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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Identification paramtrique
S ID . M .A
1Dpartement dlectrotechniqueUniversit de Stif I
C ou rs M AI 82 , 2 01 5
SID. M.A Ident systmes
http://find/ -
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Table de la matire
1 L e m o d l e p ar a m t ri q ue
2 M t ho d e d es m oi nd re s c ar r s
SID. M.A Ident systmes
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Modles paramtriques
Les modles paramtriques : fonction de transfert, reprsentation dtat etc..
G(s) = K(s + 1)
(s + 3)(s + 5), G(z) =
z2 + 2z + 3
z2 + 3z2 + 3z + 8
x =5x + u
y =0.5xu,
xk+1 =xk+ 3uk
yk =0.5xkuk
N om br e d es p ar am t re s
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Modles paramtriques
Les modles paramtriques : fonction de transfert, reprsentation dtat etc..
G(s) = K(s + 1)
(s + 3)(s + 5), G(z) =
z2 + 2z + 3
z2 + 3z2 + 3z + 8
x =5x + u
y =0.5xu,
xk+1 =xk+ 3uk
yk =0.5xkuk
N om br e d es p ar am t re s
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Modles paramtriques
Considrant un systme dfini par son quation aux diffrences (quation rcurrente)
suivante :
ym(k) +n
i=1
aiym(k i) =m
j=0
bju(kdj)
transforme en Z
Ym(z)
1 + a1z1 + + anz
n
=U(z)zd
b0+ b1z1 + + bmz
m
= G(z) =zdb0+ b1z
1 + + bmzm
1 + a1z1 + + anzn =zd
B(z1)
A(z1)
De mme, nous pouvons dfinir un oprateur de transfert dans le domaine temporel :
G(q1) = ym(k)
u(k) =qd
B(q1)
A(q1)
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L dl t i
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Modles paramtriques
Considrant un systme dfini par son quation aux diffrences (quation rcurrente)
suivante :
ym(k) +n
i=1
aiym(k i) =m
j=0
bju(kdj)
transforme en Z
Ym(z)
1 + a1z1 + + anz
n
=U(z)zd
b0+ b1z1 + + bmz
m
= G(z) =zdb0+ b1z
1 + + bmzm
1 + a1z1 + + anzn =zd
B(z1)
A(z1)
De mme, nous pouvons dfinir un oprateur de transfert dans le domaine temporel :
G(q1) = ym(k)
u(k) =qd
B(q1)
A(q1)
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Le modle paramtrique
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Modles paramtriques
Considrant un systme dfini par son quation aux diffrences (quation rcurrente)
suivante :
ym(k) +n
i=1
aiym(k i) =m
j=0
bju(kdj)
transforme en Z
Ym(z)
1 + a1z1 + + anz
n
=U(z)zd
b0+ b1z1 + + bmz
m
= G(z) =zdb0+ b1z
1 + + bmzm
1 + a1z1 + + anzn =zd
B(z1)
A(z1)
De mme, nous pouvons dfinir un oprateur de transfert dans le domaine temporel :
G(q1) = ym(k)
u(k) =qd
B(q1)
A(q1)
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Le modle paramtrique
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Le modle paramtrique
Lidentification paramtrique consiste :
1 Dfinir la structure du systme. Donc, pour G(q) nous devons dfinir : n,m,d.
2 Utiliser les signaux dentre et de sortie pour trouver les paramtres du modle ;
On peut concevoir un algorithme de commande ou de surveillance en se basantsur le modle identifi (modle de reprsentation).
En gnrale, on peut pas identifier les paramtres physiques. Donc lesparamtres du modle obtenu nont pas un sens physique claire (slide suivant).
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Le modle paramtrique
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Le modle paramtrique
Lidentification paramtrique consiste :
1 Dfinir la structure du systme. Donc, pour G(q) nous devons dfinir : n,m,d.
2 Utiliser les signaux dentre et de sortie pour trouver les paramtres du modle ;
On peut concevoir un algorithme de commande ou de surveillance en se basantsur le modle identifi (modle de reprsentation).
En gnrale, on peut pas identifier les paramtres physiques. Donc lesparamtres du modle obtenu nont pas un sens physique claire (slide suivant).
