857,14 371,82


44

41 -73731,89 -257,85 -52,52 11,6 -74,81 -46,442 -76331,42 -429,97 74,21 -3,36 109,94 -287,6943 9559,25 -518,55 70,68 2,31 93,04 -420,3944 9370 -167,32 -77,31 1,61 -113,81 79,5145 -310,66 -655,01 0,11 -15,11 -1,77 -943,6546 24425,61 -198,42 -140,64 -1,63 -373,41 -182,2647 294,51 -655,35 0,23 -15,2 -1,88 -947,9448 23348,64 -221,04 140,25 -0,87 374,87 -244,1549 -663,29 -955,81 -4,23 4,32 -29,32 -1249,8250 -17523,61 78,77 -837,29 -8,61 -1889,76 184,6751 647,93 -957,21 0,95 4,11 -7,13 -1265,5352 -16565,32 130,19 825,48 -2,87 1867,96 301,1653 -82810,53 -299,59 -60,14 17,45 -84,92 -85,5354 -86134,55 -361,28 103,68 -77,26 135,74 -188,3755 23020,05 -459,92 23,78 -32,09 60,17 -339,5756 22162,02 -195,13 -36,86 -22,45 -29,68 56,5757 -304,04 -665,24 0,95 -17,37 1,63 -971,4258 17631,38 -192,24 -154,13 -2,08 -416,73 -168,8159 288,88 -660,02 -1,34 -16,15 -8,22 -962,6760 16462,67 -209,62 137,44 -7,55 362,85 -209,2661 1608,75 -974 -1,53 1,88 -19,18 -1294,9662 -3405,6 63,98 -990,53 8,8 -2275,77 145,2363 -298,77 -973,95 0,41 1,35 4,3 -1344,5364 -3067,8 86,12 806,74 -12,59 1862,22 197,0265 -82549,48 -339,96 -51,11 38,38 -45,3 -105,766 -85824,04 -230,77 32,18 26,95 66,57 35,0567 37271,24 -268,04 -5,62 -10,58 -13 -26,6868 35646,66 -299,16 14,36 76,05 15,48 -58,5369 -2683,69 -657,12 0,06249 -15,74 -1,26 -930,8270 220,17 -186,5 -174,02 6,49 -457,91 -143,9971 1394,99 -663,8 -0,27 -14,48 -1,18 -984,6872 429,26 -190,88 155,35 -0,09425 421,16 -150,2773 3444,18 -955,27 -0,003931 -0,84 2,37 -1195,7874 4983,44 1,61 -972,87 -2,49 -2176,15 -0,3775 -1164,35 -955,24 0,27 -0,83 0,73 -1209,1476 4768,73 7,89 950 2,19 2124,84 13,7277 -86194,04 -274,92 1,99E-13 -3,411E-13 -8,93 -86,6278 -89529,4 -274,92 3,979E-13 1,705E-13 -7,73 -76,7579 38836,02 -274,91 -1,421E-13 3,979E-13 3,43 -64,2180 37274,58 -274,91 -1,705E-13 -1,421E-12 0,88 -73,9781 -2297,56 -652,01 -1,85 20,86 -9,68 -896,4682 -1998,96 -190,83 170,83 -1,33 458,71 -167,883 1193,36 -651,99 0,73 19,25 3,69 -903,6784 -1930,88 -190,55 -166,76 1,07 -447,98 -170,3985 3444,18 -955,27 0,003931 0,84 -2,37 -1195,7886 4983,44 -1,61 -972,87 2,49 -2176,15 0,37


45

87 -1164,35 -955,24 -0,27 0,83 -0,73 -1209,1488 4768,73 -7,89 950 -2,19 2124,84 -13,7289 -82549,49 -209,88 51,11 -38,38 101,4 80,9690 -85824,03 -319,07 -32,18 -26,95 -25,78 -91,6791 37271,25 -281,79 5,62 10,58 3,13 -46,4192 35646,65 -250,67 -14,36 -76,05 -25,72 11,0593 -2683,69 -657,12 -0,06249 15,74 1,26 -930,8294 785,37 -173,98 174,02 -6,49 470,91 -110,5995 1394,99 -663,8 0,27 14,48 1,18 -984,6896 994,45 -169,6 -155,35 0,09425 -407,98 -93,4797 1608,75 -974 1,53 -1,88 19,18 -1294,9698 -4267,71 64 -990,53 -8,8 -2181,62 142,7399 -298,77 -973,95 -0,41 -1,35 -4,3 -1344,53100 -3929,91 86,14 806,75 12,59 1768,15 190,58101 -82810,56 -250,25 60,14 -17,45 87,7 -14,72102 -86134,52 -188,56 -103,68 77,26 -161,82 59,5103 23020,08 -89,91 -23,78 32,09 -8,08 191,39104 22161,99 -354,7 36,86 22,45 76,11 -172,42105 -304,04 -665,24 -0,95 17,37 -1,63 -971,42106 18196,57 -168,25 154,13 2,08 405,89 -104,79107 288,88 -660,02 1,34 16,15 8,22 -962,67108 17027,86 -150,87 -137,44 7,55 -370,74 -52,47109 -663,29 -955,81 4,23 -4,32 29,32 -1249,82110 -18385,72 78,8 -837,29 8,61 -1878,07 169,85111 647,93 -957,21 -0,95 -4,11 7,13 -1265,53112 -17427,43 130,22 825,49 2,87 1846,74 284,76113 -73731,93 -291,99 52,52 -11,6 75,92 -95,39114 -76331,38 -119,87 -74,21 3,36 -103,04 157,31115 9559,29 -31,29 -70,68 -2,31 -109,81 278,83116 9369,96 -382,51 77,31 -1,61 108,08 -229,29117 -310,66 -655,01 -0,11 15,11 1,77 -943,65118 24990,79 -162,08 140,64 1,63 377,24 -85,27119 294,51 -655,35 -0,23 15,2 1,88 -947,94120 23913,81 -139,46 -140,25 0,87 -373,7 -26,43121 -674,75 -957,13 3,9 -3,34 28,82 -1263,63122 -24157,36 115,07 -820,59 3,34 -1845,67 247,89123 695,62 -957,28 -0,01216 -3,41 8,58 -1265,52124 -23231,5 160,5 824,73 4,39 1854,16 350,33125 -60911,96 -321,06 60,74 -5,41 84,93 -153,94126 -62836,28 -98,24 -74,91 0,06902 -104,94 165,76127 -7644,96 -0,87 -62,81 -4,35 -91,78 306,87128 -7154,69 -418,01 64,6 -0,95 95,39 -292,17129 -298,72 -654,97 -0,1 16,24 1,89 -947,02130 31874,48 -153,22 139,51 0,54 372,83 -67,42131 283,36 -655,64 -0,01058 16,23 2,58 -949,85132 30787,91 -131,35 -141,39 0,52 -375,95 -9,17


46

133 -675,89 -957,5 3,2 -3,35 25,39 -1268,14134 -29945,31 144,49 -816,8 1,46 -1841,17 314,95135 688,58 -957,64 0,77 -3,33 12,77 -1265,69136 -29025,69 190,77 826,02 2,2 1861,14 419137 -44355,84 -348,23 56,22 -6,09 73,92 -207,65138 -45606,13 -65,95 -66,83 11,98 -95,81 195,64139 -28568,4 46,16 -66,09 -4 -98,68 347,98140 -27415,07 -460,5 70,86 5,66 109,38 -377,12141 -283,31 -655,66 -0,22 16,96 0,97 -953,05142 38725,19 -143,69 137,08 2,17 363,12 -48,08143 272,59 -655,32 0,07876 18,04 3,53 -946,55144 37658,76 -121,05 -141,21 -1,24 -375,3 13,02145 -730,38 -954,59 2,1 -3,66 17,99 -1262,31146 -35720,9 169,3 -805,49 -0,29 -1830,32 365,34147 749,62 -955,95 2,82 -3,66 24,16 -1252,58148 -34789,5 218,85 826,84 -4,24 1873,71 476,85149 -24065,12 -397,32 90,76 -16,93 146,16 -313,6150 -24671,26 -35,76 -84,96 101,18 -105,19 215,86151 -53241,15 21,02 -37,83 54,01 -75,58 331,29152 -51419,85 -443,99 22,26 35,17 8,61 -340,7153 -239,35 -656,49 0,89 18,19 8,01 -967,22154 45673,67 -137,45 115,71 11,55 284,47 -36,37155 207,41 -649,39 -1,22 18,3 -5,41 -903,9156 44564,04 -118,29 -136,11 -2,78 -356,72 11,12157 -657,03 -986,8 1,99 -1,85 -6,9 -1480,45158 -40084,05 -228,79 -626,21 -17,23 -1347,99 -508,73159 0 -986,81 2,59 -2,87 15,69 -1415,98160 -39620,08 -264,35 842,03 13,25 1833,72 -584,94161 -2656,45 -656,72 -0,48 18,06 -3,45 -910,55162 -2297,56 -652,01 1,85 -20,86 9,68 -896,46163 -2656,45 -656,72 0,48 -18,06 3,45 -910,55164 -9254,03 -163,76 167,27 -2,87 441,78 -81,85165 -1998,96 -190,83 -170,83 1,33 -458,71 -167,8166 -9254,03 -163,76 -167,27 2,87 -441,78 -81,85167 1356,74 -650,09 0,46 16,62 2,59 -894,95168 1193,36 -651,99 -0,73 -19,25 -3,69 -903,67169 1356,74 -650,09 -0,46 -16,62 -2,59 -894,95170 -9092,96 -161,01 -149,03 10,17 -380,68 -70,13171 -1930,88 -190,55 166,76 -1,07 447,98 -170,39172 -9092,96 -161,01 149,03 -10,17 380,68 -70,13


47

IV-4-2 Moments extérieurs appliqués sur la structure (cas2): Dans ce cas on change la direction des charges appliquées aux nœuds 27 et 31. (Figure IV-4)

Figure IV-4 : Moment extérieur appliqué sur la structure (cas2)


48

Pour le cas de l’aile de l’avion, on change la direction de la charge appliqué au nœud 55. (Figure IV-5)

Figure IV-5 : Moment extérieur appliqué sur la structure dans le cas d’une aile d’avion.


49

Les déplacements de la structure AA sont dans le tableau :

Tableau IV-4 : déplacements des nœuds de la structure AA (cas 2).

TABLE: Joint DisplacementsJoint u1 u2 u3 R1 R2 R3Text m m m Radians Radians Radians

1 0,000249 -0,000006651 -0,000037 -0,000099 0,00009 0,0000081042 0 0 0 -0,000129 0,000092 -0,0000038633 0,000242 -0,000007994 -0,000037 0,000143 0,000093 -0,000014 0 0 0 0,000173 0,000097 -8,448E-075 0,000234 -0,000009315 -0,000337 -0,000144 0,000089 0,0000028686 -0,000031 -0,000009639 -0,000305 -0,000153 0,000082 0,0000028147 0,000228 -0,000011 -0,00033 0,000151 0,000095 -0,0000053248 -0,00003 -0,000008113 -0,000298 0,000157 0,000088 -0,0000081659 0,000208 -0,000016 -0,00062 -0,00015 0,000081 0,00000286310 -0,000048 -0,000014 -0,000593 -0,000152 0,000077 0,00000402811 0,000202 -0,000017 -0,000605 0,000153 0,000087 -0,0000074212 -0,000046 -0,000013 -0,000578 0,000154 0,000083 -0,0000057413 0,000171 -0,000025 -0,000869 -0,00015 0,00007 0,00000208614 -0,000052 -0,000015 -0,000848 -0,00015 0,000065 0,0000045515 0,000166 -0,000026 -0,000847 0,000156 0,000076 -0,00000809616 -0,00005 -0,000014 -0,000826 0,000155 0,000071 -0,00000489217 0,000126 -0,000036 -0,001073 -0,000151 0,000052 0,0000010418 -0,000046 -0,000014 -0,001057 -0,000149 0,000049 0,00000718119 0,000123 -0,000038 -0,001044 0,000161 0,000059 -0,00000789320 -0,000045 -0,000013 -0,001028 0,000156 0,000056 -0,00000578521 0,000076 -0,00005 -0,001213 -0,000186 0,000035 0,00000515222 -0,000033 -0,00001 -0,00121 -0,000163 0,000034 -9,948E-0723 0,000074 -0,000047 -0,001179 0,000169 0,000038 -0,00000743524 -0,000032 -0,000011 -0,001175 0,000146 0,000036 0,00000148625 0,000026 -0,000051 -0,001265 -0,000174 0,000007208 -0,0000012326 -0,000011 -0,000009488 -0,00127 -0,000168 0,000008874 5,466E-0727 0,000025 -0,000044 -0,001229 0,000186 0,000005979 0,00000137928 -0,000011 -0,000012 -0,001234 0,00018 0,000007664 -1,281E-0729 -0,000026 -0,000051 -0,001265 -0,000174 -0,000007208 0,0000012330 0,000011 -0,000009488 -0,00127 -0,000168 -0,000008874 -5,466E-0731 -0,000025 -0,000044 -0,001229 0,000186 -0,000005979 -0,00000137932 0,000011 -0,000012 -0,001234 0,00018 -0,000007664 1,281E-0733 -0,000076 -0,00005 -0,001213 -0,000186 -0,000035 -0,00000515234 0,000033 -0,00001 -0,00121 -0,000163 -0,000034 9,948E-0735 -0,000074 -0,000047 -0,001179 0,000169 -0,000038 0,00000743536 0,000032 -0,000011 -0,001175 0,000146 -0,000036 -0,00000148637 -0,000126 -0,000036 -0,001073 -0,000151 -0,000052 -0,0000010438 0,000046 -0,000014 -0,001057 -0,000149 -0,000049 -0,000007181


50

39 -0,000123 -0,000038 -0,001044 0,000161 -0,000059 0,00000789340 0,000045 -0,000013 -0,001028 0,000156 -0,000056 0,00000578541 -0,000171 -0,000025 -0,000869 -0,00015 -0,00007 -0,00000208642 0,000052 -0,000015 -0,000848 -0,00015 -0,000065 -0,0000045543 -0,000166 -0,000026 -0,000847 0,000156 -0,000076 0,00000809644 0,00005 -0,000014 -0,000826 0,000155 -0,000071 0,00000489245 -0,000208 -0,000016 -0,00062 -0,00015 -0,000081 -0,00000286346 0,000048 -0,000014 -0,000593 -0,000152 -0,000077 -0,00000402847 -0,000202 -0,000017 -0,000605 0,000153 -0,000087 0,0000074248 0,000046 -0,000013 -0,000578 0,000154 -0,000083 0,0000057449 -0,000234 -0,000009315 -0,000337 -0,000144 -0,000089 -0,00000286850 0,000031 -0,000009639 -0,000305 -0,000153 -0,000082 -0,00000281451 0,00003 -0,000008113 -0,000298 0,000157 -0,000088 0,00000816552 -0,000228 -0,000011 -0,00033 0,000151 -0,000095 0,00000532453 -0,000249 -0,000006651 -0,000037 -0,000099 -0,00009 -0,00000810454 0 0 0 -0,000129 -0,000092 0,00000386355 -0,000242 -0,000007994 -0,000037 0,000143 -0,000093 0,0000156 0 0 0 0,000173 -0,000097 8,448E-07

Et les réactions aux appuis sont dans le tableau :

Tableau IV-5 : réaction en base de la structure AA (cas 2).

TABLE: Joint ReactionsJoint F1 F2 F3 M1 M2 M3Text N N N N-m N-m N-m2 53111,51 662,7 42309,54 0 0 04 51612,12 -662,7 42509,9 0 0 054 -53111,51 662,7 42309,54 0 0 056 -51612,12 -662,7 42509,9 0 0 0


51

Le tableau IV-6 représente les forces axiales supportées par les éléments dans le 2ème cas :

Tableau IV-6 : forces axiales de la structure AA (cas2).

