Gestion de l’inventaire

Professeur Amar Ramudhin, ing. Ph.D

Rôle de l’inventaires

• Pourquoi avoir de l’inventaire?– Incertitude concernant la demande;– Incertitude concernant le système de distribution

• Délais de livraison

– Incertitude quant au système de production;• Délais de production• Capacité et fiabilité du système

– Incertitude dans l’approvisionnement;• Délais, capacité, disponibilité

– Compromis temps de montage vs coût d’inventaire;

Types d’inventaires• Stock en transit (pipeline)

– Stock en-cours de production, en attente entre deux centres de production, en transit ou en mouvement

– Loi de Little: Encours = Taux de production *délais de production• Stock de roulement (cycle stock)

– L’inventaire moyen qui résulte d’une production ou approvisionnement en lots

– Économie d’échelle: les lots sont généralement plus grand que la demande

• Stock de sécurité– L’inventaire pour palier aux incertitudes de la demande– Cet inventaire est en plus du niveau requis de la planification normale

des prévisions• Stock découlant de la saisonnalité

– Quand la demande d’un produit varie dans le temps, il est parfois souhaitable d’accumuler l’inventaire en période creuse pour les périodes de pointes

Classification des Systèmes d’inventaires

• Systèmes d’inventaire pures ou classiques– Applicable aux items procurés d’un autre partenaire qui sont

gérés individuellement– Pour chaque item on détermine:

• Un point de commande• La quantité à commander

• Systèmes d’inventaire avec production– Les items sont produits à l’interne et donc sont en compétition

pour la capacité et les ressources

• Systèmes d’inventaire avec production et distribution– Considère la production et les points de stockage dans le réseau

de distribution (multi-échelon)– Plus complexe à analyser

Les principaux coûts

• Minimise la somme des coûts:– Coûts d’acquisition de produits

• coût de passation de commande (fixe par commande) – Coût d’administration, de transport, de manutention et

d’inspection à l’arrivée de la commande• coût d’achat (varie en fonction de la quantité)

– Coût de l’item

– Coûts associés à l’existence d’inventaire• Proportionnel au stock de roulement moyen • Inclus les coûts de stockage et de manutention, le

financement de l’inventaire, les assurances, les risques de bris etc

– Coûts associés aux ruptures de stock• Commande prioritaire pour satisfaire à la demande• Coûts associés à une commande en arriéré• Coûts associés à une commande perdue

Modèle Classique: Lot économique

• Hypothèse de base:• Demande constante et continue

– D: taux de la demande annulle (nbre par an)

• Processus stable dans le temps• Pas de délais d’approvisionnement• Le lot commandé est reçu en totalité• Les coûts de varient pas dans le temps• Pas de ruptures de stocks • Pas de rabais sur la quantité

Modèle Classique: Lot économique

D: Demande AnnuelleS: Coût fixe de passation d’une

commandeC: Coût d’achat de l’itemh: Côut d’inventaire par an par

unité en % du côut unitaireH: Coût d’inventaire par an par

item: H=hCQ: Qté commandéT: Intervalle en deux commandeCT: Coût Total t

inventaire

Q

T = Q/D

D

CT = Côut annuel d’achat + coût annuel de passation de commande + coût annuel d’inventaire de roulement

Modèle Classique: Lot économique

• CT = Côut annuel d’achat+ coût annuel de passation de commande + coût annuel d’inventaire de roulement

• CT = CD + S(nbre de commande) + H(inventaire moyen)– Nbre de commande par an:

D/Q– Inventaire moyen: (surface

sous la courbe d’inventaire / temps): Q/2

2*

*2

DSQ

hC

DhCn

S

• CT = CD + S(D/Q) + hC(Q/2)• - SD/Q2 + hC/2 = 0 •Pour trouver Q* poser d(CT)/dQ = 0 et solutionner pour Q*

Cette formule est aussi connuesous le nom de ‘modèle de Wilson’

