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ANALYSE MPCours, mthodes et exercices corrigs

ANALYSE MPCours, mthodes et exercices corrigs

Jean-Marie MonierProfesseur en classe de Spciales

au lyce La Martinire-Montplaisir Lyon

5e dition

Maquette intrieure : Lasertex

Couverture : Bruno Loste

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V

Table des matires

CHAPITRE 1 Espaces vectoriels norms 3

1.1 Vocabulaire de la topologie dun espace vectoriel norm 41.1.1 Norme, distance associe 41.1.2 Boules, sphres 111.1.3 Parties bornes dun evn 131.1.4 Voisinages 141.1.5 Ouverts, ferms 151.1.6 Comparaison de normes 191.1.7 Intrieur, adhrence, frontire 261.1.8 Distance dun point une partie non vide dun evn 291.1.9 Suites dans un evn 31

1.2 Limites, continuit 391.2.1 Limites 391.2.2 Continuit 421.2.3 Continuit uniforme 491.2.4 Applications lipschitziennes 491.2.5 Applications linaires continues 52

1.3 Compacit 581.3.1 Gnralits 581.3.2 Cas de la dimension finie 62

1.4 Compltude 661.4.1 Suites de Cauchy 661.4.2 Parties compltes 681.4.3 Supplment : thorme du point fixe 71

1.5 Connexit par arcs 72

1.6 Espaces prhilbertiens 761.6.1 Produit scalaire 761.6.2 Ingalits, normes euclidiennes 791.6.3 Orthogonalit 831.6.4 Procd dorthogonalisation de Schmidt 881.6.5 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel

de dimension finie 901.6.6 Norme dun endomorphisme dun espace euclidien 95Problmes 98

Cours

VI

Fonctions vectorielles dune variable relle 992.1 Gnralits 100

2.1.1 Structure de E X 1002.1.2 Parit 1012.1.3 Priodicit 1022.1.4 Applications bornes 1032.1.5 Limites 1052.1.6 Continuit par morceaux 106

2.2 Drivation 1092.2.1 Drive en un point 1092.2.2 Proprits algbriques des applications drivables en un point 1102.2.3 Application drive 1122.2.4 Drives successives 1152.2.5 Classe dune application 1162.2.6 Diffrentielle 1202.2.7 Drivation des fonctions valeurs matricielles 121

2.3 Intgration sur un segment 1222.3.1 Intgration des applications en escalier sur un segment 1222.3.2 Suites dapplications (premire tude) 1242.3.3 Approximation uniforme par des applications en escalier

ou par des applications affines par morceaux et continues 1272.3.4 Intgration des applications continues par morceaux

sur un segment 1292.3.5 Sommes de Riemann 1352.3.6 Intgration et drivation 1362.3.7 Ingalit des accroissements finis 1392.3.8 Changement de variable 1422.3.9 Intgration par parties 1432.3.10 Formule de Taylor avec reste intgral 1452.3.11 Thorme de relvement 146

2.4 Comparaison locale 1482.4.1 Prpondrance, domination 1482.4.2 quivalence 1502.4.3 Dveloppements limits vectoriels 151Problmes 152

Intgration sur un intervalle quelconque 1533.1 Fonctions intgrables valeurs relles positives

ou nulles 1543.1.1 Dfinition 1543.1.2 Proprits algbriques 1563.1.3 Intgrabilit sur un intervalle semi-ouvert 158

3.2 Fonctions intgrables valeurs relles ou complexes 1653.2.1 Gnralits 1653.2.2 Proprits 1673.2.3 Intgrabilit sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert 173

Table des matires

CHAPITRE 3

CHAPITRE 2

Table des matires

VII

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3.3 Supplment : intgration des relations de comparaison 1823.3.1 Cas des fonctions intgrables 1823.3.2 Cas des fonctions non intgrables 183

3.4 Intgrales impropres 184

3.5 Intgrales dpendant dun paramtre 1893.5.1 Continuit 1893.5.2 Drivation 1923.5.3 La fonction dEuler 200

3.6 Intgrales doubles 2063.6.1 Intgrales doubles sur le produit cartsien de deux segments 2063.6.2 Intgrales doubles sur le produit cartsien de deux intervalles 2073.6.3 Intgrale sur une partie simple du plan 212Problme 217

Sries 2194.1 Sries termes dans un evn (1re tude) 220

4.1.1 Gnralits 2204.1.2 Structure algbrique de lensemble des sries convergentes 223

4.2 Sries termes dans R+ 2254.2.1 Lemme fondamental 2264.2.2 Thormes de comparaison 2264.2.3 Sries de Riemann 2274.2.4 Srie gomtrique 230

