Publications de l'Institut Français du Pétrole

Jean-Luc MARIIngénieur de Recherche senior à l'IFPProfesseur à l'ENSPM

François GLANGEÂUDDirecteur de Recherche au CNRSChargé d'enseignement à l'ENSPM

Françoise COPPENSIngénieur de Recherche senior à l'IFPChargée, d'enseignement à l'ENSPM

TRAITEMENTDU SIGNALPOUR GÉOLOGUESET GÉOPHYSICIENS

Illustration : Claude Laffont

1997

t ÉDITIONS TECHNIP 27 RUE GINOUX 75737 PARIS CEDEX 15

TABLE DES MATIERES

Préface IX

Introduction générale 1

Première partie

MISE EN ŒUVRE ET TRAITEMENT EN PROSPECTION SISMIQUE

Introduction

Chapitre 1

LA SISMIQUE RÉFLEXION

1.1 Propagation des ondes sismiques 12

1.2 Les différents types d'ondes observables sur un enregistrement sismique 19

1.3 Paramètres caractéristiques d'une onde sismique 31

1.4 Les méthodes spécifiques d'acquisition 36

1.5 Exemples d'enregistrements sismiques 46

1.6 Filtrage de la fonction sismique par une antenne 481.6.1 Rappels sur la distribution dirac 481.6.2 Filtrage d'antenne 49

1.7 Traitement des données sismiques 521.7.1 Rappels de notions élémentaires de traitement de signal 53

1.7.1.1 Échantillonnage en temps et en distance d'une fonction continue 531.7.1.2 Série de Fourier et polynôme en z 571.7.1.3 Convolution, corrélation, déconvolution 581.7.1.4 Signal à phase minimale, maximale ou mixte 59

XII TABLE DES MATIÈRES

1.7.2 Les principales phases du traitement sismique 601.7.3 La première phase de traitement : prétraitement 62

1.7.3 1 Filtre de Wiener et traitement de la signature 621.7.3.2 Corrections d'amplitude 661.7.3.3 Effet fantôme 691.7.3.4 Multiple du fond de l'eau 701.7.3.5 Autocorrélation du signal reçu 721.7.3.6 Filtre de Wiener et déconvolution 751.7.3.7 Séparation des ondes 801.7.3.8 Égalisation spectrale 81

1.7.4 La deuxième phase de traitement 861.7.4.1 Champ de vitesse et corrections dynamiques 871.7.4.2 Zone altérée et corrections statiques 101

1.7.5 Troisième phase du traitement sismique : sommation 1231.7.6 Quatrième phase du traitement sismique : après sommation 126

1.7.6.1 Migration des données sismiques 1261.7.6.2 Inversion des données sismiques 135

Chapitre 2

LA DIAGRAPHIE ACOUSTIQUE

2.1 Ondes et outils 143

2.2 Obtention des paramètres acoustiques 148

2.3 Sismogrammes synthétiques 156

2.4 Imagerie acoustique par réflexion 159

Chapitre 3

LA SISMIQUE DE PUITS

3.1 Le profil sismique vertical : PSV 165

3.2 Traitement d'un PSV 1673.2.1 Traitement classique d'un PSV 1693.2.2 Traitement d'un PSV déporté 170

3.3 Exemple de traitement de PSV et de calage 171

3.4 La ballade sismique 175

3.5 Sismique de puits à puits 177

3.6 Sismique de puits. Conclusion 184

TABLE DES MATIÈRES XIII

Deuxième partie

LE TRAITEMENT DU SIGNAL EN GÉOPHYSIQUE

Introduction , 187

Notations 189

Chapitre 4

TRANSFORMATION DE FOURIER

4.1 Définition de la transformée de Fourier 191

4.2 Transformation de Fourier rapide de la TFD 194

4.3 Série de Fourier 194

4.4 Convolution de deux signaux 1954.4.1 Définition 1954.4.2 Convolution circulaire 197

4.5 Propriétés principales de la transformée de Fourier 1984.5.1 Transformée de Fourier d'une fonction retardée 1984.5.2 Transformée de Fourier du produit de convolution 1994.5.3 Transformée de Fourier d'un produit de 2 fonctions 2004.5.4 Homothétie 2014.5.5 Dérivation 201

