idées fondamentales de la mécanique quantique

8/4/2019 Ides fondamentales de la mcanique quantique

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Ides fondamentales de la mcaniquequantique

Dans l'tat actuel des connaissances scientifiques, la mcanique quantique joue un rlefondamental pour la description et la comprhension des phnomnes naturels. En effet, dsque ces derniers se produisent une chelle trs fine (chelle atomique ou subatomique), ilsne sont explicables que dans le cadre de la physique quantique; par exemple, l'existence et les

proprits des atomes, la liaison chimique, la propagation d'un lectron dans un cristal,etc,...ne peuvent tre comprises partir de la mcanique classique. Or mme si l'on nes'intresse qu'aux objets physiques macroscopiques (c'est--dire de dimensions comparables ceux que l'on considre dans la vie courante), il faut en principe commencer par tudier lecomportement des divers atomes, ions, lectrons qui les constituent avant de pouvoir endonner une description scientifique complte. C'est en ce sens que l'on peut dire que lamcanique quantique est la base de notre comprhension actuelle de tous les phnomnes

naturels, y compris ceux qui relvent traditionnellement de la chimie, de la biologie, etc....D'ailleurs, il s'avre que nombreux sont les phnomnes macroscopiques qui manifestentclairement notre chelle le comportement quantique de la nature.

D'un point de vue historique, les ides quantiques, en regroupant les proprits des particulesmatrielles et du rayonnement, ont d'ailleurs contribu une unification remarquable desconcepts de la physique fondamentale. En effet, la fin du XIX , on distinguait dans les

phnomnes physiques deux entits : matire et rayonnement, pour lesquelles on disposait delois compltement diffrentes. Pour prdire le mouvement des corps matriels, on utilisait leslois de la mcanique newtonienne dont les succs, pour tre anciens, n'en taient pas moins

impressionnants. En ce qui concerne le rayonnement, la thorie de l'lectromagntisme avaitabouti, grce l'introduction des quations de Maxwell, une comprhension globale d'unensemble de phnomnes qui relevaient autrefois de domaines diffrents : lectricit,magntisme et optique; en particulier, la thorie lectromagntique du rayonnement avait reuune confirmation exprimentale clatante avec la dcouverte des ondes hertziennes. Enfin, lesinteractions entre rayonnement et matire s'interprtaient bien partir de la force de Lorentz.Cet ensemble de lois avait conduit la physique un tat qui pouvait, compte tenu des donnesexprimentales de cette poque, tre considr comme satisfaisant.

La physique allait pourtant, au dbut du XX sicle, tre marque par des bouleversementsprofonds, qui aboutirent l'introduction de la mcanique relativiste et de la mcanique

quantique. Rvolution relativiste et rvolution quantique furent dans une large mesureindpendantes, car elles remirent en question la physique classique sur des points diffrents :les lois classiques cessent d'tre valables pour des corps matriels anims de trs grandesvitesses, comparables celle de la lumire (domaine relativiste); de plus, elles sont aussi endfaut l'chelle atomique ou sub-atomique (domaine quantique). Il est cependant importantde remarquer que, dans les deux cas, la physique classique apparat comme uneapproximation des nouvelles thories, approximation valable pour la plupart des phnomnes l'chelle courante; par exemple, la mcanique newtonienne permet de prdire correctementle mouvement d'un corps solide, condition qu'il soit non relativiste (vitesses faibles devantcelle de la lumire) et macroscopique (dimensions grandes devant celles des atomes).Cependant, d'un point de vue fondamental, la thorie quantique reste toujours indispensable :elle seul permet par exemple de comprendre l'existence mme d'un corps solide et la valeurdes paramtres macroscopique (densit, chaleur spcifique, lasticit, etc...) qui lui sont


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associs. Nous ne disposons pas encore, l'heure actuelle, d'une thorie pleinementsatisfaisante qui soit la fois quantique et relativiste, car des difficults ont surgi dans cedomaine. Toutefois, la plupart des phnomnes atomiques et molculaires sont bien expliqus

par la mcanique quantique non relativiste que nous nous proposons d'tudier ici.

Ce chapitre constitue en fait une premire prise de contact avec les ides et le vocabulairequantiques.Il n'est pas questions ici d'tre rigoureux ou complet. Le but essentiel estd'veiller la curiosit du lecteur, de lui dcrire des phnomnes qui branlent des notions aussisolidement ancres dans notre intuition que la notion de trajectoire, et de lui rendreplausible la thorie quantique en lui montrant de faon simple et qualitative comment elle

permet de rsoudre les problmes rencontrs l'chelle atomique. Nous reprendronsultrieurement les diffrentes notions introduites dans ce chapitre, en les prcisant soit sur le

plan du formalisme mathmatique, soit sur le plan physique.

Dans le premier paragraphe, nous introduisons tout d'abord les ides quantiques de base(dualit onde-corpuscule, mcanisme de la mesure) en nous appuyant sur des expriences

d'optique bien connues. Puis nous indiquons comment on peut tendre ces ides auxcorpuscules matriels (fonction d'onde, quation de Schrdinger). Nous tudions ensuite plusen dtail les caractristiques du paquet d'ondes associ une particule, et introduisons lesrelations d'incertitude de Heisenberg. Enfin, nous discutons quelques effets typiquementquantiques sur des cas simples.

Les quanta de lumire et les relations de Planck-Einstein

Newton considrait la lumire comme un jet de corpuscules, qui par exemple rebondissaientlors de la rflexion sur un miroir. Durant la premire moiti du XIX sicle, dmonstration

fut faite de la nature ondulatoire de la lumire (interfrences, diffraction), ce qui permit par lasuite l'intgration de l'optique dans la thorie lectromagntique. Dans ce cadre, la vitessede la lumire est relie des constantes lectriques et magntiques, et les phnomnes de

polarisation lumineuse s'interprtent comme des manifestations du caractre vectoriel duchamp lectrique.

Cependant, l'tude du rayonnement du corps noir, que la thorie lectromagntique taitimpuissante expliquer, amena Planck mettre l'hypothse de la quantification de l'nergie

(1900) : pour une onde lectromagntique de frquence les seules nergies possibles sont

des multiples entiers du quantum , o est une nouvelle constante fondamentale. Puis

Einstein, donnant cette hypothse une porte beaucoup plus gnrale, proposa un retour lathorie corpusculaire (1905) : la lumire est constitue d'un jet de photons dont chacun

possde l'nergie . Einstein montra comment l'introduction des photons permettait decomprendre de manire trs simple certaines caractristiques de l'effet photolectriqueinexpliques jusque l. Il fallut attendre presque vingt ans pour que le photon soit directementmis en vidence, en tant que corpuscule individualis, par l'effet Compton (1924).

Ces rsultats conduisent la conclusion suivante : l'interaction d'une onde lectromagntiqueavec la matire se fait parprocessus lmentaires indivisibles, o le rayonnement apparatcomme constitu de corpuscules, les photons. Paramtres corpusculaires (nergie et

impulsion d'un photon) et paramtres ondulatoires (pulsation et vecteur d'onde


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, o , tant la frquence et la longueur d'onde) sont lis par les relationsfondamentales :

relations de Planck-Einstein

(1.1)

o est dfini partir de la constante de Planck :

Joule seconde(1.2)

Au cours de chaque processus lmentaire, il y a conservation de l'nergie et de l'impulsiontotales.

Nous voil donc revenus une conception corpusculaire de la lumire. Est-ce dire qu'ilfaille abandonner la thorie ondulatoire? Certainement pas : nous allons voir que les

phnomnes typiquement ondulatoires mis en vidence par les expriences d'interfrence etde diffraction seraient inexplicables dans un cadre purement corpusculaire. En analysantl'exprience bien connue des fentes d'Young, nous allons tre conduits la conclusionsuivante : une interprtation complte des phnomnes ne peut tre obtenue qu'en conservant la fois l'aspect ondulatoire et l'aspect corpusculaire de la lumire (bien qu'ils paraissent

priori inconciliables). Nous indiquerons ensuite comment ce paradoxe peut tre rsolu parl'introduction des notions quantiques fondamentales.

