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1979

Fluides non-newtoniens

par Jean-Michel PIAUIngénieur des Arts et ManufacturesDocteur ès SciencesMaître de Conférences à l’Institut de Mécanique de Grenoble

e champ couvert par les fluides non-newtoniens est extrêmement vaste etencore en pleine évolution. Nous devons nous contenter d’exposer un certain

nombre d’idées et de points acquis sans qu’il soit du tout question d’êtreexhaustif : il faudrait aussi bien reconstruire toute la mécanique des fluides pourchacun des types de fluides envisagés, qu’aborder de nombreux points dephysique. Nous cherchons surtout à fournir une introduction au sujet, qui procuredes points clefs, du point de vue de la mécanique, et qui fasse prendre conscienceau lecteur de la nature et de l’amplitude des phénomènes que l’on peut observer.Des sujets de mises à jour ultérieures éventuelles comme l’étude des modèlescontinus nécessitant une description cinématique et dynamique plus complexe,l’étude des modèles physiques qui permettent dans certaines conditions le calculdes propriétés rhéologiques des fluides à partir de la structure microscopiquede leurs composants, l’étude de la réduction de frottement en régime turbulent,l’étude des problèmes d’échanges thermiques, ou l’écriture variationnelle desdifférents problèmes en vue de leur résolution numérique, ne seront pas abordés.

Signalons enfin que le texte qui suit a été dépouillé au maximum des dévelop-pements mathématiques.

Pour une meilleure compréhension de ce texte, le lecteur se reportera à l’article Mécaniquesdes fluides [A 1 870] dans le présent traité et en [Doc. A 710] à la référence [2].

1. Définitions.................................................................................................. A 710 - 21.1 Fluides .......................................................................................................... — 21.2 Fluides newtoniens et non-newtoniens..................................................... — 31.3 Aspects technologiques .............................................................................. — 3

2. Principes et généralisation du modèle newtonien ......................... — 32.1 Hypothèses sur la description classique des milieux continus ............... — 32.2 Lois fondamentales et leur application à la description classique.......... — 42.3 Principes de formulation des lois de comportement ............................... — 42.4 Propriétés simplificatrices des matériaux ................................................. — 52.5 Fluides newtoniens...................................................................................... — 62.6 Fluides newtoniens incompressibles généralisés .................................... — 62.7 Viscosimétrie des fluides de Reiner-Rivlin ................................................ — 92.8 Mécanique expérimentale des fluides de Reiner-Rivlin ........................... — 12

3. Fluides rigides viscoplastiques ............................................................ — 153.1 Formulation avec seuil ................................................................................ — 153.2 Écoulements viscosimétriques................................................................... — 173.3 Mécanique expérimentale des fluides rigides viscoplastiques ............... — 19

4. Fluides simples incompressibles ......................................................... — 214.1 Cinématique appropriée ............................................................................. — 214.2 Lois de comportement ................................................................................ — 244.3 Formes particulières usitées des lois de comportement ......................... — 264.4 Écoulement d’un fluide simple à histoire de la déformation pure

constante (HDPC)......................................................................................... — 274.5 Écoulements viscosimétriques................................................................... — 284.6 Appareillages de viscosimétrie .................................................................. — 294.7 Écoulements à HDPC non viscosimétriques ............................................. — 334.8 Mécanique expérimentale des fluides simples......................................... — 34

Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. A 710

L

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FLUIDES NON-NEWTONIENS _____________________________________________________________________________________________________________

1. Définitions

1.1 Fluides

La séparation traditionnelle des corps de la nature en fluidesparfaits et solides parfaits, puis en fluides visqueux et solidesélastiques est une simplification excessivement schématique qui necorrespond pas du tout à la réalité expérimentale beaucoup pluscomplexe. Il existe en fait un ensemble des milieux déformables ;et de multiples situations sont possibles entre le fluide parfait quine résiste pas et le solide parfait qui résiste infiniment auxdéformations.

Notations et Symboles

Symbole Définition

a constante

densité vectorielle volumique d’effortsd1 , d2 , d3 scalaires constants

e énergie interne massiquef énergie libre

gradient de la températureg accélération de la pesanteurh distance entre deux plans parallèlesk conductibilité thermiquen exposant adimensionnelp pressionpg pression motrice

pression mesuréep0 pression statiqueq densité surfacique de quantité de chaleur reçue

par unité de tempsqv débit volumiquer densité volumique de quantité de chaleur reçue

par unité de tempss entropie massiquet temps

u, v, w composantes de

x composante de C coupleCf coefficient de frottementCq coefficient de débit volumiqueD tenseur taux de déformation

tr D

det D

F (T, t) gradient de la déformationHn coefficients scalaires fonctions d’invariantsJ jacobienK configuration de référenceKn coefficients scalaires fonctions d’invariantsKf coefficient de frottement localL longueur de référence de l’écoulement tenseur

gradient de la vitesseN tenseur tel que Σ = N + T

N1 , N2 1re et 2e différence des contraintes normalesN E1 , NE2 1re et 2e fonction extensiométrique

nombre d’Oldroydpuissance des forces de frottementpuissance des efforts intérieurs

Q débit - volumematrice de changement de référentiel

R rayon du tubeRe nombre de Reynolds

référentielsR (T, t) tenseur rotation (ou symétrie) pure

S contraintevaleur maximale de cisaillement simple

T tenseur des contraintes de viscositéU répartition des vitesses, vitesse débitante

V (T, t) tenseur déformation pureW (T, t) tenseur déformation pure

b

g

p

V

OM

D I

D II12----- trD( )2 tr D2( )–[ ]

D III

fi

, *

W déviateur symétriqueβ paramètre sans dimensionγ scalaire constantδ épaisseur de couche limiteδ* épaisseur de déplacementδ** épaisseur de quantité de mouvementε taux de déformationη variable de similitudeθ température absolue) ( applicationλ coefficientµ viscosité

ν1 , ν2 1er et 2e coefficient de contrainte normaleπ0 plan de référenceρ masse volumiqueσ partie sphérique du tenseur Σω vitesse angulaire

Ω1 , Ω2 vitesses angulairesΣ tenseur des contraintesτ fonction viscosimétrique

τxy contrainte de cisaillement1 tenseur unité

dérivée particulaire ( )

— matrice ( matrice D )

+ grandeur adimensionnelle ( )

– valeur moyenne–1 inverse

d déviateur de... (Σd déviateur de Σ)

T transposée (QT transposée de Q)

0 dérivée de Jauman ( dérivée de Jauman de Σ)

∆ dérivée convective ou d’Oldroyd

( dérivée convective de Σ)

tr trace (tr D trace de D)

det déterminant (det D déterminant de D)t histoire du mouvement d’un corps

Notations et Symboles

Symbole Définition

˙ ρDρDt---------=

D

u+uV------=

Σ0

Σ∆

χt χ Z,τ( ) pour τ t=[ ]

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____________________________________________________________________________________________________________ FLUIDES NON-NEWTONIENS

Pourtant, on perçoit bien intuitivement une différence globaleentre solides et fluides, et il est légitime de rechercher malgré toutune frontière, aussi imprécise soit-elle. On rapporte parfois cettedifférence à la structure physique ordonnée ou désordonnée descorps : un réseau cristallin possède une configuration de référenceprivilégiée, et développe des efforts notables de résistance à la défor-mation, c’est un solide ; à l’opposé, l’air ambiant ne possède pasde configuration privilégiée ni de résistance à la déformation, c’estun fluide. Mais cette notion d’ordre est manifestement insuffisante :il existe des corps partiellement ordonnés comme les cristauxliquides, et certains corps sont des mélanges et des suspensions

Nous prendrons le parti de faire la distinction entre solide et fluideau stade des applications. Pour nous, cette distinction sera doncessentiellement une approximation expérimentale, et non pas unepropriété strictement caractéristique du corps étudié. Ainsi, on peutfaire une boule de gomme silicone et jouer commodément à la balleavec, ou bien l’abandonner sur une table où elle coulera pour formerune flaque quelques instants après : un même corps peut entrer suc-cessivement dans les domaines d’intérêt de la mécanique des solideset de la mécanique des fluides. Nous considérons également quela peinture est un fluide, alors que cela ne serait pas si nous faisionsnôtres certains essais de définition axiomatique du terme fluide.

Par conséquent, on dira que l’on étudie un fluide lorsqu’un corpsest utilisé dans une expérience où il manifeste un comportementvoisin de celui traditionnellement attribué aux fluides, sans penserpour autant que la science des milieux déformables possède là unefrontière toujours définie.

1.2 Fluides newtoniens et non-newtoniens

Si on laisse de côté pour l’instant les aspects thermodynamiques,les fluides visqueux classiques, utilisés dans les expériencesclassiques, ont une loi de comportement dite newtonienne. Onsignifie ainsi que ce sont des milieux continus homogènes où lesefforts intérieurs sont représentés par un tenseur des contraintessymétrique qui s’exprime par une fonction linéaire et isotrope(§ 4.2.3) du tenseur des taux de déformation. Leur incompressibilité,pour les liquides, ou la relation de Stokes, pour les gaz, permettentmême de conserver un seul coefficient : la viscosité µ, dans la loide comportement. Le modèle newtonien s’applique en fait à ungrand nombre de corps de la nature, et notamment aux plusrépandus : eau, huile, air, à condition qu’on ne veuille pas traduiredes expériences où les échelles de longueur ou de temps molé-culaires seraient sollicitées.

C’est le succès de l’analyse dimensionnelle et lui seul, sur denombreux écoulements différents, avec des fluides différents, quia établi l’intérêt et la valeur du modèle newtonien. À la suite dequoi, il suffit maintenant d’une seule expérience pour mesurer µ,connaître effectivement la loi de comportement du fluide, l’intro-duire dans les équations, prévoir en principe tout écoulement parle calcul.

On dit qu’un milieu continu est non-newtonien dès lors qu’uneexpérience vient contredire les prévisions que l’on peut établir àl’aide du modèle newtonien. En général on sait plus ou moins donnerune explication physique du comportement non-newtonien. Ainsi,il apparaît lorsque l’une des échelles caractéristiques de la réalisationexpérimentale (condition aux limites de l’écoulement envisagé,échelle de la turbulence) est comparable aux échelles carac-téristiques d’origine physique du fluide utilisé, comme le temps derelaxation ou la dimension d’une macromolécule par exemple.

1.3 Aspects technologiques

L’analyse dimensionnelle conserve toujours une importance capi-tale en fluides non-newtoniens, mais sa mise en œuvre devient trèsdifficile, comme à chaque fois que les paramètres sont nombreux.Si on ajoute les difficultés nouvelles de mesure rencontrées et laforme des lois générales qui s’expriment, par exemple par desfonctionnelles (§ 4.1.8), et non par des fonctions, on comprendpourquoi aucun fluide un peu compliqué n’a encore été caractérisécomplètement dans tous les écoulements par une loi de compor-tement unique dont les coefficients pourraient être tabulés. Il fautaussi ajouter que très souvent les fluides utilisés sont mal définis :beaucoup de polymères par exemple ont des poids moléculairesdispersés au sein d’un même échantillon avec une valeur moyennevariable d’un échantillon à l’autre. Les valeurs numériques que nousdonnerons doivent donc être considérées surtout comme desillustrations des ordres de grandeur.

En conclusion, l’utilisateur peut actuellement, a priori et au mieux,disposer des ordres de grandeurs fournis par les mesures méca-niques ou physiques déjà publiées. Même s’il ne refait pas cesmesures, cela lui permet une étude dimensionnelle de son problèmed’écoulement et un diagnostic sur les phénomènes qu’il risqued’observer. Ensuite, l’utilisateur pourra affiner : par exemple, si onsait déjà que son couple (fluide, classe d’écoulement) estconvenablement représenté par une loi de comportement précise,il pourra faire des mesures appropriées sur des écoulements d’unefamille adaptée, réalisés dans une plage adaptée de variation desparamètres, et éventuellement en tirer des conclusions par le calcul.

2. Principes et généralisationdu modèle newtonien

Après avoir rappelé brièvement mais de façon adaptée lesconcepts et les principes fondamentaux qui apparaissent au sujetdes fluides newtoniens, nous verrons quel emploi on peut faire deces mêmes outils pour aboutir à un modèle plus général, qui finale-ment servira essentiellement à rendre compte des variations de laviscosité avec le gradient de vitesse. Au niveau des applications cesvariations de viscosité peuvent atteindre dans les cas extrêmes 2à 3 ordres de grandeur et elles constituent l’un des problèmesimportants posés en fluide non-newtonien.

2.1 Hypothèses sur la description classique des milieux continus

Après avoir défini un observateur la cinématique des fluidesclassiques suppose qu’il suffit de considérer les variations spatialesde la vitesse pour prendre en compte toute l’information nécessaire.Le tenseur symétrique des taux de déformation D = 1/2 (L + LT )obtenu par décomposition additive du tenseur gradient de la vitesseL

qui donne la variation associée au déplacement ,et l’hypothèse de l’adhérence du fluide aux parois, y sont utilisés.

On introduit les densités vectorielles volumique , et

surfacique d’efforts, ainsi que les densités scalaires volumique ret surfacique q de quantité de chaleur reçue par unité de temps.

Enfin le milieu possède une énergie interne massique e, unetempérature absolue θ positive, une entropie massique s définie àune constante près.

dV LdM= dM

b

t



2.2 Lois fondamentales et leur applicationà la description classique

Les différentes lois fondamentales sont d’origine physique. Elless’appliquent quel que soit le corps considéré, et chacune exprimela conservation d’une grandeur. Mais leur écriture et leurs consé-quences dépendent, bien sûr, de la description adoptée pour lemilieu.

La conservation de la masse :

La loi fondamentale de la mécanique appliquée à la descriptionclassique entraîne l’existence du tenseur des contraintessymétrique Σ et permet d’écrire l’équation locale vectorielle :

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à la des-

cription classique entraîne l’existence du vecteur flux de chaleur ,et permet d’écrire l’équation locale de conservation :

Le second principe de la thermodynamique permet d’écrirel’inégalité réduite de la dissipation, où apparaît l’énergie libre :

avec f = e – θs énergie libre.

2.3 Principes de formulationdes lois de comportement

Dans la description classique que nous avons rappelée (§ 2.1

et 2.2), on fait apparaître 7 variables : ρ, θ, , Σ, , f, s et 2 données :

, r ; l’ensemble étant relié par trois principes de conservationvalables quelles que soient les propriétés particulières du matériauclassique considéré.

Nous avons donc besoin de relations donnant par exemple Σ, ,f, s, en fonction des autres variables et de leurs variations : cesrelations qui précisent le comportement physique propre au milieuconsidéré sont appelées lois de comportement (ou équations consti-tutives). Jointes aux conditions aux limites, ces relations assurentla résolution complète du processus thermodynamique suivi par lemilieu.

La formulation de ces lois doit satisfaire à un certain nombre deprincipes faciles à comprendre physiquement. Nous les énonceronsici de façon qu’ils soient utilisables, même lorsqu’on ne se restreintplus à la description classique.

2.3.1 Principe du déterminisme

On appelle :— processus thermocinétique classique l’ensemble du champ

température θ = θ (M, t ) et du champ décrivant le mouvement

;— processus thermodynamique classique l’ensemble des

champs Σ, , f, s sur (M, t ) ;— histoire d’une fonction du temps sa restriction aux instants

passés.

Le principe spécifie donc en fait que le processus thermo-dynamique à un instant ne dépend jamais de l’évolution future dela température et du mouvement, bien qu’il dépende de leur évo-lution passée jusqu’à l’instant actuel.

2.3.2 Principe du déterminismedans le cas de liaisons internes

Nous considérerons par la suite des matériaux dont le processusthermocinétique ne peut pas être quelconque : on dit qu’il existe desliaisons internes. En fait, on considère que l’expérience se dérouledans des conditions telles que certaines approximations peuventêtre faites d’emblée et on décrit la relation correspondante a priori.Cette relation supplémentaire conduit à affaiblir le principe dudéterminisme (§ 2.3.1) pour qu’il n’y ait pas de relation excédentaire.Ainsi, pour les fluides incompressibles on aura une relation imposéesur le mouvement. Une telle liaison est due à des efforts quiempêchent le mouvement d’être quelconque et qui ne sont pasdéterminés par le dit mouvement lui-même.

On pose comme principe que les efforts dus aux liaisons internesne travaillent pas et viennent s’ajouter aux efforts visés au para-graphe 2.3.1.

Ainsi, on aura à écrire que le tenseur des contraintes est lasomme du tenseur T, déterminé par l’histoire des champs tempé-rature et mouvement, et d’un tenseur N tel que tr (ND ) = 0, soit :

Σ = N + T

2.3.3 Principe de localisation spatiale

C’est-à-dire que seuls les points matériels infiniment voisins dupoint matériel étudié influent sur les champs en ce point : parexemple, le tenseur des contraintes en un point ne dépend pas dumouvement à distance finie, il ne dépend que du mouvementautour de ce point. On exclut les actions à distance.

2.3.4 Principe d’indifférence matérielle

Donc la règle utilisée pour écrire la relation entre les grandeursdoit être la même quel que soit le référentiel utilisé. En d’autrestermes, tout changement de référentiel doit laisser invariante larelation qui traduit les propriétés physiques.

Il s’énonce : en l’absence de liaison interne, l’histoire duprocessus thermocinétique de tout le milieu considéré déterminecomplètement le processus thermodynamique.

ρ ρ tr D+ 0=

ρ u˙

b div Σ+=

q

ρe tr ΣD( ) divq r+–=

ρ f tr ΣD( ) ρθs qθ

------- grad θ 0⋅+ +–

u q

b

q

Le processus thermodynamique du corps en un point estdéterminé par l’histoire du processus thermocinétique auquel levoisinage de ce point a été soumis.

Les propriétés physiques du milieu sont les mêmes pour deuxobservateurs en mouvement relatif et qui n’ont pas la mêmeorigine du temps.

OM χ Z, t( )=

q



Or, le changement de référentiel , le plus général,bijection de l’espace temps sur lui-même qui conserve les distances,les intervalles de temps et le sens du temps, est donné par lasuperposition :

— d’un changement d’origine du temps ;— d’une translation fonction du temps ;— d’une rotation (ou symétrie) fonction du temps.

Si on considère les composantes cartésiennes des vecteurs, et quel’on note les matrices colonnes des composantes

de dans dans la matrice carrée

orthogonale de passage des composantes dans à celles dans

d’un vecteur, t et t* le temps dans les référentiels , a uneconstante, les relations exprimant le changement de référentielseront :

t* = t – a

On dit qu’une quantité, fonction du lieu et de l’instant est objec-tive, si elle est invariante par un changement de référentielquelconque, c’est-à-dire si elle est définie indépendamment del’observateur. Les composantes cartésiennes dans de cesgrandeurs objectives satisfont à des relations caractéristiques depassage.

Un scalaire objectif, quantité qui ne dépend que de l’événement,sans dépendre du référentiel, satisfait :

A* = A

Un vecteur objectif est un vecteur dont les matrices colonnes descomposantes dans réalisent la translationd’une même position à une même position, et satisfont donc

. Un tenseur objectif du second ordre, qui fait passerd’un vecteur objectif à un vecteur objectif, a des matrices descomposantes dans , liées par :

2.3.5 Principe d’équiprésence

2.4 Propriétés simplificatricesdes matériaux

Dans de nombreux cas particuliers réels les matériaux utilisésont des propriétés remarquables qui simplifient l’écriture de leurcomportement.

2.4.1 Homogénéité

Un milieu est homogène si les lois de comportement nedépendent pas du point matériel envisagé.

2.4.2 Isotropie par rapport à une configurationde référence K

Un milieu est isotrope par rapport à une configuration de réfé-rence K lorsque la forme des lois de comportement est la mêmepour K et pour toute configuration de référence déduite de K parune transformation orthogonale (rotation, symétrie par rapport àun plan).

En d’autres termes, un corps isotrope n’est pas affecté par lesrotations, c’est-à-dire que si on le place dans une position ou dansune autre obtenue par composition de rotation et symétrie, l’expé-rience donne le même résultat : la réponse par rapport à la confi-guration K est la même que celle par rapport à toute configurationobtenue par rotation à partir de K.

Si la forme des lois de comportement est la même pour deuxconfigurations de référence, elles doivent toutes deux avoir le mêmechamp de masse volumique. Sinon en envisageant le mouvementparticulier pour lequel le corps occupe à tout instant la configurationde référence elle-même, on aurait la même contrainte d’équilibrepour deux configurations de densité différente ce qui est physique-ment impossible.

