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Charles Cochet

GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS

C. CochetUniversité Paris 7 – Denis Diderot, UFR de mathématiques, UMR7586, 2, place Jussieu,75251 Paris cedex 05, France.E-mail : [email protected] : http://www.math.jussieu.fr/~cochet/

GÉNÉRALITÉS SUR LES FIBRÉS

Charles Cochet

TABLE DES MATIÈRES

1. Fibrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Propriétés élémentaires des fibrés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Des fonctions de transition au fibré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Le fibré principal des cadres, ou « frame bundle ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Sections d’un fibré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Construction de nouveaux fibrés à partir d’anciens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6. Métrique sur un fibré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Connexions linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Définition et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Existence de connexions et transport parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Sections parallèles et équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4. Obstruction à l’intégrabilité dans le cas d’une section parallèle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5. Courbure d’une connexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6. Connexions induites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7. Connexions métriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8. Connexions sur le fibré tangent et géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9. Torsion d’une connexion sur le fibré tangent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1. Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. Classes de Chern d’un fibré vectoriel complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. Classe de Todd et caractéristique d’Euler d’un fibré vectoriel complexe. . . . . . . . . . . . . . . . 523.4. Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. Classes de Pontrjagin Pk(E) d’un fibré vectoriel réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6. Classe d’Euler d’un fibré vectoriel réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Orientabilité et structure spinorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1. Détection de l’orientabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2. Cohomologie de Čech. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3. Structure spinorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4. Obstruction à l’existence d’une structure spinorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5. Structure SpinC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. Condition d’existence d’une structure SpinC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vi

Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Index des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Index terminologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

CHAPITRE 1

FIBRÉS

1.1. Propriétés élémentaires des fibrés

1.1.1. Premiers exemples et définition des fibrés. — Avant de donner des définitions pré-cises, commençons par des exemples.

Exemple 1.1.1 (Fibré tangent). — Soit M une sous-variété différentiable de dimension m deRn. À chaque point x ∈M , on peut associer un sous-espace vectoriel m-dimensionnel de Rn. NotéTxM , c’est l’espace tangent à M en x. Supposons qu’à proximité de x des coordonnées locales surM soient données par une application G : Rm −→ Rn (définie sur un voisinage U de 0 ∈ Rm).Alors TxM est le m-plan passant par x et parallèle à l’image de Rm sous la linéarisation de G enx, c’est-à-dire sous l’application linéaire définie par le jacobien [ ∂Gi

∂xj(x)]. En prenant la réunion sur

tout les x ∈M , on obtient le fibré tangent

TM =⊔

x∈M

TxM.

On peut adapter cette construction au cas d’une variété abstraite de dimension m (plutôtqu’une sous-variété de Rn) si l’on identifie les vecteurs de TxM avec les dérivées directionnelles enx. L’espace tangent TxM est alors vu comme l’espace vectoriel des dérivations sur les germes defonctions [γ(t)] = Mx en x ∈M . Si ψ : U −→ Rm est une carte locale définie sur un ouvert U ⊂Met si p est un point de U , alors une base de TpM se décrit comme suit. Soient (x1, . . . , xm) lescoordonnées sur Rm et soit ψ(p) = x. Définissons des champs de vecteurs locaux ei(p) = ψ−1

∗ ( ∂∂xi

∣∣x)

pour i = 1, . . . ,m. Alors e1(p), . . . , em(p) est une base de TpM . Comme précédemment, le fibrétangent TM est défini comme étant la réunion disjointe de tous les espaces tangents TpM (p ∈M).

Remarquons les propriétés suivantes du fibré tangent TM :

1. Il existe une projection π : TM −→ M (définie en envoyant TpM sur p) dont les fibres sontdes m-plans, c’est-à-dire des copies de Rm.

2. L’application (p ; v1, . . . , vm) 7→ ∑mi=1 viei(p) définit une identification de U × Rm avec

TM |U =⋃p∈U TpM ; on dit que TM est localement trivial.

Le fibré tangent d’une variété lisse encode des informations sur la structure C∞ de la variété ; c’estune construction essentielle en géométrie différentielle.

2 Chapitre 1. Fibrés

Exemple 1.1.2 (Fibré co-tangent). — Pour une variété lisse M , on construit le fibré co-tangent comme étant la réunion disjointe

T ∗M =⊔

x∈M

(TxM)∗ = (x, v) ; x ∈M, v ∈ (TxM)∗.

Exemple 1.1.3 (Fibré normal). — Soient X ⊂ Y deux variétés lisses. Pour tout x ∈ X , l’es-pace tangent TxX est un sous-espace vectoriel de TxY . Définissons l’espace normal en x commeétant le quotient

Nx = TxY/TxX.

Si TxY est muni d’un produit scalaire, alors

Nx = (TxX)⊥,

c’est-à-dire que Nx s’identifie au complémentaire orthogonal de TxX dans TxY . Définissons le fibrénormal comme étant

N =⊔

x∈X

Nx.

Le fibré normal encode des informations sur l’inclusion X ⊂ Y .

Exemple 1.1.4 (Application de Hopf). — Réalisons la 3-sphère S3 comme étant

S3 = (z1, z2) ∈ C2 ' R

4 ; |z1|2 + |z2|2 = 1.Il existe une identification lisse de la 2-sphère S2 avec l’espace complexe projectif par

S2 ' CP1 = [z1, z2] ; (z1, z2) ∈ C

2 \ 0,où [z1, z2] représente la classe d’équivalence de (z1, z2) 6= 0 pour la relation

(z1, z2) ∼ (w1, w2) ⇐⇒ il existe λ ∈ C tel que (z1, z2) = λ(w1, w2).

L’identification est faite à l’aide de la projection stéréographique par le pôle Nord N ∈ S2 grâce àpN : S2 \ N −→ R2 ' C. On peut également identifier CP

1 \ [0, 1] avec C via

[z1, z2] 7→z2z1.

L’identification de CP1 et S2 est alors

CP1 3 [z1, z2] 7→

p−1N ( z2z1 ) si z1 6= 0,

N si z1 = 0.

L’application h : S3 −→ S2 définie par h(z1, z2) = [z1, z2] est appelée application de Hopf. Ondémontre sans détour qu’elle est bien définie, surjective et lisse. La fibre au-dessus de chaque pointest

h−1([z1, z2]) = λ(z1, z2) ; λ ∈ C avec |λ| = 1 ' S1.

Là encore h : S3 −→ S2 est localement triviale. Remarquons en effet que Ui = [z0, z1] ; zi 6= 0(i = 0, 1) est un ouvert de CP

1 ' S2. Alors h−1(Ui) ' Ui × S1 via

h−1(Ui) 3 (z0, z1) 7→ ([z0, z1],zi|zi|

) =

([1, z1z0 ], z0|z0|

) au-dessus de U0,

([ z0z1 , 1], z1|z1|) au-dessus de U1.

L’inverse de cette application sur U0 × S1 est

([1, z], λ) 7→( λ√

1 + |z|2,

λz√1 + |z|2

),

1.1 Propriétés élémentaires des fibrés 3

avec une définition similaire sur U1 × S1. Remarquons que nous n’avons pas une condition detrivialité globale puisque ceci signifierait que S3 ' S2 × S1, ce qui est faux (des invariants detopologie algébrique comme l’homologie ou le groupe fondamental permettent de s’en convaincre).

Exemple 1.1.5 (Fibré tautologique). — Utilisons encore l’application de Hopf h : S3 −→ S2

définie par (z1, z2) 7→ [z1, z2]. Si (w1, w2) ∈ h−1([z1, z2]), alors (w1, w2) est sur la ligne complexedéfinie par la classe [z1, z2].

Si on oublie la restriction |w1|2 + |w2|2 = 1, alors on obtient un fibré vectoriel (c’est-à-dire defibre un espace vectoriel) complexe au-dessus de CP

1, noté

ϑCP1(−1)

π

CP

1

où π−1([z1, z2]) est la ligne définie par le couple [z1, z2]. Ce fibré est appelé fibré tautologique.Remarquons que l’on peut construire de même un fibré tautologique au-dessus de CP

n.

Exemple 1.1.6 (Fibré homogène). — Soit O(n) l’ensemble des matrices réelles n × n ortho-gonales. Remarquons que l’on peut plonger O(n−1) dans O(n) par Qn−1 7→ Pn, où Pn ∈ O(n) estla matrice avec 1 dans le coin supérieur gauche, zéro dans le reste des premières ligne et colonne,et Qn−1 dans le carré (n− 1)× (n− 1) restant ; plus précisément

Qn−1 7→(

1 0

0 Qn−1

).

De plus O(n) agit de façon transitive sur Sn−1. Notons ei la base canonique de Rn. Alors lestabilisateur de e1 est O(n−1). L’application O(n)/O(n−1) −→ Sn−1 définie par [A] 7→ A·e1 est undifféomorphisme entre l’espace homogène O(n)/O(n−1) et Sn−1. Soit π : O(n) −→ O(n)/O(n−1)

la surjection canonique. Pour tout x ∈ O(n)/O(n−1), nous avons π−1(x) = A ∈ O(n) ; A·e1 = x.Puisque π−1(e1) = O(n−1), on obtient π−1(x) = O(n−1). Ceci définit un fibré localement trivial,appelé fibré homogène.

Remarque 1.1.7. — Ce dernier exemple se généralise pour donner des fibrés de la forme

G

π

G/H

de fibre H , où G est un groupe de Lie et H ⊂ G est un sous-groupe fermé.

Définition 1.1.8. — Un fibré (« bundle ») est un quadruplet ξ = (E,B, F, π), où E, B, F sontdes espaces topologiques et π : E −→ B est une application continue, vérifiant :

1. π−1(b) ' F pour tout b ∈ B.

2. Pour tout b ∈ B, il existe un voisinage ouvert U ⊂ B de b, appelé ouvert trivialisant, tel queπ−1(U) ' U × F de façon à préserver π−1(b).

On dira que (E,B, F, π) est d’espace total E, de base B, de fibre F et de projection π ; l’applicationπ−1(U) ' U × F est appelée identification ou trivialisation ; enfin Eb = π−1(b) est appelée fibreau-dessus de b.


Bien que la définition d’un fibré soit très générale, nous ne l’appliquerons que dans certainescatégories spécifiques :

1. Lisse : E, B, F sont des variétés lisses et les applications sont lisses.

2. TopM : E, B, F sont des variétés et les applications sont continues.

3. Holomorphe : E, B, F sont des variétés lisses complexes et les applications sont holo-morphes.

Définition 1.1.9. — Si F est un espace vectoriel (par exemple Rn ou Cn) et si les identificationsπ−1(U) ' U × F sont linéaires, alors (E,B, F, π) est un fibré vectoriel. De façon plus générale, sila fibre est munie d’une structure algébrique (de groupe, d’anneau, etc.) alors E est dit fibré en lastructure.

Les fibrés tangent, normal et tautologique sont tous trois des fibrés vectoriels.

Définition 1.1.10. — Un quadruplet P = (E,B, F, π) est dit F -fibré principal ou fibré principalde groupe de structure F si :

1. E et B sont deux variétés lisses.

2. F est un groupe de Lie agissant de façon lisse à droite sur E.

3. L’action est libre (c’est-à-dire e · g = e si et seulement si g est l’identité).

4. L’action préserve les fibres de E −→ B.

Le fibré de Hopf est un S1-fibré principal et le fibré homogène O(n) −→ O(n)/O(n − 1) est unO(n− 1)-fibré principal.

1.1.2. Morphismes de fibrés. — Définissons les applications entre fibrés conservant la struc-ture de fibré.

Définition 1.1.11. — Si π : E −→ B et π′ : E′ −→ B′ sont deux fibrés, un morphisme de fibrésest un couple d’applications (u, f) tel que le diagramme suivant commute :

Eu //

π

E′

π′

B

f // B′

La définition dit que fb : E∣∣b7→ E′

∣∣f(b)

sous u. Si E = E′ et B = B′, alors (u, f) est appelé un en-domorphisme de fibré. Si les applications sont inversibles, alors (u, f) est un isomorphisme de fibrés.Remarquons que si l’on considère des fibrés vectoriels, alors sur la fibre les applications doiventêtre linéaires. Si l’on considère des G-fibrés principaux, alors nous demandons que l’application surles fibres soit un morphisme de groupes et que f soit G-équivariant (c’est-à-dire f(p · g) = f(p) · g).

Examinons le cas particulier d’un endomorphisme de fibré avec f = IdB . Alors

Eu //

π @

@@@@

@@E

π~~

~~~~

~

B

donc u ne fait que transformer les points dans chaque fibre. Dans le cas d’un fibré vectoriel,l’application u est un isomorphisme d’espace vectoriel sur chaque fibre.

1.2 Des fonctions de transition au fibré 5

Soit π : E −→ B un fibré vectoriel lisse de fibre π−1(b) ' Rn. Pour tout b ∈ B, choisissonsun voisinage Ub de b au-dessus duquel E est trivialisé par ψb : E

∣∣Ub−→ Ub × Rn. La collection

Ubb∈B recouvre B. Examinons le lien entre ψα et ψβ sur Uα ∩ Uβ . Nous avons le diagrammesuivant :

E∣∣Uα∩Uβ

ψβ

wwoooooooooooψα

''OOOOOOOOOOO

(Uα ∩ Uβ)× Rn (Uα ∩ Uβ)× Rngβαoo

où gβα = ψβ ψ−1α . Remarquons que gβα est linéaire puisqu’elle est composée d’applications

linéaires. Puisque ψα et ψβ sont inversibles, l’application gβα l’est également. On peut ainsi consi-dérer gβα : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,R) ; nous obtenons un tel morphisme pour tous Uα, Uβ tels queUα ∩ Uβ 6= ∅. Nous noterons par conséquent

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ.

1.2. Des fonctions de transition au fibré

Étant donné un fibré vectoriel π : E −→ B lisse de fibre Rn, recouvrons B avec des ouvertstrivialisants Uα de trivialisations ψα : E

∣∣Uα−→ Uα × Rn ; nous obtenons ensuite des fonctions de

transition gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,R) en posant gαβ(x) = ψα(ψ−1β (x)).

On peut se demander à quelle condition le recouvrement et les fonctions de transition sontéquivalents à toute l’information contenue dans le fibré. Plus précisément, on cherche à déterminerla condition à laquelle Uα et gβα décrivent un fibré.

Si le recouvrement et les fonctions de transition déterminent un fibré, nous devons avoir :

1. gαα = Id ∈ GL(n,R).

2. gαβ = g−1βα .

3. (condition de cocycle) gαγgγβgβα = Id.

Si l’on a un morphisme de fibrés

Eh //

π A

AAAA

AAA E′

π′

B

avecE = (

∐Uα × R

n)/gαβ et E′ = (∐

Uα × Rm)/g′αβ,

alors nous avons le diagramme commutatif suivant, obtenu à partir des trivialisations pour E etE′ :

E∣∣Uα

ψα

h // E′∣∣Uα

ψ′

α

Uα × Rn

ψ′

αhψ−1α =hα // Uα × Rm

En fait, on peut regarder h comme hα : Uα −→ Hom(Rn,Rm). En clair h peut être vue commeun élément de Matm,n(R). Par conséquent, à h donnée on obtient un ensemble hα : Uα −→


Hom(Rn,Rm). Examinons le lien entre hα et hβ . À l’aide des fonctions de transition pour E etE′ respectivement, nous exigeons que le diagramme suivant commute :

Rn

gβα

hα // Rm

g′βα

Rn

hβ // Rm

Considérons le cas particulier E = E ′. Alors h est un endomorphisme de fibré et les applications

hα : Uα −→ End(Rn,Rn) ' Matn,n(R)

sont telles que hβgβα = gβαhα. Si h est un automorphisme de fibré, alors

hβ = gβαhαg−1βα = gβαhαgαβ.

Proposition 1.2.1. — Étant donné un recouvrement Uα de B et gαβ : Uα∩Uβ −→ GL(n,R)

vérifiant les trois conditions ci-dessus sur toute intersection non vide, il existe un fibré vectoriel(unique à isomorphisme de fibrés près) pour qui les gαβ sont les fonctions de transition.

Démonstration. — La démonstration est constructive. Pour tout Uα, définissons

Z =∐

α∈A

Uα × Rn

et munissons-le de la topologie produit. Définissons une relation d’équivalence sur Z comme suit :

(x, v)α ∼ (x′, v′)β ⇐⇒ x = x′ et v′ = gβα(x)(v).

Soit E = Z/ ∼ muni de la topologie quotient. Nous avons plusieurs points à démontrer. Enpremier lieu, nous devons vérifier que puisque les gβα sont lisses, alors E est une variété lisse.Ensuite, il faut démontrer que [(x, v)α] 7→ x est bien définie de E dans B et est un fibré de rangn. Enfin, nous devons prouver que l’ensemble de fonctions de transition pour E est précisémentgαβ.

Tout d’abord E est une variété lisse si l’on peut la recouvrir avec des cartes qui sont reliées defaçon lisse (c’est-à-dire dont les fonctions de transition sont lisses). Supposons que le recouvrementUα de B consiste en des coordonnées avec trivialisations φα : Uα −→ Rn (sinon, on raffinenotre recouvrement de sorte à avoir cette propriété). Supposons que B est de rang m. Il nous fautdéfinir une collection Vα de cartes sur E et des applications φα : Vα −→ Rm × Rn. PosonsVα = [Uα×Rn] (image dans le quotient). Chaque Vα est ouvert d’après la définition de la topologiequotient. Définissons φα en posant [(x, v)α] 7→ (φα(x), v). Nous avons le diagramme commutatifsuivant :

Vα ∩ Vβφβ

wwoooooooooooφα

''OOOOOOOOOOO

(Uα ∩ Uβ)× Rn (Uα ∩ Uβ)× Rn

φβφ−1α

oo

Sur son ensemble de définition, l’application φβφ−1α vérifie

(x, v) 7→ φβ([(x, v)α]) = φβ([(x, gβα(x)(v))β ]) = (x, gβα(x)(v))β .

Ainsi, les applications de transition sont lisses puisque les gβα le sont.

1.3 Le fibré principal des cadres 7

Examinons maintenant la projection π : E −→ B définie ci-dessus par [(x, v)α] 7→ x. Nous avonslocalement

Vαπ

~~||||

|||| φα

$$HHHHHHHHH

Uα Uα × Rnπ1oo

où π1 est la surjection canonique. On a π = π1 φα, donc π est lisse (bien définie, continue, etc.).Par définition

φ−1α (π−1

1 (x)) = [(x, v)α] ; v ∈ Rn ⊂ π−1(x).

Si [(x, v′)β ] est dans la fibre au-dessus de x, alors [(x, v′)β ] = [(x, gαβ(x)(v′))α]. Ainsi, la fibre

au-dessus de x est Rn. On démontre ensuite que la condition de trivialité locale et les propriétésde transition sont vérifiées.

Par conséquent, la notation

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ

caractérise le fibré E −→ B ; nous l’utiliserons souvent par la suite.

Examinons pour finir le cas des fibrés principaux. La condition de trivialité locale affirme que latrivialisation ψα : P

∣∣Uα−→ Uα×G doit préserver les fibres et être G-équivariante ; la G-action sur

Uα ×G est triviale sur la composante selon Uα et est la multiplication usuelle sur la composanteselon G. Ainsi sur Uα ∩ Uβ l’application ψβψ−1

α a pour expression

(x, g) = (x, 1)g 7→ (ψβψ−1α (x, 1))g.

Définissons gβα en posant gβα(x) = ψβψ−1α (x, 1). Ainsi nous devons avoir (x, g) 7→ (x, gβα(x) · g).

Comme précédemment, on pose

P = (∐

Uα ×G)/ ∼,où la relation ∼ est définie de la même façon que ci-dessus à l’aide de gβα. Nous utiliseronségalement cette notation, qui caractérise le G-fibré principal P .

1.3. Le fibré principal des cadres, ou « frame bundle »

Étant donné un fibré vectoriel π : E −→ B défini par gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,R), on peutconstruire un GL(n,R)-fibré principal en posant

P = (∐

Uα ×GL(n,R))/gαβ.

On dit que P est le GL(n,R)-fibré principal associé à E ; on le note parfois P = PE . On peutlégitimement se demander si la réciproque est vraie. Plus précisément, étant donné un G-fibréprincipal π : P −→ B, peut-on construire un fibré vectoriel associé ? Pour ce faire, nous avonsbesoin d’une représentation ρ : G −→ GL(V ) du groupe G dans un espace vectoriel V .

Exemple 1.3.1. — Si G = GL(n,R), alors la représentation standard sur Rn convient. Si G =

O(n), on plonge O(n) dans GL(n,R) et on utilise la représentation composée. Si G = U(n), onobtient via le plongement de U(n) dans GL(n,C) une représentation sur Cn ; on peut récupérerune représentation réelle en réalisant GL(n,C) comme sous-groupe de GL(2n,R).


Définissons

E = (∐

Uα × V )/ρ(gαβ),où ρ(gαβ) : Uα∩Uβ −→ GL(n,R). La condition de cocycle est vérifiée, puisque ρ(gαβ)ρ(gβγ)ρ(gγα) =

ρ(gαβgβγgγα) = ρ(Id) = Id.

Jusqu’à présent, nous nous sommes concentrés sur la description locale des fibrés associés. Il estutile d’en avoir également une description globale. Pour ce faire, nous avons besoin de la

Définition 1.3.2. — Étant donnés un G-fibré principal π : P −→ B et une représentation ρ :

G −→ GL(V ), on définit le produit de P et V au-dessus de G en posant

E = P ×G V,

où E est le quotient de P × V par la relation (p, v) ∼ (p · g, ρ(g−1)v) pour tout g ∈ G.

Lemme 1.3.3. — L’application [(p, v)] 7→ π(p) induit un fibré vectoriel E −→ B de fibre V ,appelé fibré vectoriel associé. De plus, si

P = (∐

Uα ×G)/gαβ,

alors

E = (∐

Uα × V )/ρ(gαβ).En clair, les deux constructions (locale comme globale) sont les mêmes.

Idée de la démonstration. — On utilise l’identification (Uα×G)×G V −→ Uα×V grâce à l’appli-cation [((b, u)α, v)] 7→ (b, ρ(u)v) d’inverse (b, v) 7→ [((b, e), v)], où e ∈ G est l’élément neutre.

Donnons maintenant une interprétation géométrique du GL(n,R)-fibré principal associé à unfibré vectoriel π : E −→ B de rang n.

Définition 1.3.4. — Étant donné un espace vectoriel réel V de dimension n, un cadre de V

(« frame ») est une identification f : Rn −→ V de R

n avec V . C’est équivalent à choisir une basede V , puisque si ei est la base canonique de Rn alors f(ei) est la base de V que nous avonschoisie. Définissons F (V ) comme étant l’ensemble de tous les cadres de V .

Remarquons que GL(n,R) agit sur F (V ) par

Rn

f

BBB

BBBB

B

Rn

A

== A(f)=fA // V

Pour un fibré vectoriel π : E −→ B et pour tout b ∈ B, nous avons E∣∣b' GL(n,R). Ainsi, on

obtient une copie de GL(n,R) attachée à chaque b via Pb = F (E∣∣b).

Lemme 1.3.5. — Posons ⋃

b∈B

Pb = P.

Alors P est un GL(n,R)-fibré principal, appelé fibré principal en cadres (même construction qu’au-paravant).

1.4 Le fibré principal des cadres 9

Idée de la démonstration. — Supposons que

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ,

avec pour applications de trivialisation ψα : E∣∣Uα−→ Uα × Rn. On utilise ψ−1

α (b) : Rn −→ Ebpour définir un cadre f . Nous obtenons alors Pb = fα A ; A ∈ GL(n,R), et par conséquentP∣∣Uα' Uα × GL(n,R) via (b, A) 7→ fα(b)A. Remarquons que Pb et P sont munis d’une action à

droite de GL(n,R).

1.4. Sections d’un fibré

Rappelons qu’un fibré est un quadruplet (E,B, F, π), où E, B, F sont des espaces topologiqueset π : E −→ B est une application continue, vérifiant π−1(b) ' F pour tout b ∈ B et tels que pourtout b ∈ B il existe un voisinage ouvert U ⊂ B de b avec π−1(U) ' U × F de sorte à préserver lafibre.

Définition 1.4.1. — Pour un fibré π : E −→ B, on dit qu’une application s : B −→ E est unesection si π s = IdB (ceci signifie que s(b) est dans la fibre de s au-dessus de B). Nous noteronsΓ(B,E) ou Ω0(B,E) l’ensemble des sections du fibré E. Dans le cas du fibré co-tangent T ∗B, onpose Ωp(B) = Ω0(∧pT ∗B,B).

Un cas particulier d’une section est donné par le fibré trivial

E = B × Fπ=projection

B

Si s est une section, alors s(b) = (b, σ(b)) avec σ : B −→ F . Réciproquement, si l’on a σ : B −→ F

alors l’application s : B −→ B × F définie par s(b) = (b, σ(b)) est une section. Ainsi il existe unecorrespondance bijective entre les sections d’un fibré trivial et Hom(B,F ).

Quand E n’est pas le fibré trivial, on peut penser aux sections comme une sorte d’applicationtordue de B dans F . Écrivons E

∣∣U

pour π−1(U). Si ψ : E∣∣U−→ U ×F est une identification, alors

on obtient le diagramme suivant

E∣∣U

ψ // U × F

U

s

``AAAAAAAA ψs=sU

<<yyyyyyyyy

À l’aide de la trivialisation locale, la description locale de la section est une application U −→ F .

Rappelons qu’étant donné un fibré vectoriel de rang n, on a construit un GL(n,R)-fibré principal.De plus, pour un G-fibré principal P et une représentation ρ : G −→ GL(V ), nous avons construitun fibré vectoriel E = P ×G V = P ×ρ V . Enfin, si V est de rang n alors

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ,

où les ρ gαβ : Uα ∩ Uβ −→ ρ(G) ⊂ GL(n,R) sont les fonctions de transition. D’une manièregénérale, on dit que le groupe de structure d’un fibré principal peut être réduit si son groupe destructure G est un sous-groupe propre de GL(n,R). Ainsi un fibré vectoriel peut être réduit de


GL(n,R) à un sous-groupe G si et seulement si on peut trouver un système de trivialisations localestel que toutes les fonctions de transition prennent leurs valeurs dans G.

Supposons qu’un fibré vectoriel π : E −→ B est décrit par

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ

et que σ : B −→ E en est une section. Soient ψα : E∣∣Uα−→ Uα × R

n les applications detrivialisation. On a déjà vu que le diagramme suivant est commutatif :

E∣∣Uα

ψα

$$IIIIIIIII

Uα

σ== σα=ψασ // Uα × Rn

En utilisant la propriété de préservation des fibres des applications en jeu, nous vérifions queσα(b) = (b, sα(b)) où sα : Uα −→ Rn. Maintenant σ détermine une collection de sections localessα : Uα −→ Rn, une pour chaque ouvert de trivialisation.

Vient alors naturellement une question : une collection de sections locales sα : Uα −→ Rn(une pour chaque ouvert de trivialisation) détermine-t-elle une section globale σ : B −→ E avecσ∣∣Uα

= σα ? Sur Uα ∩ Uβ = Uαβ , nous avons le diagramme commutatif :

Uαβ × Rn

Id

E∣∣Uαβ

ψβoo ψα // Uαβ × Rn

Id

Uαβ × Rn Uαβ

σβoo

σ

OO

σα // Uαβ × Rn

En écrivant gβα = ψβψ−1α , nous voyons que sβ = gβαsα. Par conséquent, étant donnée une collection

de sections locales σα(b) = (b, sα(b)) telles que sβ(b) = gβαsα(b), alors on définit une sectionglobale en posant σ(b) = ψ−1

α σα(b). Nous avons ainsi démontré la

Proposition 1.4.2. — La donnée d’une section globale σ : B −→ E d’un fibré vectoriel équivaut àla donnée d’une famille de sections locales σα = (IdUα , sα) : Uα −→ Uα×Rn vérifiant sβ

∣∣Uα∩Uβ

=

gβαsα∣∣Uα∩Uβ

.

Exemple 1.4.3. — La collection des sections locales nulles définies par sα(b) = 0 pour toutb ∈ Uα se recolle pour définir la section nulle globale.

Remarquons que l’analyse des sections des fibrés vectoriels s’applique de même aux sections desG-fibré principaux. En d’autres termes, étant donné un G-fibré principal décrit par

P = (∐

Uα ×G)/gαβ,

la description d’une section est la même que ci-dessus, mais avec Rn remplacé par G. Dans larelation sβ = gβαsα, la multiplication sur le membre de droite est la multiplication du groupe.Réciproquement, en utilisant une section σ, les fonctions de transition peut être écrites sous laforme gβα = sβs

−1α .

1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d’anciens 11

1.5. Construction de nouveaux fibrés à partir d’anciens

1.5.1. Construction élémentaires. — Rappelons que si E et E ′ sont deux fibrés vectorielset si h : E −→ E′ est un morphisme de fibrés, alors on construit une collection d’applicationslocales hα : Uα −→ Hom(Rn,Rm) telles que g′βαhα = hβgβα. Si h est un automorphisme, alorshβ = gβαhαgαβ.

Il est important de savoir quand un fibré vectoriel E au-dessus de B est isomorphe au fibrétrivial E ' B × Rn. Supposons que E est donné par

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ.

Remarquons que le fibré trivial Rn est donné par

Rn = B × R

n = (∐

Uα × Rn)/g′αβ,

où g′αβ est l’identité. Une application h : E −→ Rn est ainsi décrite par une collection d’applicationshα : Uα −→ GL(n,R) définies localement et vérifiant gβα = hβh

−1α . En clair, si on peut trouver

une collection de telles hα, alors on peut trivialiser le fibré.Ceci signifie précisément que le GL(n,R)-fibré principal associé est trivial si et seulement si il

admet une section. On démontre

Lemme 1.5.1. — Un fibré principal est trivial si et seulement s’il admet une section.

Démonstration. — Soit p : P −→ B un G-fibré principal. Supposons tout d’abord qu’il soit trivial,c’est-à-dire de la forme pr1 : P = B × G −→ B. Alors l’application s : B −→ P définie pars(b) = (b, 1) est une section du fibré.

Réciproquement, soit s une section du fibré p : P −→ G. Définissons ϕ : B×G −→ P en posantϕ(b, g) = s(b)g. Cette application est alors un difféomorphisme G-équivariant tel que p ϕ = pr1,donc qui trivialise p : P −→ B.

Remarque 1.5.2. — La section nulle s : B −→ E plonge B de façon difféomorphe dans E. Deplus, cette copie de B dans E est un rétracte par déformation de E. Par conséquent B et E ontle même type d’homotopie. Ainsi, l’homotopie et l’homologie ne sont pas d’un grand secours pourclassifier les fibrés.

Les constructions sur les espace vectoriels sont adaptées presque directement au cas des fibrésvectoriels. Par exemple, étant donnés deux espace vectoriels V1 et V2, on peut former V1 ⊕ V2,V1 ⊗ V2, V ∗

1 , V1 ∧ V1, etc. Ils ont tous des analogues pour les fibrés.

Si E1 et E2 sont deux fibrés vectoriels de rang r1 et r2 respectivement, alors on construit unfibré vectoriel E1 ⊕E2 de rang r1 + r2 comme suit. Supposons que E1 et E2 sont réalisés comme

E1 = (∐

Uα × Rn1)/g1

αβ et E2 = (∐

Uα × Rn2)/g2

αβ.On définit la somme des deux fibrés comme étant

E1 ⊕E2 = (∐

Uα × Rn1+n2)/g⊕αβ,

où g⊕αβ est la matrice n1×n2 diagonale par blocs avec g1αβ dans le bloc supérieur gauche et g2

αβ dansle bloc inférieur droit. Afin de démontrer que ceci définit un fibré, nous avons besoin de vérifierla condition de cocycle. Mais ceci se voit en utilisant le fait que les deux blocs de la matrice lavérifient. On construit de même E1 ⊗E2.


La construction du fibré dual E∗ est à peine plus difficile. Nous voulons que les fibres du nouveaufibré soient E∗

b ' Hom(Eb,R). Si E est donné par

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ,

alors posons g∗αβ = (gtαβ)−1. Les g∗αβ vérifient la condition de cocycle et ainsi définissent un fibré.

Mais est-ce le fibré recherché ? Plus précisément, avons-nous E∗b ' Hom(Eb,R

n) ? Supposons queψα : Eb −→ Rn est une identification de la fibre et soit λ ∈ Hom(Eb,R). Alors on obtient uneapplication λα : Rn −→ R d’après le diagramme suivant :

Ebλ //

ψα

R

Rn

λα

>>

On a une correspondance λ ↔ λα et par conséquent on obtient E∗b ' Rn ' Hom(Rn,R). Par

ailleurs E∣∣Uα' Uα × R

n. Au-dessus de Uα ∩ Uβ , nous avons λβ = λ ψ−1β et λα = λ ψ−1

α . Ainsi

λ = λβψβ = λαψα = λα (ψα ψ−1β ) ψβ = λαgβαψβ .

La condition de compatibilité sur les λα est qu’en tant qu’applications Rn −→ R elles vérifientλβ = λα gαβ. Mais ceci est en fait équivalent à

E = (∐

Uα × Rn)/(gtαβ)−1.

1.5.2. Le fibré Hom(E,F ). — Soient deux fibrés vectoriels

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ et F = (

∐Uα × R

n)/hαβ.

Proposition 1.5.3. — Il existe un fibré vectoriel Hom(E,F ) de rang nm tel que Hom(E,F )b =

Hom(Eb, Fb).

Idée de la démonstration. — On peut construire Hom(E,F ) de deux façons différentes (aboutis-sant au même fibré).

1. Pour deux espaces vectoriels V et W , nous avons Hom(V,W ) 'W ⊗V ∗. On peut définir unfibré

Hom(E,F ) := F ⊗E∗

de rang nm, de fibre (F⊗E∗)b = Fb⊗E∗b et dont les fonctions de transition sont hαβ⊗(gtαβ)

−1.

2. Plus directement : on peut construire Hom(E,F ) en regardant ses section. Tout d’abords ∈ Γ(Hom(E,F )) si et seulement si s : E −→ F est un morphisme de fibrés. À l’aide destrivialisations locales, les morphismes de fibrés donnent la description locale

sα : Uα −→ Hom(Rn,Rm)

du morphisme de fibrés s : E −→ F , avec sβ = hβαsαg−1βα . Définissons deux fibrés principaux

PF =∐

Uα ×GL(m)/hαβ et PE =∐

Uα ×GL(n)/gαβ,et posons

P = PF × PE =∐

Uα × (GL(m)×GL(n))/hαβ × gαβ.Soit ρ la représentation de GL(m)×GL(n) dans Hom(Rn,Rm) définie par

ρ : GL(m)×GL(n)Ad−→ GL(Hom(Rn,Rm)),

1.5 Construction de nouveaux fibrés à partir d’anciens 13

c’est-à-dire telle que ρ(A,B)(U) = A U B−1. Alors le fibré recherché est

Hom(E,F ) ' P ×Ad Hom(Rn,Rm).

On vérifie que ses sections locales sont bien les sβ .

Remarque 1.5.4. — On peut démontrer que End(E) = Hom(E,E) = PE ×Ad Matn, où

Ad : GL(n) −→ GL(Matn), A 7−→ (U 7→ A U A−1).

Si on définit Aut(E) comme étant le fibré des isomorphismes de E tels que Aut(E)∣∣p

= Aut(Ep),alors Aut(E) = PE ×Ad GL(n) est un fibré en groupes, mais pas un fibré principal (les fonctionsde transition ne sont pas équivariantes). On peut munir l’espace G des sections de Aut(E) d’unestructure de groupe à l’aide des identifications Aut(E|p) ' GL(n). Le groupe G est dit groupe dejauge de E.

1.5.3. Les fibrés noyau, image et co-noyau. — Étant donné un morphisme de fibrés

Ef //

@@@

@@@@

F

