formulation dun modèle de covariance derreur débauche multivarié pour lassimilation...

Formulation d’un modèle de covariance d’erreur d’ébauche multivarié pour l’assimilation variationnelle océanique: introduction de

contraintes physiques

Thèse effectuée au CERFACS par Sophie Ricci sous la direction d’Anthony Weaver et Olivier Thual

Soutenance de thèse, le 29 Mars 2004, CERFACS

École Doctorale SDU2EOcéanographie Physique

Global Change and Climate Modelling Team

Pourquoi assimiler des données océaniques?

Évènement El niño 1996-97


Cartes d’anomalies de T pour 1996-97 et 2001-2002

Décembre 1996 Juin 1997

Décembre 2001 Juin 2002

Objectifs : • Condition initiale pour la prévision• Meilleure compréhension a posteriori de la circulation océanique


passé futur

Prévision océaniquePrévision saisonnière

Ré-analyses

Plan de l’exposé

I - L’assimilation de données océaniques

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche B

III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical.

IV - Conclusions et Perspectives

a- Un peu d’histoire.I – L’assimilation de données océaniques

a- Un peu d’histoire. b- Le processus d’assimilation

c- Description de l’océan

d- L’assimilation en océanographie

Définition : L’assimilation de données est une technique qui vise à estimer l’état d’un système dynamique en combinant des informations d’origines diverses.

Première application en astronomie par K.F. Gauss pour la détermination de l’orbite de Cérès, A-M. Legendre pour l’étude des orbites planétaires et P.-S. Laplace pour l’étude du système solaire.

Application à l’automatique et au filtrage avec la méthode de Kalman.

Première application aux sciences de la terre en prévision atmosphérique pour l’identification de conditions initiales (Gandin, 1963). Utilisation dans les centres de prévision opérationnels (Météo-France, ECMWF …). Application à l’océanographie pour l’étude de la dynamique océanique et de son rôle pour la variabilité climatique.





b- Le processus d’assimilation

C. I

02 2 n Équation de mouvement + C.I : Position exacte

Position observée





De quoi a-t-on besoin pour assimiler des données océaniques?

• Description de l’océan par les observations

le modèle + C.I

• Techniques d’assimilation

• Moyens de calcul et stockage

• Outils logiciels

OI, 3D-Var, 4D-Var, Filtres de Kalman …


Le modèle : Système d’équations qui décrit la propagation de l’état de l’océan au cours du temps.





Modèle OPA (Madec et al., 1998) :

• Version globale // restreinte au Pacifique Tropical

• Configuration à surface libre // toit rigide

• Vecteur d’état : température, salinité, courants, éventuellement hauteur de mer





Les observations : Mesures des champs océaniques de température, salinité, courants, concentration en chlorophylle … en surface ou en profondeur.

Observations satellitaires

Observations In situ

• Directement liées aux variables du modèle • Peu nombreuses • Inégalement réparties en espace et en temps

• Interprétation 3D d’une information 2D• Très nombreuses• Réparties le long des traces, récurrentes

d- L’assimilation de données en océanographie

Optimisation de l’information provenant du modèle et des observations en sachant que chaque information est entachée d’une erreur




d- L’assimilation en océanographie Les observations :

• erreur instrumentale

• erreur de représentativité

• couverture spatio-temporelle inhomogène

Le modèle numérique :

• erreur modèle - simplification des équations physiques - discrétisation- troncature

• erreur sur les conditions initiales

• erreur sur les conditions aux limites

Océan “vrai”

Analyse

Observations Modèle





Ce que l’on connaît

bx Ébauche

M Modèle

Description de la condition initiale

)( ib txTrajectoire de l’ébauche

itCe que l’on ne connaît pas

)( it tx État vrai à l’instant

x Condition initiale telle que soit le plus proche de la trajectoire réelle

)()(0

xxitti Mt

Problème inverse de x

Évolution temporelle

oiy Observations Calcul innovations )]([ i

boii tH xyd

Ce que l’on cherche à estimer

Comment ?

bx )( 0tbx

Formulation des erreurs I - L’assimilation de données océaniques




Définition des matrices de covariance d’erreur (Cohn, 1997)

tx est inconnu

La taille du système ne permet pas le stockage de tous les termes de ces matrices

