Sección 9.1Introducción a los Árboles

Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen Esteban Andrés Díaz Mina

Introducción

Un árbol un tipo particular de grafo denominado así porque se asemejan en su estructura a los árboles. Por ejemplo, los árboles genealógicos son grafos que representan relaciones de parentesco, donde se utilizan los vértices para representar a los miembros de una familia y las aristas para representar las relaciones entre padres e hijos.

Árbol Genealógico – Familia BernulliEl árbol genealógico de la familia de matemáticos suizos Bernulli se muestra la siguiente figura.

Definición 1

Un árbol es un grafo no dirigido, conexo y que no tiene circuitos.

Los árboles no tienen aristas múltiples y no tienen ciclos, es decir son grafos simples conectados, sin circuitos.

Teorema 1. Un grafo no dirigido es un árbol si y sólo si existe un camino simple único entre cada par de vértices.

Arboles y Grafos que no son Arboles

Definición 2

Arboles con raíz Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus

vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están orientadas de modo que se alejan de la raíz.

Terminología de Arboles La terminología para los arboles tiene origen en la

botánica y la genealogía. En un árbol con raíz se habla de padre, hijos, hermanos, ancestros y descendentes.

El padre de v es el único vértice u tal que hay una arista dirigida de u a v.

Se dice igualmente que v es el hijo de u. Los vértices con el mismo padre son llamados hermanos.

Terminología de Árboles

Los ancestros de cualquier vértice diferente a la raíz son los vértices en el camino desde la raíz hasta él (incluyendo la raíz, pero excluyéndolo a él).

Los descendientes de un vértice son todos aquellos que tienen a v como su ancestro.

Un vértice es llamado una hoja si no tiene hijos.

Los vértices que tienen hijos son llamados vértices internos.

Terminología de Árboles Si a es un vértice en un árbol, el subárbol con a

como la raíz es el subgrafo del árbol que consiste de a y sus descendentes y todas las aristas que inciden con esos descendentes.

Definición 3

Un árbol con raíz es un árbol m-ario, si cada vértice interno tiene a lo sumo m hijos. Es un árbol m-ario completo, si cada nodo interno tiene exactamente m hijos. Un árbol m-ario con m=2 se denomina árbol binario.

Árboles m-arios

Un árbol ordenado con raíz es un árbol con raíz en el que los hijos de cada vértice interno están ordenados. Los arboles ordenados con raíz se dibujan de forma que los hijos de cada nodo interno se colocan ordenados de izquierda a derecha. Por el otro lado, la representación gráfica de un árbol con raíz induce un orden entre los hijos de cada vértice (leyendo los hijos de la izquierda a la derecha).

Árboles binarios Ordenados

En un árbol binario ordenado, si un vértice tiene dos hijos, el primer hijo es llamado hijo izquierdo y el segundo hijo es llamado el hijo derecho.

El árbol con raíz del hijo izquierdo del vértice es llamado subárbol izquierdo de este vértice y el árbol con raíz del hijo derecho de un vértice es llamado subárbol derecho del vértice.

Árboles como Modelo

Los árboles son usados como modelos en diversas áreas tales como ciencia de la computación, química, geología, botánica y psicología.

A continuación describiremos una variedad de tales modelos basados en arboles.

Sistema de Archivos de Computador

Los archivos en la memoria de un computador puede ser organizado en directorios.

Un directorio puede contener archivos y subdirectorios.

El directorio raíz contiene la información del sistema de archivos completo. Entonces, un sistema de archivos puede ser representado por un árbol etiquetado donde la raíz representa el directorio raíz, los vértices internos representan subdirectorios y las hojas representan archivos simples o directorios vacíos.

Sistema de Archivos de Linux

Propiedades de los Árboles

Con frecuencia se requiere de propiedades que relacionen el número de aristas y vértices en diferentes tipos de árboles.

Teorema 2. Un árbol con n vértices tiene n-1 aristas.

Teorema 3. Un árbol m-ario completo con i vértices internos contiene n=mi+1 vértices.