~~~~

~~~

B

définissons

(Ker(f))b = Ker(fb : Eb −→ Fb), (Im(f))b = Im(fb : Eb −→ Fb), (Coker(f))b = Fb/(Im(f)b)

ainsi que Ker(f) = ∪b∈B(Ker(f))b, Im(f) = ∪b∈B(Im(f))b et Coker(f) = ∪b∈B(Coker(f))b. Cestrois espaces sont-ils des fibrés sur B ? La réponse est non dans le cas général. Par exemple, prenonsles fibrés triviaux

Rn × Rmf //

$$JJJJJJJJJ Rn × Rm

zzttttttttt

Rn

et définissons f(x) = x · In (c’est clairement un morphisme de fibrés). Alors

(Ker(f))x =

0 si x 6= 0,

Rn si x = 0,

et la dimension de la fibre varie.

Théorème 1.5.5. — Si le rang de fb est constant, alors Ker(f), Im(f) et Coker(f) sont des fibrésde base B. On les appelle respectivement fibrés noyau, image et co-noyau.

La démonstration utilise le théorème du rang constant pour les morphismes de fibrés. On seramène à démontrer que les trivialisations pourE et F peut être choisies de sorte à ce que sur chaqueUα on ait des isomorphismesEb

Ψα−→ Rn = Rk⊕Rn−k avec Rk = Ker(fα) et FbΦα−→ Rm = Ri⊕Rm−i


avec Ri = Im(fα). Alors sur Uα∩Uβ nous avons le diagramme commutatif (pour des décompositionsde Rn données) :

Rk ⊕ Rn−kfα //

gβα

Ri ⊕ Rm−i

hβα

Rk ⊕ Rn−k

fβ //Ri ⊕ Rm−i

avec

gβα =

(kβα Λβα0 Cβα

)et hβα =

(iβα Πβα

0 Dβα

).

En fait, les kβα sont les fonctions de transition pour Ker(f). À l’aide des cadres orthonormaux(en supposant que E et F ont une représentation matricielle), on peut suppposer que gβα ∈ O(n)

et kβα ∈ O(n). On en déduit que Λβα = 0 et Πβα = 0.

1.5.4. Le fibré tiré en arrière. — Étant donnés un fibré vectoriel π : E −→ B et une appli-cation lisse f : X −→ B, on peut définir un fibré f∗(E) −→ X en exigeant la commutativité dudiagramme

f∗(E)f //

p

E

π

X

f // B

où f est un isomorphisme sur les fibres (et ainsi f ∗(E)∣∣x' E|f(x)). Pour ce faire, définissons

l’espace totalf∗(E) = (x, e) ∈ X ×E ; f(x) = π(e) ⊂ X ×E.

Alors p : f∗(E) −→ X est définie par (x, e) 7→ x, donc p−1(x) = (x, e) ; π(e) = f(x) = Ef(x).

Vérifions la trivialité locale. Soient E∣∣Uα

Ψ−→ U × Rn la trivialisation locale et V = f−1(U) ⊂ X .

Lemme 1.5.6. — Nous avons f∗(E)∣∣V⊂ V ×E

∣∣U

et f∗(E)∣∣V' V × R

n (à l’aide de Ψ).

Ainbsi f∗(E) est un fibré sur B, appelé fibré tiré en arrière de E (ou « pull-back »). Soit Vαun recouvrement ouvert de X tel que d’une part Uα = f(Vα) est un recouvrement de B, etd’autre part les fibrés sont localement triviaux ; alors les fonctions de transition de E et f ∗(E) sontreliées par

gfαβ(x) := (f∗gαβ)(x) = gαβ(f(x)).

Exemple 1.5.7. — 1. Considérons

E

π

E

π // B

Alors π∗(E) est un fibré au-dessus de B et π∗(E) ' E ⊕E.

2. Si E = B × Rn est le fibré trivial et f : X −→ B, alors f ∗(E) = X × Rn.

1.6 Métrique sur un fibré 15

Proposition 1.5.8. — 1. Soit (u, f) un morphisme de fibrés

E′ u //

p

E

π

B′

f // B

Alors il existe une application v : E ′ −→ f∗(E) telle que

f∗(E)

f

""EEE

EEEEE

E′ u //

v<<y

yy

yE

B′

f // B

2. Si de plus u est un isomorphisme sur les fibres, alors f ∗(E) ' E′.

Il s’ensuit que f∗(E) est défini de façon unique.

Théorème 1.5.9 (fondamental n1). — Supposons que l’on ait

E

π

X

f0

f1

// B

avec f0 ≈ f1 (homotopes). Alors f∗0 (E) ' f∗

1 (E). En d’autres termes, des applications homotopesproduisent des fibrés tirés en arrière isomorphes.

Corollaire 1.5.10. — Si B est contractile, alors tout fibré vectoriel E −→ B est trivial.

1.6. Métrique sur un fibré

Soit V un espace vectoriel de base v1, . . . , vn. La base duale v∗1 , . . . , v∗n de V ∗ = Hom(V,R)

est définie par v∗i (vj) = δij . Il s’ensuit que tout λ ∈ V ∗ s’écrit de façon unique sous la forme∑i λiv

∗i .

Rappelons qu’étant donné

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ,

on peut utiliser (gtαβ)−1 pour définir un fibré E∗ = (∐Uα × Rn)/(gtαβ)−1 de fibreE∗

b =

Hom(Eb,R). Dans le cas des fibrés complexes, nous avons

E = (∐

Uα × Cn)/gαβ et gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,C).

À l’aide de la même démonstration, on vérifie que gtαβ−1 définit E∗, que Hom(Cn,C) ' Cn et

que E∗b = Hom(Eb,C).

Remarque 1.6.1. — Il est à noter que :


1. On peut utiliser un produit scalaire hermitien pour identifier

Hom(Cn,C)∼−→ C

n,

mais cette application n’est pas C-linéaire, donc ce n’est pas l’identification que nous recher-chons.

2. Cas réel : supposons que l’on puisse trouver une trivialisation locale E|Uα

∼−→ Uα ×Rn telleque

gαβ : Uα ∩ Uβ −→ O(n) ⊂ GL(n,R),

de sorte que le groupe de structure de E peut être réduit à O(n). Alors gtαβgαβ = Id, donc(gtαβ)

−1 = gαβ et ainsi E∗ ' E.

3. Cas complexe : même si

gαβ : Uα ∩ Uβ −→ U(n) ⊂ GL(n,C),

on a gαβtgαβ = Id et par conséquent gtαβ−1

= gαβ 6= gαβ . Ainsi E∗ 6' E en tant que fibréscomplexes. En fait E∗ ' E.

Pour un fibré E réalisé comme E = (∐Uα×Rn)/gαβ, supposons que les fonctions de transition

vérifient gαβ : Uα ∩ Uβ −→ O(n).

Lemme 1.6.2. — On peut définir un produit scalaire sur chaque fibre Eb.

Démonstration. — Définissons 〈 · , · 〉b sur Eb pour tout b ∈ B comme suit. Soit ( · , · ) le produitscalaire canonique sur Rn, c’est-à-dire (ei, ej) = δij pour la la base canonique ei de Rn. Alorson peut identifier Ψα : Eb

∼−→ Rn pour tout α tel que b ∈ Uα, puis définir eαi (b) = Ψ−1α (b, ei).

On vérifie ensuite que eαi (b) est une base de Eb. Définissons maintenant 〈 · , · 〉b en déclarant queeαi (b) est un cadre orthonormal, c’est-à-dire avec la condition

〈eαi (b), eαj (b)〉b = δij .

Par conséquent si v = Σvieαi (b) et u = Σuie

αi (b), alors

〈u, v〉b = (Ψα(b, v1),Ψα(b, v2)) =

n∑

i=1

uivi.

Tout est bien défini si gαβ ∈ O(n).

Définition 1.6.3. — Un fibré dont chaque fibre est muni d’un produit scalaire 〈 · , · 〉b variant defaçon lisse en b est dit fibré métrique lisse.

On vérifie que si σ1 et σ2 sont des sections C∞, alors b 7→ 〈σ1(b), σ2(b)〉b st lisse.

Proposition 1.6.4. — Soit Ψ : E∣∣U

∼−→ U × Rn une trivialisation locale. Fixons b ∈ B. Alorsfi(b) = Ψ−1(b, ei)ni=1 est une base de Eb, appelée un cadre local. Définissons également

Hij(b) = 〈fj(b), fi(b)〉b.Alors b 7→ Hij(b) définit une application lisse de U dans GL(n).

Remarque 1.6.5. — Si E admet un fibré métrique lisse (c’est-à-dire 〈 · , · 〉b sur chaque Eb etvariant de façon lisse en b), alors on peut choisir une identification E

∣∣U

∼−→ U × Rn telle quegαβ : Uα ∩ Uβ −→ O(n).

1.6 Métrique sur un fibré 17

Exemple 1.6.6 (Exemples d’existence de métriques). — 1. Sur le fibré trivial

B × Rn

B

choisissons 〈 · , · 〉b = ( · , · ) (ou n’importe quel utre produit scalaire sur Rn).

2. Sur E = (∐Uα × Rn)/gαβ, prenons une partition de l’unité subordonnée à Uα (on

suppose Uα localement fini dans cet exemple). Plus précisément, soit ρα : Uα −→ R lissetelle que Supp(ρα) ⊂ Uα et Σαρα(b) = 1 pour tout b. Pour tout b ∈ Uα, on peut définir〈 · , · 〉b,α sur E

∣∣Uα

à l’aide de Ψα : E|Uα

∼−→ Uα ×Rn, puis poser 〈 · , · 〉b = Σαρα(b)〈 · , · 〉b,α.

Remarque 1.6.7. — La construction pour des métriques hermitiennes sur les fibrés vectorielscomplexes est identique. En remplaçant « orthonormal » par « unitaire » et O(n) par U(n), tousles résultats restent encore valables.


1.7. Classification des fibrés vectoriels et des fibrés principaux

Le but de la section est de construire un fibré vectoriel et un fibré principal « universels » dansun sens à préciser.

1.7.1. Un outil fondamental : la grassmannienne. — La quête du fibré universel nousconduit au royaume des grassmanniennes.

Définition 1.7.1. — La grassmannienne réelle G(k,m) = GR(k,m) = Gk(m) est l’ensemble dessous-espaces vectoriels de dimension k de Rm. On définit de même la grassmannienne complexeGC(k,m) comme étant l’ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension k de Cm.

Exemple 1.7.2. — En fait G(1,m) est l’ensemble des droites de Rm, c’est-à-dire le (m− 1)-ièmeespace projectif RP

m−1. De même GC(1,m) = CPm−1.

Nous avons besoin des propriétés suivantes des grassmanniennes. Nous les citons pour G(k,m) =

GR(k,m), mais leur analogue pour GC(k,m) est vrai.

Proposition 1.7.3. — 1. La grassmannienne G(k,m) est une variété lisse de dimensionk(m− k).

2. Soit Vk(m) = (V, v) ; v ∈ V ⊂ G(k,m)×Rm. La projection π :−→ G(k,m) sur la premièrecomposante munit γmk = (Vk(m), p, Gk(m),Rk) d’une structure de fibré vectoriel de fibre dedimension k.

La démonstration de cette proposition nous tiendra en haleine jusqu’à la fin de cette sous-section.Rappelons que le fibré trivial est noté Rm. Le fibré universel Q au-dessus de G(k,m) est défini parla suite exacte de morphismes de fibrés

0 −→ γmk −→ Rm −→ Q −→ 0.

Plus précisément Q∣∣V' Rm/V est un (m− k)-plan.

Commençons par la démonstration de la première propriété. Une façon pratique d’exprimer uncadre est avec la (m× k)-matrice [v1, . . . , vk], où chaque vi ∈ Rm est vu comme une colonne de lamatrice. La condition d’indépendance linéaire est équivalente au fait que cette matrice [v1, . . . , vk]

est de rang k. On peut interpréter cette matrice comme une application linéaire injective Rk −→

Rm. Bien sûr, chaque k-plan admet de nombreux cadres ; ainsi la description n’est pas unique. Enfait, pour toute matrice A ∈ GL(k) on a un nouveau cadre décrit par la matrice [v1, . . . , vk] · A,c’est-à-dire par l’application

RkA //

Rk[v1,...,vk] // Rm .

Ceci conduit à la description de Gk(m) comme un quotient de l’espace F (k,m) des k-cadres (parGL(k)). L’espace des k-cadres est appelé variété de Stiefel. On peut en fait identifier

F (k,m) = (m× k)-matrice de rang k = f : Rk −→ R

m ; f linéaire et injective.Ainsi Gk(m) = F (k,m)/GL(k), où GL(k) agit librement à droite sur F (k,m) comme décrit ci-dessus. On vérifie que F (k,m) est une variété lisse de dimension km. Supposons que [v1, . . . , vk] ∈Gk(m) est tel que le premier mineur k× k soit de déterminant non nul. Alors il existe une matriceA ∈ GL(k) telle que

[v1, . . . , vk] ·A =

(Id

B

).

1.7 Classification des fibrés vectoriels 19

En d’autres termes, les k premières lignes ont été réduites à l’identité et B est un bloc (m−k)×k.Définissons une application

Mat(m− k, k) −→ U1,...,k ⊂ GL(k,m), B 7→(

Id

B

).

Si I = i1, . . . , ik ⊂ 1, . . . ,m, alors UI définit un système de coordonnées pour Gk(m). En faitGk(m) est recouvert par l’ensemble de ces UI et les changements de paramétrisation sont lisses.

De même, sur Cm, les changements de paramétrisation pour GC(k,m) sont holomorphes. AinsiGC(k,m) est une variété complexe de dimension k(m− k).

Démontrons maintenant la seconde propriété. Examinons la projection π : F (k,m) −→ Gk(m),de fibre GL(k). Vérifions qu’en fait (F (k,m), π,Gk(m),GL(k)) est un GL(k)-fibré principal. Il nousfaut établir la trivialité locale au-dessus de UI . Décrivons

[v1, . . . , vk] =

(Id

B

)· A

au-dessus de U1,...,k. Pour ce faire, définissons une application [v1, . . . , vk] 7→ ([v1, . . . , vk], A).C’est une trivialisation, donc π : F (k,m) −→ Gk(m) est un GL(k)-fibré principal. Relions ce fibréà γmk .

Lemme 1.7.4. — Nous avons γmk = F (k,m)×GL(k) Rk.

Par conséquent γmk est le fibré vectoriel associé au fibré principal F (k,m) −→ Gk(m).

1.7.2. Classification des fibrés vectoriels de base et de rang fixés. — Un des problèmescentraux des fibrés vectoriels est le suivant : étant donnés un espace topologique B et un entier k,déterminer (à isomorphisme près) tous les fibrés vectoriels de rang k sur B. L’ensemble de tous cesfibrés est noté Vectk(B).

L’idée pour la classification est de trouver un fibré vectoriel, noté π : EG = EGk −→ BG =

BGk et appelé fibré universel de rang k de B, ayant la propriété suivante. Pour tout autre fibréE −→ B de rang k, il existe une application f : B −→ BG appelée application classifiante vérifiantf∗(EG) ' E. D’après le premier théorème fondamental 1.5.9, des applications homotopes induisentdes fibrés isomorphes. Donc si [B,BG] dénote l’ensemble des classes d’homotopie d’applicationsde B dans BG, il existe une application bien définie

[B,BGk ] −→ Vectk(B), [f ] 7→ [f∗(EGk)].

L’objectif est de construire un inverse de cette application, après avoir déterminé le fibré universel.Nous verrons que la condition nécessaire à cette construction est que B soit paracompact.

Définition 1.7.5. — Soit ξk : E −→ B un fibré vectoriel de rang k. Une application de Gaussdu fibré dans Rm est un morphisme de fibrés vectoriels g : E −→ Rm qui est injectif sur chaquefibre (en particulier m ≥ k).

Par exemple, pour le fibré γmk : Gk(m) = (V, x) ; V ∈ Gk(m), x ∈ V −→ Gk(m) = Gmkau-dessus de la grassmannienne, la seconde projection q : Gk(m) −→ Rm est une application de


Gauss.Gk(m)

p=pr1

zzuuuuuuuuuq=pr2

""FFF

FFFF

FF

Gk(m) Rm

Proposition 1.7.6. — Soit (u, f) : ξk −→ γmk un morphisme de fibrés vectoriels qui est unisomorphisme sur les fibres. Alors q u : E −→ Rm est une application de Gauss.

Réciproquement, soit g : E −→ Rm une application de Gauss. Alors il existe un morphisme defibrés vectoriels (u, f) : ξk −→ γmk tel que q u = g.

Démonstration. — Seul le second point mérite une démonstration. Posons f(b) = g(p−1(b)) ∈Gk(m) pour b ∈ B et u(x) = (f(p(x)), g(x)) ∈ Gk(m)× Rm. Alors le couple (u, f) convient.

Ainsi, il existe une application de Gauss g : E −→ Rm si et seulement s’il existe une applicationf : B −→ Gk(m) telle que le fibré de départ ξk : E −→ B soit isomorphe à f∗(γmk ). Avant deconstruire une application de Gauss pour chaque fibré vectoriel de base paracompacte, nous avonsbesoin de la

Proposition 1.7.7. — Soit E −→ B un fibré vectoriel de base paracompacte recouvert par desouverts trivialisants Uii∈I . Alors il existe un recouvrement dénombrable Wjj de B tel que E

∣∣Wj

soit trivial.Si de plus chaque b ∈ B est contenu dans au plus n ouverts Ui, alors il existe un recouvrement

ouvert fini Wj1≤j≤n tel que E∣∣Wj

soit trivial.

Démonstration. — La paracompacité de B nous fournit une partition de l’unité ρii subordonnéeau recouvrement Uii (c’est-à-dire Supp(ρi) ⊂ Ui). Pour tout ensemble fini d’indices S, soit W (S)

l’ouvert des b ∈ B tels que ρi(b) > ρj(b) pour tous i ∈ S et j /∈ S. Si S et S ′ sont deux ensemblesd’indices distincts à m éléments, alors W (S) ∩W (S ′) = ∅. En effet, il existe i ∈ S et j ∈ S ′ telsque i /∈ S′ et j /∈ S ; par conséquent pour tout b ∈ W (S) nous avons ρi(b) > ρj(b), et pour toutb ∈ W (S′) nous avons ρj(b) > ρi(b). Donc W (S) ∩W (S′) = ∅.

Pour b ∈ B, notons S(b) l’ensemble fini des indices i tels que ρi(b) > 0 et posons Wm =⊔]S(b)=mW (S(b)). Le fibré EW (S(b)) est trivial. Puisque Wm est une réunion disjointe, il est éga-

lement trivial. Enfin Wj = ∅ lorsque j > m.

Le résultat suivant nous assure de l’existence d’une application classifiante.

Théorème 1.7.8 (fondamental n2). — Pour tout fibré vectoriel p : E −→ B de rang k etde base paracompacte, il existe une application de Gauss g : E −→ R∞. Si de plus B admet unrecouvrement ouvert fini Ui1≤i≤n tel que E

∣∣Ui

soit trivial pour tout i, alors le fibré E −→ B

admet une application de Gauss g : E −→ Rkn.

Démonstration. — Soit Ui un recouvrement ouvert trivialisant dénombrable, de trivialisationsψi : E

∣∣Ui−→ Ui × Rk. Choisissons une partition de l’unité ρi subordonnée à Ui. Définissons

des applications gi : E −→ Rk en posant

gi =

(ρi p)(pr2 ψi) sur E

∣∣Ui,

0 ailleurs,

1.7 Classification des fibrés vectoriels 21

où pr2 : U ×Rk −→ Rk est la seconde projection. Il nous reste à vérifier que g =∑i gi : E −→ Rk

est bien une application de Gauss. Or les images des gi sont des sous-espaces complémentaires deR∞ et chaque gi est injective, donc g est bien injective.

S’il n’y a qu’un nombre fini n de Ui, alors∑n

i=1 Rk = Rkn. Dans le cas contraire, la somme estde dimension infinie.

Nous avons ainsi construit pour chaque fibré vectoriel une application classifiante. Afin deconstruire [E −→ B] 7→ [f ], il nous faut maintenant démontrer que deux appplications classi-fiantes donnant lieu à des fibrés isomorphes sont homotopes, en d’autres termes une unicité del’application classifiante.

Théorème 1.7.9 (fondamental n3). — Soient 1 ≤ m ≤ +∞ et j : Gk(m) → Gk(2m). Soientf0, f1 : B −→ Gk(R

m) telles que f∗0 (γk(m)) ' f∗

1 (γk(m)). Alors j f0 et j f1 sont homotopes.

Démonstration. — Admise car technique (voir [4] page 33).

Le théorème 1.5.9 nous fournit une application Φ : [f ] 7→ [E −→ B]. Les théorèmes 1.7.8 et 1.7.9nous permettent de construire une application Ψ : [E −→ B] −→ [f ], inverse de Φ. D’où le

Corollaire 1.7.10. — Soit B une variété paracompacte. Il existe une correspondance bijectiveentre les (classes d’isomorphismes de) fibrés vectoriels de rang k au-dessus de B et les (classesd’homotopie de) fonctions lisses B −→ Gk(∞). En d’autres termes

Vectk(B)←→ [B,G∞k ].

1.7.3. Classification des G-fibrés principaux. — Pour tout groupe de Lie G, examinons uneconstruction pour deux espaces BG et EG ainsi qu’un G-fibré principal EG −→ BG universel.

Définition 1.7.11. — Un fibré G-principal de base B est à trivialisation adaptée s’il possède unetrivialisation par des ouverts Ui admettant une partition de l’unité ρi subordonnée.

Ainsi un fibré principal localement trivial et de base paracompacte est à trivialisation adaptée.

Définition 1.7.12. — Un fibré G-principal à trivialisation adaptée ω = (E0, p0, B0) est dit uni-versel s’il vérifie les deux conditions suivantes :

1. Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée ξ de base B, il existe une applicationf : B −→ B0 telle que ξ ' f∗(ω).

2. Si f0, f1 : B −→ B0 sont deux applications telles que f∗0 (ω) ' f∗

1 (ω), alors f0 et f1 sonthomotopes.