2.4.3 Mémoire évanescente

Un milieu a une mémoire évanescente (ou déclinante) lorsque leprocessus thermodynamique est déterminé par l’histoire récentedu processus thermocinétique, l’histoire passée ayant peu ou pasd’influence.

Physiquement, cette propriété traduit que si le temps tc , néces-saire au matériau pour les réarrangements moléculaires, est plusgrand que le temps te de réalisation de l’expérience, le matériauconserve en mémoire l’histoire de sa déformation, mais que parcontre, si après l’expérience, on attend un temps T supérieur à tc ,tous les réarrangements moléculaires possibles sont pratiquementeffectués et il reste une trace infiniment petite de l’expérienceréalisée. Ainsi, on pourra ensuite faire une nouvelle expérience surle matériau qui se comportera pratiquement comme s’il avaittoujours été au repos.

C’est cette propriété qui nous permet de réaliser des essais surles matériaux de la nature sans se préoccuper de toute leur histoiredepuis leur création physico-chimique.

Il convient d’insister sur la différence entre référentiel etsystèmes de coordonnées : le mouvement, la vitesse, dépendentdu référentiel choisi, mais ne dépendent pas du système de coor-données. Pour un référentiel donné, on peut prendre lescomposantes des vecteurs dans divers systèmes de coor-données qui associeront divers triplets de nombres à de mêmesvecteurs.

Exemple : les champs scalaires ρ, θ, e, f, s, r, q, les champs vecto-

riels , les champs tensoriels D, Σ que nous avons rencontrés

sont objectifs. Par contre, la vitesse , L, Ω, ou l’énergie totale nele sont pas.

L’objectivité de Σ résulte de celles de et de posées a priori,

comme l’objectivité de résulte de celles de q et de .

Remarques

— On peut démontrer comme théorèmes la conservation dela masse et la loi fondamentale de la mécanique en appliquantle principe d’indifférence matérielle au premier principe de lathermodynamique.

— La loi fondamentale de la mécanique ne respecte pasl’indifférence matérielle. Elle s’écrit en utilisant des référentielsabsolus (ou galiléens) qui constituent une classe particulière deréférentiels.

*9

x , x *, x *0 t( )

OM , O*M et O*O *, Q t( ) *

et *

x* x *0

t( )= Q t( ) x+

et *

V et V * dans *

V * Q t( ) V=

S et S * dans *

S* Q t( ) S QT t( )=

t , b , q

x˙

, x˙

t n

q n

Les applications qui permettent d’exprimer le processusthermodynamique à partir de l’histoire du processus thermo-cinétique dépendent toutes des mêmes arguments, sauflorsqu’une raison particulière comme le respect du secondprincipe de la thermodynamique fait que l’une d’elles ne peut pasdépendre de l’un des arguments.



2.5 Fluides newtoniens

Les fluides newtoniens permettent d’illustrer simplement lesprincipes et les propriétés précédents.

Un fluide newtonien est un fluide qui a des lois de comporte-ment linéaires par rapport au taux de déformation D et au gradient

de la température de la forme :

Σ = [ – p (ρ, θ) + λ (ρ, θ) tr D ]1 + 2 µ (ρ, θ)D

f = f (ρ , θ)

s = s (ρ , θ)

avec k conductibilité thermique.

La partie sphérique σ1 de Σ est égale à :

Par conséquent l’hypothèse de Stokes d’origine physique :

3λ + 2µ = 0

entraîne :σ1 = – p1

On vérifie que :— ces lois de comportement respectent les principes de formu-

lation ;— le second principe de la thermodynamique a des conséquences

importantes sur le choix des arguments et sur le signe des différentscoefficients. Il donne également dans le cas général où la trace de Dn’est pas nulle une signification thermodynamique au scalaire p, lapression, puisqu’il entraîne alors :

— les fluides newtoniens sont homogènes, isotropes, à mémoiremécanique infiniment courte, et à mémoire thermique nulle ;

— dans le cas particulier des fluides isochores la pression qui n’estplus définie thermodynamiquement apparaît du fait du détermi-nisme avec la liaison interne tr D = 0. On doit prendre un tenseurcomplémentaire N = – p1 et cette nouvelle pression est déterminéeen fait par la résolution des équations de conservation des quantitésde mouvement.

2.6 Fluides newtoniensincompressibles généralisés

Ces fluides sont aussi appelés fluides de Reiner-Rivlin.

2.6.1 Formulation

Nous allons rechercher la formulation la plus générale possibledes lois de comportement permise avec les éléments classiques Σ,

, f, s ; les arguments D, , ρ, θ, et la liaison .

Le second principe de la thermodynamique entraîne toujours :

f = f (ρ , θ)

le principe du déterminisme avec liaison interne donne :

Σ = – p1 + T

Examinons les conséquences du principe d’indifférence matériellesur les fonctions exprimant les lois de comportement :

Il vient, en utilisant la transformation orthogonale :

On dit que les fonctions et q sont des fonctions isotropes deleurs arguments (ne pas confondre ce terme mathématique avecl’isotropie de la matière, paragraphe 2.4.2. On démontre que de tellesfonctions s’expriment comme la somme d’un certain nombre degénérateurs affectés de coefficients scalaires, fonctions arbitrairesdes invariants des générateurs. En se restreignant à l’espace à troisdimensions, et à des tenseurs T et D symétriques, on obtientfinalement :

avec les coefficients scalaires K fonctions des invariants de D,

et les coefficients scalaires H fonctions

des invariants .

Le principe d’indifférence matérielle ne permet pas que l’on

prenne , Ω ou le temps t lui-même, comme arguments. Enfin, lemilieu ainsi obtenu est homogène, isotrope, à mémoire mécaniqueinfiniment courte, et à mémoire thermique nulle.

2.6.2 Cas particulier des phénomènes isothermes

Si on suppose que la température θ reste constante dans le tempset dans l’espace, il reste [4] [10] :

T = K0 (D II , D III)1 + K1 (D II , D III)D + K2 (D II , D III)D2

avec D I = tr D = 0,

D II ,

D III = det D,

DI , D II , DIII invariants de D.

g grad θ≡

q k ρ,θ( ) grad θ–=

σ1 p– λ 2µ3

----------+ trD+ 1=

p ρ2 ∂f∂ρ---------=

3λ 2µ 0+

µ 0

k 0

q g ρ 0=

s∂f∂θ---------–=

tr Σd Dd( ) qθ----- g⋅ 0–

T t D, g , ρ, θ( )=

q q D, g , ρ, θ( )=

f f ρ, θ( )=

s ∂f∂θ---------–=

Q t( )

Q t D , g , ρ, θ( ) QT t Q D Q T, Q g , ρ, θ( )=

Q q D , g , ρ, θ( ) q Q D Q T, Q g , ρ, θ( )=

t

T K01 K1D K2D2 K3 g g⊗( ) K4 g Dg⊗ Dg g⊗+( )+ + + +=

K5 g D2g D2g g⊗+⊗( )+

q H1g H2Dg H3D2g+ +=

g g⊗ , g Dg⊗ , g D2g⊗

g g , g Dg , g D2g⋅⋅⋅

V

q 0=

f f ρ,θ( )=

s ∂f∂θ---------–=

= 12 ----- tr D ( ) 2 tr D 2 ( ) – [ ]



On peut tirer profit de l’indétermination de

Σ

pour écrire

T

sousdeux autres formes intéressantes et également valables :

T

=

K

1

(

D

II

,

D

III

)

D

+

K

2

(

D

II

,

D

III

)

D

2

De toute façon la dissipation mécanique doit être strictementpositive :

Ce qui s’écrit encore, en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton(article

Calcul matriciel

[AF 86] dans le présent traité) :

En général, on ne peut aller plus loin. Mais si on suppose

K

1

et

K

2

fonctions de

D

II

seulement (voire constantes), on arrive à laconclusion simple :

On peut juger de l’originalité du modèle obtenu en l’étudiant pourdeux cinématiques particulières : le glissement simple isotherme(§ 2.6.3), puis l’élongation simple isotherme (§ 2.6.4).

2.6.3 Glissement simple isotherme

On se propose d’étudier l’écoulement, s’il existe, dont le champdes vitesses est donné en coordonnées cartésiennes par :

v

1

=

γ

x

2

et

v

2

=

v

3

= 0

avec

γ

scalaire constant.

La matrice des composantes du tenseur

D

des taux de déformations’écrit :

On calcule les trois invariants :

D

I

= 0 (la conservation de la masse est satisfaite)

D

II

=

D

III

= 0 (le glissement simple appartient à une classe d’écoulementrestreinte)

et on remarque que la vitesse angulaire de rotation est le vecteurde composantes [0, 0, – (

γ

/2)]. La loi de comportement donnel’expression des contraintes :

Ces contraintes sont constantes dans l’espace. Comme de plusl’accélération est nulle, la loi fondamentale se réduit à :

En général, on pourra supposer que les forces de volume dériventd’un potentiel, on introduira la pression motrice

p

g

.

Dans le cas des forces de pesanteur :

p

g

=

p

+

ρ

g Z

La solution de la loi fondamentale s’écrit :

p

g = constante

En conclusion :— le champ des vitesses choisi est compatible avec la loi fonda-

mentale ;— l’écoulement est

contrôlable

. C’est-à-dire que les fonctionsmatérielles de la classe de fluides considérée (

K

1

et

K

2

dans le casprésent) sont sans aucune influence sur le champ des vitessesadmissibles. La notion d’écoulement contrôlable est très impor-tante pour l’expérimentation. En effet, bien que peu nombreux, lesécoulements contrôlables ne nécessitent pas la mesure des profilsde vitesse qui sont connus à l’avance de façon certaine ; alors que,dans le cas général, les profils de vitesse dans une installationdépendent de la loi de comportement du fluide considéré ;

— Il existe des différences de contraintes normales non nullesintroduites par

D

2

. Ce type de contrainte est entièrement inconnuen fluide newtonien, où le cisaillement d’un film entre deux plansmobiles ne crée par de portance.

On trouve dans la littérature deux types de notations pour définirles contraintes normales dans un glissement simple :

Les fonctions viscosimétriques

τ

, fonction contrainte de glis-sement,

σ

1

, première différence des contraintes normales,

σ2 ,deuxième différence des contraintes normales, sont utilisées parcertains théoriciens.

Beaucoup de rhéologues utilisent les fonctions viscosimétriques τ,N1 première différence des contraintes normales, N2 deuxième dif-férence des contraintes normales. On appelle µ le coefficient deviscosité, ν1 et ν2 les premier et deuxième coefficients de contraintenormale.

Pour le fluide présent de Reiner-Rivlin isotherme on a :

En fait, avec les fluides connus à ce jour, l’expérience donnetoujours |ν1| > |ν2|. On obtient typiquement :

τ ≈ 10 N1

ν1 ≈ – 10 ν2

Par conséquent, le modèle des fluides de Reiner-Rivlin n’est pasen mesure de représenter les phénomènes de contraintes normales.Il ne convient pas non plus pour les phénomènes de mémoire quenous verrons au paragraphe 4.

Mais il convient bien pour de très nombreuses applications danslesquelles il s’agit de traduire les variations avec le taux de glis-sement du coefficient de viscosité µ. Au vu des connaissancesactuelles on utilisera alors ce modèle en faisant K2 = 0.

2.6.4 Élongation simple isotherme

On se propose d’étudier l’écoulement, s’il existe, dont le champde vitesses est donné en coordonnées cartésiennes par :

v1 = d1 x1 v2 = d2 x2 v3 = d3 x3

avec d1 , d2 , d3 scalaires constants tels que d1 + d2 + d3 = 0.

T Td23------ K2DII1 K1D K2D 2+ += =

Φ1 tr ΣD( ) tr TD( ) K1 tr D 2( ) K2 tr D 3( )+ 0= = =

Φ1 2 – K 1 D II , D III ( ) D II 3 K 2 D II , D III ( ) D III 0 ; D II , D III ∀ +=

K2 0 et K1 0=

Dγ2-----

0 1 01 0 00 0 0

=

γ

2 4

--------–

T K1 γ

2 4 --------– , 0 D K 2 γ

2

4 ---------– , 0 D 2 +=

grad p b +– 0 =

Σ12 τ γ( ) γ µ γ( )= =

Σ22 Σ33– σ1 γ( )=

Σ11 Σ33– σ2 γ( )=

ou encore

Σ12 τ γ( ) γ µ γ( )= =

Σ11 Σ22– N1 γ( ) γ 2 ν1 γ( )= =

Σ22 Σ33– N2 γ( ) γ 2 ν2 γ( )= =

µK1 γ

2 4 --------– , 0

2

-----------------------------------=

ν

1

0

=

ν

2

K2 γ

2 4 --------– , 0

4

-----------------------------------=



On calcule la matrice des composantes du tenseur des taux dedéformation :

La loi de comportement :

T

=

K

1

D

+

K

2

D

2

indique que les contraintes sont constantes dans l’espace, et la loifondamentale se réduit à :

avec V module du vecteur vitesse.

Si on peut introduire la pression motrice pg , la loi fondamentalea pour solution :

pg + 1/2 ρV 2 = Cte

Dans nos notations on appelle première et deuxième fonctionextensiométrique NE1 et NE2 les quantités :

Σ11 – Σ22 = NE1 Σ22 – Σ33 = NE2

Avec le fluide présent de Reiner-Rivlin isotherme on a donc :

NE1 = [K1 (D II ,D III) + (d1 + d2)K2(D II ,D III)](d1 – d2)

NE2 = [K1 (D II ,D III) + (d2 + d3)K2(D II,D III)](d2 – d3)

La réalisation pratique des écoulements d’élongation est pluscomplexe que celle des écoulements de glissement simple. Notonsque la constance de pg + 1/2 ρV 2 est incompatible avec l’existenced’une surface libre : ces écoulements pourront être utilisés à titred’approximation lorsque au moins la pesanteur, et les termesd’inertie sont négligeables, ce qui permettra d’écrire la constancede la pression p, seule.

2.6.5 Place des lois empiriques de fluides non-newtoniens à viscosité variable

Les expérimentateurs qui ont eu à mesurer, par les méthodestraditionnelles (liées au glissement simple), la viscosité µ, supposéedéfinie par le rapport T12 /γ , ont trouvé qu’elle variait avec le gradientde vitesse γ dans leurs expériences : µ(γ ). Ils ont introduit un certainnombre de lois empiriques simples pour représenter ces variations,comme :

— la loi en puissance : µ = k0 γ n – 1 avec k 0 coefficient ;— la loi de Powell-Eyring :

L’écriture peut en être reprise avec le formalisme précédent

T = K1D, en remplaçant γ par (§ 2.6.3), ce qui donne

successivement :T = K1(D II)D = 2k0 (– 4DII)

(n – 1)/2D

Les formulations de ce type présentent un intérêt certain pourles applications. On a porté figure 1 les variations de viscosité etde contrainte de glissement que peuvent représenter les deuxexemples choisis.

2.6.6 Aspect dimensionnel

L’écriture de la loi T = K1D + K2D2 fait intervenir du point de vuedimensionnel plusieurs grandeurs caractéristiques des propriétésmécaniques du matériau :

— une viscosité µ (en newtonien on se limite à ce seul facteur) ;— un temps t0 ;— une liste de paramètres sans dimension βi ;— la forme des fonctions K1 et K2.

En se limitant à des fluides newtoniens particuliers, dont les pro-priétés physiques évoluent toutes selon des lois identiques, les para-mètres de similitude (article Mécanique des fluides [A 1 870] dansle présent traité) sont :

— les nombres sans dimension des équations indéfinies : nombrede Reynolds, Froude, Eckert, Prandtl, etc., paramètres sans dimen-sion des lois d’évolution des propriétés physiques ;

— les paramètres sans dimension des conditions limites etinitiales (Strouhal, etc.).

En conclusion :— le champ des vitesses choisi est compatible avec la loi

fondamentale ;— l’écoulement est contrôlable pour cette classe de fluides ;— toutes les contraintes sont normales, leur valeur dépend à

la fois des termes en D et en D 2.

D

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3

=

grad p V

2

2 ---------+ b +– 0 =

µ µ∞ µ0 µ∞–( )arg sh t0 γ

t0γ------------------------------+=

4 D II –

T K1 DII( )D 2µ∞ µ0 µ∞–( )arg sh t0 4 D II –

t

0 4 D II –-------------------------------------------------

D

+= =

Figure 1 – Variation de viscosité et de contrainte de glissement selon les lois empiriques purement visqueuses



On ne pourra pas en général faire de similitude entre un fluidenewtonien et un fluide non-newtonien, ni même entre deux fluidesnon-newtoniens. Par contre, pour des fluides non-newtonienscaractérisés par des fonctions

K

1

et

K

2

ayant la même forme, etdont les lois d’évolution des propriétés physiques sont les mêmes,les paramètres de similitude seront :

— les paramètres déjà cités en fluide newtonien ;— un paramètre adimensionnel de temps

α

= (

t

0

V

/

L

), construitavec la vitesse de référence

V

et la longueur de référence

L

del’écoulement ;

— la liste des

β

i

.

La complexité des conditions de similitude est plus grande qu’enfluide newtonien. Il conviendra donc de se consacrer aux cas usuelspour lesquels elles se simplifient, comme on le fait déjà en fluidenewtonien.

Le cas particulier des fluides en loi de puissance est dégénéré :on impose que l’exposant

n

soit adimensionnel, et les paramètres

t

0

et

µ

se regroupent dans un seul paramètre quis’exprime dans une unité fonction de

n

.

2.7 Viscosimétrie des fluides de Reiner-Rivlin

Il existe plusieurs types d’écoulements utilisables en visco-simétrie. Nous allons nous contenter de les illustrer par des exemplesen régime stationnaire, qui soient significatifs dans le cadre présentdes fluides de Reiner-Rivlin. Après les écoulements de Poiseuille etde Couette pour lesquels

D

III

, le troisième invariant de

D

, est toujoursnul, nous verrons les élongations pour lesquelles il ne l’est pasforcément.

Enfin nous ne chercherons pas à traiter des corrections à apporter,ou des écoulements secondaires qui peuvent se produire.

2.7.1 Écoulement stationnaire laminaireétabli dans un tube cylindriqueà base circulaire (Poiseuille)

Soient

O

le centre d’une section droite du tube (figure

2

) et

Ox

1

,

x

2

,

x

3

un trièdre orthonormé tel que

Ox

3

soit confondu avecl’axe du tube et orienté dans le sens de l’écoulement. Appelons

la base physique, c’est-à-dire orthonormée, qui va per-mettre de travailler en coordonnées curvilignes cylindriques (

z

,

r

,

θ

).

On fera des hypothèses simplificatrices :

— l’écoulement est établi, c’est-à-dire : ;

— l’écoulement est de révolution autour de

Ox

3

, c’est-à-dire :

;

— la vitesse ne possède qu’une seule composante non nulle

u

sur , on posera : .

Ces hypothèses entraînent que la conservation de la masse esttoujours satisfaite.

