identification dia po 4

7/24/2019 Identification Dia Po 4

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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs

Identification paramtrique

S ID . M .A

1Dpartement dlectrotechniqueUniversit de Stif I

C ou rs M AI 82 , 2 01 5

SID. M.A Ident systmes
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Table de la matire

1 L e m o d l e p ar a m t ri q ue

2 M t ho d e d es m oi nd re s c ar r s

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Modles paramtriques

Les modles paramtriques : fonction de transfert, reprsentation dtat etc..

G(s) = K(s + 1)

(s + 3)(s + 5), G(z) =

z2 + 2z + 3

z2 + 3z2 + 3z + 8

x =5x + u

y =0.5xu,

xk+1 =xk+ 3uk

yk =0.5xkuk

N om br e d es p ar am t re s


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Modles paramtriques

Les modles paramtriques : fonction de transfert, reprsentation dtat etc..

G(s) = K(s + 1)

(s + 3)(s + 5), G(z) =

z2 + 2z + 3

z2 + 3z2 + 3z + 8

x =5x + u

y =0.5xu,

xk+1 =xk+ 3uk

yk =0.5xkuk

N om br e d es p ar am t re s


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Modles paramtriques

Considrant un systme dfini par son quation aux diffrences (quation rcurrente)

suivante :

ym(k) +n

i=1

aiym(k i) =m

j=0

bju(kdj)

transforme en Z

Ym(z)

1 + a1z1 + + anz

n

=U(z)zd

b0+ b1z1 + + bmz

m

= G(z) =zdb0+ b1z

1 + + bmzm

1 + a1z1 + + anzn =zd

B(z1)

A(z1)

De mme, nous pouvons dfinir un oprateur de transfert dans le domaine temporel :

G(q1) = ym(k)

u(k) =qd

B(q1)

A(q1)


L dl t i
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Modles paramtriques


suivante :

ym(k) +n

i=1

aiym(k i) =m

j=0

bju(kdj)

transforme en Z

Ym(z)

1 + a1z1 + + anz

n

=U(z)zd

b0+ b1z1 + + bmz

m

= G(z) =zdb0+ b1z

1 + + bmzm

1 + a1z1 + + anzn =zd

B(z1)

A(z1)


G(q1) = ym(k)

u(k) =qd

B(q1)

A(q1)


Le modle paramtrique
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Modles paramtriques


suivante :

ym(k) +n

i=1

aiym(k i) =m

j=0

bju(kdj)

transforme en Z

Ym(z)

1 + a1z1 + + anz

n

=U(z)zd

b0+ b1z1 + + bmz

m

= G(z) =zdb0+ b1z

1 + + bmzm

1 + a1z1 + + anzn =zd

B(z1)

A(z1)


G(q1) = ym(k)

u(k) =qd

B(q1)

A(q1)


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Lidentification paramtrique consiste :

1 Dfinir la structure du systme. Donc, pour G(q) nous devons dfinir : n,m,d.

2 Utiliser les signaux dentre et de sortie pour trouver les paramtres du modle ;

On peut concevoir un algorithme de commande ou de surveillance en se basantsur le modle identifi (modle de reprsentation).

En gnrale, on peut pas identifier les paramtres physiques. Donc lesparamtres du modle obtenu nont pas un sens physique claire (slide suivant).


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p qMthode des moindres carrs








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Mthode des moindres carrs

Sens physique

G(s) = Y(s)

U(s)=

RCs

LCs2 +RCs + 1(modle de connaissance)

En utilisant une technique didentification (ex : Broida)nous avons obtenu :

G= s

2s2 +1s + 1

LC= 2

RC= 1=

Pour ce systme les paramtres physiques ne sont pas identifiables.


Le modle paramtriqueh d d d
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Sens physique

G(s) = Y(s)

U(s)=

RCs



G= s

2s2 +1s + 1

LC= 2

RC= 1=



Le modle paramtriqueM h d d i d
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Sens physique

G(s) = Y(s)

U(s)=

RCs



G= s

2s2 +1s + 1

LC= 2

RC= 1=



Le modle paramtriqueMth d d i d
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Critres de performance

Critre bas sur lerreur de sortie

es(k) =y(k)ym(k) =y(k)G(q1)u(k) =y(k)qd

B(q1)

A(q1)u(k)


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Critre bas sur lerreur dquation

ee(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)


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Critre bas sur lerreur destimation

(k) =y(k) y(k) =y(k)F(,y(k1), . . . , u(k1))


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Algorithme des moindres carrs

minimisation de lerreur dquation =algorithme des moindres carrs

(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)

=y(k) +y(k1) + + any(kn)b0u(kd)b1u(kd1) bmu(kdm)

=y(k)T(k)

avec

T(k) = [y(k1), . . . ,y(kn), u(kd), . . . , u(kdm)]

T = [a1, . . . , an, b0, . . . , bm]

(1)...(N)

=

= y(1)...

y(N)

Y

T

(1)...T(N)


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minimisation de lerreur dquation =algorithme des moindres carrs

(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)

=y(k) +y(k1) + + any(kn)b0u(kd)b1u(kd1) bmu(kdm)

=y(k)T(k)

avec

T(k) = [y(k1), . . . ,y(kn), u(kd), . . . , u(kdm)]

T = [a1, . . . , an, b0, . . . , bm]

(1)...(N)

=

= y(1)...

y(N)

Y

T

(1)...T(N)


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Daprs=Y on a

min

=N

k=1

2(k) = T= (Y)T(Y)

=YTY2YT+ TT

Le gradient du critre doit tre nul en solution optimale

J

=

=2TY+ 2T=0

= (T)1TY= Y

Remarque : doit tre du rang plein colonne.