Si on définit PrinG(B) comme étant l’ensemble des classes d’isomorphisme deG-fibrés principauxsur B, alors l’existence d’un fibré G-principal universel nous fournit une bijection PrinG(B) '[B,B0]. L’espace E0 = EG décrit ci-après est obtenu à l’aide de la construction de Milnor.

Définition 1.7.13. — La réunion infinie (« infinite join ») d’un groupe G est

EG = G ∗G ∗ · · · = (t1x0, t1x1, . . .) ; ti ∈ [0, 1], xi ∈ G, les ti presque tous nuls,∑

i

ti = 1.


Un élément de EG est noté 〈x, t〉. Deux éléments 〈x, t〉 et 〈x′, t′〉 sont identifiés dès que ti = t′ipour tout i et xj = x′j pour tout j tel que tj > 0.

Maintenant, faisons agir G sur EG par multiplication à droite en posant 〈x, t〉y = 〈xy, t〉. Onmunit ensuite EG d’une topologie compatible avec l’action de G (admis). Notons BG = EG/G

l’espace des orbites. On définit enfin ωG = (EG, p, BG).

Proposition 1.7.14 ([4]). — Le G-fibré ωG est un G-fibré principal à trivialisation adaptée.

Les espaces EG et BG sont fibrés par

· · · ⊂ EG(n) ⊂ EG(n+ 1) ⊂ · · · ⊂ EG· · · ⊂ BG(n) ⊂ BG(n+ 1) ⊂ · · · ⊂ BG

avec EG(n) = (t0x0, t1x1, . . .) ∈ EG ; ti = 0 pour tout i > n et BG(n) = p(EG(n)).

Exemple 1.7.15. — 1. Pour G = Z/2Z, on a EG(n) = Sn. L’action de Z/2Z sur Sn estpar l’identité et l’antipode, donc BG(n) = RP

n. Par conséquent EG = S∞ (la limite dusystème inductif · · · −→ Sn −→ Sn+1 −→ · · · ) et BG = RP

∞ (la limite du système inductif· · · −→ RP

n −→ RPn+1 −→ · · · ). Le fibré (Sn, p,RP

n) est universel pour toute dimensioninférieure ou égale à n− 1.

2. Pour G = S1, on a EG(n) = S2n+1. L’action de S1 sur S2n+1 est (z0, z1, . . . , zn)eiθ =

(eiθz0, . . . , eiθzn), donc BG(n) = CP

n. Par conséquent EG = S∞ et BG = CP∞ (la limite

du système inductif · · · −→ CPn −→ CP

n+1 −→ · · · ). Le fibré (S2n+1, p,CPn) est universel

pour toute dimension inférieure ou égale à 2n.

Afin de démontrer que le fibré G-principal ωG est universel, nous avons besoin de la

Proposition 1.7.16. — Soit ξ un fibré G-principal à trivialisation adaptée de base B. Alors ilexiste une partition de l’unité ρnn∈N dénombrable telle que les Un = ρ−1

n (]0, 1]) soient des ouvertstrivialisants pour ξ.

Démonstration. — Admise car technique (voir [4] page 56).

Théorème 1.7.17. — Pour tout fibré G-principal à trivialisation adaptée, il existe une applicationf : B −→ BG telle que ξ ' f∗(ωG).

Démonstration. — Soit ρnn∈N la partition de l’unité fournie par la proposition 1.7.16. Notonshn : Un × G −→ ξ

∣∣Un

les applications de trivialisation. Définissons une application θ : E −→ EGen posant

u(z) =((ρ0 p(z))(q0 h−1

0 (z)), . . . , (ρn p(z))(qn h−1n (z)), . . .

),

où qn : Un × G −→ G est la seconde projection. Pour z en lequel h−1n (z) n’est pas défini, on a

ρn(p(z)) = 0. Par conséquent u est bien définie. Par ailleurs hn(zg) = hn(z)g donc u(zg) = u(z)g

pour tout g ∈ G. L’application u induit f : B −→ BG et (u, f) : ξ −→ ωG est un morphisme deG-fibrés principaux.

Théorème 1.7.18. — Soient f0, f1 : X −→ BG deux applications telles que f ∗0 (ωG) ' f∗

1 (ωG).Alors f0 et f1 sont homotopes.

Démonstration. —

CHAPITRE 2

CONNEXIONS LINÉAIRES

Ce chapitre traite des connexions linéaires, c’est-à-dire des connexions sur les fibrés vectoriels. Ilest à noter qu’il existe également des connexions sur les fibrés principaux : les connexions principales(voir à ce sujet le chapitre 6 de [2]).

2.1. Définition et premières propriétés

Une connexion généralise la

Remarque 2.1.1. — Soit Ω0(B,Rn) l’espace des sections du fibré trivial π : E = B ×Rn −→ B.On peut alors voir f ∈ Ω0(B,E) en tant qu’application f : B −→ Rn, de section correspondantes : b 7→ (b, f(b)), et calculer les dérivées de f le long d’un champ de vecteurs sur B en utilisant ladifférentielle df de f .

Si n = 1, alors f ∈ C∞(B,R) et df est une 1-forme globale sur B, c’est-à-dire

df ∈ Ω0(B, T ∗B).

Si n > 1 et f : B −→ Rn, alors f(b) = (f1(b), . . . , fn(b)) donc df = (df1, . . . , dfn). On vérifie quedf est une section globale du fibré T ∗B ⊗ R

n, c’est-à-dire df =∑αi ⊗ si où αi ∈ Ω0(B, T ∗B) et

si ∈ Ω0(B,Rn).Par conséquent, pensons à la différentielle d comme à une application d : Ω0(B,Rn) −→

Ω0(B, T ∗B ⊗ Rn) = Ω1(B,Rn). Cet opérateur a pour propriétés :

(i) d est linéaire.

(ii) Si λ ∈ C∞(B,R), alors d(λf) = dλ ⊗ f + fdλ (règle de Leibnitz).

Une connexion va résoudre les trois problèmes suivants :

1. Calculer les dérivées des sections d’un fibré vectoriel.

2. Décomposer l’espace tangent en un point de E en :

(a) La direction verticale (le long des fibres de E −→ B).

(b) La direction horizontale (« parallèlement » aux directions tangentes à B).

3. Comparer les fibres de E en différents points b1 et b2 par « transport parallèle le long d’unecourbe ».

24 Chapitre 2. Connexions

Remarque 2.1.2. — 1. Le premier point est facilement descriptible en termes de cadres lo-caux.

2. Les second et troisième points s’appliquent aussi bien aux fibrés principaux qu’aux fibrésvectoriels.

Avant de continuer, examinons de plus près les problèmes à résoudre.

Problème 2.1 (différentier les sections). — Pour toute fonction f ∈ C∞(B,R), on obtientune 1-forme globale df sur B. Plus précisément, nous avons un opérateur d : C∞(B,R) −→Ω1(B) = Ω0(B, T ∗B) qui associe à une fonction sa différentielle. Rappelons que dfb : TbB −→ R

est définie par dfb(Xb) = X(f)(b) = ddtf(γ(t))

∣∣t=0

pour tout Xb ∼ [γ(t)].On peut faire de même pour f : B −→ Rn. Pour tout Xb ∼ [γ(t)], on a d

dtf(γ(t))∣∣t=0

=

(d(f1)b(Xb), . . . , d(fn)b(Xb)). Ainsi df = (df1, . . . , dfn) mesure les variations de f le long de γ(t),c’est-à-dire df ∈ Ω0(B, T ∗B ⊗ Rn). D’où

d : C∞(B,Rn) −→ Ω0(B, T ∗B ⊗ Rn) = Ω1(B,Rn).

On peut se demander ce qu’il en est pour une section s : B −→ E, c’est-à-dire s ∈ Ω0(B,E).Le problème est de donner un sens à d

dts(γ(t))∣∣t=0

. En fait s(γ(t)) ∈ Eγ(t) et s(γ(0)) ∈ Eγ(0) nepeuvent être identifiés, donc on ne peut pas évaluer s(γ(t))− s(γ(0)).

Si nous avions une façon de relier/identifier lesEγ(t) (àEγ(0)) le long de γ(t), alors nous pourrionsmesurer les variations de s le long de γ(t). Ainsi une méthode pour résoudre notre problème estde spécifier comment transporter Eb le long de γ(t), c’est-à-dire définir le transport parallèle.

Sans entrer dans les détails (qui seront examinés dans la section 2.3), pour définir le transportparallèle le long d’un chemin dans B nous avons besoin de spécifier comment un chemin dans Bse remonte en un chemin dans E ; un tel relèvement est appelé relèvement horizontal. Ceci nouspermet de définir un relèvement des vecteurs tangents à B en des vecteurs tangents à E. En clair,on obtient une identification de TbB avec un sous-espace He de TeE pour tout e ∈ Eb. Le sous-espace He est un complémentaire dans TeE du sous-espace Ve des vecteurs verticaux, d’où unscindement TeE = Ve ⊕He.

Problème 2.2 (scindement de TE). — Prenons un fibré vectoriel π : E −→ B lisse et de rangn (sur C ou R). Étant donnée une trivialisation locale E

∣∣U' U ×Rn, nous avons TeE = TbU ⊕Rn

pour tout e ∈ E∣∣U

avec b = π(e). C’est local mais non canonique, donc nous recherchons une règleglobale pour scinder TeE = Fibre⊕ Base.

Un vecteur Xe ∈ TeE s’identifie au germe Xe ∼ [γ(t)], où γ(t) est un chemin passant ene à t = 0. Les vecteurs le long de la fibre (ou vecteurs verticaux) π−1(b) correspondent auxchemins γ(t) à valeurs dans π−1(b), c’est-à-dire tels que π(γ(t)) = b pour tout t. Mais la projectionπ : E −→ B induit l’application π∗ : TE −→ TB définie par [γ(t)] 7→ [π(γ(t))]. Ainsi π∗[γ(t)] = 0

pour tout chemin γ(t) à valeurs dans la fibre π−1(b). Par conséquent le sous-espace vectorielVe = Ker(π∗ : Te −→ TbB) ⊂ TeE est isomorphe à l’espace des directions le long de la fibre.

Continuons avec un traitement complet des connexions linéaires, en commençant par la

Définition 2.1.3. — Pour un fibré vectoriel E −→ B, une connexion est une application

D : Ω0(B,E) −→ Ω0(B, T ∗B ⊗E) = Ω1(B,E)

telle que :

2.1 Définition et premières propriétés 25

1. D est linéaire.

2. D(λs) = dλ⊗ s+ λDs, où λ ∈ C∞(B,R) et s ∈ Ω0(B,E).

Lemme 2.1.4. — Le second point garantit que D est un opérateur local, c’est-à-dire que Ds(b)dépend seulement de s au voisinage de b.

Démonstration. — Prenons un voisinage ouvert U de b et définissons une « fonction bosse » lissef sur U tel que f ≡ 1 sur V (⊂ U) au voisinage de b et f ≡ 0 hors de U . Alors D(fs) = df⊗s+fDsimplique D(fs)(b) = Ds(b). Mais fs est nulle hors de U , d’où le résultat.

Par conséquent la description locale de D est possible, c’est-à-dire que l’on peut utiliser descadres locaux pour obtenir une description locale de D. Soit Ψ : E

∣∣U

∼−→ U ×Rn une trivialisationlocale, de cadre local correspondant eini=1. Ainsi ei(b) = Ψ−1(b, ei), où ei est la base canoniquede Rn. Au-dessus de U , la section s a une description locale s =

∑siei avec si : U −→ R. Les

deux axiomes de la définition 2.1.3 impliquent Ds =∑dsi ⊗ ei + si(Dei).

Lemme 2.1.5. — La connexion D vérifie Dei =∑

j ωji⊗ej , où les ωji sont des 1-formes définiessur U .

Démonstration. — Dei est une section (locale) de T ∗U ⊗ E et toute section de T ∗U ⊗ E a pourexpression

∑j ωjiej . Remarquons que ωji ne dépend que de D et de ei mais pas de s. Alors

Ds =∑

i,j

(dsi + ωjisj)⊗ ei.

Si l’on identifie s = (s1, . . . , sn)t, nous voyons que

D

s1...sn

= (d+ ω)

s1...sn

,

où ω = (ωji) est une matrice n× n de 1-formes sur U . Ainsi D = d+ ω.

Nous écrirons par conséquent

(2.1.1) D = d+ ω.

Certains auteurs notent une connexion ω ou ∇. Ici, nous utiliserons la notation ∇ uniquementdans le cas du fibré tangent TM .

Remarque 2.1.6. — Si E = B×Rn, alors une seule carte est requise. Choisissons dans ce cas un

cadre global ei. Tout matrice ω de 1-formes donne lieu à une connexion D = d+ω. En particulierω = 0 implique D = d.

Si le fibré E =∐Uα ×Rn/gαβ n’est pas trivial et si eαi est un cadre local sur Uα, alors on

doit examiner de plus près les conditions de compatibilité de la description locale. Supposons queD = d+ ωα au-dessus de Uα et D = d+ ωβ au-dessus de Uβ . Alors Deαi = ωαjie

αj . Or eαi = gαβji e

βj ,

d’où

Deαi = D(gαβji eβj ) = dgαβji ⊗ eβj + gαβji De

βj = dgαβji g

βαkj ⊗ eαk + gαβji ω

βkjg

βα`k ⊗ eα`

=((gβα · dgαβ)`i + (gβαωβgαβ)`i

)⊗ eα` .


Les conditions de compatibilité impliquent

(2.1.2) ωα = gβαωβgαβ + gβα · dgαβ .

Nous avons ainsi démontré la

Proposition 2.1.7. — La connexion D est déterminée par une famille ωα de matrices ωα de1-formes sur Uα reliées par (2.1.2) sur Uα ∩ Uβ.

Remarque 2.1.8. — On ne peut pas prendre ωα ≡ 0 puisque (2.1.2) n’est pas toujours vérifiée.Par contre on peut le faire lorsque dgβα = 0, c’est-à-dire lorsque gβα : Uα ∩ Uβ −→ GL(n) estlocalement constante.

Définition 2.1.9. — Si le fibré π : E −→ B admet une description E =∐Uα × R

n/gαβ avecdgαβ = 0, alors le fibré est dit plat. Dans ce cas, on peut définir une connexion D = d avec descadres locaux plats.

Le crochet [ · , · ] s’étend aux connexions. Pour D =∑i ωiei, nous obtenons par exemple

[D,D] =∑

i,j

(ωiωj − ωjωi)[ei, ej ].

Lemme 2.1.10. — Toute connexion D vérifie [D, [D,D]] = 0.

Démonstration. — Tout d’abord

Di ∧Dj ∧Dk(X ∧ Y ∧ Z) =∑

σ

ε(σ)Dσ(i)(X)Dσ(j)(Y )Dσ(k)(Z)

= Di(X)Dj(Y )Dk(Z)−Di(X)Dk(Y )Dj(Z)−Dj(X)Di(Y )Dk(Z)

−Dk(X)Dj(Y )Di(Z) +Dj(X)Dk(Y )Di(Z) +Dk(X)Di(Y )Dj(Z).

En omettant la somme sur i, j, k et le symbole ∧ pour les 1-formes, nous obtenons

[D, [D,D]](X ∧ Y ∧ Z) = DiDjDk(X ∧ Y ∧ Z)[ei, [ej , ek]]

= −DiDjDk(X ∧ Y ∧ Z)([ej , [ek, ei]] + [ek, [ej , ei]]

)

= −(Dj(Y )Dk(Z)Di(X) +Dj(Z)Dk(Y )Di(X) +Dj(X)Dk(Z)Di(Y )

+Dj(Y )Dk(X)Di(Z) +Dj(X)Dk(Y )Di(Z) +Dj(Z)Dk(X)Di(Y ))[ej , [ek, ei]]

−(Dk(Z)Dj(Y )Di(X) +Dk(Y )Dj(Z)Di(X) +Dk(Z)Dj(X)Di(Y )

+Dk(X)Dj(Y )Di(Z) +Dk(Y )Dj(X)Di(Z) +Dk(X)Dj(Z)Di(Y ))[ek, [ei, ej ]]

= −2(Dj(Y )Dk(Z)Di(X) +Dj(Z)Dk(Y )Di(X) +Dj(X)Dk(Z)Di(Y )

+Dj(Y )Dk(X)Di(Z) +Dj(X)Dk(Y )Di(Z) +Dj(Z)Dk(X)Di(Y ))[ek, [ej , ei]]

= −2[D, [D,D]](X ∧ Y ∧ Z).

2.2 Existence de connexions et transport parallèle 27

2.2. Existence de connexions et transport parallèle

Soit π : E −→ B un fibré vectoriel réalisé comme

E = (∐

Uα × Rn)/gαβ.

Nous allons décrire deux méthodes pour construire une connexion sur E. Ces deux méthodesutilisent des connexions Dα définies sur E

∣∣Uα

, des trivialisations locales ψα : E∣∣Uα−→ Uα × Rn

et une partition de l’unité ρα subordonnée au recouvrement Uα. Ces deux connexions sontdéfinies par :

(2.2.1) D1 =∑

α

Dα ρα et D2 =∑

α

ραDα

La connexion Dα est définie sur E∣∣Uα

en choisissant une connexion Dα sur Uα×Rn puis en posant

Dα = ψ−1α Dα ψα, c’est-à-dire Dα(s) = ψ−1

α (Dα(ψα(s))).

Remarque 2.2.1. — De façon générale, étant donnés un isomorphisme de fibrés h : E −→ F etune connexion D sur F on définit une connexion h∗D sur E en posant h∗D = h−1 D h.

Dans la définition de D2, les termes de la somme sont de la forme

(ραDα(s))(b) = ρα(b)Dα(s)(b) =

ρα(b)Dα(s)(b) si b ∈ Uα,0 sinon.

Examinons maintenant la connexion D1. Nous avons

(Dαρα)(s) = Dα(ρ · α(s)) = dρα ⊗ s+ ραDα(s),

doncD1(s) = D2(s) +

∑

α

dρα ⊗ s,

c’est-à-dire D1−D2 =∑

α dρα⊗ Id. Remarquons que hors de Uα on a dρα = 0, puisque le supportde ρα est dans Uα. La différence entre D1 et D2 est instructive.

Remarque 2.2.2. — La 1-forme D1 −D2 est à valeurs dans End(E).

Ceci illustre le fait général suivant.

Proposition 2.2.3. — Si D1 et D2 sont deux connexions sur un fibré vectoriel π : E −→ B,alors

D1 −D2 ∈ Ω0(B, T ∗B ⊗ End(E)) = Ω1(B,End(E)).

Démonstration. — La différenceD1−D2 est linéaire pour les constantes. Elle est également linéairepour les fonctions, puisque (D1 − D2)(fs) = (df ⊗ s + fD1(s)) − (df ⊗ s + fD2(s)) = f(D1 −D2)(s).

Remarque 2.2.4. — Pour un cadre local eαi ni=1 de E, une section de T ∗M ⊗End(E) est loca-lement une matrice de 1-formes ωα. Au-dessus de Uα, les matrices ωα et ωβ sont reliées par lesfonctions de transition :

ωα = gαβωβgβα.

Si (D1 −D2)(fs) = f(D1 −D2)(s), alors la description locale aura également cette propriété.

On a vu que D1 −D2 ∈ Ω1(B,End(E)). Réciproquement, si θ ∈ Ω1(B,End(E)) alors on peutdéfinir (D1 + θ)(s) = D1(s) + θ(s) ; c’est en fait une connexion. D’où la


Proposition 2.2.5. — Si A(E) est l’espace des connexions sur E, alors A(E) = D0 +

Ω1(B,End(E)) pour une connexion fixée D0. Plus précisément A(E) est un espace affine dedimension infinie et d’espace vectoriel sous-jacent Ω1(B,End(E)).

Définition 2.2.6. — Pour une connexion D et un champ de vecteurs X , la dérivée covariante dela section s le long de X est DXs. Ceci signifie que localement DXs = dXs+(ω(X))s ∈ Ω0(B,E) ;ainsi (DXs)(b) = (dXb

s) + ω(Xb)s(b), c’est-à-dire que la dérivée covariante ne dépend que deXb ∈ TbB.

2.3. Sections parallèles et équations différentielles

Soit D une connexion sur un fibré E −→ B de rang n sur une variété B de dimension m.

Définition 2.3.1. — Une section s ∈ Ω0(B,E) vérifiant Ds = 0 est dite parallèle.

On peut légitimement se demander s’il existe une solution à l’équation Ds = 0. Pour un cadrelocal, si s = (s1, . . . , sn)

t et D = d + ω, alors la condition de parallélisme est dsi +∑

j ωijsj = 0

pour tout i. Dans des coordonnées locales (x1, . . . , xn) sur B, cela revient à résoudre le systèmed’équations

m∑

k=1

∂si∂xk

+ (ωkijsj)dxk = 0 pour tout i = 1, . . . , n

avec ωij = ωkijdxk. C’est un système d’équations aux dérivées partielles pour lesquelles l’existencede solutions n’est pas garantie. Nous allons examiner un cas particulier dans lequel une solutionest possible.

Étant donnée une courbe γ dans B, examinons la section le long de la courbe s(γ(t)). Rappelonsque l’on obtient un champ de vecteurs le long de γ, noté γ(t). C’est la vitesse du champ de vecteurs,définie par

γ(t)(f) =∂

∂τf(γ(τ))

∣∣τ=t

.

Examinons Dγs, la dérivée covariante de s le long de γ(t) ; plus précisément, étudions les solutionsde Dγs(γ(t)) = 0.

Lemme 2.3.2. — L’équation Dγs(γ(t)) = 0 est (localement) un système d’équations différen-tielles ordinaires linéaires et du premier ordre.

Démonstration. — Pour un cadre ei de E, on peut écrireD = d+ω et s = (s1, . . . , sn)t. Les équa-

tions en jeu deviennent dsi+∑

j ωijsj = 0. Ainsi Dγs = 0 s’écrit dγ(t)si+∑j ωij(γ(t))sj(γ(t)) = 0.

Mais dγ(t)si = γ(t)(si) = ∂∂τ si(γ(τ))

∣∣τ=t

. Posons si(t) = si(γ(t)) et ωij(t) = ωij(γ(t)). Alors

∂

∂τsi(t) +

∑

j

ωij(t)sj(t) = 0 pour tout i = 1, . . . , n.

Par conséquent, il y a une unique solution si l’on spécifie des conditions initiales si(0) = si(γ(0)).Cette solution est valide partout où γ(t) est défini et reste dans une carte. Si γ change de carte,un petit argument permet de recoller les solutions. Finalement, la solution est une courbe dans E,appelée le relèvement horizontal de γ et notée γh.

2.3 Sections parallèles et équations différentielles 29

Remarque 2.3.3. — On peut toujours relever un chemin de B à E. Cependant, nous avonsconstruit un relèvement très spécial ayant certaines propriétés de parallélisme. Ceci nous conduità la :

Définition 2.3.4. — Le relèvement horizontal définit une application TbB −→ TeE d’expressionX ∼ [γ(t)] 7→ [γh(t)] ∼ Xh. Le champ de vecteurs Xh est dit relèvement horizontal du vecteurX . L’image He de cette application est un sous-espace de dimension n de TeE, appelé sous-espacehorizontal, complémentaire du sous-espace vertical Ve = Ker(π∗ : Te −→ TbB) ⊂ TeE.

chemin

e′

b′b

e

π−1(b) π−1(b′)relèvement

horizontal

Figure 2.1. Relèvement horizontal d’un chemin

Pour b, b′ ∈ B, nous recherchons une façon de comparer les fibres Eb et Eb′ au-dessus de b et b′