TABLE: Element Forces - FramesFrame P1 P2 P3 M1 M2 M31 -655,35 -929,66 -1,99 2,16 -26,81 -1194,682 -40748,35 -227,97 -624,76 17 -1466,63 -518,923 0 -929,62 -2,58 3,19 -10,15 -1129,934 -40481,25 -264,38 843,87 -13,48 1959,68 -604,725 -24062,72 -152,5 -90,77 16,89 -114,29 37,746 -24545,54 -512,42 84,97 -100,99 138,61 -467,867 -52883,29 -569,36 37,67 -53,91 32,76 -515,738 -51409,58 -105,81 -22,41 -35,3 -55,5 144,69 -243,25 -656,77 -0,89 -18,05 -8,01 -968,5510 44876,52 -222,86 -115,49 -11,59 -332,43 -264,2111 211,17 -649,66 1,22 -18,17 5,38 -905,1812 43996,59 -242,21 136,35 2,71 370,39 -319,5713 -725,24 -954,99 -2,08 4,01 -17,9 -1264,3214 -34663,83 168,18 -804,26 0,07498 -1791,64 394,0115 744,56 -956,37 -2,84 4,02 -24,25 -1254,6916 -33924,87 218,76 827,91 4,04 1849,51 507,7717 -44349,55 -201,54 -56,21 6,05 -87,34 2,8618 -45356,02 -482,54 66,83 -12 95,91 -402,1919 -28335,45 -594,64 65,93 3,97 90,74 -571,5920 -27407,94 -89,27 -71,02 -5,72 -94,18 155,6221 -289,94 -655,81 0,22 -16,84 -0,96 -953,7422 37929,05 -216,56 -136,92 -2,24 -368,05 -242,5323 279,24 -655,48 -0,0861 -17,91 -3,57 -947,324 37089,9 -239,44 141,33 1,17 378,73 -302,9325 -668,81 -957,68 -3,17 3,7 -25,25 -1269,0626 -28888,95 143,39 -816,16 -1,66 -1833 332,7827 681,46 -957,84 -0,78 3,68 -12,86 -1266,7428 -28160,2 190,66 826,46 -2,39 1856,96 439,2329 -60901,09 -228,68 -60,7 5,35 -89,27 -21,3730 -62463 -450,25 74,93 -0,13 110,01 -339,531 -7535,6 -547,62 62,71 4,29 88,33 -477,8532 -7151,83 -131,74 -64,68 0,9 -90,12 118,6333 -306,59 -655 0,11 -16,12 -1,87 -947,1134 31079,14 -207,03 -139,45 -0,6 -371,57 -211,0635 291,28 -655,68 0,004488 -16,11 -2,61 -950,0136 30218,44 -229,12 141,41 -0,58 378,75 -270,0837 -667,15 -957,11 -3,86 3,67 -28,64 -1263,5638 -23101,21 113,97 -820,55 -3,5 -1846,91 267,4539 687,98 -957,28 -0,008139 3,73 -8,68 -1265,57


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40 -22365,81 160,38 824,59 -4,55 1856,82 371,6541 -73716,55 -257,74 -52,47 11,55 -74,66 -46,2542 -75835,15 -428,62 74,26 -3,44 109,9 -286,0243 9545,82 -517,36 70,65 2,23 92,99 -418,8744 9368,23 -167,21 -77,32 1,56 -113,8 79,6645 -318,35 -654,94 0,11 -15,01 -1,75 -943,246 24195,3 -198,14 -140,68 -1,68 -373,51 -181,5647 302,26 -655,29 0,23 -15,09 -1,91 -947,5648 23344,46 -221,01 140,18 -0,92 374,7 -244,0749 -656,58 -955,62 -4,19 4,6 -29,13 -1248,8750 -17329,83 77,66 -837,79 -8,73 -1890,88 182,2351 641,06 -957,04 0,93 4,4 -7,2 -1264,6952 -16562,14 130,11 824,86 -3 1866,55 300,9853 -82791,53 -299,48 -60,09 17,42 -84,77 -85,3854 -85515,32 -360,02 103,68 -77,43 135,67 -187,1955 22883,59 -458,26 23,79 -32,23 60,2 -337,8656 22156,11 -195,02 -36,88 -22,44 -29,74 56,6957 -310,24 -665,09 0,96 -17,31 1,63 -970,5858 17401,01 -192,08 -154,27 -2,12 -417,11 -168,5759 295,32 -659,87 -1,35 -16,09 -8,23 -961,8360 16459,29 -209,6 137,31 -7,58 362,5 -209,261 1602,4 -973,69 -1,51 2,06 -19,06 -1293,4162 -3348,8 63,36 -991,62 8,73 -2278,26 143,8763 -296,67 -973,62 0,39 1,54 4,22 -1342,8964 -3067,07 86,06 805,8 -12,68 1860,07 196,8865 -82532,38 -339,88 -50,97 38,35 -45,04 -105,6366 -85171,8 -230,42 32,28 26,95 66,68 34,7867 36924,92 -267,68 -5,68 -10,62 -13,07 -26,9768 35638,78 -299,09 14,26 75,98 15,32 -58,4869 -2675,99 -656,92 0,06 -15,72 -1,28 -929,7370 150,88 -186,44 -174,24 6,47 -458,47 -144,0871 1391,56 -663,59 -0,27 -14,46 -1,17 -983,5472 429,02 -190,87 155,15 -0,12 420,63 -150,2473 3427,16 -954,89 -0,003319 -0,79 2,37 -1193,974 5008,22 1,72 -974,17 -2,52 -2179,07 -0,175 -1154,84 -954,87 0,27 -0,77 0,72 -1207,2676 4767,69 7,9 948,72 2,14 2121,96 13,7477 -86175,21 -274,92 2,558E-13 -2,842E-13 -8,79 -86,6478 -88810,38 -274,92 4,832E-13 1,705E-13 -7,84 -77,4379 38430,37 -274,91 -1,492E-13 3,979E-13 3,49 -64,9180 37265,58 -274,91 -1,563E-13 -1,478E-12 0,82 -73,9981 -2289,46 -651,79 -1,85 20,88 -9,64 -895,3482 -1957,71 -190,79 171,06 -1,32 459,35 -167,9383 1188,78 -651,77 0,73 19,27 3,67 -902,5484 -1930,43 -190,55 -166,52 1,08 -447,35 -170,3985 3427,16 -954,89 0,003319 0,79 -2,37 -1193,9


53

86 5008,22 -1,72 -974,17 2,52 -2179,07 0,187 -1154,84 -954,87 -0,27 0,77 -0,72 -1207,2688 4767,69 -7,9 948,72 -2,14 2121,96 -13,7489 -82532,39 -209,96 50,97 -38,35 101,25 80,8190 -85171,79 -319,42 -32,28 -26,95 -25,98 -92,9491 36924,93 -282,15 5,68 10,62 3,24 -47,7492 35638,77 -250,74 -14,26 -75,98 -25,62 10,9293 -2675,99 -656,92 -0,06 15,72 1,28 -929,7394 716,07 -174,05 174,24 -6,47 471,5 -111,0195 1391,56 -663,59 0,27 14,46 1,17 -983,5496 994,22 -169,61 -155,15 0,12 -407,44 -93,5397 1602,4 -973,69 1,51 -2,06 19,06 -1293,4198 -4210,9 63,38 -991,61 -8,73 -2184,02 141,2999 -296,67 -973,62 -0,39 -1,54 -4,22 -1342,89100 -3929,18 86,08 805,81 12,68 1766,07 190,44101 -82791,55 -250,36 60,09 -17,42 87,69 -14,9102 -85515,29 -189,83 -103,68 77,43 -161,9 57,03103 22883,62 -91,57 -23,79 32,23 -8,07 188,34104 22156,08 -354,81 36,88 22,44 76,11 -172,6105 -310,24 -665,09 -0,96 17,31 -1,63 -970,58106 17966,2 -168,42 154,27 2,12 406,25 -105,42107 295,32 -659,87 1,35 16,09 8,23 -961,83108 17024,48 -150,89 -137,31 7,58 -370,35 -52,54109 -656,58 -955,62 4,19 -4,6 29,13 -1248,87110 -18191,94 77,69 -837,78 8,73 -1879,17 167,31111 641,06 -957,04 -0,93 -4,4 7,2 -1264,69112 -17424,25 130,14 824,86 3 1845,33 284,59113 -73716,59 -292,1 52,47 -11,55 75,95 -95,56114 -75835,11 -121,22 -74,26 3,44 -103,23 155,1115 9545,86 -32,47 -70,65 -2,23 -109,77 276,95116 9368,19 -382,62 77,32 -1,56 108,11 -229,45117 -318,35 -654,94 -0,11 15,01 1,75 -943,2118 24760,48 -162,36 140,68 1,68 377,37 -86,09119 302,26 -655,29 -0,23 15,09 1,91 -947,56120 23909,64 -139,49 -140,18 0,92 -373,49 -26,51121 -667,15 -957,11 3,86 -3,67 28,64 -1263,56122 -23963,32 114,01 -820,55 3,5 -1845,57 245,5123 687,98 -957,28 0,008139 -3,73 8,68 -1265,57124 -23227,92 160,42 824,59 4,55 1853,84 350,16125 -60901,13 -321,16 60,7 -5,35 84,95 -154,06126 -62462,95 -99,59 -74,93 0,13 -105,05 163,71127 -7535,55 -2,21 -62,71 -4,29 -91,66 304,82128 -7151,88 -418,1 64,68 -0,9 95,52 -292,3129 -306,59 -655 -0,11 16,12 1,87 -947,11130 31644,31 -153,47 139,45 0,6 372,71 -68,14131 291,28 -655,68 -0,004488 16,11 2,61 -950,01


54

132 30783,61 -131,38 -141,41 0,58 -375,98 -9,24133 -668,81 -957,68 3,17 -3,7 25,25 -1269,06134 -29751,06 143,44 -816,16 1,66 -1839,73 312,59135 681,46 -957,84 0,78 -3,68 12,86 -1266,74136 -29022,31 190,71 826,46 2,39 1862,11 418,86137 -44349,61 -348,29 56,21 -6,05 73,98 -207,73138 -45355,96 -67,3 -66,83 12 -95,89 193,68139 -28335,39 44,8 -65,93 -3,97 -98,47 346,02140 -27407,99 -460,56 71,02 5,72 109,65 -377,19141 -289,94 -655,81 -0,22 16,84 0,96 -953,74142 38494,22 -143,95 136,92 2,24 362,74 -48,77143 279,24 -655,48 0,0861 17,91 3,57 -947,3144 37655,07 -121,07 -141,33 -1,17 -375,6 12,97145 -725,24 -954,99 2,08 -4,01 17,9 -1264,32146 -35525,95 168,23 -804,26 -0,07498 -1827,54 362,94147 744,56 -956,37 2,84 -4,02 24,25 -1254,69148 -34786,99 218,81 827,91 -4,04 1876,13 476,75149 -24062,78 -397,34 90,77 -16,89 146,24 -313,61150 -24545,48 -37,42 -84,97 100,99 -105,24 213,76151 -52883,23 19,52 -37,67 53,91 -75,35 329,31152 -51409,63 -444,03 22,41 35,3 8,82 -340,74153 -243,25 -656,77 0,89 18,05 8,01 -968,55154 45441,69 -137,65 115,49 11,59 283,96 -36,81155 211,17 -649,66 -1,22 18,17 -5,38 -905,18156 44561,76 -118,3 -136,35 -2,71 -357,32 11,1157 -655,35 -986,13 1,99 -2,16 -6,94 -1477158 -39886,23 -227,92 -624,76 -17 -1344,8 -506,83159 0 -986,17 2,58 -3,19 15,68 -1412,71160 -39619,13 -264,33 843,87 13,48 1837,76 -584,9161 -2644,9 -656,53 -0,47 18,13 -3,4 -909,58162 -2289,46 -651,79 1,85 -20,88 9,64 -895,34163 -2644,9 -656,53 0,47 -18,13 3,4 -909,58164 -9088,72 -163,89 167,48 -2,89 442,34 -82,5165 -1957,71 -190,79 -171,06 1,32 -459,35 -167,93166 -9088,72 -163,89 -167,48 2,89 -442,34 -82,5167 1349,53 -649,89 0,45 16,69 2,56 -893,96168 1188,78 -651,77 -0,73 -19,27 -3,67 -902,54169 1349,53 -649,89 -0,45 -16,69 -2,56 -893,96170 -9091,13 -161,02 -148,83 10,14 -380,16 -70,18171 -1930,43 -190,55 166,52 -1,08 447,35 -170,39172 -9091,13 -161,02 148,83 -10,14 380,16 -70,18


55

IV-5 Discussion des résultats :

Les graphes suivants nous donne une comparaison entre les déplacements trouvés avec SAP2000 et celles trouvées avec le programme MATLAB, pour la structure AA dans le premiers cas:

Figure IV-6 : déplacements de la structure AA suivant l’axe X (cas1)

Figure IV-7 : déplacements de la structure AA suivant l’axe Y (cas1)

Déplacement U1 (m)

Déplacement U2 (m)


56

Figure IV-8 : déplacements de la structure AA suivant l’axe Z (cas1)

Déplacement U3 (m)


57

Pour un meilleur jugement sur la validité du programme MATLAB, le calcul de l’écart relatif est impératif :

Ce calcul est résumé pour chaque nœud dans le tableau IV-7.

Tableau IV-7 : écart relatif des déplacements de la structure AA (cas 1).

TABLE: Joint Displacements TABLE: Joint Displacements

Joint Δ u1 Δ u2 Δ u3 Joint Δ u1 Δ u2 Δ u3

Text % % % Text % % %

1 0,20306025 0,142219930,111782

21 290,1579372

8 0,142293510,1110083

8

2 0 0 0 300,1117427

6 0,090909090,1423229

3

3 0,13410167 0,157540020,234009

96 310,1665624

9 0,166666670,1175868

5

4 0 0 0 320,1579301

9 0,14280816 0,1091695

5 0,12880603 0,141778240,117589

96 330,1422714

4 0,129367310,1428514

4

6 0,17059941 0,150887320,166566

65 340,1286010

6 0,150800790,1893973

2

7 0,21009811 0,155548050,126239

21 350,1422346

5 0,142352360,2034918

9

8 0,15645271 0,128768080,137090

44 360,1423155

8 0,15139172 0,1744066

9 0,11078546 0,141925520,129579

5 370,1295037

3 0,090909090,2340504

4

10 0,12880603 0,156758580,143087

29 380,1287225

3 0,142293510,2366144

2

11 0,11704457 0,128768080,111461

79 390,1366359

9 0,134573780,2376014

9

12 0,13675524 0,151463730,174576

97 400,1341166

7 0,148791280,2036948

6

13 0,15149252 0,142219930,134101

67 41 0,1887068 0,14224937 0,1345588

14 0,16375374 0,158815610,144992

22 420,1908075

7 0,158744850,1422883

6

15 0,15645271 0,151751630,136775

36 430,1288105

8 0,129450680,2439472

3

16 0,14223465 0,170675070,109256

78 440,2030602

5 0,172794880,2453667

4

17 0,13359903 0,15817830,197348

04 450,1707988

5 0,178307310,1341016

7

18 0,19126567 0,13547160,268246

28 460,1743725

2 0,126538380,1423523

6


58

19 0,1991992 0,179588150,174604

22 470,1286010

6 0,134064180,1773379

6

20 0,12478776 0,151391720,142278

79 480,1371127

8 0,144992220,1772797

6

21 0,13410167 0,142286150,166351

96 490,1374625

9 0,151391720,1123656

3

22 0,14227144 0,134049190,148501

36 500,1341061

7 0,233716480,2496199

3

23 0,16565154 0,149153410,142843

43 510,1117822

1 0,20534011 0,1772845

24 0,14879128 0,159239950,134101

67 520,1727606

6 0,134101670,1428742

9

25 0,13660617 0,129299090,166374

9 530,2340099

6 0,134101670,1423567

7

26 0,11004316 0,142271440,129488

57 54 0 0 0

27 0,12948857 0,134101670,117051

59 550,1175899

6 0,158617440,1171217

5

28 0,1109412 0,149515220,129564

35 56 0 0 0

Pour les forces axiales, on regroupe dans le tableau IV-8 les valeurs maximales des forces axiales pour les différentes conditions aux limites dans le 1ier cas :

Tableau IV-8 : forces axiales maximales pour les différentes conditions aux limites (cas 1).

F1 (N) F2 (N) F3 (N) M1 (N.m) M2 (N.m) M3 (N.m)AA 89529,4(78) 3444,19(85) 40946,17(2) -2275,77(62) 604,77(4) 251,71(94)EA 86216,64(7) 2055,59(85) 46434,81(10) 2181,69(76) -1097,46(6) 248,73(94)

EE 52322,07(7) 1296,99(167) 38182,14(154) -2228,54(62) -892,1(6) -246,76(70)

EL 356340,04(8) 5506,47(73) 79848,05(12) 2405,94(76) -1948,72(6) -267,2(84)


59

Pour le deuxième cas :

Figure IV-9 : déplacements de la structure AA suivant l’axe X (cas2)

Figure IV-10 : déplacements de la structure AA suivant l’axe Y (cas2)

Déplacement U1 (m)

Déplacement U2 (m)


60

Figure IV-11 : déplacements de la structure AA suivant l’axe Z (cas2)

Déplacement U3 (m)


61

L’écart relatif dans le cas du chargement par moment les calculs nous ont donné :

Tableau IV-9 : écart relatif des déplacements de la structure AA (cas 2).