Considération pour les délais de livraison

• Supposons que le délais de livraison associé à une commande est de L où L<T;

• Donc on doit passer la commande:– au moins L temps avant la

fin du cycle;– Ou lorsque le niveau

d’inventaire atteint L*D unités

t

inventaire

Q

T

D

L

D*L

Courbes des Coûts

Coût d’achat

Coût de passation de commande

Coût d’inventaire

TC: Coût total

Example 10.1• Donnée de Base:

– Demande, D = 12,000 ordinateurs par an• Donc d = 1000 ordinateurs/mois

– Coût unitaire, C = $500– Coût d’inventaire (en % du coût unitaire), h = 0.2– Coût fixe, S = $4,000/commande

• Q* = Sqrt[(2)(12000)(4000)/(0.2)(500)] = 980– Inventaire de roulement = Q/2 = 490– Temps moyen d’un produit en inventaire (flowtime) =

Q/2d = 980/(2)(1000) = 0.49 mois– Intervalle entre deux commande, T = 0.98– Supposons un délais de livraison de 2 semaines

• L=2/52 = 0.038• Niveau d’inventaire lors de la commande: 12000*0.038 = 456

Example 10.1 (ctd)

• Coût annuel d’inventaire et de passation de commande = = (12000/980)(4000) + (980/2)(0.2)(500) = $97,980

• Supposons que le lot est réduit à Q=200, • Coût annuel d’inventaire et de passation de

commande = = (12000/200)(4000) + (200/2)(0.2)(500) = $250,000

• Donc il est important de réduire les coûts fixes de passation de commande si on veut réduire le coût total

Example 10.2• Si la taille du lot est réduit à = Q* = 200 units, Quelle

devrait être la valeur de S?• D = 12000 units• C = $500• h = 0.2

• De la formule du lot économique S:S = [hC(Q*)2]/2D

= [(0.2)(500)(200)2]/(2)(12000) = $166.67

• Afin de réduire la taille du lot d’un facteur k, le coût fixe doit être réduit d’un facteur k2

Modèle avec commande en arriéré (backlog)

• Soit b le coût annuel d’une commande arriéré

• Soit B la qté des commande arriéré• Niveaux d’inventaire:

– Max : Q-B– Min : -B

• Ti = (Q-B)/D• Tb = B/D• T = Q/D• Niveau moyen d’inventaire

– ti(Q-B)/2T = (Q-B)2/2Q

• Niveau moyean de commande en arriéré– tbB/2T = B2/(2Q)

temps

inventaire

Q

ti

tb

T

B

Q-B

Modèle avec commande en arriéré (backlog)

• TC = CD + S(D/Q) + hC(Q-B)2/(2Q) + bB2/(2Q)

• Pour trouver les valeurs de Q* et B* on pose:– d(TC)/dQ = 0 ; – d(TC)/dB = 0;

2*

* 2*

SD hC bQ

hC b

HQ SD hCB

H b b hC b

Agrégation de plusieurs produits dans une commande

• Les modèles précédent assument que les items sont commandés séparément

• Deux modèles d’agrégation:– 1. Les lots d’une famille de produits sont commandés

et livrés en même temps– 2. Les lots d’une famille de produits sont commandés

et livrés en même temps pour un sous-ensemble de produits de la famille

• Ces modèles permettent de prendre avantage du transport et d’autres activités en commun pour le produits d’une même famille

Lots commandés et livrés en même temps

• Famille avec m produits (i=1,…m)– S0 – portion des coûts fixe

commune à la famille de produits

– Si – portion du coût fixe propre au produit i

– Di – Demande du produit i– Ci – Coût d’achat du

produit i• À chaque commande, on

commande pour tous les produits

• Pas de pénurie possible• Écrire CT en fonction de

n = D/Q

0 1

1

0

2

( )en posant 0 on a:

