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Générateurs de scénarios économiques (GSE) en assuranceen assurance

Présentation, illustration et utilisation des modèles(version 1.3)

Intervention du 17 octobre 2012

1CARITATOctobre 2012

Frédéric Planchet Actuaire Associé

[email protected]

Aymric Kamega Actuaire

[email protected]

Un scénario économique correspond à une projection sur un horizon d’intérêtde grandeurs économiques et financières : taux d’intérêt, prix des actions, etc.

Introduction

Une réflexion sur la projection des actifs est indispensable pour le pilotagetechnique d’un organisme assureur (pour obtenir des projections des valeursdes actifs et des passifs du bilan, définir les conditions de désinvestissement etde réinvestissement futurs, définir l’allocation stratégique d’actifs optimale,piloter des engagements longs – retraite -, etc.).

En particulier, dans le contexte IFRS et Solvabilité 2, il est nécessaire de retenirdes modèles d’actifs cohérents et intégrant les contraintes de base suivantes :


• ne pas sous-estimer les rendements défavorables (pour le calcul du SCR) ;• disposer simplement des visions historique et risque-neutre ;• intégrer l’inflation ;• intégrer les fluctuations de court terme sur la valeur des actifs ;• être cohérent avec les contraintes économiques de long terme ;• intégrer la dépendance entre actifs, etc.

Les modèles d’actifs utilisés peuvent être répartis en deux catégories :

• les modèles composites (description ad’hoc de chaque classe d’actifs avant

Introduction

• les modèles composites (description ad’hoc de chaque classe d’actifs avantde les agréger pour proposer une description globale de l’actif) ;

• les modèles intégrés (description structurée de plusieurs classes d’actifs àpartir d’une variable explicative de référence).

Les paramètres qui alimentent un modèle d’actifs peuvent être choisis de troismanières différentes (sans que ces approches soient exclusives) :


• par une approche statistique à partir d’un historique de données ;

• en cherchant à minimiser l’écart quadratique entre les prix issus du modèle etceux observés sur le marché ;

• par une approche « à dire d’expert ».

1. Risques financiers et modèles composites : présentations

2. Modèle intégré : présentations

SOMMAIREGSE en assurance

3. Mise en œuvre GSE : préparation

4. Mise en œuvre GSE : exemple avec le modèle d’Ahlgrim

5. Utilisation GSE : probabilités


5. Utilisation GSE : probabilités réelles et risque neutre

1.1. Risque action

�Présentation : pourquoi les marchés d’actions sont-ils volatiles ?

1. Risques financiers et modèles composites

�Présentation : pourquoi les marchés d’actions sont-ils volatiles ?

Le cours d’une société cotée est sensé refléter sa « valeur fondamentale »(somme de ses revenus futurs actualisés), telle qu’elle peut ressortir d’uneanalyse économique de l’activité de l’entreprise et de ses perspectives.

Les écarts entre la valeur fondamentale et la capitalisation boursière d’unesociété sont en général interprétés comme la conséquence de comportementsspéculatifs qui auraient pour conséquence de créer un décalage entre


spéculatifs qui auraient pour conséquence de créer un décalage entrel’« économie réelle » et le monde de la finance.

Cette dichotomie entre d’une part une analyse économique objective et d’autrepart un comportement largement irrationnel des marchés boursiers peut êtredépassée au prix d’une réflexion sur la nature de l’aléa sous-jacent à ladétermination de la valeur (cf. par exemple distribution de Pareto).

1.1. Risque action

�Modèles classiques



Les modèles classiques de valorisation financière d’actifs de type « actions » sesont développés avec l'hypothèse sous-jacente de rendements gaussiens (lemodèle de Black et Scholes en est devenu l'archétype).

De nombreuses études empiriques montrent que les prix observés sur lesmarchés ont des comportements très éloignés de l'hypothèse de rendementsgaussiens (cf. Mandelbrot [2005]).


gaussiens (cf. Mandelbrot [2005]).

Le défaut majeur de l'hypothèse gaussienne est de sous-estimer trèssensiblement les variations de grande amplitude du rendement.

Un modèle prétendant à un certain réalisme ne saurait donc faire l'économied’une prise en compte du caractère non gaussien des rendements de l'actif.

1.1. Risque action




Black et Scholes [1973] :

Merton [1976] : avec P processus de Poisson.

Heston [1993] : avec

( )( )

( )µ σdS t

dt dB tS t

= +

( )( )

( ) ( )1µdS t

dt V t dB tS t

= +

( )( )

( ) ( )µ λ σdS t

k dt dB t dPS t

= − + +

( ) ( )( ) ( ) ( )2θdV t a V t dt b V t dB t= − +


Heston [1993] : avec

Hardy [2001] : avec

( )( ) ( )1µdt V t dB t

S t= +

( )( )

( )ρ ρρ µ σt tt

dS tdt dB t

S t= + 1Pr ρ | ρ , 1, 2, 1,2ij t tp j i i j+ = = = = =

( ) ( )( ) ( ) ( )2θdV t a V t dt b V t dB t= − +

1.2. Risque de taux

�Présentation générale


�Présentation générale

Contrairement aux actions, pour les produits de taux ce sont des variablesd’état déterminant la structure des taux qui sont modélisées.

En effet, le prix d’une obligation passe par la modélisation de la courbe destaux, de laquelle on déduit le prix des zéro-coupons. Le prix d’un titre obligatairequelconque est ensuite obtenu comme combinaison linéaire de zéro-coupons.Ainsi, on a (où P(t,T) est le prix à la date t du zéro-coupon de maturité T) :


Ainsi, on a (où P(t,T) est le prix à la date t du zéro-coupon de maturité T) :

avec( ) ( ) ( )

1

γ 0, 0,T

i

O T N P i P T

=

= × + ∑

( ) ( )0

0, expt

P t E r u du

= − ∫

1.2. Risque de taux

�Courbes des taux


�Courbes des taux

On peut retenir deux types de courbes des taux :

• la courbe des taux des emprunts d’État : construite à partir des obligationsémises par l’État (OAT, BTAN et BTF en France). Elle constitue la courbe destaux sans risque dans les pays du G7, les États de ces pays étant censés nejamais faire défaut. Ils disposent en principe de la meilleure notation possibledes agences de notation.


des agences de notation.

• la courbe des taux swaps (courbe interbancaire) : intègre a priori une primede risque puisque le rating moyen des banques se situe généralement entreA et AA pour S&P et entre A1 et Aa1 pour Moody’s.

1.2. Risque de taux

�Type de modèle


�Type de modèle

Les modèles d’évaluation de la structure temporelle des taux d’intérêt sontnombreux mais peuvent toutefois être classés en trois catégories :

• modèles d’équilibre partiel (modèle de Vasicek, etc.) ou d’équilibre général(modèle de Cox, Ingersoll et Ross, etc.) ;

• modèles fondés sur l’absence d’arbitrage (modèle de Hull et White - Vasicek


• modèles fondés sur l’absence d’arbitrage (modèle de Hull et White - Vasicekgénéralisé -, etc.) ;

• modèles fondés sur la dynamique des taux forward (modèles issus del’approche Heath, Jarrow et Morton, etc.).

1.2. Risque de taux

�Modèles mono-factoriels d’équilibre partiel


�Modèles mono-factoriels d’équilibre partiel

Les modèles d’équilibre s’appuient sur un ensemble d’hypothèses concernantcertaines variables économiques pour en déduire le comportement du tauxcourt.

À la différence du cours des actions, le taux d’intérêt semble poussé, au coursdu temps, à revenir vers une moyenne de long terme lorsqu’il s’en éloigne :quand r(t) est élevé, la tendance est à la baisse, et vice versa.


quand r(t) est élevé, la tendance est à la baisse, et vice versa.

Ce comportement s’explique par des arguments macroéconomiques : quand lestaux sont élevés, l’économie tend à ralentir, la demande de fonds desemprunteurs est faible et les taux diminuent (et vice versa).

Le modèle classique dans ce domaine est celui de Vasicek : ( ) σ tdr a b r dt dW= − +

1.2. Risque de taux

�Modèles mono-factoriels d’équilibre général


�Modèles mono-factoriels d’équilibre général

Dans le modèle de Vasicek, le taux court peut devenir négatif car l’écart-typeinstantané ne dépend pas du niveau atteint par r(t).

À partir d’un modèle d’équilibre général, Cox, Ingersoll et Ross obtiennent unedynamique régissant r(t), tel que le taux court n’est jamais négatif.

Ce modèle s’écrit : ( ) σ tdr a b r dt r dW= − +


Ce modèle s’écrit :

On note que l’écart-type instantané est proportionnel à la racine carré du tauxcourt. Ainsi, lorsque le taux court diminue, l’écart-type fait de même. En outre,lorsque ce taux est nul, il reste une tendance positive égale à abdt, sans termestochastique, et le taux repart vers des valeurs positives.

( ) σ tdr a b r dt r dW

1.2. Risque de taux

�Modèles mono-factoriels fondés sur l’absence d’arbitrage


�Modèles mono-factoriels fondés sur l’absence d’arbitrage

L’inconvénient des modèles ci-avant est que la courbe initiale des taux est unoutput qui ne s’ajuste pas automatiquement à celle observée en date courante.

Un modèle fondé sur l’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) est construit defaçon à être cohérent avec la structure par termes observée aujourd’hui (un telmodèle prend la structure initiale comme input, et non comme output).

Hull et White ont ainsi généralisé le modèle de Vasicek afin de le rendre


Hull et White ont ainsi généralisé le modèle de Vasicek afin de le rendrecompatible avec la courbe des taux actuelle :

Un autre exemple classique de modèle fondé sur l’AOA est le modèle de Blacket Karasinski (modèle qui par ailleurs ne permet pas aux taux d’intérêt dedevenir négatifs) :

( )( ) σt tdr k t ar dt dW= − +

( ) ( ) ( )( )ln ln σt td r k t a r dt dW= − +

1.2. Risque de taux

�Modèles multifactoriels


�Modèles multifactoriels

Les modèles présentés ci-dessus sont des modèles à un facteur, ie qu’un seulfacteur est à l’origine de l’évolution de l’ensemble de la courbe des taux.

Leur principale limite est qu’ils impliquent que les taux évoluent de façonparfaitement corrélée pour toutes les maturités (toute la courbe des taux étantdéterminée par le seul taux court r), ce qui n’est pas le cas en pratique.


Parmi les modèles multifactoriels, on trouve le modèle de Hull et White à deuxfacteurs, basé sur une spécification de la dynamique du taux court (noté rt) et dutaux long (noté lt), qui reprend l’approche de retour à la moyenne du modèleclassique de Vasicek : ( )

( ),

,

κ σ

κ µ σ

t r t t r r t

t l l t l l t

dr l r dt dB

dl l dt dB

= − +

= − +

1.2. Risque de taux

�Modèles fondés sur l’absence d’arbitrage et la dynamique des taux forward



Outre les modèles de type Hull et White (Vasicek généralisé), on trouve parmiles modèles d’absence d’arbitrage la classe de modèles HJM qui modélisent ladynamique des taux forward instantanés dans un cadre très général.

