Concours CGenial

Lycée Français de Berlin

2018

Les fluides non-newtoniens :entre liquide et solide

Wim Poignon 12S1Agnès Totschnig 12S2

Professeur encadrant :M. Sordelet

Table des matièresIntroduction 2

1 Étude de la viscosité d’un fluide 21.1 Introduction à la mécanique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Définition de la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Comportement rhéologique des fluides newtonien et non-newtonien . . . . . 3

1.2 Un exemple de fluide rhéoépaississant : le mélange eau maïzena . . . . . . . . . . . 61.2.1 Expérience illustrative du phénomène rhéoépaississant . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Explication du phénomène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Influence de la concentration de maïzena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Mesure de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Principe du viscosimètre à chute de bille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.2 Fonctionnement d’un capteur à effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3 Mesure de la viscosité du mélange eau-maïzena . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.4 Amélioration du viscosimètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Amortissement d’un choc par absorption d’énergie 142.1 Mesure de la dissipation d’énergie par le rebond d’une bille . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Mesure de l’impact avec un capteur piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 L’effet piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Mesure de la déformation liée au choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Élaboration d’un prototype de bonnet protecteur 173.1 Modélisation et construction du prototype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Durabilité du mélange eau-maïzena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Problème de fermentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2.2 Solution au problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Influence de la température sur la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Empêcher l’écoulement avec un fluide de Bingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5 Sédimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Conclusion 22

Remerciements 23

Références 23

1

IntroductionDans la vie quotidienne, nous observons que les fluides qui nous entourent ont des compor-

tements très divers et étonnants. Le dentifrice, par exemple, ne veut pas sortir de son tube tantqu’on ne le soumet pas à une pression suffisante. Il en est de même pour le ketchup, qui devienttout d’un coup très liquide et jaillit de la bouteille. Ou peut-être connaissez vous le slime, qui estdevenu une réelle célébrité du web grâce à ses propriétés physiques hors du commun ?

Dans ce projet, nous étudierons les propriétés rhéologiques du mélange de l’eau avec de la féculede maïs, habituellement utilisée en cuisine pour épaissir les sauces. Nous tenterons de répondre auxquestions suivantes : Comment s’explique ce phénomène rhéoépaississant et permet-il d’amortir unchoc ? Comment peut-on se servir de ces caractéristiques pour réaliser un bonnet liquide au repos,qui durcit sous l’effet d’un impact pour protéger la tête ?

1 Étude de la viscosité d’un fluide

1.1 Introduction à la mécanique des fluides

1.1.1 Définition de la viscosité

Par opposition à un solide, on définit un fluide comme étant une matière déformable. Cettedéfinition regroupe les liquides, les gaz et les plasmas. La rhéologie, qui vient du grec rheo couleret logos l’étude, constitue la branche de la mécanique des fluides qui étudie la déformation etl’écoulement des fluides lorsqu’ils sont soumis à une force.

Afin de caractériser le comportement d’un fluide sous cisaillement, on place une couche du fluideentre deux plaques parallèles, d’aire A et espacées d’une distance h, formant ainsi une cellule decisaillement. On applique une force F à la plaque supérieure, qui se déplace alors à la vitesse V :

Crédit: Etienne Lemaire, Université Bordeaux I

Figure 1 – Cellule de cisaillement plan-plan

On peut modéliser le fluide comme un empilement de couches qui glissent les une par rapport auxautres, ce qui exerce une contrainte au niveau de la surface de séparation entre les couches. Cettecontrainte de cisaillement τ , exprimée en pascals (Pa), est le rapport entre la force F appliquéeet l’aire A de la surface. Comme on peut le remarquer sur la figure de gauche, la répartition desvitesses suit une loi linéaire. On définit alors le gradient de vitesse, également nommé taux decisaillement γ̇, exprimé en s−1, comme étant le quotient de la vitesse V de la plaque supérieurepar la distance inter-plaques h. La viscosité η, exprimée en Pa · s ou en poiseuille (Pl), relie alorsla contrainte au taux de cisaillement :

η =τ

γ̇

Ainsi la viscosité est une grandeur permettant de quantifier la résistance à l’écoulement d’un fluide.

2

Pour étudier l’écoulement de fluides aux viscosités différentes, nous avons réalisé l’expérience duplan incliné (fig. 2) : nous déposons quelques gouttes d’eau, colorée en bleu pour plus de visibilité,(à gauche) et d’huile (à droite) sur une plaque de verre inclinée à 45◦.

Figure 2 – Plan incliné

On observe que la goutte d’eau s’écoule très rapidement, alors quela goutte d’huile glisse doucement. Cette différence s’explique par lefait que l’huile, bien que moins dense, est plus visqueuse que l’eau etadhère donc plus à la paroi en verre.On remarque également une différence dans la forme de la goutte(fig. 3) : la goutte d’eau est plus aplatie que la goutte d’huile pluspointue.

Figure 3 – Gouttes d’eau (a) et d’huile (b)

Cette différence de forme s’explique par le régime d’écoulement des deux fluides :— Pour la goutte d’huile, les forces de frottement liées à la viscosité sont assez importantes

pour assurer la cohésion des couches parallèles : l’écoulement est laminaire (fig. 4.a).— Pour la goutte d’eau, cependant, les forces de frottement ne suffisent pas et les lignes d’écou-

lement deviennent chaotiques : l’écoulement est turbulent (fig. 4.b).

Crédit: fr. wikipedia. org/ wiki/ Écoulement_ laminaire

Figure 4 – Modèle d’écoulements laminaire (a) et turbulent (b)

Nous pouvons donc dire que la viscosité caractérise la vitesse et le régime d’écoulement d’un fluide.

1.1.2 Comportement rhéologique des fluides newtonien et non-newtonien

Nous nous intéresserons uniquement aux fluides dont la viscosité est indépendante du temps.Parmi ceux-ci nous distinguons deux types : les fluides newtoniens et non-newtoniens.

Pour les fluides newtoniens, la contrainte est proportionnelle au taux de cisaillement. Leurviscosité est donc constante. La plupart des fluides usuels, tels que l’eau et l’huile, sont des fluidesnewtoniens.