On modélise ces matrices : Partie II

d’ébauche )( 0ttbb xxε

d’observation )( too H xyε

]])[])([[( Tbbbb EEE εεεεB

]])[])([[( Toooo EEE εεεεR

])]([[])]([[2

1)()(

2

1)( 1

0

1 oii

N

i

Toii

bTb tHtHJ yxRyxxxBxxx

)(xbJ )(xoJ





L’approche variationnelle : résolution du problème inverse par la minimisation d’une fonction coût

Approche incrémentale : • linéarisation au voisinage de l’ébauche

• l’inconnue est l’incrément bxxx )()]([)]([ ii

bi ttHtH xHxx

Dans le 3D-Var (FGAT), l’incrément est constant sur une fenêtre d’assimilation

Dans le 4D-Var, l’incrément est propagé par le modèle linéaire tangent

Formulation 3D-Var/4D-Var (Courtier et al., 1994):

)()( 1 ii tt xx

)(),()( 11 iiii tttMt xx

Plan de l’exposé





E: Espérance mathématiqueT: Transposée

a- Définition et interprétation physique

Écart entre l’état vrai et l’ébauche :

Matrice de covariances d’erreur de x’ :

II - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche


b- Modélisation

c- L’opérateur de corrélation

d- L’opérateur d’équilibre

v

u

S

T

vv

uu

SS

TT

tb

tb

tb

tb

tb

b εx

]])[(])[([ TEEE xxxxB

On suppose les covariances d’erreur d’ébauche non-biaisées 0][ xE

Covariances multivariées entre deux différentes variables de x’

Variances d’erreur en chaque point de grille

Covariances univariées entre les erreurs à différents points de grille pour une variable donnée de x’



b- Modélisation c- L’opérateur de corrélation




b- Modélisation



Incrément d’analyse 3D-Var :

Utilisation de la première colonne de B pour distribuer l’information provenant de l’observation

0

0

0

0

ˆ

ˆ

T

x

0

0

0

0

T̂

v

u

S

T

a

Bx

0)( xJ dR)(HBHHBx TT 1a

x̂Assimilation de données de température :

L’outil statistique B a un impact physique :

distribution spatiale de l’information

distribution de l’information entre les variables

d)x(HRd)xHxBxx 1T (2

1

2

1)( 1TJ





Champ T

Champ S

Distribution spatiale de l’information : construction de l’incrément de température

Distribution de l’information entre variables : construction de l’incrément de salinité

]''[ TTTE

]''[ TTSE

T

S

Exemple : 1 observation de T située sur un point de la grille

b- ModélisationII - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche




UB Matrice de covariances univariées de 'x

Impossible de connaître les termes de B

Modélisation sous forme d’un produit d’opérateurs

Un modèle univarié :

Représentation des covariances univariées uniquement

Distribution spatiale de l’information

UBB

Univarié






UUUU CB

Matrice d’écart-types pour les variables de

Matrice de corrélations pour les variables de

U

UC

'x'x

Modélisation des variances d’erreur et des corrélations par des opérateurs distincts:





Comment calculer cette intégrale ?

• Application d’un filtre diffusif tri-dimensionnel

• Implémentation : discrétisation explicite/implicite du schéma temporel

On veut évaluer le produit MATRICE * VECTEUR : vCU

Pas nécessaire d’exprimer la matrice UC

Assimilation variationnelle

Formulation du produit par un calcul intégral

zdzzzCz )(),()( vv est la fonction de corrélation symétrique adimensionnelleC

Exemple pour les corrélations verticales

vCU





Amélioration de la structure thermique (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003)• État moyen • Variabilité (Comparaison à un jeu de données indépendant)

Dégradation de la structure haline (Vialard et al., 2003, Weaver et al., 2003)• Perte du maximum de salinité en sub-surface• Création de masses d’eaux instables

Génération de courants artificiels (Burgers et al., 2002)• Courant équatorial de surface biaisé • Remontée en surface du sous courant équatorial• ‘‘Downwelling’’ dans l’est du bassin équatorial

Introduction d’une contrainte T-S pour préserver les propriétés thermo-halines des masses d’eau lors de l’assimilation de données de température