Analyse de l'exprience des fentes d'Young

Le dispositif de cette exprience est schmatis sur la figure 1 : la lumire monochromatique

mise par la source tombe sur une plaque opaque perce de deux fentes fines et ,qui clairent l'cran d'observation (par exemple une plaque photographique). Si l'on obstrue

, on obtient sur une rpartition d'intensit lumineuse , qui est la tache de

diffraction de ; de mme, lorsque est bouch, la tache de diffraction de est dcrite

par . Quand les deux fentes et sont ouvertes la fois, on observe sur l'cran un

systme de franges d'interfrence : on constate en particulier que l'intensit

correspondante n'est pas la somme des intensits produites par et sparment :


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(1.3)

Comment pourrait-on envisager d'expliquer, au moyen d'une thorie corpusculaire (dont la

ncessit est apparue au paragraphe prcdent), les rsultats exprimentaux que nous venonsde dcrire? L'existence d'une tache de diffraction, lorsqu'une seule des deux fentes est ouverte,

pourrait par exemple s'expliquer par l'influence des chocs des photons sur les bords de lafente; une telle explication demanderait bien sr tre prcise et une tude plus dtaillemontrerait qu'elle n'est pas suffisante. Cependant, concentrons plutt notre attention sur le

phnomne d'interfrence. Nous pourrions tenter de l'expliquer en faisant intervenir une

interaction entre les photons qui passent par la fente , et ceux qui passent par la fente ;cette explication conduirait alors la prdiction suivante : si l'on diminue l'intensit de lasource (c'est--dire le nombre de photons qu'elle met par seconde) jusqu' ce que les

photons arrivent pratiquement un par un sur la plaque puis sur l'cran, l'interaction entre lesphotons doit diminuer et, la limite, s'annuler : les franges d'interfrence devraient doncdisparatre.

Avant d'indiquer la rponse donne par l'exprience, rappelons que la thorie ondulatoire,elle, fournit une interprtation toute naturelle des franges. L'intensit lumineuse en un point del'cran est proportionnelle au carr de l'amplitude du champ lectrique en ce point. Si

et reprsentent, en notation complexe, les champs lectriques produits en

par les fentes et respectivement (elles se comportent comme des sources secondaire),

le champ total rgnant en ce point lorsque et sont toutes deux ouvertes est :


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(1.4)

En utilisant la notation complexe, on aura donc :

(1.5)

Comme d'autre part les intensits et sont respectivement proportionnelles

et , la formule (1.5) montre que diffre de par un

terme d'interfrence, qui dpend de la diffrence de phase entre et , et dont la prsence

explique les franges. La thorie ondulatoire prvoit donc que, si l'on diminue l'intensit de lasource , les franges vont simplement diminuer elles aussi d'intensit, mais persister.

Que se passe-t-il en fait, lorsque met les photons pratiquement un par un?Ni lesprdictions de la thorie ondulatoire, ni celles de la thorie corpusculaire ne sont vrifies.En effet :

(i)Si l'on recouvre l'cran d'une plaque photographique, et si l'on augmentesuffisamment le temps de pose de faon recevoir quand mme pour chaque

photographie un grand nombre de photons, on constate au dveloppement que lesfranges n'ont pas disparu; il faut donc rejeter l'interprtation purement corpusculaireselon laquelle les franges sont dues une interaction entre photons.

(ii)On peut au contraire exposer la plaque photographique pendant un tempssuffisamment court pour qu'elle ne puisse recevoir que quelques photons. On constatealors que chaque photon produit sur un impact localis, et non une figured'interfrence d'intensit trs faible; il faut donc aussi rejeter l'interprtation purementondulatoire.

En ralit, au fur et mesure que les photons arrivent sur la plaque photographique, il se

produit le phnomne suivant : leurs impacts se rpartissent de manire alatoire, et ce n'estque lorsqu'un grand nombre d'entre eux est arriv sur que la rpartition des impacts sembleavoir un aspect continu; la densit des impacts en chaque point de correspond aux franges :elle est maximum sur une frange brillante, nulle sur une frange noire. On peut donc dire que,au fur et mesure de leur arrive, les photons reconstituent la figure d'interfrence.

Le rsultat de cette exprience conduit donc apparemment un paradoxe, qui, dans le cadrede la thorie corpusculaire par exemple, peut tre explicit comme suit. Puisque, l'interactionentre photons est exclue, il nous faut considrer chacun d'eux sparment. Mais on necomprend pas alors pourquoi les phnomnes changent tellement suivant qu'une seule fenteest ouverte, ou les deux : comment admettre que, pour un photon passant par l'une des fentes,

le fait que l'autre soit ferme ou non ait une importance si cruciale?
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Avant de discuter ce problme, il convient de remarquer que, dans l'exprience prcdente,nous n'avons pas cherch dterminer par laquelle des deux fentes tait pass chacun des

photons que recevait l'cran. Pour obtenir ce renseignement, on peut envisager de placer des

dtecteurs (photomultiplicateurs) derrire et . On constatera bien alors que, si les

photons arrivent un un, chacun d'eux franchit une fente bien dtermine (on obtiendra un

signal soit sur le dtecteur plac derrire , soit sur celui qui couvre , mais pas sur lesdeux la fois). Mais, bien videmment, les photons ainsi dtects seront absorbs et ne

parviendront pas jusqu' l'cran. Supprimons alors le photomultiplicateur qui masque , par

exemple. Celui qui reste en nous indiquera que, sur un grand nombre de photons, environ

la moiti franchit . Nous en concluons que les autres, ceux qui peuvent continuer jusqu'

l'cran, passent par ; mais la figure qu'ils construisent peu peu sur l'cran n'est pas une

figure d'interfrence, puisque est obstru; c'est seulement la tache de diffraction de .

Unification quantique des deux aspects de la lumire

L'analyse qui prcde montre qu'il est impossible d'expliquer tous les phnomnes observs sil'on ne s'attache qu' l'un des deux aspects, corpusculaire ou ondulatoire, de la lumire. Or cesdeux aspects semblent s'exclure mutuellement. Pour surmonter cette difficult, il devient doncindispensable de rviser de faon critique les concepts de la physique classique et d'admettreque, bien que notre exprience quotidienne nous enseigne qu'ils sont parfaitement tablis, cesconcepts peuvent ne plus tre valables dans le domaine nouveau (dit microscopique) quenous abordons. Par exemple, une caractristique essentielle de ce nouveau domaine estapparue lorsque nous avons plac des compteurs derrire les fentes d'Young : lorsque l'oneffectue une mesure sur un systme microscopique, on le perturbe de faon fondamentale; ils'agit l d'une proprit nouvelle puisque, dans le domaine macroscopique, nos sommeshabitus ce qu'il soit toujours possible de concevoir des appareils de mesure dont l'influencesur le systme est pratiquement aussi faible que l'on veut. Cette rvision critique de la

physique classique est impose par l'exprience, et doit bien sr tre guide par l'exprience.

Reprenons d'abord le paradoxe, nonc plus haut, du photon qui passe par une fente mais secomporte diffremment suivant que l'autre est ouverte ou ferme. Nous avons vu que, si l'oncherche dtecter les photons lorsqu'ils franchissent les fentes, on les empche d'arriver

jusqu' l'cran. De faon plus gnrale, une analyse dtaille des expriences montre qu'il estimpossible d'observer la figure d'interfrence et de savoir en mme temps par quelle fente est

pass chaque photon. On est donc oblig, pour rsoudre le paradoxe, de renoncer l'idequ'un photon passe forcment par une fente dtermine. On remet ainsi en cause la notion,fondamentale en physique classique, de trajectoire d'un corpuscule.