TABLE: Joint DisplacementsJoint Δu1 Δu2 Δu3 ΔR1 ΔR2 ΔR3Text % % % % % %

1 0,09502262 0,10554562 0,11253106 0,14302854 0,099991 0,200831142 0 0 0 0,11000356 0,16373976 0,111742763 0,10313901 0,15682968 0,11754324 0,11754324 0,09321727 0,120415164 0 0 0 0,1656237 0,13599447 0,245738425 0,14893617 0,11894273 0,15675858 0,14951522 0,30400891 0,124726486 0,15540541 0,16317992 0,15067097 0,1091314 0,31422301 0,298639367 0,17012448 0,14383562 0,11785462 0,12960223 0,12617966 0,248402868 0,16317992 0,15611814 0,11410347 0,15860328 0,09763581 0,204201819 0,12663755 0,14383562 0,13524732 0,11087401 0,11676382 0,1945227510 0,14236707 0,16527546 0,1492258 0,1492258 0,12869217 0,1292990911 0,15860328 0,1416309 0,13644214 0,14221993 0,11762111 0,1803950512 0,14456801 0,15824916 0,13718723 0,13674033 0,13793103 0,1117427613 0,14089347 0,14886373 0,14251415 0,14273468 0,08991627 0,2006394914 0,15540541 0,14177824 0,1087344 0,099991 0,16666667 0,252000915 0,14236707 0,15633173 0,12854031 0,09132213 0,18133442 0,1088932516 0,15754002 0,13404919 0,11190053 0,13674033 0,24573842 0,1578947417 0,14456801 0,15067097 0,14185188 0,14493373 0,30767101 0,1665972218 0,1226531 0,16555407 0,1656237 0,1663193 0,19730294 0,2030602519 0,1416309 0,13404919 0,14864635 0,11754324 0,23224568 0,1485738620 0,15611814 0,12960223 0,10080029 0,15433404 0,13696384 0,2678283821 0,14302854 0,14420197 0,12157414 0,14879128 0,30767101 0,2886612622 0,12891986 0,13711278 0,13397419 0,14273468 0,18420623 0,1365912623 0,15397631 0,12929909 0,10458453 0,12876808 0,24528302 0,326916624 0,15067097 0,14515302 0,13778238 0,13978495 0,332666 0,285765325 0,33110368 0,15888637 0,11730956 0,11909796 0,17252793 0,2012141526 0,16666667 0,15139172 0,11039943 0,15576192 0,26605505 0,2298806327 0,16247906 0,16345993 0,12033779 0,11785462 0,10378204 0,1347235428 0,15038233 0,12816042 0,157185 0,14280816 0,09264132 0,2461932829 0,14821124 0,11940824 0,12854031 0,09090909 0,29681457 0,1371127830 0,16036944 0,1564029 0,14471433 0,16527546 0,24528302 0,2299755131 0,13644214 0,15469146 0,12679008 0,11808801 0,17661589 0,119563332 0,15754002 0,16282964 0,09403878 0,13479841 0,11473088 0,212288333 0,14821124 0,14879128 0,10225334 0,15002125 0,22408442 0,29996534 0,14456801 0,14221993 0,15796564 0,11386797 0,11174276 0,1422199335 0,14821124 0,12041516 0,11386797 0,10096197 0,09321727 0,1285403136 0,15540541 0,13644214 0,12929909 0,12854031 0,28825623 0,2456246237 0,16036944 0,14310197 0,14140981 0,10825754 0,2463637 0,1115849338 0,15732704 0,12929909 0,1008973 0,13659126 0,21734366 0,31299808


62

39 0,1507431 0,15832001 0,10809847 0,11738747 0,14221993 0,2299399440 0,15839084 0,16492693 0,1564029 0,16478744 0,13479841 0,1767514641 0,16555407 0,14850136 0,14221993 0,14273468 0,19743178 0,1118216542 0,17965546 0,16618027 0,16666667 0,09280595 0,09090909 0,2896213743 0,11660777 0,09090909 0,14493373 0,12854031 0,11166385 0,2099857844 0,1158267 0,12854031 0,10889325 0,15824916 0,2439135 0,3849181945 0,15754002 0,17523733 0,18180331 0,14019174 0,20741856 0,2986393646 0,15397631 0,13346389 0,14339558 0,15647406 0,31921846 0,1359944747 0,15824916 0,14192552 0,13422162 0,1658325 0,15675858 0,2436847748 0,13718723 0,14177824 0,11754324 0,14857386 0,13449887 0,2936855549 0,16317992 0,099991 0,15590445 0,12249912 0,12929909 0,2012141550 0,14893617 0,11723164 0,14229351 0,15067097 0,18180331 0,1586032851 0,13569576 0,13978495 0,12041516 0,09297052 0,17450883 0,1485738652 0,13269731 0,10936943 0,15203935 0,14288163 0,24357035 0,2462500953 0,14383562 0,12831241 0,11071587 0,099991 0,13404919 0,1365912654 0 0 0 0,12041516 0,17430435 0,1666666755 0,15682968 0,10809847 0,15881561 0,10506533 0,13359903 0,2461364556 0 0 0 0,15881561 0,22988063 0,29183486

Les autres écarts relatif pour les autres conditions aux limites sont résumés dans l’annexe A.

Tableau IV-10 : forces axiales maximales pour les différentes conditions aux limites (cas 2).

F1 (N) F2 (N) F3 (N) M1 (N.m) M2 (N.m) M3 (N.m)AA 88810,38(78) 3427,17(85) 40748,36(2) -2278,26(62) 604,77(4) 252(94)EA 85660,26(7) 2044,03(85) 46186,12(10) -2250,78(98) -1092,14(6) 249,1(94)

EE 51975,25(7) 1289,93(167) 37991,02(154) -2231,65(62) 888,18(150) 247,11(94)EL 355799,95(8) 5493,11(73) 79806,52(12) 2402,67(76) -1944,75(6) 266,4(84)


63

Pour la structure EA on obtient :

Le premier cas :

Figure IV-12 : Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe X (cas1).

Figure IV-13 : Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe Y (cas1).


64

Figure IV-14: Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe Z (cas1).

Pour le deuxième cas :

Figure IV-15: Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe X (cas2).


65

Figure IV-16: Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe Y (cas2).

Figure IV-17: Comparaison des déplacements de la structure EA suivant l’axe Z (cas2).


66

La structure EE, le premier cas :

Figure IV-18: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe X (cas1)

Figure IV-19: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe Y (cas1)


67

Figure IV-20: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe Z (cas1)

Le deuxième cas :

Figure IV-21: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe X (cas2)


68

Figure IV-22: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe Y (cas2)

Figure IV-23: Comparaison des déplacements de la structure EE suivant l’axe Z (cas2)


69

Et pour la structure EL, premier cas :

Figure IV-24 : Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe X (cas1)

Figure IV-25: Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe Y (cas1)


70

Figure IV-26: Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe Z (cas1)

Le deuxième cas :

Figure IV-27: Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe X (cas2)


71

Figure IV-28: Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe Y (cas2)

Figure IV-29: Comparaison des déplacements de la structure EL suivant l’axe Z (cas2)


72

IV-6 Conclusion :

On peut remarquer que les graphes des déplacements de la structure dans les deux cas ont la même forme, mais dans le deuxième cas on a l’apparition des rotations R à cause du moment imposé à la structure.

Le décalage apparu entre les déplacements calculés par SAP2000 et ceux calculés par notre programme MATLAB, sont dus a l’erreur en plus de l’amortissement qui n’est pas pris en considération lors de la programmation.

On peut voir aussi que les résultats obtenus avec le SAP2000 et celles avec le programme MATLAB coïncident, avec un écart relatif qui ne dépasse pas les 0,26% dans le premier cas et 0,38 % dans le deuxième cas, et en sachant que l’écart relatif maximal toléré et de 5%, notre programme est validé.

Les déplacements les plus grands, sont ceux suivant l’axe Z (U3), et ils sont situés au milieu de la structure (nœuds : 30, 26, 29 et 25) se qui explique le renforcement de la structure par des barres croisées à ce niveau.

Pour les forces axiales on peut voir à partir des tableaux IV-6 et IV-8 qu’elles sontplus grandes dans le cas AA, cela veut dire que pour les autres conditions aux limites le problème de sécurité ne se pose pas, dans le cas où le chargement est pareil, par contre si la structure dans le cas AA est soumise à des chargement plus importants qui font qu’elle dépasse la marge de sécurité, on peut jouer sur les conditions aux limites pour résoudre ce problème.


73

V- Analyse dynamique de la structure discrète en treillis :Dans ce chapitre on va attaquer l’analyse dynamique de la structure tridimensionnelle qui peut être menée selon les deux parties :

analyse d’un problème aux valeurs propres (vibration libre)

analyse dynamique directe (chargement de la structure par des forces harmoniques) [12]

Cette analyse se fait en utilisant le logiciel informatique SAP2000, pour les différentes conditions aux limites vu au chapitre précédent :

appui simple/ appui simple : AA

appui simple/ encastrée : EA

encastrée/ encastrée : EE

encastrée/ extrémité libre : EL (cas spécial).

V-1 Analyse aux valeurs propres (vibration libre) :

Le but de cette analyse est la détermination des fréquences propres de la structure (vibration libre), dans les différentes conditions aux limites.

Dans le cas où la structure est sur des appuis simple sur les deux cotés (AA), l’analyse avec le SAP2000, des quatre premiers modes vibratoires vu qu’ils dominent le comportement de la réponse dynamique, nous donne les résultats suivant :

Tableau V-1 : périodes et fréquences propres de la structure AA.

StepNum Period Frequency CircFreqModes Sec Cyc/sec rad/secmode1 0,154577 6,4693 40,648mode2 0,06507 15,368 96,56mode3 0,0618 16,181 101,67mode4 0,049764 20,095 126,26


74

Tableau V-2 : déplacements des nœuds de la structure AA (vibration libre).

StepType u1 u2 u3 R1 R2 R3JointModes m m m Radians Radians Radians

Mode1 0,000218 -0,010864 -0,000035 0,001689 0,000079 0,000079Mode2 -0,002395 0,000077 0,000292 -0,000011 -0,000732 -0,00007Mode3 -0,001518 0,002005 0,000181 -0,000316 -0,000444 -0,00038

1

Mode4 -0,001488 0,016993 -0,000151 -0,002595 -0,000207 -0,000444Mode1 0 0 0 0,001563 0,000082 -0,00006Mode2 0 0 0 -

0,000009587-0,000775 0,000005615

Mode3 0 0 0 -0,000285 -0,000464 -0,000081

2

Mode4 0 0 0 -0,002434 -0,000185 0,000101Mode1 -0,000209 -0,010866 0,000034 0,001412 -0,000102 0,000082Mode2 -0,001551 0,000077 0,00019 -0,000029 -0,000485 -0,00007Mode3 0,002468 0,001999 -0,000296 -0,000324 0,000729 -0,000389

3

Mode4 0,001714 0,016896 0,000147 -0,002147 0,000296 -0,000507Mode1 0 0 0 0,001277 -0,000114 -0,000103Mode2 0 0 0 -0,000027 -0,000517 -

0,000001169Mode3 0 0 0 -0,000288 0,000765 -0,000132

4

Mode4 0 0 0 -0,001978 0,000289 0,000201Mode1 0,000204 -0,010756 -0,00032 0,001407 0,00006 0,000053Mode2 -0,002274 -0,000131 0,003019 -0,000014 -0,000851 -0,000063Mode3 -0,001443 0,000849 0,001869 -0,000296 -0,000506 -0,000382

5

Mode4 -0,001547 0,015574 0,000034 -0,001968 -0,000048 -0,000574Mode1 -0,000053 -0,000268 -0,00029 0,001399 0,000061 -0,000065Mode2 0,000285 0,000037 0,002737 -0,000014 -0,000851 0,000007154Mode3 0,000143 -0,000266 0,001695 -0,000294 -0,000507 -0,000099

6

Mode4 -0,000343 0,000502 0,000191 -0,002013 -0,000055 0,000082Mode1 -0,000197 -0,010762 0,000306 0,001376 -0,0001 0,000051Mode2 -0,001472 -0,000132 0,001965 -0,000038 -0,000562 -0,000062Mode3 0,002343 0,000827 -0,003069 -0,000411 0,000843 -0,000383

7

Mode4 0,001751 0,015217 -0,000176 -0,001853 0,000154 -0,000651Mode1 0,000047 -0,000402 0,000277 0,001366 -0,000099 -0,000077Mode2 0,000192 0,000011 0,001782 -0,000039 -0,000561 0,000003482Mode3 -0,000262 -0,000442 -0,002783 -0,000407 0,000846 -0,000125

8

Mode4 0,000374 0,000828 -0,00033 -0,001901 0,000159 0,000115Mode1 0,00018 -0,010667 -0,000596 0,001344 0,00006 0,000049Mode2 -0,002036 -0,000295 0,005722 -0,000031 -0,000803 -0,000045Mode3 -0,001295 -0,000266 0,003527 -0,00037 -0,000479 -0,000344

9

Mode4 -0,001651 0,013406 0,00003 -0,001582 -0,000019 -0,000797Mode1 -0,000081 -0,000647 -0,000571 0,001351 0,000062 -0,000079Mode2 0,000454 0,000043 0,005461 -0,000031 -0,000811 0,000002676Mode3 0,000227 -0,000597 0,003366 -0,000371 -0,000484 -0,000084

10

Mode4 -0,00065 0,00105 0,000195 -0,001662 -0,000022 0,000034


75

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40

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44

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45

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46

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47

Mode4 0,001809 -0,012804 0,000275 0,001472 0,000091 -0,000858Mode1 -0,000071 -0,000757 0,000543 0,001346 0,000095 0,000068Mode2 -0,000305 0,000019 0,003554 -0,000054 0,000536 -

0,000005038Mode3 0,000417 -0,000762 -0,005536 -0,000487 -0,000792 0,00007

48

Mode4 0,00071 -0,001327 0,000438 0,001556 0,000096 0,000006148Mode1 -0,000204 -0,010756 -0,00032 0,001407 -0,00006 -0,000053Mode2 0,002274 -0,000131 0,003019 -0,000014 0,000851 0,000063Mode3 0,001443 0,000849 0,001869 -0,000296 0,000506 0,000382

49

Mode4 -0,001547 -0,015574 -0,000034 0,001968 -0,000048 -0,000574Mode1 0,000053 -0,000268 -0,00029 0,001399 -0,000061 0,000065Mode2 -0,000285 0,000037 0,002737 -0,000014 0,000851 -

0,000007154Mode3 -0,000143 -0,000266 0,001695 -0,000294 0,000507 0,000099

50

Mode4 -0,000343 -0,000502 -0,000191 0,002013 -0,000055 0,000082Mode1 -0,000047 -0,000402 0,000277 0,001366 0,000099 0,000077Mode2 -0,000192 0,000011 0,001782 -0,000039 0,000561 -

0,000003482Mode3 0,000262 -0,000442 -0,002783 -0,000407 -0,000846 0,000125

51

Mode4 0,000374 -0,000828 0,00033 0,001901 0,000159 0,000115Mode1 0,000197 -0,010762 0,000306 0,001376 0,0001 -0,000051Mode2 0,001472 -0,000132 0,001965 -0,000038 0,000562 0,000062Mode3 -0,002343 0,000827 -0,003069 -0,000411 -0,000843 0,000383

52

Mode4 0,001751 -0,015217 0,000176 0,001853 0,000154 -0,000651Mode1 -0,000218 -0,010864 -0,000035 0,001689 -0,000079 -0,00007953Mode2 0,002395 0,000077 0,000292 -0,000011 0,000732 0,00007


79

Mode3 0,001518 0,002005 0,000181 -0,000316 0,000444 0,00038Mode4 -0,001488 -0,016993 0,000151 0,002595 -0,000207 -0,000444Mode1 0 0 0 0,001563 -0,000082 0,00006Mode2 0 0 0 -

0,0000095870,000775 -

0,000005615Mode3 0 0 0 -0,000285 0,000464 0,000081

54

Mode4 0 0 0 0,002434 -0,000185 0,000101Mode1 0,000209 -0,010866 0,000034 0,001412 0,000102 -0,000082Mode2 0,001551 0,000077 0,00019 -0,000029 0,000485 0,00007Mode3 -0,002468 0,001999 -0,000296 -0,000324 -0,000729 0,000389

55

Mode4 0,001714 -0,016896 -0,000147 0,002147 0,000296 -0,000507Mode1 0 0 0 0,001277 0,000114 0,000103Mode2 0 0 0 -0,000027 0,000517 0,000001169Mode3 0 0 0 -0,000288 -0,000765 0,000132

56

Mode4 0 0 0 0,001978 0,000289 0,000201


80

La déformation de la structure dans les quatre premiers modes, pour le cas AA :

Figure V-1 : déformation de la structure AA (mode 1)


81



82



83



84

Pour le structure EA :

Figure V-5 : Déformation de la structure EA (mode 1)


85

Figure V-6 : Déformation de la structure EA (mode 2).


86



87



88

La structure EE :

Figure V-9 : Déformation de la structure EE (mode 1).


89



90



91



92

Et pour la structure EL :

Figure V-13 : Déformation de la structure EL (mode 1).


93



94



95



96

Voici un tableau récapitulatif qui représente les fréquences propres de la structure dans les différentes conditions aux limites :

Tableau V-2 : fréquences propres selon les modes de vibration pour les différentes conditions aux limites

Fréquence propre (rad/sec)mode 1 mode 2 mode 3 mode 4

AA 40,648 96,56 101,67 126,26

AE 73,832 111,34 117,52 132,73

EE 125,14 134 138,64 142,95

EL 34,099 51,695 54,228 91,399

Le tableau précédent peut être présenté sous la forme d’un graphe :

Figure V-5 : Fréquence= f (modes) pour les différents CAL

MODES

Fréquences (Rad/sec)


97

V-2 Analyse dynamique directe (vibration forcée) :

Dans ce cas, on charge la structure par une force sinusoïdale de la forme : F(t)= F0 sin (ωt), qu’on applique de sorte qu’on met la structure dans le cas le plus défavorable (sur l’extrémité libre dans le cas EL, et au milieu dans les autres cas). Pour F0, on choisi une valeur de 200N, et pour la pulsation d’excitation on choisi la valeur de la pulsation propre.

Tableau V-3 : réactions aux appuis de la structure AA

TABLE: Base Reactions

StepType GlobalFX GlobalFY GlobalFZ GlobalMX GlobalMY GlobalMZText N N N N-m N-m N-m

Mode1 -0,00007701 165695,02 1145,96 -789152,92 -21377,85 3091040,54Mode2 -0,12 25599,17 -1,0524E06 -4,1506E06 19632546,23 477550,88Mode3 -0,05893 172002,02 252556,94 6492556,08 -4711449,17 3208696,45Mode4 -6671,23 0,02129 -0,0414 -1,16 200731,9 18801949,96


98

Tableau V-4 : déplacements des nœuds (vibrations forcées).