Bibliographie : Impact sur la dynamique océanique (Pacifique tropical) dans le contexte de l’assimilation univariée de données de température

Plus généralement, modélisation des covariances multivariées grâce à un opérateur d’équilibre K






Séparation en composantes équilibrées et non- équilibrées : (Derber et Bouttier, 1999)

'U

'B

' xxx

Un modèle multivarié

Représentation des covariances multivariées

Distribution de l’information entre les variables

Balanced(équilibrées)

Unbalanced(non-équilibrées)

TU KBKB

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Univarié

K: opérateur d’équilibre





'U

'B

' xxx

U

U

U

U

UU

UU

U

B

v

u

η

S

KSKTK

KSKTK

SKTK

TK

T

v

u

S

T

vvSvT

uuSuT

ST

ST

0

Composantes équilibrées Composantes non équilibrées

décrit les covariances univariées pour le vecteur de contrôle dont les composantes sont indépendantes les unes des autres UB

U

U

U

U

B

v

u

η

S

T

K décrit les relations d’équilibre entre les variables du modèle

IKKK

IKKK

IKK

IK

I

vvSvT

uuSuT

ST

ST

0

0

00

000

0000

0'Ux





Formulation en contrainte forte:

0][][][][ TTTT

vvEuuEESSE 'U

'U

'U

'U

'U

'U

'U

'U

Les parties non-équilibrées des variables de sont négligées et leurs statistiques sont supposées connues et nulles

x

UB

][ TTTE

IKKK

IKKK

IKK

IK

I

vvSvT

uuSuT

ST

ST

0

0

00

000

0000

K =

T

T

BST

TST

TST

STTT

KTTEKTTEK

KTTETTE

][][

][][

Relation T-S:

TB STT

ST

KITTEK

I][

][ TSTE

La contrainte température-salinité

b ( bS )TS

S

TT

STSTTSTS

bTT

bb

)()()(

b

b

b

TT

SSTT zT

zSTS

/

//

TTSS bTT

/ = 0 fort

mélange

=1 ailleurs





• Relation T-S locale issue de l’ébauche (Troccoli et al., 2002)

= 0 fort mélange

=1 ailleurs

• Conservation des propriétés T-S dans les régions où les processus isentropiques dominent

• Introduction de cette contrainte dans B après linéarisation

• Perturbations de T-S proviennent de déplacements verticaux des isopycnes de l’ébauche

“innovations” T

Incrément d’analyse en salinité

S incrément “vrai”

Incrément d’analyse en température

0 0

État ‘‘vrai ’’ connu 11 données synthétiques de T

Incréments ‘‘vrais’’ de T et S connus





Illustration sur l’assimilation 3D-Var de T

• 3D-Var simple (analyse à t donné)• Expérience jumelle• Assimilation de 11 données de T le long d’un profil vertical• Relation T-S

Température (°C)

Salinité (psu)

ebaucheTanalyseT

ebaucheSanalyseSanomalie

positive de S

anomalie négative de SSH

remontée d’eau plus dense

remontée d’eau plus salée

enfoncement du profil de S

remontée d’eau froide

anomalie négative de T

sur-élévation du profil de T

Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSHII - La matrice de covariance d’erreur d’ébauche




• 4D-Var• Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours • Modèle de B univarié

Le 4D-Var génère un incrément de SSH, T, S, u et v à t=0 jours

• dynamique thermique ou haline ?

• équilibre dynamique entre δη, δT, δS ?

Température (°C)

Salinité (psu)

Température (°C)

ebaucheTanalyseT

ebaucheSanalyseS

sur-élévation du profil de T

sur-élévation du profil de S

• Dynamique thermique

• Préservation des propriétés T-S des masses d’eau





Illustration sur l’assimilation 4D-Var de SSH

• 4D-Var• Assimilation d’une données de SSH à t = 30 jours • Modèle de B multivarié T-S





Def.: Statistiques sur les écarts entre l’état ‘‘vrai ’’ et l’ébauche

2 rôles principaux: distribution spatiale

distribution entre variables

Impossible de calculer B Modélisation

Séquence d’opérateurs traitant séparément les covariances univariées et multivariées

• Corrélations spatiales représentées par l’application d’un filtre diffusif

Analyse dynamiquement incohérente

• Covariances multivariées modélisées grâce à l’application d’un opérateur d’équilibre