2.7.1.1 Calcul des contraintes grâce à la loi de comportement

Il faut tout d’abord l’expression du gradient

L

de la vitesse :

Ici :

On a donc la matrice des composantes de

L

dans d’où

l’on déduit les matrices des composantes de

L

,

D

et

D

2

dans la mêmebase :

On remarque alors que ces matrices sont identiques à celles quenous avions obtenues dans le cas du glissement simple. Lescontraintes vont donc s’exprimer à l’aide des fonctions viscosi-métriques

τ

,

N

1

,

N

2

déjà définies (§ 2.6.3) :

T

zr

=

τ

(

γ

) ;

T

zz

–

T

rr

=

N

1

(

γ

) ;

T

rr

–

T

θθ

=

N

2

(

γ

)

Sachant que pour la loi des fluides de Reiner-Rivlin, on aura :

T

zr

=

τ

(

γ

) ;

T

zz

=

T

rr

=

N

2

(

γ

) ;

T

z

θ

=

T

r

θ

=

T

θθ

= 0

2.7.1.2 Calcul du champ de pressiongrâce à la loi fondamentale

Dans l’expression de la loi fondamentale noussupposerons que les seules forces de volume sont les forces de

pesanteur ,

Z

étant la cote du point courantau-dessus d’un plan horizontal

π

0

de référence. La dérivée particu-

laire de la vitesse est nulle . Le vecteur aen général pour matrice colonne des composantes physiques :

Figure 2 – Écoulement de Poiseuille

k0 µt 0n 1–

=

ez , er , eθ

∂V∂z

----------- 0=

∂V∂θ

----------- 0=

V

ezdudr

---------- γ=

dV L dM=

dV γ dr ez et dOM dzez drer r dθeθ+ += =

ez , er , eθ( )

L γ0 1 00 0 00 0 0

=

D2γ 2

4--------

1 0 00 1 00 0 0

=

Dγ2-----

0 1 01 0 00 0 0

=

τ γ( )γ2------ K1

γ

2 4 --------– ,0 ; N 1 0 ; N 2

γ

2

4 -------- K 2

γ

2 4 -------- , 0 – = = =

ρx˙

b divΣ+=

b ρ grad g Z –=

x˙

V˙

uez 0= = =

div Σ

∂p∂z

----------–∂Tz z

∂z-------------- ∂Tz r

∂r--------------

Tz r

r----------+ 1

r------

∂Tz θ

∂θ---------------++ +

∂p∂r

----------–∂Trz

∂z----------- ∂Tr r

∂r--------------

Tr r Tθθ–

r-----------------------+ 1

r------

∂Tr θ

∂θ--------------++ +

1 r ------ ∂

p ∂θ ----------

∂

T

θ

z ∂ z -------------- ∂

T

θ

r ∂ r -------------- 2

T

θ

r r ---------+

1 r ------

∂

T

θθ ∂θ --------------++ +–



Si on pose

p

g

=

p

+

ρ

g Z

pression motrice, les trois équationsexprimant la loi fondamentale s’écriront :

La fonction

τ

ne dépend que de

r

, donc la pression motrice varielinéairement en

z

et la chute linéique de pression motrice, constantevaut :

2.7.1.3 Lien entre la cinématique et les efforts,entre le débit et la pression

La fonction viscosimétrique

τ

donne la contrainte

S

lorsqu’onl’applique au gradient de vitesse γ : S = τ (γ ). La fonction inverse λtelle que γ = λ (S) est mieux adaptée pour le calcul de la vitesse etdu débit, en fonction de la chute linéique de pression motrice et durayon R du conduit. Comme τ, λ est une fonction impaire.

Si on suppose que le fluide adhère à la paroi, [u (R) = 0], la vitesseest donnée par :

Or :

donc la vitesse s’exprime finalement par :

On peut alors calculer le débit volume :

Or :

donc le débit volume s’exprime :

2.7.1.4 Exploitation viscosimétrique

Supposant les fonctions viscosimétriques connues, nous avonscalculé l’écoulement. En fait, nous sommes intéressés par le pro-blème inverse : comment calculer les fonctions viscosimétriques àpartir de résultats sur un écoulement ?

Ainsi pour l’écoulement étudié, l’expérience fournira ∆pg /L pour

chaque valeur du débit volume Q, ou encore en fonction

de Q.

Or, ce dernier groupement s’écrit :

soit par dérivation :

On obtient donc l’expression de la fonction λ utilisable expéri-mentalement :

et qui donne l’opposé du gradient de vitesse à la paroi (– γ ). Parinversion de λ on trouvera la fonction τ et dans le cas particulierdes fluides de Reiner-Rivlin la fonction K1 (– γ 2/4, 0). Notons que lafonction N2 ne paraît pas aisément accessible par l’expérience,dans cet écoulement.

Pour conclure, l’écoulement recherché au départ est donc toujourspossible. On dit qu’il est partiellement contrôlable parce que seul τintervient dans la forme du profil de vitesse u (r ), alors que N1 etN2 n’ont aucun rôle.

2.7.2 Écoulement stationnaire laminaireentre deux cylindres coaxiaux tournantsà base circulaire (Couette)

Soient O un point de l’axe des cylindres supposés infinimentlongs et Ox1 , x2 , x3 un trièdre orthonormé tel que Ox3 soit

confondu avec l’axe. Appelons la base physique repré-

sentée figure 3, qui va permettre de travailler en coordonnéescurvilignes cylindriques r, θ, z.

On fera des hypothèses simplificatrices :— les cylindres ont un grand allongement, c’est-à-dire : ;— l’écoulement est de révolution autour de Ox3 , c’est-à-dire :

;

— la vitesse ne possède qu’une seule composante non nulle rω

sur .

Ces hypothèses entraînent que la conservation de la masse esttoujours satisfaite.

∂pg

∂z------------

1r----- ∂r τ

∂r------------ ;

∂

p

g ∂

r ------------ 1

r -----

∂

rN

2 ∂

r

---------------- ; ∂

p

g

∂θ ------------= 0 = =

∆pg

L------------- 2 τ γ( )

r -------------–=

u r( ) R

r

du R

r

γ dξ r

R

λ ξ2------

∆pg

L------------- dξ= = =

S ξ( ) ξ 2 ------

∆

p

g

L -------------–=

u r( ) 2∆pg

L------------

--------------= ∆pg

L------------ r

2-----

∆pg

L------------ R

2-----

λ S( ) dS

Q 2π0

Rur dr 2π u r 2

2--------

0

R 0

Rdudr

--------- r 2

2-------- dr–= =

2 π 0

R

λ S ( ) r

2

2

------- d r –=

S r( ) r 2 ------–

∆

p

g

L ------------=

Q 8π

∆pg

L-------------3

-----------------------0

∆pg

L------------ R

2-----

λ S( ) S2dS=

∆pg

L-------------3

Q

∆pg

L-------------3

Q 8π0

∆pg

L------------ R

2-----

λ S( )S2dS=

d ∆pg

L-------------3

Q

d ∆pg

L-------------

---------------------------------- 8πλ∆pg

L------------- R

2------

∆pg

L------------- R

2------

2 R2------⋅=

λ∆pg

L------------- R

2------ 1

πR 3 ∆pg

L-------------2

------------------------------------

d ∆pg

L-------------3

Q

d∆pg

L-------------

--------------------------------------------=

1

∆pg

L-------------

R2------

2------------------------------

d ∆pg

L------------- R

2------3 Q

πR 3-------------

d ∆pg

L------------- R

2------

---------------------------------------------------------=

er , eθ , ez

∂V∂z

----------- 0=

∂V∂θ

----------- 0=

V

eθ on posera r dωdr

----------- rω′ γ = =



2.7.2.1 Calcul des contraintesgrâce à la loi de comportement

Calculons tout d’abord le gradient L de la vitesse :

sachant que :

et

Les matrices des composantes de L , D, D 2 dans

ont la forme :

Les contraintes vont, comme au paragraphe 2.7.1.1 s’exprimer àl’aide des fonctions viscosimétriques. On aura :

Tr θ = τ (γ ) ; Tθθ – Trr = N1 (γ ) ; Trr – Tzz = N2 (γ ) ; Trz = Tθz = 0

2.7.2.2 Calcul du champ de pressiongrâce à la loi fondamentale

Nous considérerons, comme au paragraphe 2.7.1.2, les forces depesanteur et nous les incorporerons à la pression motrice pg .Connaissant la dérivée particulaire (article Mécanique des fluides

[A 1 870] dans le présent traité) de la vitesse ,

et la matrice colonne des composantes

physiques de (§ 2.7.1.2), les trois équations exprimant la loifondamentale s’écrivent :

La symétrie de révolution entraîne la nullité de et doncr 2Tr θ est une constante. Nous poserons :

avec couple par unité de longueur de cylindre,

soit :

2.7.2.3 Lien entre cinématique et efforts

En introduisant encore la fonction λ inverse de τ telle que γ = λ (S )lorsque S = τ (γ ), on obtient :

et donc la vitesse angulaire locale :

où Ω1 est la vitesse angulaire du cylindre de rayon R1. L’autrecylindre ayant une vitesse angulaire Ω2 et un rayon R2, la différencedes vitesses angulaires sera :

2.7.2.4 Exploitation viscosimétrique

Disposant d’un appareil de dimensions données R1, R2, L ils’agit d’obtenir λ puis τ par inversion à partir de la courbe expéri-

mentale .

Différentions l’expression de ∆Ω par rapport à , il vient :

Cette relation lie la pente d’une courbe expérimentale à la diffé-rence des valeurs de la fonction λ en deux points. Il est possible d’endéduire la fonction λ elle-même. Posons :

En utilisant le fait qu’il ne s’exerce pas de contrainte à l’équilibre,soit λ(0) = 0 et en calculant la somme :

Y (S1) + Y (βS1) + ... + Y (βnS1)

Figure 3 – Écoulement de Couette

dV LdM=

dV ω r ω′+( ) eθ dr ωrer dθ–=

dM dr er r dθ eθ dz ez+ +=

er , eθ , ez( )

L0 ω – 0

ω γ

+

0 00 0 0

=

D

γ

2

-----

0 1 01 0 00 0 0

=

D2 γ 2

4-------

1 0 00 1 00 0 0

=

V r ω eθ=

soit DVDt

------------ r ω 2 e r – V ˙

= =

div Σ

∂pg

∂r------------ ρrω2

∂Trr

∂r------------- ; 1

r ------

∂

p

g ∂θ ------------+ ∂

T

r

θ

∂

r --------------- 2

T

r

θ r

----------- ; ∂

p

g ∂ z

------------+ 0 = = =

∂pg

∂θ------------

r2Tr θC

2πL-------------=

CL------

Tr θ τ γ( ) C2πr2L------------------= =

γ rω′ λ S( ) λ C2πr 2L-------------------= = =

ω r( ) Ω1– R1

r 1ξ-----λ C

2πξ2L-------------------dξ 1

2------ C

2πr 2L------------------

C

2πR 12L

--------------------1S------λ S( )dS= =

∆Ω Ω2 Ω1–12------ C

2πR 22L

--------------------

C

2πR 12L

-------------------- λ S( )S

-------------- dS= =

∆Ω CL------

CL------

2 CL------ d∆Ω

d CL------

------------------ λ C

2πR12L

--------------------- λ C

2πR22L

---------------------–=

S1C

2πR12L

--------------------- ; β R

1 R 2

--------- 2

1 ; Y S 1 ( )< 2 CL -----

d ∆Ω

d

C

L

----

-----------------= = =



on obtient :

qui converge assez rapidement si , c’est-à-dire si le diamètredu cylindre intérieur est petit par rapport à celui du cylindre extérieur.

Cette méthode qui permet donc en principe d’obtenir la fonction λ,et la fonction τ par inversion présente l’inconvénient d’utiliser lapente d’une courbe expérimentale, ce qui diminue toujours la pré-cision. De plus, on ne peut pas l’utiliser lorsque le jeu entre lescylindres est réduit (R2 ≈ R1), la convergence devenant alors troplente.

Dans ce dernier cas β ≈ 1, on peut approximer directementl’intégrale obtenue au paragraphe 2.7.2.3 et donnant ∆Ω :

soit, comme R2 ≈ R1 :

2.7.3 Écoulements d’élongation

Ces écoulements sont des cas particuliers de l’écoulementenvisagé au paragraphe 2.6.4.

2.7.3.1 Élongation simple uniaxiale

Posons , il vient ,

et les contraintes s’expriment par :

On appelle viscosité d’élongation uniaxiale la fonction :

soit pour les fluides de Reiner-Rivlin :

L’écoulement étudié est contrôlable. Il correspond à l’étirementd’un barreau cylindrique (de polymère fondu par exemple) entredeux mâchoires dont la distance varie en fonction exponentielle dutemps. Si on peut négliger l’inertie, la gravité et la capillarité, onobtient l’effort de traction par unité de surface µE (d )d.

La viscosité d’élongation uniaxiale µE vaut 3 µ pour un fluidenewtonien. Elle peut atteindre 100 à 1 000 µ (pour des solutions de

polymères de haut poids moléculaire, c’est-à-dire 106, et des sus-pensions de fibres longues par exemple). Mais souvent elle décroîtavec d, et prend donc des valeurs inférieures à 3. Remarquons quel’extension simple biaxiale d1 = d2 = d, d3 = – 2d ne diffère del’écoulement uniaxial que par un changement de notations.

2.7.3.2 Élongation simple bidimensionnelle

Posons d1 = d, d2 = – d, d3 = 0, il vient D II = – d 2, DIII = 0, et lescontraintes s’expriment par :

Σ11 – Σ22 = NE1(d, – d, 0) = 2K1(– d 2, 0)d

Σ22 – Σ33 = NE2(d, – d, 0) = [– K1(– d 2, 0) + K2(– d 2, 0)d ]d

On appelle viscosité d’élongation bidimensionnelle la fonction :

soit pour les fluides de Reiner-Rivlin :

µEP (d ) = 2K1(– d 2, 0) ≡ 4 µ(γ = 2d )

µ étant la fonction viscosité définie pour le glissement simple auparagraphe 2.6.3. L’écoulement étudié correspond à l’étirementd’une nappe large, entraînée par exemple à ses deux extrémitéspar des rouleaux, et éventuellement maintenue à la surface d’unbain. L’effort de traction sur la nappe par unité de surface estµEP (d )d.

2.8 Mécanique expérimentaledes fluides de Reiner-Rivlin

2.8.1 Couche limite laminaire bidimensionnelle d’un obstacle cylindrique

2.8.1.1 Cas général

Comme en fluide newtonien, la couche limite permet de raccorderl’écoulement à grand nombre de Reynolds étudié en fluide parfaitloin des parois et les conditions d’adhérence à la paroi (articleMécanique des fluides [A 1 870] dans le présent traité).

Les hypothèses de couche limite qui consistent à supposer :l’épaisseur de couche limite δ petite devant la courbure de l’obstacle,la composante v de la vitesse dans la direction normale à la paroipetite devant la composante u, dans la direction parallèle à la paroi,

le gradient dans la direction normale à la paroi très supérieur

au gradient selon la tangente à la surface de l’obstacle, mènent

toujours aux mêmes équations :

où la pression motrice pg est donnée par la répartition desvitesses U∞(x) dans le fluide libre :

En conclusion, l’écoulement recherché est toujours possible.Il est partiellement contrôlable. Il permet d’apprécier la fonctionviscosimétrique N1 à partir de la distribution des contraintes Trr ,mais rappelons que le modèle de Reiner-Rivlin n’est pas réalisteen ce qui concerne les effets connus de contraintes normales.

λ S1( ) Y βnS1( )n 0=

∞

∑=

β 1

∆Ω 12-----

λ S1( )S1

----------------- S1 S2–( )≈ 12----- λ S1( )

R22 R1

2–

R12

----------------------=

λ S1( )R1

R2 R1–--------------------- ∆Ω≈

d1 d, d2 d3d2-----–= = = DII

3d2

4---------- , DIII–

d3

4------v0= =

Σ11 Σ22– NE 1d, d 2 ------ , d

2 ------–– =

K

1

3 d

2 4 ------------- , d

3

4

--------- – K

2

2 --------- 3 d

2

4 -------------– , d

3

4

--------- d + 3 d 2

----------=

Σ

22

Σ

33

–

N

E

2

d

, d 2 ------ , d

2 ------–– 0 = =

µE d( )Σ11 Σ22–

d--------------------------=

µE d( ) 32----- K1 3 d

2

4 -------------– , d

3

4

--------- 34

----- K 2 3 d

2 4 -------------– , d

3

4

--------- d +=

µEP d( )Σ11 Σ22–

d---------------------------=

∂∂y---------

∂∂x---------

ρu ∂u∂x

---------- v ∂u∂y

----------+ ∂pg

∂x-------------–

∂τxy

∂y--------------+=

∂pg

∂y------------- 0=

∂u∂x

---------- ∂v∂y---------+ 0=

∂pg

∂x------------- ρ U ∞

d

U

∞ d

x

--------------–=



L’équation de Karman qui utilise l’épaisseur de déplacement

δ

*

et l’épaisseur de quantité de mouvement

δ

**

est toujours valable :

Connaissant

τ

xy

(

y

= 0) la contrainte de cisaillement à la paroidonnée par la loi de comportement, cette équation permet unerésolution approchée.

2.8.1.2 Calcul de solutions exactesde la couche limite laminaire bidimensionnellepour un fluide en loi de puissance

La théorie des groupes de transformations permet de réduire lenombre des variables indépendantes d’un système d’équationsaux dérivées partielles. Le groupe choisi est en rapport avec laforme des équations et des conditions aux limites. Le groupe destransformations affines permet des conditions aux limites sur

U

∞

en loi de puissance, qui ont un sens physique. Nous allons voirqu’il est adapté à nos équations et nous laisserons de côté lesautres groupes.

Prenons comme grandeurs de référence, une longueur

L

et unevitesse

V

, qui permettent de passer en grandeurs adimensionnellesindicées + :

Supposons que :

ce qui permet d’étudier les écoulements autour des dièdres d’angleau sommet :

La contrainte de cisaillement

τ

xy

est donnée par la loi decomportement :

Les équations adimensionnelles de la couche limite s’écrivent :

avec (§ 2.6.6), sachant que la

conservation de la masse permet d’introduire la fonction decourant

ψ

+

telle que :

En introduisant la variable de similitude , la fonc-

tion

f

(

ν

) telle que devra satisfaire l’équation

différentielle et les conditions aux limites :

si l’on pose et

a

= [(2

m

–

p

)

R

]

1/(

n

+1)

.

Une fois résolue cette équation, on obtient les diverses grandeursqui caractérisent la couche limite. Introduisons le nombre deReynolds local :

et la fonction :

δ

(

x

) =

x

[(2

m

–

p

)

Re

x

]

–1/(

n

+ 1)

Il vient :

Le coefficient de frottement local est alors :

Les épaisseurs

δ

*

et

δ

**

s’expriment formellement comme enfluide newtonien par :

Pour

β

= 0 soit

m

= 0, , l’obstacle est une plaque plane

mince placée dans un écoulement de vitesse constante

U

∞

parallèleà la plaque. On a alors :

Les valeurs numériques de

f

′′

(0),

η

0,99

la valeur de

η

pourlaquelle

f

′(η) atteint la valeur 0,99, δ*/δ et δ**/δ en fonction del’exposant n figurent au tableau 1. Elles peuvent être calculées parla méthode de Töpfer [12]. (0)

Pour β = 1 soit m = 1, , on étudie l’écoulement du point

d’arrêt bidimensionnel. On a alors :

dδ**

dx--------------

1U∞----------

dU∞dx

-------------- 2δ**

δ*

+( )+τxy y 0=( )

ρU ∞2

-------------------------------=

u+uV------ ; v +

vV

------ ; x + xL

------ ; y + yL

------= = = =

U∞ +U∞

V----------- x+

m= =

2mπm 1+-----------------

τxy k0 ∂u∂y

----------n

=

u+∂u+

∂x+------------- v+

∂u+

∂y+------------+ mx+

2m 1– nR------ ∂u+

∂y+-------------n 1– ∂ 2u+

∂y +2

---------------+=

y+ 0 u+ v+ 0= = =

y+ ∞ u+ x +m

= =

RρVL

µ-------------- t0V

L------------1 n– ρV 2 n– Ln

k0---------------------------= =

u+∂ψ+

∂y+------------- , v+

∂ψ

+ ∂ x + ------------–= =

ν ax +p m–

= y+

ψ+ x +p– 2m+ f ν( )/a=

1 f ′ 2–( ) m2m p–--------------------- ff ′′ nf ′′ n 1–( )f ′′′+ + 0=

f 0( ) f ′ 0( ) 0= = f ′ ∞( ) 1=

p 3m 1–n 1+

---------------------=

Tableau 1 – Valeurs de

f

′′

(0), ,

pour diverses valeurs de

n

,

dans le cas de la plaque plane

n f

′′

(0)

0,1 0,881 3 9,24 1,069 0,6190,2 0,562 4 9,98 1,449 0,7660,4 0,444 0 7,34 1,538 0,7100,6 0,434 4 5,33 1,433 0,6060,8 0,448 5 4,17 1,316 0,5271 0,469 6 3,47 1,217 0,4701,5 0,526 2 2,58 1,038 0,3822 0,576 6 2,16 0,927 0,332

RexρU ∞

2 n– x n

k0-----------------------------=

ν yδ x( )-------------- ; u

U

∞ ---------- f ′ ν ν( ) ; τ xy y 0 = ( ) k 0

U

∞ f

′′

0

( )

δ --------------------------

n

= = =

Kfτxy y 0=( )

ρU ∞2

2---------------

------------------------------=

Kf 2f ′′n 0( ) 2m p–( )n

Rex-----------------------------

1/ n 1+( )

=

δ*

δ x( ) ν f–( )ν ∞→ ; δ **

δ x ( ) 0

∞

f ′ 1 f ′ – ( ) d ν = =

p 1 n

1 +

----------------–=

Kf2 f ′′n 0( )

n 1+( )nRex[ ]1/ n 1+( )-----------------------------------------------------------=

0,99, */,

**/

m 0= =( )

0,99 */

**/

p 2n 1+---------------=

U∞ V xL----- ; K f 2 f ′′

n

0 ( )

n

1

+

2

n

---------------

n

Re

x

1/

n

1

+

( )

------------------------------------------------------------------= =



Les valeurs numériques de

f

′′

(0) figurent au tableau

2

. (0)

2.8.2 Écoulements permanentsétablis en conduite cylindriquepour des lois explicites

2.8.2.1 Écoulement laminaire en conduite circulaire

Il suffit d’appliquer pour des lois

λ

(

S

) particulières les formulesobtenues au paragraphe 2.7.1. Signalons qu’il est aussi possible dereprendre entièrement la démonstration et, pour certains types delois, d’établir comme propriétés de l’écoulement une partie deshypothèses faites au paragraphe 2.7. Pour les applications, lesrésultats sont les mêmes.