HJM suppose que le taux forward instantané suit le processus d’Îto suivant :

( ) ( ) ( ), µ , σ , tdf t T t T dt t T dW= +


On retrouve le taux court terme en utilisant la relation suivante :

En pratique la dynamique des taux forward instantanés, et donc des taux spotinstantanés, utilise les taux forward instantanés observés.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

, 0, µ , σ ,t t

sr t f t t f t s t ds s t dW= = + +∫ ∫

1.2. Risque de taux




Le résultat fondamental de HJM est que sous la probabilité risque neutre (RN),la tendance de la dynamique du taux forward est donnée par :

HJM ne propose donc pas une structure dynamique spécifique, mais plutôt uncadre de travail.

( ) ( ) ( )µ , σ , σ ,T

tt T dt t T t s ds= ∫


Les applications les plus connues sont celle avec le modèle de Ho et Lee (dansce cas ) et celle avec le modèle de Hull et White / Vasicek généralisé(dans ce cas ).

On en déduit alors la valeur du zéro coupon avec

( )σ σt,T =

( ) ( ) tσ σ

a Tt,T e

− −=

( ) ( )0

0, exp 0,t

P t f s ds

= − ∫

1.3. Risque de crédit et de liquidité

�Présentation du risque de crédit



La source du risque de crédit est a priori simple : une entreprise qui a emprunté,en émettant des obligations, se trouve dans l’impossibilité de faire face auremboursement de sa dette, partiellement ou totalement.

Deux situations sont alors possibles : une renégociation avec les créanciers desconditions de la dette ou la faillite.


L’exemple d’Eurotunnel illustre le premier cas.

Dans la situation de faillite, les actionnaires perdent leur pouvoir au profit desayants-droits, constitués de l’ensemble des créanciers de l’entreprise. Demanière générale, un ensemble de règles de priorité strictes existe entre lesayants-droits : État, salariés, dette « senior », dette « junior », etc.





La prise en compte de ces règles de priorité dans les modèles de crédit est à lafois essentielle et délicate lorsque le modèle s’appuie sur une description de lastructure financière de l’entreprise. Au surplus, les règles en la matièredivergent fortement d’un pays à l’autre.

Ceci étant, la description formelle du risque de crédit et sa quantificationreposent sur la spécification de deux éléments :


reposent sur la spécification de deux éléments :

• la probabilité de défaut du débiteur, usuellement appelée « PD » (Probabilityof Default) ;

• la quotité recouvrée en cas de défaut, dont le complément à 100 % est notéen général « LGD », pour Loss Given Default.


�Taux de recouvrement historique


�Taux de recouvrement historique

Le taux de recouvrement, exprimé en pourcentage, permet de déterminer lavaleur attendue de la créance juste après le défaut.

Ce taux varie selon l’ordre de priorité de la dette considérée.

Taux de recouvrement des obligations corporate en % de la

valeur faciale - Moody's Investisors Service, 1982-2003

Classe Taux de recouvrement moyen (en %)


Il présente par ailleurs empiriquement une corrélation négative significative avecles taux de défaut.

Senior garantie 51,6

Senior non garantie 36,1

Senior subordonnée 32,5

Subordonnée 31,1

Junior subordonnée 24,5


�Probabilités historiques de défaut


�Probabilités historiques de défaut

Probabilités de défaut cumulées (en %) - Moody's, 1970-2003

Maturité 1 2 3 4 5 7 10 15 20

Aaa 0,00 0,00 0,00 0,04 0,12 0,29 0,62 1,21 1,55

Aa 0,02 0,03 0,06 0,15 0,24 0,43 0,68 1,51 2,70

A 0,02 0,09 0,23 0,38 0,54 0,91 1,59 2,94 5,24

Baa 0,20 0,57 1,03 1,62 2,16 3,24 5,10 9,12 12,59

Ba 1,26 3,48 6,00 8,59 11,17 15,44 21,01 30,88 38,56

B 6,21 13,76 20,65 26,66 31,99 40,79 50,02 59,21 60,73

Caa 23,65 37,20 48,02 55,56 60,83 69,36 77,91 80,23 80,23

Probabilités de défaut cumulées (en %) - Standard & Poor's, janvier 2001

Maturité 1 2 3 4 5 7 10 15

AAA 0,00 0,00 0,04 0,07 0,12 0,32 0,67 0,67

AA 0,01 0,04 0,10 0,18 0,29 0,62 0,96 1,39

A 0,04 0,12 0,21 0,36 0,57 1,01 1,86 2,59

BBB 0,24 0,55 0,89 1,55 2,23 3,60 5,20 6,85

BB 1,08 3,48 6,65 9,71 12,57 18,09 23,86 27,09

B 5,94 13,49 20,12 25,36 29,58 36,34 43,41 48,81

CCC 25,26 34,79 42,16 48,18 54,65 58,64 62,58 66,12


On remarque que pour les entreprises avec une note élevée, la probabilitéannuelle de défaut est d’autant plus forte que l’on considère des annéeséloignées.

Ce phénomène est moins accentué, voire inversé, pour les entreprisesinitialement en difficulté, avec un note faible.


�Probabilités risque neutre de défaut implicite



Alors que pour l’appréciation du risque couru par un investisseur l’utilisation deprobabilités réelles ou historiques est pertinente, les méthodes d’évaluationrecourent plutôt aux probabilités risque neutre (RN), qui peuvent être déduitesdes prix, des taux ou des spreads de taux observés.

Le spread de taux, égal à la différence entre le taux promis et le taux sansrisque, traduit entre autres :


risque, traduit entre autres :- un risque de crédit, qui englobe un risque de défaut et un risque de signature ;- un risque de liquidité.

Le spread est ainsi composé de l’espérance de baisse du taux dû à la prise encompte du défaut, d’une prime de risque reflétant l’aversion au risque dans lemonde réel et d’une prime de liquidité.





Considérons un titre zéro-coupon de durée T quelconque, qui vaut 1 en date 0et qui promet un flux en date T, avec rmax le taux nominal.

L’espérance du flux aléatoire réellement payé par le titre en T s’écrit alors :

avec :

( )maxmax exp

TX r T=

( ) ( ) ( ) ( )* max max* *exp exp1 α

T TE X r T r TT Tf f= − +

*


avec :• : la probabilité RN cumulée de défaut de paiement en date T ;• : le taux de recouvrement en en cas de défaut de paiement en date T.

Par ailleurs, avec les probabilités RN, la prime de risque est nulle, et ennégligeant la prime de liquidité, on a (avec r le taux sans risque) :

*T

fα

( ) ( )*expE X rT=


�Probabilités risque neutre de défaut implicite et prix des obligations


�Probabilités risque neutre de défaut implicite et prix des obligations

De ces deux dernières égalités, il ressort que le spread est égal à :

d’où :

Le prix d’une obligation présentant un risque de défaut PD(0,T) est alors obtenu

( )( )max *1ln 1 1 α

T Ts r r f

T= − = − − −

( )* 1 1

11 α exp

Tf

sT= −

−


Le prix d’une obligation présentant un risque de défaut PD(0,T) est alors obtenuà partir du prix sans risque de défaut P(0,T) via la formule :

Cette approche présente des défauts qui fragilisent son utilisation au niveau de :• l'estimation des paramètres n'est pas simple ;• la manipulation d'une structure par terme des défauts (stockage, simulation).

( ) ( ) ( ) ( )* *0, 1 0, α 0,D T TP T f P T f P T= − +


�Traitement du risque de spread dans les GSE : une approche simplifiée


�Traitement du risque de spread dans les GSE : une approche simplifiée

Une méthode alternative est ainsi parfois utilisée par les assureurs. Cetteméthode consiste à utiliser, pour les obligations risquées, le modèle d'évaluationdes obligations sans risque de spread en abattant le nominal de manière à fairecoïncider le prix théorique issu du modèle avec le prix observé sur le marchédes obligations présentant un risque de défaut :

( ) ( )β0, 0,DP T P T= ×


L’abattement β dépend de la maturité et de la note des obligations risquées.

Un limite importante de cette approche par abattement est qu’elle fige l’effet durisque de spread à la date de calcul. Aussi, cette approche à l’inconvénient dese limiter à un impact sur la valeur, et non sur le rendement ni sur le risqueencouru par les investisseurs.


�Traitement du risque de spread dans les GSE : utilisation du modèle LMN



On peut alors se tourner vers des approches plus complexes, tel que le modèleLMN (cf. Longstaff et al. [2005]) qui établit un lien entre le spread, la probabilitédu défaut et le risque de liquidité (sous les probabilités RN). Il s’appuie sur ladynamique suivante pour l’intensité de défaut :

On note que la fonction de survie associée au défaut est alors de la forme :

( ) ( )( ) ( ) ( )d t a b t dt t dW tλ λλ λ σ λ= − +


On note que la fonction de survie associée au défaut est alors de la forme :

Le modèle LMN s’appuie également sur la dynamique suivante pour la liquidité :

( ) ( )d t dW tγγ η=

( ) ( )0

t

QQ t E u du

> = −

∫expτ λ





Le prix de l’obligation est égal à l’espérance des flux actualisés sous laprobabilité risque neutre,

en notant le facteur d’actualisation, et :

( )( )( )

( )( )( )

( )T

Q

t t t

t

u TCB t T E f u du F T

t t

= +

∫,

δ δ

δ δ

( ) ( )0

t

t r s ds

= − ∫expδ

( ) ( ) ( )( ) ( )u

( ) ( )T ∫


;

les flux instantané et terminal. Le terme de liquidité reflète ici directement lesupplément de rémunération (d’espérance nulle sous Q) qu’exige l’investisseurpour investir dans le titre corporate (et au-delà de la rémunération du risque dedéfaut).

( ) ( ) ( )( ) ( )1u

t s s

t

f u c u ds

= + − × × − + ∫expω λ λ γ ( ) ( )

T

t s s

t

F T ds

= − + ∫exp λ γ





On en déduit : ( ) ( )

( )

( ) ( )1

t

t

T u

Q

s s s

t t

T

Q

s s s

t

T u

Q

u s s s

CB t T E c r ds du

E r ds

E r ds du

λ γ

λ γ

ω λ λ γ

= × − + +

+ − + +

+ − × − + +

∫ ∫

∫

∫ ∫

, exp

exp

exp


Cette formule doit ensuite être explicitée en fonction des paramètres desdynamiques des facteurs. On note que ce modèle présente l’avantage depouvoir décomposer le spread entre la composante liée au défaut et celle liée àla liquidité et peut être utilisé quel que soit le modèle de taux sous-jacent.