D'autre part, lorsque les photons arrivent un un, leurs impacts sur l'cran reconstituent

progressivement la figure d'interfrence. Ceci implique que, pour un photon particulier, on nesait pas l'avance de faon certaine o il va aller frapper l'cran. Or ces photons sont tous


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mis dans les mmes conditions. Voil donc dtruite aussi l'ide classique suivant laquelle lesconditions initiales dterminent compltement le mouvement ultrieur d'une particule. On

peut seulement dire, lorsqu'un photon est mis, que la probabilit pour qu'il frappe l'cran en

est proportionnelle l'intensit calcule dans la thorie ondulatoire, c'est--dire

.

Aprs bien des ttonnements qu'il n'est pas question de dcrire ici, on en est arriv la notionde dualit onde-corpuscule, que l'on peut schmatiquement rsumer ainsi1.1

(iii)Les aspects corpusculaire et ondulatoire de la lumire sont insparables; la lumire secomporte la fois comme une onde et comme un flux de particules, l'onde permettant

de calculer la probabilit pour qu'un corpuscule se manifeste.

(iv) Les prvisions sur le comportement d'un photon ne peuvent tre que du typeprobabiliste.

(v)

L'information sur un photon l'instant est donne par l'onde solution desquations de Maxwell; nous dirons que cette onde caractrise l'tat des photons

l'instant . est interprt comme l'amplitude de probabilitpour qu'un photon manifeste sa prsence, l'instant , au point : cela signifie que la

probabilit correspondante est proportionnelle .REMARQUES :(i)

Les quations de Maxwell, tant linaires et homognes, admettent unprincipe de

superposition : si et sont deux solutions de ces quations, alors

, o et sont des constantes, est aussi une solution. C'estce principe de superposition qui explique en optique classique les phnomnes de typeondulatoire (interfrences, diffraction). En physique quantique, l'interprtation de

comme amplitude de probabilit est donc essentielle pour que de telsphnomnes persistent.

(ii)La thorie permet seulement de calculer la probabilit pour qu'un vnement donn se

produise. Les vrifications exprimentales devront donc tre fondes sur la rptitiond'un grand nombre d'expriences identiques (dans l'exprience ci-dessus, on envoiesuccessivement un grand nombre de photons, tous produits de la mme faon, pourreconstituer la figure d'interfrence, matrialisation des probabilits calcules).

(iii)
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Nous parlons ici d'tat du photon de manire pouvoir dvelopper dans le 1.1.5

suivant une analogie entre et la fonction d'onde qui caractrise l'tatquantique d'une particule matrielle. Cette analogie optique est trs fructueuse et

permet notamment de comprendre simplement et sans calculs diverses proprits

quantiques des particules matrielles. Cependant, elle ne doit pas tre pousse trop

loin et faire croire qu'il est, en toute rigueur, correct d'assimiler l'tatquantique d'un photon.

D'ailleurs, nous verrons que le fait que soit complexe est essentiel en mcanique quantique,

alors que la notation complexe est employe en optique par pure commodit (seule sa partierelle a un sens physique). La dfinition prcise de l'tat quantique (complexe) du rayonnement ne peuttre donne que dans le cadre de l'lectrodynamique quantique qui est une thorie la fois quantique etrelativiste. Il ne peut tre question d'aborder ici ces problmes.

Le principe de dcomposition spectrale

Munis des notions introduites prcdemment, nous allons maintenant discuter une autreexprience simple d'optique, en nous intressant cette fois la polarisation de la lumire. Celanous permettra d'introduire les concepts fondamentaux concernant la mesure de grandeurs

physiques.
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L'exprience consiste envoyer une onde lumineuse plan monochromatique et polarise sur

un analyseur ; dsigne la direction de propagation de cette onde, le vecteur unitairequi dcrit sa polarisation (cf. fig. 2); l'analyseur transmet les polarisations parallles

et absorbe les polarisations parallles .

La description classique de cette exprience (description valable pour une intensit lumineusesuffisamment grande) est la suivante. L'onde plane polarise est caractrise par un champlectrique de la forme :

(1.6)

o est une constante; l'intensit lumineuse est proportionnelle . Aprs passage travers l'analyseur , on obtient une onde plane polarise suivant :

(1.7)

dont l'intensit , proportionnelle , est donne par la loi de Malus :

(1.8)

[ est le vecteur unitaire de l'axe , et on a pos ].

Que va-t-il se passer au niveau quantique, c'est--dire lorsque est suffisamment faible pourque les photons arrivent un un sur l'analyseur? (On place alors un dtecteur de photonsderrire cet analyseur). Tout d'abord, on n'enregistrera jamais dans le dtecteur une fractionde photon : ou bien le photon franchit l'analyseur, ou bien il y est entirement absorb.

Ensuite (sauf cas particuliers que nous examinerons dans un instant), on ne peut pas prdireavec certitude si tel photon qui arrive va passer ou tre absorb; on ne peut connatre que lesprobabilits correspondantes. Enfin, si l'on envoie l'un aprs l'autre un grand nombre dephotons, on va retrouver la loi classique, en ce sens qu'on en dtectera pratiquement

aprs l'analyseur.

Nous retiendrons de cette description les ides suivantes :

(vi)L'appareil de mesure (ici l'analyseur) ne peut donner que certains rsultats privilgis,que nous appellerons rsultats propres1.2. Dans l'exprience ci-dessus, il n'y a quedeux rsultats possibles : le photon franchit l'analyseur, ou il est arrt. On dit qu'il y aquantification du rsultat de la mesure, par opposition au cas classique [cf. formule


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(1.8)] o l'intensit transmise peut varier de faon continue, suivant la valeur de ,entre 0 et .

(vii)A chacun des rsultats propres correspond un tat propre. Ici, les deux tats propressont caractriss par :

(1.9)

( est le vecteur unitaire de l'axe ). Si , on sait avec certitude que le

photon va franchir l'analyseur; si , il va au contraire tre srement arrt. Lacorrespondance entre rsultats propres et tats propres est donc la suivante : si lecorpuscule se trouve, avant la mesure, dans un des tats propres, le rsultat de cettemesure est certain; il ne peut tre que le rsultat propre associ.

(viii)Lorsque l'tat avant la mesure est quelconque, on ne peut prdire que les probabilitsd'obtenir les diffrents rsultats propres. Pour trouver ces probabilits, on dcompose

l'tat du corpuscule en une combinaison linaire des divers tats propres; ici, pourquelconque, on crit :

(1.10)

La probabilit d'obtenir tel rsultat propre est alors proportionnelle au carr du moduledu coefficient dont est affect l'tat propre correspondant (le facteur de

proportionnalit est dtermin par la condition que la somme de toutes ces probabilits

soit gale ). De (1.10), on dduit donc que chaque photon a une probabilitde franchir l'analyseur, et d'y tre absorb (on a bien :

); c'est effectivement ce qui a t indiqu plus haut. Cette rgleest appele en mcanique quantiqueprincipe de dcomposition spectrale. Il fautremarquer que la dcomposition effectuer dpend du type d'appareil de mesure

considr, puisqu'il faut utiliser les tats propres qui lui correspondent : dans la

formule (1.10), le choix des axes et est fix par l'analyseur.(ix)

Aprs passage de l'analyseur, la lumire est compltement polarise suivant . Sidonc on dispose, aprs le premier, un second analyseur de mme axe, tous les

photons qui ont franchi franchiront aussi . D'aprs ce que nous venons de voir,ceci signifie que, aprs la traverse de , l'tat des photons est l'tat propre

caractris par . Il y a donc changement brusque de l'tat des corpuscules : avant la

mesure, cet tat tait dfini par un vecteur colinaire ; aprs la mesure,
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on possde une information supplmentaire (le photon est pass) que l'on incorpore en

dcrivant l'tat un vecteur diffrent, colinaire cette fois . Ceci traduit le fait, djsignal au 1.1.3, que la mesure perturbe le systme microscopique (ici le photon) de

faon fondamentale.

REMARQUE :

La prdiction certaine du rsultat lorsque ou n'est qu'un casparticulier. En effet, la probabilit de l'un des vnements possibles est alors gales

; mais, pour vrifier cette prdiction, on est oblig d'effectuer un grand nombred'expriences : il faut s'assurer que tous les photons passent (ou sont arrts), puisquele fait qu'un photon particulier franchisse l'analyseur (ou soit absorb) n'est pas

caractristique de (ou ).

