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Module 3 – TS La fonction racine carrée

p. 64 à 103

Fiche de soutien

Les propriétés de la fonction racine carrée

PROPRIÉTÉ FONCTION SOUS

FORME CANONIQUE EXEMPLE

f(x) = a + k

(ou f(x) = a1 + k

et a1 = a )

f(x) = 2 − 12

(ou f(x) = 6 − 12)

Coordonnées du sommet

(h, k) (–5, –12)

Domaine (dom f) Si b > 0, dom f = [h, +∞[. Si b < 0, dom f = ]–∞, h].

dom f = [–5, +∞[

Image (ima f) Si a > 0, ima f = [k, +∞[. Si a < 0, ima f = ]–∞, k].

ima f = [–12, +∞[

Croissance et décroissance

Si a > 0 et b > 0, alors la fonction est croissante sur l’intervalle [h, +∞[. Si a < 0 et b > 0, alors la fonction est décroissante sur l’intervalle [h, +∞[. Si a > 0 et b < 0, alors la fonction est décroissante sur l’intervalle ]–∞, h]. Si a < 0 et b < 0, alors la fonction est croissante sur l’intervalle ]–∞, h].

La fonction f est croissante sur l’intervalle [–5, +∞[.

Zéro de la fonction f

S’il existe un zéro, c’est la valeur de x pour laquelle f(x) = 0.

Le zéro est égal à –1.

Ordonnée à l’origine

Si elle existe, c’est la va leur de f(0). f(0) = 6 − 12 ou f(0) ≈ 1,42

Signe de la fonction f

Selon l’équation de la fonction. La fonction f est : • positive sur l’intervalle [–1, +∞[ ; • négative sur l’intervalle [–5, –1].

Extremum Si a > 0, la valeur minimale est k. Si a < 0, la valeur maximale est k.

La fonction a un minimum de –12.

3833_MOD3-TS_p13-24_CORR_HR.pdf 1 13/08/09 12:26 PM

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3-14 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc


p. 64 à 103

Fiche de soutien (suite)

1. Écrivez les équations suivantes sous la forme .

a) c)

b) d)

2. Déterminez le sommet et le zéro, s’il existe, des fonctions définies par les équations suivantes.

a) c)

Sommet : (4, 1)

Zéro : (5, 0)

Sommet : (–9, –8)

Zéro : (–25, 0)

b) d)

Sommet : (–2, –4)

Zéro :

Sommet : (–6, 2)

Zéro : Aucun.

3. Tracez le graphique des fonctions suivantes.

a) b)


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4. Remplissez le tableau suivant en donnant les caractéristiques des deux fonctions présentées.

PROPRIÉTÉ

Sommet (1, 3) (2, 3)

Domaine dom f = [1, +∞[ dom g = [2, +∞[

Image ima f = [3, +∞[ ima g = ]–∞ , 3]

Croissance et décroissance

La fonction f est croissante sur l’intervalle [1, +∞[.

La fonction g est décroissante sur l’intervalle [2, +∞[.

Zéro de la fonction

Aucun. Le zéro est égal à 6,5.

Ordonnée à l’origine

Aucune. Aucune.

Signe de la fonction

La fonction f est positive sur [1, +∞[, soit sur tout son domaine.

La fonction g est positive sur l’intervalle [2, 6,5] et négative sur l’intervalle [6,5, +∞[.

Extremum La valeur minimale est 3. La valeur maximale est 3.

Graphique


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Fiche de soutien

Trouver l’équation d’une fonction racine carrée

Pour trouver l’équation sous la forme canonique d’une fonction racine carrée, il suffit de connaître les coordonnées du sommet et un autre point de son graphique.

Les coordonnées du sommet donnent les valeurs des paramètres h et k, et l’autre point donne le signe du paramètre b. Ainsi, on peut trouver l’équation sous la forme canonique

ou et .

La seconde forme est la plus pratique, car la valeur du paramètre b est limitée à 1 ou –1. De plus, en utilisant cette forme canonique, on obtient une équation unique.

Exemple :

Trouver l’équation de la fonction racine carrée ayant son sommet (extremum) au point de coordonnées (7, –1) et dont le graphique passe par le point (–9, 4).