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Le modle paramtrique
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Le modle paramtrique
Lidentification paramtrique consiste :
1 Dfinir la structure du systme. Donc, pour G(q) nous devons dfinir : n,m,d.
2 Utiliser les signaux dentre et de sortie pour trouver les paramtres du modle ;
On peut concevoir un algorithme de commande ou de surveillance en se basantsur le modle identifi (modle de reprsentation).
En gnrale, on peut pas identifier les paramtres physiques. Donc lesparamtres du modle obtenu nont pas un sens physique claire (slide suivant).
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Le modle paramtrique
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p qMthode des moindres carrs
Le modle paramtrique
Lidentification paramtrique consiste :
1 Dfinir la structure du systme. Donc, pour G(q) nous devons dfinir : n,m,d.
2 Utiliser les signaux dentre et de sortie pour trouver les paramtres du modle ;
On peut concevoir un algorithme de commande ou de surveillance en se basantsur le modle identifi (modle de reprsentation).
En gnrale, on peut pas identifier les paramtres physiques. Donc lesparamtres du modle obtenu nont pas un sens physique claire (slide suivant).
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Le modle paramtrique
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Mthode des moindres carrs
Sens physique
G(s) = Y(s)
U(s)=
RCs
LCs2 +RCs + 1(modle de connaissance)
En utilisant une technique didentification (ex : Broida)nous avons obtenu :
G= s
2s2 +1s + 1
LC= 2
RC= 1=
Pour ce systme les paramtres physiques ne sont pas identifiables.
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Le modle paramtriqueh d d d
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Mthode des moindres carrs
Sens physique
G(s) = Y(s)
U(s)=
RCs
LCs2 +RCs + 1(modle de connaissance)
En utilisant une technique didentification (ex : Broida)nous avons obtenu :
G= s
2s2 +1s + 1
LC= 2
RC= 1=
Pour ce systme les paramtres physiques ne sont pas identifiables.
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Le modle paramtriqueM h d d i d
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Mthode des moindres carrs
Sens physique
G(s) = Y(s)
U(s)=
RCs
LCs2 +RCs + 1(modle de connaissance)
En utilisant une technique didentification (ex : Broida)nous avons obtenu :
G= s
2s2 +1s + 1
LC= 2
RC= 1=
Pour ce systme les paramtres physiques ne sont pas identifiables.
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Le modle paramtriqueMth d d i d
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16/43
Mthode des moindres carrs
Critres de performance
Critre bas sur lerreur de sortie
es(k) =y(k)ym(k) =y(k)G(q1)u(k) =y(k)qd
B(q1)
A(q1)u(k)
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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17/43
Mthode des moindres carrs
Critres de performance
Critre bas sur lerreur dquation
ee(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)
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18/43
Mthode des moindres carrs
Critres de performance
Critre bas sur lerreur destimation
(k) =y(k) y(k) =y(k)F(,y(k1), . . . , u(k1))
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Mthode des moindres carrs
Algorithme des moindres carrs
minimisation de lerreur dquation =algorithme des moindres carrs
(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)
=y(k) +y(k1) + + any(kn)b0u(kd)b1u(kd1) bmu(kdm)
=y(k)T(k)
avec
T(k) = [y(k1), . . . ,y(kn), u(kd), . . . , u(kdm)]
T = [a1, . . . , an, b0, . . . , bm]
(1)...(N)
=
= y(1)...
y(N)
Y
T
(1)...T(N)
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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Mthode des moindres carrs
Algorithme des moindres carrs
minimisation de lerreur dquation =algorithme des moindres carrs
(k) =A(q1)y(k)qdB(q1)u(k)
=y(k) +y(k1) + + any(kn)b0u(kd)b1u(kd1) bmu(kdm)
=y(k)T(k)
avec
T(k) = [y(k1), . . . ,y(kn), u(kd), . . . , u(kdm)]
T = [a1, . . . , an, b0, . . . , bm]
(1)...(N)
=
= y(1)...
y(N)
Y
T
(1)...T(N)
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21/43
Algorithme des moindres carrs
Daprs=Y on a
min
=N
k=1
2(k) = T= (Y)T(Y)
=YTY2YT+ TT
Le gradient du critre doit tre nul en solution optimale
J
=
=2TY+ 2T=0
= (T)1TY= Y
Remarque : doit tre du rang plein colonne.
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22/43
Algorithme des moindres carrs
Daprs=Y on a
min
=N
k=1
2(k) = T= (Y)T(Y)
=YTY2YT+ TT
Le gradient du critre doit tre nul en solution optimale
J
=
=2TY+ 2T=0
= (T)1TY= Y
Remarque : doit tre du rang plein colonne.