Dans le cas d’un fluide en loi de puissance (§ 2.6.5) caractérisépar

n et k0 , si U est la vitesse débitante et R le rayon du tube, lavitesse locale u dans le sens de l’écoulement vaut à la distance rde l’axe :

ce qui donne des profils de vitesse plus aplatis ou pointus qu’uneparabole selon que n est plus petit ou plus grand que 1 (figure 4).

Le coefficient de frottement Cf égal par définition à :

vaut :

avec D diamètre du tube,

ReB1 nombre de Reynolds introduit par Bird [5] [6], quipermet de regrouper les paramètres sous une formeidentique à celle utilisée pour les fluides newtoniens.

Tous les autres modèles permettent en principe de faire lesmêmes calculs, mais les formules littérales ne prennent plus uneforme aussi simple, et il peut être nécessaire de recourir à desrésolutions numériques.

Par exemple, le modèle de Ellis [7] [10] qui donne la fonction λ (S)sous la forme :

permet d’écrire pour Cf :

avec comme profil de vitesse :

2.8.2.2 Écoulements laminairesen conduite de section non circulaire

Il est également possible de résoudre les écoulements dans desconduites de section plus complexe, comme les conduites annulairespar exemple, qui correspondent au problème pratique du forage. Lesrésultats doivent être alors présentés sous forme graphique [9].

Par contre, les résultats pour l’écoulement d’un fluide en loi depuissance entre deux plans parallèles distants de 2h sont :

2.8.3 Écoulement turbulent d’un fluideen loi de puissance dans une conduitede section circulaire à parois lisses

Les écoulements newtoniens d’intérêt industriel sont très fré-quemment turbulents. Mais en fluide non-newtonien on a souventaffaire à des fluides nettement plus épais et cette tendance estbeaucoup moins prononcée.

On peut faire une étude asymptotique tout à fait semblable àcelle que l’on fait en fluide newtonien pour obtenir les lois loga-rithmiques (article Mécanique des fluides [A 1 870] dans le présenttraité), mais cette fois la viscosité µ doit être remplacée par lesdeux paramètres k0 et n.

On écrit successivement :— le profil de vitesse dans la zone de paroi :

— le profil de vitesse dans la zone externe :

avec R rayon du tube ;

Tableau 2 – Valeurs de f ′′(0) pour diverses valeurs de n

dans le cas du point d’arrêt bidimensionnel

n 0,2 0,5 1 2

f ′′(0) 8,151 2,187 1,233 0,973

m 1= =( )

uU-------

3n 1+n 1+

------------------- 1 rR------ n 1+( )/n–=

U nR3n 1+-------------------- R∆pg

2k0L-----------------1/n

=

Cfτ0

ρ U 2

2---------

-----------------∆pg R

2L------------------ 1

ρ U 2

2---------

----------------= =

Cf16

8 n6n 2+--------------------n

ρ D nU 2 n–

k0--------------------------

--------------------------------------------------------------------- 16ReB1----------------≡=

γ S 1 a S α 1–+( )µ

-----------------------------------------=

Cf16

ρ UDµ

----------------------------- 1

1 4aα 3+--------------- R∆pg

2L-----------------α 1–

+

---------------------------------------------------------------=

uR 2∆pg

4Lµ--------------------- 1 r 2

R 2--------- R∆pg

2L-----------------α 1– 2a

α 1+--------------- 1 r

R------

α 1+ –+–

=

Figure 4 – Influence de n sur la forme du profil de vitessedans un tube en régime laminaire établi

uU-------

2n 1+n 1+

------------------ 1 yh------ n 1+( )/n ; U –

∆

p

g

h

k

0

L ------------------

1/

n

nh

2

n

1

+-------------------= =

C

f

24

12

n

4 2

n

1

+

( )

---------------------------

n

ρ

4

h

( )

n

U

2

n

–

k

0

-------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------

24

Re

B

2

-----------------≡=

uu

*

-------- f ρy nu*2 n–

k0----------------------------- , n =

u u max–u

*

--------------------------- g yR------=



— la vitesse débitante

U

par intégration de la loi déficitaire (article

Mécanique des fluides

[A 1 870] dans le présent traité) de la zoneexterne :

— les profils logarithmiques pour la zone de recouvrement :

avec

A

,

B

,

C

constantes.

On en déduit alors la formule possible de perte de charge,puisque :

avec

D

constante,

D’après les résultats en fluide newtonien

A

= 5,65 ;

C

= – 1,14 ;

D

= 4,44, et on posera

B

(

n

) = 5,3

b

(

n

) où

b

(1) = 1. Cette formulesera valable à haut nombre de Reynolds (supérieur à 10

5

) et laplage de validité des lois logarithmiques sera probablement peuchangée, elle aussi. Actuellement, on ne connaît pas

b

(

n

).

À la suite d’expériences à des nombres de Reynolds comprisentre 10

4

et 10

5

, deux formules empiriques sont souvent utilisées :

or

Λ

= 4

C

f

Dans ces formules,

Re

B

1

est le nombre de Reynolds de Bird déjàintroduit en laminaire. La seconde ressemble à la formule deBlasius :

qui correspond au profil de vitesse :

et ses coefficients valent approximativement

α

(

n

) = 0,316

n

1/9

:

Le nombre de Reynolds

Re

B

1 critique inférieur pour lequel latransition laminaire-turbulent se produit est pratiquement le mêmequ’en fluide newtonien : environ 2 400.

2.8.4 Écoulements singuliers :perte de charge moyenne

2.8.4.1 Élargissement brusque

En appliquant le théorème des quantités de mouvement commeen fluide newtonien, on trouve la perte de charge entre la sectionindicée 1 de l’élargissement et une section indicée 2 située à aumoins 10 diamètres vers l’aval, lorsque l’écoulement est laminaireétabli dans le conduit amont :

avec Pf puissance dissipée par frottement en volume et en sur-face entre les deux sections,

qv débit volumique.

Dans le cas où l’écoulement est turbulent, en faisant les mêmeshypothèses que précédemment, on utilisera simplement la formulede Borda :

2.8.4.2 Diaphragme en paroi mince

En laminaire newtonien, on sait résoudre l’écoulement lorsqueRe → 0, et donner la valeur du coefficient de débit, qui reste en faitutilisable jusqu’à des nombres de Reynolds de l’ordre de 7 :

avec Cq coefficient de débit volumique,

ReH nombre de Reynolds.

À grand nombre de Reynolds (environ 104), Cq tend vers 0,61.Les résultats sont semblables pour un fluide en loi de puissance,avec :

aux faibles nombres de Reynolds (de l’ordre de 7).

3. Fluides rigides viscoplastiques

Dans ce paragraphe, on verra comment rendre compte le plussimplement possible des phénomènes d’écoulement et denon-écoulement de nombreux matériaux réels, finement divisés,considérés comme des milieux continus homogènes et isotropes.On peut citer les graisses, la peinture, les suspensions argileuses,les pâtes, les boues, les produits alimentaires, les produits cosmé-tiques et pharmaceutiques.

3.1 Formulation avec seuil

3.1.1 Milieux rigides viscoplastiques

Un milieu est dit plastique lorsque son comportement diffèreselon que l’état des contraintes est en deçà ou atteint un certainseuil. Ici, nous supposerons le seuil invariable, de sorte qu’il serapossible de le franchir.

u max U–u

*

---------------------------- D=

uu

*

--------An------ lg

ρynu*2 n–

k0-------------------------- B n( )+=

u u max–u

*

--------------------------- A lg yR------ C+=

u max

u*

----------------An------ lg

ρRn u*2 n–

k0---------------------------- B n( ) C–+=

Uu

*

--------2Cf-------- 8

Λ------- et que U

u*

------≡u max

u*

-------------- D–= =

2Cf-------- A

n------ lg

ρRnU 2 n–

k0----------------------------- Cf

2--------1 n/2( )–

B n( ) C D––+=

1Cf------- 4

n0,75-------------- lg ReB1 Cf( )1 n/2( )– 0,40

n1,2--------------–=

Λ α n( )

Re B1β n( )

--------------------=

Λ 0,316Re1/4

------------------=

uumax--------------- y

R------1/ 7

=

β n( ) 14n1/ 5-----------------=

P f

qv

----------6n 2+2n 1+-------------------- n 3+

2 5n 3+( )---------------------------- S1

S2---------2 S1

S2---------

3 3n 1+( )2 5n 3+( )

----------------------------- ρq v2

2S 12

--------------+–=

Pf

qv

--------- 1 S1

S2---------

2 ρq v2

2S 12

---------------–=

CqU

2 ∆pρ

---------

---------------------- 0,13 ReH= =

Cq 0,13n1/3 ReB1≈



En deçà du seuil, on peut considérer le milieu comme élastiqueou rigide. Dans le cas présent, il sera rigide. Au-delà du seuil, le milieus’écoule suivant une loi à préciser. Nous considérons ici que cetteloi fait intervenir la vitesse d’écoulement, le milieu est dit visqueux.

Dans cette étude, le milieu sera donc dit rigide viscoplastique.

3.1.2 Mode de définition du seuil

Le problème qui reste est celui du mode de définition du seuil.Nous adopterons ici le seul défini selon le critère de von Mises(article Théorie de la plasticité [A 350] dans le présent traité et [2]).

Tout d’abord, on suppose que le seuil est atteint lorsqu’une fonc-tion à valeurs scalaires du seuil déviateur des contraintes Ts’annule. En effet, on considère qu’ajouter ou retrancher unepression hydrostatique ne doit pas changer le comportement dumatériau. Cette fonction aura donc pour arguments les invariantsTII et TIII non nuls de T ; elle s’annule sur le seuil, et est négativeen deçà du seuil.

Dans le critère de von Mises, on ne retient que le seul argument

TII = – 1/2 tr(T 2) pour écrire ( est une norme de T dans R6) :

avec valeur maximale de cisaillement simple.

3.1.3 Détermination de la loi visqueuse

Il s’agit de déterminer la loi visqueuse lorsque le seuil est franchi :nous prendrons une simple loi de proportionnalité newtonienneentre le tenseur des taux de déformation et l’excès de contrainte.

On prendra comme excès de contrainte la distance dans R6 dupoint représentant T à la surface seuil . Dans le cas présent,

la surface seuil est une hypersphère de rayon . Au point

où l’on se trouve au-delà du seuil, le vecteur unitaire dans la direction

de la contrainte est et il est colinéaire à la normale à

la surface seuil. La longueur de la distance du point T à la sphère

est et l’excès de contrainte sera :

Ceci impose que le fluide soit incompressible, puisque tr T = 0 etque l’on pose une loi linéaire entre F T et D.

On aboutit donc aux lois de comportement de fluides homogènes,isotropes, incompressibles, appelés fluides de Bingham :

3.1.4 Inversion de la loi visqueuse

Il est possible de formuler les lois précédentes en exprimant T enfonction de D.

En effet, le fluide étant incompressible :

lorsque F > 0.

Par conséquent :

On peut écrire F :

Les lois de comportement peuvent donc se mettre sous la forme :

Illustrons ces lois pour un cisaillement simple donné par :

Elles s’écrivent :

L’évolution de la contrainte de cisaillement σ12 est donnée enfonction du taux de déformation ε12 figure 5.

3.1.5 Puissance des efforts intérieurset second principe de la thermodynamique

La puissance des efforts intérieurs est donnée par – tr (ΣD ),soit ici – tr(TD ) puisque le fluide est incompressible. On trouvedonc :

— si ;

— si .

D’après le second principe de la thermodynamique, il faut que soit négatif ou nul quel que soit D II , ce qui entraîne :

TII–

TII– 0–=

0=

TII– =

TTII–

------------------ ∂∂T----------

TII– –

TTII–

------------------ TII– –( ) T 1

TII–-------------------– FT≡=

2µD 0= si F 1

TII–------------------ 0–=

2µD FT si F 0>=

D II 12 ----- tr D 2 ( ) –

F

2 8 µ 2 ------------ tr T 2 ( ) –

F

2

4

µ 2 ------------ T II = = =

Figure 5 – Cisaillement simple d’un fluide de Bingham

TII– – 2 µ DII–=

F2µ DII–

2µ DII–+--------------------------------------=

T 2µ

DII–--------------------+ D ; lorsque D v 0 =

T

II

–

; lorsque

D

0

=

T0 σ12 0

σ12 0 0

0 0 0

et D εij[ ]= =

εij 0 si 1 σ12

------------- 0–=

σ12 2µε12 signe σ12( )[ ] ; σ 13 + σ 23 σ 11 σ 22 σ 33 0, = = = = = =

si 1

σ

12

-------------

0

>

–

i

TII– i 0=

TII– > i 4µDII DII––=

i

µ 0 0



3.1.6 Équations du mouvement

Il est aisé d’introduire les lois de comportement des fluides deBingham pour obtenir en coordonnées cartésiennes les équationsdu mouvement, à propriétés physiques constantes :

Remarquons que si est nul en tout point, les

équations du mouvement, lorsqu’il y a écoulement, sont les mêmesque les équations de Navier-Stokes. Un cas simple sera celui où

ne dépend que du temps

t

sans dépendre des variables

d’espace

x

1

,

x

2

,

x

3

, comme cela est réalisé si :

D

ij

=

ϕ

(

x

1

,

x

2

,

x

3

,

t

)

W

ij

(

t

)

avec

ϕ

scalaire,

W déviateur symétrique.

Signalons que les mouvements rectilignes

u

1

= 0,

u

2

= 0,

u3 = u (x1 , t ) entrent dans ce cadre.

3.2 Écoulements viscosimétriques

3.2.1 Écoulement laminaire permanent établidans un tube cylindrique à base circulaire (Poiseuille)

En utilisant les notations et hypothèses du paragraphe 2.7.1, onpeut calculer les contraintes grâce à la loi de comportement,connaissant la matrice des composantes de D déjà indiquée auparagraphe 2.7.1.1 et DII = – γ 2/4 :

avec lorsque γ ≠ 0.

Les équations du mouvement sont les équations écrites auparagraphe 2.7.1.2, et donc le champ de pression est donné par :

La chute linéique de pression motrice égale à est

une constante, et cette constante est positive.

Pour établir le lien entre la cinématique et les efforts il faut cettefois tenir compte du seuil , que l’on fera intervenir dans lesconditions aux limites des équations. En effet, pour que γ soit non

nul, il faut que ,

c’est-à-dire : .

Posons :

et appelons R le rayon du tube, on peut distinguer deux cas :

rs > R, alors γ = 0 partout, et comme il y a adhérence aux parois,la vitesse u est nulle partout : la charge n’est pas suffisante pourprovoquer l’écoulement du milieu, qui reste au repos dans le tube.

rs < R, alors il y a écoulement dans la zone annulaire définie parrs < r < R. La vitesse u est donnée comme au paragraphe 2.7.1.3par :

en faisant l’hypothèse d’adhérence u (R) = 0, puisque la relationentre la pression motrice et Trz est encore la même.

Par contre, la loi de comportement donne ici une fonction λ bienparticulière, qui s’écrit, sachant que γ doit être négatif pour que Trzle soit :

La répartition des vitesses dans l’anneau externe est donc :

Cette vitesse atteint un maximum au bord interne r = rs del’anneau :

Dans la zone centrale caractérisée par il n’y a pas d’écoule-

ment, et par conséquent le fluide se déplace en bloc à la vitesse umax(figure 6).

div u 0=

ρDui

Dt------------ ∂p

∂xi----------– µ

∂2ui

∂xj2

-------------- ∂

∂xj----------

Dij

DII–------------------- ; lorsque D v 0 + +=

ρ

D

u

i

D

t

------------

∂

p

∂

x

i

----------

∂

T

ij

∂

x

j

------------ ; lorsque D +– 0 = =

∂∂xj----------

Dij

DII–-------------------

Dij

D II –---------------------

T0 Trz 0

Trz 0 0

0 0 0

=

Trz µγ signe γ( )[ ]+=

∂pg

∂z-------------

1r-----

∂rTrz

∂r----------------- ;

∂

p

g ∂

r

------------- ∂

p

g

∂θ ------------ 0 = = =

∆pg

L------------- 2

T

rz r

----------–

TII– >

r2-----

∆pg

L------------- >

Figure 6 – Profils de vitesse et de contrainte de cisaillementdans un tube, pour un fluide de Bingham

rs 2 ∆pg

L-------------

----------------=

u r( ) R

r

du R

rdudξ--------- dξ

r

R

λ ξ2-----

∆pg

L------------- dξ= = =

Trz µγ λ S( )→– S +µ

-----------------= =

u∆pg

L------------- R2

4µ--------- 1 r 2

R 2----------–

Rµ

----------- 1–rR------–=

umax

∆pg

L------------- R2

4µ--------- 1

r s2

R 2----------–=

r rs



On peut calculer le débit Q dans le tube et la vitesse débitante :

Pour exploiter les résultats viscosimétriques, il est intéressant deréécrire la relation précédente sous la forme :

Le graphe porté figure 7 du couple est simple et

donne accès aux paramètres µ et . La courbe obtenue estindépendante du diamètre du tube utilisé.

3.2.2 Écoulement laminaire permanententre deux cylindres coaxiauxtournants à base circulaire (Couette)

Avec les hypothèses et notations du paragraphe 2.7.2, on peutcalculer les contraintes à l’aide de la loi de comportement,connaissant la matrice des composantes de D indiquée au para-

graphe 2.7.2.1 et :

avec lorsque γ ≠ 0.

Les équations du mouvement sont les équations écrites auparagraphe 2.7.2.2 et le champ des pressions est donné par :

En introduisant le couple par unité de longueur de cylindre C /L(constante supposée > 0), on pourra écrire la contrainte de cisail-lement Tr θ sous la forme :

Le lien entre la cinématique et les efforts doit être établi en tenantcompte du seuil , qui intervient dans les conditions aux limites.Pour qu’il y ait écoulement, c’est-à-dire γ ≠ 0, il faut que :

soit :

Posons :

et appelons Ω1 la vitesse angulaire du cylindre intérieur de rayon R1,Ω2 la vitesse angulaire du cylindre extérieur de rayon R2 , on peutdistinguer trois cas :

rs < R1, alors γ = 0 partout, on a une rotation en bloc des deuxcylindres à la vitesse angulaire Ω1 = Ω2 .

R1 < rs < R2, on observe un écoulement dans l’anneau intérieur(R1 < r < rs ) et une rotation en bloc à la vitesse Ω2 dans l’anneauextérieur (rs < r < R2).

La vitesse angulaire ω (r ) locale est donnée par la même relationqu’au paragraphe 2.7.2.3 :

en faisant l’hypothèse d’adhérence au cylindre intérieur, puisqueon a encore la même relation entre Tr θ et C /L.

Compte tenu de la forme particulière prise par la fonction λ :

la répartition des vitesses dans l’anneau intérieur est donnée par :

La vitesse angulaire ω doit atteindre la valeur Ω2 de la vitesseangulaire de l’anneau rigide extérieur pour r = rs , ce qui donne larelation entre le couple C /L et l’écart des vitesses angulairesΩ2 – Ω1 :

Le champ des vitesses obtenu est représenté figure 8 dans le casparticulier Ω2 > Ω1.

, alors tout le liquide compris dans le jeu entre les cylin-dres est en écoulement.