*2

m mi i

i i ii i

m

i ii

m

ii

DhCCT C D n S

n

d CT

dn

D hCn

S

Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de

produit• Famille avec m produits (i=1,…m)• À chaque fois qu’on commande, on commande un sous-

ensemble m’• Procédure itérative:• Étape 1: Calculer la fréquence de commande si chaque produit i

était commandé séparément avec un coût fixe de S0+Si

•

•

02( )

soit

max ( ) et * max ( )

i ii

i

i i i i

hC Dn

S S

n n i i n

Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de

produit• Étape 2: On assume

maintenant que le produit i* sera commandé à chaque commande– Recalculer la

fréquence des commande des autres produits en assumant seulement un coût fixe de Si

•

i

2

La fréquence relative de

commande du produit i, m est

/

i ii

i

i i

hC Dn

S

m n n

Lots commandés et livrés en même temps pour un sous-ensemble de

produit• Étape 3: Recalculer la fréquence n de

commande du produit le plus commandé

• Étape 4: la fréquence de commande du produit i est ni/mi

1

01

2( / )

m

i ii

i m

i ii

hC Dn

S S m

On assume que le coût parcommande est S0 + Si/mi

Exemple 10.3: Produits commandés indépendamment

Litepro Medpro Heavypro

Damande par an

12,000 1,200 120

Coût fixe / commande

$5,000 $5,000 $5,000

Quantity à commander

1,095 346 110

Fréquence 11.0 / year 3.5 / year 1.1 / year

Coût Annuel

$109,544 $34,642 $10,954

Total cost = $155,140

Agrégation: Tous les produits sont commandés à chaque commande

• S* = S + sL + sM + sH = 4000+1000+1000+1000 = $7000

• n* = Sqrt[(DLhCL+ DMhCM+ DHhCH)/2S*] = 9.75– QL = DL/n* = 12000/9.75 = 1230

– QM = DM/n* = 1200/9.75 = 123

– QH = DH/n* = 120/9.75 = 12.3

• Inventaire de roulement = Q/2 • Temps moyen d’un produit en inventaire = (Q/2)/(demande

hebdomadaire)

Exemple 104: Tous les produits sont commandés à chaque commande Litepro Medpro Heavypro

Demande par an

12,000 1,200 120

Féquence 9.75/year 9.75/year 9.75/year

Taille de lot optimale

1,230 123 12.3

Coût d’inventaire annuel

$61,512 $6,151 $615

Annual order cost = 9.75 × $7,000 = $68,250Annual total cost = $136,528

Exemple 10.5: Seulement un sous-ensemble des produits est commandé à

chaque commande Litepro Medpro Heavypro

Demand per year

12,000 1,200 120

Order frequency

10.8/year 5.4/year 2.16/year

Optimal order size

1111 222 56

Annual holding cost

$55,556 $11,111 $2,778

Annual order cost = 10.8(4000)+5.4(1000)+2.16(1000) = $61,560

Annual total cost = $131,004

Leçons de l’Agrégation

• Permet aux firmes de baisser la taille des lots sans augmentation des coûts

• Agrégation complète: efficace lorsque les coûts fixe relatifs aux produits sont faibles

• Agrégation sélective: efficace lorsque les coûts fixe relatifs aux produits sont grands

Modèle avec rabais sur les quantités

• Deux modèles:– Rabais sur le volume

• 1<= q <100: $100• 100<= q <500: $80• 500<= q : $70• Si q = 275, le coût unitaire est de $80

– Rabais marginal sur le volume• Premier 99: $100• Les 499 produits suivants: $80• Les q-499 produits suivants: $70• Donc si q = 275, le coût total est de 100*99+(275-99)*80

Rabais sur le volume

• Le format de prix contient des points de discontinuité q0, q1, q2,…,qr où q0=0;– qi≤Ci <qi+1

• La structure de coût est telle que:– C0≥ C1 ≥ … ≥ Cr

• CTi = CiD + S(D/Qi) + hCi(Q/2)