respectivement. Soit γ : [0, 1] −→ B un chemin tel que γ(0) = b et γ(1) = b′. Soit γh le relèvementhorizontal de γ tel que γh(0) = e, comme illustré sur la figure 2.1. Alors la fonction e 7→ γh(1)

dépend du choix du choix du chemin γ.

b

e

e′

π−1(b)

chemin

horizontal

relèvement

Figure 2.2. Le relèvement d’un lacet n’est forcément pas un lacet

Par exemple, si b = b′ alors γ est un lacet de base b. Cependant rien n’oblige le relèvementhorizontal γh à être un lacet, comme illustré sur la figure 2.2. En fait γh(1) = T · γh(0), où T

est une transformation linéaire de la fibre. Cette application linéaire est appelée la transformationd’holonomie ; elle correspond à l’action du groupe fondamental de la base sur un de ses revêtements.


Supposons que l’on ait n solutions s1, . . . , sn de l’équation Ds = 0 telles que la famille sidéfinisse un cadre local au-dessus de U ⊂ B. Alors pour tout e ∈ Eb on peut écrire e =

∑λisi(b).

Posons se =∑λisi. Considérons l’application U ⊂ B −→ E définie par se ainsi que l’application

(se)∗ : Tb′B −→ Tse(b′)E induite sur les espaces tangents.

Lemme 2.3.5. — se(U) est une sous-variété de E passant en e. De plus (se)∗(Tb′B) = He ⊂Tse(b′)E.

Démonstration. — La première partie du lemme est en fait vraie pour toute section. Plus précisé-ment, si s : B −→ E est une section alors s est localement de la forme x 7→ (x, σ(x)), c’est-à-direRm −→ Rm × Rn. Considérons la matrice

s∗ =

(Idm∂σi

∂xj

).

des dérivées partielles de s. Le rang de s∗ est toujours m et donc l’image de s est une sous-variétéde dimension m.

Pour X ∼ [γ(t)], on a (se)∗(X) ∼ [se(γ(t))]. Ainsi, il nous suffit de vérifier que se(γ(t)) estun relèvement horizontal. Mais c’est vrai d’après la définition de s. Par conséquent, l’image estcontenue dans He et l’application est injective via notre description locale. Il s’ensuit que lesdimensions concordent et l’on obtient (se)∗(Tb′B) = He. Nous avons ainsi démontré que He ⊂ TeEest un sous-espace m-dimensionnel.

L’ensembleH =

⊔

e∈E

He ⊂ TE

définit une distribution. Puisque les n solutions si de Ds = 0 sont linéairement indépendantes, onen déduit que H est une distribution intégrable (pour tout e ∈ E, il existe une sous-variété Hpassant en e telle que TH = He).

2.4. Obstruction à l’intégrabilité dans le cas d’une section parallèle

Rappelons qu’étant donnée une section s ∈ Ω0(B,E) parallèle (c’est-à-dire vérifiant Ds = 0)d’un fibré E −→ B, nous avons :

1. s(B) est une sous-variété de E (vrai pour tout section).

2. Ts(b)(s(B)) = s∗(TbB) = Hs(b) ⊂ Ts(b)E. Pour tout cadre parallèle s1, . . . , sn (où n estle rang du fibré), on obtient une telle sous-variété en chaque point. On appelle s(B) unesous-variété intégrable pour Hs(b).

Par conséquent, si nous avons des cadres parallèles alors la distribution horizontale⋃e∈E He =

H ⊂ TE est intégrable.

Remarque 2.4.1. — Réciproquement, si la distribution horizontaleH est intégrable alors il existeune sous-variété intégrable en tout point. Par conséquent une base ei(b) de Eb peut s’étendre enun cadre parallèle local.

Tout ce qui suit repose sur le théorème de Frobénius. Soit D ⊂ TM une distribution telleque dim(Dx) = d pour tout x. On peut se demander à quelle condition D est une distributionintégrable. D’après le théorème de Frobénius, une condition d’intégrabilité est que pour tous X ,

2.4 Obstruction à l’intégrabilité dans le cas d’une section parallèle 31

Y ∈ D, le crochet de Lie [X,Y ] de X et Y est également dans D. Nous dirons dans ce cas que Dest involutive.

Il existe une version plus pratique de cette condition, en termes de formes différentielles. Consi-dérons l’idéal ID annihilateur de D dans ∧1T ∗M , ainsi que ID = β∧α ; α ∈ ID. Plus précisément

ID = α ∈ ∧1T ∗M ; α(X) = 0 pour tout X ∈ D.

Exemple 2.4.2. — Si M = Rn et Dx = R ∂∂x1 ⊂ TxM , alors ID est engendré par

dx1, . . . , dxn.

La condition sur ID correspondant à l’involutivité de D est dID ⊂ ID ; on dit alors que ID estun idéal différentiel.

Le théorème de Frobénius affirme en fait que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :

1. dID ⊂ ID.

2. D est involutive.

3. Pour tout x ∈ M , il existe une sous-variété intégrable passant en x ; de plus si i : S −→ M

alors i∗(TsS) = Dx, comme illustré dans la figure 2.3.

M

S

sx

Dx

Figure 2.3. Sous-variété intégrable

Afin d’appliquer ceci à H ⊂ TE, nous avons besoin de calculer IH .

Lemme 2.4.3. — Fixons des coordonnées locales (y1, . . . , yn) sur les fibres. Alors IH est engendrépar dyi +

∑j ωijyj.

En fait (dyi +∑j ωijyj)e(Xh) = 0 pour tout Xh ∈ He. Ceci découle du fait que Xh ∼ [γh(t)]

pour un relèvement horizontal particulier γh(t).

Examinons ce que signifie dIH ⊂ IH . On a d(dyi + ωijyj) = d(ωijyj) = (dωij)yj − ωij ∧ dyj .Écrivons dyj = (dyj + ωjkyk) − ωjkyk. On peut démontrer que d(dyi + ωijyj) = (dω + ω ∧ ω)yjmodulo IH . Par conséquent, si dω + ω ∧ ω est nulle alors dIH ⊂ IH et la distribution horizontaleest intégrable.

Définition 2.4.4. — La matrice de 2-formes FD = Fω = dω+ω∧ω est appelée courbure de D.

Lemme 2.4.5. — Si les ωα sont des 1-formes de connexion pour une trivialisation locale Uαet si Fα = dωα + ωα ∧ ωα, alors Fα définit une section globale du fibré ∧2T ∗B ⊗ End(E). Parailleurs FD = Fα, et ainsi Fω = FD = Fα ∈ Ω0(B,∧2T ∗M ⊗ End(E)).


Démonstration. — Soit eαi un cadre local au-dessus de Uα. Notons gβα les fonctions de tran-sition. Le diagramme suivant doit être commutatif :

Rn

Fα //

gβα

Rn

gβα

Rn

Fβ // Rn

D’une part nous avons ωα = gαβωβgβα + gαβdgβα. D’autre part gαβgβα = 1 implique dgαβgβα +

gαβdgβα = 0. Le calcul consécutif au remplacement de ωα par sa valeur dans Fα = dωα +ωα ∧ωαachève la démonstration.

Une définition alternative de la courbure d’une connexion est FD = D2. Cependant elle né-cessite de donner un sens à D2. Dans la section suivante, nous construirons plus généralementD : Ωp(B,E) −→ Ωp+1(B,E).

2.5. Courbure d’une connexion

2.5.1. Généralisation des notions de connexion et de courbure. — Rappelons que lacourbure FD d’une connexion D est dans Ω0(B,∧2T ∗B⊗End(E)) ' Ω2(B,End(E)). Si D = d+ω

pour un cadre local, alors FD s’exprime localement sous la forme FD = dω + ω ∧ ω.

Proposition 2.5.1. — Une connexion D : Ω0(E) −→ Ω1(E) sur E est l’unique extension enD : Ωp(E) −→ Ωp+1(E) linéaire et vérifiant D(α∧σ) = dα∧σ+(−1)qα∧Dσ pour tous α ∈ Ωq(B)

et σ ∈ Ωp(E).

Lemme 2.5.2. — Nous avons FD = D D = D2, c’est-à-dire FD(s) = D(Ds) pour tout s ∈Ω0(B,E). Ici le second D est l’extension de D à Ω1(B,E) −→ Ω2(B,E).

Démonstration. — Examinons Ω0(E)D−→ Ω1(E)

D−→ Ω2(E). Pour un cadre local ei pour E,nous avons D = d+ ω et toute section au-dessus de Uα s’écrit s =

∑i siei. Alors Ds =

∑i(dsi +∑

j ωijsj)ei, d’où

D(Ds) =∑

i

(d(dsi +

∑

j

ωijsj

)+∑

k

ωik

(dsk +

∑

j

ωkjsj

))ei

=∑

i

((∑

j

(dωij)sj − ωijdsj)

+(∑

k

ωikdsk

)+(∑

k

∑

j

ωikωkjsj

))ei

=∑

i

∑

j

(dωij)sjei +∑

i

∑

j

(∑

k

ωikωkj

)sjei

= dω(s) + ω ∧ ω(s).

Dans la suiteΩ0(E)

D−→ Ω1(E)D−→ Ω2(E) −→ · · ·

nous avonsD2 = FD 6= 0 en général. Ainsi la courbure mesure l’échec de la suite à être un complexe(à la différence du complexe de Rham C∞ d−→ Ω1(M)

d−→ Ω2(M) −→ · · · dans lequel d2 = 0).

Définition 2.5.3. — Une connexion D telle que FD = 0 est dite plate.

2.5 Courbure d’une connexion 33

Si E admet une connexion D plate, alors on peut choisir un cadre local eαi tel que Deαi = 0.Ainsi ωα = 0, c’est-à-dire D = d au-dessus de Uα. Il s’ensuit que gαβ est constante. En d’autrestermes

existence d’une connexion plate ⇐⇒ existence d’une structure plate.

Remarque 2.5.4. — Même si FD = 0, on peut quand même avoir de l’holonomie. Cependant, siFD = 0 alors l’holonomie ne dépend que du type d’homotopie des lacets. Dans ce cas, on obtientune représentation du groupe fondamental π1(B) de B dans GL(k,R), appelée représentationd’holonomie et définie par [γ] 7→ holonomie autour de γ.

Remarque 2.5.5. — La réciproque est également vraie ; plus précisément, étant donnée une re-présentation de π1(B) dans GL(n,R) on obtient un fibré plat GL(n,R).

Voici une seconde interprétation de la courbure.

Proposition 2.5.6. — Si X et Y sont deux champs de vecteurs sur B, alors

FD(X,Y ) = DXDY −DYDX −D[X,Y ].

En particulier, si [X,Y ] = 0 alors FD(X,Y ) = DXDY −DYDX . En clair FD mesure l’échec deDX et DY à commuter lorsque [X,Y ] = 0.

Démonstration. — Fixons b ∈ B. La courbure FD(X,Y ) se décrit localement par FD(X,Y ) =

dω(X,Y ) + ω ∧ ω(X,Y ). Pour des 1-formes α et β nous avons(2.5.1)dα(X,Y ) = X(α(Y ))− Y (α(X))− α([X,Y ]) et (α ∧ β)(X,Y ) = α(X)β(Y )− α(Y )β(X),

que nous appliquons à dω et ω ∧ ω afin d’obtenir

FD(X,Y ) = Xω(Y )− Y ω(X)− ω([X,Y ])

+ω(X)ω(Y )− ω(Y )ω(X).

D’autre part

DX(DY s) = DX(dY s+ ω(Y )s) = dX (dY s+ ω(Y )s) + ω(X)(dY s+ ω(Y )s)

= X(Y (s)) +X(ω(Y ))s+ ω(Y )X(s) + ω(X)Y (s) + ω(X)ω(Y )s.

Donc

DX(DY s)−DY (DXs)−D[X,Y ] = X(Y (s)) +X(ω(Y ))s+ ω(Y )X(s) + ω(X)Y (s) + ω(X)ω(Y )s

−Y (X(s))− Y (ω(X))s− ω(X)Y (s)− ω(Y )X(s)− ω(Y )ω(X)s

−d[X,Y ]s− ω([X,Y ])s

= X(Y (s)) − Y (X(s))− d[X,Y ]s

+X(ω(Y ))s− Y (ω(X))s− ω([X,Y ])s

+ω(X)ω(Y )s− ω(Y )ω(X)s

et la proposition est démontrée.

On vérifie également que

(2.5.2) F = dD +1

2[D,D].


2.5.2. Identité de Bianchi. — Si un fibré vectoriel E −→ B admet une connexion plate D(c’est-à-dire telle que FD = 0), alors on peut choisir un cadre local eαi sur Uα tel que Deαi = 0

(ωα = 0). Si γ(t) est une courbe dans B vérifiant γ(0) = b, soit γe(t) son relèvement horizontalpassant en γe(0) = e ∈ Eb.

Remarque 2.5.7. — Pour le cadre eαi , on a γe(t) =∑γαi (t)eαi (γ(t)) avec (γαi )′(t) +

ωαij(γ′(t))γαj (t) = 0. Mais ωαij = 0, c’est-à-dire (γαi )′(t) = 0. Par conséquent γαi (t) est constante.

Soit maintenant γ(t) un lacet avec γ(1) = γ(0) = b. L’holonomie autour de γ(t) provient du faitque γe(1) n’est pas forcément égal à γe(0) (puisque γ(t) n’est pas toujours d’image contenue dansun ouvert trivialisant Uα).

Supposons que l’image de γ(t) est contenue dans les ouverts trivialisants U0, U1, . . . , UN . Fixons0 < t1 < t2 < · · · < tN+1 < 1 tels que γ(tα) ∈ Uα−1∩Uα pour α = 1, . . . , αN et γ(tN+1) ∈ UN ∩U0.Supposons que

γe(0) =∑

γ0i e

0i (0), γe(t1) =

∑γ1i e

1i (t1), . . . γe(tα) =

∑γαi e

αi (tα).

Alors la condition de relèvement horizontal implique γ(t) =∑γ0i e

0i (t) pour 0 < t ≤ t1 (γ est

constant pour le cadre e0i (t)). En t1 on change pour le cadre e1i (t), donc γ(t1) =∑

(g10ij γ

0j )e

1j (t1),

c’est-à-dire (γ1i ) = g10

ij γ0j . Il s’ensuit que

γα = gαα−1 γα−1

à chaque changement. Donc après avoir fait le tour du lacet nous avons

γ0;

[g0N gNN−1 · · · g10

]︸︷︷︸

T=holonomie

γ0.

Si le lacet γ(t) reste dans un seul ouvert Uα, alors γ(1) = γ(0). Il s’ensuit que l’holonomie esttriviale.

Corollaire 2.5.8. — Deux chemins homotopes produisent la même holonomie. Ainsi, on obtientune représentation d’holonomie ρ : π1(B) −→ GL(k).

Réciproquement, fixons une représentation ρ : π1(B) −→ GL(k). Construisons un fibré vectoriel(plat) E −→ B qui admet une connexion plate D produisant ρ comme représentation d’holonomie.

Soit p : B −→ B le recouvrement universel de B. Puisque le groupe fondamental π1(B) agit surB, posons E = B ×ρ Rn = B × Rn/π1(B) avec (b, v) ∼ (γb, ρ(γ)v).

Proposition 2.5.9. — L’application E −→ B est un Rn-fibré plat pouvant être muni d’uneconnexion plate qui induit ρ : π1(B) −→ GL(n) en tant que représentation d’holonomie.

Remarque 2.5.10. — Plus généralement, pour tout représentation ρ : π1(B) −→ G, on peutvérifier que P = B ×ρ G est un G-fibré principal plat pouvant être muni d’une connexion plate.

Soit une connexionD sur un fibré vectoriel E −→ B, de courbure FD. Supposons que localementD = d+ ω et FD = Fω = dω + ω ∧ ω au-dessus de U . Alors Fω est une matrice de 2-formes sur Uet

dFω = dω ∧ ω − ω ∧ dω = (Fω − ω ∧ ω) ∧ ω − ω ∧ (Fω − ω ∧ ω) = Fω ∧ ω − ω ∧ Fω.En d’autres termes Fω satisfait à l’identité de Bianchi

(2.5.3) dFω + ω ∧ Fω − Fω ∧ ω = 0.

2.6 Connexions induites 35

Si on pose [ω, F ] = ω ∧ Fω − Fω ∧ ω, alors cette égalité devient

(2.5.4) dFω + [ω, F ] = 0.

Nous pouvons donner à l’identité de Bianchi une description globale, à savoir D(FD) = 0.Cependant il nous faut déjà définir D(FD) = 0, ce qui nécessite un détour par le domaine desconnexions induites. L’explication surgira au détour de la remarque 2.6.2.

2.6. Connexions induites

2.6.1. Connexion induite sur E1 ⊕ E2. — Pour deux connexions Di sur Ei (i = 1, 2), défi-nissons D⊕ = D1 ⊕D2 de la façon suivante. Si localement Di = d+ ωi, alors

D⊕ = d+

(ω1 0

0 ω2

)

avec somme directe des cadres. Plus précisément, si s = s1⊕s2 ∈ Ω0(E1⊕E2) alors D⊕(s1⊕s2) =

D1(s1)⊕D2(s2). C’est une connexion de courbure locale

F⊕ω =

(Fω1 0

0 Fω2

).

2.6.2. Connexion induite sur E1⊗E2. — Pour deux connexions Di sur Ei (i = 1, 2), posonsD⊗(s1 ⊗ s2) = D1(s1)⊗ s2 + s1 ⊗D2(s2), c’est-à-dire

D⊗ = D1 ⊗ I2 + I1 ⊗D2.

C’est une connexion de courbure

F⊗D = F1 ⊗ I2 + I1 ⊗ F2,

c’est-à-dire F⊗D (s1 ⊗ s2) = F1(s1)⊗ s2 + s2 ⊗ F2(s2).

2.6.3. Connexion induite sur E∗. — Fixons une connexion D sur E −→ B. On peut définirune connexion D∗ sur E∗ telle que si s∗ ∈ Ω0(E∗) et t ∈ Ω0(E), alors [s∗(t)]b = s∗b(tb) est pourtout b ∈ B une fonction lisse sur la base B. On peut ainsi prendre la différentielle

ds∗(t) = (D∗s∗)(t) + s∗(D(t)).

Construisons D∗. Pour le cadre local ei de E, on a D = d+ ω. De même, pour le cadre localdual e∗i de E∗ nous avons D∗ = d+ ω∗. D’où

e∗i (b)(ej(b)) = δij , de∗i (ej) = 0, Dei = ωjiek, D∗e∗j = ω∗kje

∗k.

Par conséquent il est nécessaire que 0 = de∗i (ej) = (ω∗ki ⊗ e∗k)(ej) + e∗i ⊗ (ωkjek) = ω∗

ji + ωij ,c’est-à-dire

ω∗ = −ωt.Réciproquement, on vérifie que −(ωα)t définit une connexion sur E∗.


2.6.4. Connexion induite sur Hom(E1, E2) ' E2⊗E∗1 . — En combinant les sous-sections 2.6.2

et 2.6.3, on peut obtenir une connexion sur E1 ⊗E∗2 ' Hom(E2, E1). Elle est définie par

D = D2 ⊗ I1 + I2 ⊗D∗1 .

Décrivons-la directement. Donnons-nous h : E1 −→ E2 et fixons des bases e(1)i et e(2)i deE1 et E2 respectivement. Dans ces bases, nous avons h = (hij). Soit eij = e

(2)i ⊗ (e

(1)j )∗. Alors

D(eij) = ω(2)ki e

(2)k ⊗ (e

(1)j )∗ + e

(1)i ⊗ ω

(1)∗

kj (e(1)k )∗ = ω

(2)ki e

(2)k ⊗ (e

(1)j )∗ − ω(1)

jk e(2)i ⊗ (e

(1)k )∗.

Mais h =∑hij(e

(2)i ⊗ (e

(1)j )∗), où eij est vue en tant que base de Hom(E1, E2) via (e

(2)i ⊗

(e(1)j )∗)(s) = (e

(1)j )∗(s)e

(2)i . On en déduit

D(h) =∑

(dh+ ω(2)h− hω(1))ij e(2)i ⊗ (e

(1)j )∗,

c’est-à-direD(h) = dh+ ω(2)h− hω(1)

en considérant h = (hij) dans la base eij.

Exemple 2.6.1. — En particulier, si E1 = E2 = E alors Hom(E1, E2) = End(E). La connexionD sur E induit une connexion D sur End(E) ayant la propriété suivante. Dans un cadre local, siD = d+ ω sur E et u ∈ Ω0(End(E)) alors

D(u) = du+ ωu− uω = du+ [ω, u]

sur End(E).

Remarque 2.6.2. — On peut utiliser l’extension de D sur End(E) pour définir la dérivée cova-riante

D : Ωp(End(E)) −→ Ωp+1(End(E)).

Appliquons cette dérivée covariante à FD ∈ Ω2(End(E)) pour calculer D(FD). Dans un cadre localon a D(Fω) = dFω + [ω, Fω] avec D = d + ω. Ainsi l’identité de Bianchi affirme que D(FD) = 0.Nous avons ainsi la clef pour comprendre la fin de la sous-section 2.5.2.

2.6.5. Connexion induite sur un fibré tiré en arrière. — Construisons une connection surf∗(E) via

E

π

X

f // B

Soient D une connexion sur E et eαi un cadre local de E au-dessus de Uα. Soit f∗(eαi ) le cadrede f∗(E) tiré en arrière au-dessus de f−1(Uα), défini par f∗(eαi )(x) = eαi (f(x)). Supposons queD = d+ ωα selon eαi .

Lemme 2.6.3. — f∗(ωα) définit une 1-forme de connexion sur f−1(Uα) (pour le cadre f∗(eαi )).

Démonstration. — Étant donné un champ de vecteurs Y sur f−1(Uα) ∈ X , on a f∗(ωαx )(Y ) =

ωαf(x)(f∗Y ). Plus précisément, on définit la connexion f ∗(D) sur f∗(E) de sorte à avoirf∗(DY )(f∗s) = DfY (s).

2.7 Connexions induites 37

Une connexion sur E nous fournit une connexion sur End(E) = Hom(E,E) ' E ⊗E∗. Pour unchoix de cadre local, on a vu que D(h) = dh+ [ω, h].

On peut démontrer que si h ∈ Ω0(End(E)) et s ∈ Ω0(E), alors D(hs) = D(h)s + hD(s).Ici D(h) ∈ Ω1(End(E)) et D(s) ∈ Ω1(E). Le long d’un champ de vecteurs V ∈ Ω0(TB), on aégalement

DV (hs) = DV (h)(s) + hDV (s).

Lemme 2.6.4. — Si s ∈ Ω0(E), V ∈ Ω0(TX) et f∗(V ) = W ∈ Ω0(TB), alors

f∗(D)V (f∗s) = f∗(DW (s)).

En outre f∗(D) est l’unique connexion sur f∗(E) ayant cette propriété.

Considérons le cas X =]a, b[ pour la courbe γ : ]a, b[−→ B. Alors γ∗(E) est la restriction de Eà γ(t). Une section s ∈ Ω0(γ∗(E)) est une section de E le long de γ, c’est-à-dire un relèvement deγ à E. Le champ de vecteurs vitesse de γ(t) est γ∗( d

dt ) = γ(t).

Définition 2.6.5. — Effectuons un changement de notations pour ce cas particulier : γ∗(D) ddt

(s(t)) =Ddt s(t). Alors D

dt s(t) = Dγ s(t) est la dérivée covariante le long du champ de vecteurs vitesse de γ.

Remarquons que s(t) est un relèvement horizontal si et seulement si s(t) est parallèle selonγ∗(D) (en tant que section de γ∗(E)).

Remarque 2.6.6. — D’une manière générale, les sections f ∗(E) ne sont pas toutes de la formef∗(s) pour une section s de E. Par exemple, si l’on a x1 6= x2 tels que f(x1) = f(x2) et si s′ estune section de f∗(E) telle que s′(x1) 6= s′(x2), alors s′ n’est le tiré en arrière d’aucune section deE.

À la différence de la remarque ci-dessus, si h : E −→ E ′ est un isomorphisme de fibrés vectorielsau-dessus de B

Eh //

@@@

@@@@

F