La vitesse angulaire ω (r ) est donnée par la même relation quedans le cas précédent. Elle atteint Ω2 pour r = R2, ce qui donne larelation entre le couple C /L et Ω2 – Ω1 :

Figure 7 – Exploitation viscosimétriquede l’écoulement de Poiseuille pour un fluide de Bingham

U QπR 2-------------=

U∆pg

L------------- R 2

8µ----------- 1 4

3------

rs

R------ 1

3----- rs

R------

4

+–=

4 UR------ 1

µ------ ∆pgR

2L------------------ 1 4

3------ ∆pgR

2L------------------

1– 13------ 4 ∆pgR

2L------------------

4– +–=

4 UR------ ,

∆pgR

2L------------------

DII γ

2 4 --------–=

T

0 Tr θ 0

Tr θ 0 0

0 0 0

=

Tr θ µγ signe γ( )[ ]+=

∂pg

∂r------------ ρrω2 ;

1

r -----

∂

p

g ∂θ ------------- ∂

T

r

θ ∂

r -------------- 2

T

r

θ r

----------+ 0 ; ∂

p

g ∂

z ----------- 0 = = = =

Tr θC

2πr 2L--------------------=

TII– >

C2πr 2L-------------------- >

rsC

2πL------------------=

ω r( ) Ω1– R1

r1ξ----- λ C

2πξ2L------------------- dξ=

λ S( ) S –µ

----------------=

ω r( ) Ω1– C4πµL----------------- 1

R 12

---------- 1r 2--------–

µ

------r

R1---------ln–=

Ω2 Ω1– C

4πµLR 12

-------------------------2µ---------- 1 C

2πLR 12

-------------------------ln+–=

rs R2

Ω2 Ω1–C

4πµL----------------- 1

R 12

---------- 1

R 22

----------– µ-----

R2

R1---------ln–=



Pour exploiter les résultats viscosimétriques, on réécrit lesrelations ci-dessus en isolant :

On obtient alors le graphe

y

(

x

) porté figure

9

qui donne accèsaux paramètres µ et .

3.3 Mécanique expérimentaledes fluides rigides viscoplastiques

3.3.1 Écoulement permanent et établid’un film infini sur un plan incliné

Avec les notations de la figure

10

, on se donne les composantescartésiennes du champ des vitesses

u

1

=

u

2

= 0,

u

3

=

u (x ). Lefluide s’écoule suivant la ligne de plus grande pente.

La loi de comportement permet alors d’écrire l’expression des

contraintes. Notons , ce qui donne et :

Figure 8 – Profil des vitesses angulaireset des contraintes de cisaillement d’un écoulement de Couette,pour un fluide de Bingham, lorsque R1 < rs < R2

y 2Ω2 Ω1–

1 β–----------------------- et x C

2πLR 12

--------------------- où βR 1

2

R 22

---------- 1 : < = = =

R1 rs R2< < y 11 β–--------------- x

µ------

µ------ x

-------

µ-----–ln–=

rs R2 y xµ------

µ------ βln

1 β–--------------+=

γ dudx----------= DII γ

2 4 --------–=

T31 T13 µγ signe γ( )[ ] lorsque γ v0 ; T 0 0

T

13

0 0 0

T

31

0 0

=+= =

Figure 9 – Exploitation viscosimétrique de l’écoulement de Couette pour un fluide de Bingham

Figure 10 – Écoulement d’un fluide de Bingham sur un plan incliné



Les équations du mouvement donnent le champ de pression :

et comme :

on obtient :

T

13

= –

ρ

g

(

x

–

a

) sin

ϕ

puisque l’air ambiant n’exerce pas de contrainte sur le film.

Pour établir le lien entre la cinématique et les efforts on prend en

compte le seuil ; il y a écoulement seulement si soit :

Posons et envisageons les deux cas possibles :

•

x

s

< 0 aucun écoulement ne se produit sur le plan ;•

x

s

> 0 on observe alors un écoulement dans la zone de paroi0 <

x

<

x

s

et un déplacement en bloc dans la zone externe

x

s

<

x

<

a

.

La vitesse, grâce à l’hypothèse d’adhérence à la paroi, est donnéedans la zone d’écoulement par :

Compte tenu de la forme particulière prise par

λ

(

S

) :

on obtient la répartition des vitesses dans la zone d’écoulement :

Lorsque

x

=

x

s

la vitesse atteint sa valeur maximale

u

max

:

qu’elle conserve jusqu’à la surface libre.

Les profils des vitesses et des contraintes obtenus sont repré-sentés figure

11

.

3.3.2 Écoulements laminaires permanentsétablis en conduite cylindrique

3.3.2.1 Écoulement en conduite à base circulaire

Cet écoulement a été traité au paragraphe 3.2.1 où nous avonscalculé la vitesse débitante

U

. On en déduit le coefficient de pertede charge

Λ

:

avec nombre de Reynolds.

Remarquons qu’il est possible d’introduire le nombre d’Oldroyd

sans dimension pour mettre la relation entre la vitesse

débitante et (§ 3.2.1) sous la forme :

3.3.2.2 Écoulement entre deux plans parallèles

Les deux plans parallèles étant distants de 2

h

, la chute linéique

de pression étant notée , et

y

étant l’ordonnée du point courant

au-dessus du plan médian, on trouve une répartition linéaire des

contraintes de cisaillement . En posant

on peut distinguer deux cas :•

y

s

>

h

le milieu reste au repos entre les deux plans ;•

y

s

<

h

il y a écoulement le long des deux parois, une lamecentrale d’épaisseur 2

y

s

se translatant en bloc au centre du jeu.

La vitesse du fluide en écoulement pour

y

> 0 :

atteint un maximum

u

max

pour

y

=

y

s

:

Le fluide de la lame centrale se déplace à la vitesse

u

max

et on

peut calculer le débit par unité de largeur, ou la vitesse

débitante :

Le coefficient de perte de charge Λ peut donc s’écrire :

le nombre de Reynolds étant construit avec

D

H

= 4

h

.

Figure 11 – Profil des vitesses et des contraintesdans un film infini sur un plan incliné

∂pg

∂x------------

∂pg

∂y------------ 0

∂pg

∂z------------

∂T13

∂x-------------= = =

∂

p

g ∂ z ------------– ρ g ∂

Z ∂ z

----------– ρ g ϕ sin = =

TII– >

ρg ϕ a x–( ) >sin

xs a ρg ϕsin-----------------------–=

u 0

x=

dudξ--------- dξ

0

xλ ρg ϕ a ξ–( )sin[ ]dξ=

λ S( ) S –µ

----------------=

uρg ϕsin

µ----------------------- x a x

2-----–

µ----- x–=

umaxρg ϕsin

2µ----------------------- xs

2=

Λ 64Re--------- 1

1 43-----

rs

R------- 1

3----- rs

R------4

+–

--------------------------------------------------------=

ReρUD

µ---------------=

DµU

-----------=

rs

R------- 2

R∆pg

L-------------

---------------------=

8

rs

R------

1 43-----

rs

R------–

13-----

rs

R------

4+

------------------------------------------------------=

∆pg

L-------------

T12 ∆

p

g L

------------- y –= ys

∆pg

L-------------

----------------=

u∆pg

L------------- h2

2µ---------- 1 y

h------2 h

µ----------- 1 y

h------–––=

umax

∆pg

L------------- h2

2µ---------- 1

ys

h------- 2

–=

Q/

U Q2h

------------=

U∆pg

L------------- h2

3µ---------- 1 3

2-----

ys

h-------

12----- ys

h-------3+–=

Λ 96Re---------- 1

1 32-----

ys

h-------

12----- ys

h-------3

+–

----------------------------------------------------------=

ReρU DH

µ--------------------=



3.3.2.3 Écoulement en conduit annulaire

Le champ des vitesses est caractérisé par un anneau solide entranslation entre deux anneaux en écoulement le long des parois.La résolution complète, déjà connue, ne sera pas reproduite carelle est trop lourde.

Il est aussi intéressant d’étudier le même écoulement, lorsque letube intérieur tourne. Il est alors utile de faire appel à des graphiquesen vue de l’application [9].

4. Fluides simples incompressibles

On utilisera toujours la description classique des milieux continuset des efforts intérieurs telle qu’elle a été rappelée précédemment(§ 2). Mais on va s’intéresser à des corps pour lesquels il ne suffitplus de considérer les variations spatiales de la vitesse pour décrireconvenablement le mouvement : grâce à un approfondissement trèsimportant des éléments de cinématique on utilisera systématique-ment la notion d’histoire (§ 2.3.1). Ainsi, on sera en mesure de rendrecompte valablement, pour de nombreux corps, des effets decontraintes normales introduites au paragraphe 2.6, ou des phéno-mènes de relaxation et de dépassement des contraintes.

Pour les questions de thermodynamique, on pourra se reporteraux références [2] [4] et au paragraphe 2.

4.1 Cinématique appropriée

Nota : le lecteur se reportera utilement en [Doc. A 710] aux références [3] [10].

4.1.1 Définition du corps et de son mouvement

Les notions de corps matériel et de mouvement sont intuitives.Il est possible de chercher à en donner un modèle mathématique.Un corps matériel est alors un ensemble doté d’une structuremathématique d’algèbre de Boole, dans un espace donné surlequel se trouve définie une mesure positive : la masse. L’élémentcourant Z est appelé point matériel ou encore particule, mais dansun sens qui n’a rien à voir avec la physique.

Rappelons qu’on appelle alors mouvement χ une application quipermet de passer de chaque point matériel Z du corps à laposition qu’il occupe dans l’espace euclidien E au

temps . On note la matrice colonne

de dans le référentiel .

La mécanique des milieux continus se limite en général à desapplications χ différentiables pour qu’on puisse définir les vitesses,bijectives pour assurer l’impénétrabilité, continues, inversibles et àinverses continues : ce sont des difféomorphismes.

4.1.2 Configuration de référence et déformation du corps par rapport à une configuration

On peut alors choisir la configuration K telle que

prise par le corps à un instant particulier T dans un mouvement χ0qui peut ne pas être le mouvement étudié, et s’y rapporter. Celarevient à changer d’argument et à considérer maintenant desapplications χK appelées déformation du corps par rapport à laconfiguration K, qui opèrent sur des parties de l’espace E au lieud’opérer sur les points matériels Z. on note habituellement :

Il convient de souligner que le choix ainsi effectué est tout à faitarbitraire et qu’il n’a pas d’incidence sur le mouvement lui-même.Néanmoins, les applications doivent être transitives et à élémentneutre, ce qui les rend inversibles et, compte tenu du paragraphe4.1.1, leur assure les propriétés caractéristiques d’un groupecontinu.

Signalons un exemple d’application ne satisfaisant pas latransitivité : .

La houle de Gerstner [3] :

fournit un exemple de configuration K de référence (a1, a2 , a3)non occupée par le corps dans le mouvement étudié.

4.1.3 Différentes descriptions d’un mouvement

Nous allons détailler quels arguments on peut choisir pour lesdiverses fonctions dont on aura besoin, ces choix étant renduséquivalents grâce aux propriétés particulières de χ et de χK déjàprécisées.

La description matérielle est celle de la mécanique analytique, oùl’on utilise directement les points matériels Z.

La description référentielle utilise une configuration de référencearbitraire K . Ainsi, le mouvement χ est décrit au moyen de ladéformation χK , et on peut employer une infinité de descriptionsdifférentes en faisant varier K . On note ou encore

cette description.

Dans le cas particulier où l’on choisit la configuration réellementoccupée par le corps au temps 0, on retrouve la description usuel-lement appelée Lagrangienne : .

La description spatiale ou Eulérienne prend comme argumentsdes fonctions, la position occupée dans l’espace, et le temps t.

La description relative utilise à chaque instant une configurationdifférente du mouvement. En fait, on se restreint à toujours rapporterle mouvement χ , à chaque instant t, à la configuration actuelle à cetinstant t, prise comme référence.

Ainsi le mouvement antérieur à l’instant actuel est décrit par lafonction déformation relative .

4.1.4 Gradient de la déformation

On appelle gradient de la déformation F le gradient spatial duchamp vectoriel χK :

c’est-à-dire la transformation linéaire tangente à l’application χK . Legradient F n’est pas un tenseur au sens habituel, car il établit unecorrespondance entre des vecteurs qui appartiennent à des espacesdifférents . On peut convenir de l’appeler tenseur relatif.

On note F (T, t ) lorsque est une configuration effectivementoccupée par le corps et F (·, t ) dans le cas contraire.

Changement de configuration de référence

La transitivité des déformations entraîne une composition desgradients en produit. Prenons deux configurations de référence

ainsi que la position courante d’une même

particule.

x

t : x χ Z , t ( ) , Z , t ∀∀ = x

OM

X χ0 Z,T( )=

x χK X , T, t( )= lorsque χ0 χ≡

x χK X , t( ) χK ·, t( ) lorsque χ0vχ= =

x X ch t T–( )=

x

a1

a2

a3

αeka2

ka1 ωt–( )cos

ka1 ωt–( )sin

0

+=

x χK X , T, t( )=x χK ·, t( )=

x χK0 a , 0, t( )=

x

ξ χK x , t, τ( )=

F χK X ,t( ) ou F χK X ,T, t( )∇≡∇≡

dx F dX=

X ,T( )

X ,T( ) et ξ , τ( ) x , t( )



On peut introduire trois gradients :

et la transitivité qui entraîne que l’on doit avoir le même en

passant ou sans passer par la configuration intermédiaire

permet d’écrire :

F

(

T

,

t

) =

F

(

τ

,

t

) ·

F

(

T

,

τ

)

Calcul des composantes de

F

Pour définir les notations, écrivons la relation par rapport à la base naturelle d’un système de coordonnées :

x

i

=

χ

i

(

X

j

,

T

,

t

)

Les vecteurs élémentaires seront donc écrits :

ce qui permet de faire apparaître

F

(

T

,

t

) tel que ,

puis par multiplication scalaire par de la base duale :

Comme par dérivation des fonctions composées, on adirectement :

on voit que les matrices sont les composantes mixtes du

tenseur relatif

F

, et que ce ne sont pas des composantes classiquespuisqu’elles font intervenir deux bases différentes en général.

Relation avec la masse volumique

On sait calculer les volumes élémentaires dans différents systèmesde coordonnées X i et x i(X j) grâce à la valeur absolue du déterminant

Jacobien :

Ic i , on peut ident ifier ce rapport à celui des masses

volumiques et écrire finalement :

ρ(T ) = ρ(t ) det F (T, t )

4.1.5 Théorème de décomposition polaire de Cauchy

Ce théorème s’énonce : toute transformation linéaire inversible Fa deux décompositions multiplicatives uniques F = RW et F = VR oùR est orthogonal, W et V sont symétriques et définis positifs.

Lorsqu’on applique ce théorème au cas présent, on dit que legradient de la déformation F (T, t ) est décomposé en un tenseurrotation pure (ou symétrie) R (T,t ) et en les tenseurs déformationpure W (T, t ) et V (T, t ) selon qu’on choisit d’effectuer d’abord larotation ou la déformation. On voit immédiatement en utilisantRW = VR que W et V ont mêmes valeurs propres et que les axesprincipaux de V se déduisent de ceux de W par la rotation R.

Donc, si on envisage une sphère infinitésimale autour de , onpeut la déformer en ellipsoïde par W puis la faire tourner par R, oubien la faire tourner par R, puis la transformer en le même ellipsoïdepar V. On appellera W (T, t ) le tenseur droit des déformations pures,V (T, t ) le tenseur gauche.

Les tenseurs W et V sont des expressions irrationnelles desgrandeurs géométriques. Par contre, C = FTF appelé tenseur droit deCauchy-Green ou des dilatations à droite, permet de calculer lesvariations des longueurs et des angles :

On calcule ses composantes covariantes dans :

avec gkm .

4.1.6 Tenseurs obtenus par dérivationpar rapport au temps

Gradient de la vitesse L

Le tenseur L est défini classiquement comme le gradient spatialdu champ des vitesses donné dans une description spatiale :

. Mais on peut aussi le définir à partir

du gradient de la déformation dans la description relative .En effet :

On peut donner encore une autre expression de L en utilisantune description référentielle :

F (t, T ) = F (·, T ) F (t, ·)

et

ce qui s’écrira de façon abrégée :

Taux de rotation et taux de déformation

Les tenseurs Ω taux de rotation et D taux de déformation sontdéfinis classiquement comme parties antisymétriques etsymétriques du tenseur L .

Exemple : cinématique de l’écoulement de Couette entre plansparallèles en coordonnées cartésiennes.

Connaissant les composantes de la vitesse en variables spatiales :

v1 = γ x2 v2 = v3 = 0

La déformation en description référentielle peut être calculéeexplicitement :

x1 = γ X2 (t – T ) + X 1 ; x2 = X2 ; x3 = X3

La matrice des composantes de F (T, t ) en coordonnées cartésiennesest donc :

On peut expliciter également la déformation en description relative :

X1 = x1 – γ x2 (t – T ) ; X2 = x2 ; X3 = x3

dx F X ,T,t( ) dX ; d ξ F X , T , τ( ) d X ; d x F ξ , τ , t ( ) d ξ = = =

dx

ξ , τ( )

x χK X ,T,t( )=

dx dx i ei x( ) et dX dX j ej X( )= =

dx F T, t( ) dX=

e k x( )

dx k ek x( ) F e j X( )⋅ ⋅[ ] dX j=

dxk ∂xk

∂X j------------- dX j=

∂x i

∂X j--------------

J ∂x i

∂X j------------ det F T, t( )≡=

J dx 1dx 2dx 3

dX 1dX 2dX 3---------------------------------------=

ρ T( )ρ t( )

---------------

F1 γ t T–( ) 00 1 00 0 1

=

X

dx δx⋅ F T, t( ) dX[ ] F T, t( ) δX[ ]⋅=

δX F T T, t( ) F T, t( ) dX[ ]⋅=

e X( )

Cij ei X( ) C ej X( )[ ]⋅ ∂x m

∂X i-------------- ∂x k

∂X j------------ gkm= =

e m x( ) e k x( )⋅=

v v x , t( ) et dv L dx= =

F x , t, T( )

∂F

∂T-----------T t=

∂∂T---------- grad χK x , t, T( )

T t=grad ∂χK

∂T------------T t=

= =

grad v x ,t( ) L≡=

∂F t , T( )∂T

--------------------------T t= ∂F · ,T( )∂T

------------------------T t=F t, ·( ) F ·,t( ) F 1– ·, t( )= =

L F F 1–=



Il est possible de les exprimer en fonction de R, W ; V en utilisantla décomposition polaire du gradient de la déformation relative :

Or, W est symétrique et sa dérivée l’est aussi, R est orthogonalet sa dérivée pour T = t est donc antisymétrique.

Finalement, on peut donc identifier :

Tenseurs de Rivlin-Ericksen

Il est possible d’introduire plusieurs types de tenseurs taux d’ordresupérieur en prenant les dérivées de divers tenseurs appropriéscomme C, – C –1, B = FFT ou B –1. Dans le cas particulier où l’onconsidère les dérivées successives du tenseur droit relatif

on peut définir les tenseurs appelés tenseurs deRivlin-Ericksen :

Ces tenseurs sont donc les coefficients du développement de en s :

On peut établir les relations :A0 = 1A1 = 2D.......

dérivée particulaire de An

en considérant à l’instant t = τ la dérivée particulaire de An préala-blement mis sous la forme :

En effet :

et F (t, τ)F (τ,t ) = 1 donne par dérivation à et τ constants :

4.1.7 Objectivité des grandeurs introduites

Il est utile de savoir que F (·, t ), R (·, t ), W (·,t ), ne sont pasobjectifs (§ 2.3.4), alors que W (T, t ) l’est par rapport au référentielqui sert à déterminer la configuration , T.

Établissons quelques formules de base en commençant par legradient F. En écrivant les relations définissant la transformationorthogonale qui fait passer du référentiel au référentiel :

et le gradient :

il vient par identification :

La décomposition polaire de F donne alors :

Dans cette dernière expression, on a un produit de trois matricesorthogonales, qui est donc orthogonal, par un produit de troismatrices qui a la propriété d’être symétrique. L’unicité de ladécomposition permet donc d’écrire :

On peut alors vérifier la relation :

4.1.8 Dérivées objectives

Les calculs précédents donnent l’idée d’introduire un référentieltel que en prenant . Ce référentiel

appelé référent ie l en rotat ion propre par rapport à laconfiguration a l’intérêt que le gradient de la déformation y

est une déformation pure, puisque . Il permettra demettre en évidence le mécanisme utilisé en fait pour obtenir desdérivées objectives et notamment ces dérivées objectives parti-culières du tenseur des taux de déformation que sont les tenseursde Rivlin-Ericksen.

On remarque, tout d’abord, en prenant un tenseur objectif quel-conque Σ(t ) dans et donc quela dérivée particulaire de Σ, qui est la dérivée par rapport au temps tdans la description Lagrangienne, n’est pas objective puisque Q estfonction de t.

