intégrales dépendant d'un paramètre

Intégrales dépendant d’un paramètre

Essaidi Ali

12 mai 2015

K = R ou C

1 Théorème de la converence dominée, intégration terme à terme :Théorème 1.1 (Théorème de la convergence dominée)Soit I un intervalle non vide et (fn) une suite de fonctions de I et à valeurs réelles ou complexes.Si :

– ∀n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I .– La suite (fn) convege simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I .– Il existe une fonction ϕ à valeurs positives et intégrable sur I telle que ∀n ∈ N, |fn| ≤ ϕ (Condition de domination).

Alors, la fonction f est intégrable sur I et on a∫I

f =

∫I

limn→+∞

fn = limn→+∞

∫I

fn.

Exemples :

– Calcul de limn→+∞

∫ 1

0

et

1 + tndt :

On pose ∀n ∈ N,∀t ∈ [0, 1[, fn(t) = et

1+tn . On a :

1. ∀n ∈ N, fn est continue sur [0, 1[.

2. (fn) converge simplement sur [0, 1[ vers la fonction f(t) = et qui est continue sur [0, 1].

3. ∀n ∈ N,∀t ∈ [0, 1[, |fn(t)| ≤ e et t 7→ e est intégrable sur [0, 1[.

Donc, d’après le théorème de la convergence dominée, limn→+∞

∫ 1

0

et

1 + tndt =

∫ 1

0

limn→+∞

et

1 + tndt =

∫ 1

0

etdt = e− 1.


∫ +∞

0

(1 +

x

n

)ne−axdx avec a > 1 :

On pose ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0,+∞[, fn(x) =(1 + x

n

)ne−ax. On a :

1. ∀n ∈ N∗, fn est continue sur [0,+∞[.

2. (fn) converge simplement sur [0,+∞[ vers la fonction f(x) = e(1−a)x qui est continue sur [0,+∞[.

3. ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0,+∞[, ln(1 + x

n

)n= n ln

(1 + x

n

)≤ x donc

(1 + x

n

)n ≤ ex d’où |fn(x)| ≤ e(1−a)x etx 7→ e(1−a)x est intégrable sur [0,+∞[.


∫ +∞

0

(1 +

x

n

)ne−axdx =

∫ +∞

0

limn→+∞

(1 +

x

n

)ne−axdx =∫ +∞

0

e(1−a)xdx =1

a− 1.


∫ n

0

(1− x

n

)ndx :

On pose ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0,+∞[, fn(x) =(1− x

n

)n1[0,n]. On a :

1. ∀n ∈ N∗, fn est continue par morceaux sur [0,+∞[.

2. (fn) converge simplement sur [0,+∞[ vers la fonction f(x) = e−x qui est continue sur [0,+∞[.

3. ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0, n[, ln(1− x

n

)n= n ln

(1− x

n

)≤ −x donc

(1− x

n

)n ≤ e−x d’où ∀n ∈ N∗,∀x ∈ [0,+∞[, |fn(x)| ≤e−x et x 7→ e−x est intégrable sur [0,+∞[.


∫ n

0

(1− x

n

)ndx = lim

n→+∞

∫ +∞

0

(1− x

n

)n1[0,n]dx =∫ +∞

0

limn→+∞

(1− x

n

)n1[0,n]dx =

∫ +∞

0

e−xdx = 1.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

Théorème 1.2 (Théorème d’intégration terme à terme :)Soit I un intervalle non vide et (fn) une suite de fonctions de I et à valeurs réelles ou complexes telle que :

– ∀n ∈ N, fn est continue par morceaux sur I .– La série

∑fn convege simplement sur I de somme continue par morceaux sur I .

– ∀n ∈ N, fn est intégrable sur I .– La série

∑∫I|fn| converge.

Alors,

– La somme∫I

+∞∑n=0

fn est intégrable sur I .

–∫I

+∞∑n=0

fn =

+∞∑n=0

∫I

fn.

