INSTITUCION UNIVERSITARA PANAMERICANA

LUIS DANIEL CASTIBLANCO ROSERO

TRABAJO DE INVESTIGACIN ARBOLES Y GRAFOS

PROFESORGONZALO QUINTERO CRISTANCHO

ESTRUCTURA DE DATOS

29-05-2014OBJETIVOS

Entender que son los Arboles y Grafos y saber para que se utiliza en la estructura de datos. Tener clara la forma de aplicacin e implementacin de los Arboles y Grafos en la estructura de datos. Conoce que tipos de caminos hay y saber aplicar el que ms apropiado para una determinada situacin.

CONTENIDO

Qu es un grafo? De que consta un grafo? Aristas Vrtices Definiciones Bsicas Caminos Camino Camino Cerrado Camino Simple Grafo Conexo rbol Arboles Binarios Arboles Multicaminos Grfica Completa Grfica Etiquetada Etiquetado elegante Etiquetado armonioso Coloracin de grafos Multgrafo

QUE ES UN GRAFO?

Es una terna G = (V,A,j ), en donde V y A son conjuntos finitos, y j es una aplicacin que hace corresponder a cada elemento de A un par de elementos de V. Los elementos de V y de A se llaman, respectivamente, "vrtices" y "aristas" de G, y j asocia entonces a cada arista con sus dos vrtices.

Esta definicin da lugar a una representacin grfica, en donde cada vrtice es un punto del plano, y cada arista es una lnea que une a sus dos vrtices.

DE QUE CONSTA UN GRAFO? Aristas

Son las lneas con las que se unen las aristas de un grafo y con la que se construyen tambin caminos.Si la arista carece de direccin se denota indistintamente {a, b} o {b, a}, siendo a y b los vrtices que une.Si {a ,b} es una arista, a los vrtices a y b se les llama sus extremos.

Aristas Adyacentes:Se dice que dos aristas son adyacentes si convergen en el mismo vrtice.

Aristas Paralelas:Se dice que dos aristas son paralelas si vrtice inicial y el final son el mismo.

Aristas Cclicas:Arista que parte de un vrtice para entrar en el mismo.

Cruce:Son dos aristas que cruzan en un punto.

Vrtices

Son los puntos o nodos con los que est conformado un grafo. Llamaremos grado de un vrtice al nmero de aristas de las que es extremo. Se dice que un vrtice es `par' o `impar' segn lo sea su grado.

Vrtices Adyacentes:si tenemos un par de vrtices de un grafo (U, V) y si tenemos un arista que los une, entonces U y V son vrtices adyacentes y se dice que U es el vrtice inicial y V el vrtice adyacente.

Vrtice Aislado:Es un vrtice de grado cero.

Vrtice Terminal:Es un vrtice de grado 1.

DEFINICIONES BSICASUn Grafo (o grafo no dirigido)es un conjunto V de vrtices y un conjunto E de aristas tales que cada arista e ? E(queda asociada a un par no ordenado de vrtices. Si existe una nica arista e asociada con los vrtices v y w, escribimos e = (v,w). En este contexto (v,w) denota una arista en un grafo no dirigido y no un par ordenado.Un grafo dirigido (o digrafo)consta de un conjunto finito de vrtices V y un conjunto de arcos E ? V V (obsrvese que cada arco es un par ordenado de vrtices).Grafo conexo:un grafo G es conexo si dados cualesquiera dos vrtices v y w en G, existe un camino de v a w.Camino:sean v0 y vn vrtices de un grafo. Un camino de v0 a vn de longitud n es una sucesin alternante de n+1 vrtices y n aristas que comienza con el vrtice v0 y termina con el vrtice vn.Longitud del camino:es el nmero de aristas que contiene.Ciclo:sean v y w vrtices en un grafo G, un ciclo o circuito es un camino de longitud distinta de 0 de v a w, sin aristas repetidas.Subgrafo:sea G (V, E) un grafo. (V", E") es un subgrafo de G si a)V" ( V y E"( E. b)Para cada arista e" ( E", si e" es incidente en v" y w", entonces v", w" ( V.Grafo con pesos (o poderado):es un grafo en el cual se le asignanvaloresa las aristas y la longitud del camino de un grafo con pesos es la suma de todos los pesos de las aristas en la ruta (camino).rbol:es un grafo en el que cualesquiera dosvrticesestn conectados porexactamente uncamino.Seccin 2:

CAMINOS

Camino:Un camino es una sucesin de vrtices tal que de cada uno de sus vrtices existe una arista hacia el vrtice sucesor.