4.6 Transformation (/, k) ou transformée de Fourier à 2 dimensions 201

4.7 Filtrage dans le domaine des fréquences temporelles (/) et spatiales (k) 203

Chapitre 5

FONCTIONS USUELLES EN ANALYSE SPECTRALE

5.1 Porte 205

5.2 Sine (sinus cardinal) 206

5.3 Fonction de Hanning 208

5.4 Fonction de Heaviside (échelon unité) 209

5.5 Fonction signe 210

5.6 Exponentielle décroissante 211

5.7 Les fonctions trigonométriques 212

XIV TABLE DES MATIÈRES

5.8 Sinus modulé en amplitude 213

5.9 Le dirac 2135.9.1 Définition 2135.9.2 Propriétés principales de la distribution de Dirac 215

5.10 Peigne de diracs 216

5.11 Périodisation d'une fonction 218

5.12 Échantillonnage d'une fonction 219

Chapitre 6

ÉCHANTILLONNAGE

6.1 Introduction 221

6.2 Représentation mathématique de l'échantillonnage en temps 222

6.3 Conservation du spectre de H(f), condition de Shannon 2236.3.1 Condition de Shannon 224

6.3.2 Formules d'interpolation de Shannon 225

6.4 Échantillonnage de la TF 228

6.5 Transformée de Fourier discrète TFD 231

6.5.1 De la transformation continue à la transformation discrète 232

6.5.2 Opération décalage d'un échantillon 233

6.6 Dirac en échantillonné 2356.6.1 Dirac échantillonné en temps 235

6.6.2 Dirac échantillonné en fréquence 236

6.7 Sous-échantillonnage, repliement de spectre (périodisation) 239

6.8 Sur-échantillonnage 243

6.9 Multiplexage 243

6.10 Échantillonnage en distance 245

6.11 Conclusion 249

Chapitre 7

CORRÉLATION

7.1 Définition en analogique et en numérique 251

7.2 Interprétation de la corrélation 253

TABLE DES MATIÈRES XV

7.2.1 Relation avec la convolution 2547.2.2 Relation avec l'énergie d'interaction 254

7.3 Propriétés de la corrélation 2557.3.1 Propriétés de l'autocorrélation 2557.3.2 Propriétés de l'intercorrélation 2567.3.3 Interprétation de l'autocorrélation et l'intercorrélation 257

7.4 Autocorrélation de diverses fonctions 2577.4.1 Le dirac 2577.4.2 Intercorrélation entre deux diracs 2587.4.3 Somme de n impulsions r(t) 2587.4.4 Fonction porte 2607.4.5 Fonction trigonométrique 2617.4.6 Modulation d'amplitude 2617.4.7 Produit de convolution 2637.4.8 Fonction périodique 2637.4.9 Influence de la composante continue d'une fonction 2637.4.10 Corrélation circulaire 264

7.5 Mesure de retard, de phase, de période 265

7.6 Atténuation du bruit en utilisant l'intercorrélation 268

Chapitre 8

FILTRES

8.1 Propriétés 2728.1.1 Stationnante 2728.1.2 Stabilité 2738.1.3 Filtres en série 2738.1.4 Filtres en parallèle 2748.1.5 Causalité 275

8.2 La transformation en z (TZ) 2758.2.1 Relation avec la TF 2768.2.2 Propriétés 2778.2.3 Filtrage numérique causal 280

8.2.3.1 Filtres à moyenne mobile (MA) 2808.2.3.2 Filtres auto-régressifs (AR) 2818.2.3.3 Filtres de type ARMA 281

8.3 Quelques exemples de filtres 2838.3.1 Filtre défini dans le domaine des fréquences 2838.3.2 Filtre de type ARMA (opérant dans le domaine des temps) 2858.3.3 Filtres du premier ordre MAI et AR1 et ARMA 287

XVI TABLE DES MATIÈRES

8.3.3.1 Filtre MAI 2878.3.3.2 Filtre auto-régressif d'ordre 1 (AR1) 2908.3.3.3 Filtre du premier ordre ARMA 292

8.3.4 Filtres du deuxième ordre MA2 et AR2 2948.3.4.1 Filtre MA2 2948.3.4.2 Filtre AR2 (phase minimale) 2978.3.4.3 Filtre de Butterworth 3018.3.4.4 Filtre réjecteur 302