Les relations de Louis de Broglie

Paralllement la dcouverte des photons, l'tude des spectres d'mission et d'absorption desatomes mit en vidence un fait fondamental, que la physique classique ne permettait pas decomprendre : ces spectres sont constitus de raies fines; autrement dit, un atome donn n'metou n'absorbe que des photons de frquences (c'est--dire d'nergie) bien dtermines. Ce faits'interprte trs bien si l'on admet que l'nergie de l'atome est quantifie, c'est--dire qu'elle ne

peut prendre que certaines valeurs discrtes ( ) : l'mission oul'absorption d'un photon s'accompagne alors d'un saut de l'nergie de l'atome d'une valeur

permise une autre , et la conservation de l'nergie implique que le photon ait une

frquence telle que :

(1.11)

Seules des frquences obissant (1.11) peuvent donc tre mises ou absorbes par l'atome.

L'existence de tels niveaux d'nergie discrets fut confirme indpendamment par l'expriencede Franck et Hertz. Bohr la traduisit en termes d'orbites lectroniques privilgies, et donna,avec Sommerfeld, une rgle empirique permettant de calculer ces orbites dans le cas del'atome d'hydrogne. Mais l'origine fondamentale de ces rgles de quantification restaitmystrieuse.

C'est alors (1923) que L. de Broglie mit l'hypothse suivante : les corpuscules matrielles,tout comme les photons, peuvent avoir un aspect ondulatoire. Il retrouva alors les rgles dequantification de Bohr-Sommerfeld comme consquence de cette hypothse, les diversniveaux d'nergie permis apparaissant de faon analogue aux modes propres d'une cordevibrante ou d'une cavit rsonnante. Les expriences de diffraction des lectrons (Davisson et
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node5.html#ssec:uni_lumihttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node5.html#ssec:uni_lumihttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node8.html#eq:hnu_emi_absorphttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node5.html#ssec:uni_lumihttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node8.html#eq:hnu_emi_absorp


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Germer, 1927) vinrent confirmer de faon clatante l'existence d'un aspect ondulatoire de lamatire, en montrant que des figures d'interfrence peuvent tre obtenues avec descorpuscules matriels tels que des lectrons.

On associe donc, un corpuscule matriel d'nergie et d'impulsion , une onde dont la pulsation et le vecteur d'onde sont donns par les mmes relations que pour lesphotons (cf. 1.1.1) :

(1.12)

Autrement dit, la longueur d'onde correspondante est :

relation de L. de Broglie

(1.13)

REMARQUE :

La trs petite valeur de la constante de Planck explique que le caractre ondulatoirede la matire soit trs difficile mettre en vidence l'chelle macroscopique;

Fonction d'onde. quation deSchrdinger

Suivant l'hypothse de L. de Broglie, nous allons tendre toutes les particules matrielles lesnotions introduites prcdemment dans le cas du photon. En reprenant chacune des conclusionde ce paragraphe, nous arrivons la formulation suivante :

(iv)Au concept classique de trajectoire, il faut substituer celui d'tat dpendant du temps

. L'tat quantique d'un corpuscule tel que l'lectron1.3est caractris par unefonction

d'onde , qui contient toutes les informations qu'il est possible d'obtenir sur lecorpuscule.

(v)

est interprte comme une amplitude de probabilit de prsence. tant donnque les positions possibles de la particule forment un continuum, la probabilit pour

que la particule soit trouve, l'instant , dans un lment de volume
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situ au point doit tre proportionnelle et donc

infinitsimale : . On interprte alors comme la densit deprobabilitcorrespondante en posant :

(1.14)

o est une constante de normalisation.(vi)

Le principe de dcomposition spectrale s'applique la mesure d'une grandeur physique quelconque :-

Le rsultat trouv appartient forcment un ensemble de rsultats propre .-

A chaque valeur propre est associ un tat propre, c'est--dire une fonction propre

. Cette fonction est telle que, si ( tant l'instant o est

effectue la mesure), la mesure donnera coup sr .-

Lorsque est quelconque, la probabilit de trouver, lors d'une mesure

l'instant , la valeur propre s'obtient en dcomposant sur les fonctions

:

(1.15)

Alors :

(1.16)

(la prsence du dnominateur assure que la probabilit totale est gale :

)-Si la mesure donne effectivement , la fonction d'onde du corpuscule immdiatement

aprs la mesure est :


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(1.17)

(vii)

Reste crire l'quation d'volution laquelle obit la fonction . Il estpossible de l'introduire de manire trs naturelle partir des relations de Planck et deL. de Broglie. Toutefois, il ne peut tre question de dmontrer cette quationfondamentale, appele quation de Schrdinger, et nous allons simplement la poser;nous discuterons ensuite quelques unes de ses consquences (c'est la vrificationexprimentale de ces consquences qui prouvera sa validit). Nous reviendronsd'ailleurs de manire beaucoup plus dtaill sur cette quation au chapitre 3.

Lorsque la particule (de masse ) subit l'action d'un potentiel1.4

, sa fonction

d'onde obit l'quation de Schdinger :

(1.18)

o est le laplacien

On remarque immdiatement que cette quation est linaire et homogne en ; parconsquent, il existe pour les particule matrielles un principe de superposition qui,

combin avec l'interprtation de comme amplitude de probabilit; donnera deseffets de type ondulatoire. Notons d'autre part que l'quation diffrentielle (1.18) estdu premier ordre par rapport au temps; cette condition est ncessaire pour que l'tat du

corpuscule un instant , caractris par , dtermine son tat ultrieur.

Il existe donc une profonde analogie entre matire et rayonnement : dans les deux cas,une description correcte des phnomnes ncessite l'introduction des conceptsquantiques, et en particulier la notion de dualit onde-corpuscule.

REMARQUES :

(iv)Pour un systme constitu d'une seule particule, la probabilit totale pour trouver la

particule n'importe o dans l'espace, l'instant , est gale 1 :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node103.html#chap:fond_mecahttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node103.html#chap:fond_mecahttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot1566http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot1566http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:eq_schro_wfhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node103.html#chap:fond_mecahttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot1566http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:eq_schro_wf


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(1.19)

tant donn par la formule (1.14), on en conclut que la fonction d'onde

doit tre de carr sommable :

est finie

(1.20)

La constante de normalisation qui figure dans (1.14) est alors donne par larelation :

(1.21)

(nous verrons plus loin que la forme de l'quation de Schrdinger entrane que estindpendante du temps). On utilise souvent des fonctions d'onde normalises, c'est--dire telles que :

(1.22)

La constante est alors gale .(v)

Notons la grande diffrence entre la notion d'tat classique et la notion d'tat

quantique. L'tat d'une particule classique est dtermin l'instant par la donne de

six paramtres caractrisant sa position et sa vitesse l'instant : .

L'tat d'une particule quantique est dtermin par une infinit de paramtres : les

valeurs aux divers points de l'espace de la fonction d'onde qui lui est associe.A la notion classique de trajectoire, succession des divers tats du corpuscule classiqueau cours du temps, doit tre substitue la notion de propagation de l'onde associe la

particule. Reprenons par exemple l'exprience des franges d'Young dcrite plus hautdans le cas des photons, mais qui est en principe galement possible pour des

particules matrielles comme des lectrons; lorsqu'on observe la figure d'interfrence,se poser la question de savoir par quelle fente chaque corpuscule est pass n'a pas desens, car l'onde qui lui est associe passe par les deux trous la fois.