Les coordonnées du sommet donnent les valeurs des paramètres h et k (ici h = 7 et k = –1). Donc l’équation correspond, pour l’instant,

à .

Si l’on trace un croquis rapide qui représente le sommet et l’autre point du graphique de la fonction, on obtient la représentation ci-contre. Grâce à cette représentation, on voit que, pour que la fonction ait son sommet au point (7, –1) et que son graphique passe par le point (–9, 4), il faut que les variations de la variable indépendante soient négatives à partir du sommet. Donc, b est négatif et égal à –1 et l’équation est de la forme

.

Ensuite, on peut remplacer les valeurs de x et de y de l’équation par les coordonnées du point (–9, 4) et ainsi trouver la valeur du paramètre a1.

L’équation recherchée est donc :

.


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Résoudre des équations ou des inéquations avec une racine carrée

Pour résoudre algébriquement une équation ou une inéquation dans laquelle intervient une fonction racine carrée, il ne faut pas oublier que la fonction racine carrée est définie seulement pour les valeurs positives de l’expression contenue sous son radical. On doit donc vérifier si la ou les valeurs obtenues sont cohérentes avec le domaine et l’image de la fonction considérée.

Exemple :

Résoudre l’inéquation .

On peut représenter graphiquement cette inéquation en traçant d’abord le graphique

de la fonction racine carrée correspondant au membre de gauche, soit ,

et le graphique de la fonction affine correspondant au membre de droite, soit .

Il s’agit donc de trouver toutes les valeurs de la variable x pour lesquelles f(x) ≥ g(x).

En regardant le graphique ci-contre, représentant les deux fonctions présentes dans l’inéquation, on voit que la solution de l’inéquation correspond aux valeurs de x à partir de l’intersection entre le graphique de la fonction racine carrée et celui de la fonction affine, et jusqu’à l’abscisse du sommet du graphique de la fonction racine carrée (x = 5). Pour toutes ces valeurs, les valeurs des ordonnées des points de la fonction f sont supérieures ou égales aux valeurs des ordonnées de la fonction g.

Il faut donc trouver la valeur de l’abscisse à l’intersection, en résolvant l’équation

.

En développant cette équation, on obtient l’équation 64x2 − 12x − 451 = 0. Il faut calculer les zéros d’une fonction polynomiale du second degré exprimée sous la forme générale

(ax2 + bx + c = 0), soit .

On a et (valeur à rejeter).

Donc, la solution est x ∈ ou bien ≤ x ≤ 5.


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1. Trouvez l’équation de la fonction racine carrée qui possède les caractéristiques suivantes.

a) Le graphique de la fonction a son sommet en (–1, –3) et passe par le point (0, –10).

b) Le paramètre a = –5, l’abscisse du sommet de cette fonction est –8 et son graphique passe par le point (28, 6).

2. Résolvez les équations suivantes.

a) c)

x = x = 0 et x = .

b) d)

x = 5 x = 25

3. Résolvez les inéquations suivantes graphiquement et algébriquement.

a) b)

f(x) = –x + 17

g(x) =

f(x) = g(x) lorsque x = 12 (x = 28 est à rejeter).

f(x) ≤ g(x) lorsque x ≥ 12.

[12, +∞[

f(x) =

g(x) = –2x + 7

f(x) = g(x) lorsque x = 0 (x = 6 est à rejeter).

f(x) ≤ g(x) lorsque x ≤ 0 et x ≥ –6.

[–6, 0]


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Exercices supplémentaires

1. Déterminez le sommet, le domaine et le zéro (s’il existe) des fonctions suivantes.

a) d)

Sommet : (–5, 1) Domaine : [–5, +∞[

Zéro : (–4, 0)

Sommet : (2, 3) Domaine : [2, +∞[

Zéro : (11, 0)

b)

e)

Sommet : (0, 0) Domaine : [0, +∞[

Zéro : (0, 0)

Sommet : (1, 2) Domaine : [1, +∞[

Zéro :

c) f)

Sommet :

Domaine :

Zéro :

Sommet : (–2, 2) Domaine : ]–∞ , –2]

Zéro : Aucun.