Dos caminos son ajenos o independientes si no tienen ningn vrtice en comn excepto el primero y el ltimo.La longitud de un camino es el nmero de aristas que usa dicho camino, contando aristas recorridas varias veces el mismo nmero de veces que las recorramos. En el ejemplo, (1, 2, 5, 1, 2, 3) es un camino con longitud 5, y (5, 2, 1) es un camino simple de longitud 2.Camino CerradoCuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se llama circuito o camino cerrado.Camino SimpleUn camino simple es aquel en que todas las aristas del camino son diferentes.Si hay un camino no simple entre 2 vrtices, tambin habr un camino simple entre ellos.

Grafo Conexo

Un grafo es conexo si para cada par de vrtices, existe un camino con extremos en dichos vrtices.

Si es posible formar un camino desde cualquier vrtice a cualquier otro en el grafo, decimos que el grafo es conexo. Si es posible hacer esto incluso tras quitar k-1 vrtices, decimos que el grafo es k-conexo.

Un grafo es k-conexo si y slo si contiene k caminos independientes entre cualesquiera dos vrtices.

Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vrtice V pertenece al conjunto de vrtices y es alcanzable por algn otro. Otra definicin que dejara esto ms claro sera: un grafo conexo es un grafo no dirigido de modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une.

RBOL

Un rbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo tambin a-cclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos).

Un rbol es una estructura no lineal en la que cada nodo puede apuntar a uno o varios nodos.

Tambin se suele dar una definicin recursiva: un rbol es una estructura en compuesta por un dato y varios rboles.

RBOLES BINARIOS

Un rbol binario es un rbol con raz en el cual cada vrtice tiene cero, uno o doshijos. Si un vrtice tiene un hijo, ese hijo se designa como un hijo izquierdo o un hijoderecho(pero no ambos). Si un vrtice tiene dos hijos, uno de ellos se designa como un hijo izquierdo y el otro se designa como un hijo derecho.

Un rbol de bsqueda binariaes un rbol binario T en el cual se asocian ciertos datos con los vrtices. Los datos estn ordenados de modo que, para cada vrtice v en T, cada elemento de dato en el subrbol izquierdo de v sea menor que el elemento de dato en v y cada elemento de dato en el subrbol derecho de v es mayor que el elemento de dato en v.Los arboles de bsqueda binaria son tiles para localizar datos. Es decir, dado un elemento D, podemos determinar con facilidad si D est en un rbol de bsqueda binaria y, de estar presente, conocer su posicin. Para determinar si un elemento de dato D esta en un rbol de bsqueda binaria, comenzaramos en la raz. Luego compararamos de manera sucesiva D con el elemento de dato del vrtice en cuestin. Si D es igual al elemento de dato del vrtice en cuestin, hemos encontrado a D, por lo cual habremos concluido. Si D es menor que el elemento de dato en el vrtice en cuestin v, nos movemos al hijo izquierdo de v y repetimos el proceso. Si D es mayor que el elemento de dato en el vrtice en cuestin v, nos movemos al hijo derecho de v y repetimos el proceso. Si en algn momento no existe un hijo al cual moverse, podemos concluir que D no est en el rbol.

ARBOLES MULTICAMINOS Unrbol multicaminoposee un gradogmayor a dos, donde cada nodo de informacin del rbol tiene un mximo deghijos.

Sea un rbol de m-caminosA, es un rbol m-caminos si y solo si: Aest vaco Cada nodo de A muestra la siguiente estructura:[nClaves,Enlace0,Clave1,...,ClavenClaves,EnlacenClaves]nClaves es el nmero de valores de clave de un nodo, pudiendo ser:0