–∫I

∣∣∣∣∣+∞∑n=0

fn

∣∣∣∣∣ ≤+∞∑n=0

∫I

|fn|.

Exemples :

– Calcul de l’intégral∫ +∞

0

x

ex − 1dx :

On pose ∀x ∈]0, 1[, f(x) =x

ex − 1donc ∀x ∈]0,+∞[, f(x) =

xe−x

1− e−x= xe−x

+∞∑n=0

e−nx =

+∞∑n=1

xe−nx.

Posons ∀n ∈ N∗,∀x > 0, fn(x) = xe−nx. On a :1. ∀n ∈ N∗, fn est continue sur ]0,+∞[.

2. On a ∀x > 0, f(x) =

+∞∑n=1

fn(x) donc la série de fonctions∑n≥1

fn(x) converge simplement sur ]0,+∞[ vers la

fonction f qui est continue sur ]0,+∞[.3. ∀n ∈ N∗, fn est continue sur ]0,+∞[, se prolonge par continuité en 0 et fn(x) =

+∞

(1x2

)donc fn est intégrable sur

]0,+∞[ et on a∫ +∞

0

xe−nxdx =1

n2.

4. On a ∀n ∈ N∗,∫ +∞

0

|fn(x)|dx =1

n2donc la série

∑n≥1

∫ +∞

0

|fn(x)|dx = converge.

Donc, d’après le théorème d’intégration terme à terme, f est intégrable sur ]0,+∞[ et on a :∫ +∞

0

x

ex − 1dx =

∫ +∞

0

+∞∑n=1

xe−nxdx =

+∞∑n=1

∫ +∞

0

xe−nxdx =

+∞∑n=1

1

n2=π2

6

– Calcul de l’intégral∫ 1

0

x2 lnx

x2 − 1dx :

On pose ∀x ∈]0, 1[, f(x) =x2 lnx

x2 − 1donc ∀x ∈]0, 1[, f(x) = −x2 lnx

+∞∑n=0

x2n = −+∞∑n=1

x2n lnx.

Posons ∀n ∈ N∗,∀x ∈]0, 1[, fn(x) = −x2n lnx. On a :1. ∀n ∈ N∗, fn est continue sur ]0, 1[.

2. On a ∀x ∈]0, 1[, f(x) =

+∞∑n=1

fn(x) donc la série de fonctions∑n≥1

fn(x) converge simplement sur ]0, 1[ vers la

fonction f qui est continue sur ]0, 1[.3. ∀n ∈ N∗, fn est continue sur ]0, 1[ et se prolonge par continuité en 0 et 1 donc fn est intégrable sur ]0, 1[ et on a∫ 1

0

x2n lnxdx =1

2n+ 1

[x2n+1 lnx

]10− 1

2n+ 1

∫ 1

0

x2ndx =1

(2n+ 1)2.

4. On a ∀n ∈ N∗,∫ 1

0

|fn(x)|dx = −∫ 1

0

fn(x)dx =1

(2n+ 1)2donc la série

∑n≥1

∫ 1

0

|fn(x)|dx = converge.

Donc, d’après le théorème d’intégration terme à terme, f est intégrable sur ]0, 1[ et on a :∫ 1

0

x2 lnx

x2 − 1dx =

∫ 1

0

+∞∑n=1

−x2n lnxdx =

+∞∑n=1

∫ 1

0

−x2n lnxdx =

+∞∑n=1

1

(2n+ 1)2=π2

8

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2 Fonctions définies par une intégrale à paramètre :

2.1 Limite et continuité :Proposition 2.1 Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel normé de dimension finie, A ⊂ E, a ∈ A etf : A× I → K.Si :

– ∀x ∈ A, t 7→ f(x, t) est continue par morceaux sur I .– ∀t ∈ I, lim

x→af(x, t) existe.

– L’application t 7→ limx→a

f(x, t) est continue par morceaux sur I .

– ∃ϕ : I → R+ intégrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ ϕ(t).