( ) ( )1t u s s s

t t

E r ds duω λ λ γ+ − × − + +

∫ ∫exp





Après quelques calculs, ce modèle conduit à des formules fermées pour le prixdes obligations présentant un risque de spread (on suppose les 3 sources derisque indépendantes) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0 0

0

0 0 0

1 0

, , ,

,

T

B t t B T T

T

B t t

CB T c A t C t P t e dt A T C T P T e

C t P t G t H t e dt

λ γ λ γ

λ γω λ

− −

−

= × +

+ − × +

∫

∫


les fonctions A, B C, G et H étant simples.

Une synthèse très complète des modèles de risque de crédit est proposée dansDuffie et Singleton [2003].

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0

00

1 0,B t t

C t P t G t H t e dtλ γω λ −

+ − × +∫





Au-delà des obligations présentant un spread, les CDS peuvent être très utilespour apprécier le risque de défaut et calibrer les paramètres du modèle LMN.

Le CDS ou swap de défaut, est un produit dérivé qui procure à son acheteur,sur une période définie, une assurance contre la survenance d’aléas de créditse rapportant à un ou plusieurs émetteurs obligataires de référence(http://fr.wikipedia.org/wiki/Credit_default_swap).


(http://fr.wikipedia.org/wiki/Credit_default_swap).

L’acheteur du CDS acquiert le droit de céder au vendeur du swap une obligationparticulière à sa valeur nominale en cas de réalisation d’un aléa de crédit del’émetteur obligataire de référence. En échange, l’acheteur paie au vendeur,jusqu’au terme du contrat, des montants de prime prédéfinis, égaux au produitd’un spread de taux relatif au CDS par le nominal.





Longstaff et al. [2005] proposent des formules fermées pour les CDS. Cesformules ne prennent pas en compte de processus au titre de l’illiquidité, lesauteurs indiquant que si les obligations corporate sont sensibles à la liquidité,les CDS le sont très peu (les CDS étant des contrats, et non des titres).

Dans le modèle LMN, la valeur actualisée de la « partie prime » du CDS s’écrit :

( ) ( )T t

QP s T E s r ds dtλ

= − + ∫ ∫, exp


Et la valeur actualisée de la « partie protection » du CDS s’écrit :

( ) ( )0 0

Q

s sP s T E s r ds dtλ

= − +

∫ ∫, exp

( ) ( )0 0

T t

Q

t s sPR T E r ds dtω ω λ λ

= × − +

∫ ∫, exp





En considérant que la valeur des deux « parties » du CDS est égale, on a quela prime payée par l’acheteur du CDS (spread du CDS) est :

( )

( )

0 0

T t

Q

t s s

T t

Q

s s

E r ds dt

s

E r ds dt

ω λ λ

λ

× − +

=

− +

∫ ∫

∫ ∫

exp

exp


On en déduit les formules explicites suivantes :

NB : si λ est constant alors

( )0 0

s s

∫ ∫

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

0 0

0

0

0

T

T

B t D t G t H t dt

s

A t B t D t dt

+

=∫

∫

exp

exp

λ λ

ω

λs = ×ω λ





La principale difficulté associée à ce modèle est l’estimation des paramètres :- estimation des paramètres du modèle de taux sous-jacent à partir d’unecourbe de taux swap ;- estimation des paramètres associés au processus de défaut à partir des prix(théoriques et observés) des CDS ;- estimation des paramètres du processus de liquidité à partir des prix(théoriques et observés) des obligations corporate.


(théoriques et observés) des obligations corporate.

On « empile » donc des programmes d’optimisation non linéaire avec lesrésultats du programme N-1 qui alimentent le programme N : le processus esten pratique très instable. La cohérence d’ensemble n’est pas simple à établir.

Le paramètre de recouvrement (1-LGD) est fixé par avis d’expert.

1.4. Risque immobilier

�Présentation


�Présentation

L’immobilier apparaît générer plus de rendement que les actions, alors que savolatilité est sensiblement plus faible, du même ordre de grandeur que celled’un placement obligataire. D’autres éléments doivent donc être pris en compte,comme par exemple la liquidité ou la fiscalité.

Concernant la liquidité, on peut retenir que la vitesse de rotation (rapport dumontant des transactions sur le marché secondaire à la valeur des actifs) des


montant des transactions sur le marché secondaire à la valeur des actifs) desactifs est d’environ 2,5 % par an pour l’immobilier, contre plus de 75 % pour lesactions cotées à la Bourse de Paris. Cet écart met en évidence le fait que lestransactions sur les marchés actions sont essentiellement des transactionsd’arbitrage alors que pour l’immobilier ce sont des transactions finales (les coûtsde transaction de l’immobilier sont d’ailleurs élevés).

1.4. Risque immobilier

�Modélisation


�Modélisation

Cette classe d’actif est délicate à modéliser, et il est souvent retenu un modèlede Black et Scholes lorsqu’on modélise directement le prix :

Ahlgrim et al. proposent de leur coté une modélisation des rendements réels del'immobilier sur la base d'un modèle de Vasicek :

( )( )

µ σ t

dS tdt dB

S t= +


l'immobilier sur la base d'un modèle de Vasicek :

Wilkie propose quant à lui une approche originale, dans laquelle en plus durendement on modélise également le revenu de l’immobilier ; le prix s’en déduiten rapportant le volume de revenu au rendement.

( ) ,κ µ σt m m t m m tdm m dt dB= − +

2.1. Introduction

Dans le cadre du pilotage de son activité, un organisme assureur se doit de

2. Modèles intégrés

Dans le cadre du pilotage de son activité, un organisme assureur se doit dedévelopper une réflexion sur la projection de son actif (cf. introduction). Il s’avèrealors indispensable de s’appuyer sur une modélisation des principales classesd’actifs disponibles de manière cohérente, et prenant compte des fluctuations decourt terme et des équilibres macro-économiques de long terme.

En effet, à long terme, il est généralement considéré que (cf. relation de Fisher) :

Taux d’intérêt nominal = Et(Taux d’inflation) + Taux d’intérêt réel


Taux d’intérêt nominal = Et(Taux d’inflation) + Taux d’intérêt réel

Parallèlement, sauf à provoquer des arbitrages entre activité financière et activitéréelle d’une part, entre investissement dans un pays et investissement dansd’autres pays d’autre part, on considère également que :

Taux d’intérêt réel à long terme = Taux de croissance réel à long terme

2.1. Introduction

Ces contraintes doivent donc être prises en compte. Ainsi, l’objectif de cette


Ces contraintes doivent donc être prises en compte. Ainsi, l’objectif de cettepartie est de présenter une brève synthèse de la littérature pour identifier lesmodèles sur ce registre, à partir notamment de Brennan et Xia [2000],Wilkie [1995], Sahin et al. [2008] et Ahlgrim et al. [2005].

On considérera classiquement que le modèle d'actifs intègre les supportsd'investissement suivants :

• les obligations ;


• les obligations ;

• les actions ;

• l’immobilier ;

• le monétaire.

2.2. Modèle de Wilkie

En 1986, Wilkie publie A stochastic investment model for actuarial use dans


En 1986, Wilkie publie A stochastic investment model for actuarial use danslequel il décrit un modèle intégré. Ce premier modèle intégré se singularise parune modélisation des prix des actions à partir des taux et des montants dedividendes. Ce modèle inclut par ailleurs le taux d’inflation et les taux d’intérêt àlong terme.

Puis en 1995, Wilkie enrichit son modèle intégré :

- prise en compte de modèles pour les salaires, les taux d’intérêt à court terme,


- prise en compte de modèles pour les salaires, les taux d’intérêt à court terme,les revenus et les rendements de l’immobilier, etc. ;

- historique et périodicité des données plus importants (passage de donnéesannuelles de 1919 à 1982 à des données mensuelles de 1919 à 1994) ;

- modélisation statistiquement plus élaborée des séries temporelles (ARCH).


Dans le modèle de Wilkie, le taux d’inflation joue un rôle majeur :


Dans le modèle de Wilkie, le taux d’inflation joue un rôle majeur :

Structure du modèle de Wilkie

Cours (prix) de l'immobilier

Montant des revenus de l'immobilier

Rendement de l'immobilier

Indice des prix à la consommation (taux d'inflation)


Taux de dividende (rendement des actions)

Montant des dividendes Cours (prix) des actions Taux d'intérêt à long terme

Taux d'intérêt à court terme


� L’inflation


� L’inflation

L’évolution de ce processus est régie par une équation autorégressive du type :

avec les notations :• taux d’inflation instantané ;• taux d’inflation long terme ;• coefficient de retour à la moyenne ;

( ) ( )( ) ,1 σ εm Q m Q Q tI t I a I t I= + × − − + ×

( )I t

mI

Qa


• coefficient de retour à la moyenne ;• écart-type du bruit ;• variable aléatoire normale centrée réduite.

On en déduit ensuite aisément l’indice des prix , tel que :

Q

σQ

,εQ t

( )Q t ( ) ( ) ( )( )1 expQ t Q t I t= −


� Les actions


� Les actions

Wilkie propose ensuite une dynamique pour le rendement des actions (ou tauxde dividende) :

avec :• rendement instantané des actions ;• sensibilité du rendement nominal des actions à l’inflation ;• taux de rendement de long terme ;

( ) ( ) ( )( ) ,ln ln ln 1 ln σ εY m Y m Y Y tY t w I t Y a Y t Y= × + + × − − + ×

( )Y t

Yw

mY


• taux de rendement de long terme ;• coefficient de retour à la moyenne ;• écart type du bruit ;• variable aléatoire normale centrée réduite.

Afin de définir le prix des actions, Wilkie propose de modéliser le montantabsolu du dividende, , le cours s’en déduisant ensuite aisément via :

mY

Ya

σY

,εY t

( )D t ( ) ( ) ( )P t D t Y t=


� Les dividendes


� Les dividendes

De manière cohérente avec la modélisation de l’inflation, il est proposé de travailler sur la valeur relative en écrivant :

La mesure de l’augmentation des montants des dividendes est ainsi égale à :• une fonction des valeurs présentes et passées de l'inflation, étant donné que

, avec par ailleurs ;

( )( )

( )ln

1

D tKD t

D t

= −

( ) ( ) , 1 , 1 ,σ ε σ ε σ εD m D Y Y t D D D t D D tKD t I t KD y b− −= + + × × + × × + ×

( ) ( ) ( )D D D DI t x I t w M t= × + × ( ) ( ) ( ) ( )1 1D D D DM t d I t d M t= × + − × −


, avec par ailleurs ;• plus la croissance réelle moyenne du montant des dividendes ;• plus une influence de l'erreur de spécification en t-1 du modèle sur les taux

de dividende ;• plus une influence de l'erreur de spécification en t-1 ;• plus l'erreur de spécification en t .