~~~~

~~~

B

alors on obtient une bijection (linéaire) Ω0(E) −→ Ω0(E′) de façon naturelle. Ainsi on peut définirune connexion h∗(D′) = h−1 D′ h sur E, c’est-à-dire h∗(D′)(h−1(s)) = h−1(D′(s)).

Si ei et e′i sont deux cadres locaux pour E et E ′ respectivement, alors h∗(D′)(ei) =

h−1D′(hjie′j). On vérifie que

h∗(D′) = d+ h−1ω′h+ h−1dh, Fh∗(D′) = h−1 Fω′ h,

où Fω′ est la 2-forme courbure pour ω′.Si l’on identifie E et E′, nous avons une connexion induite sur End(E). On peut démontrer que

h∗D = h−1Dh = D + h−1D(h), où le second D est la connexion induite.


2.7. Connexions métriques

2.7.1. Définition et premières propriétés. — Supposons le fibré E −→ B muni d’une mé-trique 〈 · , · 〉.

Définition 2.7.1. — Une connexion D est dite compatible avec la métrique 〈 · , · 〉 si pour touss, t ∈ Ω0(E) nous avons

d〈s, t〉 = 〈Ds, t〉+ 〈s,Dt〉.

On parle parfois de connexion orthogonale.

Remarque 2.7.2. — Pour s, t ∈ Ω0(E), on définit une fonction 〈s, t〉 (de classe C∞ sur B) enposant 〈s, t〉(b) = 〈s(b), t(b)〉. De plus 〈 · , · 〉 : Ω0(E) × Ω0(E) −→ C∞(B) est bilinéaire. On peutl’étendre en une application Ω1(E)× Ω0(E) −→ Ω1(B) en posant

〈α⊗ s, t〉 7→ α〈s, t〉.

En fait, on peut même l’étendre en une application Ωp(E)⊗ Ωq(E) −→ Ωp+q(B) en posant

〈α⊗ s, β ⊗ t〉 7→ (α ∧ β)〈s, t〉.

Définition 2.7.3. — Soit E un fibré complexe muni d’une métrique hermitienne 〈 · , · 〉. Uneconnexion D est dite compatible avec le produit hermitien ou unitaire si pour tous s, t ∈ Ω0(E)

nous avons

d〈s, t〉 = 〈Ds, t〉+ 〈s,Dt〉.

Soit ei un cadre local pour E tel que 〈ei, ej〉 = δij . Supposons que dans ce cadre localD = d+ ω. Alors

0 = d〈ei, ej〉 = 〈ωki ⊗ ek, ej〉+ 〈ei, ωkj ⊗ ek〉 = ωkiδki + ωkjδkj .

Par conséquent ωji + ωij = 0. Ceci signifie que pour une connexion orthogonale, la 1-formeconnexion ω est anti-symétrique pour un cadre orthogonal.

Remarque 2.7.4. — Dans le cas complexe, on obtient ωji + ωij = 0 en utilisant un produithermitien. Pour une connexion unitaire sur un fibré complexe, une 1-forme connexion prend sesvaleurs dans u(n) lorsqu’on la calcule dans un cadre unitaire.

Remarque 2.7.5. — On peut réaliser E en tant que O(k)-fibré principal associé. Le résultat ci-dessus découle alors du fait qu’une 1-forme connexion sur un G-fibré principal prend ses valeursdans Lie(G).

Un calcul direct démontre que Fω = dω + ω ∧ ω vérifie Fω + F tω = 0, toujours dans un cadreorthogonal. Ainsi pour deux champs de vecteurs X , Y ∈ TB, le morphisme de fibrés F (X,Y ) :

E −→ E est une isométrie, c’est-à-dire F (X,Y ) est à valeurs dans O(n).

2.8 Connexions sur le fibré tangent et géodésiques 39

2.7.2. Une description alternative de la condition de compatibilité. — Un fibré mé-trique 〈 · , · 〉, peut être vu comme une section de E∗ ⊗E∗. Pour un espace vectoriel V , le produitscalaire 〈 · , · 〉 : V × V −→ R est équivalent à une application V −→ V ∗, donc à une section deHom(E,E∗) ' E∗ ⊗E∗.

Étant donné un cadre local ei de E, on définit

H =∑

Hije∗i ⊗ e∗j

avec Hij = 〈ei, ej〉, de sorte à avoir H(s, t) = 〈s, t〉. Pour une connexion D sur E, on obtient uneconnexion induite sur E∗ ⊗E∗ encore notée D. Ainsi, on peut calculer D(H).

Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. d〈s, t〉 = 〈Ds, t〉+ 〈s,Dt〉.2. D(H) = 0.

La seconde condition ci-dessus est parfois appelée condition de covariance constante. Plus précisé-ment, on dit que H est une constante covariante si D(H) = 0.

2.8. Connexions sur le fibré tangent et géodésiques

Rappelons que TM −→ M est un fibré vectoriel de rang n = m = dim(M). Choisissons uneconnexion

D : Ω0(TM) −→ Ω0(T ∗M ⊗ TM) = Ω1(TM).

Les sections de TM sont les champs de vecteurs. Dans ce cas DX(s) est la dérivée covariante lelong du champ de vecteurs X de la section s. Mais X et s sont tous deux des champs de vecteurs.Lorsque l’on parle de connexions sur le fibré tangent, on utilise le symbole∇, plutôt que D. Commeprécédemment F∇ ∈ Ω2(End(TM)) et F∇(X,Y ) : TM −→ TM pour tous X , Y ∈ Ω0(TM).

Dans un cadre ei, une connexion ∇ s’exprime sous la forme D = d + ω pour une matrice ωde 1-formes. Écrivons

ω =

n∑

k=1

ωkdxk

dans les coordonnées (x1, . . . , xn), où ωk = (ωk,ij)ij est une matrice (application sur les fibres deE). Pour E = TM on peut prendre

∂

∂xi

n

i=1

pour cadre local au-dessus de la carte dans laquelle les coordonnées sont (x1, . . . , xn). Il s’ensuitque

∇(

∂

∂xi

)=∑

ωji,kdxk ⊗∂

∂xi.

On note ceci sous la forme

∇(

∂

∂xi

)= Γkjidxk ⊗

∂

∂xi,

où les Γkji sont les symboles de Cristofell. Pour ajouter à la confusion, la courbure de ∇ est notéeΩ.

Un relèvement à TM d’une courbe γ(t) dans M est un champ de vecteurs le long de γ(t). Pourun tel relèvement γ(t), on peut calculer la dérivée covariante ∇γ(t)γ(t) selon γ(t) le long de γ(t).Mais pour notre relèvement γ(t), on peut tout simplement prendre γ(t).


Définition 2.8.1. — On dit que γ(t) est une géodésique si ∇γ(t)γ(t) = 0. Ceci signifie que lechamp de vecteurs vitesse ˙γ(t) est constant covariant.

Dans les coordonnées locales (x1, . . . , xn), notons (x1(t), . . . , xn(t)) les composantes de la courbeγ(t). Puisque ∇ = d + Γkijdxk , la condition de géodésicité donne lieu à un système d’équationsdifférentielles ordinaires

xk(t) + Γkijγ(t)xi(t)xj(t) = 0.

Une conséquence de l’existence et de l’unicité de la solution de cette équation différentielle impliqueque pour tout vecteur v ∈ TxM , il existe une unique courbe géodésique γv(t) avec γv(0) = x etγv(0) = v. Cette géodésique vérifie γλv(t) = γv(λt) pour toute constante λ (encore une conséquencede l’unicité).

Corollaire 2.8.2. — Soit u ∈ TxM un vecteur unitaire (pour une métrique riemannienne). Pourλ assez petit, la géodésique γλu(t) est définie en t = 1. Définissons une application TxM −→ M

sur un voisinage de 0 ∈ TxM en posant v 7→ γv(1). Cette application est appelée exponentielle etnotée exp(v).

Un résultat de géométrie riemannienne nous assure du fait que l’exponentielle réalise un dif-féomorphisme entre un voisinage de 0 dans TxM et un voisinage de x dans M . La démonstrationrepose sur le théorème des fonctions implicites. On vérifie que la différentielle de l’applicationD0(exp) : T0(TxM) −→ TxM est l’identité.

Ceci définit des coordonnées géodésiques.

Lemme 2.8.3. — Γkij s’annule en x dans les coordonnées géodésiques.

Idée de la démonstration. — Pour v ∈ TxM , on commence par évaluer (Γkijdxk)(v) en utilisant lagéodésique γv(t) le long de v . Puis on utilise l’équation géodésique en remarquant que dans lescoordonnées géodésiques γv(t) = tv = (x1(t), . . . , xn(t)).

2.9. Torsion d’une connexion sur le fibré tangent

2.9.1. Définition et premières propriétés. —

Définition 2.9.1. — La torsion d’une connexion ∇ sur le fibré tangent TM d’une variété M dedimension n est le champ de tenseurs τ défini par

τ(X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] ∈ Ω0(∧2(T ∗M)⊗ TM)

pour tous champs de vecteurs X , Y ∈ TM .

Il n’est pas du tout clair que τ est bien un élément de Ω0(∧2(T ∗M) ⊗ TM). En fait τ(X,Y )bne dépend que des valeurs de Xb et Yb. Ceci prouve que τb ∈ ∧2T ∗

bM ⊗ TbM . On vérifie que si fest une fonction, alors τ(fX, Y ) = fτ(X,Y ).

Que mesure la torsion ? Pour les cadres ∂∂xi pour TM et dxi pour T ∗M , on constate que

τ

(∂

∂xi,∂

∂xj

)= ∇ ∂

∂xi

(∂

∂xj

)−∇ ∂

∂xj

(∂

∂xi

)= (Γkji − Γkij)

∂

∂xk.

Donc τ s’écrit

τ = τkijdxi ∧ dxj ⊗∂

∂xk

2.9 Torsion d’une connexion 41

avec τij = Γkij − Γkji. Si τ = 0, alors la connexion a des symboles de Christoffel symétriques.

Remarque 2.9.2. — Étant donnée une connexion ∇, si τ 6= 0 alors on peut modifier ∇ afind’obtenir une nouvelle connexion ∇ vérifiant τ = 0. La modification est définie comme suit. Nousavons Ω1(End(TM)) = Ω0(T ∗M ⊗ End(TM)) et

T ∗M ⊗ End(TM) ' T ∗M ⊗ (TM∗ ⊗ TM) ' (T ∗M ⊗ TM∗)⊗ TM.

Puisque ∧2(T ∗M) ⊂ T ∗M ⊗ TM∗, la torsion vérifie τ ∈ Ω1(End(TM)). Alors la connexion ∇ =

∇− 12τ est de torsion nulle.

2.9.2. Connexion de Levi-Civita. — Soit g une métrique sur le fibré tangent TM d’unevariété M . On peut demander à ce qu’une connexion ∇ sur TM −→ M soit compatible avec lamétrique. D’après notre discussion sur les connexions orthogonales, ceci s’exprime par la condition∇g = 0.

Proposition 2.9.3. — Soit g une métrique sur le fibré tangent TM d’une variété M . Il existeune unique connexion, appelée connexion de Lévi-Civita et notée ∇lc, sans torsion et vérifiant∇lcg = 0.

Démonstration. — Plaçons-nous dans des coordonnées locales x1, . . . , xn. Écrivons g =∑gijdxi ⊗ dxj dans le cadre local dxi pour T ∗M . En posant

Γkij =1

2g−1k` (gj`,i − gij,` + g`i,j)

avec gj`,i = ∂∂xi

(gj`), nous obtenons la connexion désirée.

Lemme 2.9.4. — On a Alt(∇lc) = d, où Alt est l’opérateur « forme alternée ».

CHAPITRE 3

CLASSES CARACTÉRISTIQUES D’UN FIBRÉ VECTORIEL

3.1. Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel

3.1.1. Motivation. — Rappelons que pour tout fibré vectoriel E −→ B de rang n, nous avonsune connexion D : Ω0(E) −→ Ω1(E) avec D(fs) = df ⊗ s + fDs. Dans un cadre local ei, unesection a pour expression s =

∑si(x)ei(x) ' (s1, . . . , sn)

t et D = d+ ω. Ainsi

Ds = d(s1, . . . , sn)t + ω(s1, . . . , sn)

t.

La connexion s’étend pour définir un dérivée covariante Ω0(E)D−→ Ω1(E)

D−→ Ω2(E)D−→ · · · . La

courbure de D est F = D2 et a pour expression Fω = dω + ω ∧ ω dans un cadre local.

Nous allons construire les classes caractéristiques d’un fibré vectoriel E −→ B comme élémentsde H∗(B) ; on se restreint à des classes dans H∗(B,R) ou H∗(B,C) puisqu’elles seront obtenues àpartir de formes différentielles. Il y a deux approches pour construire les classes caractéristiques :

1. (Abstraite) À l’aide du fibré universel et de l’espace classifiant, on peut écrire

f∗(EG) = E

EG

B

f // BG

Il suffit ensuite de définir les classes caractéristiques pour EG −→ BG et d’en prendre l’imageréciproque.

2. (Plus concrète) Utilisons la courbure d’une connexion. On sait que localement Fω est unematrice de 2-formes. Ainsi pour une fonction polynomiale P sur les matrices, on peut calculerP (Fω) et obtenir une forme différentielle. Si cette forme est fermée, nous obtenons une classe[P (Fω)] dans la cohomologie de B. Si de plus cette classe est indépendante du choix (de laconnexion et du cadre local), alors la classe est caractéristique du fibré.

Nous étudierons ici la seconde approche. Nous avons besoin de :

1. Comprendre quels P conviennent.

2. Vérifier que les formes P (Fω) sont fermées (sous-section 3.1.3).

3. Démontrer que [P (Fω)] ∈ H∗(B,R) est indépendent du cadre local ω (sous-section 3.1.2) etde la section D (sous-section 3.1.4).

44 Chapitre 3. Classes caractéristiques

4. Prouver qu’elles sont caractéristiques (sous-section 3.1.5), au sens où « des fibrés isomorphesont mêmes classes caractéristiques ». Plus généralement, nous verrons que les classes se com-portent de façon naturelle sous les morphismes de fibrés. Plus précisément si

Eh //

E′

B

f // B′

(de sorte que E ' f∗(E′)), alors f∗(classes de E′ dans H∗(B′)) = classes de E dans H∗(B).

Nous appellerons classe caractéristique la classe de cohomologie P (E) = [P (D)] pour n’importequelle connexion D de E, pour un polynôme P convenable fixé. Le choix du type de polynômeamène aux classes de Chern (sections 3.2 et 3.4), de Todd (section 3.3), de Pontrjagin (section 3.5)et d’Euler (section 3.6).

3.1.2. Indépendance par rapport au cadre. — Soient ωα une 1-forme connexion et Fα

une 2-forme courbure locales dans eαi ; de même, soient ωβ une 1-forme connexion et F β une2-forme courbure locales dans eβi . Les fonctions de transition dans le cadre local sont notéesgαβ : Uα∩Uβ −→ G. Ici G est le groupe de structure du fibré ; c’est par exemple GL(n,R) ou O(n)

dans le cas de fibrés réels et GL(n,C) ou U(n) dans le cas de fibrés complexes. Ainsi eαi = (gαβ)jieβj

et Fα = gαβ F β gβα. Supposons que l’on ait une fonction polynomiale

P : Matn −→ R (ou C).

Par abus de langage, nous emploierons le terme de « polynôme » pour P . Pour que P (F α) soitindépendant du cadre local, il nous faut vérifier que P (A−1BA) = P (B) pour tout A ∈ G.

Exemple 3.1.1. — Voici des polynômes classiques sur les matrices :

A 7→ det(A) =∑

σ(−1)|σ|A1σ(1) · · ·Anσ(n) (degré n)

A 7→ Tr(A) =∑

iAii (degré 1)

A 7→ Tr(A2) =∑i,j AijAji (degré 2)

...

Remarque 3.1.2. — On peut également définir P (A) pourA à valeur dans les formes quelconquesà l’aide du produit extérieur.

Définition 3.1.3. — Soit P : Matn −→ C un polynôme. Si P (A−1BA) = P (B) pour toutA ∈ GL(n,C), on dit que P est un polynôme GL(n,C)-invariant.

Remarque 3.1.4. — La classification de tous ces polynômes est fondamentale dans la théorie desclasses caractéristiques.

Par conséquent, si P est un polynôme GL(n)-invariant et F α une description locale de la cour-bure, alors P (Fα) est une forme globale sur B bien définie et notée P (D). De plus P (F α) ∈ ∧2m(B)

si m = deg(P ).

3.1 Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel 45

3.1.3. Les formes sont fermées. — La démonstration du théorème suivant est l’objet de cettesous-section.

Théorème 3.1.5. — Soient P un polynôme GL(n)-invariant et D une connexion sur un fibrévectoriel E −→ B. Alors dP (D) = 0.

Supposons que P (F ) est homogène de degré m.

Lemme 3.1.6. — Il existe une application multi-linéaire et symétrique Matn× · · · × Matn −→F définie par (A1, . . . , Am) 7→ P (A1, . . . , Am) et appelée polarisation de P , telle que P (A) =

P (A, . . . , A).

Plus précisément, développons P (∑m

i=1 tiAi). Alors la polarisation de P est

P (A1, . . . , Am) =1

m!· ( coefficient du terme en t1 · · · tm).

Exemple 3.1.7. — Si P (A) = Tr(A2), alors P (A1, A2) = 12 Tr(A1A2 +A2A1) puisque Tr(t1A1 +

t2A2)2 = t21 Tr(A2

1) + t1t2 Tr(A1A2 +A2A1) + t22 Tr(A22).

*****A REVOIR EN UTILISANT LE LEMME 10 DE MICHELE VERGNE*****Ainsi

dP (F ) = d(P (F, . . . , F ))

= P (dF, F, . . . , F ) + P (F, dF, F, . . . , F ) + · · ·+ P (F, . . . , F, dF )

= mP (dF, F, . . . , F ).

Mais l’identité de Bianchi implique dF + [ω, F ] = 0, donc dF = −[ω, F ] = [F, ω]. D’où

dP (F ) = mP ([ω, F ], F, . . . , F ).

Afin d’évaluer dP (D) en x0 ∈ B, plaçons-nous dans un cadre convenable.

Lemme 3.1.8. — On peut choisir un cadre tel que ω(x0) = 0.

Démonstration du lemme 3.1.8. — Supposons queD = d+ω et ω(x0) 6= 0 dans un cadre local eidéfini sur U . Soit e′i = hijej un autre cadre, où (hij) : U −→ GL(n). Alors ω′ = h−1 ω h+h−1dh

dans e′i. Supposons que l’on puisse trouver une matrice hij telle que

(3.1.1)

h(x0) = I,

dh(x0) = −ω(x0).

Alors ω′(x0) = ω(x0)− ω(x0) = 0, et le lemme est démontré. Nous devons ainsi trouver h : U −→GL(n) ayant les deux propriétés (3.1.1). Plaçons-nous dans des coordonnées locales (y1, . . . , yn)

dans lesquelles x = (0, . . . , 0). Définissons h(y) = I − yiωi avec ω =∑ωidyi. Alors dans un

voisinage convenable de 0 nous avons det(h(y)) 6= 0, c’est-à-dire h(y) ∈ GL(n).

Le lemme 3.1.8 nous permet d’affirmer que

dP (D) = 0,

et le théorème 3.1.5 est démontré.


3.1.4. Indépendance par rapport à la connexion. — La démonstration du théorème suivantest l’objet de cette sous-section. Son principe est dû à Quillen.

Théorème 3.1.9. — Soit P une fonction polynomiale GL(n)-invariante de degré m sur un fibrévectoriel E −→ B. Si D0 et D1 sont deux connexions, alors [P (D0)] = [P (D1)] dans H∗(B) ; plusprécisément, il existe une forme TP (D0, D1) telle que P (D0)− P (D1) = d(TP (D0, D1)).

DéfinissonsDt = tD1 + (1− t)D0 (t ∈ [0, 1]).

C’est une connexion pour tout t ∈ [0, 1], puisque si D1 = D0 + θ avec θ ∈ Ω1(End(E)) alorsDt = D0 + (tθ) = D0 + θt. Soient θα et Fαt les expressions de θ et Ft dans un cadre local. Ainsi θα

est une matrice de 1-formes et F αt est une matrice de 2-formes.

Remarque 3.1.10. — P (θα, Fαt , . . . , Fαt ) est bien définie pour tout expression locale ; c’est une

(2m− 1)-forme.

On a

(3.1.2) P (D1)− P (D0) =

∫ 1

0

d

dtP (Ft, . . . , Ft) dt et

d

dtP (Ft, . . . , Ft) = mP (Ft, Ft, . . . , Ft).

La connexion Dt = D0 + tθ a pour courbure Ft = Dt Dt = D20 + t(D0θ+ θD0) + t2θ ∧ θ. En fait,

on peut démontrer queFt = D0 + tD0θ + t2θ ∧ θ.

Lemme 3.1.11. — Posons TP (D0, D1) = m∫ 1

0 P (θ, Ft, . . . , Ft) dt et θ = D1 −D0. Alors

(3.1.3)∫ 1

0

d

dtP (Ft, . . . , Ft) dt = d(TP (D0, D1)).

Une fois que nous aurons démontré ce lemme, alors en comparant (3.1.2) et (3.1.3) nous auronsle théorème 3.1.9.

Remarque 3.1.12. — Puisque θ ∈ Ω1(End(E)), on peut évaluer P (θ, Ft, . . . , Ft) en fixant uncadre local et en utilisant une expression locale de θ et Ft. D’après l’invariance de P et les propriétésde transformation des sections de End(E), l’expression P (θ, Ft, . . . , Ft) est indépendante du cadrelocal.

Démonstration du lemme 3.1.11. — Supposons que selon un cadre local

D0 = d+ ω0, D1 = d+ ω1, θ = ω1 − ω0.

Alors Dt = d+ ω0 + tθ = D + ωt pour ωt = ω0 + tθ. Donc