Alors l’application x 7→∫I

f(x, t)dt admet une limite en a et on a limx→a

∫I

f(x, t)dt =

∫I

limx→a

f(x, t)dt.

Exemples :

– Calcul de la limite limx→+∞

∫ +∞

0

dt

1 + t3 + x3: On a :

1. ∀x ∈]0,+∞[, t 7→ 11+t3+x3 est continue par morceaux sur ]0,+∞[.

2. ∀t ∈]0,+∞[, limx→+∞

1

1 + t3 + x3= 0 et t 7→ 0 est continue sur ]0,+∞[.

3. ∀(x, t) ∈]0,+∞[2,∣∣∣ 11+t3+x3

∣∣∣ ≤ 11+t3 et l’application t 7→ 1

1+t3 est intégrable sur ]0,+∞[.

Donc, limx→+∞

∫ +∞

0

dt

1 + t3 + x3=

∫ +∞

0

limx→+∞

dt

1 + t3 + x3=

∫ +∞

0

0dt = 0.

– Calcul de la limite limx→+∞

∫ +∞

1

e−xt

tdt : On a :

1. ∀x ∈ [1,+∞[, t 7→ e−xt

t est continue par morceaux sur [1,+∞[.

2. ∀t ∈ [1,+∞[, limx→+∞

e−xt

t= 0 et t 7→ 0 est continue sur [1,+∞[.

3. ∀(x, t) ∈ [1,+∞[2,∣∣∣ e−xt

t

∣∣∣ ≤ e−t

t et l’application t 7→ e−t

t est intégrable sur [1,+∞[.

Donc, limx→+∞

∫ +∞

1

e−xt

tdt =

∫ +∞

1

limx→+∞

e−xt

tdt =

∫ +∞

1

0dt = 0.

Corollaire 2.2 (Théorème de continuité sous le signe intégral) Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectorielnormé de dimension finie, A ⊂ E et f : A× I → K.Si :

– ∀x ∈ A, t 7→ f(x, t) est continue par morceaux sur I .– ∀t ∈ I, x 7→ f(x, t) est continue sur A.– ∃ϕ : I → R+ intégrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ A× I, |f(x, t)| ≤ ϕ(t).

Alors l’application x 7→∫I

f(x, t)dt est définie et continue sur A.

Exemples :

– Cas de l’application f(x) =

∫ 1

0

ext sin(t)dt : Soit a ∈ R. On a :

1. ∀x ≤ a, t 7→ ext sin(t) est continue sur [0, 1].

2. ∀t ∈ [0, 1], x 7→ ext sin(t) est continue sur ]−∞, a].

3. ∀t ∈ [0, 1],∀x ≤ a, |ext sin(t)| ≤ eat et l’application t 7→ eat est intégrable sur [0, 1].

Donc f est continue sur ]−∞, a] pour tout a ∈ R d’où f est continue sur R.

– Cas de l’application f(x, y) =

∫ 1

−1

√x2 + t2 cos(xyt)dt : Soit a > 0. On a :

1. ∀x ∈ [−a, a],∀y ∈ R, t 7→√x2 + t2 cos(xyt) est continue sur [−1, 1].

2. ∀t ∈ [−1, 1], (x, y) 7→√x2 + t2 cos(xyt) est continue sur [−a, a]× R.

3. ∀t ∈ [0, 1],∀x ∈ [−a, a],∀y ∈ R, |√x2 + t2 cos(xyt)| ≤

√a2 + t2 et l’application t 7→

√a2 + t2 est intégrable

sur [−1, 1].



Donc f est continue sur [−a, a]× R pour tout a > 0 d’où f est continue sur R2.


∫ +∞

−∞e−t

2

sin(xt)dt : On a :

1. ∀x ∈ R, t 7→ e−t2

sin(xt) est continue sur R.

2. ∀t ∈ R, x 7→ e−t2

sin(xt) est continue sur R.