(vi)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:dprobhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:dprobhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:dprobhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node9.html#eq:dprob


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Il convient de remarquer que, la diffrence des photons qui peuvent tre mis ouabsorbs au cours d'une exprience, les corpuscules matriels ne peuvent pas trecres ou dtruits : lorsqu'un filament chauff met des lectrons, ceux-ci prexistentdans le filament; de mme, un lectron absorb par un compteur ne disparat pas, maisse retrouve dans un atome ou participe un courant lectrique. En ralit, la thorie de

la relativit enseigne qu'il est possible de crer et d'annihiler des corpusculesmatriels : par exemple un photon d'nergie suffisante, passant prs d'un atome, peutse matrialiser en une paire lectron-positron; inversement, le positron, rencontrant unlectron, s'annihile avec lui en donnant des photons. Cependant, nous avons indiqu audbut de ce chapitre que nous nous limiterions ici au domaine quantique non-relativiste, et nous avons effectivement trait de faon dissymtrique le temps et lescoordonnes d'espace. Dans le cadre de la mcanique quantique non-relativiste, les

particules matrielles ne peuvent tre ni cres ni annihiles. Cette loi de conservation,nous le verrons, joue mme un rle de premier plan; la ncessit de l'abandonner estl'une des difficults importantes que l'on rencontre lorsqu'on chercher construire unemcanique quantique relativiste.

Particule libre

Considrons une particule dont l'nergie potentielle est nulle (ou a une valeur constante) entout point de l'espace. La particule n'est donc soumise aucune force; on dit qu'elle est libre.

Lorsque , l'quation de Schdinger devient :

(1.23)

Cette quation diffrentielle admet visiblement des solutions de la forme :

(1.24)

(o est une constante) condition que et soient lis par la relation :

(1.25)

Remarquons que, d'aprs les relations de L. de Broglie [voir (1.12)], la condition (1.25)

exprime que l'nergie et l'impulsion d'une particule libre vrifient l'galit bien connueen mcanique classique :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node8.html#eq:L_de_Broliehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:omega_k_relhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node8.html#eq:L_de_Broliehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:omega_k_rel


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(1.26)

Nous reviendrons plus loin (1.4) sur l'interprtation physique d'un tat de la forme (1.24);nous voyons dj que, comme

(1.27)

une onde plane de ce type reprsente une particule dont la probabilit de prsence estuniforme dans tout l'espace (voir remarque ci-dessus)

Le principe de superposition indique que toute combinaison linaire d'ondes planes vrifiant

(1.25) sera aussi solution de l'quation (1.23). Une telle superposition peut s'crire :

(1.28)

( reprsente par dfinition l'lment de volume infinitsimal dans l'espace des :

); , qui peut tre complexe, doit tre suffisamment rgulire pour que l'on

puisse driver sous le signe somme. On peut d'ailleurs dmontrer que toute solution de carrsommable peut tre crite sous la forme (1.28).

Une fonction d'onde telle que (1.28), superposition d'ondes planes, est appele un paquetd'ondes trois dimensions. Pour simplifier, nous allons souvent tre amens tudier le casd'un paquet d'ondes une dimension, obtenu par superposition d'ondes planes se propageant

toutes paralllement ; la fonction d'onde ne dpend alors plus que de et de :

(1.29)

Dans le paragraphe suivant, nous allons nous intresser la forme du paquet d'ondes uninstant donn; si nous choisissons cet instant comme origine des temps, la fonction d'ondes'crit :

(1.30)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#sec:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:form_of_wf_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:omega_k_relhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:schr_par_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#sec:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:form_of_wf_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:omega_k_relhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:schr_par_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_gen


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On voit que est simplement la transforme de Fourier de :

(1.31)

Par suite, la validit de la formule (1.30) n'est pas limite au cas de la particule libre : quel que

soit le potentiel, on peut toujours crire sous cette forme. Les consquences quenous allons en tirer aux 1.3.2 et1.4 ci-dessous sont donc parfaitement gnrales.

REMARQUE :

Une onde plane du type (1.24), dont le module est constant dans tout l'espace [cf.

(1.27)] n'est pas de carr sommable; en toute rigueur, elle ne peut donc reprsenter untat physique pour la particule (de mme, en optique, une onde planemonochromatique n'est pas physiquement ralisable). Par contre, une superpositiond'ondes planes, comme (1.29), peut parfaitement tre de carr sommable.

Forme du paquet d'ondes un instant donn

La forme du paquet d'ondes est donne par la dpendance en de dfinie par

l'galit (1.30). Supposons que ait l'allure reprsente sur la figure 3, c'est--dire

prsente un pic prononc dont le maximum est situ en et dont la largueur (dfinie

par exemple mi-hauteur) a pour valeur .

Commenons par chercher comprendre qualitativement le comportement de en

tudiant un cas particulier trs simple : , au lieu d'tre la superposition d'une infinit

d'ondes planes comme dans la formule (1.30), est la somme de trois ondes planes
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#ssec:form_paquethttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#sec:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#sec:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:form_of_wf_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:wf_lib_modhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_xhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#ssec:form_paquethttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#sec:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:form_of_wf_libhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:wf_lib_modhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_xhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0


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seulement; ces ondes planes ont pour vecteurs d'onde , , , et leurs

amplitudes respectives sont proportionnelles et . On a alors :

(1.32)

On voit que est maximal lorsque ; ce rsultat est d au fait que, lorsqueprend cette valeur, les trois ondes sont en phase et interfrent constructivement, comme le

montre la figure 4. Au fur et mesure que l'on s'carte de la valeur , les ondes se

dphasent l'une par rapport l'autre, et dcrot. L'interfrence devient compltement

destructive lorsque le dphasage entre et est gal : s'annule

lorsque , tant donn par :


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(1.33)

Cette formule indique que la largeur de la fonction (distance entre deux zros de

) est d'autant plus grande que la largeur de la fonction est plus petite.

REMARQUE :

La formule (1.32) montre que est priodique en , et prsent donc une srie

de maximums et minimums. Ceci provient du fait que est la superposition d'unnombre fini d'ondes (ici trois); pour une superposition continue d'une infinit d'ondes,

comme dans la formule (1.30), un tel phnomne ne se produit pas, et peutn'avoir qu'un seul maximum.
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:psix_3_ondeshttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:psix_3_ondeshttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0


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Revenons maintenant au paquet d'ondes gnral de la formule (1.30); sa forme rsulte aussi

d'un phnomne d'interfrences : est maximal lorsque les diffrentes ondes planesinterfrent de manire constructive.

Soit en effet l'argument de la fonction :

(1.34)

Supposons que varie de faon suffisamment rgulire dans l'intervalle

o est apprciable; on peut alors, lorsque est

suffisamment petit, dvelopper au voisinage de :

(1.35)

ce qui permet de rcrire (1.30) sous la forme :

(1.36)

avec :

(1.37)

La forme (1.36) est commode pour tudier les variations de en fonction de :

lorsque est grand, la fonction de intgrer oscille un trs grand nombre de fois

dans l'intervalle ; on voir alors que les contributions des oscillations successives

s'annulent entre elles et que l'intgrale sur prend une valeur ngligeable. En d'autres termes,

lorsque est fix une valeur loigne de , les phases des diverses ondes qui composent

varient trs rapidement dans le domaine , et ces ondes se dtruisent par
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:psix0_approxhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:psix0_approx


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interfrence. Par contre, si , la fonction intgrer sur n'oscille pratiquement plus,

et est maximal.

La position du centre du centre du paquet d'ondes est donc :

(1.38)

En pratique, le rsultat (1.38) peut tre retrouv par un raisonnement trs simple. Une

intgrale comme celle qui apparat dans (1.30) sera maximale (en module) lorsque les ondes

d'amplitude la plus grande, c'est--dire celles qui correspondent voisin de , interfrent

de manire constructive. Ceci se produit lorsque la phase de ces ondes, qui dpend de , ne

varie pratiquement pas autour de . Pour obtenir le centre du paquet d'ondes, on crit

donc (condition de phase stationnaire) que la drive par rapport de la phase s'annule en

. Dans le cas particulier qui nous occupe, la phase de l'onde correspondant est

, et est la valeur de qui annule la drive prise pour

.