4.3 Sries termes dans un evn (2e tude) 2424.3.1 CNS de Cauchy 2424.3.2 Convergence absolue 2444.3.3 Sries usuelles dans une algbre de Banach 2474.3.4 Espaces 1(K) et 2(K) 2484.3.5 Sries alternes 2504.3.6 Exemples dutilisation dun dveloppement asymptotique 2524.3.7 Comparaison dune srie un intgrale 2554.3.8 tude de la somme dune srie convergente 2624.3.9 Sommation des relations de comparaison 2694.3.10 Sries doubles 275Problmes 283

Suites et sries dapplications 2875.1 Suites dapplications 288

5.1.1 Convergences 2885.1.2 Convergence uniforme et limite 2925.1.3 Convergence uniforme et continuit 2935.1.4 Convergence uniforme et intgration sur un segment 2965.1.5 Convergence uniforme et drivation 2995.1.6 Convergence dune suite dapplications

et intgration sur un intervalle quelconque 301

CHAPITRE 4

CHAPITRE 5

Table des matires

VIII

5.2 Approximation des fonctions dune variable relle 3075.2.1 Approximation par des fonctions en escalier

ou affines par morceaux et continues 3075.2.2 Approximation par des polynmes 3075.2.3 Approximation par des polynmes trigonomtriques 312

5.3 Sries dapplications 3145.3.1 Convergences 3145.3.2 Convergence uniforme et limite 3255.3.3 Convergence uniforme et continuit 3265.3.4 Convergence uniforme et intgration sur un segment 3305.3.5 Convergence uniforme et drivation 3345.3.6 Convergence dune srie dapplications

et intgration sur un intervalle quelconque 341Problmes 345

Sries entires 3516.1 Rayon de convergence 352

6.1.1 Notion de srie entire 3526.1.2 Rayon de convergence et somme dune srie entire 3526.1.3 Comparaisons de rayons 3556.1.4 Rgle de dAlembert 356

6.2 Oprations sur les sries entires 3676.2.1 Structure vectorielle 3676.2.2 Drivation 3686.2.3 Produit de deux sries entires 369

6.3 Convergence 371

6.4 Rgularit de la somme dune srie entire 372

6.5 Dveloppements en srie entire 3766.5.1 Gnralits 3766.5.2 Oprations sur les fonctions dveloppables en srie entire 3786.5.3 DSE(0) usuels 381

6.6 Fonctions usuelles dune variable complexe 3956.6.1 Lexponentielle complexe 3956.6.2 Fonctions circulaires directes 3986.6.3 Fonctions hyperboliques directes 399Problmes 402

Sries de Fourier 4037.1 Gnralits 404

7.1.1 Ensemble CMT 4047.1.2 Coefficients de Fourier dun lment de CMT 4057.1.3 Srie de Fourier dun lment de CMT 409

CHAPITRE 7

CHAPITRE 6

Table des matires

IX

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7.2 Structure prhilbertienne 4127.2.1 Espace prhilbertien DT 4127.2.2 Famille orthonormale (en)nZ 4147.2.3 Le thorme de Parseval 415

7.3 Convergence ponctuelle 4197.3.1 Convergence normale 4197.3.2 Le thorme de Dirichlet 420

7.4 Exemples 423Problmes 428

quations diffrentielles 4318.1 Gnralits 432

8.1.1 Dfinitions 4328.1.2 Remplacement thorique dune quation diffrentielle

dordre n par une quation diffrentielle dordre 1 4338.1.3 quations diffrentielles autonomes 433

8.2 Le thorme de Cauchy-Lipschitz 4358.2.1 Thorie 4358.2.2 Exemples dutilisation du thorme de Cauchy-Lipschitz 440

8.3 Systmes diffrentiels linaires du premier ordre 4508.3.1 Gnralits 4518.3.2 Existence et unicit dune solution du problme de Cauchy

sur tout lintervalle I 4558.3.3 Structures de S0 et de S 4568.3.4 Rsolution de (E0) 4578.3.5 Rsolution de (E) 4588.3.6 Systmes diffrentiels linaires du premier ordre

coefficients constants 4628.3.7 Systmes diffrentiels autonomes linaires dordre 1,

deux inconnues, coefficients constants et sans second membre 473

8.4 quations diffrentielles linaires scalairesdu second ordre 4788.4.1 Gnralits 4788.4.2 Rsolution de (E0) 4808.4.3 Rsolution de (E) 4828.4.4 Problme des raccords 4858.4.5 Utilisation de sries entires 487

Fonctions de plusieurs variables relles 4939.1 Drives partielles premires 496

9.1.1 Dfinitions 4969.1.2 Applications de classe C1 sur un ouvert 4989.1.3 Diffrentielle dune application de classe C1 4999.1.4 Diffrentiabilit 506

CHAPITRE 8

CHAPITRE 9

Chapitre 1 554Chapitre 2 574Chapitre 3 584Chapitre 4 618Chapitre 5 648Chapitre 6 701Chapitre 7 723Chapitre 8 738Chapitre 9 757