Mais l’opérateur en rotation propre, associé :

ΣRP (T, t ) = RT (T, t ) Σ(t )R (T, t )

a un caractère tensoriel dans le repère qui sert à repérer laconfiguration puisque :

On appelle alors taux d’ordre n, en rotation propre, la grandeurobjective :

F x , t,T( ) R x , t,T( ) W x , t, T( )=

L ∂F∂T---------T t=

∂R∂T

----------T t=W t, t( ) R t, t( ) ∂W

∂T------------T t=

+= =

∂R∂T

----------T t= ∂W

∂T------------T t=

+=

Ω x ,t( )∂R x , t,T( )

∂T----------------------------------

T t==

alors que la dérivée particulaire s ′écrit : ∂

R X

,

T

,

t

( )

∂

t -----------------------------------

D x ,t( )∂W x , t,T( )

∂T------------------------------------

T t= ∂V

∂T----------T t=

= =

C x , t,T( )

An x , t( )

An x , t( )∂ nC x , t,T( )

∂T n--------------------------------------

T t==

C x , t, t s–( )

C x , t, t s–( ) 1 sA1s2

2!-------- A2 ... 1 – ( ) n

s

n

n

! -------- A n ... ++ ++–=

An 1+ An An L LTAn ; A ˙ n + +=

An x , t( ) ∂ nC t,T( )∂T n

----------------------------T t=

∂ n

∂T n------------- F T t,τ( ) C τ,T( ) F t,τ( )[ ]

T t=

= =

FT t,τ( ) ∂nC τ,T( )∂Tn

-----------------------------T t=

F t, τ( )=

DAn

Dt-------------

DF T t, τ( )Dt

---------------------------- ∂nC τ,t( )∂t n

-------------------------- F t, τ( ) F T t, τ( ) ∂n 1+ C τ,t( )∂t n 1+

----------------------------------- F t, τ( )+=

F T t, τ( ) ∂nC τ,t( )∂t n

--------------------------- DF t, τ( )Dt

------------------------+

ξ

DF t,τ( )Dt

------------------------t τ=

D

F τ

,

t ( )

D

t -------------------------

t

τ

= – L τ( ) –= =

X

*

dx * Q t( ) dx ; d X * Q T ( ) d X = =

dx F T, t( ) dX ; d x * F * T , t ( ) d X = =

F * T, t( ) Q t( ) F T, t( ) Q T T( )=

F * T, t( ) R * T, t( )W * T, t( )=

Q t( ) F T,t( )Q T T( )=

Q t( ) R T,t( )Q T T( )Q T( )W T,t( )Q T T( )=

R * T, t( ) Q t( ) R T, t( ) Q T T( )=

W * T,t( ) Q T( ) W T, t( ) Q T T( )=

C * T,t( ) Q T( ) C T, t( ) Q T T( )=

R* T, t( ) 1= Q t( ) RT T, t( )=

X ,T( )

F* W* W= =

Σ* t( ) Q t( ) Σ t( ) QT t( ) dans *=

X ,T

Σ *RP R*T T, t( ) Σ * t( ) R * T, t( ) Q T( ) ΣRP T, t( ) Q T T( )= =

Σn∂ n

∂t n----------- ΣRP T, t( )

T t=

=0



À l’ordre 1, on obtient ce qu’on appelle la dérivée de Jauman de Σqui se met sous la forme :

avec dérivée particulaire.

En fait, on peut introduire une infinité de types de dérivées objec-tives, même si elles n’ont pas toutes un sens physique évidentcomme la dérivée en rotation propre. Citons encore une dérivéeconvective (dite parfois dérivée d’Oldroyd des composantescovariantes) :

construite à partir du tenseur des contraintes en convection propre ;

ΣCP (T, t ) = FT(T, t )Σ (t)F (T, t )

On remarque que chaque tenseur de Rivlin-Ericksen est la dérivéeconvective du tenseur d’ordre inférieur.

4.2 Lois de comportement

4.2.1 Application des principes de formulationà la nouvelle description

On applique le principe du déterminisme en l’absence de liaisonsinternes en posant que le tenseur des contraintes dans un corps estdéterminé par l’histoire de son mouvement au sens adopté para-graphe 4.1 [c’est-à-dire χ (Z, τ) pour qu’on note χt] :

Dans cette expression est une fonctionnelle (§ 4.1.8) et non

pas une fonction. Le tenseur Σ est déterminé par χt d’une façon quidépend de Z et de t : les propriétés du corps évoluent selon la par-ticule choisie et le temps. Le tenseur Σ ne dépendant pas du choixarbitraire que l’on fait quant à la configuration de référence K, laforme de la fonctionnelle dépend bien sûr du choix de K et onl’indice K lorsqu’on veut insister sur cette dépendance.

Remarques sur les fonctionnelles

Soit un ensemble F de fonctions f ( ) d’argument t, définies dansl’intervalle (t0 , t3 ). Considérons une application de l’ensemble Fdans l’ensemble des réels R :

f ( ) ∈ F → y ∈ R

On dit que y est une fonctionnelle :

avec ;

y n’est pas fonction de t et son argument est la fonction f ( ). Exemples de fonctionnelles (f et g fonctions de t ) :

est une fonctionnelle ;

y = f [g (t )] est une fonction composée, pas une fonction-nelle, l’argument est t ;

y = f (100) est une fonctionnelle car y ne dépend que de f.Si f est la fonction t 2, on aura y = 104, si f est lafonction alors y = 10.

De la même façon, on introduit des fonctionnelles à valeur ten-sorielle, dont les arguments sont des fonctions tensorielles définiespour certaines valeurs d’un argument réel.

Le principe d’indifférence matérielle permet de démontrer que :

où la fonctionnelle ne dépend plus du temps (on utilise la trans-lation d’origine des temps), ni de χt (on utilise la translation d’origined’espace), mais seulement de l’histoire de la localisation :

du mouvement χ , Y étant le point courant

du corps.

On trouve également que cette fonctionnelle doit satisfaire pourtoute fonction orthogonale Q (t) et tout mouvement la relation :

Le principe de localisation spatiale impose alors :

pour deux mouvements χ et qui coïncident dans un voisinage

de Z aux temps , quels qu’ils soient ailleurs.

4.2.2 Corps matériellement simples

On arrive tout naturellement à la notion de corps d’ordre n en

cherchant à approximer l’argument de la fonctionnelle par son

développement selon ses n premiers gradients spatiaux successifs.Au premier ordre, on aura :

où F t (Z, s) est l’histoire jusqu’au temps t du gradient de la défor-mation relatif à Z. Comme le voisinage v (Z ) est arbitrairement petit,on voit que cette approximation peut être rendue aussi précise quel’on veut.

Le degré n d’approximation choisi joue un rôle important dupoint de vue dimensionnel puisque le terme d’ordre 1 introduit estsans dimension, alors que les termes suivants introduisent deséchelles de longueur.

On appelle corps d’ordre 1 ou corps matériellement simple, uncorps pour lequel ne dépend du mouvement que par F t (Z, τ).En utilisant la décomposition polaire de F et le choix particulierQ (τ) = RT (τ), on montre que la relation :

est une forme générale de loi de comportement pour un corpsmatériellement simple.

Le modèle des corps d’ordre 1 est en fait très général.

4.2.3 Homogénéité et isotropie :fluides matériellement simples

Nous avons dé jà préc isé (§ 4 .2 .1 ) que , a pr ior i , lafonctionnelle dépendait à la fois de la particule Z choisie et

de la configuration de référence utilisée. Par la suite, nous suppo-serons que le corps est homogène, et donc que la fonctionnelle est la même pour toutes les particules.

Σ1 Σ ΩT Σ ΣΩ+ +=0

Σ

Σ1 Σ LTΣ ΣL+ +=∆

τ t

Σ Z, t( ) K χt, Z, t( )=

K

y f t( )[ ]=t t2=

t t1=

t0 t1 t2 t3

y t1

t2 f t( ) dt=

t

Σ Z, t( ) χ Zt , Z( )=

χZt χt Y, τ( ) χt Z, τ( )–=

Q t( ) χZt( )QT t( ) Q τ( ) χZ

t[ ]=

χZt( ) χ

Z

t( )=

χτ t

χZt

χZt χ Y, τ( ) χ Z,τ( )–[ ]τ t F t Z, s( ) Y Z–( )⋅≈=

Σ Z, t( ) R t( ) Wt Z,τ( ), Z[ ] RT t( )=

K Z( )



Il est intéressant d’étudier la dépendance de par rapport à Kpour préciser clairement la notion d’isotropie. Introduisons unenouvelle configuration de référence K ′. Le mouvement est définipar : ; on introduit les gradients de la

déformation tels que :

où ZK et ZK ′ sont les étiquetages de la particule relatifs à K et K ′, le gradient de la déformation entre K et K ′. Il vient :

FK = FK ′P

Pour que les fonctionnelles représentent le même

corps, il faut que , c’est-à-dire :

Le problème qui se pose alors est de savoir sous quelles conditionsle gradient P peut relier deux configurations K et K ′ différentes etpourtant indiscernables par l’expérience c’est-à-dire telles que lesfonctionnelles aient la même forme. L’expérience suggère

que si P change la densité du corps, la fonctionnelle réponse estforcément modifiée (§ 2.4.2). On va donc considérer les tenseurs Pqui appartiennent au groupe u des tenseurs de module unité telsque : det P = 1 et qui vérifient .

On démontre que ces tenseurs P forment un sous-groupe de uqu’on appelle le groupe d’isotropie gK du corps rapporté à laconfiguration K . En étudiant les propriétés de gK on voit qu’il estintéressant de faire intervenir le groupe des tenseurs orthogonauxo qui est aussi un sous-groupe de u.

D’après notre définition de l’isotropie, un corps est isotrope s’ilexiste une configuration de référence K telle que gK ⊃ o ; ce qui setraduit physiquement en disant que la forme de la fonctionnelleréponse est la même, qu’on repère le corps à l’aide de K ou à l’aidede toute configuration déduite de K par rotation.

On démontre qu’il ne peut exister que deux types de corpsisotropes : ceux pour lesquels g = o qu’on appelle des solides iso-tropes, et ceux pour lesquels g = u qu’on appelle des cristaux liquidesisotropes ou simplement fluides, et ceci quelle que soit K.

On démontre qu’une forme générale de loi de comportementd’un fluide matériellement simple est :

où ρ(t ) est la masse volumique, et où reste seulement C (t, t – s )l’histoire du tenseur droit de Cauchy-Green. La fonctionnelle est enoutre une fonctionnelle isotrope, c’est-à-dire que :

Si le fluide est incompressible, ce que nous supposerons toujourspar la suite, on écrira :

Physiquement, un fluide est un corps dont la forme de la fonc-tionnelle réponse ne change pas, même après qu’on l’ait déforméde façon arbitraire, pourvu qu’on ait conservé sa masse volumique.Un fluide est isotrope par rapport à toutes ses configurations. Onvérifie aussi qu’un fluide ne peut pas supporter de contraintes deglissement lorsqu’il est à l’équilibre : Σ = – p1 lorsque W = 1 ; ce quiest en accord avec le sens commun selon lequel un fluide coulequand on lui applique des contraintes de glissement.

Le modèle des fluides simples est extrêmement général et ilrecouvre une très grande partie des modèles proposés dans lalittérature. Il faut remarquer qu’on trouve encore dans certainsarticles les mots fluide ou liquide appliqués sans tenir compte destravaux ci-dessus.

On a représenté figure 12 les diverses classes de corps selonl’étendue de gK .

4.2.4 Fluides matériellement simplesà mémoire déclinante

Il est possible d’utiliser mathématiquement l’idée simple demémoire déclinante, en supposant la fonctionnelle réponse continueet différentiable au voisinage de l’histoire repos, et d’arriver à uneerreur arbitrairement petite près, à approximer la loi decomportement.

La condition de validité est bien sûr que le temps caractéristiquedu matériau, c’est-à-dire le temps qu’il met pour oublier les effetsdu passé, soit court en comparaison de l’échelle de temps du phéno-mène étudié.

Deux formulations sont possibles. Dans la première, dite de laviscoélasticité linéaire, on suppose les déplacements petits, et onobtient pour un fluide incompressible :

— à l’ordre 1 :


Dans la seconde, dite des écoulements lents, on obtient :— à l’ordre 1 :

Σ = – p1 + µA1 fluide newtonien ;


fluide du second ordre ;


fluide du troisième ordre.

Notons que ces lois pour des écoulements lents correspondentà une mémoire infiniment courte, et qu’elles ne décrivent pas lesphénomènes de relaxation.

x χK Z, t ( ) χ K ′ Z , t ( ) = =

dx F K dZ K F K ′ dZ K ′ dZ K ′ P dZ K= = =

P

K et K ′

K FK( ) K ′ FK ′( )=

K ′ FK ′( ) K FK ′ P( )=

K et K ′

K F( ) K FP( )=

Σ C t, τ t s–=( ), ρ t( )[ ]=∞

s 0=

QT C t, t s–( )[ ] Q QTCQ( ), Q t( ) orthogonal∀=

Σ p1 – C t , t s – ( )[ ] +=

Figure 12 – Classes de corps matériellement simples

Σ p1 – 0

∞

µ s ( ) G s ( ) d s ; G C 1 – ≡ +=

Σ p1 – 0

∞

µ s ( ) G s ( ) d s +=

0

∞

0

∞

α

s

1

,

s

2

( )

G s

1

( )

G s

2

( )

d

s

1

d

s

2

+

Σ p1– µA1 α1A12 α2A2+ + +=

Σ p1– µA1 α1A12 α2A2+ + +=

α3 tr A12( )[ ]A1 α4 A1A2 A2A1+( ) α5A3++ +



4.3 Formes particulièresusitées des lois de comportement

Divers types de relations exprimant le tenseur des contraintes ontété proposés pour les milieux à mémoire bien avant que la théoriedes milieux matériellement simples ne soit mise au point. Cesrelations peuvent presque toujours être replacées dans le cadregénéral des fluides matériellement simples à mémoire déclinante.

L’intérêt de ces lois vient tout d’abord de la complexité des calculsdans le cadre le plus général des fluides simples, où nous verronsque relativement peu de résultats sont accessibles : employées avecdiscernement elles peuvent permettre de faire des prévisions quanti-tatives pour des écoulements assez complexes. Enfin un certainnombre d’entre elles ont pu être obtenues à partir des considérationsphysiques microscopiques.

4.3.1 Fluides du type différentielou de Rivlin-Ericksen

S’il se trouve qu’un fluide matériellement simple a une mémoiresuffisamment courte et qu’il est utilisé dans une expérience où sonhistoire récente est peu variée, sans discontinuité notamment, onpeut approximer l’argument C (t, t – s ) de la fonctionnelle par sondéveloppement en série de Taylor jusqu’à l’ordre voulu. Comme cedéveloppement fait intervenir les tenseurs de Rivlin-Ericksen An onconsidère alors une loi de comportement où le tenseur descontraintes est simplement une fonction q des r premiers tenseurs.On dit que l’on a un fluide de type différentiel ou de Rivlin-Ericksen :

Σ = – p1 + q (A1 , A2 , ..., Ar )

L’indifférence matérielle impose que la fonction q soit une fonctionisotrope. Les arguments étant symétriques, sa forme se trouveimposée.

Ainsi, en se limitant à l’ordre r = 2 :

Un tel développement inclut les fluides de Reiner-Rivlin, et le plussouvent on se limite aux fluides du second ordre qui correspondentaux quatre premiers termes. Il convient d’insister sur l’importancedes hypothèses restrictives énoncées au départ de la formulation,qui ne peut pas bien sûr représenter des phénomènes comme larelaxation des contraintes, ou toute autre variation brusque de lacinématique.

Enfin signalons qu’il est possible de faire intervenir d’autres tauxque les tenseurs de Rivlin-Ericksen. Par exemple, au lieu de C (t, t – s)il suffit de considérer le développement de C –1 (t, t – s ) qui faitapparaître les tenseurs de White-Metzner [4] [6]. On obtient des loisqui seraient différentes pour des écoulements arbitraires, mais quidonnent toutes les mêmes résultats dans l’approximation desécoulements lents formulée pour les fluides simples à mémoireévanescente.

4.3.2 Fluides du type taux

Cette fois la loi de comportement est écrite différemment : onexprime une dérivée du tenseur des contraintes en fonction desdérivées d’ordre inférieur de ce même tenseur et de la cinématique,tous les arguments étant calculés à l’instant actuel. Pour un fluideon écrira :

où est la dérivée convective d’ordre p de T, q une fonction

isotrope d’arguments symétriques.

Dans ce type de loi, l’histoire n’apparaît plus explicitement, onconsidère qu’elle est convenablement prise en compte par lesvaleurs assignées aux contraintes et taux de contraintes.

On remarque sur des cas simples, en particulier où T ne figureplus, que ce genre de loi peut représenter des corps qui ne sont pasdes fluides. Il faut aussi que les conditions aux limites d’intégrationde l’équation soient rejetées assez loin dans le passé pour ne plusinfluer sur la forme de la solution. Sinon ces lois ne définissent pasun fluide particulier, mais une famille de corps.

Deux expressions particulières, très connues, sont à la base deplusieurs généralisations :

— loi de Maxwell :

— loi d’Oldroyd :

Dans ces lois T n’est pas un déviateur : on peut introduire lestermes supplémentaires convenables pour qu’il le soit, mais la loi

devient autre. Enfin, la présence ou l’absence du terme en rendles deux lois citées très différentes. Un saut du taux de déformationconduisant à un saut de contrainte pour le modèle de Maxwell età une contrainte infinie, c’est-à-dire à une incompatibilité pour lemodèle d’Oldroyd.

4.3.3 Fluides du type intégral

Ces lois de comportement donnent le tenseur des contraintes sousforme d’une intégrale de l’histoire cinématique. Pour l’essentiel, ellescorrespondent aux expressions que nous avions déjà obtenues, maisà titre d’approximation, dans le cadre des fluides simples à mémoireévanescente. Ainsi, en se limitant au second ordre nous avions pourun fluide incompressible :

Si on considère seulement la première intégrale, on peut estimerque G (s) est la mesure des déformations passées qui contribueadditivement, à une pondération près réalisée par µ(s ), à la valeuractuelle des contraintes. Certains auteurs appellent cette hypothèseconstitutive principe de superposition de Boltzmann. À ce niveau,on peut choisir bien d’autres formulations en prenant d’autresmesures que G (t, t – s), et écrire des lois différentes les unes desautres, qui donnent néanmoins le même résultat dans le cadre dela théorie des écoulements de fluides simples à mémoire évanes-cente introduite au paragraphe 4.2.4.

Si on considère toute l’expression, mais que l’on suppose ledécouplage des contributions à la contrainte qui sont décalées dansle temps, on obtient en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton(C 3 – CIC

2 + C IIC – C III1 = 0) :

Grâce au théorème de Cayley-Hamilton, on montre que cetteforme est en fait la plus générale possible quel que soit l’ordre del’approximation de départ, dans le cas du découplage. Elle contienten particulier la formulation intégrale de Bernstein, Kearsley etZapas [4] [5] [6], que l’on trouve en posant :

Σ p– α0+( )1 α1A1 α2A2 α3A12 α4A2

2 α5 A1A2 A2A1+( )+ + + + +=

α6 A12A2 A2A1

2+( ) α7 A1A2

2 A22A1+( ) α8 A1

2A22 A2

2A12

+( )+ + +

Tp q T, ..., T p 1 – , A 1 , ..., A r ( ) = ∆∆

Tp

∆

T λ T+ 2µD équivalente à T µλ2--------

0

∞e s/λ– C t, t s–( ) ds= =

∆

T λ1T+ 2µ D λ2D+( )=∆ ∆

D∆

Σ p1– 0

∞µ s( ) G s( )ds

0

∞0

∞α s1,s2( ) G s1( ) G s2( )ds1ds2+ +=

Σ p1– 0

∞ϕ1 s,CI,CII( )C s( ) ϕ2 s,CI,CII( )C s( )+[ ]ds+=

1–

ϕ1∂u s, CI, CII( )

∂CI---------------------------------------- ; ϕ 2 ∂

u ∂ C

II

------------ ; u fonction scalaire –= =



Beaucoup d’auteurs considèrent que ces lois intégrales sont leslois de comportement explicites les plus réalistes, en vue desapplications.

4.4 Écoulement d’un fluide simpleà histoire de la déformation pure constante (HDPC)

On va dans cette partie voir comment on réussit, en particularisantle mouvement, à obtenir une solution simple tout en utilisant la loide comportement la plus générale des fluides matériellementsimples incompressibles :

4.4.1 Définition

On remarque que si

C

(

t

,

t

–

s

) reste indépendant de

t

, bien qu’ildépende de

s

, les contraintes deviennent constantes elles aussidans le temps, pour la particule suivie. On note alors que

C

resteégal à sa valeur initiale

C

(0, –

s

).