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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23/43
Algorithme des moindres carrs
Daprs=Y on a
min
=N
k=1
2(k) = T= (Y)T(Y)
=YTY2YT+ TT
Le gradient du critre doit tre nul en solution optimale
J
=
=2TY+ 2T=0
= (T)1TY= Y
Remarque : doit tre du rang plein colonne.
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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24/43
Algorithme des moindres carrs
Daprs=Y on a
min
=N
k=1
2(k) = T= (Y)T(Y)
=YTY2YT+ TT
Le gradient du critre doit tre nul en solution optimale
J
=
=2TY+ 2T=0
= (T)1TY= Y
Remarque : doit tre du rang plein colonne.
SID. M.A Ident systmes
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25/43
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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26/43
Algorithme des moindres carrs
Le Hessien doit tre positif pour sassurer de la convexit de la
fonction erreur :
2J()
T =2T >0
Test la matrice dinformation. Cette matrice est dfinie positive
si lentre suffisamment riche et excite.
Le vecteur des paramtres optimaux peut tre donn par
= (T)1TY
=[(1) (N)]
T(1)...
T(N)
1
[(1) (N)]
y(1)...
y(N)
=
N
k=1
(k)T(k)
1 N
k=1
(k)y(k)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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27/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.
Paramtres estims linstant k :
k=
k
i=1
(i)T(i)
1 k
i=1
(i)y(i)
Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).
k= Pkk
i=1
(i)y(i) o Pk= ki=1
(i)T(i)1
gain dadaptation
P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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28/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.
Paramtres estims linstant k :
k=
k
i=1
(i)T(i)
1 k
i=1
(i)y(i)
Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).
k= Pkk
i=1
(i)y(i) o Pk= ki=1
(i)T(i)1
gain dadaptation
P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
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29/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.
Paramtres estims linstant k :
k=
k
i=1
(i)T(i)
1 k
i=1
(i)y(i)
Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).
k= Pkk
i=1
(i)y(i) o Pk= ki=1
(i)T(i)1
gain dadaptation
P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
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Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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30/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.
Paramtres estims linstant k :
k=
k
i=1
(i)T(i)
1 k
i=1
(i)y(i)
Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).
k= Pkk
i=1
(i)y(i) o Pk= ki=1
(i)T(i)1
gain dadaptation
P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
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31/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
Sert estimer les paramtres du modle en temps rel.
Paramtres estims linstant k :
k=
k
i=1
(i)T(i)
1 k
i=1
(i)y(i)
Problme : trop de calcul chaque instant.Solution :Utiliser un algorithme rcursif (calculer k+1en fonction de k).
k= Pkk
i=1
(i)y(i) o Pk= ki=1
(i)T(i)1
gain dadaptation
P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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32/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
k+1= Pk+1k+1
i=1
(i)y(i) =Pk+1 ki=1
(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1
P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)
=Pk+1
P1k+1k(k+ 1)
T(k+ 1)
k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)
= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)
Pour viter linversion de matrice, le lemme suivant peut tre utilis :
(A +BCD)1 =A1A1B
C1 +DA1B
1
DA1(lemme dinversion matricielle)
Pour trouver linverse de P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1) on prend
A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)
= Pk+1= PkPk(k+ 1)
T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
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33/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
k+1= Pk+1k+1
i=1
(i)y(i) =Pk+1 ki=1
(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1
P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)
=Pk+1
P1k+1k(k+ 1)
T(k+ 1)
k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)
= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)
Pour viter linversion de matrice, le lemme suivant peut tre utilis :
(A +BCD)1 =A1A1B
C1 +DA1B
1
DA1(lemme dinversion matricielle)
Pour trouver linverse de P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1) on prend
A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)
= Pk+1= PkPk(k+ 1)
T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
l d d
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34/43
Formulation rcurrente des moindres carrs
k+1= Pk+1k+1
i=1
(i)y(i) =Pk+1 ki=1
(i)y(i) +(k+ 1)y(k+ 1)=Pk+1
P1k k+(k+ 1)y(k+ 1)
=Pk+1
P1k+1k(k+ 1)
T(k+ 1)
k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)
= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
= k+ Pk+1(k+ 1)(k+ 1)
Pour viter linversion de matrice, le lemme suivant peut tre utilis :
(A +BCD)1 =A1A1B
C1 +DA1B
1
DA1(lemme dinversion matricielle)
Pour trouver linverse de P1k+1= P1k +(k+ 1)
T(k+ 1) on prend
A=P1k , B=(k+ 1) , C= 1, D=T(k+ 1)
= Pk+1= PkPk(k+ 1)
T(k+ 1)Pk1 +T(k+ 1)Pk(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M d d
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35/43
Moindres carrs pondrs
Les erreurs dans les diffrents instants ont une importance diffrente (parexemple anciennes erreurs ont moins dimportance dans les systmesvariant dans le temps).