Relation T-S permet la préservation des propriétés thermo-halines des masses d’eau

Conclusions

Plan de l’exposé





III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical

a- Contexte des expériences longues

b- Impact sur la dynamique

c- Étude des budgets

• Assimilation de données de température du réseau GTSPP• Données TAO (moyennes journalières), CTD, XBT (20 à 30 000/mois)• Configuration toit rigide Pacifique tropical (T, S, u, v) ~ • Résolution 1° x 0.5 °/ 2° x 25 niveaux verticaux• Système 3D-FGAT (Weaver et al., 2003)

610

Modèle de covariance d’erreur d’observation:

• Diagonal• Erreur: 0.5 °C pour les données TAO et 1 °C pour les XBT

• Ecart-type issue de la climatologie d’une expérience forcée• Échelles de corrélation spatiales variables • Relation T-S

Modèle de covariance d’erreur d’ébauche:

3 expériences (Ricci et al., 2004)

• CTL run de contrôle forcé sans assimilation• NOTS assimilation univariée de T• TS assimilation de T + relation T-S

a- Contexte des expériences longuesModèle d’océan et méthode d’assimilation:

Climatologie Levitus TS

NOTS CTL





Section verticale le long de l’équateur de la climatologie de sel 1993-98

Restauration du maximum de salinité (35.2 psu) dans TS

Pincement de la thermocline dans NOTS et TS par rapport à CTL

Impact sur la structure thermo-haline moyenne :


TSCTL

NOTS

Levitus

Salinité moyenne sur la boite TAOIII - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical




Salinité (psu)

Jan. 93 Jan. 94 Jan. 95 Jan. 96 Jan. 97 Jan. 98

Levitus

Profil moyen de sel sur la boite TAO pour 1996

Pro

fond

eur

(m)

Cas univarié (T) :

• Diminution/augmentation de la salinité dans l’océan de surface/de sub-surface • Destruction du maximum de salinité• Développement d’une circulation artificielle (Troccoli et al., 2002)

Cas Multivarié (T-S):

• Préservation du maximum de salinité en sub-surface • Conservation des masses d’eau• Rétablissement de la dynamique

Biais du courant de surface équatorial vers l’Est

Correction du courant de surface

Courants de surface Pacifique tropicalCTL

NOTS

TS

Climatologie Reverdin et al. Impact les courants :

III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical




TAO Obs. CTL NOTS TS

Comparaison aux observations de courant TAO indépendantes:

• Correction du courant de surface

• Amélioration des courants en sub-surface mais encore imparfaits

• Maximum imparfait

Utilisation d’une contrainte sur les vitesses dans K

Courants à 165°E Courants à 140°W Courants à 110°W





Amélioration par la contrainte T-S

)()( NOTSHTSH dyndyn

)()( NOTSTTST )()( NOTSSTSS

)()( NOTSuTSu )()( NOTSuTSu geogeo

Érosion du maximum de sel dans NOTS

Creux de hauteur

dynamique

Anomalie de courant géostrophique

biais du courant de surface vers l’Est dans NOTS

Les courants géostrophiques III - Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical





Équation de la chaleur au temps t:

Équation d’eau fraîche au temps t:

cycles

zhzhstartend TDDAATT

cycles

zhzhstartend SDDAASS

(A)

(B)

• Prise en compte des forçages dans le terme de diffusion vertical• Intégration de (A) et (B) sur 1993-98





NOTS

CTL

TS

-u T/x -w T/z TContribution du terme d’advection zonale au budget de chaleur

Contribution du terme d’advection verticale au budget de chaleur

Incrément de température





CTL

Eaux chaudes

00

x

Tetu




Advection zonale positive et advection verticale négative se compensent pour maintenir la thermocline

Eaux froides

00

z

TetwIII - Impact de

l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical




NOTS

• et plus fort que dans CTL

• Sous-courant zonal plus fort que dans CTL• “ Upwelling ” équatorial plus fort que dans CTL

Advection zonale positive et advection verticale négative plus fortes que dans CTL

Déséquilibres locaux (biais) compensés par l’incrément de T

x

T




z

T





TS




• Structure de la thermocline identique à celle de NOTS• Réduction du sous courant zonal par rapport à NOTS• Réduction de l’upwelling équatorial par rapport à NOTS

Tendance de l’assimilation à produire un biais de T plus petit à corriger

Réduction de l’advection zonale et de l’advection verticale





Dérive de l’advection (hor.+ vert.)