Lorsque s'carte de la valeur , dcrot; cette dcroissance devient apprciable

si oscille peu prs une fois lorsque parcourt le domaine , c'est--direlorsque :

(1.39)

Si est la largeur approximative du paquet d'ondes, on a donc :

(1.40)

Nous retrouvons ainsi une relation classique entre les largeurs de deux fonctions transformes

de Fourier l'une de l'autre. Le fait important est que le produit est born

infrieurement; la valeur exacte de cette borne dpend bien sr de la dfinition prcise deslargeurs et .
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:cen_p_wfhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:cen_p_wfhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0


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Un paquet d'ondes tel que (1.29) reprsente donc l'tat d'une particule dont la probabilit de

prsence, l'instant , est pratiquement nulle en dehors d'un intervalle de largeur

approximative centr sur la valeur .

REMARQUE :

Le raisonnement prcdent pourrait faire croire que le produit est toujours del'ordre de 1. Insistions sur le fait qu'il s'agit l d'une limite infrieure : s'il est

impossible de construire des paquets d'ondes o le produit soit ngligeable

devant , il est parfaitement possible d'en construire pour lesquels ce produit est aussigrand qu'on le dsire. C'est pourquoi (1.40) est crit sous forme d'une ingalit.

Relation d'incertitude de HeisenbergL'ingalit (1.40) a, en mcanique quantique, des consquences physiques extrmementimportantes; nous nous proposons de les discuter maintenant (nous restons pour simplifierdans le cadre d'un modle une dimension).

Nous avons vu qu'une onde plane correspond une densit de probabilitconstante sur l'axe , quel que soit ; on peut exprimer grossirement ce rsultat en disantque la valeur de correspondante est infinie. Par contre, il y intervient une seule pulsation

et un seul vecteur d'onde ; d'aprs les relations de L. de Broglie, cela signifie que

l'nergie et l'impulsion de la particule sont bien dtermines : et . Unetelle onde plane peut d'ailleurs tre considre comme un cas particulier de (1.29), pour lequel

est une fonction delta :

(1.41)

La valeur correspondante de est alors nulle.

Mais on peut aussi interprter cette proprit de la faon suivante, dans le cadre du principe de

dcomposition spectrale. Dire qu'une particule, dcrite par la fonction d'onde

, possde une impulsion bien dtermine, c'est dire qu'une mesure de

l'impulsion cet instant donnera coup sr. On en dduit que caractrise l'tat

propre correspondant . Comme, d'autre part, il existe une onde plane pour toute
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_xhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_xhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_xhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x


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valeur relle de , les valeurs propres que l'on peut attendre a priori dans une mesure del'impulsion sur un tat quelconque sont toutes les valeurs relles (dans ce cas, il n'y a pasquantification des rsultats possibles : comme en mcanique classique, toutes les valeurs del'impulsion sont permises).

Considrons alors la formule (1.30). Elle fait apparatre comme une superposition

linaire des fonctions propres de l'impulsion, dans laquelle le coefficient de est .

On est donc amen interprter ( un facteur constant prs) comme la probabilit de

trouver si l'on mesure l'impulsion d'une particule dont l'tat est dcrit par

. En ralit, les valeurs possibles pour comme pour forment un ensemble

continu, et est proportionnel une densit de probabilit: la probabilit

d'obtenir une valeur comprise entre et est, un facteur prs, .Plus prcisment, si l'on rcrit la formule (1.30) sous la forme :

(1.42)

on sait que et vrifient l'galit de Bessel-Parseval :

(1.43)

Si la valeur commune des ces intgrales est , est la probabilit

pour que la particule soit trouve, , entre et ; de mme :

(1.44)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node11.html#eq:paquet_onde_x_0


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est la probabilit pour que la mesure de l'impulsion donne un rsultat compris entre et

[l'galit (1.43) assure alors que la probabilit totale pour trouver une valeurquelconque est bien gal ].

Revenons maintenant l'ingalit (1.40). On peut l'crire :

(1.45)

( est la largeur de la courbe reprsentative de ). Considrons uneparticule dont l'tat est dfini par le paquet d'ondes (1.42); nous savons que sa probabilit de

prsence, , est apprciable seulement dans une rgion de largeur autour de :sa position est connue avec une incertitude . Si l'on mesure l'impulsion de cette particule

au mme instant, on peut trouver une valeur comprise entre et ,

puisque est pratiquement nul en dehors de cet intervalle : l'incertitude sur l'impulsion

est donc . L'interprtation de la relation (1.45) est alors la suivante : il est impossible dedfinir un instant donn la fois la position de la particule et son impulsion avec une

prcision arbitraire; lorsque la limite infrieure impose par (1.45) est atteinte, augmenter la prcision sur la position (faire dcrotre ) implique que la prcision sur l'impulsion

diminue ( crot), et vice-versa. Cette relation est appele relation d'incertitude deHeisenberg.

On ne connat rien de tel en mcanique classique. La limitation exprime par ( 1.45) provient

du fait que n'est pas nul; c'est la trs petite valeur de l'chelle macroscopique qui rendcette limitation totalement ngligeable en mcanique classique. REMARQUE :

L'ingalit (1.40) dont nous sommes partis n'a rien, en elle-mme, de typiquementquantique. Elle ne fait qu'exprimer une proprit gnrale des transformes de Fourier,dont il existe de nombreuses applications en physique classique : il est par exemple

bien connu en radio-lectricit qu'il n'existe pas de train d'ondes lectromagntiquesdont on puisse dfinir au mme instant la position et la longueur d'onde avec une

prcision infinie. Ce qui est quantique, c'est d'associer une onde une particulematrielle, et d'imposer la longueur d'onde et l'impulsion de satisfaire la relation deL. de Broglie.
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:bessel_parsevalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:psix0_phttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:bessel_parsevalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:psix0_phttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node13.html#eq:Heisenberghttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node12.html#eq:dkdx_inegal


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Espace des fonctions d'onde d'une

particuleL'interprtation probabiliste de la fonction d'onde d'une particule a t donne au

chapitre prcdent : reprsente la probabilit pour que, l'instant , la

particule soit trouve dans le volume autour du point . La probabilit

totale de trouver la particule dans tout l'espace tant gale , on doit avoir :

(2.1)

o l'intgrale est tendue tout l'espace.

Nous somme ainsi amens tudier l'ensemble des fonctions de carr sommable, c'est--diredes fonctions pour lesquelles l'intgrale (2.1) converge2.1.

D'un point de vue physique, il est clair que l'ensemble est trop vaste : tant donn la

signification attribue , les fonctions d'onde effectivement utilises possdent

certaines proprits de rgularit. On peut ne garder que les fonctions partoutdfinies, continues, et mme indfiniment drivables (par exemple, affirmer qu'une fonctionest vraiment discontinue en un point donn de l'espace n'a aucun sens physique, aucuneexprience ne permettant d'avoir une ide sur les phnomnes rels une chelle trs petite,disons m); il est galement possible de se limiter aux fonctions d'onde support born(on est sr que la particule se trouve dans une rgion finie de l'espace, par exemple lelaboratoire). Nous ne chercherons pas prciser ici ces conditions supplmentaires dans le cas

gnral et nous appellerons l'ensemble des fonctions d'onde, constitu par les fonctionssuffisamment rgulires de ( est un sous espace de ).

est un espace vectorielIl est facile de montrer que satisfait toutes les proprits d'un espace vectoriel. Montrons

par exemple que :

Si et , alors :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node15.html#eq:prob_integralhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4057http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node15.html#eq:prob_integralhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4057


27/110

(2.2)

et tant deux nombres complexes quelconques.

Pour montrer que est de carr sommable, dveloppons :

(2.3)

Les deux derniers termes de (2.3) ont mme module, qu'on peut majorer par

, est donc infrieur une fonction dont l'intgrale

converge, puisque et sont de carr sommable.

Dfinition

A tout couple de deux lments de , et , pris dans cet ordre, on associe un

nombre complexe, not , qui vaut par dfinition :

(2.4)

est le produit scalaire de par [cette intgrale converge toujours si etappartiennent ].