Mais d’après l’indifférence matérielle doit satisfaire la relation :

et donc lorsque le mouvement est tel que :

C

(

t

,

t

–

s

) =

Q

(

t

)

C

(0, –

s

)

Q

T

(

t

)

avec

Q

(0) = 1,

l’observateur qui suit la particule peut toujours s’orienter de façonà voir la même histoire de la déformation relative et par suite lesmêmes contraintes.

On vérifie que les valeurs propres de

W

ne dépendent pas dutemps

t

dans ces conditions : on dit que l’écoulement est à histoirede la déformation pure constante, ou en abrégé HDPC.

4.4.2 Relations cinématiques

Sachant que par définition , lorsque

A

et

B

sont

des tenseurs, on démontre la condition nécessaire et suffisante pourque l’on puisse écrire l’histoire :

C

(

t

,

t

–

s

) =

Q

(

t

)

C

(0, – s)QT(t )

avec Q (0) = 1 :F (0, τ) = Q (τ) exp(τk N0)

avec k scalaire,

Q (τ) tenseur orthogonal Q (0) = 1,

N0 tenseur constant .

Partant alors de cette relation pour F, il suffit de reporter dans ladéfinition de C = FT F pour obtenir :

Comme la fonction exponentielle est isotrope, on a :

C (t, t – s) = exp [(τ – t )kNT ] exp [(τ – t )k N ]

avec N (t ) = Q (t) N0 QT (t ).

Ce dernier tenseur est particulièrement intéressant. Il est lié augradient de la vitesse :

Il permet d’exprimer simplement les tenseurs de Rivlin-Ericksen :

A1 = k (N + NT )

A2 = k (NTA1 + A1 N )

.............................................

An = k (NT An – 1 + An – 1 N )

ce qui montre que la restriction histoire de la déformation pureconstante est très forte, tout en suggérant la possibilité du théorèmeci-après.

4.4.3 Théorème de réductionaux fluides de Rivlin-Ericksen d’ordre 3

On démontre que C (t, t – s) est déterminé uniquement par les troispremiers tenseurs de Rivlin-Ericksen A1 , A2 , A3 dans un mouvementà histoire de la déformation pure constante.

Ce théorème est très important par ses conséquences :— si on se donne A1(t), A2(t ), A3(t), il leur correspond au plus un

écoulement HDPC ;— toute fonctionnelle de C (t, t – s) dans ces mouvements est

égale à une fonction isotrope de A1 , A2 , A3 :

Σ = – p1 + g [A1(t), A2(t ), A3(t )]

et donc pour le fluide simple le plus général il est seulement néces-saire de considérer une loi de comportement particulière de fluidede Rivlin-Ericksen du 3e ordre, ce qui est une grande simplification.

— mais de ce fait, l’information que l’on peut tirer expérimenta-lement de la classe des écoulements à histoire de la déformationpure constante ne permet pas de caractériser complètement lecorps : ceci va à l’encontre des habitudes prises pour les fluidesnewtoniens, où, à l’opposé, une seule expérience suffit pour mesurerle scalaire µ et caractériser le milieu.

4.4.4 Classification des HDPCd’après la nilpotence de N0

Nota : le lecteur se reportera utilement en [Doc. A 710] aux références [3] [4] [10].

Le rôle joué par N au paragraphe 4.4.2 incite à établir une clas-sification selon sa nilpotence, ou ce qui revient au même selon lanilpotence de N0 . Remarquons qu’une condition nécessaire et suf-fisante pour qu’une matrice soit nilpotente est que ses valeurspropres soient nulles sur les corps des complexes. On distingue troiscas :

On dit que l’écoulement est viscosimétrique stationnaire ou encoredu second ordre.

On vérifie que An est nul pour n > 2 et que par conséquent cesécoulements ne permettent pas de distinguer un fluide simple,d’un fluide de Rivlin-Ericksen d’ordre 2.

On peut démontrer qu’il existe une base orthonormée bien choisiepour laquelle la matrice des composantes de N0 s’écrit :

Σ p1– C t, t s–( )[ ]+=

Q t( ) C 0, s–( )[ ]QT t( ) Q t( ) C 0, s–( )QT t( )[ ]=

Aexp 1 An

n !---------

1

∞

∑+=

N0 trN0N0T≡ 1=

C t, t s–( ) Q t( ) τ t–( ) k N0T[ ] τ t–( )kN0[ ]QT t( )expexp=

L t( ) F ·, t( ) F 1– ·, t( ) Q t( ) QT t( ) kN+= =

N 0

20 et N0v0=

N 0

0 1 00 0 00 0 0

=



On dit que l’écoulement est du quatrième ordre.

On vérifie que An est nul pour n > 4, et on peut démontrer qu’ilexiste une base orthonormée pour laquelle la matrice des compo-santes de N0 s’écrit :

N0 non nilpotent

Dans le cas particulier , l’écoulement est appelé une

élongation, on vérifie que , et par conséquentle fluide simple le plus général ne pourra pas être distingué dufluide visqueux de Reiner-Rivlin (§ 2).

4.5 Écoulements viscosimétriques

4.5.1 Définition

Nous avons introduit (§ 4.4.4) la notion d’écoulement viscosimé-trique stationnaire. Ces écoulements peuvent être présentés d’unefaçon plus générale incluant des écoulements non stationnaires.

Un écoulement est dit localement viscosimétrique le long d’unetrajectoire de particule si pour chaque valeur du temps t on a :

avec g (s ) et N fonctions de t .

On démontre que dans un tel écoulement, les composantes dutenseur des contraintes par rapport à une base orthonorméeconvenablement choisie et dépendant du temps, peuvent s’écrire :

Ces composantes de Σ sont données par trois fonctionnelles deg (s ), appelées les fonctionnelles matérielles. Ainsi on voit apparaîtretout à la fois une grande simplification dans l’expression descontraintes et l’impossibilité de caractériser complètement le fluideà l’aide de ces écoulements.

On dit qu’un écoulement est viscosimétrique lorsqu’il est locale-ment viscosimétrique le long de toute trajectoire.

Les écoulements viscosimétriques englobent tous les écoule-ments utilisés dans les expériences de viscosimétrie traditionnelle.

4.5.2 Écoulements viscosimétriques stationnaires

Si on se limite aux écoulements viscosimétriques stationnaires,de nouvelles simplifications s’introduisent. On est dans le cas par-ticulier g (s) = – γ s et les composantes Σ s’expriment dans la baseconvenable où :

à l’aide des trois fonctions du scalaire γ appelées les fonctions visco-simétriques, comme au paragraphe 2.6.3 :

Σ12 = τ(γ) τ fonction impaire de γ

Σ11 – Σ22 = N1(γ) N1 fonction paire de γ

Σ22 – Σ33 = N2(γ) N2 fonction paire de γ

et dont la parité peut être établie en utilisant l’isotropie de la loi decomportement pour :

4.5.3 Exemples d’écoulements viscosimétriques

Un certain nombre d’écoulements viscosimétriques ont étéétudiés en régime stationnaire ou non. On peut les regrouper en troiscatégories selon l’expression des composantes de la vitesse u, v, w :

— les écoulements rectilignes : u = u (x, t ), v = 0, w = 0 en coor-données cartésiennes. On trouve comme cas particuliers le glisse-ment simple, les écoulements dans les canaux, les problèmesd’oscillation de plaques ;

— les écoulements hélicoïdaux ur = 0, u θ = w (r, t ), uz = u (r, t) encoordonnées cylindriques r, θ, z. On trouve comme cas particuliersles écoulements dans les tuyaux de section circulaire, et entre deuxcylindres concentriques. En examinant le problème avec des corpsde dimensions finies, les écoulements hélicoïdaux permettent dedonner une explication des phénomènes de Weissenberg (ascensionle long d’un cylindre tournant) et de gonflement des jets à la sortiedes tuyaux ;

— les écoulements de torsion stationnaire. On trouve l’écoule-ment entre deux disques parallèles tournants d’axe commun, oubien l’écoulement entre deux cônes de même axe et d’angle voisin.Dans cette dernière catégorie, il faut que les termes d’inertie soientnégligeables pour que les équations de Cauchy soient satisfaites.

D’autres écoulements viscosimétriques ont été découverts, maisla plupart semblent difficilement réalisables.

4.5.4 Écoulements curvilignes stationnaires

Un écoulement curviligne stationnaire a pour composantescontravariantes de la vitesse [4] :

v1 = u (x 2) v 2 = 0 v3 = w (x2)

dans un système de coordonnées orthogonales x1, x 2, x 3, pourlesquelles la longueur hi des vecteurs de la base naturelle

est constante le long des lignes de courant.

L’intérêt de ces écoulements qui forment une sous-classe desécoulements viscosimétriques est qu’ils recouvrent pratiquementtous les types d’écoulement viscosimétriques effectivement utilisés.

On démontre qu’un écoulement curviligne stationnaire est unécoulement viscosimétrique, en cherchant la base mobile pourlaquelle :

On voit alors que :

N 0

30 et N 0

2v0=

N 0

0 α1 α2

0 0 α3

0 0 0

avec α1α3 v 0 et α12 α2

2 α32

+ + 1= =

N0 N0T

=

A2 A12 et A3 A1

3= =

C t, t s–( ) eg s( )NTeg s( )N=

N 2 0=

trNNT 1=

ΣΣ11 Σ12 0

Σ12 Σ22 0

0 0 Σ33

=

N0 1 00 0 00 0 0

=

Q1– 0 0

0 1 00 0 1

=

ei∂ OM∂x i

-----------------=

N0 1 00 0 00 0 0

=

γ 1h2-------- u ′2h1

2 w ′2h32

+=



Si on pose :

on obtient les composantes du tenseur des contraintes dans labase de départ x1, x 2, x 3 :

Σ12 = ντ Σ13 = µτ Σ23 = µν (N1 + N2)

Σ11 – Σ22 = ν2N1 + (ν2 – 1)N2 Σ22 – Σ33 = – µ2N1 – (µ2 – 1)N2

avec τ (γ ), N1(γ ) et N2(γ ) fonctions viscosimétriques.

Connaissant ainsi l’expression des contraintes, il n’y a plus de dif-ficulté à poursuivre la résolution pour les différents cas particuliers.On procède comme au paragraphe 2.7, c’est-à-dire que l’on écrit leséquations de Cauchy et qu’on explicite les liens entre la cinématiqueet les efforts.

Lorsque le champ des vitesses est tel que les équations de Cauchysont toujours satisfaites, on dit que l’écoulement est compatible.Certains champs de vitesses, comme celui du cône-plan, ne sont pascompatibles : ils fournissent cependant une solution approchéelorsque l’inertie est négligeable ou même pour une géométrieparticulière.

4.6 Appareillages de viscosimétrie

4.6.1 Matériel et son utilisation

L’ar t i c le Viscos i té [K 480] dans le t ra i té Constantesphysico-chimiques traite précisément des appareillages existants enviscosimétrie. Il faudrait ajouter au moins deux appareilscommercialisés récemment : le Mechanical Spectrometer (Rheome-trics Inc.) et le Rotary Rheometer (Instron Ltd).

Pour notre part, nous indiquons tableaux 3 et 4 les formules lesplus courantes qui permettent d’obtenir les fonctions visco-simétriques avec ce matériel, au moins en principe.

On peut aussi utiliser le matériel de viscosimétrie pour essayerde déterminer les paramètres d’une loi de comportement trèsparticulière que l’on s’est fixée à l’avance parce que l’on sait qu’ellepeut représenter convenablement l’évolution d’un fluide dans uneapplication déterminée. On utilise enfin ce même matériel pourréaliser des écoulements instationnaires, et caractériser ainsi defaçon plus complète la fonctionnelle réponse, ou accéder pluscommodément aux paramètres d’une loi de comportementparticulière.

Deux types d’instationnarités sont couramment utilisés : onsoumet le fluide à des sollicitations périodiques obtenues en faisantosciller les pièces mécaniques, ou bien encore en les décentrantconvenablement, ou on le soumet à des sollicitations discontinuescomme des démarrages et des arrêts instantanés.

Enfin, il faut signaler l’intérêt de sollicitations périodiques super-posées à un écoulement permanent, cas particulier de l’étudegénérale des écoulements secondaires superposés à un HDPC.

4.6.2 Écoulements périodiques et viscosité complexe

Ces écoulements ont été beaucoup utilisés par les chimistes. Ilssont adaptés à leurs modèles de solutions ou de polymères fondusqui correspondent souvent aux lois de la viscoélasticité linéaire. Eneffet, on peut toujours y rendre la déformation petite, et dans cetteapproximation les lois intégrales peuvent être utilisées pourapproximer la fonctionnelle réponse. Au premier ordre, on pourraécrire :

D’autre part, un écoulement périodique étant caractérisé par :

Le taux de déformation DR vaut :

ou en complexes 2D = – iωψ (t ).

Mais :

et par analogie avec la loi de comportement des fluides newto-niens, on définit la viscosité complexe η :

avec η′ viscosité dynamique,

G ′ rigidité dynamique.

Comme déjà indiqué au paragraphe 4.6.1 on peut décentrerconvenablement les pièces pour réaliser un écoulement périodique.Alors ψ (t) reste indépendant de t, la périodicité est dite de natureLagrangienne. Ces écoulements étant HDPC, nous en verrons unexemple au paragraphe 4.7.2.

Mais on peut encore faire osciller les parois de façon à ce que ψ (t)soit une fonction sinusoïdale du temps : la périodicité est dite denature Eulérienne. L’étude de ces écoulements met en évidence lerôle de l’inertie du fluide que l’on a intérêt à conserver négligeable.La détermination de η implique un mouvement de paroi connu engénéral, et sur l’autre paroi, une mesure d’effort sur un montageraide ou une mesure de mouvement sur un montage relativementlâche dont la fréquence propre diffère de la fréquence des oscillations

.

4.6.3 Sollicitations discontinues

Les démarrages et arrêts brusques sont réalisables sur le matérielde viscosimétrie sans trop de difficultés. Ils permettent des calculssimples sur les lois de comportement, et en plus des paramètres,ils fournissent un test appréciable sur les possibilités des lois decomportement.

Quand on enregistre les contraintes au cours du passage de lacinématique de l’état de repos, à un écoulement stationnaire, onconstate qu’elles croissent progressivement vers un régime perma-nent. Il peut se faire que ces contraintes passent en fait par un maxi-mum avant de décroître de façon monotone.

Si à l’opposé on bloque brusquement une cinématique, l’enre-gistrement des contraintes décroît plus ou moins lentement verszéro : on observe le phénomène dit de relaxation au cours duquelle fluide oublie progressivement son régime d’écoulement antérieur.

(0)

(0)

ν u ′γ

-------h1

h2-------- et µ w ′

γ--------

h3

h2---------= =

Σ p1– 0

∞f s( ) C t, t s–( ) 1–[ ]ds+=

G t, t s–( ) C 1– e ψ t( ) 1 e iωs––[ ] ψR t( ) 1 ωscos–( )= = =

ψi t( ) ωssin–

DRω2------ ψi t( )=

Σ p1– eψ t( )0

∞f s( ) 1 e iωs––( )ds+=

p1– e 2iω

--------0

∞f s( ) 1 e iωs––( )ds D+=

η iω-------

0

∞f s( ) 1 e iωs––( ) ds η′ i G ′

ω---------+≡≡

ω2π---------



Tableau 3 – Viscosimétrie

Typé d’écoulement Schéma Hypothèses Caractéristiques Contraintes

Glissement simple

v1 = γ x 2

v 2 = v3 = 0v1(x2 = h) = Vv1(x2 = 0) = 0pg = Cte

écoulement compatibleet contrôlable

Σ12 = τ (γ)Σ11 – Σ22 = N1(γ)Σ22 – Σ33 = N2(γ)

Écoulement établientre deux plansparallèles

v1 = u (x 2)v 2 = v 3 = 0u (± h) = 0

écoulement compatibleet partiellement contrô-lable

perte de charge par unité de longueur :

Σ11 – Σ22 = N1(γ)Σ22 – Σ33 = N2(γ)

Écoulement établidans un tube cylin-drique à base circu-laire (Poiseuille)

v1 = u (x 2 ≡ r )v 2 = v3 = 0u (R ) = 0

base physique


perte de charge par unité de longueur :

Σzz – Σrr = N1(γ )Σrr – Σθθ = N2(γ)

Écoulementde Couette

v1 = ω(x2 ≡ r )v 2 = v 3 = 0ω(R1) = Ω1ω(R2) = Ω2

base physique


couple par unité de hauteur :

M = Cte

Σθθ – Σrr = N1(γ)Σrr – Σzz = N2(γ)

Écoulementcône-plan

v1 = ω (x3 = θ)v 2 = v 3 = 0

∆Ω = Ω2 – Ω1

base physique

écoulement non compa-t ib le : pour que leséquations dynamiquesadmettent une solutionavec ce champ desvitesses, il faut supposerà la fois l’inertie du fluidenégligeable et l’angle αpetit (quelques degrés),écoulement partielle-ment contrôlable

Σθϕ = τ(γ)Σϕϕ – Σθθ = N1(γ)Σθθ – Σrr = N2(γ)

Écoulementde torsion

v1 = ω (x 2 = z)v 2 = v 3 = 0ω(x2 = 0) = Ω1ω (x2 = h) = Ω2∆Ω = Ω2 – Ω1

base physique

écoulement non compa-t ib le ; pour que leséquations dynamiquesadmettent une solutionavec ce champ devitesses il faut supposerl’inertie du fluide négli-geable , écoulementcontrôlable sous cettecondition

Σθz = τ(γ)Σθθ – Σzz = N1(γ)Σzz – Σrr = N2(γ)

γ dudx 2-------------≡

∆pg

L------------- Cte=

Σ12 τ γ( ) ∆

p

g L ------------- x 2 –= =

γ dudr

---------≡

ez , e r , e θ( )

∆pg

L------------- Cte=

Σrz τ γ( ) r 2 -----–

∆

p

g L

-------------= =

γ r dωdr

-----------≡

e θ , e r , e z( )

Σr θ τ γ( ) M2πr 2---------------= =

ω θ π2-----= Ω2=

ω θ π2----- α–= Ω1=

γ dωdθ--------- θsin≡

e ϕ , e r , e θ( )

γ r dωdz

----------≡

e θ , e z , e r( )



Tableau 4 – Viscosimétrie

Type d’écoulement

Schéma HypothèsesCinématique et gradient de vitesse

à la paroiFonctions viscosimétriques

Glissementsimple

v1 = γ x 2

v 2 = v 3 = 0v1(x2 = h ) = Vv1(x 2 = 0) = 0pg = Cte

Écoulement établi entre deux plans parallèles

v1 = u (x2)v 2 = v 3 = 0u (± h ) = 0

Écoulement établi dansun tubecylindriqueà base circu-laire(Poiseuille)

v1 = u (x 2 ≡ r )v 2 = v 3 = 0u (R ) = 0

base physique

v 1 vh----- x 2=

γ Vh-----=

γ dudx 2-----------≡

u x 2( ) 1∆pg

L------------

-------------- ∆pg

L---------- x 2

∆pg

L----------- h

= λ S ( ) d S

γ

x

2

h

±

=

( )

3

Uh

--------

23

----

13

----+

∂

ln

3Uh

--------∂ ln ∆pg

L----------- h

------------------------------=

q

v

2

∆ p g L

-----------

2 ---------------------

0

∆

p

g

L

-----------

h

=

S

λ

S

( )

d

S

λ

∆

p

g

L

-----------

h

12

∆

p

g

L

--------------

h

2

-----------------------=

∂qv

------- ∆pg

L-----------2

∂ ∆pg

L-----------

-------------------------------------------×

γ dudr

--------≡

ez , e r , e θ( )

u r( ) 2∆pg

L-----------

------------- ∆pg

L---------- r

2-----

∆pg

L----------- R

2----

= λ S( )dS

UR-----

qv

πR 3----------

1

R2-----

∆pg

L-----------3

---------------------------0

∆pg

L----------- R

2----

= = S2λ S( )dS

γ r R=( ) 4UR

-------- 34----

14----+

∂ 4UR

--------ln

∂ ∆pg

L----------- R

2-----ln

-------------------------------------=

λ ∆pg

L----------- R

2-----=

qv8π

∆pg

L-----------3

----------------------0

∆pg

L----------- R

2-----

= S2λ S( )dS

λ R2-----

∆pg

L----------- 1

πR 3 ∆pg

L-----------2

--------------------------------=

∂ qv ∆pg

L-----------3

∂ ∆pg

L-----------

----------------------------------------×



Écoulementde Couette

v1 = ω (x2 ≡ r )v 2 = v 3 = 0ω (R1) = Ω1ω (R2) = Ω2

base physique

∆Σrr = Σrr (r = R2) – Σrr (r = R1)

avec γ = n1 (S ).