3. ∀x, t ∈ R, |e−t2 sin(xt)| ≤ e−t2 et l’application t 7→ e−t2

est intégrable sur R.Donc f est continue sur R.


∫ +∞

0

e−xt sin(t)dt : Soit a > 0. On a :

1. ∀x ≥ a, t 7→ e−xt sin(t) est continue sur [0,+∞[.2. ∀t ≥ 0, x 7→ e−xt sin(t) est continue sur [a,+∞[.3. ∀x ≥ a,∀t ≥ 0, |e−xt sin(t)| ≤ e−at et l’application t 7→ e−at est intégrable sur [0,+∞[.

Donc f est continue sur [a,+∞[ pour tout a > 0 d’où f est continue sur ]0,+∞[.

2.2 Dérivabilité :Théorème 2.1 (Théorème de dérivation sous le signe intégral)Soient I, J deux intervalles non vides de R et f : I × J → K telle que la dérivée partielle ∂f

∂x existe sur I × J .Si :

– ∀x ∈ I, t 7→ f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur J .– ∀x ∈ I, t 7→ ∂f

∂x (x, t) est continue par morceaux sur J .– ∀t ∈ J, x 7→ ∂f

∂x (x, t) est continue sur I .

– ∃ϕ : J → R+ intégrables sur J telles que ∀(x, t) ∈ I × J,∣∣∣∂f∂x (x, t)

∣∣∣ ≤ ϕ(t).

Alors l’application g : x 7→∫J

f(x, t)dt est de classe C 1 sur I et on a ∀x ∈ I, g′(x) =

∫J

∂f

∂x(x, t)dt.

Exemples :


∫ 1

0

ext sin(t)dt :

On pose ϕ(x, t) = ext sin(t) et soit a ∈ R. On a :1. ∀x ≤ a, t 7→ ϕ(x, t) est continue sur [0, 1].2. ∀x ≤ a, t 7→ ϕ(x, t) est intégrable sur [0, 1] car continue sur [0, 1].3. ∂f

∂x existe sur R× [0, 1] et on a ∀x ∈ R,∀t ∈ [0, 1], ∂f∂x (x, t) = text sin(t).

4. ∀x ≤ a, t 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur [0, 1].

5. ∀t ∈ [0, 1], x 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur ]−∞, a].

6. ∀t ∈ [0, 1],∀x ≤ a,∣∣∣∂f∂x (x, t)

∣∣∣ = |text sin(t)| ≤ ea et l’application t 7→ ea est intégrable sur [0, 1].

Donc f est de classe C 1 sur ] − ∞, a] pour tout a ∈ R d’où f est de classe C 1 sur R et on a ∀x ∈ R, f ′(x) =∫ 1

0

text sin(t)dt.


∫ +∞

−∞e−t

2

sin(xt)dt :

On pose ϕ(x, t) = e−t2

sin(xt). On a :1. ∀x ∈ R, t 7→ ϕ(x, t) est continue sur R.

2. ∀x, t ∈ R, |ϕ(x, t)| = |e−t2 sin(xt)| ≤ e−t2

et t 7→ e−t2

est intégrable sur R donc ∀x ∈ R, t 7→ ϕ(x, t) estintégrable sur R.

3. ∂f∂x existe sur R et on a ∀x, t ∈ R, ∂f∂x (x, t) = te−t

2

cos(xt).

4. ∀x ∈ R, t 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur R.

5. ∀t ∈ R, x 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur R.

6. ∀x, t ∈ R,∣∣∣∂f∂x (x, t)

∣∣∣ = |te−t2 cos(xt)| ≤ te−t2 et l’application t 7→ te−t2

est intégrable sur R.

Donc f est de classe C 1 sur R et on a ∀x ∈ R, f ′(x) =

∫ +∞

−∞te−t

2

cos(xt)dt.




∫ +∞

0

e−xt sin(t)dt :

On pose ϕ(x, t) = e−xt sin(t) et soit a > 0. On a :

1. ∀x ≥ a, t 7→ ϕ(x, t) est continue sur [0,+∞[.