PropritsElles dcoulent de la dfinition (2.4) :

(2.5)

(2.6)

(2.7)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node17.html#eq:dem_F_vechttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node19.html#eq:def_pro_scalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node17.html#eq:dem_F_vechttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node19.html#eq:def_pro_scal


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Le produit scalaire est linaire par rapport la deuxime fonction du couple, antilinaire par

rapport la premire. Si , on dit que et sont orthogonales.

(2.8)

est un nombre rel, positif, qui est nul si et seulement si .

s'appelle la norme de [on peut vrifier aisment que ce nombre a toutes lesproprits d'une norme]. Le produit scalaire choisi plus haut permet donc de dfinir unenorme dans .

Mentionnons enfin l'ingalit de Schwarz :

(2.9)

l'galit tant ralise si et seulement si les deux fonctions et sont proportionnelles.

DfinitionUn oprateur linaire est, par dfinition, un tre mathmatique qui, toute fonction

, fait correspondre une autre fonction , la correspondance tantlinaire :

(2.10)

(2.11)

Citons quelques exemples simples d'oprateurs linaires : l'oprateur parit , dont ladfinitions est :

(2.12)


29/110

l'oprateur multiplication par , que nous dsignerons par , et qui est dfini par :

(2.13)

enfin, l'oprateur drivation par rapport , que nous dsignerons par , et donc ladfinition est :

(2.14)

[les deux oprateurs et , agissant sur une fonction , peuvent la transformeren une fonction qui n'est plus ncessairement de carr sommable].

Produit d'oprateursSoient deux oprateurs linaires et . Leur produit est dfini par :

(2.15)

On fait d'abord agir sur , ce qui donne , puis ensuite sur la

fonction ainsi obtenue.

En gnral, . On appelle commutateur de et l'oprateur not etdfini par

(2.16)

Calculons, titre d'exemple, le commutateur . Pour cela, prenons une fonction

quelconque :


30/110

(2.17)

Ceci tant vrai quelle que soit , on en dduit :

DfinitionSoit un ensemble dnombrable de fonctions de , repres par un indice discret (

) :

L'ensemble est orthonorm si :

(2.19)

o , symbole de Kronecker, vaut pour et 0 pour .

Il constitue une base2.2 si toute fonction peut se dvelopper d'une faon et

d'une seule sur les :


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Composantes d'une fonctions d'onde sur la base

Multiplions les deux membres de (2.20) par et intgrons dans tout l'espace. D'aprs

(2.6) et (2.19) il vient

2.3

:

(2.21)

c'est--dire :

(2.22)

La composante de sur est donc gale au produit scalaire de par .

La base ayant t choisie, il est quivalent de se donner ou l'ensemble de ses

composantes sur les fonctions de base. On dit que l'ensemble des nombres reprsente

dans la base . REMARQUES :

(vii)

On notera l'analogie avec une base orthonorme de l'espace ordinaire

trois dimensions. Le fait que , et sont orthogonaux et unitaires peut eneffet s'exprimer par :

(2.23)

Tout vecteur de se dveloppe sur les :

(2.24)

avec
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_linearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4219http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_linearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4219


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(2.25)

Les formules (2.19), (2.20) et (2.22) gnralisent donc en quelque sorte les formules

bien connues (2.23), (2.24) et (2.25). Il faut noter cependant que les sont des

nombres rels, alors que les sont des nombres complexes.(viii)

La mme fonction a videmment des composantes diffrentes dans deux basesdiffrentes. Nous tudierons plus loin le problme du changement de base.

(ix)

On peut galement, dans la base , reprsenter un oprateur linaire par unensemble de nombre qui peuvent tre rangs sous forme d'une matrice. Nousreprendrons cette question au 2.3, aprs avoir introduit les notations de Dirac.

Expression du produit scalaire en fonction des composantes

Soient et deux fonctions d'onde dont les dveloppements s'crivent :

(2.26)

On peut calculer leur produit scalaire en utilisant (2.6), (2.7) et (2.19) :

(2.27)

c'est--dire :

(2.28)

En particulier :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_orthognormhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_develhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_composantehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node61.html#sec:rep_dans_espace_etatshttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_linearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_antilinearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_orthognormhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_develhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:R3_composantehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node61.html#sec:rep_dans_espace_etatshttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_linearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node20.html#eq:pscal_antilinearhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme


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(2.29)

Le produit scalaire de deux fonctions d'onde (ou encore le carr de la norme d'une fonctiond'onde) s'exprime donc trs simplement en fonction des composantes de ces fonctions dans la

base .REMARQUE :

Soient et deux vecteurs de , de composantes et . L'expressionanalytique de leur produit scalaire est bien connue :

(2.30)

La formule (2.28) peut donc tre considre comme une gnralisation de (2.30).

Relation de fermeture

La relation (2.19), dite relation d'orthonormalisation, exprime que les fonctions de l'ensemble

sont normes et orthogonales entre elles. Nous allons tablir maintenant uneautre relation, dite relation de fermeture, qui exprime que cet ensemble constitue une base.

Si est une base dans , il existe un dveloppement tel que (2.20) pour toute

fonction . Reportons, dans (2.20), l'expression (2.22) des diverses composantes

[il faut changer le nom de la variable d'intgration, puisque figure dj dans (2.20)] :

(2.31)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:pro_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:R3_pscal_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:pro_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:R3_pscal_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_onde


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En intervertissant et , on obtient :

(2.32)

est donc une fontion de et de telle que, pour toute fonction

, on ait :

(2.33)

L'quation (2.33) est caractristique de la fonction . On en dduit :

(2.34)

Rciproquement, si un ensemble orthonorm vrifie la relation de fermeture (2.34),

il constitue une base. En effet, on peut crire une fonction quelconque sous la forme :

(2.35)

En reportant l'expression (2.34) de , on obtient la formule (2.32), et il suffitd'intervertir nouveau sommation et intgration pour revenir (2.31). Cette quation exprime

alors que peut toujours tre dveloppe sur les , et donne les coefficients de cedveloppement. REMARQUE :

Nous reprendrons la relation de fermeture avec les notations de Dirac au 2.3, et nousverrons qu'on peut en donner une interprtation gomtrique simple.
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:pre_pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:3pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node61.html#sec:rep_dans_espace_etatshttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:pre_pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:3pre_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node61.html#sec:rep_dans_espace_etats


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Introduction de bases n'appartenant pas

Les bases tudies plus haut sont constitues de fonctions de carr sommable. Il peut tre galement commode d'introduire des bases de fonctions n'appartenant ni , ni

, mais sur lesquelles on peut nanmoins dvelopper toute fonction d'onde . Nousallons donner des exemples de telles bases et montrer comment on peut leur tendre lesformules importantes tablies au paragraphe prcdent.

Exemple des ondes planes

Raisonnons pour simplifier une dimension. nous tudions donc des fonctions de carr

sommable, , qui ne dpendent que de la variable . Nous avons vu au chapitre I tout

l'intrt qu'il y avait introduire la transforme de Fourier de :

(2.36)

(2.37)

Considrons la fonction dfinie par :

(2.38)

est une onde plane, de vecteur d'onde . L'intgrale tendue tout l'axe de

diverge. Donc . Nous dsignerons par l'ensemble

de toutes les ondes planes, c'est--dire de toutes les fonctions correspondant aux


36/110

diverses valeurs de ; p, qui varie continment de , sera considr comme un

indice continu permettant de reprer les diverses fonctions de l'ensemble [rappelons

que l'indice utilis pour l'ensemble tudi plus haut tait discret].

On peut rcrire les formules (2.36) et (2.37) en utilisant (2.38) :

(2.39)

(2.40)

Ces deux formules peuvent tre rapproches de (2.20) et (2.22). L'galit (2.39) exprime que

toute fonction peut tre dveloppe d'une faon et d'une seule sur les ,

c'est--dire sur les ondes planes. L'indice variant de faon continue et non discrte, la

sommation figurant dans (2.20) est remplace par une intgration sur . L'galit (2.40)

donne, comme (2.22), la composante de sur sous la forme du produit

scalaire2.4 ; l'ensemble de ces composantes, correspondant aux diverses valeurs

possibles de , constitue une fonction de , , qui est la transforme de Fourier de

.

est donc l'analogue de . Ces deux nombres complexes, qui dpendent soit de , soit

de , reprsentent les composantes de la mme fonction sur les deux bases diffrentes

et .

