Intro Rdm 1

1- Buts de la RdM

La statique étudie les solides supposés indéformables. Dans la réalité cette hypothèse est rarement vérifiée. De plus

dans les cas d’hyperstatisme, les problèmes ne sont pas résolus.

Ces études permettront également de :

-déterminer les dimensions fonctionnelles d’une pièce.

-choisir le matériau.

-vérifier la résistance de la pièce à la casse, à la déformation ou encore à la fatigue.

-optimiser les coûts.

La RdM s’appuie sur des essais mécaniques réalisés sur des pièces

appelées éprouvettes,

ou sur des éléments en situation réelle (ex crash test).

La théorie de la résistance des matériaux permettra l’étude des solides déformables à condition qu’ils soient

modélisables par un élément longiligne appelé poutre.

2- Théorie des poutres droites

Une poutre est un solide engendré par une surface S (section droite de la poutre) dont le centre de gravité G décrit

une courbe C (appelée ligne moyenne). Les dimensions de S sont petites vis-à-vis de la longueur de C.

Le repère ( ) est tel que est tangent à C en donc normal à chaque section S.

et appartiennent à S. C doit avoir un grand rayon de courbure.

PREMIERE PARTIE – 2H -

INTRODUCTION À LA

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

Remarque : cette définition ne fait pas d’hypothèse sur la

position que doit avoir une poutre ni sur sa rectitude.

Elle peut être horizontale, verticale, inclinée, droite ou courbe.

Intro Rdm 2

3- Les hypothèses de la RdM

3.1- Les matériaux

Les matériaux sont considérés homogènes (constitution identique en chaque point)

Les matériaux sont mécaniquement isotropes (propriétés physiques identiques dans toutes les directions)

Les matériaux sont considérés continus (discontinuités microscopiques négligeables)

3.2- Les efforts

Les efforts extérieurs à la poutre sont supposés invariants avant et après le chargement.

Les charges ne sont pas appliquées brutalement mais progressivement.

Le chargement de la poutre se fait dans un de ses plans de symétrie.

Il existe seulement deux types de chargement : les

actions mécaniques localisées (représentées par un

glisseur) et les actions mécaniques réparties

représentées par une densité linéique qL en

N/m ou une densité surfacique qS en N/m²

3.3- Les poutres

La section S reste à la ligne moyenne C tout au long de la poutre.

La section S reste constante ou varie progressivement en forme ou en dimensions le long de la poutre.

La poutre est élancée (grande longueur L par rapport aux dimensions transversales).

La poutre possède un plan de symétrie ( ) ou ( ).

3.4- Les déformations

Loi de Hooke

Les déformations sont suffisamment petites pour que l’on reste dans le domaine élastique.

(retour à la forme initiale après retrait de la charge)

Les déformations restent limitées et ne modifient pas le système de chargement (type, point d’application,…).

Intro Rdm 3

Hypothèse de Navier-Bernouilli

Hypothèses de Barré de St Venant

Superposition des déformations

(a) = (b) + (c) + (d)

La déformation en un point M de la poutre due à plusieurs actions mécaniques est égale à la somme des

déformations dues à chaque action mécanique.

4- Les différents appuis

Les appuis sont des obstacles empêchant ou limitant la liberté de mouvement du système matériel en ces endroits.

Tout mouvement entravé par la liaison entraîne l’apparition d’une réaction d’appui (ou action de liaison) dans la

direction du mouvement bloqué.

A tout mouvement de translation bloqué correspond une force de liaison (ou action d’appui) ayant cette direction.

A tout mouvement de rotation autour d’un axe donné bloquée correspond un torseur de forces de liaison équivalent

à un couple de même axe.

Pour les mouvements plans, les mouvements possibles se ramènent à une rotation autour d’un axe normal au plan

et à une translation dans une direction quelconque du plan soient trois degrés de liberté.

Les sections planes S à la ligne

moyenne C avant déformation restent

planes et à C’ après déformation.

- Dans une section éloignée de la zone

d’application des charges, la répartition des

contraintes ne dépend pas du type de

chargement.

- Dans une section S proche de la zone

d’application des charges, la répartition des

contraintes dépend du type de chargement.

Intro Rdm 4

4.1- Appui simple glissant (système plan)

Un appui simple permet de bloquer la translation dans une seule direction.

4.2- Appui double (ou articulation)

Un appui double permet de bloquer les translations dans les deux directions du plan.

4.3- Encastrement

L’encastrement bloque tous les déplacements.

Exemples :

e

Intro Rdm 5

5- Principe de la modélisation

Le calcul d’une structure peut s’effectuer manuellement ou à l’aide de logiciels de résistance des matériaux ou

d’éléments finis.

Il faut donc passer par une étape de modélisation du système étudié.

Chaque lieu de liaison, d’application de charges, de modification de forme, etc...doit être défini. On appellera ces

points les nœuds permettant la discrétisation du système.

Exemple :

Nœuds 1 et 2 : extrémités de la poutre

Nœud 3 : articulation intérieure

Nœuds 4 et 7 : liaisons extérieures

Nœuds 1 et 6 : points d’application d’une charge ponctuelle

Nœuds 8 et 9 : extrémités d’une charge répartie

Nœud 5 : changement de section droite

La poutre est donc discrétisée en 8 tronçons.

Exemple d’application sous le logiciel rdm6

Intro Rdm 6

Mais avant tout un peu d’entrainement à la modélisation !!!!

Figure 1 : Axe épaulé

Figure 2 : Poulie de renvoi

Figure 3 : Bras de manœuvre

Figure 4 : Portique

Figure 5 : Etude de perçage

x

y

z

O

A

B

Intro Rdm 7

Figure 6 : Bride de serrage

Figure 7 : Guidage en rotation pignon arbré