Pour les fluides non-newtoniens, la contrainte n’est pas proportionnelle au taux de cisaillement.Leur viscosité, que l’on qualifie alors de viscosité apparente, n’est donc pas constante, mais dépenddu taux de cisaillement. Lorsqu’elle diminue quand le taux de cisaillement augmente, on parle defluide rhéofluidifiant. Inversement, lorsqu’elle augmente quand le taux de cisaillement augmente,on parle de fluide rhéoépaississant. Pour certains fluides, dits fluides à seuil, le taux de cisaillementreste nul tant que la contrainte n’atteint pas une certaine valeur.

3

Les courbes d’écoulement (fig. 5), qui donnent la contrainte de cisaillement (à gauche), ou defaçon équivalente la viscosité (à droite), en fonction du taux de cisaillement, résument ces différentscomportements :

Crédit: http ://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr

Figure 5 – Rhéogrammes des fluides (a) rhéo-fluidifiant, (b) newtonien, (c) rhéo-épaississants et(d) à seuil

Pour étudier ces comportements de façon expérimentale, nous avons choisi le sirop à la menthecomme fluide newtonien, le ketchup comme fluide rhéofluidifiant et le mélange eau-maïzena commefluide rhéoépaississant.

On place un entonnoir, fixé par une potence, au-dessus d’unbécher posé sur une balance. On met 100g du fluide, à tem-pérature ambiante, dans l’entonnoir, puis on filme la vitesseà laquelle s’écoule le fluide.

À partir de ces données, nous traçons la courbe qui donne l’évolution de la masse écoulée, i.e.qui se trouve déjà dans l’entonnoir, en fonction du temps. La dérivée par rapport au temps nousdonne alors le débit massique. Dans le cadre de notre expérience la contrainte provient du poidsdu fluide qui se trouve encore dans l’entonnoir. Elle diminue donc au cours de l’écoulement.

Pour notre fluide newtonien (fig. 6), le sirop de menthe, on observe que le débit diminue avec letemps. Le taux de cisaillement reste donc proportionnel à la contrainte qui diminue au fur et àmesure que l’entonnoir se vide, c’est-à-dire que la viscosité reste constante.

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

Temps (en s)

Masse

(eng)

0 2 4 60

5

10

15

20

Temps (en s)

Débit(eng/s)

Essai 1Essai 2Essai 3Essai 4

Figure 6 – Courbes d’écoulement du sirop

4

Le débit de notre fluide rhéofluidifiant (fig. 7), le ketchup, diminue beaucoup au cours du temps,c’est-à-dire que son écoulement devient de plus en plus lent. C’est également la raison pour laquellenous n’avons pas pu continuer les mesures jusqu’à la fin. On en conclut que le ketchup devient deplus en plus visqueux, i.e. qu’il est le moins visqueux au début lorsque la force appliquée est laplus grande.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

Temps (en min)

Masse

(eng)

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

1.5

2

Temps (en min)

Débit(eng/s)

Figure 7 – Courbes d’écoulement du ketchup

Le débit de notre fluide rhéoépaississant (fig. 8), le mélange eau-maïzena, reste constant au coursde l’écoulement, c’est-à-dire que la vitesse d’écoulement ne varie pas, alors que la force appliquéediminue. On en conclut que le fluide devient de moins en moins visqueux, i.e. qu’il est le plusvisqueux au début lorsque la force appliquée est la plus grande.

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

Temps (en s)

Masse

(eng)

0 20 40 60 80 1000

0.5

1

Temps (en s)

Débit(eng/s)

Essai 1Essai 2

Figure 8 – Courbes d’écoulement du mélange eau-maïzena

À l’occasion d’un partenariat avec la TechnischeUniversität Berlin, nous avons pu mesurer la vis-cosité de notre mélange pour différents taux decisaillement à l’aide de rhéomètres. Nous remar-quons en effet que la viscosité augmente avecle taux de cisaillement, comme le prévoyait lacourbe théorique pour les fluides rhéoépaissis-sants. 5 10 15 20 25 30 35

0

5

10

Taux de cisaillement γ̇ (en s−1)

Viscositéη(en10−2Pa·s)

Nos expériences nous ont donc bien permis de retrouver les comportements des différents typesde fluides décrits par la théorie. Par la suite nous allons nous intéresser plus précisément au fluiderhéoépaississant que constitue le mélange de maïzena avec de l’eau.

5

1.2 Un exemple de fluide rhéoépaississant : le mélange eau maïzena

1.2.1 Expérience illustrative du phénomène rhéoépaississant

Nous venons de voir que le mélange eau-maïzena est un fluide rhéoépaississant, c’est-à-dire quesa viscosité augmente lorsque la force qui lui est appliquée augmente.

Une expérience très visuelle qui met en évidence ce phénomène consiste à faire tomber une billesur le fluide depuis une certaine hauteur, ainsi que de la poser doucement dessus.

Dans le premier cas, la bille atteint le fluide avec une vitesse élevée (photo 1). Sous l’effet de cettecontrainte, le fluide se « solidifie », i.e. sa viscosité augmente drastiquement, et fait rebondir labille (photo 2). Cependant, dans le deuxième cas, la bille atteint le fluide avec une vitesse nulle(photo 3). Le fluide se comporte alors comme un liquide et laisse s’enfoncer la bille (photo 4).

1.2.2 Explication du phénomène

Pour expliquer ce phénomène rhéoépaississant, nous avons observé le mélange eau-maïzena aumicroscope (fig. 9).

10 µm

Figure 9 – Maïzena au microscope

Nous remarquons que des agrégats de maïzenad’une taille entre 5 et 15 µm se sont formés. Cesgrains ne sont pas solubles dans l’eau, on dit qu’ilssont hydrophobes. On ne peut donc pas parler desolution, mais de suspension colloïdale. Au repos,l’eau circule librement entre les grains, mais, lors-qu’une force est exercée, l’eau est expulsée et lesgrains se rapprochent, ce qui explique l’aspect so-lide du fluide.