( ) ( ) ( )D D D D ( ) ( ) ( ) ( )1 1D D D DM t d I t d M t= × + − × −

mKD

, 1σ εD Y Y ty −× ×

, 1σ εD D D tb −× ×

,σ εD D t×


� Les taux d’intérêt (réels et nominaux)



Le modèle propose ensuite une modélisation du taux d’intérêt à long terme, endistinguant la composante « inflation » et la composante « réelle » des tauxd’intérêt :

avec :

• la « part inflation » représentée par avec

( ) ( ) ( )C CC t w M t RC t= × +

( )C Cw M t×


• la « part inflation » représentée par avec

• la « part réelle » modélisée par avec

( )C Cw M t×

( ) ( ) ( ) ( )1 1C C C CM t d I t d M t= × + − × −

( ) ( )( )expm RCRC t RC N t=

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) , ,

1 ln 1 ln 2 ln 2 ln

3 ln 3 ln σ ε σ ε

RC RC m RC m

RC m RC Y Y t RC RC t

N t a RC t RC a RC t RC

a RC t RC y

= × − − + × − −

+ × − − + × × + ×





Concernant les taux d’intérêt à court terme, Wilkie propose de modéliser ladifférence entre les logarithmes des taux d’intérêt à long terme et à court terme :

avec :

• la différence instantanée entre les logarithmes des taux d’intérêt à long

( ) ( )( ) , ,1 σ ε σ εm B m B RC RC t B B tBD t BD a BD t BD rc= + × − − + × × + ×

( )BD t


• la différence instantanée entre les logarithmes des taux d’intérêt à longterme et les logarithmes des taux d’intérêt à court terme

• la différence de long terme entre les logarithmes des taux d’intérêt à longterme et les logarithmes des taux d’intérêt à court terme

( )BD t

( )C t ( )B t

mBD


� L’immobilier


� L’immobilier

Comme pour les actions, le rendement et les revenus en volume sontmodélisés, ce qui permet de déterminer le processus de prix. Le rendement estdécrit par l’équation :

puis les revenus par :

( ) ( ) ( )( ) ,ln ln ln 1 ln σ εZ m Z m Z Z tZ t w I t Z a Z t Z= × + + × − − + ×

( ) ( ) ( )( )1 exp σ εE t E t I t KE= − × + + ×


avec :• une fonction des valeurs présentes et passées de l'inflation• la croissance réelle moyenne du montant des revenus de l’immobilier

On en déduit alors le prix de l’immobilier par

( ) ( ) ( )( ),1 exp σ εE m E E tE t E t I t KE= − × + + ×

( )EI t

mKE

( ) ( ) ( )A t E t Z t=

2.3. Modèle de Brennan et Xia

Le modèle de Brennan et Xia présente des modèles stochastiques des taux


Le modèle de Brennan et Xia présente des modèles stochastiques des tauxd’intérêt réels, de l’inflation et des actions en vue d’en déduire un indice des prixà la consommation stochastique et un facteur d’actualisation stochastique réel.

L’une des caractéristiques de ce modèle, développé en 2000, est qu’il considèreque l’inflation réalisée (obtenue à partir de l’indice des prix à la consommation,et dépendant du bruit propre au modèle sur l’inflation réalisée d’une part, et desbruits des modèles sur les actions, les taux d’intérêt et l’inflation attendued’autre part) n’est pas parfaitement corrélée à l’inflation attendue.


d’autre part) n’est pas parfaitement corrélée à l’inflation attendue.

Le modèle de Brennan et Xia est d'un périmètre plus restreint que le modèle deWilkie puisqu'il n'intègre que les taux d'intérêt réels, l'inflation et les actions.

Il présente toutefois un intérêt significatif pour la modélisation d'éventuellesobligations indexées sur l'inflation.


Le modèle de Brennan et Xia peut être représenté par les relations suivantes :


Le modèle de Brennan et Xia peut être représenté par les relations suivantes :

Structure du modèle de Brennan et Xia

Taux d'inflation Taux d'intérêt à court terme réel

Rendement des actions

[Combinaison des bruits]


Prix d'un zéro-coupon

Facteur d'actualisation stochastique réelIndice des prix à la consommation stochastique


� L’inflation


� L’inflation

À l’image du modèle d’Ahlgrim, le taux d’inflation (attendue) suit le processusd’Ornstein-Uhlenbeck suivant :

� Les taux d’intérêt

Les taux d’intérêt réels à court terme suivent également un processus

( )α σI IdI I I dt dB= − +


d’Ornstein-Uhlenbeck, et on revient ainsi au modèle de Vasicek à un facteur :

( )α σr rdr r r dt dB= − +


� Les actions


� Les actions

Le prix des actions suit la dynamique brownienne géométrique suivante :

avec :

• le taux d’intérêt nominal ;

( )σ λ σf S S S S

dSR dt dB

S= + +

fR


• la prime de risque ( représentant la prime de risque unitaire associée àla volatilité des actions).

En posant on retrouve le mouvement brownien géométrique dumodèle de Black et Scholes.

σ λS S λS

σS

( )µ σ λS f S SR= +


� L’indice des prix à la consommation stochastique



Brennan et Xia précisent que l’inflation réalisée (obtenue à partir de l’indice desprix à la consommation) n’est pas parfaitement corrélée à l’inflation attendue.

Ils considèrent ainsi qu’en général, le taux d’inflation réalisé dépend du bruitpropre au modèle sur l’inflation réalisée d’une part, et des bruits des modèlessur les actions, les taux d’intérêt et l’inflation attendue d’autre part.






La dynamique brownienne de l’indice des prix à la consommation (IPC) peutalors être décrite par la relation suivante :

avec :• la dérive de l’IPC (taux d’inflation attendu)•

σ ξ ' ξu u

dIdt dB Idt dB dBΠ Π

Π= + = + +

Π

I

, , 'S r IdB dB dB dB =


••• les paramètres de l’influence des bruits des modèles sur

les actions, les taux d’intérêt et l’inflation attendue (si l’inflationréalisée est alors parfaitement corrélée à l’inflation attendue)

• l’influence du bruit du modèle ( est donc orthogonal à )

ξ ξ ,ξ ,ξ 'S r I =

( )ξ , ,i i S r I= ( ), ,idB i S r I=

ξ ξ ξ 0S r I= = =

ξu udB udB dB





L’orthogonalité entre les browniens et permet alors d’écrire la variationrelative de l’IPC entre deux dates t et s sous la forme du produit de deuxintégrales stochastiques indépendantes :

où :

udB dB

( )s t>

( )

( ) ( )

2

1 2

1 1exp ξ 'ρξ ξ ' exp ξ ξ

2 2

η , η ,

s s s ss

u u ut t t t

t

I u du dB du dB

t s t s

Π = − + − +

Π =

∫ ∫ ∫ ∫

1 ρ ρSr SI


où :• est la matrice de corrélation de et ,

• et sont orthogonaux (et on a donc ).

est la part de l’évolution relative de l’IPC qui peut être couverte par desvaleurs mobilières disponibles, alors que en est la part non couvrable.

1 ρ ρ

ρ ρ 1 ρ

ρ ρ 1

Sr SI

Sr rI

SI rI

≡

,S rdB dB IdB

( )1η ,t s ( )2η ,t s 2 2σ ξ 'ρξ ξuΠ = +

( )1η ,t s

( )2η ,t s


� Le facteur d’actualisation stochastique



À l’image de l’IPC stochastique, la dynamique brownienne du facteurd’actualisation stochastique réel dépend des actions, des taux d’intérêt réels etde l’inflation attendue :

avec :• la dérive du facteur d’actualisation•

φ ' φu u

dMrdt dB dB

M= − + +

r−

φ φ ,φ ,φ 'S r I =

( )


•• les charges constantes des aléas de l’économie

Pour mémoire, est orthogonal à . Ainsi conduit la composante del’inflation qui n’est liée à aucun des rendements d’actifs et qui ne peut donc pasêtre couverte.

( )φ , , ,i i S r I u=

udB dB udB





Sur le même principe que l’évolution relative de l’IPC, l’évolution relative dufacteur d’actualisation réel peut être représentée par le produit de deuxintégrales stochastiques indépendantes :

( )

( ) ( )

2

1 2

1 1exp φ 'ρφ φ ' exp φ φ

2 2

ζ , ζ ,

s s s ss

u u ut t t t

t

Mr u du dB du dB

M

t s t s

= − − + − +

=

∫ ∫ ∫ ∫


où et sont orthogonaux.

( ) ( )1 2

( )1ζ ,t s ( )2ζ ,t s


� Le prix d’un zéro-coupon (nominal)


� Le prix d’un zéro-coupon (nominal)

Les expressions développées ci-avant permettent de calculer le prix d’uneobligation zéro-coupon à l’instant t qui paie 1 en termes nominal à la date T parla relation suivante :

( )( )( )

( )( )

1 2

1 2

ζ , ζ ,,

η , η ,T t

t t tT t

t T t TM MP t T E E E

t T t T

= =

Π Π


Que l’on peut également noter :

( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, exp , , ,t tP t T A t T B t T r B t T I= − −

2.4. Modèle d’Ahlgrim

�Présentation


�Présentation

Afin d’accentuer la sensibilisation des actuaires à la gestion des risquesfinanciers, la Casualty Actuarial Society (CAS) et la Society Of Actuaries (SOA),deux associations professionnelles reconnues, se sont associées pour solliciterdes recherches sur le développement de modèles intégrés.

Le modèle d’Ahlgrim s’inscrit dans ce cadre, et couvre, entre autres, les tauxd’intérêt, les rendements des actions, les taux de dividende, les taux d’inflation


d’intérêt, les rendements des actions, les taux de dividende, les taux d’inflationet les revenus de l’immobilier, ambitionne de répondre aux limites desprincipaux modèles intégrés et des principaux modèles composites, tout enmettant l’accent sur l’accessibilité de l’approche au plus grand nombre.

On notera toutefois que ce modèle s’appuie sur des hypothèses très restrictives(notamment sur le prix de marché du risque, cf. ci-après).


�Présentation


�Présentation

Le modèle peut être représenté par les relations suivantes :

Structure du modèle d'Ahlgrim

Taux d'inflation Taux d'intérêt réel


Taux d'intérêt nominal Rendement de l'immobilier

Montant des dividendesRendement des actions (large

stocks )Rendement des actions (small

stocks )


� L’inflation


� L’inflation

La mesure de l’inflation à la date t est supposée suivre un processus d’Ornstein-Uhlenbeck (modèle de Vasicek) :

� Les taux d’intérêt

Une fois l’inflation décrite, les taux d’intérêt réels sont modélisés. Le taux à court

( ) ,κ µ σt q q t q q tdq q dt dB= − +


terme et le taux à long terme reprennent l’approche de retour à la moyenne dumodèle multifactoriel de Hull et White :

( )( )

,

,

κ σ

κ µ σ

t r t t r r t

t l l t l l t

dr l r dt dB

dl l dt dB

= − +

= − +


�Prix d’une obligation zéro-coupon


�Prix d’une obligation zéro-coupon

Le calcul du prix d’un zéro-coupon en t qui paie 1 en termes réels à la date Test donné par la formule explicite du modèle de Hull et White à deux facteurs.