TABLE: Joint DisplacementsJoint StepType u1 u2 u3 R1 R2 R3Text Text m m m Radians Radians Radians

Mode1 0,000218 -0,010864 -0,000035 0,001689 0,000079 0,000079Mode2 -0,002395 0,000077 0,000292 -0,000011 -0,000732 -0,00007Mode3 -0,001518 0,002005 0,000181 -0,000316 -0,000444 -0,00038

1

Mode4 -0,001488 0,016993 -0,000151 -0,002595 -0,000207 -0,000444Mode1 0 0 0 0,001563 0,000082 -0,00006Mode2 0 0 0 -9,587E-06 -0,000775 5,615E-06Mode3 0 0 0 -0,000285 -0,000464 -0,000081

2

Mode4 0 0 0 -0,002434 -0,000185 0,000101Mode1 -0,000209 -0,010866 0,000034 0,001412 -0,000102 0,000082Mode2 -0,001551 0,000077 0,00019 -0,000029 -0,000485 -0,00007Mode3 0,002468 0,001999 -0,000296 -0,000324 0,000729 -0,000389

3

Mode4 0,001714 0,016896 0,000147 -0,002147 0,000296 -0,000507Mode1 0 0 0 0,001277 -0,000114 -0,000103Mode2 0 0 0 -0,000027 -0,000517 -1,169E-06Mode3 0 0 0 -0,000288 0,000765 -0,000132

4

Mode4 0 0 0 -0,001978 0,000289 0,000201Mode1 0,000204 -0,010756 -0,00032 0,001407 0,00006 0,000053Mode2 -0,002274 -0,000131 0,003019 -0,000014 -0,000851 -0,000063Mode3 -0,001443 0,000849 0,001869 -0,000296 -0,000506 -0,000382

5

Mode4 -0,001547 0,015574 0,000034 -0,001968 -0,000048 -0,000574Mode1 -0,000053 -0,000268 -0,00029 0,001399 0,000061 -0,000065Mode2 0,000285 0,000037 0,002737 -0,000014 -0,000851 7,154E-06Mode3 0,000143 -0,000266 0,001695 -0,000294 -0,000507 -0,000099

6

Mode4 -0,000343 0,000502 0,000191 -0,002013 -0,000055 0,000082Mode1 -0,000197 -0,010762 0,000306 0,001376 -0,0001 0,000051Mode2 -0,001472 -0,000132 0,001965 -0,000038 -0,000562 -0,000062Mode3 0,002343 0,000827 -0,003069 -0,000411 0,000843 -0,000383

7

Mode4 0,001751 0,015217 -0,000176 -0,001853 0,000154 -0,000651Mode1 0,000047 -0,000402 0,000277 0,001366 -0,000099 -0,000077Mode2 0,000192 0,000011 0,001782 -0,000039 -0,000561 3,482E-06Mode3 -0,000262 -0,000442 -0,002783 -0,000407 0,000846 -0,000125

8


9

Mode4 -0,001651 0,013406 0,00003 -0,001582 -0,000019 -0,000797Mode1 -0,000081 -0,000647 -0,000571 0,001351 0,000062 -0,000079Mode2 0,000454 0,000043 0,005461 -0,000031 -0,000811 2,676E-06

10

Mode3 0,000227 -0,000597 0,003366 -0,000371 -0,000484 -0,000084


99

Mode4 -0,00065 0,00105 0,000195 -0,001662 -0,000022 0,000034Mode1 -0,000174 -0,010675 0,000567 0,001341 -0,000093 0,000049Mode2 -0,001316 -0,000296 0,003724 -0,000054 -0,000529 -0,000044Mode3 0,002097 -0,000296 -0,005799 -0,000484 0,000783 -0,000342

11


12

Mode4 0,00071 0,001327 -0,000438 -0,001556 0,000096 6,148E-06Mode1 0,000148 -0,010597 -0,000843 0,001311 0,000051 0,000042Mode2 -0,001693 -0,000405 0,008204 -0,000056 -0,00071 -0,000026Mode3 -0,001079 -0,001266 0,005041 -0,000443 -0,000426 -0,000285

13

Mode4 -0,001778 0,010552 -0,000098 -0,001169 7,307E-06 -0,000958Mode1 -0,000088 -0,000972 -0,000823 0,001318 0,000052 -0,000059Mode2 0,00051 0,00004 0,007976 -0,000054 -0,000723 2,752E-06Mode3 0,000255 -0,000835 0,004902 -0,000445 -0,000434 -0,000045

14

Mode4 -0,000915 0,00129 0,000073 -0,001259 4,538E-06 -0,00007Mode1 -0,000143 -0,010606 0,000798 0,001313 -0,000082 0,000041Mode2 -0,001093 -0,000405 0,005334 -0,000073 -0,000467 -0,000024Mode3 0,001743 -0,001299 -0,008294 -0,000541 0,000681 -0,000282

15


16

Mode4 0,001 0,001516 -0,000367 -0,001132 0,000038 -0,000081Mode1 0,000109 -0,010548 -0,001045 0,001277 0,000032 0,000035Mode2 -0,001261 -0,000454 0,01029 -0,000089 -0,000562 -1,167E-06Mode3 -0,000806 -0,002087 0,006312 -0,000523 -0,000348 -0,000211

17

Mode4 -0,001912 0,007138 -0,000293 -0,000711 0,000011 -0,001153Mode1 -0,000078 -0,001231 -0,00103 0,001288 0,000036 -0,000039Mode2 0,000466 0,000024 0,010109 -0,000084 -0,000593 1,886E-07Mode3 0,000234 -0,000996 0,006201 -0,000516 -0,000365 -0,000014

18

Mode4 -0,001128 0,001252 -0,000121 -0,000807 0,000024 -0,00014Mode1 -0,000106 -0,010555 0,000986 0,001298 -0,000064 0,000032Mode2 -0,000813 -0,000454 0,00668 -0,000093 -0,000366 -7,692E-06Mode3 0,001298 -0,002116 -0,01038 -0,000574 0,000528 -0,000207

19

Mode4 0,001925 0,006192 0,000014 -0,00058 -0,00000757 -0,001088Mode1 0,000066 -0,001295 0,000972 0,001307 -0,000068 -0,000029Mode2 0,000311 8,034E-06 0,006566 -0,000091 -0,000387 5,441E-06Mode3 -0,000431 -0,001109 -0,010202 -0,000574 0,000559 0,00000422

20

Mode4 0,001236 0,001435 -0,00016 -0,000673 -0,000018 -0,000162Mode1 0,000066 -0,010517 -0,001186 0,001123 0,000032 0,000038Mode2 -0,000763 -0,00044 0,01175 -0,000162 -0,00031 1,668E-06Mode3 -0,00049 -0,002674 0,007201 -0,000761 -0,000175 -0,000101

21

Mode4 -0,002038 0,003336 -0,000399 -0,000231 -0,000073 -0,00094722 Mode1 -0,000055 -0,001421 -0,001181 0,001205 0,000036 -0,00004


100

Mode2 0,000337 -7,567E-06 0,011707 -0,000138 -0,000336 -4,052E-06Mode3 0,000171 -0,001101 0,007178 -0,000664 -0,000191 -0,000018Mode4 -0,001284 0,000991 -0,000331 -0,000299 -0,000053 -0,000226Mode1 -0,000064 -0,01052 0,001115 0,00128 -0,000048 0,000037Mode2 -0,000492 -0,000478 0,007616 -0,000105 -0,000209 -8,314E-06Mode3 0,000787 -0,002676 -0,011831 -0,000595 0,000281 -0,000095

23

Mode4 0,001964 0,002923 0,000202 -0,000226 0,000037 -0,000765Mode1 0,000045 -0,001442 0,001111 0,001358 -0,000048 -0,000029Mode2 0,000223 4,005E-06 0,007589 -0,000084 -0,000224 2,147E-06Mode3 -0,000316 -0,001143 -0,011793 -0,000504 0,00031 3,451E-07

24

Mode4 0,001411 0,001056 0,000134 -0,000284 0,000017 -0,000245Mode1 0,000022 -0,010497 -0,001242 0,00119 7,538E-06 -3,702E-06Mode2 -0,000262 -0,000476 0,01228 -0,000145 -0,000079 -0,000011Mode3 -0,000168 -0,002944 0,007518 -0,00069 -0,000046 -0,000049

25

Mode4 -0,002051 0,001005 -0,000108 -0,000069 -0,000114 -0,000629Mode1 -0,000019 -0,001476 -0,001244 0,001196 7,489E-06 -2,789E-06Mode2 0,000116 -2,272E-06 0,012331 -0,000146 -0,000092 2,612E-06Mode3 0,000059 -0,001071 0,007555 -0,000687 -0,000055 0,000012

26

Mode4 -0,001342 0,000357 -0,000127 -0,000071 -0,000107 -0,000275Mode1 -0,000022 -0,010497 0,001166 0,001209 -4,193E-06 8,925E-07Mode2 -0,000169 -0,000546 0,007965 -0,000121 -0,000053 -0,000015Mode3 0,000271 -0,002926 -0,012369 -0,000673 0,000082 -0,000041

27

Mode4 0,001988 0,001096 0,000043 -0,000081 0,000068 -0,000601Mode1 0,000016 -0,001474 0,001169 0,001214 -4,487E-06 -0,00000256Mode2 0,000077 0,00003 0,007997 -0,00012 -0,000061 4,743E-06Mode3 -0,000108 -0,001074 -0,012423 -0,000673 0,000095 0,000014

28

Mode4 0,001469 0,000343 0,000063 -0,000074 0,000061 -0,000277Mode1 -0,000022 -0,010497 -0,001242 0,00119 -7,538E-06 3,702E-06Mode2 0,000262 -0,000476 0,01228 -0,000145 0,000079 0,000011Mode3 0,000168 -0,002944 0,007518 -0,00069 0,000046 0,000049

29

Mode4 -0,002051 -0,001005 0,000108 0,000069 -0,000114 -0,000629Mode1 0,000019 -0,001476 -0,001244 0,001196 -7,489E-06 2,789E-06Mode2 -0,000116 -2,272E-06 0,012331 -0,000146 0,000092 -2,612E-06Mode3 -0,000059 -0,001071 0,007555 -0,000687 0,000055 -0,000012

30

Mode4 -0,001342 -0,000357 0,000127 0,000071 -0,000107 -0,000275Mode1 0,000022 -0,010497 0,001166 0,001209 4,193E-06 -8,925E-07Mode2 0,000169 -0,000546 0,007965 -0,000121 0,000053 0,000015Mode3 -0,000271 -0,002926 -0,012369 -0,000673 -0,000082 0,000041

31

Mode4 0,001988 -0,001096 -0,000043 0,000081 0,000068 -0,000601Mode1 -0,000016 -0,001474 0,001169 0,001214 4,487E-06 0,00000256Mode2 -0,000077 0,00003 0,007997 -0,00012 0,000061 -4,743E-06Mode3 0,000108 -0,001074 -0,012423 -0,000673 -0,000095 -0,000014

32

Mode4 0,001469 -0,000343 -0,000063 0,000074 0,000061 -0,000277Mode1 -0,000066 -0,010517 -0,001186 0,001123 -0,000032 -0,000038Mode2 0,000763 -0,00044 0,01175 -0,000162 0,00031 -1,668E-06

33

Mode3 0,00049 -0,002674 0,007201 -0,000761 0,000175 0,000101


101

Mode4 -0,002038 -0,003336 0,000399 0,000231 -0,000073 -0,000947Mode1 0,000055 -0,001421 -0,001181 0,001205 -0,000036 0,00004Mode2 -0,000337 -7,567E-06 0,011707 -0,000138 0,000336 4,052E-06Mode3 -0,000171 -0,001101 0,007178 -0,000664 0,000191 0,000018

34

Mode4 -0,001284 -0,000991 0,000331 0,000299 -0,000053 -0,000226Mode1 0,000064 -0,01052 0,001115 0,00128 0,000048 -0,000037Mode2 0,000492 -0,000478 0,007616 -0,000105 0,000209 8,314E-06Mode3 -0,000787 -0,002676 -0,011831 -0,000595 -0,000281 0,000095

35

Mode4 0,001964 -0,002923 -0,000202 0,000226 0,000037 -0,000765Mode1 -0,000045 -0,001442 0,001111 0,001358 0,000048 0,000029Mode2 -0,000223 4,005E-06 0,007589 -0,000084 0,000224 -2,147E-06Mode3 0,000316 -0,001143 -0,011793 -0,000504 -0,00031 -3,45E-07

36

Mode4 0,001411 -0,001056 -0,000134 0,000284 0,000017 -0,000245Mode1 -0,000109 -0,010548 -0,001045 0,001277 -0,000032 -0,000035Mode2 0,001261 -0,000454 0,01029 -0,000089 0,000562 1,167E-06Mode3 0,000806 -0,002087 0,006312 -0,000523 0,000348 0,000211

37

Mode4 -0,001912 -0,007138 0,000293 0,000711 0,000011 -0,001153Mode1 0,000078 -0,001231 -0,00103 0,001288 -0,000036 0,000039Mode2 -0,000466 0,000024 0,010109 -0,000084 0,000593 -1,887E-07Mode3 -0,000234 -0,000996 0,006201 -0,000516 0,000365 0,000014

38

Mode4 -0,001128 -0,001252 0,000121 0,000807 0,000024 -0,00014Mode1 0,000106 -0,010555 0,000986 0,001298 0,000064 -0,000032Mode2 0,000813 -0,000454 0,00668 -0,000093 0,000366 7,692E-06Mode3 -0,001298 -0,002116 -0,01038 -0,000574 -0,000528 0,000207

39

Mode4 0,001925 -0,006192 -0,000014 0,00058 -0,00000757 -0,001088Mode1 -0,000066 -0,001295 0,000972 0,001307 0,000068 0,000029Mode2 -0,000311 8,034E-06 0,006566 -0,000091 0,000387 -5,441E-06Mode3 0,000431 -0,001109 -0,010202 -0,000574 -0,000559 -0,00000422

40

Mode4 0,001236 -0,001435 0,00016 0,000673 -0,000018 -0,000162Mode1 -0,000148 -0,010597 -0,000843 0,001311 -0,000051 -0,000042Mode2 0,001693 -0,000405 0,008204 -0,000056 0,00071 0,000026Mode3 0,001079 -0,001266 0,005041 -0,000443 0,000426 0,000285

41

Mode4 -0,001778 -0,010552 0,000098 0,001169 7,307E-06 -0,000958Mode1 0,000088 -0,000972 -0,000823 0,001318 -0,000052 0,000059Mode2 -0,00051 0,00004 0,007976 -0,000054 0,000723 -2,752E-06Mode3 -0,000255 -0,000835 0,004902 -0,000445 0,000434 0,000045

42

Mode4 -0,000915 -0,00129 -0,000073 0,001259 4,538E-06 -0,00007Mode1 0,000143 -0,010606 0,000798 0,001313 0,000082 -0,000041Mode2 0,001093 -0,000405 0,005334 -0,000073 0,000467 0,000024Mode3 -0,001743 -0,001299 -0,008294 -0,000541 -0,000681 0,000282

43

Mode4 0,001871 -0,009749 0,000196 0,001038 0,000032 -0,001027Mode1 -0,000076 -0,001058 0,00078 0,00132 0,000083 0,000055Mode2 -0,000342 0,00002 0,005188 -0,000072 0,000476 -3,341E-06Mode3 0,00047 -0,000978 -0,008067 -0,000545 -0,000695 0,000038

44

Mode4 0,001 -0,001516 0,000367 0,001132 0,000038 -0,00008145 Mode1 -0,00018 -0,010667 -0,000596 0,001344 -0,00006 -0,000049


102

Mode2 0,002036 -0,000295 0,005722 -0,000031 0,000803 0,000045Mode3 0,001295 -0,000266 0,003527 -0,00037 0,000479 0,000344Mode4 -0,001651 -0,013406 -0,00003 0,001582 -0,000019 -0,000797Mode1 0,000081 -0,000647 -0,000571 0,001351 -0,000062 0,000079Mode2 -0,000454 0,000043 0,005461 -0,000031 0,000811 -2,676E-06Mode3 -0,000227 -0,000597 0,003366 -0,000371 0,000484 0,000084

46

Mode4 -0,00065 -0,00105 -0,000195 0,001662 -0,000022 0,000034Mode1 0,000174 -0,010675 0,000567 0,001341 0,000093 -0,000049Mode2 0,001316 -0,000296 0,003724 -0,000054 0,000529 0,000044Mode3 -0,002097 -0,000296 -0,005799 -0,000484 -0,000783 0,000342

47

Mode4 0,001809 -0,012804 0,000275 0,001472 0,000091 -0,000858Mode1 -0,000071 -0,000757 0,000543 0,001346 0,000095 0,000068Mode2 -0,000305 0,000019 0,003554 -0,000054 0,000536 -5,038E-06Mode3 0,000417 -0,000762 -0,005536 -0,000487 -0,000792 0,00007