Par abus de langage, nous utilisons le nom de Maï-zena, qui est en fait celui d’une marque, pour dé-signer l’amidon de maïs. Ce glucide complexe estconstitué de deux polymères composés d’unités D-glucose : l’amylose et l’amylopectine. Cette dernièremolécule, qui représente environ 75 % de l’amidonde maïs, a une structure très ramifiée (fig. 10), cequi nous laisse supposer que l’eau ne peut pas bienpénétrer dans la molécule pour la dissoudre. Celaexpliquerait pourquoi des agrégats hydrophobes seforment.

Crédit: www.curieusecuisine.wordpress.com

Figure 10 – Structure de l’amylopectine

6

O

OH

OH OH

O

Figure 11 – Unité de D-glucose

Cependant en regardant plus précisément les unités deD-glucose (fig. 11), dont ces molécules sont composées,nous remarquons que des liaisons hydrogène peuventse former avec l’eau, grâce aux nombreux groupes hy-droxyles. Nous émettons donc la conjecture que lesmolécules d’eau sont reliées à l’amidon par des liai-sons hydrogène aux bords des agrégats, formant ainsiune enveloppe qui permet plus de fluidité. Alors lors-qu’une force est appliquée, l’énergie apportée est uti-lisée pour briser ces liaisons, d’environ 15 kJ · mol−1.Cette capacité d’absorption d’énergie fait du mélangeeau-maïzena un bon amortisseur, ce que nous étudie-rons dans la partie 2.

1.3 Influence de la concentration de maïzena

Dans la partie 1.1.2, nous avons vu que le débit du mélange eau-maïzena reste constant aucours de l’écoulement. Cependant, le débit varie en fonction de la concentration de maïzena, cars’il n’y a pas assez d’eau, qui assure la fluidité du mélange, le fluide s’écoule plus lentement. Nouscherchons donc à savoir quelle est la concentration optimale en maïzena, c’est-à-dire un mélangeau débit faible mais tout de même liquide. Nous avons réalisé la même expérience (fig. 12) quedans la partie 1.1.2 pour différentes concentrations en maïzena.

Figure 12 – Montage de l’écoule-ment du mélange eau-maïzena

En général, nous constatons qu’en effet le débit ne varie pas enfonction du temps. Cependant à partir d’une concentrationtrop élevée (fig. 13), environ 1,4 kg de maïzena pour 1 Ld’eau, l’écoulement est trop lent et la décantation du mélangeentraîne une forte diminution du débit.

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

5 · 10−2

0.1

0.15

0.2

Temps (en s)

Débit(eng/s)

Figure 13 – Courbe d’écoulement à forte concentration demaïzena

Nous avons fait sept mesures pour des concentrations allant de 0,7 kg à 1,3 kg de maïzena parLitre d’eau, avec un pas de 0,1 kg · L−1. En traçant à chaque fois la courbe d’écoulement, nousavons calculé le débit moyen, qui est le coefficient directeur de la droite de régression linéaire de nosvaleurs. Nous résumons cela par la courbe donnant le débit moyen en fonction de la concentrationde maïzena (fig. 14).

7

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30

5

10

15

Masse de maïzena (en kg) par litre d’eau

Débitmoyen

(eng/s)

Figure 14 – Influence de la concentration

Nous en concluons que le débit moyen di-minue fortement, c’est-à-dire que la visco-sité augmente, lorsque la concentration demaïzena augmente, jusqu’à ce qu’elle dé-passe environ 1,1 kg · L−1. Au delà, le débittend lentement vers zéro. Nous choisissons laconcentration de 1,3 kg · L−1, car au reposle fluide a un comportement liquide et peuts’écouler, mais sous contrainte il devient en-tièrement solide.

Nous voudrions calculer la concentration massique de maïzena d’un tel mélange. Pour cela, nousavons commencé par mesurer la masse volumique de ce mélange. Pour un volume V = 100 mL,nous avons trouvé une masse m = 119, 5 g, ce qui nous donne :

ρ =m

V=

119, 5

100= 1, 195 kg · L−1 = 1, 195 · 103 kg ·m−3

Nous en déduisons la concentration massique de maïzena de notre mélange :

c =mmaïz

V=

mmaïzmmaïz+meau

ρ

=ρ

1 + meaummaïz

=1, 195 · 103

1 + 11,30

≈ 675 kg ·m−3

1.4 Mesure de viscosité

1.4.1 Principe du viscosimètre à chute de bille

On remplit une éprouvette graduée avec le fluide dont on veut déterminer la viscosité, puis onlâche une bille sans vitesse initiale dans le fluide. L’étude de l’évolution de la vitesse de la bille aucours de sa chute permet de calculer la viscosité du fluide. À titre d’exemple, nous commenceronspar mesurer la viscosité de l’huile de colza.Nous utilisons une bille de rayon R = 8mm et de masse volumique :

ρbille ≈ 2, 62 · 103 kg ·m−3

Nous la lâchons dans une éprouvettegraduée remplie d’huile, dont la massevolumique vaut :

ρfluide = 920 kg ·m−3

L’évolution de sa vitesse est donnée parle graphique ci-contre (fig. 15).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.2

0.3

0.4

0.5

Temps (en s)

Vitesse

(enm·s−

1)

Figure 15 – Chute d’une bille dans l’huile

Nous remarquons que la vitesse tend asymptotiquement vers une valeur d’environ 0,54 m· s−1,que nous nommons vitesse limite (voir annexe). Lorsque la bille atteint cette vitesse limite, sonaccélération est nulle. D’après la deuxième loi de Newton, nous pouvons alors dire que les forcesqui lui sont appliquées se compensent. Mais quelles sont ces forces ?