Pour le prix en termes nominal, Ahlgrim et al. reprennent la relation de Fisher etconsidèrent que si des obligations sont tarifées à partir des taux d’inflation etdes taux d’intérêt réels attendus jusqu’à la maturité, alors on a :

( ) ( ) ( ), , ,P t T P t T P t T=


Cette relation s’appuie implicitement sur une hypothèse d’indépendance entreles taux d’intérêt réels et l’inflation. En pratique, une attention particulière doittoutefois être portée à l’analyse des corrélations. Lorsque l’hypothèsed’indépendance n’est pas vérifiée, un terme correctif apparaît dans la formuleci-dessus (ce point est détaillé dans Hibbert et al. [2001]).

( ) ( ) ( ), , ,nom real infP t T P t T P t T=


� Le rendement des actions (hors dividende)


� Le rendement des actions (hors dividende)

Le rendement des actions hors dividende est décrit par le taux d’intérêt nominalde court terme majoré d’une prime de risque :

Ahlgrim et al. utilisent un modèle à changement de régime (modèle de Hardy),qu’ils appliquent à l’excès de rendement des actions .

� Le taux de dividende

t t t ts q r x= + +


Comme dans le modèle de Wilkie, une modélisation du taux de dividende estproposée :

Le modèle sur le taux de dividende est comparable à celui relatif à l’inflation.Toutefois, une des principales difficultés ici est la disponibilité des données.

( ) ( ) ,ln κ µ ln σt y y t y y td y y dt dB= − +


� L’immobilier


� L’immobilier

Enfin, en suivant la même logique, une description des rendements del’immobilier est proposée :

Le modèle a été calibré par Ahlgrim à partir d’un indice incluant une variété deproduits immobiliers : habitation, industrie, bureaux et commerces.

( ) ,κ µ σt m m t m m tdm m dt dB= − +


3.1. Généralité sur la méthode de calibrage présentée

Dans la suite, les travaux sont réalisés dans l’univers des probabilités réelles

3. Mise en œuvre : préparation

Dans la suite, les travaux sont réalisés dans l’univers des probabilités réellespour le modèle d’Ahlgrim. Concernant les obligations, on considère qu’ellessont toutes de même maturité et ne présentent aucun risque.

En pratique, le modèle retenu doit être alimenté par un certain nombre deparamètres ; ces paramètres sont déterminés par l’utilisation conjointe de deuxlogiques :

• à partir de données représentant l’historique ;


• à partir de données représentant l’historique ;

• à partir d’avis d’expert ou de contraintes exogènes jugées raisonnables.

Le recours à des avis d’experts permet en outre d’utiliser des logiques descénarios (pour tester le comportement du modèle et des projections).

3.2. Contraintes sur les données

� L’inflation


� L’inflation

Une attention particulière doit être consacrée à l’inflation, à l’image du rôlecentral qu’elle joue dans les modèles utilisés ici.

En l’occurrence, il est important de tenir compte de l’objectif de stabilité des prixfixé par la BCE, et qui correspond en pratique au maintien des « taux d’inflationà un niveau inférieur à, mais proche de, 2 % à moyen terme ».


Cette contrainte économique peut être considérée à l’issue des résultats desestimations purement statistiques.


� Le pas de temps des données


� Le pas de temps des données

Le pas de temps (quotidien, hebdomadaire, mensuel, annuel, etc.) doit êtreretenu en fonction de l’utilisation qui sera faite du générateur.

Il convient entre autres de s’assurer que la fréquence des données estcohérente avec l’horizon de projection.

Par exemple dans le cadre de projections de long terme, les données pourront


Par exemple dans le cadre de projections de long terme, les données pourrontêtre de fréquence annuelle, afin de limiter l’impact des fluctuationsconjoncturelles et de ne conserver que la tendance de moyen ou long termedes séries.


� La période d’observation des données


� La période d’observation des données

Le choix de la période d’observation influe beaucoup sur le calibrage et, de fait,sur les scénarios produits. Il convient ainsi de s’assurer que la période utiliséeest compatible avec les risques économiques ou financiers que l’on cherche àmodéliser.

Le calibrage doit donc être menée sur des séries dont la profondeur estcohérente avec l'horizon de projection envisagé. Ainsi par exemple, des


cohérente avec l'horizon de projection envisagé. Ainsi par exemple, desdonnées d’un historique de dix ou quinze ans sont insuffisantes dans le cadrede projections de long terme (plusieurs dizaines d’année).

En pratique, il existe des risques liés à l’utilisation d’un historique trop court(risque que certains risques ne se soient pas réalisés sur la période) ou troplong (risques que l’environnement économique ait considérablement évolué).


�Pas de temps et période d’observation retenus


�Pas de temps et période d’observation retenus

Dans le cadre de projections de long terme par exemple, les données utiliséespar Friggit permettent de répondre à ces contraintes d’historique et defréquence.

Concernant l’historique, l’essentiel des données de Friggit couvre les années1800 à 2005 (le calibrage est réalisé sur la période 1955-2005 dans l’exempleci-après).


ci-après).

Par ailleurs, la fréquence des données de Friggit est annuelle.

Enfin, concernant la zone géographique, Friggit présente des données pour laFrance, le Royaume-Uni et les États-Unis (le calibrage est réalisé à partir dedonnées françaises dans l’exemple ci-après).

3.3. Calibrage des modèles de type autorégressif

�Estimation des paramètres


�Estimation des paramètres

Dans le cas des modèles de type autorégressif AR(1), l’estimation desparamètres peut être réalisée à partir de la méthode classique des moindrescarrés.

En particulier, il conviendra de retenir une estimation par les moindres carréssimples pour les modèles de type Vasicek à un facteur et par les doublesmoindres carrés pour les modèles de type Vasicek à deux facteurs (Hull et


moindres carrés pour les modèles de type Vasicek à deux facteurs (Hull etWhite).


�Tests sur le modèle et les coefficients


�Tests sur le modèle et les coefficients

La pertinence du modèle est appréciée à partir de sa qualité d’ajustement et desa significativité globale. La qualité d’ajustement est évaluée à partir ducoefficient de détermination ajusté et la significativité globale est mesurée àpartir d’un test de Fisher.

En complément, il convient d’évaluer la significativité individuelle descoefficients à partir du test de Student.


coefficients à partir du test de Student.

Dans les résultats présentés ci-après, une probabilité est associée aux tests deFisher et de Student, il s’agit de la probabilité de rejeter à tord H0 (H0 étantl’hypothèse de nullité des coefficients). En pratique, lorsque cette probabilité estinférieure à 5 %, on rejettera H0.


�Analyse des résidus



Une attention particulière doit être accordée à l’analyse des résidus.

Dans ce contexte la première étape est de s’assurer que les résidus sont demoyenne nulle.

À cet effet, par application du théorème central limite, on peut déterminer unintervalle de confiance, au seuil standard de 95 %, sur la moyenne des résidus.


intervalle de confiance, au seuil standard de 95 %, sur la moyenne des résidus.





Dans une seconde étape, il convient de détecter une éventuelle autocorrélationdes erreurs, classique dans les modèles de séries temporelles (pour mémoire, ily a autocorrélation des erreurs lorsque les erreurs sont liés par un processus dereproduction – ie processus à mémoire –).

À cet effet, au-delà de l’examen visuel des résidus, on peut utiliser le test deBreusch-Godfrey pour les autocorrélations d’ordre p ≥ 1, plus robuste que le


Breusch-Godfrey pour les autocorrélations d’ordre p ≥ 1, plus robuste que letest de Durbin-Watson.

Le principe consiste à régresser les résidus estimés sur les variablesexplicatives et sur la série des résidus retardés, puis à tester l’hypothèse H0 denullité simultanée des p coefficients des résidus retardés (pour mémoire,lorsque la probabilité de rejeter à tord H0 est inférieure à 5 %, on rejettera H0).





Dans une troisième étape, on cherche à détecter une éventuellehétéroscédasticité, fréquente dans les modèles de séries financières (pourmémoire, il y a hétéroscédasticité lorsque les variances des erreurs ne sont plusconstantes mais sont liées aux valeurs de la variable explicative) .

Les modèles ARCH(q) permettent de modéliser des séries dont la volatilitédépend du passé d’ordre q, notamment celles présentant de fortes périodes de


dépend du passé d’ordre q, notamment celles présentant de fortes périodes devolatilité suivies de périodes d’accalmies (comme dans les séries financières).

À cet effet, le test approprié est le test qui vérifie si le processus est justifiabled’un processus ARCH (AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity). Ce testconsiste en une régression autorégressive des résidus (au carré) sur q retards.Ici, l’hypothèse nulle H0 correspond à l’absence d’effet ARCH.





Dans une quatrième étape, on réalise un test de normalité des erreurs.

On retient le test de Jarque-Bera, fondé sur la notion d’asymétrie (skewness) etd’aplatissement (kurtosis). Pour ce test, l’hypothèse nulle H0 est celle de lanormalité des résidus : lorsque la probabilité associée est supérieure à 5 %, onaccepte l’hypothèse H0 de normalité des résidus.


Dans le cas d’échantillons de petites tailles (nombre d’observations inférieur à50), on peut également utiliser le test de Shapiro-Wilk, fondé sur le rapport entreune combinaison linéaire des étendues successives et l’écart-type.

3.4. Calibrage des mouvements browniens géométriques

Les paramètres sur la tendance et la volatilité des mouvements browniens


Les paramètres sur la tendance et la volatilité des mouvements browniensgéométriques (notamment les actions ici) sont directement estimés à partir desdonnées.


3.5. Présentation des données


Illustration des données de Friggit (1955-2005, France)

4%

8%

12%

16%

20%

24%

28%

32%

36%

40%

44%

48%


-24%

-20%

-16%

-12%

-8%

-4%

0%

4%

1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

Rdt actions Taux inflation Taux réel long Taux réel court Rdt immobilier

4.1. Résultat du calibrage du modèle d’Ahlgrim

�Modèle sur l’inflation

4. Mise en œuvre : exemple


Le modèle retenu par Ahlgrim pour l’inflation est :

soit après discrétisation exacte :

L’estimation des paramètres est effectuée via une régression linéaire simple :

( ) ,κ µ σt q q t q q tdq q dt dB= − +

( ) ( )( )( )

1 ,

1 exp 2κexp κ µ 1 exp κ ε σ

2κ

q

t t q q q q t qq

q q+

− −= × − + − − + × ×

1 ,α β εt q q t q tq q+ = + × + ɶ


Pour revenir au modèle initial d’Ahlgrim, les coefficients estimés et sonttransformés.