Ft = dωt + ωt ∧ ωt et Ft = dωt + ωt ∧ ωt + ωt ∧ ωt.Afin d’évaluer P (Ft, Ft, . . . , Ft) en (t0, x0), fixons un cadre local tel que ωt0(x0) = 0. Rappelonsque l’identité de Bianchi nous assure également de la nullité de dFt0(x0). En x0, on obtient

Ft0 = dωt0 = dθ.

Par conséquent ∫ 1

0

d

dtP (Ft, . . . , Ft) dt = m

∫ 1

0

P (dθ, Ft, . . . , Ft) dt .

3.2 Classes de Chern d’un fibré vectoriel complexe 47

Puisque P est multi-linéaire, nous obtenons

dP (θ, Ft0 , . . . , Ft0) = P (dθ, Ft0 , . . . , Ft0) + (m− 1)P (θ, dFt0 , . . . , Ft0).

L’évaluation dans le cadre spécial décrit ci-dessus implique d(P (θ, Ft0 , . . . , Ft0)) = P (dθ, Ft0 , . . . , Ft0),d’où ∫ 1

0

d

dtP (Ft, . . . , Ft) dt = d

(m

∫ 1

0

P (θ, Ft, . . . , Ft) dt

).

Exemple 3.1.13. — 1. Si P1(A) = Tr(A), alors P (D1)− P (D0) = d∫ 1

0 Tr(θ) dt = dTr(θ).

2. Si P2(A) = Tr(A2), alors TP2(D0, D1) = d∫ 1

0 Tr(θFt + Ftθ) dt = 2d∫ 1

0 Tr(θFt) dt.

3.1.5. Naturalité et homomorphisme de Chern-Weil. — L’ensemble IGLndes polynômes

GLn-invariants sur Matn est muni d’une structure d’anneau pour l’addition et la multiplication,d’où un morphisme d’anneaux IGLn −→ H∗(B; F) défini par P 7→ [P (E)] et appelé homomorphismede Chern-Weil.

Remarque 3.1.14. — Si E admet une connexion plate (c’est-à-dire une connexion D telle queFD = 0), alors [P (E)] = 0 pour tout P . Puisque tout fibré trivial vérifie [P (E)] = 0 et qu’il existedes fibrés plats non triviaux, il existe des fibrés ayant même classes caractéristiques mais qui sontpas isomorphes.

Soient E′ −→ B′ un fibré et f : B −→ B′ une application lisse. Le fibré f∗(E′) = E −→ B

satisfait au diagramme

E

E′

B

f // B′

Pour tout polynôme GLn-invariant P , nous avons [P (E)] ∈ H∗(B; F) et [P (E′)] ∈ H∗(B′; F) ;vérifions que ces deux classes sont reliées, c’est-à-dire [P (E)] = f ∗[P (E′)]. Étant donnée uneconnexion D′ sur E′, définissons la connexion tirée en arrière D = f ∗(D′) sur E. Puisque F =

f∗(F ′), on obtient [P (E)] = f∗[P (E′)] par définition.

3.2. Classes de Chern d’un fibré vectoriel complexe

3.2.1. Définition et premières propriétés. — Rappelons qu’étant donné un fibré vectorielE −→ B et un polynôme GLn-invariant P , on peut définir des classes de cohomologie [P (E)] ∈H∗(B; F) (pour F = R ou F = C).

Étudions de façon plus systématique les polynômes GL(n,C)-invariants. La question est dedéterminer des conditions sur les polynômes P : Mat(n,C) −→ C invariants sous la conjugaisonpar des éléments de GL(n,C).

Considérons l’ensemble des matrices diagonalisables DIAG = A ∈ Mat(n,C) ; A est diagonalisable =

gAg−1 ; A diagonale et g ∈ GL(n,C). Si P est un polynôme GL(n,C)-invariant et A ∈ DIAG,


alors par définition

P (A) = P

λ1 0 · · · · · · 0

0 λ2. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . . λn−1 0

0 · · · · · · 0 λn

où les λi sont les valeurs propres de A. Ainsi P ne dépend que des λi, et sera noté P (λ1, . . . , λn).

Lemme 3.2.1. — P (λ1, . . . , λn) est une fonction symétrique en les λi dès que A est diagonali-sable.

Démonstration. — En conjugant soigneusement dans GL(n,C), on peut permuter les λi. PuisqueP est invariant par chacune de ces conjugaisons, il doit être invariant par permutation des λi.

Exemple 3.2.2. —(λ1 0

0 λ2

)=

(0 1

1 0

)(λ2 0

0 λ1

)(0 1

1 0

).

Les polynômes symétriques sont engendrés par les polynômes symétriques élémentaires

σ0(λ1, . . . , λn) = 1,

σ1(λ1, . . . , λn) =

n∑

i=1

λi,

σ2(λ1, . . . , λn) =∑

i6=j

λiλj ,

...

σn(λ1, . . . , λn) = λ1λ2 · · ·λn.Plus précisément, tout polynôme symétrique peut s’écrire Q(σ0(λ1, . . . , λn), . . . , σn(λ1, . . . , λn))

pour un polynôme Q.

Exemple 3.2.3. —n∑

i=1

λ2i = (

n∑

i=1

λi)2 − 2(

∑

i6=j

λi) = σ21 − 2σ2.

Remarque 3.2.4. — Soit

P (A) = det(I+A) = det

1 + λ1 0 · · · · · · 0

0 1 + λ2. . .

......

. . .. . .

. . ....

.... . . 1 + λn−1 0

0 · · · · · · 0 1 + λn

=

n∏

i=1

(1+λi) = 1+σ1+· · ·+σn.

Alors les σi sont les composantes homogènes de P (A).

Jusqu’ici, le corps de base (R ou C) est indifférent.


Définition 3.2.5. — Les classes de Chern du fibré vectoriel complexe E sont définies par ck(E) =

[σk(i

2πF )], où F est la courbure d’une connexion D sur E. Ce sont les composantes homogènes dela classe de Chern totale c(E) = [det(I + i

2πF )]. La classe ck(E) est dite k-ième classe de Chernde E.

Il nous reste à comprendre pourquoi on peut se ramener aux matrices diagonalisables. C’est lepoint de divergence entre les cas réel et complexe.

1. L’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans l’espace des matrices. Si A ∈ Matn,alors il existe une suite de matrices Ai ∈ DIAG telles que Ai

i→∞−→ A. Puisque les polynômesinvariants sont des fonctions continues, on peut évaluer P (Ai)

i→∞−→ P (A).

2. Tout fibré complexe E −→ B peut être muni d’un produit scalaire hermitien. Ainsi, onpeut choisir une connexion compatible D et donc de courbure F anti-hermitienne (c’est-à-dire F + F ∗ = 0). Un résultat général d’algèbre affirme que si AA∗ = A∗A, alors A estdiagonalisable. Par conséquent F est diagonalisable.

On peut donc se restreindre aux matrices diagonalisables lorsque l’on veut évaluer ck.Une matrice A ∈ u(n) = Lie(U(n)) est diagonalisable dans une base unitaire (c’est-à-dire conju-

guée par T ∈ U(n)), donc nous pouvons restreindre notre étude aux polynômes U(n)-invariantssur u(n).

Lemme 3.2.6. — Les classes de Chern sont des classes de cohomologie réelle, c’est-à-dire cj(E) ∈H2j(B,R). Plus précisément, pour tous X1, . . . , X2j ∈ Ω0(TB) on a cj(E)(X1, . . . , X2j) ∈ R.

Démonstration. — Si F + F ∗ = 0, alors i2πF = ( i

2πF )∗. Donc det(I + i2πF ) = det(I + i

2πF ). Parconséquent cj(E) = cj(E) pour tout j. De façon explicite, si cj(E) = [

∑γIdxi1 ∧ · · · ∧ dxi2j ] alors

γI = γI .

Remarque 3.2.7. — Nous avons incorporé des facteurs 12π afin que les classes ck(E) soient à

valeurs entières, c’est-à-dire ck(E) ∈ H2k(B; Z) (admis).

Exemple 3.2.8. — Pour un fibré en lignes γ −→ P1, la fibre γ∣∣[z0,z1]

au-dessus de [z0, z1] est la

ligne passant par (z0, z1). On a c0(γ) = det(I) = 1 et c1(γ) = Tr( i2πF ) = i

2πF ∈ H2(P1,R). (D’unemanière générale cj(E) est définie pour j ≤ min( 1

2 dim(B),Rang(E)).) Nous démontrerons plusloin que ∫

P1

c1(γ) = c1(γ) [P1] = −1.

Proposition 3.2.9. — Nous avons

c0(A) = det I = 1,

c1(A) = Tr( i

2πA),

...

cn(A) = det(A).


Esquisse de la démonstration. — Si l’on fait le calcul pour I + i2πA diagonale avec

I +i

2πA =

1 + x1

. . .1 + xn

où xi = i2πλi et où les λi sont les valeurs propres de A, alors

det(I +

i

2πA)

=n∏

i=1

(1 + xi) = 1 +∑

i

xi +∑

i6=j

xixj + · · ·+n∏

i=1

xi.

Il s’ensuit que

det(I +

i

2πF)

= 1 + Tr( i

2πF)

+ · · ·+ det( i

2πF).

3.2.2. Caractère de Chern. — Définissons le caractère de Chern

chk(E) =1

k!Tr( i

2πF)k

(k = 0, 1, 2, . . .)

et le caractère de Chern total

ch(E) =

∞∑

k=0

chk(E) =

∞∑

k=0

1

k!Tr( i

2πF)k

= Tr

( ∞∑

k=0

( i2πF )k

k!

)= Tr

(exp(

i

2πF )).

Lemme 3.2.10. — Nous avons c(E1 ⊕E2) = c(E1) · c(E2) dans H∗(B,R).

Démonstration. — Soit Di une connexion sur Ei (i = 1, 2). Posons D = D1 ⊕D2. Dans un cadrelocal, on obtient

ω =

(ω1 0

0 ω2

)et F =

(F1 0

0 F2

).

Par conséquent

c(E) = c(E1 ⊕E2) = det

(I +

i

2πF

)= det

(I1 + i

2πF1 0

0 I2 + i2πF2

)

= det

(I1 +

i

2πF1

)· det

(I2 +

i

2πF2

)

= c(E1) · c(E2).

Corollaire 3.2.11. — On peut extraire la valeur de cj(E) de la formulen1+n2∑

j=0

cj(E) =

(n1∑

i=0

ci(E1)

)·(

n2∑

k=0

ck(E2)

).

Par exemple

c1(E) = c1(E2) + c1(E1),

c2(E) = c2(E1) + c1(E1)c1(E2) + c2(E2),

...


Lemme 3.2.12. — Nous avons ch(E1⊕E2) = ch(E1) + ch(E2), d’où chk(E1 ⊕E2) = chk(E1) +

chk(E2).

Démonstration. — Puisque D = D1 +D2, nous obtenons

Tr(

exp(i

2πF ))

= Tr

(exp( i

2πF1) 0

0 exp( i2πF2)

)= Tr

(exp(

i

2πF1))

+ Tr(

exp(i

2πF2)).

3.2.3. Classes de Chern du fibré dual. — Sur notre fibré vectoriel complexe E −→ B, fixonsune connexion compatible D, de courbure F . Soit E∗ le fibré dual de E. Notons D∗ la connexionsur E∗ telle que ω∗ = −ωt. Ainsi

F ∗ = dω∗ + ω∗ ∧ ω∗ = −dωt + ωt ∧ ωt.

Puisque ω est une matrice de 1-formes, on a ωt ∧ ωt = −(ω ∧ ω)t. Donc D∗ a pour courbureF ∗ = −F t. Il s’ensuit que

c(E∗) = det(I − i

2πF)t

= det(I − i

2πF)

=∑

k

ck(E∗) =

∑

k

ck

(− i

2πF)

=∑

k

(−1)kck

( i

2πF).

Ainsi

ck(E∗) = (−1)kck(E).

3.2.4. Relations entre les classes de Chern ck et les caractères de Chern chk. — On achk(F ) = Tr(F )k, d’où

ch0(E) = Tr( i

2πF)0

= Tr(I) = Rang(E),

ch1(E) = Tr( i

2πF)1

= c1(E),

ch2(E) = Tr( i

2πF)2

,

...

Si les valeurs propres de i2πF sont x1, . . . , xn, alors

ch2(E) =1

2

n∑

i=1

x2i =

1

2

( n∑

i=1

xi

)2

−( ∑

i<j

xixj

)=

1

2c1(E)2 − c2(E).

En utilisant ce processus, on calcule la valeur de n’importe quel caractère chk(E) en fonction desclasses cj(E).

3.2.5. D’autres propriétés des caractères de Chern. —

Proposition 3.2.13. — Nous avons ch(E1 ⊗E2) = ch(E1) · ch(E2).

Démonstration. — Étant donnée une connexionDi sur Ei (i = 1, 2), on peut définir une connexionD = D1⊗ I2 + I1⊗D2 de courbure FD = F1⊗ I2 + I1⊗F2 sur E1⊗E2. En utilisant Tr(A⊗B) =

Tr(A) · Tr(B), on obtient le résultat.


Remarque 3.2.14 (K-théorie). — Fixons une base B et soit Vect(B) l’ensemble des classesd’isomorphisme de fibrés complexes sur B. Les deux opérations E1 ⊕ E2 et E1 ⊗ E2 munissentVect(B) d’une structure d’anneau. On peut démontrer qu’alors ch : Vect(B) −→ H∗(B,R) est unisomorphisme d’anneaux.

Remarque 3.2.15. — Pour un fibré en lignes complexe L −→ B, les seules classes de Chern nonnulles sont

c0(L) = 1 et c1(L) ∈ H2(B,R).

Ainsi la classe de Chern totale est

c(L) = 1 + c1(L).

Donc pour la somme E = L1 ⊕ L2 ⊕ · · · ⊕ Ln de n fibrés en lignes complexes, nous avons

c(E) = c(L1)c(L2) · · · c(Ln) =

n∏

i=1

(1 + c1(Li)).

Nous récupérons alors les classes de Chern de E grâce aux formules

c1(E) =

n∑

i=1

c1(L1), c2(E) =∑

i6=j

c1(Li)c1(Lj), . . . cn(E) =

n∏

i=1

c1(Li).

Exemple 3.2.16. — Soit E = L1⊕L2⊕· · ·⊕Ln la somme de n fibrés en lignes complexes. Alors :

1. Si c1(Li) = 0 pour un i, alors cn(E) = 0.

2. Si c1(L1) = c1(L2) = · · · = c1(Lk) = 0, alors cj(E) = 0 pour tout j > n− k.

3.3. Classe de Todd et caractéristique d’Euler d’un fibré vectoriel complexe

3.3.1. Classe de Todd d’un fibré vectoriel complexe. — La classe de Chern totale estdéfinie à l’aide du polynôme

c(A) = det(I +

i

2πA)

=

n∏

i=1

(1 + xi),

où les xi sont les valeurs propres de i2πA. Le caractère de Chern total est quant à lui défini à l’aide

du polynôme

ch(A) = Tr

(exp(

i

2πA)

)=

n∑

i=1

exp(xi).

Une autre classe importante d’un fibré vectoriel complexe est définie à l’aide de

Td(A) =

n∏

j=1

xj1− e−xj

.

Cette série s’achève en degré 12 dim(B) lorsqu’on l’applique à la courbure F , donc on peut définir

la classe de Todd en posant Td(E) = [Td(F )]. On vérifie que l’on a

Td(E) = 1 +1

2c1(E) +

1

12(c21(E) + c2(E)) + · · ·

Cette classe apparaît dans le théorème de Riemann-Roch.

3.4 Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel réel 53

3.3.2. Caractéristique d’Euler. — Le polynôme d’Euler-Poincaré d’une variétéM est fM (t) =∑p bpt

p, où bp = dim(Hp(M)) est le p-ième nombre de Betti. La caractéristique d’Euler χM de lavariété M est alors χM =

∑p bp(−1)p = fM (−1).

Proposition 3.3.1 ([2] page 415). — Lorsque la base B et la fibre F d’un fibré E −→ B sontcompactes, on a χE = χBχF .

ATTENTION : PAS DE VRAIE DEFINITION DE LA CARACTERISTIQUE D’EULER.Dans [2] pages 178–186–205, la caractéristique d’Euler de E −→ B est définie comme étant cellede E. On peut éventuellement avoir une fibre F compacte (exercice 1 page 414).Dans le poly, elle n’est pas définie explicitement ; sa définition semble ( ?) plus compliquée (version« fibré »).

DEMANDER A MICHELE VERGNE QUELLE EST LA « VRAIE » DEFINITION.

Pour un fibré holomorphe E −→ B de rang r au-dessus d’une variété complexe B, nous avonsun entier

χ(E) = version « fibré » de la caractéristique d’Euler d’une variété

= indice d’un opérateur différentiel.

Le théorème de Riemann-Roch relie cette quantité χ(E) (globale et topologique) aux classes ca-ractéristiques :

χ(E) =

∫

B

Td(T ′B) ∧ ch(E).

C’est un exemple de théorème de l’indice entre l’indice (entier) d’un opérateur différentielΩ0(E1) −→ Ω0(E2) et

∫B

(classes caractéristiques de TB). C’EST QUOI CE « T ′X » ? LE FIBRENORMAL ?

Si B = X est une surface riemannienne (c’est-à-dire dimC(X) = 1), alors Rang(T ′X) = 1 etTd(T ′X) = 1 + 1

2c1(T′X). Donc

Td(T ′X) ∧ ch(E) =(1 +

1

2c1(T

′X))∧ (r + c1(E)),

d’où finalement∫

X

Td(T ′X) ∧ ch(E) =

∫

X

(1 +

1

2c1(T

′X))∧ (r + c1(E)) =

∫

X

c1(E) +r

2

∫

X

c1(T′X).

Définition 3.3.2. — 1. Le degré du fibré E est deg(E) =∫Bc1(E).

2. Le genre de la surface riemannienne X est l’entier g tel que deg(T ′X) = 2− 2g.

Le théorème de Riemann-Roch est alors

χ(E) = deg(E) + (1− g) Rang(E).

3.4. Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel réel

Le but de cette section est de définir des classes caractéristiques pour un fibré réel ER −→ B derang n.


3.4.1. Classes de Chern d’un fibré vectoriel réel. — Nous allons complexifier ER et utiliserle travail précédent pour les fibrés complexes.

Rappelons que le complexifié de l’espace vectoriel réel VR est le C-espace vectoriel VC = VR⊗C.Si dimR(VR) = n, alors dimC(VC) = n ; plus précisément si v1, . . . , vn est une R-base de VR alorsv1, . . . , vn est une C-base de VC.

Pour un fibré réel ER de rang n, on peut construire un fibré complexifié EC := ER ⊗ C commesuit. Si

ER =∐α Uα × Rn/gαβ où gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,R),

alors EC = ER ⊗ C =∐α Uα × Cn/gαβ où gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n,R) → GL(n,C).

En tant que fibrés réels, nous avons EC = ER⊕ER. On peut ainsi définir les classes caractéristiquespour ER comme étant

P (ER) ≡ P (EC) pour tout polynôme GL(n,C)-invariant P .

Ainsi on définit la classe caractéristique du fibré vectoriel réel ER en posant

ck(ER) := ck(EC) ∈ H2k(B,R).

Remarque 3.4.1. — Un fibré complexe peut se réaliser comme un fibré réel (de dimensiondouble) ; l’injection GL(n,C) → GL(2n,R) le munit de fonctions de transition réelles.

Lemme 3.4.2. — Pour k impair, on a ck(ER) = 0.

Démonstration. — Étant donné un fibré complexe EC, construisons le fibré conjugué EC de lafaçon suivante. Si les fonctions de transition de EC sont notées gαβ ∈ GL(n,C), alors on définit EC

à l’aide des fonctions de transition gαβ ∈ GL(n,C). Le fibré conjugué jouit des propriétés suivantes.

Théorème 3.4.3. — 1. Si EC = ER ⊗ C, alors EC = EC.

2. Pour tout fibré complexe EC, nous avons ck(EC) = (−1)kck(EC).

Démonstration. — Pour toute connexion D sur EC, on a une connexion D sur EC de courbureFD = FD . Il s’ensuit que i FD = −(i FD).

Ainsi ck(ER) = (−1)kck(ER) = (−1)kck(ER), ce qui achève la démonstration du lemme.

Donc les seules classes (éventuellement) non nulles sont les c2k(ER) ∈ H4k(B,R).

3.4.2. Polynômes GL(n,R)-invariants des classes caractéristiques réelles. — Nous allonsétudier les polynômes GL(n,R)-invariants sur Matn(R). Il est plus facile d’étudier les polynômesO(n)-invariants sur o(n) = A ; At +A = 0.

Fixons une métrique riemannienne sur ER et plaçons-nous dans un cadre orthonormal. Choisis-sons une connexion orthogonaleD. Sa courbure F est à valeurs dans o(n) et les fonctions de transi-tion sont à valeurs dans O(n). Par conséquent, pour tout polynôme O(n)-invariant P : o(n) −→ R

on peut définir [P ( 12πF )] ∈ H∗(B,Z). Cherchons des conditions sur ces polynômes P .

Une matrice A non nulle vérifiant A+At = 0 ne peut pas être diagonalisée. En effet, sinon sesvaleurs propres λi vérifient λi = −λi et sont nulles (ce qui entraîne la nullité de A). Par contre A

3.4 Classes caractéristiques d’un fibré vectoriel réel 55

est conjuguée (par une matrice T ∈ O(n)) à

0 λ1

−λ1 0. . .

0 λk−λk 0

ou à

0 λ1

−λ1 0. . .

0 λk−λk 0

0

.

(si n = 2k) (si n = 2k + 1)

Il suffit donc d’évaluer les polynômes P sur de telles matrices A. Écrivons

P (λ1, . . . , λn) = P

0 λ1

−λ1 0

0 λ2

−λ2 0. . .

.

Le point essentiel est que toute matrice A ∈ o(n) est conjuguée à

A1

. . .Ak

ou à

A1

. . .Ak

0

type I (n pair) type II (n impair)

où Ai est le bloc 2× 2

Ai =

(0 −λiλi 0

).

Plus précisément, il existe T ∈ O(n) telle que T−1AT ait la forme ci-dessus. Puisque P est invariant,nous avons P (A) = P (T−1AT ). Donc on peut exprimer P comme polynôme en les λi, c’est-à-direP (A) = P (λ1, . . . , λn).

Lemme 3.4.4. — 1. Le polynôme P est invariant sous l’action λi 7→ −λi.

2. Le polynôme P est symétrique en les variables λ1, . . . , λn.

Corollaire 3.4.5. — Le polynôme P est symétrique en les λ2i .

Démonstration. — Pour permuter λi et −λi, il suffit de conjuguer par la matrice diagonale parblocs T = DIAG(I2, . . . , I2, J, I2, . . . , I2) de i-ième élément diagonal la matrice