8

−→Fp

−→FA−→

Ff

~v

~g

Figure 16 – Les trois forcess’exerçant sur la bille

La bille est soumise à trois forces (fig. 16) dont la direction estverticale et dont le point d’application est le centre de la bille :

— son propre poids :−→Fp = ρbilleV ~g

— la poussée d’Archimède exercée par le fluide sur la bille :−→FA = −ρfluideV ~g

— la force de frottements, donnée par la loi de Stokes :−→Ff = −6πηR~v

Le fait que cette dernière force, qui ralentit la chute, soit pro-portionnelle à la vitesse de la bille, explique pourquoi les forcesne se compensent qu’à partir d’une certaine vitesse.

En effet, nous pouvons montrer mathématiquement que la bille atteint une vitesse limite finie.D’après la deuxième loi de Newton, nous avons :

−→Fp +

−→FA +

−→Ff = m~a⇔ ρbilleV ~g − ρfluideV ~g − 6πηR~v = ρbilleV ~a

⇔ ~a =ρbille − ρfluide

ρbille~g − 6πηR

ρbilleV~v

Or ~a =d~v

dt, ainsi nous obtenons une équation différentielle, dont un programme de calcul formel

nous donne la solution suivante :

~v(t) =ρfluide − ρbille

6πηRV ~g

[1− exp

(− 6πηR

ρbilleVt

)]Nous en concluons que la vitesse tend vers une quantité finie :

~v(t) −→t→+∞

ρfluide − ρbille6πηR

V ~g

Puisque l’accélération est nulle, lorsque la bille atteint la vitesse limite, on a :

Fp + FA + Ff = 0⇔ ρbilleV g − ρfluideV g − 6πηRvlim = 0

⇔ η =2R2

9vlim(ρbille − ρfluide)g

Pour notre huile, nous obtenons donc une viscosité de :

η =2× (8 · 10−3)2

9 · 0, 54· (2, 62 · 103 − 920) · 9, 81

≈ 0, 44 Pa · s

Ce résultat est environ 5 fois plus grand que la valeur attendue de la viscosité de l’huile. En effet,l’éprouvette n’est pas assez large et ralentit la chute de la bille.

9

1.4.2 Fonctionnement d’un capteur à effet Hall

Pour notre mélange eau-maïzena se pose à nous le problème de l’opacité du fluide, qui nousempêche de voir la bille. Dans un premier temps, nous avons essayé de localiser la bille avec desémissions dans d’autres domaines du spectre électro-magnétique, comme par exemple l’infrarouge.Cependant les ondes furent réfléchies par la surface du mélange. Nous avons donc cherché un champqui puisse traverser notre fluide. Le champs magnétique, par exemple, satisfait cette exigence.

En 1879, le physicien américain Edwin Hall découvre que :« un courant électrique traversant un matériau baignant dansun champ magnétique, engendre une tension perpendiculaire àce dernier ». Cet effet, qui porte depuis son nom, nous permetde mesurer le champs magnétique. Nous utiliserons donc unaimant permanent de forme sphérique et des capteurs à effet Hall(fig. 17), dont la tension aux bornes varie en fonction du champmagnétique, c’est-à-dire en fonction de sa norme et de sa direction.Crédit: pubs.sciepub.comFigure 17 – Fonctionnement d’un capteur à effet Hall

Pour tester notre capteur à effet Hall, un Honeywell SS495A (fig. 19), nous avons mesuré, avecun Arduino, la tension aux bornes du capteur en fonction de la distance à l’aimant (fig. 18).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

600

800

1,000

Distance entre le capteur et la bille (en cm)

Tension(enmV)

Figure 18 – Mesure du champ magnétique

Figure 19 – Capteur à effetHall et bille magnétique

Nous remarquons tout d’abord que les variations du champ magnétique, mesurées par notre cap-teur, nous permettent de localiser la bille. Cependant notre capteur mesure une variation du champmagnétique seulement lorsque la bille est à moins de 2 cm et sature lorsqu’elle s’approche de moinsde 0,5 cm. Cela ne suffit pas pour mesurer la position de notre bille dans une éprouvette de 20 cm.De plus, nous avons observé que la rotation de la bille influe beaucoup sur la tension aux bornes ducapteur. Nous placerons donc plusieurs capteurs à effet Hall au bord de l’éprouvette, pour savoirà quel moment elle passe à un endroit donné. La figure 20 donne la variation de la tension lorsquel’on passe la bille magnétique devant un capteur.

Figure 20 – Variation de tension engendrée par le passage de la bille

10

1.4.3 Mesure de la viscosité du mélange eau-maïzena

Nous plaçons 8 capteurs à effet Hall, espacés de 2 cm, sur uneplatine de montage de composants électroniques (fig. 21), quenous fixerons verticalement au bord de l’éprouvette (fig. 22),remplie de notre mélange eau-maïzena, de masse volumiqueρfluide ≈ 1, 20 · 103 kg ·m−3.

Figure 21 – Schéma des 8 capteurs avec un Arduino R© Figure 22 – Montage avecl’éprouvette

La bille magnétique, de rayon R = 5 mm et de masse volumique ρbille ≈ 7, 44 · 103 kg ·m−3, estlâchée dans l’éprouvette et nous observons les variations du champs magnétique mesurées par lescapteurs à effet Hall (fig. 23).

0 1 2 3 4 5 6 7

300

400

500

Temps (en s)

Tension(enmV) capteur 1

capteur 2capteur 3capteur 4capteur 5capteur 6capteur 7capteur 8

Figure 23 – Variation du champ magnétique au cours de la chute de la bille

En calculant la différence de temps entre les extremums de tension, nous remarquons que ceux-cisont bien réguliers et que donc la bille a bien atteint sa vitesse limite. On remarque quelques petitesirrégularités, qui peuvent s’expliquer par :

— la concentration de maïzena est tellement élevée que, lorsqu’on essaye de mélanger le fluide,il se "durcit" et rend donc difficile d’avoir un mélange bien homogène ;

— la bille se tourne un peu, ou s’approche légèrement de la paroi, lors de sa chute, commel’indique le fait que tous les capteurs n’ont pas la même tension minimale ;

— il existe une différence de viscosité entre le haut et le bas du tube, puisque notre fluide estrhéoépaississant et qu’il est soumis à son propre poids. Nous aurions aimé mesurer cette dif-férence, qui est relativement petite, mais la précision de notre matériel ne nous le permet pas.

