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Aides mathématiques 05 page 1/11

Il ne s’agit pas d’un cours de mathématiques mais d’aides pour comprendre comment les

mathématiques, leurs notions, leurs résultats et leurs notations sont utilisés avec succès depuis des

années en physique.

Intégrales et primitives Nous ne considérons que des fonctions réelles de variables réelles.

La notion d’intégrale1 est introduite à partir du problème du calcul des aires. L’étude des intégrales

conduit à la notion de primitive. Ensuite nous abordons quelques propriétés générales des

primitives et des intégrales sans oublier les primitives de quelques fonctions usuelles et de

nombreux exemples2.

A. Le problème de départ

1. Description du problème

On veut calculer l’aire comprise entre la courbe représentative d’une fonction f, l’axe des

abscisses et deux droites d’abscisses a et b. La surface en question est hachurée en rouge sur la

figure ci-après.

1 Les notions préalables nécessaires à la lecture de cette aide se trouvent dans les trois aides

mathématiques Am 02 Fonctions, Am 03 Accroissements et dérivées et Am 04 Différentielles.

2 Les tableaux en vert donnent des exemples, en violet des propriétés ou règles générales et ceux

en bleu concernent des fonctions usuelles.


2. Deux exemples simples

Exemple 1 : Une fonction constante : ( )f x f x c

La figure ci-dessus représente la situation. Nous voulons calculer l’aire du rectangle hachuré en

rouge. L’aire d’un rectangle est le produit des longueurs de ses côtés.

( )Aire c b a

Pour préparer la suite j’écris l’aire sous la forme d’une différence :

Aire cb ca

Exemple 2 : Une fonction linéaire : ( )f x f x cx


Nous voulons cette fois calculer l’aire d’un trapèze. Elle vaut la moitié de la somme des

longueurs des bases multipliée par celle de la hauteur :

1

( )( )2

Aire ca cb b a

Pour préparer la suite je l’écris sous la forme d’une différence (les termes en ab s’annulent) :

2 21 1

2 2Aire cb ca

B. Comment faire dans le cas d’une fonction quelconque ?

1. Evaluation de l’aire, notation intégrale

On découpe l’axe des abscisses en n segments ce qui découpe l’aire en n bandes. Voir figure ci-

après. L’aire de chaque bande est proche de celle du rectangle de côtés xi+1 – xi et f(xi). On évalue

ensuite l’aire cherchée en faisant la somme des aires des rectangles :

1

1

0

Evaluation de l'aire = ( )( )i n

i i i

i

f x x x

Plus le nombre de bandes est grand, plus chaque rectangle est proche de chaque bande et

meilleure est l’évaluation.

Pour rendre l’évaluation de meilleure en meilleure, on fait tendre n vers l’infini. Quand la limite

de la somme ci-dessus existe elle est égale à l’aire cherchée :


1

1

0

= lim ( )( )i n

i i in

i

A f x x x

La notation par le symbole intégrale, qui est en fait le S de Somme déformé, a été introduite par

le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz :

( )b

aA f t dt

Lire « intégrale de a à b de f(t)dt ». La variable t est dite variable muette car elle n’apparaît pas

dans le résultat. Elle varie de a à b dans le processus d’intégration.

En Physique l’interprétation de cette notation est la suivante : l’aire est la somme d’aires de

rectangles élémentaires de côtés f(t) et dt. La variable muette t repère un rectangle élémentaire.

2. Notion de primitive

On considère une aire que l’on rend variable en faisant varier l’abscisse b :

: ( ) ( )x

ax x f t dt

La borne x varie, pour l’instant, de a à b. Lorsque la borne x vaut a, l’aire (a) vaut 0. Lorsqu’elle

vaut b on retrouve l’aire A calculée au paragraphe précédent.

On veut, bien sûr, étudier cette fonction et on en cherche donc la dérivée :

0 00

0

( ) ( )'( ) lim

h

x h xx

h


0 0

00

( ) ( )'( ) lim

x h x

a a

h

f t dt f t dtx

h

La différence des aires est égale à l’aire hachurée sur la figure ci-dessous :

0

0

00

0 0

( )'( ) lim

'( ) ( )

x h

x

h

f t dtx

h

x f x

Ce calcul ne dépend pas de la valeur de x0 donc la dérivée de est égale à f.