• si :

approximation directedes intégrales

• si :

d’où

d’où

Écoulement cône-plan

v1 = ω (x3 = θ)v 2 = v 3 = 0

∆Ω = Ω2 – Ω1

base physique

formules approchées sans inertie, α petit :

•

•

formules approchées sans inertie, α petit :

• couple lorsque

le jeu de mesure est rempli de fluide jusqu’au rayon R où se trouve une surface libre à la pression ambiante

• force normale résultante de maintien :

Tableau 4 – Viscosimétrie (suite)




γ r dωdr

----------≡

e θ , e r , e z( )

ω r( ) Ω1–12----- M

2πr 2-------------

M

2πR 12

---------------

=λ S( )

S------------- dS

γ R1∆Ω

R2 R1–------------------ si β 1≈≈

∆Ω Ω2 Ω1–12--- M

2πR 22

-------------

M2πR 1

2-------------

= =λ S( )

S-------------dS

2M ∂∆Ω∂M

------------ λ M

2πR 12

------------- λ M

2πR 22

-------------–=

R1

R2

ρrω2dr M

2πR 12

-------------

M2πR 2

2-------------

––=n1 S( )

2S-------------dS

R1

R2--------2

β 1≈=

β1

Γ S1( ) Γ M

2πR 12

---------------- 2M ∂∆Ω∂M

---------------≡ ≡

λ S1( ) Γ βn S1( )n 0=

∞

∑=

ψ S1( ) ψ M

2πR 12

----------------=

M ∂∂

M ---------- M

2

π

R

12

---------------

M

2

π

R

22

---------------

n

1

S

( )

S ---------------- d S –=

n1 S1( ) ψ βnS1( )n 0=

∞

∑=

ω θ π2----= Ω2=

ω θ π2---- α–= Ω1=

γ dωdθ--------- θsin≡

e ϕ , e r , e θ( )

ω ∆Ωα

----------- θ π2-----– Ω2+≈

γ ∆Ωα

-----------≈

M 2π3

--------- R 3 τ γ( )=

Σθθ r( ) Σθθ R( )–

N1 γ( ) 2N2 γ( )+[ ] ln rR-----=

F πR 2

2------------ N1 γ( )=



Supposons à titre d’exemple qu’on ne provoque pas d’écoulementstationnaire mais que l’on se contente de maintenir le fluide au reposjusqu’au temps t0 , puis qu’on impose brusquement, à partir dutemps t0 une déformation constante d’amplitude modérée. On auraen considérant les instants t > t0 :

G (t, τ) = 0 pour τ > t0

G (t, τ) = A tenseur constant, pour τ < t0

Si les contraintes de viscosité sont convenablement représentéespar la loi :

leur évolution postérieure au temps t0 s’exprime simplement par :

Cette expérience de relaxation donne alors accès à la fonction derelaxation des contraintes F (t – t0 ) :

d’où on en déduira :

Signalons pour terminer les expériences de fluage dans lesquelleson maintient des contraintes pour observer les déformations qui s’ensuivent. Elles présentent l’inconvénient de ne pas être contrôlableset de réaliser des histoires de la déformation non déterminées, maispeuvent conduire à des résultats pour des lois de comportement par-ticulières choisies à l’avance.

4.7 Écoulements à HDPCnon viscosimétriques

Les écoulements à HDPC non viscosimétriques présentant unintérêt pratique sont en nombre limité.

4.7.1 Écoulements d’élongation

Dans ces écoulements, caractérisés par N = NT, le fluide simplele plus général se comporte comme les fluides de Reiner-Rivlin vusau paragraphe 2, et se trouve donc caractérisé par les fonctionsextensiométriques déjà introduites.

Écoulementde torsion

v1 = ω (x2 = z )v 2 = v 3 = 0ω (x2 = 0) = Ω1ω (x2 = h ) = Ω2∆Ω = Ω2 – Ω1

base physique

formules approchées sans inertie :

•

•

formules approchées sans inertie :• couple appliqué :

• force normale résultante demaintien :

•

•

Tableau 4 – Viscosimétrie (suite)




γ r dωdz

----------≡

e θ , e z , e r( )

ω ∆Ωh

----------- z Ω1+=

γ r ∆Ωh

-----------≈

Σzz r( ) Σzz 0( )– N2 γ( )=

M 2π

∆Ωh

-----------3---------------------

0

R∆Ωh

--------------= γ 2 τ γ( ) dγ

0

γ r ∆Ωh

----------=N1 ζ( ) N2 ζ( )+

ζ------------------------------------- dζ+

F π

∆Ωh

--------2----------------=

0

R∆Ωh

------------

γ N1 N2–( )dγ

τ R∆Ωh

------------ M2πR 3------------- 3

∂ ln M2πR 3-------------

∂ lnR∆Ωh

---------------------------------+ =

N1 R∆Ωh

--------------- N2 R∆Ωh

---------------–

FπR 2------------ 2

∂ ln FπR 2------------

∂ ln R∆Ωh

---------------------------------------+ =

T t( ) 0

∞

f s( ) G t, t s–( )ds=

T t( ) At t0–

∞

f s( ) ds=

F t t0–( ) t t0–

∞

f s( )ds–≡

dF s( )ds

------------------- f s( )=



Puisque N est symétrique, il existe une base orthonormée danslaquelle la matrice des composantes de kN peut s’écrire sous formediagonale :

avec d1 + d2 + d3 = 0,

et .

L’isotropie de la loi de comportement pour :

permet comme pour les écoulements viscosimétriques de déter-miner quelles contraintes sont nulles, par rapport à la base ortho-normée. On trouve :

ce qui conduit à introduire les deux fonctions extensiométriques :

Σ11 – Σ22 = NE1 (d1, d2 , d3)

Σ22 – Σ33 = NE2 (d1, d2 , d3)

avec d1 + d 2 + d 3 = 0.

La réalisation expérimentale de ces écoulements, délicate, faitappel aux élongations uniaxiale ou bidimensionnelle vues au para-graphe 2.7.3. On peut aussi les réaliser localement et de façonapprochée à l’aide d’écoulements directement empruntés auxapplications comme le filage ou les convergents.

L’intérêt de l’élongation provient de son incidence dans les écoule-ments réels, mais aussi du test qu’elle fournit pour les lois decomportement. Ainsi, les lois qui, comme la loi de Maxwell, four-nissent une viscosité d’élongation infinie pour un gradient déterminéne conviennent absolument pas pour représenter un fluide dans unécoulement réel où se produisent des élongations à des valeurscomparables à ce gradient. Les calculs donnent alors des phéno-mènes catastrophiques qu’il faut attribuer à un choix de la loiinadapté.

4.7.2 Rhéomètre orthogonal ou de Maxwell

Cet écoulement déjà évoqué au paragraphe 4.6.2 fournit unmoyen de mesure de la viscosité complexe mais c’est surtout undes rares écoulements à HDPC non viscosimétriques réalisable. Ilappartient au groupe N0 non nilpotent et non symétrique.

Il s’agit de l’écoulement entre deux disques parallèles, tournantà la même vitesse angulaire Ω autour d’axes différents, représentéfigure 13.

Posons le champ des vitesses en coordonnées cartésiennes :

u = – Ωy + Ω (e /h )z v = Ωx w = 0

on obtient le gradient de la vitesse :

et on trouve que le tenseur C vaut .

Utilisant l’isotropie de la loi de comportement on montre que lescontraintes s’expriment à l’aide de cinq fonctions matériellesseulement, de Ω (e /h ) et Ω2 (e /h ) et que ces fonctions satisfont àdes propriétés particulières de parité.

Le champ des contraintes étant homogène, on est conduit àdevoir négliger l’inertie pour que l’écoulement soit compatible. Lesefforts sur les disques sont mesurables et sont simplement propor-tionnels aux fonctions matérielles.

Quand on se limite à (e /h) petit, c’est-à-dire approximativementinférieur à 0,1, la mesure des forces Fx et Fy , qu’il faut appliquerau disque supérieur dans la direction de x et dans la direction de y,donne la viscosité complexe :

4.8 Mécanique expérimentaledes fluides simples

4.8.1 Remarques générales

Du point de vue dimensionnel on peut faire des remarquessemblables à celles du paragraphe 2.6.6, la loi des fluides deReiner-Rivlin devenant maintenant un cas particulier. En effet, la loide comportement d’un fluide simple peut s’écrire à l’aide d’unefonctionnelle adimensionnelle :

Elle conduira donc à introduire pour chaque fonctionnelle ,

outre une liste de paramètres adimensionnels βi , un nombre deReynolds :

et un paramètre adimensionnel de temps :

ou pour un écoulement instationnaire d’échelle de temps T0.

kN

d1 0 0

0 d2 0

0 0 d3

=

k d 12 d 2

2 d 32

+ +=

Q1 0 00 1 00 0 1–

=

ΣΣ11 0 0

0 Σ22 0

0 0 Σ33

=

L0 Ω– Ω e /h( )Ω 0 00 0 0

=

C t, t s–( ) e sLT– e sL–=

Figure 13 – Écoulement du rhéomètre orthogonal ou de Maxwell

η he Ω----------- 1

πR 2------------- Fx iFy–( )=

Tµt0------- C t

t0------- , t s–

t0-------------+=

+

ReρVL

µ-------------=

αt0VL

------------=

t0

T0--------



Pour certaines applications, des groupements particulierscomme :

avec ,

sont susceptibles d’apparaître. On leur donne aisément un sensphysique, Re étant un rapport d’efforts d’inertie et de viscosité,α un rapport d’efforts élastiques et visqueux ou bien l’efficacité dela mémoire du fluide dans l’écoulement considéré.

Lorsque les effets de mémoire ont une influence néfaste sur unprocessus industriel, par exemple parce qu’ils entraînent des insta-bilités comme dans le filage, une solution possible évidente seratoujours de réaliser un α petit devant 1, ce qui souvent imposeraun ralentissement du régime de fonctionnement.

En ce qui concerne la résolution des équations du mouvement,l’introduction de la pression motrice pg et l’élimination du nombrede Froude, se font comme en fluide newtonien. Par contre, le

terme en est à l’origine des difficultés : en général il n’est pas

linéaire en et on ne sait qu’en donner une approximation parune loi particulière valable pour certaines conditions d’écoulementprécises.

Aux faibles nombres de Reynolds, l’approximation de Stokes oul’approximation d’Oseen [3] permettent en fluide newtonien detravailler sur des équations linéaires, parce qu’elles suppriment oulinéarisent les termes d’inertie, seules non-linéarités. Pour un fluidesimple, le fait de négliger l’inertie n’entraîne pas obligatoirement lalinéarisation de la loi de comportement, qui est un problème séparé.

Aux grands nombres de Reynolds, le terme n’est plusnégligeable à coup sûr comme en fluide newtonien où l’on al’approximation des fluides parfaits. D’ailleurs les écoulementsirrotationnels de fluides parfaits ne sont plus automatiquement

solutions des problèmes d’écoulement réels, car

n’entraîne plus . Ils sont applicables seulement si on peut

supposer .

En régime turbulent, c’est la non-linéarité de l’inertie qui conduità introduire les contraintes de Reynolds dans l’équation du

mouvement moyen . Mais ici, le

tenseur des contraintes de viscosité T, non-linéaire en , va intro-

duire lui aussi des termes complémentaires .

4.8.2 Observation expérimentaledes effets de contrainte normaleet de relaxation

Nous allons rappeler quelques unes des observations expérimen-tales, incompréhensibles en mécanique des fluides traditionnelle,que l’on peut faire en utilisant des fluides simples relativement variés(par exemple des solutions de polyméthylméthacrylate, de laurated’aluminium, de gomme de silicone, de polyisobutylène, de car-boxyméthycellulose, d’hydroxyéthylcellulose, de polyoxyéthylène,de polyacrylamide, etc. ; des fluides organiques comme la synovie,des polymères fondus, etc.) et qui sont abondamment décrites dansla bibliographie. Toutefois, nous n’allons pas reprendre ici leséléments exposés précédemment et qui conduisent à la mesure desdifférentes fonctions matérielles.

Lorsqu’on fait tourner un cylindre, qui peut être l’axe d’unmélangeur ou le rotor d’un viscosimètre de Couette, dans unrécipient de fluide, on voit le fluide monter comme sur la figure 14le long de cet axe, pour le recouvrir en formant une couche dontla hauteur et la forme peuvent servir à caractériser les propriétésmécaniques du fluide, connaissant sa tension superficielle et lesparamètres de l’expérience. Les calculs sur l’écoulement de Couettedéjà présentés permettent de constater l’incidence des contraintesnormales sur la répartition des pressions et l’impossibilité del’écoulement à surface libre horizontale.

Lorsqu’on fait tourner un corps qui peut encore être unmélangeur dans un récipient de fluide newtonien, le fluide arriveau corps par les pôles et le quitte dans un plan équatorial : on a unécoulement secondaire dû aux forces d’inertie, superposé à la rota-tion d’ensemble du fluide.

Du fait de l’existence des contraintes normales, le mouvementinverse représenté figure 15 peut être observé.

αRe---------

µt0

ρL2------------=

αReρV 2t0

µ------------------- V 2

V02

----------= =

V0µ

ρt0-----------≡

div Σ

V

div Σ

rot V 0=

div Σ 0=

div Σ ρΓ

ρΓ grad div T ρ v ′v ′–( )+–=

V

T T (V )–

Figure 14 – Ascension d’un fluide le long de l’axe (effet Weissenberg)

Figure 15 – Écoulement d’un fluide autour d’un corps en rotation



L’écoulement de Poiseuille par droites parallèles est possible dansun tube de section circulaire comme nous l’avons vu. Mais lorsquele tube a une section différente, on démontre l’impossibilité dumouvement par droites parallèles et l’existence d’écoulementssecondaires, résultat confirmé par l’expérience.

La stabilité des écoulements est modifiée. On observe notammentdans les solutions concentrées que des tourbillons apparaissentdans l’écoulement de Couette entre deux cylindres concentriquesà des vitesses de rotation plus faibles jusqu’à 1 à 2 ordres de grandeurque pour des fluides newtoniens de viscosité comparable.

Lorsqu’un fluide newtonien, en écoulement établi dans un tube,arrive à l’extrémité de ce tube, il forme un jet dont le diamètre varieselon les conditions d’écoulement autour du diamètre du tube. Parcontre avec un fluide simple on observe un gonflement du jet dontle diamètre peut atteindre deux à trois fois le diamètre du tube,comme sur la figure 16. Un bilan des quantités de mouvement àla sortie d’un écoulement de Poiseuille met en évidence le rôle jouépar les contraintes normales dans le gonflement.

On voit l’incidence de ce phénomène sur la dimension des pro-duits obtenus par filage, à condition d’observer que la filière étanttoujours courte, des effets de mémoire viennent se superposer augonflement proprement dit.

L’écoulement dans le convergent des filières est d’ailleursbeaucoup plus complexe qu’en fluide newtonien. Il s’effectue engénéral seulement sur l’axe de la filière, un tourbillon torique degrande dimension prenant naissance sur les bords (figure 17).

Des instabilités de l’écoulement, néfastes en général pour lesapplications, apparaissent aux régimes élevés.

Il faut citer enfin un grand nombre encore de phénomènes, commele gonflement de la surface libre dans un canal, le siphonage sanstube, l’effet Uebler, la forme ou le rebondissement des fils fluides,mais surtout les erreurs de mesure de la pression statique que nousallons traiter séparément à cause de leur importance pratique.

4.8.3 Erreurs de mesure de la pression statique

On trouve dans la bibliographie la description des différentessources d’erreurs en viscosimétrie : erreurs d’inertie, d’entrée,d’échauffement, de non-linéarité, erreurs liées aux défauts dumatériel également. Mais il se trouve aussi que les mesures decontraintes normales de certains expérimentateurs ont pendantune décade été faussées par un fait nouveau : un orifice de prisede pression statique relié à un capteur ou à un manomètre par uncircuit fluide ne permet pas de mesurer la pression statique. Ce faitillustre bien que l’utilisation des moyens traditionnels de lamécanique des fluides doit être repensée en termes nouveauxquand il s’agit de fluides non-newtoniens.

En effet, pour mesurer p0 la pression statique exercée par unfluide sur une paroi, on perce un trou de petite dimension dans laparoi et on le relie à un instrument qui indique une pression ,lorsque l’équilibre est atteint au bout d’un temps suffisant.

En fluide newtonien on constate expérimentalement (après cor-rection des hauteurs de colonne) que diffère très peu de p0 , et

devient exactement égal à p0 lorsque l’écoulement est lent.

En écoulement lent de fluide non-newtonien, on réussit à montrerque :

où N1(τ) et N2(τ) sont les différences de contraintes normales dansun glissement simple où le cisaillement est τ ; τ0 le cisaillement àla paroi ; ρ′ et ρ′′ les rayons de courbure principaux d’une surfacede courant sur l’axe du trou.

On en déduit une estimation des erreurs pour un orifice circu-laire et une fente parallèle à l’écoulement ou perpendiculaire àl’écoulement, successivement :

Des expériences qui ont consisté à mesurer en utilisant unorifice circulaire et p0 en utilisant un capteur affleurant à la paroiont donné :

et des résultats indépendants du diamètre du trou. Il est intéressantde remarquer que ce résultat correspond assez bien aux calculs quel’on peut faire directement ou à l’aide de l’expression précédentede dans l’approximation des fluides du second ordre.

4.8.4 Solutions des problèmes d’application

Outre les écoulements dont la solution figure dans le présent texte,tous les écoulements connus en fluide newtonien ont déjà étéabordés en fluide non-newtonien. C’est bien sûr pour les fluidespurement visqueux (§ 2) que le plus grand nombre de solutions aété obtenu y compris avec échange thermique : c’est le cas le plussimple à résoudre et il correspond effectivement à beaucoup deproblèmes d’application où il faut essentiellement rendre comptedes variations de viscosité avec le gradient de vitesse.

Figure 16 – Gonflement d’un jet en fluide non-newtonien

Figure 17 – Écoulement convergent à l’amont d’un orifice

p

p

p p0– 0

τ0N1

ρ′---------

N2

ρ′′---------–

2ρ′------ 1

ρ′′--------+

---------------------------- dττ

--------–≈

p p0– 0

τ0 N1 N2–

3τ----------------------- dτ ;

0

τ

0

N 2 d ττ

--------- ; 0

τ

0

N

1

2 --------- d τ

τ ---------––=

p

p p0– N

1 τ

0

( ) 5 ---------------------– ≈

p p0–



Quant aux moyens ils vont de la solution analytique lourde, auxcalculs grossiers de remplissage de moules, de recouvrement defils, de mélangeurs, ou d’échappement d’extrudeuses à vis ; enpassant par le calcul numérique.

Mais le point essentiel au niveau de ce chapitre est de savoir choisir(ou éventuellement développer), parmi les solutions connues, cellequi est construite avec une loi de comportement réaliste pour l’appli-cation visée, c’est-à-dire pour le couple fluide – écoulement donné.

Rappelons à cette fin que, quel que soit le fluide simple utilisé,si l’écoulement est essentiellement un écoulement de glissementstationnaire on pourra souvent utiliser le modèle des fluides deReiner-Rivlin. Si l’écoulement est lent et lentement variable, la loide comportement des fluides du second ordre constitue uneapproximation valable.

Les lois de comportement intégrales peuvent permettre d’obtenirdes résultats raisonnables dans des cas plus compliqués. Enfin pourdes problèmes d’application on essaie souvent d’utiliser les modèlessimplifiés de Maxwell ou d’Oldroyd.


Do

c. A

71

0

5

- 19

79

POUR

EN

S

Fluides non-newtoniens

par Jean-Michel PIAUIngénieur des Arts et ManufacturesDocteur ès SciencesMaître de Conférences à l’Institut de Mécanique de Grenoble

AVOIR

PLUS

BibliographieRéférencesEn français

[1] Polymères et lubrifications. Colloque inter-national du CNRS, no 233, 478 p., Ed. CNRS(1975).

[2] GERMAIN (P.). – Cours de mécanique desmilieux continus. Tome 1 : Théorie générale.436 p., 104 fig., Masson et Cie (1973).

[3] TRUESDELL (C.). – Introduction à lamécanique rationnelle des milieux continus.367 p., Masson et Cie (1974).

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Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics.

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