11

Pour plus de précision, nous avons fait l’expérience 8 fois et calculé la moyenne de la différence detemps entre le 1er et le 8e capteur et l’écart-type expérimental. Ainsi nous obtenons l’incertitudede type élargie en le multipliant par le facteur d’élargissement et en le divisant par la racine carréedu nombre d’expériences. Cela nous donne le mesurage suivant :

∆t = (5, 5± 0, 2) s

L’écart-type est d’autant plus grand que les mesures sont espacées dans le temps, car nous remar-quons qu’un phénomène de sédimentation, auquel nous nous intéresserons de façon plus approfondiedans la partie 3.5, a lieu : avec le temps la concentration de maïzena augmente au fond de l’éprou-vette.

Nous en déduisons la vitesse limite vlim ≈ 2, 5 ·10−2m ·s−1. Finalement, en appliquant la formulevue dans la partie 1.4.1, nous obtenons la viscosité de notre mélange eau-maïzena :

η =2× (5, 0 · 10−3)2

9× 2.5 · 10−2· (7, 44 · 103 − 1, 20 · 10−3) · 9, 81 ≈ 14 Pa · s

La viscosité de notre mélange eau-maïzena est donc comparable à celle du miel. Notons cependant,que ce n’est qu’une viscosité apparente, puisque la viscosité de notre fluide varie en fonction de lacontrainte.

1.4.4 Amélioration du viscosimètre

Notre résultat met bien en évidence que les effets de bord ne sont pas négligeables pour uneéprouvette avec un diamètre aussi petit. Cependant, la distance maximale de la bille, que noscapteurs peuvent encore détecter, ne nous permet pas de prendre une éprouvette plus large. Pourpalier en partie à ce problème, nous avons pensé à mettre plusieurs rangées de capteurs à différentespositions autour de l’éprouvette.

Cette méthode nous permettrait, en outre, de savoir si la bille se rapproche trop d’un côté de laparoi. La rotation de la bille influant également sur le champ magnétique mesuré par nos capteursà effet Hall (fig. 24), il ne nous est pas directement possible de retrouver la position de la bille partriangulation. Cette approche nous permet tout de même de mesurer qualitativement la stabilitéde la bille au cours de sa chute.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

200

400

600

800

1,000

Distance de la bille (en cm)

Tension(enmV)

angle de 0angle de π

8angle de π

4

angle de 3π8

angle de π2

angle de 5π8

angle de 3π4

angle de 7π8

angle de π

Figure 24 – Influence de la rotation de la bille sur la mesure des capteurs à effet Hall

12

Pour fixer trois rangées de chacune 5 capteurs (fig. 25, en rouge), distantes de 120◦ de chacune,nous avons imprimé en 3D un support avec trois rangées de trous équidistants, à positionner autourde l’éprouvette.

Figure 25 – Support imprimé en 3D et coupetransversale

Figure 26 – Montage avec 15 capteurs

Suite à des problèmes techniques liés au trop grand nombre de capteurs (fig. 26), nous n’avons pasencore pu faire de mesure très élaborée, mais nous avons pu réaliser ce montage avec un nombreplus petit de capteurs.

Ainsi nous avons mesuré des mouvements horizontaux et des rotations de la bille au cours desa chute. Pour minimiser ceux-ci, nous avons pensé à lui ajouter une queue qui lui assure plus destabilité. De plus, il n’y aurait plus de turbulences derrière le passage de la bille, permettant ainsi unécoulement laminaire. Cependant, de façon analogue aux lois de l’aérodynamisme, les frottementsne seraient plus les mêmes. Il faudrait donc étalonner la bille avec des fluides de viscosité connue.

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2 Amortissement d’un choc par absorption d’énergieLa présence de liaisons hydrogène, mise en évidence dans la partie 1.2.2, nous fait émettre

l’hypothèse que le mélange eau-maïzena absorbe de l’énergie lors d’un impact où ces liaisonshydrogène se brisent. Dans cette partie, nous voulons vérifier cette capacité d’amortissement.

2.1 Mesure de la dissipation d’énergie par le rebond d’une bille

Nous avons vu dans la partie 1.2.1, qu’une bille peut rebondir sur le mélange eau-maïzena.Pour calculer la capacité d’absorption d’énergie de notre fluide, nous avons donc observé la hau-teur h2 du rebond d’une bille de masse m, lâchée à une hauteur h1 (fig. 27). Nous lâchonsla bille sur le mélange eau-maïzena stocké dans un contenant de forme rectangulaire (fig. 28).

Figure 27 – Schéma d’un rebond Figure 28 – Chute de la bille à 30 cmNous mesurons alors la hauteur h2 du rebond pour différentes valeurs de h1, entre 30 et 100 cm,car en dessous de 30 cm le rebond est trop faible pour en déterminer la hauteur :

30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

h1 (en cm)

h2(encm

)

essai 1essai 2essai 3

Figure 29 – Hauteur du rebond en fonction de la hauteur de chute

La bille est en chute libre et nous négligeons les frottements avec l’air, donc il y a conserva-tion de l’énergie mécanique de la bille au cours de sa chute, puis au cours de son rebond. Enfaisant la différence entre l’énergie avant l’impact et après le rebond, qui correspondent donc auxénergies potentielles de pesanteur liées à h1 et h2, nous obtenons l’énergie absorbée par notre fluide :

∆Epp = mg(h1 − h2)

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En faisant ce calcul pour les valeurs du rebond obtenues ci-dessus (fig. 29), nous pouvons tracerla courbe montrant l’énergie absorbée par le mélange eau-maïzena en fonction de la hauteur àlaquelle la bille est lâchée :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

h1 (en cm)

∆Epp(enJ)

Figure 30 – Énergie absorbée

Nous remarquons que l’énergie absorbée est proportionnelle à la hauteur du lâché, c’est-à-dire àl’énergie de la bille au moment juste avant l’impact. En effet nous calculons que notre fluide ab-sorbe environ 94 % de l’énergie (fig. 30). Cependant, il est difficile de généraliser ces mesures à desimpacts de la vie quotidienne, car l’énergie de notre bille reste assez faible.