2. Résolvez les équations suivantes.

a) e) x = x = –2

b) f)

x = –3 (x = –4 est à rejeter). x = 5

c) g)

x = 0 et x = . x = 3

d) h)

x = 16 (x = 9 est à rejeter). x = –11 et x = 2.

3. Donnez l’équation d’une fonction racine carrée qui possède les caractéristiques suivantes.

a) Son zéro est égal à 2 et son sommet est (–2, 4).

b) Son domaine est [–4, +∞[, son image est ]–∞, 7] et son ordonnée à l’origine est 1.


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Exercices supplémentaires (suite)

4. Tracez le graphique des fonctions suivantes.

a) b) c)

5. La trajectoire décrite par un oiseau au cours des trois premières minutes de son envol est donnée par la fonction f(x) = 20 , où x représente le temps écoulé depuis qu’il a quitté le sol, en secondes, et f(x) son altitude, en mètres.

a) Tracez le graphique de cette fonction dans le plan cartésien ci-contre.

b) Après deux minutes, quelle est l’altitude de l’oiseau ?

Elle est d’environ 219,09 m, soit f(120) = 20 .

c) Après combien de temps l’oiseau se trouve-t-il à une altitude de 140 m ?

Après 49 secondes, soit 140 = 20 .

6. Au printemps, 18 jours après le début de la fonte des glaces, on note que le niveau d’eau du fleuve Saint-Laurent atteint une hauteur maximale de 50 cm au-dessus du niveau normal. La fonction f(x) = –10 + 50 représente le niveau d’eau qui est au-dessus du niveau normal, en centimètres, selon x, le nombre de jours écoulés depuis le début de la fonte des glaces.

a) Après combien de temps le niveau d’eau était-il de 10 cm au-dessus du niveau normal ?

Après deux jours, soit 10 = –10 + 50.

b) Quel était le niveau de l’eau 14 jours après le début de la fonte des glaces ?

Il était de 30 cm au-dessus du niveau normal, soit f(x) = –10 + 50.


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Évaluation des connaissances Fiche 1

1. Des biologistes tentent de modéliser la croissance d’une plante. On souhaite trouver une fonction permettant de déterminer la hauteur de la plante selon le nombre de jours écoulés depuis la mise en terre de la graine. On croit qu’une fonction racine carrée pourrait permettre de modéliser cette situation. Le tableau ci-dessous présente les données obtenues pour la même espèce de plante. À l’aide d’un nuage de points, déterminez la meilleure équation possible pouvant représenter cette situation.

a1 Nombre de jours

écoulés depuis la plantation

Hauteur de la plante (cm)

3,2 7 3,2 3,5 10 7

≈ 3,47 12 8,5

≈ 3,57 14 10,1

≈ 3,45 16 10,9

≈ 3,41 18 11,8

≈ 3,58 20 13,4

≈ 3,51 25 15,3

≈ 3,43 30 16,8

≈ 3,53 35 19

≈ 3,6 40 21

≈ 3,54 45 22,1

≈ 3,47 60 25,5

L’équation est h(x) = 3,48 . Démarche :

Soit x le nombre de jours écoulés depuis la plantation et y la hauteur de la plante (cm).

Le sommet de la courbe est situé sur la droite y = 0.

On a donc k = 0.

La fonction est nulle lorsque x ≈ 6.

On a donc h = 6.

h(x) = a ou h(x) = a1

Il faut estimer la valeur de a1 = a .

Par exemple, pour le point (7, 3,2), on a a1 = 3,2, soit 3,2 = a1 .

On trouve la valeur de a1 pour chacun des points du tableau, puis on calcule la moyenne des valeurs trouvées.

La moyenne des a1 est d’environ 3,48, soit ≈ 45,26 ÷ 13.

Donc, l’équation est h(x) = 3,48 .


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Évaluation des connaissances Fiche 1 (suite)

2. En économie, on utilise souvent des fonctions pour représenter la demande et l’offre d’un produit en fonction de son prix. La demande d’un produit augmente lorsque son prix diminue. L’offre, quant à elle, augmente lorsque le prix du produit augmente. Le prix d’équilibre d’un produit correspond au point d’intersection de l’offre et de la demande.