J =

(1 0

0 −1

)∈M2(R)


et où I2 est la matrice identité 2 × 2. Pour permuter les λ1, . . . , λn, par exemple λ1 7→ λi, onutilise des matrices de permutation de blocs 2× 2 :

T =

0 I2I2

. . .I2

I2 0

I2. . .

.

Corollaire 3.4.6. — Si m = deg(P ), alors P peut s’écrire

P (λ1, . . . , λk) = Q(σ1(λ21, . . . , λ

2k), . . . , σm/2(λ

21, . . . , λ

2k))

pour un polynôme Q et où les σi sont les polynômes symétriques élémentaires.

3.5. Classes de Pontrjagin Pk(E) d’un fibré vectoriel réel

Soit E −→ B un fibré vectoriel réel.

Définition 3.5.1. — Pour une matrice A conjuguée à l’une des matrices I ou II ci-dessus, dé-finissons le polynôme Pk(A) = σk(λ

21, . . . , λ

2k). La k-ième classe de Pontrjagin de E est la classe

Pk(E) = [Pk(12πF )] ∈ H4k(B; R), où F est la courbure de n’importe quelle connexion sur E.

On vérifie comme précédemment (c’est-à-dire comme pour les classe de Chern d’un fibré com-plexe) que Pk(E) = [Pk(

12πF )] définit une classe caractéristique. On démontre que si F + F t = 0,

alors det(I + 12πF ) =

∑k Pk(

12πF ).

3.5.1. Relation entre les classes de Pontrjagin Pk(ER) et les classes de Chern c2k(EC).— Soit EC = ER ⊗ C la complexification de ER.

Proposition 3.5.2. — Pk(ER) = (−1)kc2k(EC).

Démonstration. — Fixons une métrique sur ER. Soit eαi un cadre orthonormal pour ER, danslequel les fonctions de transition gαβ sont à valeurs dans O(n). Grâce à l’inclusion GL(n,R) →GL(n,C), nous avons O(n) → U(n). Ainsi, on peut voir eαi comme un cadre unitaire pour EC.

Soit D = d + ω la description locale d’une connexion orthogonale D sur ER, de sorte que ωest à valeurs dans o(n). L’inclusion Matn(R) → Matn(C) implique que la matrice ω peut être vuecomme anti-hermitienne, c’est-à-dire à valeurs dans u(n) ; notons-la ωC. Alors d+ωC est maintenantl’expression locale d’une connexion unitaire sur EC.

La courbure FR de ω est à valeurs dans o(n) ; elle est conjuguée par O(n) à une matrice de typeI ou II. Notons FC la courbure de ωC. Alors FC est à valeurs dans u(n) et est conjuguée par U(n)

à une matrice diagonale de valeurs propres complexes µi. Par conséquent

Pk(ER) = σk

(λ21

2π, . . . ,

λ2m

2π

)et C2k(EC) = σk

( i

2πµ1, . . . ,

i

2πµm

).

3.6 Classes de Pontrjagin d’un fibré vectoriel réel 57

Ce résultat est améliorable. Remarquons que FC est conjuguée à une matrice de la forme

iλ1

−iλ1

. . .iλm

−iλm

.

Ceci découle du fait qu’en rang 2

(0 λ

−λ 0

)est conjuguée à

( −iλ 0

0 iλ

)grâce à la matrice

1√2

(1 i

i 1

)∈ U(2).

Ainsi

C2k(EC) = σ2k

( i

2π(iλ1),

i

2π(iλ1), . . . ,

i

2π(iλm),

i

2π(−iλm)

)= σ2k

(− 1

2πλ1,

1

2πλ1, . . . ,−

1

2πλm,

1

2πλm

).

La démonstration se ramène donc à démontrer que (−1)kσk(x21, . . . , x

2m) = σ2k(x1,−x1, . . . , xm,−xm),

qui est une formule classique de théorie des polynômes symétriques.

3.5.2. Relation entre les classes de Pontrjagin Pk(Er) et les classes de Chern ck(Ec).— Fixons un fibré complexe Ec, de fibré réel sous-jacent Er obtenu en oubliant la structureholomorphe. Plus précisément, injectons GL(n,C) dans GL(2n,R) grâce à l’identification Cn 'R2n. Dans le cas n = 1, ceci signifie

(z) 7→(x −yy x

)

où z = x+ iy. L’expression est similaire en dimension supérieure. Si Ec = (∐Uα × Cn)/gαβ alors

Er = (∐

Uα × R2n)/grαβ ,

où grαβ est l’analogue réel de gαβ obtenu par l’inclusion GL(n,C) → GL(2n,R). Comme pour toutautre fibré vectoriel réel, définissons la classe de Pontrjagin de Er.

Cherchons à relier les classes Pk(Er) et ck(Ec). Pour ce faire, remarquons queEr⊗C et Ec ne sontpas isomorphes, puisque Ec est de rang complexe n alors que Er⊗C est de rang complexe 2n. Parcontre Er⊗C ' Ec⊕Ec en tant que fibrés complexes. Par conséquent Pk(Er) = (−1)kc2k(Er⊗C) =

(−1)kc2k(Ec ⊕ Ec). Il s’ensuit que∑

k

(−1)kPk(Er) =∑

k

c2k(Ec ⊕ Ec).

Puisque c`(E) = (−1)`c`(E), on obtient c2k+1(E ⊕ E) = 0. Donc∑

k

(−1)kPk(Er) =∑

k

ck(Ec ⊕ Ec) = c(Ec ⊕ Ec) = c(Ec)c(Ec).

Cette relation permet d’obtenir les classes de Pontrjagin Pk(Er) du fibré réel Er sous-jacent à Ecen fonction des classes de Chern ck(Ec) de Ec.


3.6. Classe d’Euler d’un fibré vectoriel réel

3.6.1. Fibrés orientables. — L’image de l’inclusion GL(n,C) → GL(2n,R) est dans la com-posante connexe GL+(2n,R) de GL(2n,R) des matrices inversibles de déterminant strictementpositif. Par conséquent, l’image de U(n) est dans SO(2n).

Exemple 3.6.1. — Le groupe U(1) s’injecte dans SO(n) par

eiθ 7→(

cos(θ) − sin(θ)

sin(θ) cos(θ)

).

La remarque ci-dessus implique que si Ec = (∐Uα×Cn)/gαβ et Er = (

∐Uα×R2n)/grαβ , alors

det(grαβ) > 0. De façon similaire, si l’on munit Ec d’une métrique alors gαβ est à valeurs dans U(n)

et grαβ est à valeurs dans SO(n).

Définition 3.6.2. — Si T : Rn −→ R

n est linéaire inversible et de déterminant strictementpositif, on dit que c’est une transformation préservant l’orientation. De façon équivalente, si eiest un cadre de Rn alors on dit que ei et Tei ont même orientation. Si det(gαβ) > 0, alors onpeut assigner une orientation aux fibres de E en utilisant les trivialisations du fibré. Par exemple,si ψb : Eb −→ Rn est un isomorphisme avec b ∈ Uα alors ψ−1

α ei est appelé un cadre de Eb orientépositivement ; ici ei est le cadre standard de Rn.

Définition 3.6.3. — Un fibré E est orientable s’il existe des fonctions de transition gαβ avecdet(gαβ) > 0.

C’est équivalent à trouver un cadre dans lequel les fonctions de transition sont à valeurs dansSO(n).

Corollaire 3.6.4. — Le fibré réel Er (sous-jacent à un fibré complexe Ec) est toujours orientable.

Supposons que E −→ B est un fibré orientable ; ainsi les fonctions de transition peut êtrechoisies de sorte à prendre leurs valeurs dans SO(n). Dans ce cas, il suffit de vérifier l’invariancepar conjugaison d’un polynôme P : o(n) −→ R uniquement pour des matrices T ∈ SO(n).

Remarque 3.6.5. — Il existe des fibrés non orientables. Déterminer si un fibré donné est orien-table est une question à laquelle nous nous intéresserons au chapitre 4.

On peut se demander s’il existe des polynômes P qui sont SO(n)-invariants mais pas O(n)-invariants. Si oui, alors ces fibrés définissent des classes caractéristiques pour les fibrés orientablesque les fibrés non-orientables n’ont pas. Nous allons démontrer qu’en fait lorsque le rang du fibréest impair, la réponse est négative. Par contre lorsque le rang est pair il existe une nouvelle classee(E), appelée classe d’Euler.

On a déjà vu que A est conjuguée sous O(n) à une matrice de l’un des deux types I ou II et queP (A) = P (λ1, . . . , λn), où P est un polynôme O(n)-invariant et symétrique en les λ2

i .

1. (Cas n = 2)(

0 λ

−λ 0

)7→(

0 −λλ 0

)via T =

(1 0

0 −1

).

Mais det(T ) = −1, donc T ∈ O(n) \ SO(n).

3.6 Classe d’Euler d’un fibré vectoriel réel 59

2. (Cas n = 3)

0 λ 0

−λ 0 0

0 0 0

7→

0 −λ 0

λ 0 0

0 0 0

via T =

1 0 0

0 −1 0

0 0 ε

, avec ε = ±1.

Si l’on choisit ε = −1, alors T ∈ SO(n).

D’une manière générale, si n est impair alors l’invariance sous SO(n) implique la symétrie sousλ2

i , qui implique l’invariance sous O(n). Par contre si n est pair cela n’arrive pas.

Lemme 3.6.6. — Si P est SO(n)-invariant, alors on peut écrire P sous la forme P = P0 + P1

avec des polynômes P0 et P1 tels que P0 est O(n)-invariant et P1(gAg−1) = (det(g))P1(A) pour

tout g ∈ O(n) (donc P1 est SO(n)-invariant).

Démonstration. — Fixons g0 ∈ O(n) \ SO(n) et écrivons

P (A) =P (A) + P (g0Ag

−10 )

2+P (A)− P (g0Ag

−10 )

2.

Alors

P0(A) =1

2(P (A) + P (g0Ag

−10 )) et P1(A) =

1

2(P (A)− P (g0Ag

−10 )).

3.6.2. Classe d’Euler. — Commençons par examiner le cas de R2m.

Exemple 3.6.7. — Pour une matrice réelle A, définissons e(A) comme suit. Fixons une base eiorientée et orthonormale de R2n. Si Aei = Ajiej , posons

α(A) =∑

i<j

Aijei ∧ ej ∈ ∧2(R2m).

Si A est une matrice de type I, alors un calcul direct prouve que α(A) =∑m

i=1 xie2i−1∧e2i. Posons

e(A) =1

m!(α(A)m, e1 ∧ · · · ∧ e2m)

où ( · , · ) est le produit scalaire sur ∧2mR

2m. Pour A de type I, on obtient α(A)m =

m!(x1x2 · · ·xm e1 ∧ · · · ∧ e2m), donc e(A) = x1 · · ·xm. En particulier e(gAg−1) = e(A) det(g)

pour g ∈ O(n) et e2(A) = det(A). On peut démontrer que tout polynôme SO(n)-invariant s’écritP (A) = e(A)P (A), où P est un polynôme O(n)-invariant.

Cet exemple motive la définition suivante.

Définition 3.6.8. — Pour un fibré vectoriel réel orientable E −→ B de rang n = 2m, la classed’Euler est e(E) = [e( 1

2πF )]. Ici F est la courbure de n’importe quelle connexion orthogonale dansun cadre orthonormal orienté.

Remarque 3.6.9. — 1. Bien qu’a priori e(E) ∈ H2m(B; R), on a en fait e(E) ∈ H2m(B; Z).

2. La classe d’Euler se comporte bien avec la somme. Plus précisément e(E1⊕E2) = e(E1)e(E2).


Examinons maintenant le cas particulier du fibré réel E = Er sous-jacent à un fibré complexe Ec.On sait que Er est orientable et que si Ec est de dimension complexe m alors Er est de dimensionréelle 2m. Cherchons à relier la classe d’Euler e(Er) de Er et la classe de Chern cm(Ec) de Ec.

Nous avons e2(A) = det(A) et det(I+A) = 1+ · · ·+det(A), donc e2(Er) = Pm(Er). Par ailleursm∑

k=0

Pk(Er)(−1)k = (1 + c1(Ec) + · · ·+ cm(Ec))(1− c1(Ec) + · · ·+ (−1)mcm(Ec)),

donc Pm(Er)(−1)m = (−1)mc2m(Ec), d’où e2(Er) = c2m(Ec).Démontrons qu’en fait e(Er) = cm(Ec), où Er est muni de l’orientation standard induite par

Ec. L’orientation sur R2m induite par une orientation de Cm est obtenue comme suit. Choisissonsune C-base eama=1 de Cm. Alors ea, ieama=1 est une R-base de R2m. L’orientation sur R2m estobtenue en déclarant que cette base est orientée positivement.

Avec ce choix de cadres, l’inclusion GL(m,C) → GL(2m,R) donne lieu à

iλ1

2π. . .

iλm

2π

7→

0 −λ1

2πλ1

2π 0. . .

0 −λm

2πλm

2π 0

.

Il s’ensuit que

cm(Ec) =

m∏

j=1

−λj2π

= e(Er).

Remarque 3.6.10. — Les signes ont été choisis afin que l’égalité ait lieu. Si on change l’orienta-tion de E, alors e(E) change de signe. Nous étudierons ce phénomène dans la sous-section suivante.

3.6.3. Comportement de la classe d’Euler lors du changement d’orientation. — SoitE −→ B un fibré vectoriel réel orienté de rang n = 2m réalisé comme E =

∐Uα ×Rn/gαβ avec

gαβ : Uα ∩ Uβ −→ SO(n). Ainsi ψα : E∣∣Uα

∼−→ Uα × Rn définit un cadre orienté.

Afin de changer l’orientation de E et d’obtenir un fibré vectoriel E −→ B de même rang queE, choisissons g0 ∈ O(n) \ SO(n). Définissons un nouveau cadre

ψα : E∣∣Uα

ψα−→ Uα × Rn 1×g0−→ Uα × R

n.

Les nouvelles fonctions de transition sont gαβ = g0 gβα g−10 . D’où le diagramme commutatif

E|Uα∩Uβ

ψα //

ψβ $$HHH

HHHH

HHRn

gβα

g0 // Rn

gαβ=g0gβαg−10

Rn

g0 // Rn

Remarque 3.6.11. — 1. On a det(gβα) = +1, donc gβα ∈ SO(n).

2. Utiliser ψα pour définir une orientation sur les fibres donne lieu à l’orientation opposée à celleobtenue par ψα.

Si Fα est la courbure d’une connexion D sur E pour le cadre local orienté et si Fα est la courburecorrespondante sur E, alors

Fα = g0 Fα g−10 .

3.6 Classe d’Euler d’un fibré vectoriel réel 61

Ainsie(E) = e

( 1

2πFα

)= e(g0(

1

2πFα)g−1

0

)= −e

( 1

2πFα

)= −e(E).

3.6.4. Cas particulier du fibré tangent E = TM de M . —

Définition 3.6.12. — 1. Une variété M est orientable si TM est orientable.

2. La classe d’Euler d’une variété orientable M est définie comme étant e(M) = e(TM).

Remarque 3.6.13. — SoitM une variété orientable de dimension 2m et de classe d’Euler e(M) ∈H2m(M,Z). On peut évaluer e(M) sur la classe fondamentale dans H2m(M,Z), c’est-à-dire sur laclasse [M ] ∈ H2m(M,Z). Un théorème (admis) affirme que

e(M)[M ] =

∫

M

e(M)

= χ(M)

=

2m∑

k=0

(−1)kbk(M),

où χ(M) est la caractéristique d’Euler de M et les bk(M) sont les nombres de Betti. C’est unexemple de théorème de l’index.

Exemple 3.6.14. — Examinons le cas particulier dim(M) = 2. Une matrice anti-symétrique 2×2

est de la forme

A =

(0 a

−a 0

).

Ainsi e(A) = (ae1 ∧ e2 , e1 ∧ e2) = a, où e1, e2 est une base orientée de R2. On obtient e(TM) =

[e( 12πΩ)], où Ω est la courbure de la connexion de Lévi-Civita. Mais Ω s’écrit sous la forme

Ω =

(0 w

−w 0

),

où w est une 2-forme et donc un multiple de la forme de l’aire sur M . Donc w = κdA, d’oùe(TM) = 1

2πκdA et ainsi∫Me(TM) = 1

2π

∫Mκ dA. Finalement

χ(M) =1

2π

∫

M

κ dA.

La fonction κ est appelée courbure de Gauss de la métrique sur M et cette équation est le théorèmede Gauss-Bonet.

CHAPITRE 4

ORIENTABILITÉ ET STRUCTURE SPINORIELLE

4.1. Détection de l’orientabilité

Soit

E =∐

Uα × Rn/gαβ

un fibré vectoriel avec pour fonctions de transition gαβ : Uα ∩Uβ −→ O(n). On se demande si l’onpeut changer les trivialisations locales de sorte à ce que les nouvelles fonctions de transition gαβsoient dans SO(n).

Pour ce faire, nous avons besoin de fonctions

λα : Uα −→ O(n)

telles que si ψα est définie par E∣∣Uα

ψα−→ Uα × Rnλα−→ Uα × Rn, alors

gβα = λβ gβα λ−1α ∈ SO(n).

Le diagramme suivant nous prouve que les gαβ sont bien des fonctions de transition :

E|Uα∩Uβ

ψα //

ψβ

$$HHH

HHHH

HHRn

λα //

gβα

Rn

gβα=λβgβαλ−1α

Rn

λβ // Rn

Définissons δαβ = det(gαβ) : Uα ∩ Uβ −→ ±1 = Z/2Z,

`α = det(λα) : Uα −→ Z/2Z.

On constate que les λα doivent vérifier

1 = δαβ = det(gαβ) = det(λα gαβ λ−1β ) = `α · δαβ · `−1

β .

Ainsi, on demande que

δαβ =`β`α.

En écrivant δαβ = eiπuαβ et `α = eiπvα avec uαβ , vα ∈ 0, 1 = Z/2Z, la question initiale seréduit à déterminer si étant donnée une famille uαβ on peut trouver une famille vα telle queuαβ = vβ − vα.

64 Chapitre 4. Orientabilité et structure spinorielle

Remarque 4.1.1. — Nous ne nous intéressons qu’à des uαβ qui proviennent de fonctions detransition, c’est-à-dire satisfaisant à Id = gαβgβγgγα sur Uα∩Uβ∩Uγ 6= ∅, ce qui équivaut à vérifier1 = δαβδβγδγα, ou encore 0 = uαβ + uβγ + uγα.

La question devient alors la suivante. Étant donnée uαβ telle que

(4.1.1) uαβ + uβγ + uγα = 0 sur Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅,on recherche vα telle que

(4.1.2) uαβ = vβ − vα.Nous verrons dans la section suivante que les équations (4.1.1) et (4.1.2) correspondent respec-

tivement à la condition de fermeture et d’exactitude sur une 1-cochaine de Čech.

4.2. Cohomologie de Čech

Supposons que l’on puisse trouver des transformations λα : Uα −→ O(n) telles que sous

E|Uα

ψα−→ Uα × Rn 1×λα−→ Uα × R

n,

les nouvelles fonctions de transition gαβ = λα gαβ λ−1β vérifient det(gαβ) = 1. Rappelons que

la condition de cocycle −→ uαβ + uβγ + uγα = 0 (fermé),la condition det(gαβ) = 1 −→ uαβ = vβ − vα (exact).

Construisons la cohomologie de Čech à coefficients dans Z/2Z. Commençons par fixer un recou-vrement Uαα∈I « convenable » de B, c’est-à-dire tel que toutes les intersections soient connexeset contractiles.

1. Définissons une 0-cochaine comme étant

g(0) = gα ∈ Z/2Z ; α ∈ I (donc g(0) définit une application g(0) : I −→ Z/2Z).

2. Définissons une 1-cochaine comme étant

g(1) = gαβ ∈ Z/2Z ; gαβ = −gβα(= gβα ∈ Z/2Z) pour tous α 6= β tels que Uα ∩ Uβ 6= ∅.

3. Définissons une j-cochaine comme étant

g(j) = gα0···αj ∈ Z/2Z ; gα0···αj antisymétrique pour les indices, pour des αi tous différents et tels quej⋂

i=0

Uαi 6= ∅.

4. Soit C(j) le groupe des j-cochaines pour l’opération

g(j) + f (j) = (g + f)α0···αj = gα0···αj + fα0···αj.

5. Soit enfin δ : C(j) −→ C(j+1) définie en posant

(4.2.1) (δg(j))α0···αj+1 =

j+1∑

i=0

(−1)ig(j)α0···αi···αj+1

,

où αi signifie que l’on omet αi de la liste d’indices.

4.3 Structure spinorielle 65

Par exemple

δ : C(0) −→ C(1) et (δg(0))αβ = g(0)β − g(0)

α

δ : C(1) −→ C(2) et (δg(1))αβγ = g(1)βα − g(1)

αγ + g(1)αβ .

Nous obtenons ainsi une suite

C(0) δ(0)−→ C(1) δ(1)−→ C(2) δ(2)−→ · · ·On vérifie facilement que δ est un morphisme de groupes tel que δ2 = 0. Ainsi Im(δ(p)) ⊂Ker(δ(p+1)) et on peut former la cohomologie de Čech à coefficients dans Z/2Z en posant

H(p) (Uαα∈I ,Z/2Z) =Ker(δ(p))

Im(δ(p−1))pour tout p > 0

et H(0) = Ker(δ(0)). On démontre que ce résultat est indépendant du recouvrement convenableUαα∈I . Par ailleurs H(p)(B,Z/2Z) ' Hp(B,Z/2Z).

Revenons à nos moutons, en l’occurence uαβ et vαα∈I . La famille uαβ définit une 1-cochaine de Čech. La condition uαβ+uβγ+uγα = 0 signifie que δ(1)(uαβ) = 0 (puisque gαβ = g−1

βα ,on obtient uγα = −uαγ , etc.). Par conséquent uαβ définit une classe w1(E) ∈ H(1)(B,Z/2Z) =

H1(B,Z) appelée première classe de Stiefel-Whitney.La famille vαα∈I définit v(0) ∈ C(0) et la condition uαβ = vβ − vα signifie que uαβ = δv(0),

c’est-à-dire w1(E) = 0. D’où le

Lemme 4.2.1. — Si E est orientable, alors w1(E) = 0.

La réciproque est également vraie. En effet, considérons un fibré vectoriel E =∐Uα×Rn/gαβ.

Définissons la cochaine de Čech u(1) = uαβ comme ci-dessus, c’est-à-dire det(gαβ) = eiπuαβ . Nousavons alors w1(E) = [u(1)] ∈ H1(B,Z/2Z). Supposons que w1(E) = 0, c’est-à-dire [uαβ] = 0 ∈H(1)(B,Z/2Z). Il s’ensuit que l’on peut trouver une famille vα telle que uαβ = vβ − vα.