La vitesse de retour à la moyenne est ainsi calculée comme suit :

1 ,α β εt q q t q tq q+ = + × + ɶ

ɵαq βqɵ

ɵκq( )( )

β exp κ

κ ln β .

q q

q q

= −

= −




( )( ) ( )( )( )�Modèle sur l’inflation

Le taux d’inflation moyen est déterminé par :

L’écart type est égal à l’écart type de l’erreur du modèle estimé divisé par :

Ahlgrim : ajustement de l'inflation

( )( ) ( )( )( )

( )

α µ 1 exp κ µ 1 exp ln β

αµ .

1 β

q q q q q

qq

q

= − − = −

=−

( )1 exp 2κ

2κ

q

q

− −

ɵσq


Paramètre Intitulé Ahlgrim

(annuel)

Friggit

(annuel)

κq Vitesse retour à la moyenne 0,47 0,261

µq Taux d’inflation moyen 0,048 0,051

σq Écart type de l’erreur 0,03 0,026

q

Au final, on arrive aux résultatssuivants, sachant que lecalibrage d’Ahlgrim est réaliséavec des données annuellesUS (1946-2001).





Ahlgrim : ajustement de l'inflation (tests)

Test Résultat Interprétation

R² ajusté 0,59 Le pouvoir explicatif du modèle est de 59 %

Fisher P = 4,5.10-11 Le modèle global est significatif

Student (constante) P = 0,04 La constante est significative

Student (variable) P = 4,5.10-11 Le coefficient de la variable est donc significatif


Moyenne résidus -2,6.10-19 La moyenne des résidus est considérée nulle

Breusch-Godfrey P = 0,37 Absence d’autocorrélation d’ordre 1p =

ARCH(1) P = 0,11 Absence d’hétéroscédasticité d’ordre 1q =

Jarque-Bera P < 2,2.10-16 Hypothèse de normalité des résidus non vérifiée


�Modèle sur les taux d’intérêt réels



Pour mémoire, le modèle retenu pour les taux d’intérêt réels est le suivant (avec rt pour les taux à court terme, et lt pour les taux à long terme) :


( )( )

,

,

κ σ

κ µ σ

t r t t r r t

t l l t l l t

dr l r dt dB

dl l dt dB

= − +

= − +

( ) ( )( )( )1 exp 2κ

exp κ 1 exp κ ε σr

r r l− −

= × − + − − + × ×


Pour estimer ce modèle à équations simultanées, Ahlgrim et al. retiennent uneprocédure d’estimation des Doubles Moindres Carrés (DMC).

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 ,

1 ,

1 exp 2κexp κ 1 exp κ ε σ

2κ


2κ

rt t r t r r t r

r

lt t l l l l t l

l

r r l

l l

+

+

− −= × − + − − + × ×

− −= × − + − − + × ×





La procédure DMC consiste à appliquer en deux étapes les MCO :

Concernant la première étape, les coefficients estimés et sont transformés :on déduit la vitesse de retour à la moyenne des taux réels à long terme :

,1 1 2

,1 1 2

Étape 1: β β ε

Étape 2 : α α ε

l tt t

t r tt t

l l

r l r

+

+

= + × +

= × + × +

ɶ

ɵ ɶ

1βɵ

2βɵ

( )2κ ln βl = −

1βµ =


Le taux d’intérêt réel moyen à long terme est alors :

L’écart type de l’erreur du modèle initial de taux à long terme, est égal à l’écarttype du modèle estimé divisé par :

( )1

2

βµ

1 βl =

−

( )1 exp 2κ

2κl

l

− −





À la différence du modèle de l’étape 1 des DMC, le modèle de l’étape 2 sur lestaux à court terme compte deux variables endogènes :

où les coefficients sont et , soit .

Dans ce contexte, le modèle retenu pour l’estimation des paramètres relatifs

,1 1 2ˆα α εr tt t tr l r+ = × + × + ɶ

( )2α exp κr= − ( )( )1α 1 exp κr= − − 2 1α 1 α= −


Dans ce contexte, le modèle retenu pour l’estimation des paramètres relatifsaux taux courts est :

On en déduit la vitesse de « retour à la moyenne » des taux réels à court termeet l’écart type de l’erreur du modèle initial de taux à court terme,

égal à l’écart type du modèle estimé divisé par :

( ) ,1 1ˆα εr tt t tr l r+∆ = − + ɶ

( )1κ ln 1 αr = − −

( )1 exp 2κ

2κr

r

− −





Les résultats du calibrage sont les suivants :Ahlgrim : ajustement des taux d’intérêt réels


(annualisé)

Friggit

(annuel)

κr Vitesse retour à la moyenne (CT) 6,1 0,397

σr Écart type de l’erreur (CT) 0,1 0,024

κ Vitesse retour à la moyenne (LT) 5,1 0,451


Calibrage d’Ahlgrim réalisé à partir de données US mensuelles, et annualisées (1982-2001) et jugé insatisfaisant par Ahlgrim et al.

κl Vitesse retour à la moyenne (LT) 5,1 0,451

µ l Taux d’intérêt réel moyen (LT) 0,028 0,029

σl Écart type de l’erreur (LT) 0,1 0,023




�Modèle sur les taux d’intérêt réelsAhlgrim : ajustement des taux d’intérêt réels (tests)




Student (constante) P = 0,02 La constante est significative




Ce tableau reprend les principaux résultats sur les tests d’adéquation réaliséspour la 1ère étape des DMC (modèle sur les taux d’intérêt réels à long terme).

Moyenne résidus -2,8.10 La moyenne des résidus est considérée nulle







�Modèle sur les taux d’intérêt réelsAhlgrim : ajustement des taux d’intérêt réels (tests complémentaires)







Ce tableau reprend les principaux résultats sur les tests d’adéquation réaliséspour la 2ème étape des DMC (modèle sur les taux d’intérêt réels à court terme).





�Modèle sur les taux d’intérêt nominaux



En pratique, les taux d’intérêt nominaux, à court terme et à long terme, sontdéduits des relations suivantes :

Ahlgrim et al. s’aperçoivent que les paramètres estimés pour le modèle de tauxd’intérêt réel conduisent à une estimation des taux d’intérêt nominaux

( ) ( )( ) ( )1 1 1

1 1 1r

l

i q r

i q l

= + × + −

= + × + −


d’intérêt réel conduisent à une estimation des taux d’intérêt nominauxinsatisfaisante. Ils attribuent ce problème à la nature des données retenues surles taux d’intérêt réels (fréquence mensuelle des données non adaptée,détermination ex post des taux d’intérêt réel, etc.).

Aussi, Ahlgrim et al. fixent la valeur des paramètres sur la vitesse de retour à lamoyenne et sur la volatilité des modèles de taux d’intérêt réel.





Le tableau suivant reprend les différents paramètres retenus après ceretraitement.

Ahlgrim : ajustement des taux d’intérêt réels (Version 2)

Paramètre Intitulé Ahlgrim V2

(annualisé)

Friggit

(annuel)

κr Vitesse retour à la moyenne (CT) 1,0 0,397

σr Écart type de l’erreur (CT) 0,01 0,024


Les paramètres des taux d’intérêt réels fixés par Ahlgrim et al. ici sont beaucoupplus proches des estimations réalisées avec les données de Friggit.

κl Vitesse retour à la moyenne (LT) 0,1 0,451

µ l Taux d’intérêt réel moyen (LT) 0,028 0,029

σl Écart type de l’erreur (LT) 0,0165 0,023


�Modèle sur l’immobilier



Le modèle retenu pour l’immobilier est le suivant :


( ) ( )( ) ,κ µ σre re re re tt td re re dt dB= − +

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

,1


2κre

re re re re t ret tre

re re+

− −= × − + − − +

Ahlgrim : ajustement de l’immobilier


(trimestriel)

Friggit

(annuel)


Calibrage d’Ahlgrim réalisé avec des données trimestrielles US (1978-2001).

(trimestriel) (annuel)

κre Vitesse retour à la moyenne 1,2 0,152

µre Taux de rendement réel moyen 0,023 0,094

σre Écart type de l’erreur 0,013 0,037





Ahlgrim : ajustement de l’immobilier (tests)



Fisher P < 2,2.10-16 Le modèle global est significatif

Student (constante) P = 0,13 La constante n’est pas significative

Student (variable) P < 2,2.10-16 Le coefficient de la variable est donc significatif


Moyenne résidus 1,5.10-18 La moyenne des résidus est considérée nulle



Jarque-Bera P = 0,51 Hypothèse de normalité des résidus vérifiée


�Modèle sur les actions


�Modèle sur les actions

Ahlgrim et al. modélisent l’excès de rendement et les taux de dividendes desactions, approche qui présente toutefois des difficultés en termes de données.Aussi, une alternative a été retenue : modélisation de l’excès de rendementavec dividendes réinvestis (données disponibles avec Friggit).

En outre, dans notre exemple le modèle de Black et Scholes a été privilégiée aumodèle à changement de régime de Hardy (RSLN2) retenue par Ahlgrim.


modèle à changement de régime de Hardy (RSLN2) retenue par Ahlgrim.

Ahlgrim : ajustement des actions

Paramètre Intitulé Ahlgrim Friggit

(annuel)

µs Excès de rendement moyen s.o. 0,033

σs Écart type de l’excès des actions s.o. 0,175

4.2. Projection issue des calibrages

�Paramètres d’initialisation des simulations


�Paramètres d’initialisation des simulations

Toutes les projections présentées sont une moyenne des valeurs obtenues àpartir de N=10 000 simulations et sont réalisées jusqu’à la date t=T=30 ans.

Pour l’ensemble des projections, on suppose qu’à l’origine (valeurs observéessur les données de Friggit pour la période 1997-2005) :• le taux d’inflation est égal à 1,5 % ;• le taux d’intérêt réel à court terme est égal à 1,5 % ;


• le taux d’intérêt réel à court terme est égal à 1,5 % ;• le taux d’intérêt réel à long terme est égal à 3,1 % ;• le taux de rendement dans l’immobilier est égal à 8,1 %.

En outre pour le prix des ZC, on considère que l’on souhaite évaluer aujourd’hui(en t=0) le prix de deux obligations zéro-coupons sans risque : l’une qui paie 1en réel à la date t=M=1 an, et l’autre qui paie 1 en nominal à la date t=M=1 an.


�Traitement des corrélations



Lors des projections, il convient de tenir compte de la corrélation observée entreles résidus des modèles calibrés et à cet effet, les erreurs de spécification desmodèles projetés sont simulées ex ante (pour toutes les simulations et surl’ensemble de la durée de projection).