8.4 Filtres non linéaires 3038.4.1 Filtre médian 3038.4.2 Pondération de semblance 304

8.5 Conclusion 306

Chapitre 9

DENSITÉ SPECTRALE

9.1 Introduction 307

9.2 Énergie d'interaction 307

9.3 Lissage 308

9.4 Moyennes, moyens d'estimation des grandeurs énergétiques 3099.4.1 Moyenne de réalisations ou d'épreuves 3099.4.2 Moyenne en tronçonnant le signal dans le temps 3099.4.3 Moyenne en fréquence ou lissage en fréquence 310

9.5 Signaux aléatoires, bruit blanc ' 3139.5.1 Signaux aléatoires 3139.5.2 Bruit blanc 314

9.6 Densité spectrale de divers signaux 3159.6.1 Bruit blanc 3159.6.2 Suite de quelques diracs 3169.6.3 Fonction cosinus 3179.6.4 Signal modulé en amplitude 318

9.7 Applications 3189.7.1 Étude d'un signal en présence de bruit additif 3189.7.2 Mesure de retard, mesure de déphasage 3219.7.3 Fonction de cohérence 3229.7.4 Filtre de Wiener en fréquence 3249.7.5 Variance des estimateurs 331

TABLE DES MATIÈRES XVII

Chapitre 10

TRANSFORMATION D E HILBERT ET SES APPLICATIONS

10.1 Définition de la transformation de Hilbert 33710.1.1 Propriétés de xq(f) signal en quadrature avec X(f) 33810.1.2 Signal analytique z(t) associé à x(t) 339

10.2 Transformée de Hilbert de quelques fonctions 340

10.3 Applications de la transformée de Hilbert 34210.3.1 Déphaseur 34210.3.2 Mesure de l'enveloppe 34310.3.3 Phase instantanée 34510.3.4 Fréquence instantanée 34510.3.5 Polarisation 34610.3.6 Mesure de la vitesse de groupe et de la vitesse de phase 34910.3.7 Mesure de dispersion 35310.3.8 Transformation à phase minimale 357

Chapitre 11

SÉPARATION D ' O N D E S

11.1 Introduction 35911.1.1 Les ondes 35911.1.2 Le vecteur de propagation £/( / ) et l'ondelette A(f) 36011.1.3 Modélisation à trois composantes 36111.1.4 Représentation matricielle des données 365

11.1.4.1 Matrice dans le plan temps-distance 36511.1.4.2 Matrice complexe dans le plan fréquence-distance 368

11.1.5 Objectif de la séparation d'ondes 36911.1.5.1 Amélioration du rapport signal sur bruit 36911.1.5.2 Sélection d'une onde 370

11.2 Description des méthodes de séparation et exemples 37111.2.1 Filtre non-linéaire : filtre somme et différence, semblance et filtre

médian 37111.2.2 Filtre en vitesse apparente 372

11.2.2.1 Séparation en vitesse apparente par un filtre MA2 37311.2.2.2 Séparation en vitesse apparente par un filtre AR1 376

11.2.3 Séparation d'ondes à l'aide de la polarisation 37811.2.4 Séparation d'ondes par filtre de Wiener 38011.2.5 Séparation dans le domaine (r, p) 38011.2.6 Décomposition en Valeurs Singulières (SVD)

(Singular Value Décomposition) 381

XVIII TABLE DES MATIÈRES

11.2.7 Séparation dans le domaine (/ , k) 38811.2.8 Filtrage par la Matrice Spectrale (SMF - Spectral Matrix Filtering) . . 39111.2.9 Séparation d'ondes par la méthode paramétrique 394

Chapitre 12

DÉCONVOLUTION ET ESTIMATION DE FILTRE

12.1 Introduction 399

12.2 Phase minimum ou maximum, signaux causaux ou anti-causaux 40012.2.1 Filtre AR2 40112.2.2 Filtre MA2 40112.2.3 Analyse fréquence-temps 404

12.3 Déconvolution 41312.3.1 Déconvolution par filtre inverse 41312.3.2 Égalisation spectrale 41712.3.3 Exemple d'application de la déconvolution en sismique marine grand

angle 42012.3.4 Kurtosis et déconvolution 425

12.3.4.1 Définition du Kurtosis 42512.3.4.2 Déconvolution utilisant le Kurtosis 426

12.3.5 Cepstre ou déconvolution homomorphique 429

CONCLUSION GÉNÉRALE 431

BIBLIOGRAPHIE 441

INDEX 455