Terme d’advection proche de celui du contrôle

Faible mélange vertical

Incrément de sel

Évolution temporelle des contributions dynamiques au budget de sel (TAO 0-300m)

CTL

NOTS

TS

Dérive du contenu de sel

III – Impact de l’introduction de la relation T-S dans B sur la circulation du Pacifique tropical




ForçagesTotalDiffusion verticaleAdvectionDiffusion horizontaleIncrément de sel

Meilleure représentation

• de la structure haline

• des courants

Réduction du biais de T induit par la circulation artificielle due à l’assimilation

Le terme d’advection est responsable de la dérive en sel dans l’océan de sub-surface dans l’expérience univariée, le terme de mélange a un rôle moindre

L’incrément de S permet de compenser le biais de sel généré par l’assimilation : semblable au phénomène observé pour la température





Conclusions

Impact de l’introduction de la relation T-S dans B

Plan de l’exposé

I - Qu’est ce que l’assimilation de données ?



Conclusions et Perspectives

I - Qu’est ce que l’assimilation de données ?

Conclusions

• Meilleure connaissance du climat

• Meilleure compréhension de la dynamique océanique

• Prévision des phénomènes océaniques ou atmosphériques importants

L’assimilation en océanographie: Pourquoi?

Combine l’information provenant du modèle et des observations pour donner l’estimation de l’état océanique la plus proche possible de l’état ‘‘vrai’’

L’assimilation en océanographie: Comment ?

• Choix d’une méthode variationnelle • Utilisation des observations in situ de température

Un modèle pour la matrice B

• Modélisation de la matrice de covariance d’erreur d’ébauche

• Représentation des covariances univariées et multivariées par des opérateurs distincts

• Modélisation des covariances univariées par un opérateur intégral à travers l’application d’un filtre diffusif 3D

Analyse 3D-Var univariée génère une circulation artificielle

• Représentation des covariances multivariées par l’application de l’opérateur d’équilibre K

Dans le contexte de l’assimilation de données de T, la relation T-S permet une représentation réaliste de la circulation océanique pour le Pacifique tropical

• résultats exposés : application de K comme une contrainte forte

• tests : assimilation de données de salinité (K contrainte faible)

• Introduction de contraintes physiques entre η, T, S, u et v dans K

•Application de ce modèle de B dans le cadre de l’assimilation globale

L’opérateur d’équilibre K

Bonne représentation des termes de B et analyse dynamiquement cohérente

Coupe verticale de salinité le long de l’équateur :(Climatologie 1990-1999)

Destruction de la stratification en sel

Érosion du maximum de salinité

Préservation de la stratification

Préservation du maximum de sel

CTL

NOTS

TSRelation T-S

Le modèle global

Perspectives• Assimilation systématique de données diverses in situ ou satellitaires

• Étude approfondie de l’impact des contraintes physiques dans B

Relation de hauteur dynamique pour contraindre la hauteur de mer

Relation géostrophique pour contraindre les courants

• Calcul des statistiques d’erreur liées aux composantes non-équilibrées

Méthode d’ensemble

Correction dans les couches de surface + relation T-S

Données le long des traces (C. Deltel, LODYC)

SSS

SSH

Salinité en profondeur Campagne ARGO

SST Éviter une relaxation vers la climatologie Reynolds

Projet ENACT(*) : Projet multi-modèle et multi-méthodes d’assimilation océanique globale sur la période ERA-40

• Différentes méthodes d’assimilation

• Un jeu de données commun

• Une période d’étude commune

• Un ensemble de diagnostiques communs

Comparaison des méthodes d’assimilation

Étude des ré-analyses (intérêt descriptif )

Outil pour l’étude de la variabilité climatique

Mesure de l’impact de l’assimilation sur la prévision saisonnière à décennale

(Projet ENSEMBLES)

*ENACT: ENhanced ocean data Assimilation and Climate predicTion

formulation dun modèle de covariance derreur débauche multivarié pour lassimilation...

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