Lemme 4.2.2. — Étant donnée vα telle que vα : Uα −→ Z/2Z, il existe λα : Uα −→ O(n) telque det(λα) = eiπvα .

Par conséquent, en utilisant λα pour ajuster la trivialisation locale nous obtenons gαβ ∈ SO(n) ;ainsi E est orientable. Finalement, nous avons démontré la

Proposition 4.2.3. — Le fibré E est orientable si et seulement si w1(E) = 0.

En d’autres termes, l’obstruction à l’orientabilité d’un fibré vectoriel est la première classe deStiefel-Whitney.

Dans les deux sections suivantes, nous verrons qu’il existe une classe de Stiefel-Whitney endimension 2, et qu’elle est l’obstruction à l’existence d’une structure spinorielle.

4.3. Structure spinorielle

Soit E un fibré vectoriel tel que w1(E) = 0 réalisé sous la forme E =∐Uα × Rn/gαβ avec

gαβ ∈ SO(n). Nous allons munir E d’une structure plus fine, appelée structure spinorielle.Remplaçons E par le SO(n)-fibré principal

PSO(n) =∐

Uα × SO(n)/gαβ.


Admettons la

Proposition 4.3.1. — Nous avons π1(SO(n)) = Z/2Z pour tout n > 2. Par ailleurs, pour n ≥ 2

l’exactitude de la suite

(4.3.1) 1 −→ Z/2Z −→ Spin(n)ρ−→ SO(n) −→ 1

définit un groupe de Lie simplement connexe Spin(n) pour lequel ρ est un recouvrement à deuxfeuillets et un morphisme de groupes.

Exemple 4.3.2. — Nous avons Spin(2) = S1 grâce au recouvrement S1 −→ S1 défini par z 7→ z2.

Exemple 4.3.3. — Démontrons que Spin(3) = SU(2). Pour ce faire, il nous faut un recouvrementà deux feuillets SU(3) −→ SO(3). En fait toute matrice A ∈ SU(2) peut s’écrire

A =

(z1 z2−z2 z1

)

avec |z1|2 + |z2|2 = 1. Ainsi

SU(2) = (z1, z1) ; |z1|2 + |z2|2 = 1 ' S3 = q = z1 + jz2 ∈ H ; |q|2 = 1,où C2 ' H = R⊕ iR⊕jR⊕kR est le corps des quaternions. Définissons une action des quaternionsunitaires S3 ⊂ H sur H en posant

S3 ×H −→ H, (q0, q) 7→ q0 q q−10 .

Soit R3 = Im(H) = iR ⊕ jR ⊕ kR. Les quaternions unitaires agissent par restriction sur les

quaternions imaginaires Im(H) = R3 en (q0, x) 7→ q0 x q−10 = q0 x q0 (car |q0|2 = 1). Cette action

restreinte de S3 = SU(2) sur R3 est unitaire, c’est-à-dire Aq0 : x 7→ q0 x q−10 est dans SO(3). Enfin,

on démontre que l’application

A : S3 = SU(2) −→ SO(3), q0 7→ (Aq0 : x 7→ q0 x q−10 )

est surjective et de noyau 1,−1 est le recouvrement à deux feuillets recherché. Cette applicationse factorise en un difféomorphisme

S3 A // //

π

SO(3)

RP(3)

∼

::vvvvvvvvv

Exemple 4.3.4. — Afin de démontrer que Spin(4) = SU(2)×SU(2) = S3×S3, il suffit de vérifierque l’application

A : (p0, q0) −→ (Ap0,q0 : x 7→ p0xq−10 )

est surjective et de noyau (1, 1), (−1,−1). En outre A se factorise en un difféomorphisme

S3 × S3 A // //

π×Id

SO(4)

RP(3)× S3

∼

99rrrrrrrrrr

Exemple 4.3.5. — La surjectivité de l’application ρ dans (4.3.1) nous assure de trouver pourtoute matrice g ∈ SO(n) une matrice g ∈ Spin(n) telle que ρ(g) = g.

4.4 Obstruction à l’existence d’une structure spinorielle 67

Dans la situation

Spin(n)ρ

U

? ∃ g;;wwwwwwwww g // SO(n)

on peut démontrer que si U est contractile, alors on peut trouver g.Appliquons ceci à gαβ : Uα∩Uβ −→ SO(n) dans le fibré principal PSO(n) =

∐Uα×SO(n)/gαβ

défini ci-dessus. Ainsi on peut relever gαβ en gαβ : Uα ∩Uβ −→ Spin(n) si Uα ∩Uβ est contractile.En d’autres termes, le diagramme suivant commute :

Spin(n)

ρ

Uα ∩ Uβ

gαβ

99ssssssssss gαβ // SO(n)

On peut se demander si les fonctions de transition gαβ : Uα ∩ Uβ −→ Spin(n) définissent unSpin(n)-fibré, c’est-à-dire

PSpin(n) =∐

Uα × Spin(n)/gαβ.Si la réponse est oui, alors un tel relèvement définit une structure spinorielle sur ρ. Il nous fautvérifier la condition de cocycle gαβ gβγ gγα = I dans Spin(n).

4.4. Obstruction à l’existence d’une structure spinorielle

Étant donnée gαβ, on peut choisir un système de relèvements gαβ. Définissons hαβγ =

gαβ gβγ gγα pour Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅.On a hαβγ ∈ Spin(n) mais ρ(hαβγ) = gαβ gβγ gγα = I ∈ SO(n), donc hαβγ ∈ ρ−1(I) ' Z/2Z.

Par conséquent w(2) = hαβγ définit une 2-cochaine de Čech. Admettons le

Théorème 4.4.1. — Nous avons δw(2) = 0, d’où

[w(2)] ∈ H(2)(B,Z/2Z).

Si [w(2)] = 0, alors il existe une 1-cochaine de Čech λαβ = λ(1) telle que w(2) = δ(λ(1)).

La classe [w(2)] = w2(PSO(n)) ∈ H2(B,Z/2Z) est dite seconde classe de Stiefel-Whitney.

Proposition 4.4.2. — Le fibré PSO(n) admet une structure spinorielle si et seulement siw2(PSO(n)) = 0.

Définition 4.4.3. — Une variété orientableM est spinorielle si un SO(n)-fibré principal en cadresadmet un relèvement en un Spin(n)-fibré principal (⇐⇒ w2(TM) ≡ w2(M) = 0).

Exemple 4.4.4. — 1. La sphère Sm est spinorielle.

2. Une surface riemannienne orientable est spinorielle.

3. L’espace projectif CPk est spinoriel si et seulement si k est impair ; en particulier CP

2 n’estpas spinoriel.

4. Un groupe de Lie est spinoriel.


Remarque 4.4.5. — Si M est une variété orientable spinorielle et PSpin est un relèvement deSO(n), on peut lui associer un fibré vectoriel

S = PSpin ×ρ V

où ρ : Spin(n) −→ Aut(V ) définit la représentation spinorielle ; le fibré S est appelé fibré vectorielspinoriel associé.

Nous avons un recouvrement à deux feuillets p : Spin(n) −→ SO(n). Si

PSO(n) =∐

Uα × SO(n)/gαβ

est un SO(n)-fibré principal, alors une structure spinorielle pour le fibré est

PSpin(n) =∐

Uα × Spin(n)/gαβ

avec pgαβ = gαβ. En découle un morphisme de fibrés ρ : PSpin(n) −→ PSO(n).En particulier, si PSO(n) est le fibré des cadres orientés pour TM alors PSpin(n) définit une

structure spinorielle sur M . De plus TM = PSO(n) ×σ Rn, où σ : SO(n) → Aut(Rn) = GL(n,R).Étant donné PSpin(n), notons σ : Spin(n) −→ Aut(Rn) la représentation induite et posons V =

PSpin(n) ×σ Rn.

Cherchons une relation entre les SO(n)-représentations et les Spin(n)-représentations. Puisquepar définition σ = σ p : Spin(n) −→ SO(n) −→ Aut(Rn), une représentation de SO(n) donne lieuà une représentation de Spin(n). Réciproquement, remarquons que σ(−I) = σ(I) = I . Donc si unereprésentation σ de Spin(n) vérifie σ(−I) = σ(I), on peut définir une représentation de SO(n) defaçon naturelle. Cependant, il existe des représentations de Spin(n) qui n’ont pas cette propriété.En fait, on peut identifier ces représentations pathologiques ; ceci conduit à des fibrés spinoriels surM , dont les sections sont appelée spineurs.

4.5. Structure SpinC

Le fibré spinoriel Spin(n) est défini à l’aide de la suite exacte

1 −→ Z/2Z −→ Spin(n) −→ SO(n) −→ 1.

Examinons le recouvrement à deux feuillets de SO(n) × S1 = SO(n) × U(1). Le cercle S1 est unrecouvrement à deux feuillets de S1 grâce à l’application z 7→ z2. Étudions par conséquent l’appli-cation Spin(n)×S1 −→ SO(n)×S1 définie par le produit des deux applications des recouvrements.Nous obtenons alors un recouvrement à quatre feuillets de SO(n)×S1. Remarquons que Z/2Z agità la fois sur Spin(n) et S1 (action antipodale). L’espace des orbites de cette action sur Spin(n)×S1

est

Spin(n)×Z/2Z S1 = [g, λ] ; [g, λ] = [−g,−λ].

Définition 4.5.1. — Notons SpinC(n) = Spin(n)×Z/2Z S1.

Définissons une application SpinC(n) −→ SO(n)×S1 en posant [g, λ] 7→ (g, λ). Alors SpinC(n) estun recouvrement à deux feuillets de SO(n)×S1. Cherchons un analogue au fibré PSpin(n) −→ PSO(n).Partons de

PSO(n) × L =∐

Uα × (SO(n)×U(1))/gαβ, `αβ,

4.6 Condition d’existence d’une structure SpinC

69

pour un fibré vectoriel complexe Lmuni d’un produit scalaire hermitien et de fonctions de transition`αβ. Étudions à quelle condition on peut relever PSO(n) × L en un SpinC(n)-fibré. Localement,il n’existe aucun problème puisque

SpinC(n)

''OOOOOOOOOOO

Uα ∩ Uβ

gαβ×`1/2αβ

99rrrrrrrrrr (gαβ ,`αβ) // SO(n)×U(1)

Cependant, rien n’affirme que l’on peut prendre les relèvements gαβ et `1/2αβ de façon à satisfaire lacondition de cocycle. Plus précisément, on doit choisir les relèvements tels que pour tous α, β, γavec Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅ on ait

[gαβ gβγ gγα, `1/2αβ `

1/2βγ `

1/2γα ] = 1 ∈ SpinC(n),

c’est-à-dire égal à [1, 1] ou [−1,−1].

4.6. Condition d’existence d’une structure SpinC

L’espace SpinC(n) est un recouvrement à deux feuillets de SO(n) × S1 grâce à [g, λ] 7→ (g, λ2).Fixons PSO(n) (du fibré vectoriel associé E) et L (un fibré vectoriel complexe muni d’un produitscalaire hermitien) au-dessus de B, avec pour fonctions de transition gαβ et `αβ. Si Uα ∩ Uβest contractile, alors on peut relever

Spin(n)

$$JJJJJJJJJ

Uα ∩ Uβ

gαβ

99ssssssssss gαβ // SO(n)

et

S1

$$III

IIII

III

Uα ∩ Uβ

`1/2αβ

;;wwwwwwwww `αβ // U(1) = S1

Écrivons `αβ = eiπxαβ . Alors la condition de cocycle pour les `αβ affirme que xαβ+xβγ+xγα ∈ 2Z

pour tous α, β, γ tels que Uα ∩ Uβ ∩ Uγ 6= ∅. Par ailleurs `αβ = eiπxαβ/2. D’où

`1/2αβ `

1/2βγ `

1/2γα = eiπwαβγ/2

avecwαβγ = xαβ + xβγ + xγα.

DéfinissonsΓαβγ = gαβ gβγ gγα ∈ Z/2Z

etcαβγ =

wαβγ2∈ Z.

Pour que[gαβ, `

1/2αβ ] ∈ SpinC(n)


définisse un SpinC(n)-fibré PSpinC

(c’est-à-dire un recouvrement à deux feuillets PSpinC−→ PSO(n)×

L), il faut que[Γαβγ , cαβγ ] = 1 ∈ SpinC(n)

c’est-à-dire Γαβγ = 1 et cαβγ ≡ 0 mod 2 ou Γαβγ = −1 et cαβγ ≡ 1 mod 2.Mais Γ = Γαβγ définit une Z/2Z-cochaine de Čech et C = cαβγ définit une Z-cochaine de

Čech. Si cαβγ désigne la réduction de cαβγ modulo 2, alors C = cαβγ définit une Z/2Z-cochainede Čech. La condition que nous voulons est Γ + C = 0. Par conséquent, ces cochaines définissentdes classes de cohomologie vérifiant [Γ] = [C ] ∈ H2(B; Z).

Lemme 4.6.1. — 1. Nous avons [Γ] = w2(E).

2. La classe [C] ∈ H2(B; Z) est la première classe de Chern c1(L).

La condition d’existence d’une structure SpinC est donc c1(L) ≡ w2(E) mod 2. Par conséquent

Proposition 4.6.2. — Soit M une variété orientée. Si l’on peut trouver un fibré vectoriel com-plexe L −→M tel que c1(L) ≡ w2(M) mod 2, alors (M,L) admet une structure SpinC (c’est-à-direTM × L admet un relèvement). En particulier, si M est une variété spinorielle on peut prendreL = M × C et utiliser le relèvement PSpin pour construire PSpin

C.

BIBLIOGRAPHIE

[1] W. Greub, S. Halperin & R. Vanstone – Connections, curvature, and cohomology. Vol.I : De Rham cohomology of manifolds and vector bundles, Academic Press, New York, 1972,Pure and Applied Mathematics, Vol. 47.

[2] , Connections, curvature, and cohomology. Vol. II : Lie groups, principal bundles, andcharacteristic classes, Academic Press [A subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers],New York-London, 1973, Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-II.

[3] , Connections, curvature, and cohomology, Academic Press [Harcourt Brace JovanovichPublishers], New York, 1976, Volume III : Cohomology of principal bundles and homogeneousspaces, Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III.

[4] D. Husemoller – Fibre bundles, third éd., Springer-Verlag, New York, 1994.

INDEX DES NOTATIONS

(E,B, F, π), 3( · , · ), 13(u, f), 4Ai, 44B, 3BG, 18BG(n), 18C, 56D, 20, 26D∗, 29D⊕, 29D⊗, 29D1, 22D2, 22DXs, 23Dα, 22Dt, 37E, 3E∗, 10E1 ⊕E2, 10EG, 18EG(n), 18EC, 43ER, 43Eb, 3E∗

b, 10

F , 3F (V ), 7F (k,m), 15F⊗, 29FD, 26F∇, 32Fω, 26F⊕

ω , 29G, 1G(k,m), 15GC(k,m), 15Gk(m), 15H, 25He, 24Hij , 14

I, 15IGLn , 38ID, 25J , 44L, 55N , 2NX, 2Nx, 2P , 3, 36P (D), 36P (E), 36P (Fα), 36P (λ1, . . . , λn), 38P ×G V , 7P ×ρ V , 7P0, 47P1, 47PE , 6Pk(A), 45Pk(E), 45Q, 15, 39S, 25, 55S∞, 18T , 24TM , 1TP (D0,D1), 37TxM , 1U , 1UI , 15Uα, 4Un, 18V , 55VC, 43VR, 43Ve, 20Vk(m), 15Xb, 19Z, 5[B,BG], 16[γ(t)], 1[v1, . . . , vk], 15

74 Index des notations

Ad, 11Alt, 33Aut(E), 11Coker(f), 11End(E), 11Γ, 56Γ(B,E), 8Γαβγ , 56Γk

ji, 32Hom(E,F ), 10Im(f), 11Ker(f), 11O(n), 3Ω, 32Ω1(B,End(E)), 22Ω0(B,E), 8Ωp(B), 8PrinG(B), 17Spin(n), 53Td(E), 42Vectk(B), 16α(A), 47φα, 5C(j), 52H(p), 52χ(E), 43χ(M), 42, 49CP

∞, 18deg(E), 43δ, 52δαβ , 51γ(t), 23`α, 51exp(v), 32Ddts(t), 30

γ(t), 1γm

k, 15

κ, 49λ, 10λα, 10λi, 38〈s, t〉, 31〈x, t〉, 18〈 · , · 〉b, 13A(E), 23Dx, 25ID, 25G, 11∇, 32∇lc, 33ω, 21ωα, 21ωij(t), 23ωji, 20ωG, 18φα, 5π, 3

ψ, 1ρ, 6ρα, 14ρn, 18σ, 8σi, 39SpinC(n), 55τ , 33DIAG, 38θ, 37γh, 23Rn, 9ϑ, 2P , 47E, 48Fα, 48∇, 33ψα, 48gαβ , 48ξ, 3bk(M), 49bp, 42c(E), 39ck(E), 39ck(ER), 43cαβγ , 56ch(E), 40chk(E), 40d, 19df , 19dfb, 19e(A), 47e(E), 47e(M), 49ei, 1, 7f∗(D), 30fM , 42fb, 4g, 43g∗

αβ, 10

g⊕αβ

, 10

gfαβ

, 12g0, 48gβα, 4h, 2, 5hα, 5hαβγ , 54i, 25rp∞, 18s, 8sα, 8si(t), 23w(2), 54w1(E), 52w2(PSO(n)), 54wαβγ , 56

INDEX TERMINOLOGIQUE

adaptée (trivialisation), 17application

classifiante, 16de Hopf, 2préservant l’orientation, 46

associé(fibré principal), 6(fibré vectoriel), 7

base, 3Betti (nombre de), 49Bianchi (identité de), 28cadre

(fibré en), 7d’un espace vectoriel, 7local, 14orienté, 46tiré en arrière, 30

caractéristique(classe), 36, 43d’Euler, 42

caractèrede Chern, 40

total, 40Čech (cohomologie de), 52Chern

(caractère de), 40(classe de), 39

Chern-Weil (homomorphisme de), 38classe

caractéristique, 36, 43d’Euler

d’un fibré, 47d’une variété, 49

de Chern, 39totale, 39

de Stiefel-Whitney, 52de Todd, 42

classifiante (application), 16co-noyau (fibré), 11co-tangent (fibré), 1cocycle (condition de), 4

cohomologie de Čech, 52compatible

(connexion), 31complexe de de Rham, 26complexifié

espace, 43fibré, 43

conditionde cocycle, 4de constante covariante, 31

connexion, 20compatible, 31de Lévi-Civita, 33orthogonale, 31plate, 27unitaire, 31

constante covariante, 31construction de Milnor, 17courbure, 26

de Gauss, 49covariante

(constante), 31(dérivée), 23, 30

Cristofell (symbole de), 32dérivée covariante, 23, 30de Rham (complexe de), 26degré d’un fibré, 43différentiel idéal, 25distribution, 25

intégrable, 25involutive, 25

élémentaire (polynôme symétrique), 39endomorphisme de fibré, 4espace

complexifié, 43normal, 2total, 3

Euler(caractéristique d’), 42(classe d’), 47

Euler-Poincaré (polynôme de), 42

76 Index terminologique

exponentielle, 32fibré, 3

(degré d’un), 43(endomorphisme de), 4(morphisme de), 4à trivialisation adaptée, 17co-noyau, 11co-tangent, 1complexifié, 43en cadre, 7homogène, 3image, 11localement trivial, 1métrique, 14normal, 2noyau, 11orientable, 46plat, 21principal, 3

associé, 6tangent d’une variété, 1tautologique, 2tiré en arrière, 12trivial, 8universel, 16, 17vectoriel, 3

associé, 7fibre, 3

(vecteur le long de la), 20au-dessus d’un point, 3

Frobénius (théorème de), 25géodésique, 32Gauss (courbure de), 49Gauss-Bonet (théorème de), 49genre d’une surface riemannienne, 43G-invariant (polynôme), 36grassmannienne, 15groupe

de jauge, 11de structure, 3

réduit, 8holonomie

(représentation d’), 27(transformation d’), 24

homogène (fibré), 3homomorphisme de Chern-Weil, 38Hopf (application de), 2horizontal (sous-espace), 24idéal différentiel, 25identification, 3identité de Bianchi, 28image (fibré), 11index (théorème de l’), 43, 49infinie (réunion), 18intégrable (sous-variété), 25involutive (distribution), 25Jacobien, 1jauge (groupe de), 11j-cochaine, 52

k-ième classe de Chern, 39Lévi-Civita (connexion de), 33Leibnitz (règle de), 19local (cadre), 14localement trivial (fibré), 1métrique (fibré), 14matrice orthogonale, 3Milnor (construction de), 17morphisme de fibrés, 4nombre de Betti, 49normal

(espace), 2(fibré), 2

noyau (fibré), 11nulle (section), 9orienté (cadre), 46orientable

(fibré), 46(variété), 49

orientation (application préservant l’), 46orthogonale

(connexion), 31(matrice), 3

ouvert trivialisant, 3parallèle

(section), 23(transport), 20

partition de l’unité, 14plat(e)

connexion, 27fibré, 21

polarisation d’un polynôme, 36polynômeG-invariant, 36(polarisation d’un), 36symétrique élémentaire, 39

polynôme d’Euler-Poincaré, 42principal (fibré), 3produit au-dessus d’un groupe, 7projection, 3

stéréographique, 2pull-back, 12réduit (groupe), 8réunion infinie, 18règle de Leignitz, 19relèvement horizontal

d’un chemin, 23d’un vecteur, 24

représentationd’holonomie, 27spinorielle, 55

Riemann-Roch (théorème de), 43riemannienne (surface), 43section, 8

nulle, 9parallèle, 23

sous-espace horizontal, 24sous-variété intégrable, 25spinorielle

77

(représentation), 55(variété), 54

stéréographique (projection), 2Stiefel (variété de), 15Stiefel-Whitney (classe de), 52surface riemannienne, 43symbole de Cristofell, 32tangent fibré, 1tautologique (fibré), 2théorème

de Frobénius, 25de Gauss-Bonet, 49de l’index, 43, 49de Riemann-Roch, 43

tiré en arrière(cadre), 30(fibré), 12

Todd (classe de), 42torsion, 33total

(caractère de Chern), 40

(espace), 3totale (classe de Chern), 39transformation d’holonomie, 24transport parallèle, 20trivial (fibré), 8trivialisant (ouvert), 3trivialisation, 3unité (partition de), 14unitaire (connexion), 31universel (fibré), 16, 17variété

de Stiefel, 15orientable, 49spinorielle, 54

vecteurle long de la fibre, 20vertical, 20

vectoriel (fibré), 3vertical (vecteur), 20vitesse d’un champ de vecteurs, 23

gÉnÉralitÉs sur les fibrÉs - charles...

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