48

Mode4 0,00071 -0,001327 0,000438 0,001556 0,000096 6,148E-06Mode1 -0,000204 -0,010756 -0,00032 0,001407 -0,00006 -0,000053Mode2 0,002274 -0,000131 0,003019 -0,000014 0,000851 0,000063Mode3 0,001443 0,000849 0,001869 -0,000296 0,000506 0,000382

49

Mode4 -0,001547 -0,015574 -0,000034 0,001968 -0,000048 -0,000574Mode1 0,000053 -0,000268 -0,00029 0,001399 -0,000061 0,000065Mode2 -0,000285 0,000037 0,002737 -0,000014 0,000851 -7,154E-06Mode3 -0,000143 -0,000266 0,001695 -0,000294 0,000507 0,000099

50

Mode4 -0,000343 -0,000502 -0,000191 0,002013 -0,000055 0,000082Mode1 -0,000047 -0,000402 0,000277 0,001366 0,000099 0,000077Mode2 -0,000192 0,000011 0,001782 -0,000039 0,000561 -3,482E-06Mode3 0,000262 -0,000442 -0,002783 -0,000407 -0,000846 0,000125

51

Mode4 0,000374 -0,000828 0,00033 0,001901 0,000159 0,000115Mode1 0,000197 -0,010762 0,000306 0,001376 0,0001 -0,000051Mode2 0,001472 -0,000132 0,001965 -0,000038 0,000562 0,000062Mode3 -0,002343 0,000827 -0,003069 -0,000411 -0,000843 0,000383

52

Mode4 0,001751 -0,015217 0,000176 0,001853 0,000154 -0,000651Mode1 -0,000218 -0,010864 -0,000035 0,001689 -0,000079 -0,000079Mode2 0,002395 0,000077 0,000292 -0,000011 0,000732 0,00007Mode3 0,001518 0,002005 0,000181 -0,000316 0,000444 0,00038

53

Mode4 -0,001488 -0,016993 0,000151 0,002595 -0,000207 -0,000444Mode1 0 0 0 0,001563 -0,000082 0,00006Mode2 0 0 0 -9,587E-06 0,000775 -5,615E-06Mode3 0 0 0 -0,000285 0,000464 0,000081

54

Mode4 0 0 0 0,002434 -0,000185 0,000101Mode1 0,000209 -0,010866 0,000034 0,001412 0,000102 -0,000082Mode2 0,001551 0,000077 0,00019 -0,000029 0,000485 0,00007Mode3 -0,002468 0,001999 -0,000296 -0,000324 -0,000729 0,000389

55

Mode4 0,001714 -0,016896 -0,000147 0,002147 0,000296 -0,000507Mode1 0 0 0 0,001277 0,000114 0,000103Mode2 0 0 0 -0,000027 0,000517 1,169E-06

56

Mode3 0 0 0 -0,000288 -0,000765 0,000132


103

Mode4 0 0 0 0,001978 0,000289 0,000201

Le tableau suivant nous récapitule les forces axiales maximales que supportent les barres de la structure selon les différentes conditions aux limites :

Tableau V-5 : forces axiales maximales pour les différentes conditions aux limites.

Conditions aux limites Modes élément Forces axiales maximales (N)

Mode1 151 90939,06

Mode2 78 892786,77

Mode3 77 921642,01AA

Mode4 8-152 635510,31

Mode1 7 335993,4

Mode2 7 1053014,96

Mode3 8 931469,18EA

Mode4 11 645707,71

Mode1 11 478047,59

Mode2 7 1026503,34

Mode3 8 1027634,54EE

Mode4 12 450315,34

Mode1 8 377167,5

Mode2 7 499535,72

Mode3 6 532541,94EL

Mode4 11 291667,07


104

Figure V-6 : Forces axiales maximales pour les différentes conditions aux limites

V-3 Discussion des résultats :

Dans cette partie, on a déterminé les fréquences propres de la structure pour tous les cas de conditions aux limites réel possibles et pour les quatre premiers modes vibratoires, ainsi que les forces axiales dans toutes les barres de la structure.

D’après la figure V-5, les fréquences propres pour la même structure sont comprises entre les cas : EE et EL, c'est-à-dire que la structure réelle a les vibrations les moins intenses excepté pour les cas EL qui est un cas spécial (un cas qui n’est pas pratique dans les ponts).

On peut remarquer d’après le tableau V-5, que pour le cas réel du pont les forces maximales se concentrent au milieu de la structure (dans la partie renforcée), tandis que pour les autres conditions, elles se trouvent dans les éléments les plus prêts de l’encastrement, donc un autre choix de la géométrie de la structure sera plus pratique.

MODES

FORCE (N)

Conclusion générale

105

CONCLUSION GENERALE :

La méthode des éléments finis est une technique numérique très efficace pour l’analyse des structures discrètes tridimensionnelle dans la mesure où elle permet de déterminer les déplacements, les forces et les contraintes à n’importe quel élément ou nœud de la structure en un temps de calcul très court. De plus l’utilisation de l’outil de discrétisation qu’offre cette méthode, permet d’utiliser des méthodes numériques avancées pour la résolution des problèmes d’analyse des structures complexes spatiales.

En fait, l’objectif assigné à notre travail a été réalisé. Il consiste en une analyse statique et dynamique des structures tridimensionnelles avec différentes conditions aux limites. La mise en équations des contraintes-déformations ainsi que les matrices de masse et rigidité d’un élément de la structure orienté arbitrairement dans l’espace ont été déterminées. Puis les matrices de masse et de rigidité pour toute la structure seront obtenues par assemblage de tous les éléments de la structure. Une application numérique au pont de chemin de fer de « Oued Hamimime – Constantine » a été considérées à l’état statique et dynamique pour différentes conditions aux limites utilisant les programmes MATTLAB et SAP2000 et de bonnes comparaisons ont été observées.

Les déplacements aux nœuds, les forces axiales et les modes de vibration ont été déterminés pour les structures à différentes conditions aux limites. Il a été noté que les déplacements transversaux des nœuds ainsi que les premières de vibration sont situés au milieu de la structure, ce qui explique son renforcement par des barres croisées à ce niveau.

Par ailleurs, il a été noté que les forces axiales dans les éléments de la structure sont plus importantes dans le cas des conditions aux limites simple-simple (AA) à l’état statique qu’à l’état dynamique, ce qui explique le choix réel des conditions aux limites de ce pont.

Annexe A

107

Tableau A-1 : Ecart relatif des déplacements de la structure EA (cas 1).

Joint Δ u1 Δ u2 Δ u3 Joint Δ u1 Δ u2 Δ u3Text % % % Text % % %

1 0 0 0 29 0,09090909 0,14229351 0,150886422 0 0 0 30 0,16666667 0,14951542 0,141781013 0 0 0 31 0,14281203 0,13410167 0,127244064 0 0 0 32 0,12936744 0,14227178 0,15754235 0,15088419 0,13410198 0,09090909 33 0,15079183 0,12929909 0,152542376 0,15554525 0,13409917 0,14228359 34 0,14234663 0,15924052 0,166666677 0,12878188 0,20534037 0,14951194 35 0,15142079 0,14915341 0,142811098 0,14192552 0,23371871 0,13411705 36 0,09090909 0,13404865 0,129368849 0,15676087 0,15139144 0,14226226 37 0,14228645 0,14228678 0,1507967

10 0,12876627 0,14499394 0,12929027 38 0,13459874 0,15139176 0,1423564611 0,15147614 0,13406413 0,15924377 39 0,14880952 0,17958776 0,1513948812 0,14221639 0,12653947 0,14915168 40 0,14223725 0,13547178 0,0909090913 0,15881561 0,17830682 0,13404919 41 0,15875041 0,1581787 0,1422891914 0,15176715 0,17279412 0,14229162 42 0,12946901 0,17067131 0,1345765115 0,17066934 0,12912736 0,15138657 43 0,17280723 0,15175131 0,1487929816 0,15819303 0,15874485 0,17958208 44 0,17831227 0,15881544 0,1422462917 0,13546773 0,1422488 0,13547319 45 0,12654452 0,14222303 0,1587490118 0,17957369 0,14879128 0,15817713 46 0,13406282 0,15146359 0,1294460419 0,15139647 0,13457337 0,1706792 47 0,14500829 0,12876839 0,1728017220 0,14225603 0,14229351 0,15175153 48 0,15137615 0,15675816 0,1783115221 0,13406683 0,09090909 0,15881817 49 0,23371648 0,14192552 0,1265432122 0,14918709 0,15139133 0,14222279 50 0,20531715 0,12876757 0,1340538423 0,15924827 0,14235369 0,15146373 51 0,13412417 0,15554799 0,1449826624 0,12929909 0,15080441 0,128772 52 0,13411433 0,15088732 0,1514041525 0,14226676 0,12936948 0,1567554 53 0,1447131 0,14177824 0,2337164826 0,13409978 0,14280818 0,14192442 54 0 0 027 0,14951194 0,16666667 0,12876508 55 0,11148558 0,15754002 0,1340991728 0,14229617 0,09090909 0,15554571 56 0 0 0

Annexe A

108

Tableau A-2 : Ecart relatif des forces de la structure EA (cas 1).

Frame Δ P1 Δ P2 Δ P3 Frame Δ P1 Δ P2 Δ P3% % % % % %

1 0,142 0,112 0 87 0,112 0,142 0,1432 0,153 0,167 0,178 88 0,167 0,153 0,1343 0 0,158 0 89 0,158 0,158 0,1664 0,127 0,142 0,134 90 0,142 0,127 0,1295 0,142 0,129 0,145 91 0,129 0,142 0,1176 0,151 0,142 0,151 92 0,142 0,151 0,137 0,156 0,142 0,234 93 0,142 0,156 0,1118 0,129 0,13 0,205 94 0,13 0,129 0,1429 0,142 0,129 0,134 95 0,129 0,142 0,118

10 0,157 0,137 0,134 96 0,137 0,157 0,10911 0,129 0,134 0,145 97 0,134 0,129 0,14312 0,151 0,189 0,159 98 0,189 0,151 0,18913 0,142 0,191 0,111 99 0,191 0,142 0,20314 0,159 0,129 0,142 100 0,129 0,159 0,17415 0,152 0,203 0,203 101 0,203 0,152 0,23416 0,171 0,171 0,134 102 0,171 0,171 0,23717 0,158 0,174 0,134 103 0,174 0,158 0,23818 0,135 0,129 0,145 104 0,129 0,135 0,20419 0,18 0,137 0,129 105 0,137 0,18 0,13520 0,151 0,137 0,171 106 0,137 0,151 0,14221 0,142 0,134 0,21 107 0,134 0,142 0,24422 0,134 0,112 0,156 108 0,112 0,134 0,24523 0,149 0,173 0,111 109 0,173 0,149 0,13424 0,159 0,234 0,129 110 0,234 0,159 0,14225 0,129 0,177 0,117 111 0,177 0,129 0,17726 0,142 0,118 0,137 112 0,118 0,142 0,17727 0,134 0,167 0,151 113 0,167 0,134 0,11228 0,15 0,126 0,164 114 0,126 0,15 0,2529 0,142 0,137 0,156 115 0,137 0,142 0,17730 0,0909 0,13 0,142 116 0,13 0,0909 0,14331 0,167 0,143 0,134 117 0,143 0,167 0,14232 0,143 0,111 0,191 118 0,111 0,143 0,10933 0,129 0,175 0,199 119 0,175 0,129 0,11734 0,151 0,134 0,125 120 0,134 0,151 0,17735 0,142 0,145 0,134 121 0,145 0,142 0,18936 0,151 0,137 0,142 122 0,137 0,151 0,17837 0,0909 0,109 0,166 123 0,109 0,0909 0,24638 0,142 0,197 0,149 124 0,197 0,142 0,18939 0,135 0,268 0,137 125 0,268 0,135 0,10440 0,149 0,175 0,11 126 0,175 0,149 0,11741 0,142 0,142 0,129 127 0,142 0,142 0,17

Annexe A

109

42 0,159 0,166 0,111 128 0,166 0,159 0,21143 0,129 0,149 0,158 129 0,149 0,129 0,23444 0,173 0,143 0,112 130 0,143 0,173 0,14245 0,178 0,134 0,167 131 0,134 0,178 0,15346 0,127 0,166 0,158 132 0,166 0,127 0,15847 0,134 0,129 0,142 133 0,129 0,134 0,12748 0,145 0,117 0,129 134 0,117 0,145 0,14249 0,151 0,13 0,142 135 0,13 0,151 0,15150 0,234 0,111 0,142 136 0,111 0,234 0,15651 0,205 0,142 0,13 137 0,142 0,205 0,12952 0,134 0,118 0,129 138 0,118 0,134 0,14253 0,134 0,109 0,137 139 0,109 0,134 0,15754 0,145 0,143 0,134 140 0,143 0,145 0,12955 0,159 0,189 0,189 141 0,189 0,159 0,15156 0,111 0,203 0,191 142 0,203 0,111 0,14257 0,142 0,174 0,129 143 0,174 0,142 0,15958 0,203 0,234 0,203 144 0,234 0,203 0,15259 0,134 0,237 0,171 145 0,237 0,134 0,17160 0,134 0,238 0,174 146 0,238 0,134 0,15861 0,145 0,204 0,129 147 0,204 0,145 0,13562 0,129 0,135 0,137 148 0,135 0,129 0,1863 0,171 0,142 0,137 149 0,142 0,171 0,15164 0,21 0,244 0,134 150 0,244 0,21 0,14265 0,156 0,245 0,112 151 0,245 0,156 0,13466 0,111 0,134 0,173 152 0,134 0,111 0,14967 0,129 0,142 0,234 153 0,142 0,129 0,15968 0,117 0,177 0,177 154 0,177 0,117 0,12969 0,137 0,177 0,118 155 0,177 0,137 0,14270 0,151 0,112 0,167 156 0,112 0,151 0,13471 0,164 0,25 0,126 157 0,25 0,164 0,1572 0,156 0,177 0,137 158 0,177 0,156 0,14273 0,142 0,143 0,13 159 0 0,142 0,090974 0,134 0,142 0,143 160 0,142 0,134 0,16775 0,191 0,109 0,111 161 0,109 0,191 0,14376 0,199 0,117 0,175 162 0,117 0,199 0,12977 0,125 0,177 0,134 163 0,177 0,125 0,15178 0,134 0,189 0,145 164 0,189 0,134 0,14279 0,142 0,178 0,137 165 0,178 0,142 0,15180 0,166 0,246 0,109 166 0,246 0,166 0,090981 0,149 0,189 0,197 167 0,189 0,149 0,14282 0,137 0,104 0,268 168 0,104 0,137 0,13583 0,11 0,117 0,175 169 0,117 0,11 0,14984 0,129 0,17 0,142 170 0,17 0,129 0,14285 0,111 0,211 0,166 171 0,211 0,111 0,15986 0,158 0,234 0,149 172 0,234 0,158 0,129

Annexe A

110

Tableau A-3 : Ecart relatif des déplacements de la structure EA (cas 2).