La demande d’un produit selon son prix est donnée par la fonction D(x) = 240 – 8 et l’offre par la fonction O(x) = 0,4x, où x représente le prix du produit. En tentant de trouver le prix d’équilibre de ce produit, Maude a obtenu un résultat d’environ 2238 $. En observant son graphique, reproduit ci-dessus, elle se rend compte que ce résultat est impossible. Aidez-la à déterminer le prix d’équilibre et expliquez d’où provient son erreur.

Le prix d’équilibre est de 161,74 $. Démarche :

240 – 8 = 0,4x

–8 = 0,4x – 240

= –0,05x + 30

3x – 5 = (–0,05x + 30)2

3x – 5 = 0,0025x2 – 3x + 900

0 = 0,0025x2 – 6x + 905

Donc x ≈ 161,74 ou x ≈ 2238,26.

Il y a deux solutions. Celle qui nous intéresse, dans le contexte, est 161,74. La seconde solution, soit celle que Maude a trouvée, apparaît lorsqu’on élève au carré l’égalité suivante : = –0,05x + 30. En élevant au carré, on introduit une seconde fonction racine carrée. La solution 2238,26 $ correspond à l’intersection de la courbe de cette seconde fonction racine carrée avec la droite représentant l’offre.


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Évaluation des connaissances Fiche 2

1. Mathieu doit résoudre le problème suivant.

Un point est situé sur la ligne horizontale y = 6 dans le plan cartésien. On déplace le point sur cette ligne (vers la gauche ou vers la droite) et on veut connaître la distance séparant ce point de l’origine, selon la coordonnée en x du point (la coordonnée en y est toujours 6).

Mathieu a trouvé la fonction d(x) = , mais son enseignante prétend que ce n’est pas la bonne fonction. Mathieu dit que la fonction est croissante et qu’elle passe par le point (0, 6), ce qui est plausible dans le contexte. Tracez le graphique de la fonction que Mathieu a trouvée et dites si cette fonction est la bonne ou non. Si ce n’est pas le cas, tracez également le graphique de la bonne fonction.

La fonction trouvée par Mathieu n’est pas bonne. La bonne fonction est d(x) = .

Démarche :

La fonction de Mathieu, d(x) = , est représentée par la courbe en gris sur le graphique ci-dessus.

Il est vrai que la fonction représentant cette situation doit passer par le point (0, 6) et qu’elle est croissante, mais si on observe la courbe en gris sur le graphique, on remarque que la croissance n’est pas assez grande.

Par exemple, lorsque x = 10, la distance entre les points (10, 6) et (0, 0) devrait être plus grande que 10, mais on voit facilement que ce n’est pas le cas sur le graphique.

Il faut donc trouver la bonne fonction.

Soit x l’abscisse d’un point situé sur la droite y = 6 et d(x) la distance séparant le point (x, 6) de l’origine.

On a donc P1(0, 0) et P2(x, 6).

d(x) =

d(x) =

d(x) =

La bonne fonction est illustrée par la courbe en noir sur le graphique.


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Évaluation des connaissances Fiche 2 (suite)

2. Lorsqu’un corps tombe en chute libre, et que sa vitesse initiale est nulle, on peut déterminer la hauteur de l’objet à l’aide de l’équation suivante.

h = h0 + at2, où h est la hauteur de l’objet ;

h0 est la hauteur initiale de l’objet ;

a = –9,8 m/s2 est l’accélération gravitationnelle ;

t est le temps en secondes.

Un objet est lâché du toit d’un édifice de 80 m de hauteur. On veut connaître le temps que met l’objet avant de toucher le sol.

a) Trouvez une fonction permettant de calculer le temps écoulé depuis que l’objet a été lâché, en fonction de la hauteur de l’objet.

h = h0 + at2

h – h0 = at2

= t2

t =

t =

b) Représentez graphiquement cette fonction et indiquez, sur le graphique, les points correspondant au moment où l’objet est lâché et au moment où l’objet touche le sol.

Le moment où l’objet est lâché correspond au point A sur le graphique ci-contre, et le moment où l’objet touche le sol correspond au point B.

c) Estimez le temps de chute de l’objet.

Environ 4,04 secondes, soit t = .


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