2. ∀x ≥ a,∀t ≥ 0, |ϕ(x, t)| = |e−xt sin(t)| ≤ e−at et t 7→ e−at est intégrable sur [0,+∞[ donc ∀x ≥ a, t 7→ ϕ(x, t)est intégrable sur [0,+∞[.

3. ∂f∂x existe sur [a,+∞[×[0,+∞[ et on a ∀x ≥ a,∀t ≥ 0, ∂f∂x (x, t) = −te−xt sin(t).

4. ∀x ≥ a, t 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur [0,+∞[.

5. ∀t ≥ 0, x 7→ ∂f∂x (x, t) est continue sur [a,+∞[.

6. ∀x ≥ a,∀t ≥ 0,∣∣∣∂f∂x (x, t)

∣∣∣ = | − te−xt sin(t)| ≤ te−at et l’application t 7→ te−at est intégrable sur [0,+∞[.

Donc f est de classe C 1 sur R et on a ∀x ∈ R, f ′(x) = −∫ +∞

0

te−xt sin(t)dt.

Corollaire 2.3 Soient k ∈ N∗, I, J deux intervalles non vides de R et f : I × J 7→ K telle que ∂kf∂xk existe sur I × J .

Si :– ∀r ∈ {0, . . . , k},∀x ∈ I, t 7→ ∂rf

∂xr (x, t) est continue par morceaux sur J .

– ∀t ∈ J, x 7→ ∂kf∂xk (x, t) est continue sur I .

– ∃ϕ : J → R+ intégrable sur J telle que ∀(x, t) ∈ I × J,∣∣∣∂kf∂xk (x, t)

∣∣∣ ≤ ϕ(t).

Alors l’application g : x 7→∫J

f(x, t)dt est de classe C k sur I et on a ∀r ∈ {1, . . . , k},∀x ∈ I, g(r)(x) =

∫J

∂rf

∂xr(x, t)dt.

Remarque : Pour montrer que g est C∞ sur J on vérifie que ∀k ∈ N, ∂kf∂xk existe sur I × J , ∀x ∈ I, t 7→ ∂kf

∂xk (x, t) est continue

par morceaux sur J et ∃ϕ : I → R+ intégrable sur I telle que ∀(x, t) ∈ I × J,∣∣∣∂kf∂xk (x, t)

∣∣∣ ≤ ϕ(t).Exemples : Soit k ∈ N.


∫ 1

0

ext sin(t)dt : On a ∀x, t ∈ R, ∂kf∂xk (x, t) = tkext sin(t) et soit a ∈ R. On a :

1. ∀x ≤ a, t 7→ tkext sin(t) est continue sur [0, 1].

2. ∀t ∈ [0, 1],∀x ≤ a, |tkext sin(t)| ≤ tkeat et l’application t 7→ tkeat est intégrable sur [0, 1].

Donc f est de classe C∞ sur ] − ∞, a] pour tout a ∈ R d’où f est de classe C∞ sur R et on a ∀x ∈ R, f (k)(x) =∫ 1

0

tkext sin(t)dt.


∫ +∞

−∞e−t

2

sin(xt)dt : On a ∀x, t ∈ R, ∂kf∂xk (x, t) = tke−t

2

sin(xt+ k π2

)et :

1. ∀x ∈ R, t 7→ tke−t2

sin(xt+ k π2

)est continue sur R.

2. ∀x, t ∈ R,∣∣∣tke−t2 sin

(xt+ k π2

)∣∣∣ ≤ tke−t2 et l’application t 7→ tke−t2

est intégrable sur R.

Donc f est de classe C∞ sur R et on a ∀x ∈ R, f (k)(x) =

∫ +∞

−∞tke−t

2

sin(xt+ k

π

2

)dt.