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Daprs=Y on a

min

=N

k=1

2(k) = T= (Y)T(Y)

=YTY2YT+ TT


J

=

=2TY+ 2T=0

= (T)1TY= Y



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Daprs=Y on a

min

=N

k=1

2(k) = T= (Y)T(Y)

=YTY2YT+ TT


J

=

=2TY+ 2T=0

= (T)1TY= Y



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Daprs=Y on a

min

=N

k=1

2(k) = T= (Y)T(Y)

=YTY2YT+ TT


J

=

=2TY+ 2T=0

= (T)1TY= Y


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Le Hessien doit tre positif pour sassurer de la convexit de la

fonction erreur :

2J()

T =2T >0

Test la matrice dinformation. Cette matrice est dfinie positive

si lentre suffisamment riche et excite.

Le vecteur des paramtres optimaux peut tre donn par

= (T)1TY

=[(1) (N)]

T(1)...

T(N)

1

[(1) (N)]

y(1)...

y(N)

=

N

k=1

(k)T(k)

1 N

k=1

(k)y(k)


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Formulation rcurrente des moindres carrs

Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.

Paramtres estims linstant k :

k=

k

i=1

(i)T(i)

1 k

i=1

(i)y(i)

Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).

k= Pkk

i=1

(i)y(i) o Pk= ki=1

(i)T(i)1

gain dadaptation

P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)


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k=

k

i=1

(i)T(i)

1 k

i=1

(i)y(i)


k= Pkk

i=1

(i)y(i) o Pk= ki=1

(i)T(i)1

gain dadaptation

P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)


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k=

k

i=1

(i)T(i)

1 k

i=1

(i)y(i)


k= Pkk

i=1

(i)y(i) o Pk= ki=1

(i)T(i)1

gain dadaptation

P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)


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k=

k

i=1

(i)T(i)

1 k

i=1

(i)y(i)


k= Pkk

i=1

(i)y(i) o Pk= ki=1

(i)T(i)1

gain dadaptation

P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)


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k=

k

i=1

(i)T(i)

1 k

i=1

(i)y(i)


k= Pkk

i=1

(i)y(i) o Pk= ki=1

(i)T(i)1

gain dadaptation

P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)


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k+1= Pk+1k+1

i=1

(i)y(i) =Pk+1 ki=1

(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1

P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)

=Pk+1

P1k+1k(k+ 1)

T(k+ 1)

k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)

= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k

= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)

Pour viter linversion de matrice, le lemme suivant peut tre utilis :

(A +BCD)1 =A1A1B

C1 +DA1B

1

DA1(lemme dinversion matricielle)

Pour trouver linverse de P1k+1= P1k +(k+ 1)

T(k+ 1) on prend

A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)

= Pk+1= PkPk(k+ 1)

T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)


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k+1= Pk+1k+1

i=1

(i)y(i) =Pk+1 ki=1

(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1

P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)

=Pk+1

P1k+1k(k+ 1)

T(k+ 1)

k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)

= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k

= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)


(A +BCD)1 =A1A1B

C1 +DA1B

1



T(k+ 1) on prend

A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)

= Pk+1= PkPk(k+ 1)

T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)



l d d
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k+1= Pk+1k+1

i=1

(i)y(i) =Pk+1 ki=1

(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1

P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)

=Pk+1

P1k+1k(k+ 1)

T(k+ 1)

k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)

= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k

= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)


(A +BCD)1 =A1A1B

C1 +DA1B

1



T(k+ 1) on prend

A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)

= Pk+1= PkPk(k+ 1)

T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)



M d d
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Moindres carrs pondrs

Les erreurs dans les diffrents instants ont une importance diffrente (parexemple anciennes erreurs ont moins dimportance dans les systmesvariant dans le temps).

Lerreur pondre est dfinie comme :

W=W[Y]

West la matrice de pondration. Le critre doptimisation devient :

J() =TWW=TWTW= [Y]T [Y]

Le vecteur des paramtres est donn par :

=

TWTW

1

TWTWY



M i d d
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Un choix possible :

WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99

La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.

est appel le facteur doubli.

Moindres carrs rcursifs pondrs :

k= ki=1

(i)kiT(i)1 ki=1

(i)kiy(i) =Pkk

i=1

(i)kiy(i)

P1k+1=P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)



M i d d
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Un choix possible :

WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99




k= ki=1

(i)kiT(i)1 ki=1

(i)kiy(i) =Pkk

i=1

(i)kiy(i)

P1k+1=P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)



M i d d
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Un choix possible :

WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99




k= ki=1

(i)kiT(i)1 ki=1

(i)kiy(i) =Pkk

i=1

(i)kiy(i)

P1k+1=P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)



M i d d
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Un choix possible :

WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99




k= ki=1

(i)kiT(i)1 ki=1

(i)kiy(i) =Pkk

i=1

(i)kiy(i)

P1k+1=P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)



M i d d
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Un choix possible :

WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99




k= ki=1

(i)kiT(i)1 ki=1

(i)kiy(i) =Pkk

i=1

(i)kiy(i)

P1k+1=P1k +(k+ 1)

T(k+ 1)



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En suivant la mme dmarche pour lalgorithme des moindres carrs rcursifs et lelemme dinversion matricielle, on obtient la formulation suivante avec le facteurdoubli :

Pk+1= 1

Pk

Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk

+T(k+ 1)Pk(k+ 1)

k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k

Un plus petit permet une meilleure poursuite de paramtresvariables, alors quun plus grand permet une meilleure limination desperturbations



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Pk+1= 1

Pk

Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk

+T(k+ 1)Pk(k+ 1)

k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k




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Pk+1= 1

Pk

Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk

+T(k+ 1)Pk(k+ 1)

k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k


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