L’épaisseur de fluide remplie dans le contenant rectangulaire est également un paramètre im-portant influençant sur la quantité d’énergie absorbée. Nous avons donc refait les mesures avecdifférentes épaisseurs de notre mélange dans le contenant rectangulaire (fig. 31).

30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

Hauteur de chute (en cm)

Hau

teur

durebo

nd(encm

)

1 cm2 cm

Figure 31 – Hauteur du rebond pour différentes épaisseurs de fluide

Nous observons que la bille rebondit moins haut, c’est-à-dire que le mélange absorbe plus d’énergie,lorsqu’il y a plus de fluide. Cependant, dans le cadre d’une application mobile, l’importante massevolumique du fluide limite la possibilité d’en ajouter beaucoup.

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2.2 Mesure de l’impact avec un capteur piézoélectrique

Nous venons de voir que notre fluide absorbe de l’énergie lors d’un choc. Ainsi nous voudrionssavoir, s’il permet concrètement de réduire la magnitude des déformations.

2.2.1 L’effet piézoélectrique

La piézoélectricité (fig. 32), du grec piézein presser, futdécouverte en 1880 par les frères Curie à Paris. Ils mirent enévidence que certains types de cristaux, tels que le quartz,se polarisent électriquement sous l’effet d’une contraintemécanique. Ainsi nous utiliserons un capteur piézoélec-trique (fig. 33) pour mesurer la déformation engendrée parun impact. Figure 32 – L’effet piézoélectrique

2.2.2 Mesure de la déformation liée au choc

Nous laissons tomber une bille d’une hauteur h sur un sachet rempli de notre fluide, et sur unsachet d’eau comme témoin, sous lequel nous avons placé un capteur piézoélectrique, dont nousmesurons la tension (fig. 34).

Figure 33 – Capteur piézo

bille

sachetcapteur piezo

h

Figure 34 – Montage expérimental

La figure 35 donne la tension mesurée aux bornes du capteur piézo pour différentes hauteursde chute. Nous remarquons que l’eau (en bleu) n’empêche pas la déformation, bien qu’elle ne lapropage pas totalement : elle reste proportionnelle à h. Cependant, notre fluide (en rouge) sembleprotéger le capteur piézo : la pression exercée sur le capteur est déjà assez élevée pour de petiteschutes, mais n’augmente pas beaucoup lorsque h augmente.

5 10 15 200

100

200

300

Hauteur de chute (en cm)

Tension(enmV)

eaumaïzena

Figure 35 – Pression exercée par la bille

Nous en concluons, qu’en devenant « solide »,notre fluide forme une sorte de bouclier pourle capteur. Nous avons, en effet, pu vérifierpour des hauteurs de chute plus élevées, que ladéformation n’augmente presque plus.

Cette méthode n’est cependant pas très précise,car la réponse du capteur piézo dépend fortementde l’endroit précis où s’exerce la pression.

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3 Élaboration d’un prototype de bonnet protecteurNous voulons nous servir de ce comportement à la fois liquide et solide et de cette capacité à

amortir un choc. Nous avons pensé à faire un bonnet liquide qui se durcit lors d’un impact et agitcomme un casque qui protège la tête. Cela présente comme grand avantage que, le bonnet étantliquide au repos, il peut s’adapter facilement à la taille et à la forme de la tête.

3.1 Modélisation et construction du prototype

Pour commencer nous devons trouver un moyen de stocker lemélange eau-maïzena dans notre bonnet. Pour cela nous décou-pons le bonnet le long du bord afin de pouvoir placer des sachetsplastiques alimentaires, que l’on peut souder, à l’intérieur. Maisquelle doit alors être la forme des sachets pour qu’ils recouvrentnotre bonnet en 3D ?

Nous modélisons notre bonnet par une demi-sphère quenous découpons en 8 parts égales, qui resemblent à des tri-angles isocèles lorsque l’on les aplanis. Le problème avec dessachets de cette forme est que le fluide va s’écouler vers lebas, laissant le haut de la tête sans protection. Nous rajou-tons donc 4 traits de séparation horizontaux à nos sachets.

Nous rassemblons nos 8 sachets, remplis avec lemélange eau-maïzena, deux à deux, et ajoutonsdes bandes velcro pour fixer les sachets dans lebonnet.

Nous obtenons alors un bonnet très flexible, mais robuste, qui pèse environ 450 g.

Figure 36 – Bonnet protecteur de l’extérieur (gauche) et de l’intérieur (droite)

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3.2 Durabilité du mélange eau-maïzena

3.2.1 Problème de fermentation

Nous ne voudrions pas devoir refaire un bonnet tous les jours, ainsi nous nous sommes demandéscombien de temps se conserve notre fluide, que ce soit à l’air libre ou fermé hermétiquement. Pourrépondre à cela, nous avons mis du mélange eau-maïzena dans deux tubes à essais, dont un ferméavec un bouchon. Nous avons laissé les tubes à essais pendant une semaine (fig. 37).

Figure 37 – Évolution de la fermentation du mélange eau-maïzena (a) au jour zéro, (b) après.......................................................cinq jours et (c) après une semaine

Dans le tube à essais à l’air libre, celui de droite, on aperçoit qu’après 5 jours le mélange eau-maïzena augmente en volume, c’est-à-dire qu’un gaz s’est formé : on parle alors de fermentation.Dans le tube à essai fermé, celui de gauche, on constate uniquement une décantation du fluide(voir 3.5). Ce n’est qu’après une semaine qu’on remarque également de petites bulles, signe defermentation, dans le tube fermé. Le fluide exposé à l’air libre commence alors à sécher car l’eaudu mélange s’évapore.

Lors du processus de fermentation, l’amylose et l’amylopectine se décomposent par des moyenschimiques en sucres simples, comme le glucose, car l’amidon n’est pas directement fermentable. Lecontact à l’air accentue ce processus, mais un bouchon ne suffit pas pour conserver longuementnotre fluide. Comment augmenter la longévité du mélange eau-maïzena ?