∫ +∞

0

e−xt sin(t)dt : On a ∀x, t ∈ R, ∂kf∂xk (x, t) = (−1)ktke−xt sin(t) et soit a > 0. On a :

1. ∀x ≥ a, t 7→ (−1)ktke−xt sin(t) est continue sur [0,+∞[.

2. ∀x ≥ a,∀t ≥ 0, |(−1)ktke−xt sin(t)| ≤ tke−at et l’application t 7→ tke−at est intégrable sur [0,+∞[.

Donc f est de classe C∞ sur R et on a ∀x ∈ R, f (k)(x) =

∫ +∞

0

(−1)ktke−xt sin(t)dt.

3 Fonction Gamma :

Proposition et définition 3.1 L’application x 7→∫ +∞

0

tx−1e−tdt est définie sur ]0,+∞[. On l’appelle la fonction Gamma et

on la note Γ.

Propriété 3.1 – ∀x > 0,Γ(x+ 1) = xΓ(x). En particulier, ∀n ∈ N,Γ(n+ 1) = n!.



– Formule d’Euler-Gauss : Γ(12

)=√π (intégral de Gauss).

Exemples :


0

√xe−x

3

dx : Soit le changement de variables u = x3 donc :

∫ +∞

0

√xe−x

3

dx =1

3

∫ +∞

0

u16 e−uu−

23 du =

1

3

∫ +∞

0

u−12 e−udu =

1

3

∫ +∞

0

u12−1e−udu =

1

3Γ

(1

2

)=

√π

3


0

3−4x2

dx : On remarque que ∀x > 0, 3−4x2

= e−4x2 ln 3 donc, par le changement de variables

u = 4x2 ln 3, on a :∫ +∞

0

3−4x2

dx =1

4√

ln 3

∫ +∞

0

1√ue−udu =

1

4√

ln 3

∫ +∞

0

u12−1e−udu =

1

4√

ln 3Γ

(1

2

)=

√π

4√

ln 3

– Calcul de l’intégral∫ 1

0

dx√− lnx

: Soit le changement de variables u = − lnx donc :

∫ 1

0

dx√− lnx

=

∫ +∞

0

1√ue−udu =

∫ +∞

0

u12−1e−udu = Γ

(1

2

)=√π

Proposition 3.1 Γ est continue sur ]0,+∞[.

Remarques :– On a ∀x > 0,Γ(x+ 1) = xΓ(x) donc lim

x→0+xΓ(x) = lim

x→0+Γ(x+ 1) = Γ(1) = 1.

On déduit qu’au voisinage de 0 : Γ(x) ∼ 1x . En particulier, lim

x→0+Γ(x) = +∞ donc l’application Γ ne se prolonge pas

par continuité en 0.

– Soit a > 1. On a Γ(x) =

∫ +∞

0

tx−1e−tdt ≥∫ +∞

a

tx−1e−tdt ≥ ax−1∫ +∞

a

e−tdt ≥ ax−1e−a →x→+∞

+∞.

On déduit que limx→+∞

Γ(x) = 0 et limx→+∞

Γ(x)

x= 0. Par conséquence Γ admet une branche parabolique en +∞.

– On a ∀x, t > 0, tx−1e−t > 0 donc Γ > 0.– On a Γ continue et lim

x→0+Γ(x) = lim

x→+∞Γ(x) = +∞ donc ∃x0 > 0,∀x > 0, 0 < Γ(x0) ≤ Γ(x).

Proposition 3.2 Γ est de classe C 1 sur ]0,+∞[ et on a ∀x > 0,Γ′(x) =

∫ +∞

0

(ln t)tx−1e−tdt.

Proposition 3.3 Γ est de classe C∞ sur ]0,+∞[ et on a ∀k ∈ N,∀x > 0,Γ(k)(x) =

∫ +∞

0

(ln t)ktx−1e−tdt.

Corollaire 3.4 Γ est convexe sur ]0,+∞[.

Graph de la fonction Gamma :

FIGURE 1 – Fonction Gamma


intégrales dépendant d'un paramètre

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