'( ) ( )x f x

Donc pour trouver la fonction il faut rechercher une fonction dont la dérivée est f. Une telle

fonction est appelée primitive de f.

3. Propriété des primitives d’une fonction

Toutes les primitives d’une fonction se déduisent l’une de l’autre par addition d’une constante :

La dérivée d’une fonction constante étant nulle, s’il existe une primitive d’une fonction, il en

existe une infinité. En effet, supposons que nous avons obtenu une primitive F de la fonction f,

alors :

'( ) ( ) mais aussi ( ) ' ( )F x f x F x C f x

Et réciproquement si on a trouvé deux primitives d’une même fonction, alors elles diffèrent

d’une constante :

( ) ( ) ' ( ) ( ) 0 ( ) ( )F x G x f x f x F x G x C


4. Calcul de l’aire cherchée

La fonction F étant une primitive quelconque de la fonction f la fonction s’écrit :

( ) ( )x F x C

La fonction s’annule en x = a ce qui permet de déterminer la valeur de la constante C :

( ) ( ) 0 ( )a F a C C F a

Et donc :

( ) ( ) ( )x F x F a

Et nous obtenons aussi l’aire A recherchée car nous avons vu que lorsque x = b, (b) = A :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaA f t dt b F b F a F t

L’intégrale de a à b de f(t)dt est égale à la différence des valeurs en b et en a d’une primitive

quelconque de f. La notation à crochets se lit « F(t) pris entre a et b ».

C. Propriétés, formulaire et exemples de primitives

Attention à respecter les domaines de définition des fonctions et de leurs primitives. Voir Am 02

Fonctions.

Suivent quatre tableaux. Attention : Ils donnent une primitive F(x). Les primitives s’écrivent

F(x)+K, K étant un réel constant quelconque. C’est la première propriété des primitives.

Le premier tableau donne d’autres propriétés des primitives qui se déduisent des propriétés des

dérivées. Une primitive de u est notée U etc.

Le deuxième tableau donne les primitives de quelques fonctions usuelles. Il s’agit de lire de

droite à gauche le tableau des dérivées. Voir Am 03 Dérivées.

En combinant la propriété (o) liée aux fonctions composées et les primitives des fonctions

usuelles on obtient d’autres primitives très utilisées. Elles sont rassemblées dans le troisième

tableau.

Enfin le quatrième tableau donne des exemples.

Propriété Fonction f(x) Une primitive F(x)

C ( )C u x ( )C U x

+ ( ) ( )u x v x

( ) ( )U x V x

o '( ) ( )u x v u ( )V u


Le tableau de quelques fonctions usuelles :

Le tableau de quelques fonctions composées :

Propriété Fonction f(x) Une primitive F(x)

o '( ) ( ) avec 1u x u x

11( )

1u x

o 1 '( )

'( ) ( )( )

u xu x u x

u x

ln ( ) avec ( ) 0u x u x

o cos( )a ax b sin( )ax b

o ln avec 0 et 1x x aa e a ln1 1

ln ln

x a xe aa a

Enfin quelques exemples. Quand on établit une primitive, toujours vérifier en la dérivant

qu’aucune erreur de calcul ne s’est glissée malencontreusement !

Fonction f(x) Une primitive F(x) Fonction f(x) Une primitive F (x)

0 avec constanteC C x

1

avec 11

x

1

x ln x

xe

xe

sh x ch x 2

1

1x

argch x

ch x sh x 2

1

1 x

argsh x

2

1

ch x th x 2

1

1 x

argth x

sin x cos x 2

1

1 x arccos x

cos x sin x 2

1

1 x arcsin x

2

2

11 tan

cosx

x

tan x 2

1

1 x arctan x


Fonction f(x) Une primitive F(x) Commentaire

3

3x

Puissance nulle de x

3x 41

4x Puissance entière

2

2

1x

x

1 1

xx

Puissance négative

1/2x x

3/22 2

3 3x x x

Puissance fractionnaire

1,4x 2,41

2,4x Puissance réelle non entière

2 22 2 2 2

2

1 1 1

1b xa b x a

a

2

1 1arctan arctan

a b bx x

a b a ab a

Constante multiplicative et fonction composée

sin(2 5)x

1cos(2 5)

2x

Fonction composée avec u’(x) constant

2bxxe

21

2

bxeb

Fonction composée avec u’(x) = 2bx

Trouver une primitive de exp(bx2) n’est pas simple car 2bx n’est pas une constante. Voir

Statistique de Maxwell-Boltzmann, § 5 (appendice mathématique du troisième complément du

chapitre VII de Thermodynamique).