3.2.2 Solution au problème

Il existe différents conservateurs, comme par exemple l’acide benzoïque ou l’eau de javel, quipermettent de ralentir, voire même d’empêcher complètement la fermentation. Nous avons optépour l’acide benzoïque, qui acidifie le milieu et tue les bactéries. Nous réalisons la même expérienceque ci-dessus en ajoutant de l’acide benzoïque avec une concentration de 0,02 mol.L-1 :

Figure 38 – Évolution de la fermentation du mélange eau-maïzena avec de l’acide benzoïque (a).........................................au jour zéro, (b) après cinq jours et (c) après une semaine

Nous remarquons que sur les trois figures il n’y a pas de changement, mis à part la décantation qu’onaperçoit sur les figures (b) et (c). L’acide a donc bien empêché la fermentation du mélange eau-maïzena . Ainsi, l’ajout de l’acide benzoïque permet de conserver notre fluide et donc d’augmenterla durabilité de notre bonnet.

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3.3 Influence de la température sur la viscosité

Lorsqu’on porte le bonnet, il peut être réchauffé par l’énergie thermique libérée par notre corps.De même, l’hiver il peut être soumis à des températures très basses. Ainsi il nous paraît intéressantd’étudier l’évolution du comportement de notre fluide en fonction de la température.

15 20 25 30 35 400

10

20

30

Température (en ◦C)

Viscosité

(enPa.s)

Figure 39 – Influence de la température

La température ne doit en aucun cas dé-passer 60 ◦C, car au dessus l’amidon demaïs entame un processus de gélatinisa-tion irréversible. Des températures tropextrêmes diminuent considérablement lapropriété rhéoépaissante de notre fluide :en dessous de 10 ◦C il est trop visqueuxet au dessus de 40 ◦C il devient trop li-quide. Nous avons donc mesuré la visco-sité de notre fluide avec le viscosimètreà chute de bille pour différentes tempéra-tures entre 10 et 40 ◦C (fig. 39).

En effet, nous remarquons, que la viscosité de notre fluide diminue fortement lorsque la températureaugmente. Ce phénomène s’explique par la mobilité des molécules dans le mélange : l’augmentationde l’énergie thermique s’accompagne d’une augmentation de l’énergie cinétique des molécules, quia pour effet que les forces cohésives ne suffisent plus pour tenir les molécules, qui sont donc pluslibres. Ainsi le fluide peut s’écouler plus facilement.

3.4 Empêcher l’écoulement avec un fluide de Bingham

Nous avons vu dans la partie 1.3 que, lorsqu’il y a un trou, notre fluide s’écoule lentement. Unautre type de fluide non-newtonien permet d’empêcher l’écoulement, sans réduire la flexibilité denotre bonnet : ce sont les fluides de Bingham. Ces fluides, également appelés fluides à seuil, ontun comportement viscoplastique, c’est-à-dire qu’ils se comportent comme un solide sous de faiblescontraintes, mais comme un liquide visqueux au-dessus d’une contrainte-seuil.

À titre d’exemple, nous avons mesuré expérimentalement la contrainte-seuil d’un fluide de lavie courante : le dentifrice. En effet, on observe que le dentifrice ne sort du tube qu’à partir dumoment où l’on exerce une certaine force.

Nous fixons une seringue en plastique à une potence,puis posons des masses dessus (fig. 40). Dans un pre-mier temps, nous mesurons la résistance de la se-ringue en plastique vide : elle résiste jusqu’à 560 g,au-dessus le piston commence à s’enfoncer dans letube. Dans un second temps, nous remplissons laseringue de 10 mL de dentifrice et mesurons à nou-veau le seuil de résistance : le piston commence às’enfoncer à partir de 1980 g. Ainsi la résistance dudentifrice seul correspond à une masse de 1420 g.

Figure 40 – Mesure de la contrainte-seuil

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La force exercée par les masses sur le dentifrice, c’est-à-dire leur poids, vaut donc Fp = mg =1, 420 · 9, 807 ≈ 13, 93 N. Le dentifrice s’écoule par une ouverture de forme circulaire de rayonr = 1 mm, dont la surface vaut donc S = πr2 = 10−6π m2. Ainsi la pression au niveau del’ouverture vaut :

P =FpS

=13, 93

10−6π≈ 4, 43 · 106 Pa

Ce seuil nous paraît trop grand, ce qui montre bien que les frottements avec les parois ne sontpas négligeables dans le cas de cette expérience. Ce qui nous intéresse, néanmoins, c’est l’existenced’un seuil. Cela s’explique par les interactions entre les molécules : les liaisons hydrogène entre leglycérol et le sorbitol, composants principaux du dentifrice, assurent la « cohésion » du fluide, quin’est plus réalisée lorsque l’apport d’énergie est suffisant pour rompre les liaisons hydrogène. Eneffet, une fois celles-ci rompues, il n’y a plus que des interactions « visqueuses » entre les molécules,d’où le comportement newtonien du fluide au delà du seuil d’écoulement.

Ainsi, s’il y avait un trou dans un sachet rempli d’une couche de dentifrice, il n’y aurait pasd’écoulement tant qu’on exerce pas de pression trop importante. Cela peut être très pratique, parexemple, pour un gilet par-balles rempli de fluide rhéoépaississant : si une balle perfore la surfaceextérieure, le fluide de Bingham peut empêcher l’écoulement. Nous aurions bien aimé ajouter celaà notre prototype, mais malheureusement notre soude-sac ne nous permet pas de souder troiscouches de plastique.

À l’occasion de notre partenariat avec l’université berlinoise, nous avons également pu mesurerla contrainte de cisaillement en fonction du taux de cisaillement pour le dentifrice.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

100

200

300

400

500

Taux de cisaillement γ̇ (en s−1)

Con

traintede

cisaillem

entτ(enPa)

Figure 41 – Comportement viscoplastique du dentifrice

Ainsi nous observons qu’il ne s’agit pas réellement d’une droite verticale, qui est brisée à partird’une certaine valeur comme sur nos courbes théoriques, mais plutôt d’un domaine continu. Lanotion de seuil ponctuel peut alors être remise en question. Cela explique également nos difficultésà établir une valeur précise, à partir de laquelle le dentifrice serait liquide.