En pratique, pour chaque modèle projeté les erreurs de spécification doivents’écrire comme une combinaison linéaire (qui dépend directement de la


s’écrire comme une combinaison linéaire (qui dépend directement de lastructure de la matrice de corrélation des résidus) des erreurs des autresmodèles. Les coefficients de cette combinaison linéaire sont déterminés enutilisant la méthode de factorisation de Cholesky et les valeurs des variablesaléatoires représentant les erreurs utilisées dans ces combinaisons linéairessont générées selon une loi normale centrée réduite.





On dispose alors d’une matrice contenant les erreurs des modèles projetés,pour chaque simulation et sur l’ensemble de la durée de projection, proche de lamatrice des corrélations historiques. Cela permet de s’assurer de la cohérenceentre la corrélation des résidus historiques et la corrélation des erreursprojetées.

Ahlgrim (Friggit) : corrélations de l’historique des résidus

Friggit Inflation Immo. Taux LT Taux CT Excès act.

Ahlgrim (Friggit) : corrélations des erreurs projetées




Inflation 1 0,202 -0,858 -0,651 -0,324

Immo. 0,202 1 -0,321 -0,269 0,103

Taux LT -0,858 -0,321 1 0,802 0,176

Taux CT -0,651 -0,269 0,802 1 0,112

Excès act. -0,324 0,103 0,176 0,112 1


Inflation 1 0,197 -0,853 -0,643 -0,320

Immo. 0,197 1 -0,316 -0,262 0,102

Taux LT -0,853 -0,316 1 0,796 0,173

Taux CT -0,643 -0,262 0,796 1 0,109

Excès act. -0,320 0,102 0,173 0,109 1


�Projection des prix des zéro-coupon (en réel)


�Projection des prix des zéro-coupon (en réel)

On a les résultats suivants pour les prix des zéro-coupon (sans risque et demême maturité) en réel.



�Projection des prix des zéro-coupon (en nominal)


�Projection des prix des zéro-coupon (en nominal)

Dans le cadre de l’évaluation des prix des zéro-coupon (sans risque et demême maturité) en nominal, il convient de tenir compte de l’inflation.



�Projection du rendement des actions


�Projection du rendement des actions

Pour le modèle d’Ahlgrim et al., nous considérons que le taux de rendement desactions est : ,t r t ts i x= +



�Projection du rendement de l’immobilier


�Projection du rendement de l’immobilier

Les résultats des projections sont présentés dans le graphique suivant.


Préambule

Il existe deux univers de probabilités pour générer des scénarios économiques :

• Un univers de probabilités réelles, lorsque l’on cherche à déterminer les

5. Utilisation : probabilités réelles et risque neutre

• Un univers de probabilités réelles, lorsque l’on cherche à déterminer lesévolutions futures compatibles avec les observations historiques : dans ce cas,les simulations reproduisent le plus fidèlement possible la réalité et les modèlessont calibrés sur les données historiques. Dans cette configuration, les actifsrisqués offrent une prime de risque, ce qui rend difficile la réalisation d’uneévaluation correcte.

• Un univers de probabilités risque neutre, lorsque l’on est dans une logiqued’évaluation : dans ce cas, tous les actifs ont une performance moyenne égale au


d’évaluation : dans ce cas, tous les actifs ont une performance moyenne égale autaux sans risque (les primes de risque sont nulles), ce qui permet de réaliser desévaluations en actualisant les flux futurs au taux sans risque. En outre, pourgarantir une évaluation cohérente avec les prix observés sur les marchés, lesmodèles doivent être calibrés à partir de ces prix de marché.

5.1. Probabilités RN et réelles en discret (rappels de math. fi.)

Considérons les deux marchés de base :


- celui de l’actif risqué (appelé action) : la valeur en date 0 de l’action est égale à S ;en date 1, l’action peut prendre deux valeurs, que l’on note respectivement uS etdS, avec u > d ;

- celui du prêt-emprunt (sans risque) : on considère les opérations prêt-emprunt,sous la forme d’achat ou de vente d’un actif sans risque, qui pour 1 euro placé endate 0 donne 1+r euros en date 1.

L’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) impose que : d < 1 + r < u.


L’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA) impose que : d < 1 + r < u.

Considérons par ailleurs une option sur l’action, par exemple un call de prixd’exercice K et de maturité 1 :- en cas de hausse de l’action, le payoff de l’option est égal à :- en cas de baisse de l’action, le payoff de l’option est égal à :.

( )1 max ,0uC uS K= −

( )1 max ,0dC dS K= −


Pour dupliquer la payoff de l’option en date 1, on considère en date 0 uninvestissement dans les deux actifs de base, avec α la quantité d’actions achetées


α

(α > 0) ou vendues (α < 0) en date 0, et β le montant placé dans l’actif sans risque(β positif indique un prêt, β négatif un emprunt) en date 0.

La valeur en date 0 du portefeuille (α, β) est donc donné par : V0 = αS + β

En date 1, on obtient :- en cas de hausse de l’action :- en cas de baisse de l’action :

( )1 1uV uS rα β= + +

( )1 1dV dS rα β= + +


Pour dupliquer le call il faut déterminer (α*, β*) tels que la valeur en date 1 duportefeuille soit égale à celle de l’option dans les deux états du monde, soitrésoudre :

( ) ( )( )

( ) ( )( )1

1

1 max ,0

1 max ,0

u

d

uS r C uS K

dS r C dS K

α β

α β

+ + = = −

+ + = = −


Au final, en AOA, on a donc :


* *0 0C V Sα β= = +

avec

Exemple : soit un parapluie de valeur S = 100 €, en date 0. En date 1, le prix duparapluie augmentera de 10 % s’il pleut (uS = 110) et diminuera de 10 % s’il nepleut pas (dS = 90). On considère par ailleurs que le taux de prêt-emprunt est nul etque la météo estime (avec raison) qu’il pleuvra avec une probabilité p = 90 %.

** *1 1 1;

1

u d uC C C uS

uS dS r

αα β

− −= =

− +

0 0C V Sα β= = +


Quel est le prix d’un call sur le parapluie, de prix d’exercice 100 € et de maturité 1 ?

On a :

Le prix du call est donc de 5 €,… et non de de 9 € (=90 %*10 + 10 %*0).

** *1 1 110 0 10 0,5 110

0,5 ; 45110 90 1 1 0

u d uC C C uS

uS dS r

αα β

− −− − ×= = = = = = −

− − + +


Après quelques calculs simples, on trouve :


( ) ( )* * 1 11 u dr d u r

C V S C Cα β+ − − +

= = + = +

Dans cette équation, le payoff de l’option en cas de hausse est ainsi pondéré parun facteur multiplicatif que nous notons q :

Par ailleurs, le facteur multiplicatif portant sur est égal à 1-q :

( )1 r dq

u d

+ −=

−

1u

C

1d

C

( ) ( )* *0 0 1 1

1 11

1u d

r d u rC V S C C

r u d u dα β

+ − − + = = + = +

+ − −


Rappelons que l’hypothèse d’AOA implique d < 1+r < u. Ces deux inégalitésimpliquent en particulier que q est compris entre 0 et 1 et peut donc s’interprétercomme une probabilité.

( )11

u rq

u d

− +− =

−


Sous cette probabilité, l’espérance du payoff du call s’écrit :


[ ] ( )1q u dE C qC q C= + −

et on a :

Au final, la valeur d’une option s’exprime donc comme une espérance actualisée deson payoff ; calculée sous la probabilité dite « risque-neutre » (q, 1-q), définie ci-avant, et l’actualisation est opérée au taux sans risque r.

On note que sous la probabilité risque-neutre (RN), tous les actifs du marché

[ ]0 1

1

1qC E C

r=

+

[ ] ( )1 1 11q u dE C qC q C= + −


On note que sous la probabilité risque-neutre (RN), tous les actifs du marché(action, option, actif sans risque) ont la même espérance de rentabilité, égale autaux sans risque r (on en déduit que sous la probabilité RN, les valeurs actualiséesau taux sans risque de tous les actifs suivent des processus martingales).


Pour s’en convaincre, en notant , on comprend facilement quel’espérance sous q de la rentabilité du call est r.

[ ] ( )1 0 1qE C C r= +


l’espérance sous q de la rentabilité du call est r.

Calculons plus généralement l’espérance de rentabilité dans l’univers RN. Soitl’action de prix S, dont le taux de rentabilité est R. On a donc Ru = u - 1 et Rd = d - 1.

On obtient donc en espérance :

Soit :

Pour illustrer cette caractéristique, on reprend l’exemple précédent. En calculant le

[ ]( ) ( )1 1

1qr d u r

E R u d ru d u d

+ − − += + − =

− −

[ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1qE R q u q d qu q d= − + − − = + − −


Pour illustrer cette caractéristique, on reprend l’exemple précédent. En calculant lerendement de l’actif risqué sous q (avec q = 0,5) :

On remarque par ailleurs que sous p :

1 0

0

0,5 10 % 0,5 10 % 0 %q S SE r

S

−= × − × = =

1 0

0

0,9 10 % 0,1 10 % 8 %p S SE

S

−= × − × =


On s’intéresse désormais au rendement sous la probabilité historique (réelle) p.Considérons les actions ; l’espérance mS du taux de croissance du prix de l’action :


Considérons les actions ; l’espérance mS du taux de croissance du prix de l’action :

mS = Ep [ (S1 – S0) / S0 ] = pu + (1 – p)d – 1

et la variance vS :

vS = Ep [ (R – mS)² ] = p(u – 1 – mS)² + (1 – p)(d – 1 – mS)² = p(1 – p)(u – d)²

On dit qu’il y a excès de rendement lorsque, sous la probabilité p, la rentabilitéespérée de l’action est supérieure au taux sans risque r, i.e. lorsque : mS > r. Ladifférence mS – r s’interprète comme une prime de risque.


différence mS – r s’interprète comme une prime de risque.

Le risque affectant S étant mesuré par l’écart-type σS, il est naturel de penser quecette prime soit proportionnelle au risque et donc de poser :

mS – r = λ * σS

où λ s’interprète comme le prix de marché d’une unité de risque.

5.2. Probabilités RN et réelles en continu (et lien entre les 2)

�Probabilités risque-neutre (RN)

Les probabilités risque-neutre (RN) correspondent à des probabilités virtuelles,


Les probabilités risque-neutre (RN) correspondent à des probabilités virtuelles,où les agents seraient tous neutres face au risque, et où les espérances derentabilité de tous les titres sont ainsi égales au taux sans risque r(t).