• La qté optimale Q* va être:– Soit à l’intérieure d’une

intervalle– Soit à un point extrême qi,

i=1,…,r

• La courbe CT à la forme suivante

q0 q1 q2 q3

C0

Q2

C1

C2

Rabais sur le volume

• Étape 1: Calculer la valeur optimale Q*i pour chaque coût Ci:– Premièrement calculer Qi en utilisant la formule du lot économique:

• Qi = √(2SD/hCi)– Q*i est donné par la formule suivante:

• Étape 2: Évaluer CTi pour chaque valeur de Q*i– La valeur optimale Q* correspond au minimum des coûts totaux– Voir exemple 10.6

i

1 i

1 1 i 1

si , C

* si q q , C

si q , C

i i i i

i i i i i i

i i i i

q Q q C

Q Q Q C

q Q C

Exemple 10.6 Rabais sur le Volume

Qte Commandée Prix Unitaire

0-5000 $3.00

5001-10000 $2.96

Over 10000 $2.92

q0 = 0, q1 = 5000, q2 = 10000

C0 = $3.00, C1 = $2.96, C2 = $2.92

D = 120000 units/year, S = $100/lot, h = 0.2

Exemple 10.6: Rabais sur le Volume

Cost/Unit

$3$2.96

$2.92

Order Quantity

5,000 10,000

Order Quantity

5,000 10,000

Total Material Cost

Rabais marginal sur le volume

• Soit Vi le coût d’achat de qi produits, où qi est une valeur limite:– Vi = C0(q1-q0)+C1(q2-q1)+…+Ci-1(qi-qi-1)

• Le coût d’achat d’une qté Q telle que, qi ≤ Q ≤ qi+1 est – Vi+Ci(Q-qi)

• Le coût annuel d’achat est:– [Vi+Ci(Q-qi)](D/Q)

Rabais marginal sur le volume

• Le coût de commande est:– (D/Q)S

• Le coût d’inventaire est:– [Vi+Ci(Q-qi)]h/2

• Le coût total annuel est CTi;– (D/Q)S + [Vi+Ci(Q-qi)]h/2 + [Vi+Ci(Q-qi)](D/Q)

Forme de la courbe du coût total pour rabais marginale

qo q1 q2

CT1

CT2

CT3

• La courbe a un minimum unique• Donc Q* ne peut être égale à qi

Rabais marginal sur le volume

• En posant d(CTi)/dQ = 0 on a:

• Étape 1: Calculer Q*i pour chaque Ci;• Étape 2: Si qi ≤ Q*i ≤ qi+1 alors calculer CTi• Étape 3: Si Q*i < qi ou Q*i > qi alors

poser Q*i = qi ou Q*i = qi+1 selon le cas• Étape 4: Q* est égale à la valeur de Qi qui

minimise CTi– Voir exemple 10.7 p 270

2 ( )* i ii

i

D S V qCQ

hC

Modèle de lot économique de Production

• P: taux de production par an (P>D)– Les items sont produits au

lieu d’être achetés• ts: temps pour produire Q

items

•

P-D

Tts

II=ts(P-D)

• T = Q/D• ts = Q/P

(1 )2

( )en posant 0, on a

2SDQ*=

DhC(1- )

P

D Q DCT S hC

Q P

d CT

dQ

Modèle de lot de Production Multi-produits avec cycle commun

• Soit un centre de production qui fabrique plusieurs m produits sur une base cyclique

• Chaque item est fabriqué une fois dans le cycle

• Le coût de changement pour un produit est Si

• le temps de changement est ts

• Soit N le nombre de cycle par an

1 1

21 1

1

1

i

1(1 )

2

1(1 ) 0

2

(1 )

*2

le lot optimal pour l'item i est:

Q**

m mi

i i ii i i

m mi

i i ii i i

mi

i ii i

m

ii

i

DCT N S H D

N P

DdCTS H D

dN N P

DH D

PN

S

D

N

Inventaire Multi-Échelon

•On assume une capacitéde production infinie•La figure illustre le pire cas:

•Le lot de production estterminé juste aprèsla livraison