Ce point apparat galement de faon claire si l'on calcule le carr de la norme de .D'aprs l'galit de Parseval, on a en effet :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:fourier_psixhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:fourier_psiphttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:vpx_continuhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_dev_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_composante_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4397http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4397http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:fourier_psixhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:fourier_psiphttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:vpx_continuhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_dev_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_composante_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/footnode.html#foot4397


37/110

(2.41)

formule qui ressemble (2.29), condition de remplacer par et par .

Montrons que les vrifient une relation de fermeture. En effet, en utilisant la formule :

(2.42)

on trouve :

(2.43)

Cette formule est l'analogue de (2.34) avec, cette fois encore, la substitution de .

Calculons enfin le produit scalaire pour voir s'il existe un quivalent de la relationd'orthonormalisation. En utilisant encore (2.42), on obtient :

(2.44)

soit :

(2.45)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:delta_prophttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node28.html#eq:rel_fermeture_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:delta_prop


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Comparons (2.45) et (2.19). Au lieu d'avoir deux indices discrets et et un symbole de

Kronecker , on a maintenant deux indices continues et et une fonction delta de la

diffrence des indices, . Notons que si l'on fait , le produit scalaire

diverge; on retrouve bien le fait que . Bien que cela constitue un abusde langage, nous appellerons dans la suite (2.45) une relation d'orthonormalisation. On dit

aussi quelquefois que les sont orthonorms au sens de Dirac.

La gnralisation trois dimensions ne prsente pas de difficults. On considre les ondesplanes :

(2.46)

Les fonctions de la base dpendent maintenant des trois indices continus

, condenss dans la notation . On dmontre alors aisment les formulessuivantes :

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continuehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continuehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continuehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_fonc_onde_orthonormehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continue


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(2.51)

qui gnralisent (2.39), (2.40), (2.41), (2.43) et (2.45).

On peut donc considrer que les constituent une base continue. Toutes les formules

tablies plus haut pour la base discrte peuvent tre tendues cette base continuemoyennant les rgles de correspondance rsumes dans le tableau (2.1).

Tableau 2.1:

Exemple des fonctions delta

Introduisons de mme un ensemble de fonction de , , repres par l'indice

(notation condense pour ) et dfinies par :

(2.52)

reprsente l'ensemble des fonctions delta centres aux divers points de l'espace;

n'est videmment pas de carr sommable : .

Considrons alors les galits suivantes valables pour toute fonction appartenant :

(2.53)

(2.54)
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_dev_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_composante_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:norme_carre_en_fonc_compos_contihttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:R1_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continuehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#tab:corr_dis_conhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_dev_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:psix_composante_fourierhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:norme_carre_en_fonc_compos_contihttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:R1_fermeturehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#eq:base_fonc_onde_orthonorme_continuehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node30.html#tab:corr_dis_con


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On peut les rcrire d'aprs (2.52), sous la forme :

(2.55)

(2.56)

(2.55) exprime que toute fonction peut se dvelopper d'une faon et d'une seule

suivante les . (2.56) indique que la composante de sur la fonction (on a

ici affaire de base relles) est prcisment la valeur de au point . (2.55) et(2.56) sont analogues (2.20) et (2.22) : on remplace simplement l'indice discret par l'indice

continu , et par .

est donc l'quivalent de : ces deux nombres complexes, qui dpendent soit de

soit de , reprsentent les composantes de la mme fonction dans deux bases

diffrentes et .

La formule (2.29) devient ici :

(2.57)

La dfinition (2.4) du produit scalaire apparat alors simplement comme l'application de

(2.29) au cas de la base continue .

Notons enfin que les satisfont des relations d'orthonormalisation et de fermeture

du mme type que celles des ; on a en effet :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:fdelta_norm_defhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:dev_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:compo_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:dev_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:compo_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node19.html#eq:def_pro_scalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:fdelta_norm_defhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:dev_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:compo_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:dev_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#eq:compo_sur_deltashttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node25.html#eq:base_def_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node26.html#eq:composante_fonc_ondehttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compohttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node19.html#eq:def_pro_scalhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node27.html#eq:norme_carre_en_fonc_compo


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(2.58)

et :

(2.59)

Toutes les formules tablies pour la base discrte ont donc pu tre gnralises la

base continue moyennant les rgles de correspondance rsumes dans le tableau(2.2).

Tableau 2.2:

REMARQUE IMPORTANTE

L'utilit des bases continues que nous venons d'introduire apparatra plus clairementpar la suite. Il ne faut pas perdre de vue cependant le point suivant : un tat physiquedoit toujours correspondre une fonction d'onde de carr sommable. En aucun cas

ou ne peuvent reprsenter l'tat d'une particule. Ce sont uniquement desintermdiaires de calcul trs commodes pour les oprations effectuer sur les

fonctions d'onde qui, elles, sont susceptibles de dcrire un tat physique.

Une situation analogue se rencontre en optique classique o l'onde planemonochromatique est une idalisation trs commode mathmatiquement mais jamaisralisable physiquement : mme les filtres les plus slectifs laissent toujours passer

une bande de frquence trs petite mais non strictement nulle.

Il en est de mme pour les fonctions . On peut imaginer une fonction d'onde de

carr sommable, extrmement localise autour de , par exemple
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#tab:corr_dis_con_deltahttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node31.html#tab:corr_dis_con_delta


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o les

sont des fonctions prsentant un pic de largeur et de hauteur , centr en ,

ou , et telles que . Quand ,

qui n'est plus de carr sommable. Mais en fait, il est impossible deraliser un tat physique correspondant cette limite : aussi localis que soit l'tat

physique d'une particule, n'est jamais strictement nul.

Gnralisation : bases orthonormes continues

DfinitionGnralisant les rsultats obtenus dans les deux paragraphes prcdents, nous appellerons

base orthonorme continue un ensemble de fonctions de , , repres par unindice continu et satisfaisant aux deux relations suivantes dites d'orthonormalisation et defermeture :

(2.60)

(2.61)

REMARQUES :

(x)

Si , diverge. Donc .(xi)

peut reprsenter plusieurs indices, comme c'est le cas pour et dans lesexemples ci-dessus.

(xii)


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On peut imaginer des bases comportant la fois des fonctions , repres par un

indice discret, et des fonctions repres par un indice continu. Dans ce cas,

l'ensemble des ne forme pas une base; il faut lui ajouter l'ensemble des .

Dans le cas d'une base mixte, discrte et continue, , les relationsd'orthonormalisation s'crivent :

(2.62)

Quant la relation de fermeture, elle devient :

Composantes d'une fonction d'ondeOn peut toujours crire :

(2.64)

En reportant l'expression de donne par (2.61) et en admettant qu'on peut

intervertir et , on obtient :

soit :

(2.65)

avec
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node33.html#eq:fer_con_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node33.html#eq:fer_con_gen


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(2.66)

(2.65) exprime que toute fonction d'onde se dveloppe d'une faon et d'une seule sur les

, la composante de sur tant gale d'aprs (2.66) au produit

scalaire .

Expression du produit scalaire et de la norme en fonction des

composantes

Soient et deux fonctions de carr sommable dont on connat les composantes sur

les :

(2.67)

(2.68)

Calculons leur produit scalaire :

(2.69)

La dernire intgrale est donne par (2.60) :

(2.70)

c'est--dire :
http://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node34.html#eq:dev_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node34.html#eq:compo_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node33.html#eq:orthonorm_con_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node34.html#eq:dev_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node34.html#eq:compo_genhttp://www.vn.refer.org/mp/mquantic/ressources/latex2html_version/node33.html#eq:orthonorm_con_gen


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(2.71)

En particulier :

(2.72)

Toutes les formules du 2.1.2 gnralisent donc,

idées fondamentales de la mécanique quantique

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