1 0 0 0 29 0,09090909 0,15794539 0,203491542 0 0 0 30 0,16666667 0,11174369 0,17440843 0 0 0 31 0,14281203 0,16655518 0,234048174 0 0 0 32 0,12936744 0,15792953 0,236616185 0,15088419 0,1288089 0,11144205 33 0,15077588 0,14226198 0,237600676 0,15554805 0,17058336 0,17457697 34 0,14234663 0,12861055 0,203697617 0,12878188 0,21010441 0,13411394 35 0,15142079 0,14224446 0,134555558 0,14192552 0,15645703 0,14497909 36 0,09090909 0,1423221 0,142292049 0,15675858 0,11078278 0,13676642 37 0,14231634 0,12950664 0,24394705

10 0,12876442 0,12878594 0,10925902 38 0,13459874 0,1287232 0,245369111 0,15147614 0,11704748 0,19734473 39 0,14880952 0,13663838 0,1340985612 0,14221639 0,13676162 0,26824488 40 0,14223725 0,13411633 0,142356213 0,15881561 0,15150252 0,17460317 41 0,15874525 0,18870304 0,1773352314 0,15175947 0,16376307 0,14228292 42 0,12943808 0,19078495 0,1772833415 0,17066934 0,15642083 0,16635653 43 0,17280723 0,12881969 0,1123645216 0,15819303 0,14221993 0,14850027 44 0,17830982 0,20306018 0,2496192117 0,13547046 0,1335972 0,14284731 45 0,12652537 0,1708126 0,1772819518 0,17956656 0,19128747 0,13410063 46 0,13406282 0,17437436 0,1428772619 0,15139433 0,19920391 0,16637206 47 0,14500829 0,12862172 0,1423523620 0,14225603 0,12479031 0,12949393 48 0,15136522 0,13711597 0,1089292321 0,13406683 0,13407418 0,11705323 49 0,23371648 0,13746631 0,1171295722 0,14915341 0,14227877 0,12956578 50 0,20531715 0,13410836 0,1772577423 0,15924827 0,16565534 0,11101004 51 0,13412417 0,11178184 0,1894306924 0,12929909 0,14880539 0,14232217 52 0,13411433 0,17277891 0,1776121225 0,14226676 0,13660191 0,11758573 53 0,14471062 0,2340254 0,2461854426 0,13409856 0,11003771 0,10916964 54 0 0 027 0,14951194 0,12947055 0,14284909 55 0,11148558 0,1176038 0,1035410128 0,14229617 0,11094083 0,1893975 56 0 0 0

Annexe A

111

Tableau A-4 : Ecart relatif des forces de la structure EA (cas 1).

frame ΔP1 Δ P2 Δ P3 frame ΔP1 Δ P2 Δ P3% % % % % %

1 0,1422204 0,14499222

0 87 0,11174276 0,11705159

0,15146378

2 0,15254237

0,1513916 0,19080732

88 0,16656249 0,12956435

0,14221993

3 0 0,23371648

0 89 0,15793019 0,11100838

0,15881561

4 0,12724734

0,20534006

0,20306025

90 0,14227144 0,14232293

0,15175163

5 0,14177824

0,13410167

0,17079885

91 0,12860106 0,11758685

0,17067507

6 0,15088732

0,13410167

0,17437252

92 0,14223465 0,1091695 0,1581783

7 0,15554805

0,14471433

0,12860106

93 0,14231558 0,14285144

0,1354716

8 0,12876808

0,15861744

0,13711278

94 0,12950373 0,18939732

0,17958815

9 0,14192552

0,11149021

0,13746259

95 0,12872253 0,20349189

0,15139172

10 0,15675858

0,14229351

0,13410617

96 0,13663599 0,17440661

0,14228615

11 0,12876808

0,20306025

0,11178221

97 0,13411667 0,23405044

0,13404919

12 0,15146373

0,13411667

0,17276066

98 0,1887068 0,23661441

0,14915341

13 0,14221993

0,13410168

0,23400996

99 0,19080757 0,23760149

0,15923995

14 0,15881561

0,14499222

0,17727976

100 0,12881058 0,20369486

0,12929909

15 0,15175163

0,12880603

0,11758996

101 0,20306025 0,1345588 0,14227144

16 0,17067507

0,17059941

0,16656665

102 0,17079885 0,14228836

0,13410167

17 0,1581783 0,21009811

0,12623921

103 0,17437252 0,24394723

0,14951522

18 0,1354716 0,15645272

0,13709044

104 0,12860106 0,24536674

0,14229351

19 0,17958815

0,11078546

0,1295795 105 0,13711278 0,13410167

0,09090909

20 0,15139172

0,12880603

0,14308729

106 0,13746259 0,14235236

0,16666667

21 0,14228615

0,11704457

0,11146179

107 0,13410617 0,17733796

0,14280816

22 0,13404919

0,13675524

0,17457697

108 0,11178221 0,17727976

0,12936731

23 0,14915341

0,15149252

0,13410167

109 0,17276066 0,11236564

0,15080079

Annexe A

112

24 0,15923995

0,16375374

0,14499222

110 0,23400996 0,24961993

0,14235236

25 0,12929909

0,15645271

0,13677536

111 0,17727976 0,1772845 0,15139172

26 0,14227144

0,14223465

0,10925678

112 0,11758996 0,14287429

0,09090909

27 0,13410167

0,13359903

0,19734804

113 0,16656665 0,14235677

0,14229351

28 0,14951522

0,19126567

0,26824628

114 0,12623921 0,10893176

0,13457378

29 0,14229351

0,1991992 0,17460422

115 0,13709044 0,11712175

0,14879128

30 0,09090909

0,12478776

0,14227879

116 0,1295795 0,17724591

0,14224937

31 0,16666667

0,13410167

0,16635197

117 0,14308729 0,1894236 0,15874485

32 0,14280816

0,14227144

0,14850136

118 0,11146179 0,17760453

0,12945068

33 0,12936731

0,16565154

0,14284343

119 0,17457697 0,24618703

0,17279493

34 0,15080079

0,14879128

0,13410168

120 0,13410167 0,1891344 0,17830731

35 0,14235236

0,13660617

0,1663749 121 0,14499222 0,10352976

0,12653838

36 0,15139172

0,11004316

0,12948857

122 0,13677536 0,11740305

0,13406418

37 0,09090909

0,12948858

0,11705159

123 0,10925678 0,17012448

0,14499222

38 0,14229351

0,1109412 0,12956435

124 0,19734804 0,21067172

0,15139172

39 0,13457378

0,15793728

0,11100838

125 0,26824628 0,23409209

0,23371648

40 0,14879128

0,11174276

0,14232293

126 0,17460422 0,14221993

0,20534011

41 0,14224937

0,16656249

0,11758685

127 0,14227879 0,15254237

0,13410167

42 0,15874485

0,15793019

0,1091695 128 0,16635196 0,15754002

0,13410167

43 0,12945068

0,14227144

0,14285144

129 0,14850136 0,12724734

0,14471433

44 0,17279488

0,12860106

0,18939732

130 0,14284343 0,14177824

0,15861744

45 0,17830731

0,14223465

0,20349189

131 0,13410167 0,15088732

0,11149021

46 0,12653838

0,14231558

0,1744066 132 0,1663749 0,15554805

0,14229351

47 0,13406418

0,12950373

0,23405044

133 0,12948857 0,12876808

0,20306025

48 0,14499222

0,12872253

0,23661442

134 0,11705159 0,14192552

0,13411667

Annexe A

113

49 0,15139172

0,13663599

0,23760149

135 0,12956435 0,15675858

0,13410167

50 0,23371648

0,13411667

0,20369485

136 0,11100838 0,12876808

0,14499222

51 0,20534011

0,1887068 0,1345588 137 0,14232293 0,15146373

0,12880603

52 0,13410167

0,19080757

0,14228836

138 0,11758685 0,14221993

0,17059941

53 0,13410167

0,12881058

0,24394723

139 0,1091695 0,15881561

0,21009811

54 0,14471433

0,20306025

0,24536674

140 0,14285144 0,15175163

0,15645271

55 0,15861744

0,17079885

0,13410167

141 0,18939732 0,17067507

0,11078546

56 0,11149021

0,17437252

0,14235236

142 0,20349189 0,1581783 0,12880603

57 0,14229351

0,12860106

0,17733796

143 0,1744066 0,1354716 0,11704457

58 0,20306025

0,13711278

0,17727976

144 0,23405044 0,17958815

0,13675524

59 0,13411667

0,13746259

0,11236563

145 0,23661442 0,15139171

0,15149252

60 0,13410167

0,13410617

0,24961993

146 0,23760149 0,14228615

0,16375374

61 0,14499222

0,11178221

0,1772845 147 0,20369486 0,13404918

0,15645271

62 0,12880603

0,17276066

0,14287429

148 0,1345588 0,14915341

0,14223465

63 0,17059941

0,23400996

0,14235677

149 0,14228836 0,15923995

0,13359903

64 0,21009811

0,17727976

0,10893176

150 0,24394723 0,12929909

0,19126567

65 0,15645271

0,11758996

0,11712175

151 0,24536674 0,14227144

0,1991992

66 0,11078546

0,16656666

0,17724591

152 0,13410167 0,13410167

0,12478776

67 0,12880603

0,12623921

0,1894236 153 0,14235236 0,14951522

0,13410167

68 0,11704457

0,13709044

0,17760453

154 0,17733796 0,14229351

0,14227143

69 0,13675524

0,1295795 0,24618703

155 0,17727976 0,09090909

0,16565154

70 0,15149252

0,14308729

0,1891344 156 0,11236563 0,16666667

0,14879128

71 0,16375374

0,11146179

0,1035298 157 0,24961993 0,14280816

0,13660617

72 0,15645271

0,17457697

0,11740305

158 0,1772845 0,12936731

0,11004316

73 0,14223465

0,13410167

0,17012448

159 0 0,15080079

0,12948857

Annexe A

114

74 0,13359903

0,14499222

0,21067172

160 0,14235677 0,14235236

0,1109412

75 0,19126567

0,13677536

0,23409209

161 0,10893176 0,15139172

0,15793728

76 0,1991992 0,10925678

0,14221993

162 0,11712175 0,09090909

0,11174276

77 0,12478776

0,19734804

0,15254237

163 0,17724591 0,14229351

0,16656249

78 0,13410167

0,26824628

0,15754002

164 0,1894236 0,13457378

0,15793019

79 0,14227144

0,17460422

0,12724734

165 0,17760453 0,14879128

0,14227144

80 0,16565154

0,14227879

0,14177824

166 0,24618703 0,14224937

0,12860106

81 0,14879128

0,16635197

0,15088732

167 0,1891344 0,15874485

0,14223465

82 0,13660617

0,14850136

0,15554805

168 0,10352976 0,12945068

0,14231558

83 0,11004316

0,14284343

0,12876808

169 0,11740305 0,17279488

0,12950373

84 0,12948857

0,13410167

0,14192552

170 0,17012448 0,17830731

0,12872253

85 0,1109412 0,1663749 0,15675859

171 0,21067172 0,12653838

0,13663599

86 0,15793728

0,12948857

0,12876808

172 0,23409209 0,13406418

0,13411667

Tableau A-5 : Ecart relatif des déplacements de la structure EE (cas 1).


1 0 0 0 29 0,09090909 0,15791957 0,203494972 0 0 0 30 0,16666667 0,11173526 0,174411773 0 0 0 31 0,14280627 0,16655341 0,234050694 0 0 0 32 0,12933354 0,15792679 0,236613915 0,15089333 0,12881153 0,1114752 33 0,15081522 0,14228546 0,237600436 0,15554345 0,17058486 0,17456435 34 0,14234408 0,12860121 0,203699937 0,12876175 0,21010169 0,13409048 35 0,15139172 0,14223563 0,13455428 0,14192552 0,1564513 0,14502339 36 0,09090909 0,14231538 0,142286959 0,15675068 0,11075142 0,13677631 37 0,14229811 0,12950953 0,24395022

10 0,12877454 0,12879338 0,1092677 38 0,13457378 0,12869105 0,2453686611 0,15147401 0,11704511 0,19734528 39 0,14879596 0,13662802 0,1341077112 0,14222313 0,13674033 0,26823691 40 0,14225003 0,13411838 0,1423557113 0,15880816 0,15147 0,17460074 41 0,1587523 0,18869896 0,1773326414 0,15175304 0,16376307 0,14228052 42 0,12945514 0,1908294 0,1772866615 0,17068251 0,15645251 0,16635164 43 0,17279617 0,12880526 0,1123633616 0,1581783 0,14223331 0,14849918 44 0,17830731 0,2030718 0,2496229317 0,13546226 0,13359846 0,14283927 45 0,1265316 0,17078302 0,1772816318 0,1795823 0,19127874 0,13410049 46 0,13407152 0,1743498 0,14286649

Annexe A

115

19 0,15138243 0,19919259 0,16637993 47 0,14498595 0,12860045 0,1423462720 0,14228348 0,12478802 0,12948492 48 0,15138546 0,13711278 0,1089453521 0,13404919 0,13408448 0,1170503 49 0,23371648 0,13746121 0,1170945522 0,14916246 0,1422664 0,12956283 50 0,20533197 0,13409159 0,1772682323 0,15923995 0,16566482 0,11100781 51 0,13409917 0,11177758 0,1894165324 0,12931131 0,1487965 0,14232337 52 0,13410542 0,17276452 0,1775923725 0,1422753 0,13658625 0,11758807 53 0 0 026 0,13413098 0,11003484 0,10916748 54 0 0 027 0,14952005 0,12949359 0,14285332 55 0 0 028 0,14230019 0,11093678 0,18940142 56 0 0 0

Annexe A

116

Tableau A-6 : Ecart relatif des forces de la structure EE (cas 1).

frame ΔP1 ΔP2 ΔP3 frame ΔP1 ΔP2 ΔP3% % % % % %

1 0,1422204 0,12936731 0 87 0,11174276 0,17457697 0,234050442 0,15254237 0,15080092 0,13411973 88 0,16656249 0,13410167 0,236614413 0 0,14235235 0 89 0,15793019 0,14499222 0,237601494 0,12724734 0,15139166 0,14499384 90 0,14227144 0,13677535 0,203694865 0,14177824 0,09090909 0,12880603 91 0,12860106 0,10925678 0,13455886 0,15088732 0,14229351 0,17059941 92 0,14223465 0,19734804 0,142288367 0,15554805 0,13457378 0,21009811 93 0,14231558 0,26824628 0,243947238 0,12876808 0,14879128 0,15645271 94 0,12950373 0,17460422 0,245366749 0,14192552 0,14224937 0,11078546 95 0,12872253 0,14227879 0,13410167

10 0,15675858 0,15874485 0,12880603 96 0,13663599 0,16635197 0,1423523611 0,12876808 0,12945068 0,11704457 97 0,13411667 0,14850136 0,1773379612 0,15146373 0,17279488 0,13675524 98 0,1887068 0,14284343 0,1772797613 0,14221993 0,17830731 0,15149252 99 0,19080757 0,13410167 0,1123656314 0,15881561 0,12653838 0,16375374 100 0,12881058 0,1663749 0,2496199315 0,15175163 0,13406419 0,15645271 101 0,20306025 0,12948857 0,177284516 0,17067507 0,14499222 0,14223465 102 0,17079885 0,11705159 0,1428742817 0,1581783 0,15139172 0,13359903 103 0,17437252 0,12956435 0,1423567718 0,1354716 0,23371648 0,19126567 104 0,12860106 0,11100838 0,1089317619 0,17958815 0,20534011 0,1991992 105 0,13711278 0,14232293 0,1171217520 0,15139172 0,13410167 0,12478776 106 0,13746259 0,11758685 0,1772459121 0,14228615 0,13410167 0,13410167 107 0,13410617 0,1091695 0,189423622 0,13404919 0,14471433 0,14227144 108 0,11178221 0,14285144 0,1776045323 0,14915341 0,15861744 0,16565154 109 0,17276066 0,18939732 0,2461870324 0,15923995 0,11149021 0,14879128 110 0,23400996 0,20349189 0,189134425 0,12929909 0,14229351 0,13660626 111 0,17727976 0,1744066 0,1035297626 0,14227144 0,20306025 0,11004316 112 0,11758996 0,23405044 0,1174030527 0,13410167 0,13411667 0,12948857 113 0,16656666 0,23661441 0,1701244828 0,14951522 0,13410167 0,1109412 114 0,12623921 0,2376015 0,2106717229 0,14229351 0,14499222 0,15793728 115 0,13709044 0,20369486 0,2340920930 0,09090909 0,12880603 0,11174276 116 0,1295795 0,1345588 0,1422199331 0,16666667 0,17059941 0,16656249 117 0,14308729 0,14228836 0,1525423732 0,14280816 0,21009811 0,15793019 118 0,11146179 0,24394723 0,1575400233 0,12936731 0,15645271 0,14227144 119 0,17457697 0,24536674 0,1272473434 0,15080079 0,11078546 0,12860105 120 0,13410167 0,13410167 0,1417782435 0,14235236 0,12880603 0,14223464 121 0,14499222 0,14235235 0,1508873236 0,15139172 0,11704457 0,14231558 122 0,13677536 0,17733796 0,1555480537 0,09090909 0,13675524 0,12950373 123 0,10925678 0,17727976 0,1287680838 0,14229351 0,15149253 0,12872253 124 0,19734804 0,11236564 0,1419255239 0,13457378 0,16375375 0,13663599 125 0,26824628 0,24961993 0,1567585840 0,14879128 0,15645272 0,13411667 126 0,17460422 0,17728449 0,1287680841 0,14224937 0,14223465 0,1887068 127 0,14227879 0,14287429 0,15146373

Annexe A

117

42 0,15874485 0,13359903 0,19080757 128 0,16635196 0,14235677 0,1422199343 0,12945068 0,19126567 0,12881058 129 0,14850136 0,10893176 0,1588156144 0,17279488 0,1991992 0,20306025 130 0,14284343 0,11712175 0,1517516345 0,17830731 0,12478776 0,17079885 131 0,13410167 0,17724591 0,1706751646 0,12653838 0,13410167 0,17437252 132 0,1663749 0,1894236 0,158178347 0,13406418 0,14227144 0,12860106 133 0,12948857 0,17760452 0,1354716848 0,14499222 0,16565154 0,13711278 134 0,11705159 0,24618703 0,1795881549 0,15139172 0,14879128 0,13746259 135 0,12956435 0,1891344 0,1513917250 0,23371648 0,13660617 0,13410617 136 0,11100838 0,10352976 0,1422861551 0,20534011 0,11004316 0,11178221 137 0,14232293 0,11740305 0,1340491952 0,13410167 0,12948857 0,17276066 138 0,11758685 0,17012448 0,1491534153 0,13410167 0,1109412 0,23400996 139 0,1091695 0,21067172 0,1592399554 0,14471433 0,15793728 0,17727976 140 0,14285144 0,23409209 0,1292990955 0,15861744 0,11174276 0,11758996 141 0,18939732 0,14221993 0,1422714456 0,11149021 0,16656249 0,16656666 142 0,20349189 0,15254237 0,1341016857 0,14229351 0,15793019 0,12623921 143 0,1744066 0,15754002 0,1495152258 0,20306025 0,14227144 0,13709044 144 0,23405044 0,12724734 0,1422935159 0,13411667 0,12860106 0,1295795 145 0,23661442 0,14177823 0,0909090960 0,13410167 0,14223465 0,14308728 146 0,23760149 0,15088732 0,1666666761 0,14499222 0,14231557 0,11146179 147 0,20369486 0,15554805 0,1428081662 0,12880603 0,12950373 0,17457697 148 0,1345588 0,12876808 0,1293673163 0,17059941 0,12872253 0,13410167 149 0,14228836 0,14192552 0,1508007964 0,21009811 0,13663599 0,14499222 150 0,24394723 0,15675858 0,1423523665 0,15645272 0,13411667 0,13677536 151 0,24536674 0,12876808 0,1513917266 0,11078546 0,1887068 0,10925678 152 0,13410167 0,15146373 0,0909090967 0,12880603 0,19080757 0,19734804 153 0,14235236 0,14221993 0,1422935168 0,11704457 0,12881058 0,26824628 154 0,17733796 0,15881561 0,1345737869 0,13675524 0,20306025 0,17460422 155 0,17727976 0,15175163 0,1487912870 0,15149252 0,17079885 0,14227879 156 0,11236563 0,17067507 0,1422493771 0,16375374 0,17437252 0,16635196 157 0,24962051 0,1581783 072 0,15645271 0,12860106 0,14850136 158 0,1772845 0,13547169 0,1294506373 0,14223465 0,13711278 0,14284343 159 0 0,17958815 074 0,13359903 0,13746259 0,13410167 160 0,14235677 0,15139166 0,1783103175 0,19126567 0,13410617 0,1663749 161 0,10893176 0,14228615 0,1265383876 0,1991992 0,11178221 0,12948858 162 0,11712175 0,13404919 0,1340641877 0,12478776 0,17276066 0,11709042 163 0,17724591 0,14915341 0,1449922278 0,13410167 0,23400996 0,12955689 164 0,1894236 0,15923995 0,1513917279 0,14227144 0,17727976 0,11100299 165 0,17760453 0,12929909 0,2337164880 0,16565154 0,11758996 0,14232507 166 0,24618703 0,14227144 0,2053401181 0,14879128 0,16656665 0,11758685 167 0,1891344 0,13410167 0,1341016782 0,13660617 0,12623921 0,1091695 168 0,10352976 0,14951522 0,1341016783 0,11004316 0,13709044 0,14285144 169 0,11740305 0,14229351 0,1447143384 0,12948857 0,1295795 0,18939732 170 0,17012448 0,09090909 0,1586174485 0,1109412 0,14308729 0,20349189 171 0,21067172 0,16666667 0,1114902186 0,15793728 0,11146179 0,17440661 172 0,23409209 0,14280816 0,14229351

Annexe A

118

Tableau A-7 : Ecart relatif des déplacements de la structure EE (cas 2).