Lerreur pondre est dfinie comme :
W=W[Y]
West la matrice de pondration. Le critre doptimisation devient :
J() =TWW=TWTW= [Y]T [Y]
Le vecteur des paramtres est donn par :
=
TWTW
1
TWTWY
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M i d d
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36/43
Moindres carrs pondrs
Un choix possible :
WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99
La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.
est appel le facteur doubli.
Moindres carrs rcursifs pondrs :
k= ki=1
(i)kiT(i)1 ki=1
(i)kiy(i) =Pkk
i=1
(i)kiy(i)
P1k+1=P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M i d d
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37/43
Moindres carrs pondrs
Un choix possible :
WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99
La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.
est appel le facteur doubli.
Moindres carrs rcursifs pondrs :
k= ki=1
(i)kiT(i)1 ki=1
(i)kiy(i) =Pkk
i=1
(i)kiy(i)
P1k+1=P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M i d d
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7/24/2019 Identification Dia Po 4
38/43
Moindres carrs pondrs
Un choix possible :
WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99
La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.
est appel le facteur doubli.
Moindres carrs rcursifs pondrs :
k= ki=1
(i)kiT(i)1 ki=1
(i)kiy(i) =Pkk
i=1
(i)kiy(i)
P1k+1=P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M i d d
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39/43
Moindres carrs pondrs
Un choix possible :
WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99
La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.
est appel le facteur doubli.
Moindres carrs rcursifs pondrs :
k= ki=1
(i)kiT(i)1 ki=1
(i)kiy(i) =Pkk
i=1
(i)kiy(i)
P1k+1=P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
M i d d
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40/43
Moindres carrs pondrs
Un choix possible :
WTW=diag(N1,N2, . . . ,1,0) avec 0.9 0.99
La dernire erreur est pondre par 0 =1 et la premire erreur parN1.
est appel le facteur doubli.
Moindres carrs rcursifs pondrs :
k= ki=1
(i)kiT(i)1 ki=1
(i)kiy(i) =Pkk
i=1
(i)kiy(i)
P1k+1=P1k +(k+ 1)
T(k+ 1)
SID. M.A Ident systmes
Le modle paramtriqueMthode des moindres carrs
Moindres carrs pondrs
http://find/ -
7/24/2019 Identification Dia Po 4
41/43
Moindres carrs pondrs
En suivant la mme dmarche pour lalgorithme des moindres carrs rcursifs et lelemme dinversion matricielle, on obtient la formulation suivante avec le facteurdoubli :
Pk+1= 1
Pk
Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk
+T(k+ 1)Pk(k+ 1)
k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
Un plus petit permet une meilleure poursuite de paramtresvariables, alors quun plus grand permet une meilleure limination desperturbations
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Moindres carrs pondrs
En suivant la mme dmarche pour lalgorithme des moindres carrs rcursifs et lelemme dinversion matricielle, on obtient la formulation suivante avec le facteurdoubli :
Pk+1= 1
Pk
Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk
+T(k+ 1)Pk(k+ 1)
k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
Un plus petit permet une meilleure poursuite de paramtresvariables, alors quun plus grand permet une meilleure limination desperturbations
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En suivant la mme dmarche pour lalgorithme des moindres carrs rcursifs et lelemme dinversion matricielle, on obtient la formulation suivante avec le facteurdoubli :
Pk+1= 1
Pk
Pk(k+ 1)T(k+ 1)Pk
+T(k+ 1)Pk(k+ 1)
k+1= k+ Pk+1(k+ 1)y(k+ 1)T(k+ 1)k
Un plus petit permet une meilleure poursuite de paramtresvariables, alors quun plus grand permet une meilleure limination desperturbations
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