20

3.5 Sédimentation

Nous avons désormais un bonnet durable, mais nous ne savons pas si l’effet rhéoépaississantne s’amenuise pas au cours du temps ? En effet nous avons déjà remarqué un léger phénomène dedécantation dans nos expériences antérieures.

Nous avons rempli une éprouvette de 100 mL, d’une hauteur de 21 cm, de mélange eau-maïzenaet attendu 3 heures. Nous remarquons une très légère décantation d’environ 3 mm, que nousexpliquons par la remontée des molécules d’eau qui se trouvaient entre les colloïdes d’amidonde maïs. Cependant la plupart des molécules d’eau sont liées par des liaisons hydrogène auxagrégats d’amidon, comme nous l’avons vu dans la partie 1.2.2. Afin de visualiser la sédimentationà l’intérieur de notre fluide, nous avons fait une mesure avec notre viscosimètre (fig 42).

0 5 10 15 20 25

400

500

600

700

800

Temps (en s)

Tension(enmV) capteur 1

capteur 2capteur 3capteur 4capteur 5capteur 6capteur 7capteur 8

Figure 42 – Tension aux bornes des capteurs à effet Hall

Nous observons, en effet, que les pics sont de plus en plus espacés. En calculant la différence detemps divisée par la distance entre les capteurs, qui est de 2 cm, nous obtenons l’évolution de lavitesse de la bille au cours de sa chute (fig. 43).

0 2 4 6 8 10 12 140.4

0.6

0.8

1

·10−2

Distance (en cm)

Vitesse

(enm·s−

1)

Figure 43 – Vitesse de chute d’une bille dans le fluide après 3 heures

21

Nous remarquons que la vitesse diminue, c’est-à-dire que la viscosité augmente, lorsque la billes’approche du bas. La concentration d’amidon de maïs est donc plus élevée au fond de l’éprouvette.En effet, les colloïdes de maïzena sont plus denses que l’eau et sont attirés vers le bas sous l’effetde leur propre poids. Cependant, la loi de Fick nous indique que les particules ont tendance à sediffuser, ce qui explique pourquoi la vitesse de la bille diminue asymptotiquement et qu’on n’apas deux phases séparées, mais un gradient de concentration continu. La dernière valeur, qui estnettement inférieure, marque une rupture avec les autres valeurs. Pourtant, en refaisant plusieursfois l’expérience, nous la retrouvons à chaque fois. Nous en déduisons qu’un dépôt d’amidon, trèsconcentré, a dû se former au fond de l’éprouvette.

Pour notre bonnet, la question de la sédimentation du mélange eau-maïzena ne s’avère finale-ment pas être un grand problème, car les sachets sont suffisamment petits.

ConclusionÀ travers ce projet, nous avons découvert la multitude et la complexité des comportements

que pouvaient avoir les fluides non-newtoniens. En effet, nous avons remarqué que tout modèlethéorique présente des limites et qu’il faut souvent de nombreux essais avant d’obtenir des résul-tats exploitables. Ainsi nous avons pu mesurer et expliquer le phénomène rhéoépaississant que l’onrencontre lorsqu’on mélange de la maïzena avec de l’eau. Nous avons ensuite testé les capacitésd’amortissement de ce fluide. Pour mesurer sa viscosité, nous avons mis au point une méthode peuonéreuse, qui fonctionne également pour des fluides opaques à l’aide de capteurs à effet Hall. Noustravaillons encore sur ce modèle, que nous ne nous lassons de perfectionner, afin de permettre unemeilleure visualisation des déplacements de la bille au sein du fluide. Finalement, nous avons déve-loppé une application à ce mélange étonnant, à savoir un casque liquide, qui s’adapte parfaitementà la forme de la tête au repos et devient solide lors d’un impact. Pour limiter le contact directde la tête avec le fluide devenu solide, il serait intéressant d’ajouter une couche au comportementviscoélastique, pour ralentir le mouvement relatif.

Ainsi ce projet fut pour nous une occasion exceptionnelle de découvrir le métier de chercheur,dans toute la démarche de questionnement et d’investigation qu’il implique.

Figure 44 – Visite d’un laboratoire à la Technische Universität Berlin

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RemerciementsNous souhaitons particulièrement remercier M. Blochwitz, professeur en génie chimique à la

Technische Universität Berlin, pour nous avoir montré les différentes méthodes de mesure de vis-cosité avec des rhéomètres.

Nous tenons également à remercier notre professeur encadrant M. Sordelet pour nous avoirsoutenus et encouragés tout au long de notre projet, et notre professeur de sciences physiques etchimiques M. Rolin pour ses précieux conseils.

Références

Shear-Thickening Fluid, Duncan Price, Physics Department, The College of Wooster, 2012

Complex Fluids in Energy Dissipating Systems, Francisco J. Galindo-Rosales, Centro de Estudosde Fenómenos de Transporte, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2012

Characterization of shear-thickening fluid-filled foam systems for use in energy absorptiondevices, Jose Guadalupe, Massachusetts Institute of Technology, 2004

Contribution au développement de microcapteurs intégrés de viscoélasticité de fluides, EtienneLemaire, Université Bordeaux I, 2013

Caractérisation rhéologique des fluides à seuil, G. Ovarlez, Université Paris Est, 2011

L’effet piézoélectrique et ses applications, HBM, Darmstadt

Position Measurement with Hall Effect Sensors, Jezný, Jaromír, and Miloslav Čurilla, AmericanJournal of Mechanical Engineering, 2013

http://culturesciencesphysique.ens-lyon.fr/ressource/comment-coulent-les-fluides.xmlhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pfric.htmlhttp://www1.lsbu.ac.uk/water/starch.htmlhttps://en.wikipedia.org/wiki/Viscosityhttps://physique.ensc-rennes.fr/pdf/2annee/tp-visco.pdf

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