1 0 0 0 29 0,14229203 0,11092761 0,189396562 0 0 0 30 0,09090909 0,15793692 0,203488093 0 0 0 31 0,16666667 0,1117368 0,17440664 0 0 0 32 0,14283488 0,16656237 0,234046635 0,14178437 0,14498979 0,14310197 33 0,12937489 0,15794834 0,236613296 0,1508943 0,12880388 0,11147676 34 0,15081071 0,1422777 0,237598687 0,15555399 0,17059874 0,17459178 35 0,14236707 0,12861736 0,203695278 0,12876808 0,21009442 0,13412841 36 0,15138243 0,14223142 0,134557719 0,14191734 0,15646004 0,14499466 37 0,09090909 0,14231488 0,14228608

10 0,15675404 0,11078177 0,13676203 38 0,14230168 0,12953692 0,2439429511 0,12876808 0,12880237 0,10925057 39 0,13458586 0,12872092 0,2453631612 0,15146373 0,11707575 0,19734119 40 0,14878799 0,13664052 0,1341048813 0,14221219 0,13675362 0,26824671 41 0,14225091 0,1341187 0,142346414 0,15881839 0,15146373 0,174598 42 0,15874901 0,18869583 0,177330915 0,1517458 0,16375363 0,14227226 43 0,12945273 0,19080515 0,1772860316 0,17067507 0,15644172 0,16635248 44 0,17280172 0,12878188 0,1123600517 0,15818273 0,14224032 0,14850402 45 0,17830731 0,20303404 0,2496287218 0,1354799 0,13356469 0,14284323 46 0,12654017 0,1708126 0,1772790319 0,17959032 0,19126384 0,13410771 47 0,13407061 0,17437222 0,142865820 0,15139826 0,19917744 0,16637105 48 0,1449973 0,12861624 0,1423498321 0,14229351 0,12480754 0,1294916 49 0,15140372 0,13711166 0,1089045922 0,13405856 0,13409681 0,11704809 50 0,23371648 0,13749502 0,1171421623 0,14915341 0,14226935 0,12956905 51 0,20534011 0,13410472 0,1772741424 0,15923083 0,16565579 0,11100679 52 0,13410542 0,11178258 0,1894273125 0,12929477 0,14876795 0,14232215 53 0 0 026 0,14230019 0,13660197 0,11758753 54 0 0 027 0,1341067 0,11005487 0,1091686 55 0 0 028 0,14952837 0,12948559 0,14284949 56 0 0 0

Annexe A

119

Tableau A-8 : Ecart relatif des forces de la structure EE (cas 2).


1 0,1449928 0,1109412 0 87 0,11705159 0,21067172 0,111742762 0,15139172 0,15793741 0,15254381 88 0,12956435 0,23409209 0,166562483 0 0,11174276 0 89 0,11100838 0,14221993 0,157930194 0,20534011 0,1665624 0,12725072 90 0,14232293 0,15254237 0,142271445 0,13410167 0,15793019 0,14177824 91 0,11758685 0,15754002 0,128601066 0,13410167 0,14227144 0,15088732 92 0,1091695 0,12724734 0,142234657 0,14471433 0,12860106 0,15554805 93 0,14285144 0,14177824 0,142315588 0,15861744 0,14223465 0,12876808 94 0,18939732 0,15088732 0,129503739 0,11149021 0,14231558 0,14192552 95 0,20349189 0,15554805 0,12872253

10 0,14229351 0,12950373 0,15675858 96 0,1744066 0,12876808 0,1366359911 0,20306025 0,12872253 0,12876808 97 0,23405044 0,14192552 0,1341166712 0,13411667 0,13663599 0,15146373 98 0,23661442 0,15675858 0,188706813 0,13410167 0,13411667 0,14221993 99 0,23760149 0,12876808 0,1908075714 0,14499222 0,1887068 0,15881561 100 0,20369486 0,15146373 0,1288105815 0,12880603 0,19080758 0,15175163 101 0,1345588 0,14221993 0,2030602516 0,17059941 0,12881058 0,17067507 102 0,14228836 0,15881561 0,1707988617 0,21009811 0,20306025 0,1581783 103 0,24394723 0,15175163 0,1743725218 0,15645271 0,17079885 0,1354716 104 0,24536674 0,17067507 0,1286010619 0,11078546 0,17437252 0,17958815 105 0,13410167 0,1581783 0,1371127820 0,12880603 0,12860106 0,15139172 106 0,14235236 0,1354716 0,1374625921 0,11704457 0,13711278 0,14228615 107 0,17733796 0,17958815 0,1341061722 0,13675524 0,13746259 0,13404919 108 0,17727976 0,15139172 0,1117822123 0,15149252 0,13410617 0,14915341 109 0,11236563 0,14228615 0,1727606624 0,16375374 0,11178221 0,15923995 110 0,24961993 0,13404919 0,2340099625 0,15645272 0,17276066 0,12929909 111 0,1772845 0,14915341 0,1772797626 0,14223465 0,23400996 0,14227144 112 0,14287429 0,15923995 0,1175899627 0,13359903 0,17727975 0,13410167 113 0,14235677 0,12929909 0,1665666628 0,19126567 0,11758996 0,14951522 114 0,10893176 0,14227144 0,1262392129 0,1991992 0,16656665 0,14229351 115 0,11712175 0,13410167 0,1370904430 0,12478776 0,12623921 0,09090909 116 0,17724591 0,14951522 0,129579531 0,13410167 0,13709044 0,16666667 117 0,1894236 0,14229351 0,1430873132 0,14227144 0,1295795 0,14280816 118 0,17760453 0,09090909 0,1114617933 0,16565154 0,14308729 0,12936731 119 0,24618703 0,16666667 0,1745769734 0,14879128 0,11146179 0,1508008 120 0,1891344 0,14280816 0,1341016735 0,13660617 0,17457697 0,14235227 121 0,10352976 0,12936731 0,1449922236 0,11004316 0,13410167 0,15139172 122 0,11740305 0,15080079 0,1367753637 0,12948857 0,14499222 0,09090909 123 0,17012448 0,14235236 0,1092567838 0,1109412 0,13677535 0,14229351 124 0,21067172 0,15139172 0,1973480439 0,15793728 0,10925678 0,13457378 125 0,23409209 0,09090909 0,2682462840 0,11174276 0,19734804 0,14879128 126 0,14221993 0,14229351 0,1746042241 0,16656249 0,26824628 0,14224937 127 0,15254237 0,13457378 0,14227879

Annexe A

120

42 0,15793019 0,17460422 0,15874485 128 0,15754002 0,14879128 0,1663519643 0,14227144 0,14227879 0,12945068 129 0,12724734 0,14224937 0,1485013644 0,12860106 0,16635196 0,17279488 130 0,14177824 0,15874485 0,1428434345 0,14223465 0,14850136 0,17830731 131 0,15088732 0,12945068 0,1341015446 0,14231558 0,14284343 0,12653838 132 0,15554805 0,17279488 0,166374947 0,12950373 0,13410167 0,13406418 133 0,12876808 0,17830731 0,1294888148 0,12872253 0,1663749 0,14499222 134 0,14192552 0,12653838 0,1170515949 0,13663599 0,12948858 0,15139172 135 0,15675858 0,13406418 0,1295643550 0,13411667 0,11705159 0,23371648 136 0,12876808 0,14499222 0,1110083851 0,1887068 0,12956434 0,20534011 137 0,15146373 0,15139172 0,1423229352 0,19080757 0,11100838 0,13410167 138 0,14221993 0,23371648 0,1175868553 0,12881058 0,14232293 0,13410167 139 0,15881561 0,20534011 0,109169554 0,20306025 0,11758685 0,14471433 140 0,15175163 0,13410167 0,1428514455 0,17079885 0,1091695 0,15861744 141 0,17067507 0,13410167 0,1893973256 0,17437252 0,14285144 0,11149021 142 0,1581783 0,14471433 0,2034918957 0,12860106 0,18939732 0,14229351 143 0,1354716 0,15861744 0,174406658 0,13711278 0,20349189 0,20306025 144 0,17958815 0,11149021 0,2340504459 0,13746259 0,1744066 0,13411667 145 0,15139172 0,1422935 0,2366144260 0,13410617 0,23405044 0,13410167 146 0,14228615 0,20306025 0,2376014961 0,11178221 0,23661441 0,14499222 147 0,13404919 0,13411667 0,2036948662 0,17276066 0,23760149 0,12880603 148 0,14915341 0,13410168 0,134558863 0,23400996 0,20369486 0,17059941 149 0,15923995 0,14499222 0,1422883664 0,17727976 0,1345588 0,2100981 150 0,12929909 0,12880603 0,2439472365 0,11758996 0,14228836 0,15645271 151 0,14227144 0,17059941 0,2453667466 0,16656665 0,24394723 0,11078546 152 0,13410167 0,21009811 0,1341016767 0,12623921 0,24536674 0,12880603 153 0,14951522 0,15645271 0,1423523668 0,13709044 0,13410167 0,11704457 154 0,14229351 0,11078546 0,1773379669 0,1295795 0,14235236 0,13675524 155 0,09090909 0,12880603 0,1772797670 0,14308729 0,17733796 0,15149252 156 0,16666667 0,11704457 0,1123656371 0,11146179 0,17727976 0,16375374 157 0,1428082 0,13675524 072 0,17457697 0,11236563 0,15645271 158 0,12936731 0,15149266 0,1772868173 0,13410167 0,24961993 0,14223465 159 0 0,16375374 074 0,14499222 0,1772845 0,13359903 160 0,14235236 0,15645257 0,1423539975 0,13677536 0,14287429 0,19126567 161 0,15139172 0,14223465 0,1089317676 0,10925678 0,14235677 0,1991992 162 0,09090909 0,13359903 0,1171217577 0,19734804 0,10893176 0,12478649 163 0,14229351 0,19126567 0,1772459178 0,26824628 0,11712175 0,13411597 164 0,13457378 0,1991992 0,189423679 0,17460422 0,17724591 0,14227884 165 0,14879128 0,12478776 0,1776045380 0,14227879 0,1894236 0,16565138 166 0,14224937 0,13410168 0,2461870381 0,16635196 0,17760453 0,14879128 167 0,15874485 0,14227144 0,189134482 0,14850136 0,24618702 0,13660617 168 0,12945068 0,16565154 0,1035297683 0,14284343 0,1891344 0,11004316 169 0,17279488 0,14879128 0,1174030584 0,13410167 0,10352976 0,12948857 170 0,17830731 0,13660617 0,1701244885 0,1663749 0,11740305 0,1109412 171 0,12653838 0,11004317 0,2106717286 0,12948857 0,17012448 0,15793729 172 0,13406418 0,12948858 0,23409209

Annexe A

121

Tableau A-9 : Ecart relatif des déplacements de la structure EL (cas 1).


1 0 0 0 29 0,13457684 0,19918348 0,137462652 0 0 0 30 0,14879263 0,12476842 0,134106533 0 0 0 31 0,14224688 0,13411938 0,111782244 0 0 0 32 0,15874421 0,14228723 0,17276075 0,15175742 0,13409452 0,13659707 33 0,1294491 0,16568423 0,234009966 0,17068388 0,13409623 0,11004379 34 0,17279667 0,14879357 0,177280057 0,15817042 0,14472203 0,12948615 35 0,17830562 0,13657771 0,117589778 0,13547053 0,15861867 0,11093824 36 0,12653827 0,11004992 0,166566329 0,17959465 0,11149503 0,15793478 37 0,1340676 0,12948857 0,12623954

10 0,15140086 0,14230019 0,11174085 38 0,14499499 0,11097247 0,1370907811 0,14228706 0,20306404 0,16656186 39 0,15139311 0,15793728 0,1295792412 0,13405458 0,13411784 0,15793294 40 0,23371959 0,11174558 0,143087213 0,14914915 0,13411938 0,14227278 41 0,20533795 0,16656745 0,1114617314 0,15924589 0,14498685 0,12859935 42 0,13410177 0,15794637 0,1745771615 0,12930574 0,12881754 0,14223407 43 0,13409735 0,14227059 0,1341014616 0,14226607 0,17061611 0,1423137 44 0,1447174 0,12863429 0,1449923917 0,13409482 0,21008769 0,12950372 45 0,15862083 0,14223974 0,1367751318 0,1495141 0,15642765 0,12872267 46 0,11148943 0,14230379 0,1092566419 0,14229839 0,11077236 0,13663652 47 0,14229162 0,12951131 0,1973479220 0,09090909 0,12879527 0,13411793 48 0,2030584 0,12870537 0,2682463321 0,16666667 0,11703083 0,18870592 49 0,13411804 0,13663287 0,1746043322 0,1428044 0,1367713 0,19080743 50 0,13409848 0,13411976 0,1422788423 0,12936513 0,15148684 0,12880983 51 0,14499529 0,1887401 0,1663517624 0,15079974 0,16373493 0,20305976 52 0,12880392 0,19081077 0,1485015425 0,14235201 0,15643594 0,17079931 53 0,17060315 0,12880826 0,1428433826 0,15139421 0,14225697 0,17437294 54 0,21009986 0,20306355 0,1341016627 0,09090909 0,13359903 0,1286005 55 0,15645516 0,17079177 0,1663746728 0,14229457 0,19124643 0,13711248 56 0,1107869 0,17437252 0,12948865

Annexe A

122

Tableau A-10 : Ecart relatif des forces de la structure EL (cas 1).