Soit le brownien dans l’univers RN. Le rendement d’un titre sous lesprobabilités RN est donc :

( ) ( ) �σ tdX

r t dt t dWX

= +

�tW


et en appliquant le lemme d’Itô à ln(X), on a :

X

( ) ( )( ) ( ) ( ) �( )2

0 01σ σ

20

t tr u u d u dWu u

X t X e

− +

∫ ∫

=


�Probabilités risque-neutre (RN)

En outre, sous les probabilités RN (désignées par Q), la valeur en 0 d’un droit


En outre, sous les probabilités RN (désignées par Q), la valeur en 0 d’un droitsur un flux aléatoire X disponible en t > 0 est égale à :

En effet, considérons :

( )( )0

00 |tr u duQ

tX E X e− ∫

= Ι

( )( )( )0

ˆtr u du

X tX t

e

=∫


On a alors :

On reconnait dans cette dynamique celle d’une martingale exponentielle.

e

( )( )

( ) ( ) ( ) �( )

( )( )

( ) ( ) �( )

20 0 2

0 0

0

1σ σ 12 σ σ

20ˆ ˆ 0

t t

t t

t

r u u du u d u

u du u d u

r u du

W

WX eX t X e

e

− +

− +∫ ∫

∫ ∫= =

∫


�Probabilités réelles (ou historiques, ou statistiques, ou observables)

La probabilité Q risque-neutre diffère de la probabilité réelle.


La probabilité Q risque-neutre diffère de la probabilité réelle.

En pratique, le processus de rendement d’un actif avec les probabilités réelless’écrit :

Avec les probabilités réelles, les espérances de rentabilité sont égales au tauxsans risque majoré d’une prime de risque, égale au produit du prix de marché

( ) ( )µ σ t

dXt dt t dW

X= +


sans risque majoré d’une prime de risque, égale au produit du prix de marchédu risque et de l’intensité du risque (soit ).

Pour déterminer la valeur d’un flux aléatoire futur, il est alors nécessaire dedisposer d’un moyen technique pour passer des probabilités réelles auxprobabilités risque-neutre.

( ) ( ) ( ) ( )µ σ λt dt r t t dtt = +


�Théorème de Girsanov et dérivée de Radon-Nikodym

On considère W le brownien standard sous la probabilité P. Soit γ(t) un


On considère W le brownien standard sous la probabilité P. Soit γ(t) unprocessus adapté vérifiant et tel que le processus suivant soit unemartingale :

avec le théorème de Girsanov :

est un processus brownien standard sous la probabilité Pξ, avec dPξ / dP = ξ(t),

( ) ( ) ( )2

0 0

1ξ exp γ γ

2

t tt s ds s dW

= − −

∫ ∫

( )2

0γ

Tt ds < ∞∫

� ( ) ( ) ( )0γ

tW t W t s ds= + ∫


est un processus brownien standard sous la probabilité Pξ, avec dPξ / dP = ξ(t),avec ξ(t) satisfaisant aux conditions requises d’une dérivée de Radon-Nikodym.

Les caractéristiques d’une dérivée de Radon-Nikodym permettent alors d’avoirune relation d’évaluation impliquant la probabilité historique P.



En effet, pour tout prix de marché du risque (noté λ(t)), une probabilité Q risque-


En effet, pour tout prix de marché du risque (noté λ(t)), une probabilité Q risque-neutre peut être définie à partir de la probabilité historique P par la dérivée deRadon-Nikodym :

La valeur d’un titre constitué d’un droit aléatoire unique XT disponible en T aalors pour valeur en date 0 :

( ) ( ) ( )21T T

( ) ( )2

0 0

1exp λ λ

2

t tdQs ds s dW

dP

= − −

∫ ∫


Le terme s’interprète comme le déflateur.

( )( ) ( ) ( ) ( )2

0 00

1λ λ

20

T TT r t t dt t dW

r u duQ PT TX E X e E X e

− + − −

∫ ∫ ∫

= =

( ) ( ) ( )20 0

1λ λ

2T T

r t t dt t dW

e

− + −

∫ ∫



On remarquera notamment que d’après le théorème de Girsanov, le processus


On remarquera notamment que d’après le théorème de Girsanov, le processusdéfini par :

est un brownien sous Q.

En remplaçant par dans ,on a :

� ( ) ( ) ( )λdW t dW t t dt= +

( ) � ( ) ( )λdW t dW t t dt= −( )dW t ( ) ( ) ( )µ σdX

t dt t dW tX

= +

dX


et en notant que , on a bien :

( ) ( ) � ( ) ( )µ λσ dW td

t tt t tX

dX

d − = +

( ) ( ) ( ) ( )µ σ λt dt r t t dtt = +

( ) ( ) �σ tdX

r t dtX

Wt d= +


� Illustration avec le modèle de Vasicek

Dans le modèle de Vasicek, le processus de taux court s’écrit sous Q de la


Dans le modèle de Vasicek, le processus de taux court s’écrit sous Q de lafaçon suivante :

où et .

La solution de cette EDS est :

Le prix des zéro-coupons est alors :

( ) �σQ

tdr a b r dt dW= − +

λσQ P

b b a= − � λt tW W t= +

( ) ( ) ( ) �

00 1 σ

tat Q at at assr t r e b e e e dW

− − −= + − + ∫

( )( )

,T

tr s dsQ

P t T E e− ∫

=


Et on obtient (cf. Lamberton et Lapeyre [1997]) :

avec et

( ) ( ) ( )( ), exp ,P t T T t R T t r t = − − −

( ) ( )( ) ( )2 2

θ θ

2

1 σθ, 1 1

θ 4

a aR r R R r e e

a a

− −∞ ∞

= − − − − −

( )2

θ 2

σlim θ,

2

QR R r b

a∞ →∞= = −

5.3. Calibrage et mise en œuvre (exemple avec Vasicek)

�Discrétisation et calibrage en probabilités réelles

Le modèle de Vasicek pour les taux d’intérêt est :


( ) σdr a b r dt dW= − +Le modèle de Vasicek pour les taux d’intérêt est :


L’estimation des paramètres est effectuée via une régression linéaire simple :

( ) σ tdr a b r dt dW= − +

( ) ( )( )( )

11 exp 2

exp 1 exp ε σ2t t

ar r a b a

a+

− −= × − + − − + × ×


Pour revenir au modèle initial de Vasicek, les coefficients estimés , et sonttransformés.

1 β α δ εt tr r+ = × + + ×

ɵα βɵ δɵ


�Discrétisation et calibrage en probabilités réelles

La vitesse de retour à la moyenne est ainsi calculée comme suit :


ɵLa vitesse de retour à la moyenne est ainsi calculée comme suit :

Le taux d’inflation moyen est déterminé par :

ɵa

( )( )

β exp

ln β

a

a

= −

= −

( )( ) ( )( )( )α 1 exp 1 exp ln β

α

b a b= − − = −


L’écart type est calculé par :

( )α

.1 β

b =−

( )

δσ

1 exp 2

2

a

a

=− −

ɵσ


�Calibrage en probabilités risque neutre

Dans le modèle de Vasicek, le processus de taux court s’écrit sous Q de la


Dans le modèle de Vasicek, le processus de taux court s’écrit sous Q de lafaçon suivante :

On note par ailleurs que et . Les paramètres a et σsont théoriquement les mêmes dans les univers de probabilités réelles (sous P)et risque neutre (sous Q).

( ) �σQ

tdr a b r dt dW= − +

λσQ P

b b a= − � λt tW W t= +


La solution de cette EDS est :

Le prix des zéro-coupons est alors :

( ) ( ) ( ) �

00 1 σ

tat Q at at assr t r e b e e e dW

− − −= + − + ∫

( )( )

,T

tr s dsQ

P t T E e− ∫

=


�Calibrage en probabilités risque neutre

Au final, on obtient (cf. par exemple Lamberton et Lapeyre [1997]) :


Au final, on obtient (cf. par exemple Lamberton et Lapeyre [1997]) :

avec

et

( ) ( ) ( )( ), exp ,P t T T t R T t r t = − − −

( ) ( )( ) ( )2 2

θ θ

2

1 σθ, 1 1

θ 4

a aR r R R r e e

a a

− −∞ ∞

= − − − − −

( )2σ

lim θ, QR R r b∞ →∞= = −


et

Le calibrage sous Q est ensuite obtenu par minimisation de l’écart quadratiqueentre le prix théorique issu de la formule fermée et le prix observé sur lemarché.

( )θ 2lim θ,

2

QR R r b

a∞ →∞= = −

5.4. Utilisation et validation

�Solvabilité 2 (formule standard, QIS5) : utilisation avec des probabilités RN

Le QIS5 apporte des précisions sur le calibrage du GSE :


Le QIS5 apporte des précisions sur le calibrage du GSE :- les projections doivent être « market consistent » ;- les modèles doivent être calibrés sur des prix de marché observés sur desmarchés suffisamment « profonds, liquides et transparents » ;- le calibrage peut se fonder sur des analyses statistiques et actuarielles, tantque les résultats sont « market consistent » ;- les modèles doivent vérifier le principe d’absence d’opportunité d’arbitrage.

Pour le calibrage des volatilités, le QIS5 laisse le choix entre deux approches :


Pour le calibrage des volatilités, le QIS5 laisse le choix entre deux approches :- à partir des volatilités implicites issues des prix de marché des options(inconvénients : disponibilité des options, sur-estimation en période de crise,sous-estimation en période calme, etc.) ;- à partir des volatilités historiques calculées sur des historiques de cours(inconvénients : disponibilité de l’historique, etc.).


�S2 (formule standard, QIS5) : validation avec les probabilités RN

Il existe par ailleurs une liste de validation et de vérifications pour l’ESG en


Il existe par ailleurs une liste de validation et de vérifications pour l’ESG enunivers de probabilité RN :

- il doit conduire à ce que les rendements moyens de tous les actifs soientégaux au taux sans risque ;

- il doit reproduire la courbe des taux sans risque ;

- il doit permettre de reproduire tous les paramètres de calibrage, notamment


- il doit permettre de reproduire tous les paramètres de calibrage, notammentles volatilités implicites ;

- il doit permettre de retrouver les prix de marché qui ont été utilisés pour lecalibrage, notamment les prix des options.


�S2 (ORSA) / ALM : utilisation et validation avec des probabilités réelles

Pour l’utilisation des GSE dans le cadre de l’univers de probabilités réelles, une


Pour l’utilisation des GSE dans le cadre de l’univers de probabilités réelles, unedescription de la mise en œuvre a été présenté ci-avant, ainsi que de premierséléments de validation.

Pour la validation, on peut reprendre les critères de mesures qualité, qualitatifset quantitatifs, avancés par Faleh [2011] dans sa thèse.

Concernant les mesures qualitatives, il reprend Hibbert qui précise qu’un bonGSE doit avoir 4 propriétés : représentativité, plausibilité économique,


GSE doit avoir 4 propriétés : représentativité, plausibilité économique,parcimonie et transparence. Il cite également Zenios, qui recommande au GSEde satisfaire trois critères : exactitude, précision, cohérence.

Sur le plan quantitatif, il cite les travaux de Kaut et Wallace qui apprécientquantitativement la qualité du GSE en tant qu’outil d’aide à la prise de décision.

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Contacts

Frédéric Planchet Aymric Kamega

[email protected] [email protected]

WINTER & Associés

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