D. Propriétés des intégrales, calcul des aires, exemples

1. Trois propriétés des intégrales

Lorsqu’on échange le rôle des bornes, l’intégrale devient son opposée :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )a ba

bb af t dt F t F a F b f t dt

Elle n’est plus égale à l’aire mais à son opposée. D’où la nécessité de se pencher sur les signes

pour le calcul des aires. Voir paragraphe 2, page suivante.


Il existe une relation de Chasles pour les intégrales :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )b c b

a a c

F b F a F c F a F b F c

f t dt f t dt f t dt

Une dernière propriété, l’intégration par parties. On part de la dérivation d’un produit. Ensuite

on intègre et on peut écrire le résultat sous deux formes :

( ) ' ' '

' ( ) ' '

uv u v uv

uv uv u v

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b bb

aa a

b bb

aa a

u t v t dt u t v t u t v t dt

u t dv u t v t v t du

2. Etude des signes

Nous sommes partis d’une situation où les bornes sont telles que a < b et où les valeurs de la

fonction f sont positives sur l’intervalle [a ; b]. Dans les autres cas :

1 1

1 1

Lorsque et ( ) 0 sur ; alors ( ) 0 et

et ( ) 0 et

Lorsque et ( ) 0 sur ; alors ( ) 0 et

et ( ) 0 et

b

a

a

b

b

a

a

b

a b f t a b I f t dt Aire I

I f t dt I Aire I

a b g t a b J g t dt Aire J

J g t dt J Aire J

Dans les cas plus généraux on découpe l’intervalle [a ; b] pour se ramener à une somme

d’intervalles des deux types précédents c’est-à-dire ceux où la fonction est positive et ceux où

elle est négative.

Voir figure ci-dessus. L’aire de toute la surface hachurée s’écrit :


( ) ( ) ( )c d b

a c dA f t dt f t dt f t dt

Appliquons ces résultats aux deux cas particuliers étudiés graphiquement. Dans le premier cas

f(t) = c et dans le deuxième f(t) = ct. Sur l’intervalle [a ; b] ces deux fonctions sont strictement

positives. Et nous retrouvons les résultats obtenus précédemment. Ouf !

1

2 2 2

2

1 1 1

2 2 2

bb

a a

bb

aa

A cdt ct cb ca

A ctdt ct cb ca

3. Remarques

Remarque 1. L’intégrale peut être nulle alors que l’aire ne l’est pas. Par exemple :

sin 0I tdt

0 0

00sin sin cos cos

cos0 cos( ) cos( ) cos0

( 1 1) (1 1) 4

A tdt tdt t t

A

A

Remarque 2. Les bornes ne sont pas nécessairement des zéros de la fonction. Par exemple :

/2/2

sin cos cos cos( / 2) 1I tdt t

0 0

/2 0/2 0sin sin cos cos

cos0 cos( / 2) cos( ) cos0

( 1 0) (1 1) 3

A tdt tdt t t

A

A


4. Intégration par parties

Deux exemples classiques d’intégration par parties :

f(x) ln x x sin x

I lnb

at dt sin

b

at t dt

u(t) ln t t

v ’(t) 1 sin t

u ’(t) 1

t 1

v(t) t -cos t

On applique la formule de l’intégration par parties :

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b bb

aa aI u t v t dt u t v t u t v t dt

ln

ln

ln ( ln )

bb

a a

b b

a a

I t t dt

I t t t

I b b b a a a

cos cos

cos sin

cos cos sin sin

bb

a a

b b

a a

I t t tdt

I t t t

I b b a a b a

F(x) x lnx – x +K –x cos x+ sin x + K.

Voir aussi Statistique de Maxwell-Boltzmann, § 5 (appendice mathématique du troisième

complément du chapitre VII de Thermodynamique). On y trouvera aussi des exemples de

changement de variables (utilisation de la composition des fonctions).

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