1 0,12876745 0,14499222 0 87 0,12950373 0,11705158 0,103529762 0,14192552 0,1513916 0,11004494 88 0,12872253 0,12956435 0,117403053 0 0,23371648 0 89 0,13663599 0,11100838 0,170124484 0,12876808 0,20534006 0,11093901 90 0,13411667 0,14232293 0,210671725 0,15146372 0,13410167 0,15793728 91 0,1887068 0,11758685 0,234092096 0,14221993 0,13410167 0,11174276 92 0,19080757 0,1091695 0,142219937 0,15881561 0,14471433 0,16656249 93 0,12881058 0,14285144 0,152542378 0,15175163 0,15861744 0,15793019 94 0,20306025 0,18939732 0,157540029 0,17067507 0,11149021 0,14227144 95 0,17079885 0,20349189 0,12724734

10 0,1581783 0,14229351 0,12860106 96 0,17437252 0,1744066 0,1417782411 0,1354716 0,20306025 0,14223465 97 0,12860106 0,23405044 0,1508873212 0,17958815 0,13411667 0,14231558 98 0,13711278 0,23661442 0,1555480513 0,15139172 0,13410167 0,12950373 99 0,13746259 0,23760149 0,1287680814 0,14228615 0,14499222 0,12872253 100 0,13410617 0,20369486 0,1419255215 0,13404919 0,12880603 0,13663599 101 0,11178221 0,1345588 0,1567585816 0,14915341 0,17059941 0,13411667 102 0,17276066 0,14228836 0,1287680817 0,15923995 0,21009811 0,1887068 103 0,23400996 0,24394723 0,1514637318 0,12929909 0,15645272 0,19080757 104 0,17727976 0,24536674 0,1422199319 0,14227144 0,11078546 0,12881058 105 0,11758996 0,13410167 0,1588156120 0,13410167 0,12880603 0,20306025 106 0,16656665 0,14235236 0,1517516321 0,14951522 0,11704457 0,17079885 107 0,12623921 0,17733796 0,1706750722 0,14229351 0,13675524 0,17437252 108 0,13709044 0,17727976 0,158178323 0,09090909 0,15149252 0,12860106 109 0,1295795 0,11236563 0,135471624 0,16666667 0,16375374 0,13711278 110 0,14308729 0,24961993 0,1795881525 0,14280816 0,15645272 0,13746259 111 0,11146179 0,17728449 0,1513917226 0,12936731 0,14223465 0,13410617 112 0,17457697 0,14287429 0,1422861527 0,15080079 0,13359903 0,11178221 113 0,13410167 0,14235677 0,1340491928 0,14235236 0,19126567 0,17276066 114 0,14499222 0,10893176 0,1491534129 0,15139172 0,1991992 0,23400996 115 0,13677536 0,11712174 0,1592399530 0,09090909 0,12478776 0,17727976 116 0,10925678 0,17724592 0,1292990931 0,14229351 0,13410167 0,11758996 117 0,19734804 0,1894236 0,1422714432 0,13457378 0,14227144 0,16656665 118 0,26824628 0,17760453 0,1341016733 0,14879128 0,16565154 0,12623921 119 0,17460422 0,24618703 0,1495152234 0,14224937 0,14879128 0,13709044 120 0,14227879 0,1891344 0,1422935135 0,15874485 0,13660617 0,1295795 121 0,16635196 0,10352976 0,0909090936 0,12945068 0,11004316 0,14308728 122 0,14850136 0,11740304 0,1666666737 0,17279488 0,12948857 0,11146179 123 0,14284343 0,17012448 0,1428081638 0,17830731 0,1109412 0,17457697 124 0,13410167 0,21067172 0,1293673139 0,12653838 0,15793728 0,13410167 125 0,1663749 0,23409209 0,1508007940 0,13406418 0,11174276 0,14499222 126 0,12948857 0,14221993 0,1423523641 0,14499222 0,16656249 0,13677535 127 0,11705159 0,15254237 0,15139172

Annexe A

123

42 0,15139172 0,15793019 0,10925678 128 0,12956435 0,15754002 0,0909090943 0,23371648 0,14227144 0,19734804 129 0,11100838 0,12724734 0,1422935144 0,20534011 0,12860106 0,26824628 130 0,14232293 0,14177824 0,1345737845 0,13410167 0,14223465 0,17460422 131 0,11758685 0,15088732 0,1487912846 0,13410167 0,14231558 0,14227879 132 0,1091695 0,15554805 0,1422493747 0,14471433 0,12950373 0,16635196 133 0,14285144 0,12876808 0,1587448348 0,15861744 0,12872253 0,14850136 134 0,18939732 0,14192552 0,1294506849 0,11149021 0,13663599 0,14284343 135 0,20349189 0,15675858 0,1727948850 0,14229351 0,13411667 0,13410167 136 0,1744066 0,12876808 0,1783073151 0,20306025 0,1887068 0,1663749 137 0,23405044 0,15146373 0,1265383852 0,13411667 0,19080757 0,12948858 138 0,23661442 0,14221993 0,1340641853 0,13410167 0,12881058 0,11705159 139 0,23760149 0,15881561 0,1449922254 0,14499222 0,20306025 0,12956435 140 0,20369486 0,15175163 0,1513917255 0,12880603 0,17079885 0,11100838 141 0,1345588 0,17067507 0,2337164856 0,17059941 0,17437252 0,14232293 142 0,14228836 0,1581783 0,2053401157 0,21009811 0,12860106 0,11758685 143 0,24394723 0,1354716 0,1341017358 0,15645271 0,13711278 0,1091695 144 0,24536674 0,17958815 0,1341016759 0,11078546 0,13746259 0,14285145 145 0,13410167 0,15139172 0,1447143360 0,12880603 0,13410617 0,18939732 146 0,14235236 0,14228615 0,1586174461 0,11704457 0,11178221 0,20349189 147 0,17733796 0,13404918 0,1114902162 0,13675524 0,17276066 0,17440661 148 0,17727976 0,14915341 0,1422935163 0,15149252 0,23400996 0,23405044 149 0,11236563 0,15923995 0,2030602564 0,16375374 0,17727976 0,23661441 150 0,24961993 0,12929909 0,1341166765 0,15645271 0,11758996 0,23760149 151 0,1772845 0,14227144 0,1341016766 0,14223465 0,16656666 0,20369486 152 0,14287429 0,13410167 0,1449922267 0,13359903 0,12623921 0,1345588 153 0,14235677 0,14951522 0,1288060368 0,19126567 0,13709044 0,14228835 154 0,10893176 0,14229351 0,1705994169 0,1991992 0,1295795 0,24394723 155 0,11712175 0,09090909 0,2100981170 0,12478776 0,14308728 0,24536674 156 0,17724591 0,16666667 0,1564527271 0,13410167 0,11146179 0,13410167 157 0,1894236 0,14280816 0,1107854672 0,14227144 0,17457697 0,14235236 158 0,17760453 0,12936731 0,1288060373 0,16565154 0,13410167 0,17733796 159 0,24618703 0,15080079 0,1170445774 0,14879128 0,14499222 0,17727976 160 0,1891344 0,14235236 0,1367552475 0,13660617 0,13677535 0,11236563 161 0,10352976 0,15139172 0,1514925276 0,11004316 0,10925678 0,24961993 162 0,11740305 0,09090909 0,1637537477 0,12948857 0,19734804 0,1772845 163 0,17012448 0,14229351 0,1564527178 0,1109412 0,26824628 0,14287429 164 0,21067172 0,13457378 0,1422346579 0,15793728 0,17460422 0,14235677 165 0,23409209 0,14879128 0,1335990380 0,11174276 0,14227879 0,10893176 166 0,14221993 0,14224937 0,1912656781 0,16656249 0,16635196 0,11712175 167 0,15254237 0,15874485 0,199199282 0,15793019 0,14850136 0,17724591 168 0,15754002 0,12945068 0,1247877683 0,14227144 0,14284343 0,1894236 169 0,12724734 0,17279488 0,1341016784 0,12860106 0,13410167 0,17760453 170 0,14177824 0,17830731 0,1422714485 0,14223465 0,1663749 0,24618703 171 0,15088732 0,12653838 0,1656515486 0,14231558 0,12948857 0,1891344 172 0,15554805 0,13406418 0,14879128

Annexe A

124

Tableau A-11 : Ecart relatif des déplacements de la structure EL (cas 2).

Joint Δu1 Δu2 Δu3 Joint Δu1 Δu2 Δu3Text % % % Text % % %

1 0 0 0 29 0,23405416 0,1285956 0,142293892 0 0 0 30 0,23661393 0,14224894 0,090909093 0 0 0 31 0,23760096 0,14228964 0,166666674 0 0 0 32 0,20369385 0,12949592 0,14280885 0,1340908 0,12881397 0,14178437 33 0,13455664 0,12870537 0,129366946 0,14497515 0,11704277 0,15089237 34 0,14228441 0,13664174 0,150801167 0,13676698 0,13675602 0,15554404 35 0,24394633 0,13411394 0,142351998 0,10927378 0,15149503 0,12877757 36 0,24536969 0,1887219 0,151391429 0,19734293 0,16375508 0,14192643 37 0,13410471 0,1908093 0,09090909

10 0,26824047 0,15647806 0,15675756 38 0,14235574 0,12882584 0,1422935511 0,17460794 0,14223725 0,12877159 39 0,17733636 0,20306025 0,1345737812 0,14227606 0,13360082 0,15146411 40 0,17728215 0,17077544 0,1487916113 0,16635089 0,19128288 0,14222138 41 0,11236459 0,17437685 0,1422497314 0,14850581 0,19918561 0,15881578 42 0,24962277 0,12857753 0,1587449315 0,14283561 0,12476904 0,15175359 43 0,17728729 0,137114 0,1294510316 0,13410159 0,13409962 0,17067483 44 0,1428777 0,13748491 0,1727948617 0,16636913 0,14230019 0,1581777 45 0,14235992 0,13411094 0,1783075818 0,12949299 0,16566627 0,13547099 46 0,10893187 0,11179764 0,1265385219 0,11705388 0,14879949 0,1795882 47 0,11712287 0,17276066 0,1340641820 0,12956715 0,13660783 0,15139259 48 0,17724777 0,23404255 0,1449923621 0,11101443 0,11001421 0,14228668 49 0,18942731 0,17728504 0,1513918522 0,14232731 0,12950088 0,13404978 50 0,17760529 0,1175939 0,2337164823 0,11758984 0,11096743 0,14915274 51 0,24618583 0,16656377 0,2053401124 0,10916521 0,15791902 0,15924065 52 0,18913326 0,12623692 0,1341015825 0,14284635 0,11174558 0,12929858 53 0,1035318 0,13709416 0,1341018326 0,18939875 0,16657217 0,14227214 54 0,11740343 0,12957561 0,1447146227 0,2034929 0,15791229 0,13410182 55 0,17012448 0,14307828 0,158617528 0,17440763 0,14228052 0,14951504 56 0,21067113 0,11145733 0,11149009

Annexe A

125

Tableau A-12 : Ecart relatif des forces de la structure EL (cas 2).


1 0,17060007 0,15645271 0 87 0,14228836 0,1772845 0,166351962 0,21009811 0,14223471 0,12945063 88 0,24394723 0,14287429 0,148501363 0 0,13359903 0 89 0,24536674 0,14235677 0,142843434 0,11078546 0,19126567 0,17831031 90 0,13410167 0,10893176 0,134101675 0,12880603 0,1991992 0,12653839 91 0,14235236 0,11712175 0,16637496 0,11704457 0,12478776 0,13406418 92 0,17733796 0,17724591 0,129488577 0,13675524 0,13410167 0,14499222 93 0,17727976 0,1894236 0,117051598 0,15149252 0,14227144 0,15139172 94 0,11236563 0,17760453 0,129564359 0,16375374 0,16565154 0,23371648 95 0,24961993 0,24618703 0,11100838

10 0,15645271 0,14879128 0,20534011 96 0,1772845 0,1891344 0,1423229311 0,14223465 0,13660617 0,13410167 97 0,14287429 0,10352976 0,1175868512 0,13359903 0,11004316 0,13410167 98 0,14235677 0,11740305 0,109169513 0,19126567 0,12948857 0,14471433 99 0,10893176 0,17012448 0,1428512714 0,1991992 0,1109412 0,15861744 100 0,11712175 0,21067172 0,1893973215 0,12478776 0,15793728 0,11149021 101 0,17724591 0,23409209 0,2034918916 0,13410167 0,11174276 0,14229351 102 0,1894236 0,14221993 0,174406617 0,14227144 0,16656249 0,20306025 103 0,17760453 0,15254237 0,2340504418 0,16565154 0,15793019 0,13411667 104 0,24618703 0,15754002 0,2366144219 0,14879128 0,14227144 0,13410167 105 0,1891344 0,12724734 0,2376014920 0,13660617 0,12860106 0,14499222 106 0,10352976 0,14177824 0,2036948621 0,11004316 0,14223465 0,12880603 107 0,11740305 0,15088732 0,134558822 0,12948857 0,14231558 0,17059941 108 0,17012448 0,15554805 0,1422883623 0,1109412 0,12950373 0,21009811 109 0,21067172 0,12876808 0,2439472324 0,15793728 0,12872253 0,15645271 110 0,23409209 0,14192552 0,2453667425 0,11174276 0,13663599 0,11078546 111 0,14221993 0,15675858 0,1341016726 0,16656249 0,13411667 0,12880603 112 0,15254237 0,12876808 0,1423523527 0,15793019 0,1887068 0,11704457 113 0,15754002 0,15146373 0,1773379628 0,14227144 0,19080757 0,13675523 114 0,12724734 0,14221993 0,1772797629 0,12860106 0,12881058 0,15149252 115 0,14177824 0,15881561 0,1123656330 0,14223465 0,20306025 0,16375374 116 0,15088732 0,15175163 0,2496199331 0,14231558 0,17079885 0,15645271 117 0,15554805 0,17067507 0,177284532 0,12950373 0,17437252 0,14223465 118 0,12876808 0,1581783 0,1428742833 0,12872253 0,12860106 0,13359903 119 0,14192552 0,1354716 0,1423567734 0,13663599 0,13711278 0,19126567 120 0,15675858 0,17958815 0,1089317635 0,13411667 0,13746259 0,1991992 121 0,12876808 0,15139172 0,1171217536 0,1887068 0,13410617 0,12478776 122 0,15146373 0,14228615 0,1772459137 0,19080757 0,11178221 0,13410167 123 0,14221993 0,13404919 0,189423638 0,12881058 0,17276066 0,14227144 124 0,15881561 0,14915341 0,1776045339 0,20306025 0,23400996 0,16565154 125 0,15175163 0,15923995 0,2461870340 0,17079885 0,17727976 0,14879128 126 0,17067507 0,12929909 0,189134441 0,17437252 0,11758996 0,13660617 127 0,1581783 0,14227144 0,1035297642 0,12860106 0,16656665 0,11004316 128 0,1354716 0,13410167 0,11740305

Annexe A

126

43 0,13711278 0,12623921 0,12948857 129 0,17958815 0,14951522 0,1701244844 0,13746259 0,13709044 0,1109412 130 0,15139172 0,14229351 0,2106717245 0,13410617 0,1295795 0,15793728 131 0,14228615 0,09090909 0,2340920946 0,11178221 0,14308729 0,11174276 132 0,13404919 0,16666667 0,1422199347 0,17276066 0,11146179 0,16656249 133 0,14915341 0,14280816 0,1525423748 0,23400996 0,17457697 0,15793019 134 0,15923995 0,12936731 0,1575400249 0,17727976 0,13410167 0,14227144 135 0,12929909 0,1508008 0,1272473450 0,11758996 0,14499222 0,12860106 136 0,14227144 0,14235236 0,1417782451 0,16656665 0,13677536 0,14223465 137 0,13410167 0,15139172 0,1508873252 0,12623921 0,10925678 0,14231558 138 0,14951522 0,09090909 0,1555480553 0,13709044 0,19734804 0,12950373 139 0,14229351 0,14229351 0,1287680854 0,1295795 0,26824628 0,12872253 140 0,09090909 0,13457378 0,1419255255 0,14308729 0,17460422 0,13663599 141 0,16666667 0,14879128 0,1567586656 0,11146179 0,1422788 0,13411667 142 0,14280816 0,14224936 0,1287680857 0,17457697 0,16635196 0,1887068 143 0,12936731 0,15874485 0,1514637858 0,13410167 0,14850136 0,19080757 144 0,15080079 0,12945068 0,1422199359 0,14499222 0,14284343 0,12881058 145 0,14235236 0,17279488 0,1588156160 0,13677536 0,13410168 0,20306025 146 0,15139172 0,17830731 0,1517516361 0,10925678 0,1663749 0,17079885 147 0,09090909 0,12653838 0,1706750762 0,19734804 0,12948857 0,17437253 148 0,14229351 0,13406418 0,158178363 0,26824628 0,11705159 0,12860106 149 0,13457378 0,14499222 0,135471664 0,17460422 0,12956435 0,13711278 150 0,14879128 0,15139172 0,1795881565 0,14227879 0,11100838 0,13746259 151 0,14224937 0,23371648 0,1513917266 0,16635196 0,14232293 0,13410617 152 0,15874485 0,20534011 0,1422861567 0,14850136 0,11758685 0,11178221 153 0,12945068 0,13410167 0,1340491968 0,14284343 0,1091695 0,17276066 154 0,17279488 0,13410167 0,1491534169 0,13410167 0,14285144 0,23400996 155 0,17830731 0,14471433 0,1592399570 0,1663749 0,18939732 0,17727976 156 0,12653838 0,15861744 0,1292990971 0,12948857 0,20349189 0,11758996 157 0,13406418 0,11149021 0,1422714472 0,11705159 0,1744066 0,16656665 158 0,14499222 0,14229351 0,1341016773 0,12956435 0,23405044 0,12623921 159 0,15139172 0,20306025 0,1495152274 0,11100838 0,23661442 0,13709044 160 0,23371648 0,13411667 0,1422935175 0,14232293 0,23760149 0,1295795 161 0,20534011 0,13410167 0,0909090976 0,11758685 0,20369486 0,14308728 162 0,13410167 0,14499222 0,1666666777 0,1091695 0,1345588 0,11146179 163 0,13410167 0,12880603 0,1428081678 0,14285144 0,14228836 0,17457697 164 0,14471433 0,17059941 0,1293673179 0,18939732 0,24394723 0,13410167 165 0,15861744 0,2100981 0,150800880 0,20349189 0,24536674 0,14499222 166 0,11149021 0,15645272 0,1423523681 0,1744066 0,13410167 0,13677536 167 0,14229351 0,11078546 0,1513917282 0,23405044 0,14235236 0,10925678 168 0,20306025 0,12880603 0,0909090983 0,23661442 0,17733796 0,19734804 169 0,13411667 0,11704457 0,1422935184 0,23760149 0,17727976 0,26824628 170 0,13410167 0,13675523 0,1345737885 0,20369486 0,11236564 0,17460422 171 0,14499222 0,15149252 0,1487912886 0,1345588 0,24961993 0,14227879 172 0,12880603 0,16375374 0,14224937

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intitulé : etude des structures mécaniques spatiales par la méthode

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