Index des notations 777

Index alphabtique 779

Table des matires

X

9.1.5 Ingalit des accroissements finis 5099.1.6 C1-diffomorphismes 5129.1.7 Exemples de rsolution dquations aux drives partielles

du premier ordre 515

9.2 Drives partielles successives 5219.2.1 Dfinition 5219.2.2 Applications de classe Ck sur un ouvert 5229.2.3 Interversion des drivations 5239.2.4 Ck-diffomorphismes 5279.2.5 Exemples de rsolution dquations aux drives partielles

dordre 2 528

9.3 Extremums des fonctions numriques de plusieurs variables relles 5339.3.1 Dfinitions 5339.3.2 tude lordre 1 5349.3.3 tude lordre 2 5349.3.4 Extremums globaux 540

9.4 Fonctions implicites 543

9.5 Formes diffrentielles 5469.5.1 Dfinition 5469.5.2 Formes diffrentielles exactes 5469.5.3 Formes diffrentielles fermes 547Problme 552

Solutions des exercices

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XI

Prface

Jeune lycen, j'avais, pour les manuels scolaires, une vnration quasi-religieuse. Que reprsentaient pour moi ces livresqu'une main zle avait soigneusement recouverts en dbut d'anne ? Je ne saurais le dire avec prcision : ils conte-naient, sans doute, la Vrit. A mon sens, par exemple, un thorme ne pouvait tre nonc que dans le scrupuleux res-pect des termes de l'ouvrage ; approximative, la restitution n'tait pas valable. L'utilisation, par les professeurs, des po-lycopis (rappels et complments de cours, noncs de problmes ...) n'tait pas, alors, habituelle ; je pense, aujourd'hui,que cela tait d bien plus aux difficults de reprographie qu' un non-dsir de ces professeurs d'imprimer leur griffepersonnelle par le choix d'exercices originaux. Ils se rfraient constamment aux manuels, en suivaient fidlement laprogression, y puisaient les exercices. Je me souviens, d'ailleurs, d'avoir t troubl quand, en Terminale, mon profes-seur de Math., que je rvrais aussi, se permettait parfois quelques critiques l'gard d'un ouvrage qu'il nous avait pour-tant conseill ! Quant aux auteurs de ces livres, ils restaient nigmatiques : qui taient ces demi-dieux dtenteurs duSavoir ?

Plus tard, mes rapports d'tudiant avec les manuels didactiques ont, videmment, volu, mais je crois avoir, navementsans doute, conserv cette approche faite d'envie et de respect qui m'empche, par exemple, de porter des annotationsen marge je ne jouerai pas la farce d'un Pierre de Fermat ! et cet a priori favorable qui me rendrait difficile la r-daction d'une critique objective.Heureusement, tel n'est pas mon propos aujourd'hui ! Mais j'ai voulu, par ces quelques mots, souligner l'importance ca-pitale mme dans le subconscient de chacun de ces livres de cours sur lesquels vous travaillez durant vos tudes etqui vous accompagnent toute votre vie.

Aucun professeur, ft-il auteur de manuels, ne songerait conseiller un livre en remplacement d'un enseignement vi-vant et vcu. Mais, le cours imprim, s'il est fidle la lettre et l'esprit du programme d'une classe, peut aider, de faontrs importante, l'tudiant consciencieux. Celui-ci, surtout lorsqu'il est dbutant, trouvera la scurit dont il a besoin dansun plan clair, prcis, rigoureux, dans une prsentation particulirement soigne o les diverses polices de caractres sontjudicieusement alternes, dans la vision d'ensemble des questions dont traite l'ouvrage. Il y recherchera, avec la certi-tude de les obtenir, telle dmonstration qu'il n'a pas bien comprise, tel exemple ou contre-exemple qui l'aidera mieuxassimiler une notion, la rponse telle question qu'il n'a pas os poser sinon lui-mme...

Pour que le livre joue ce rle d'assistant certes passif mais constamment disponible il doit, je pense, tre proche desproccupations immdiates de l'tudiant, ne pas exiger, pour sa lecture, un savoir qui n'a pas encore t acquis, ne pasrebuter par l'expos trop frquent de notions trop dlicates ; mais il doit, cependant, contenir une substance suffisantepour constituer les solides fondations sur lesquelles s'chafaude la pyramide du savoir scientifique.

On l'imagine, ds lors, aisment : l'criture d'un tel manuel, l'intention des tudiants des classes prparatoires ou d'unpremier cycle universitaire, demande, ct de la ncessaire comptence, des qualits pdagogiques certaines, affinespar une longue exprience professionnelle dans ces sections, une patience et une minutie rdactionnelles inoues.Jean-Marie Monier a eu le courage de se lancer dans ce gigantesque travail et les ouvrages qu'il nous propose aujour-d'hui aprs les recueils d'exercices qui ont eu le succs que l'on sait montrent qu'il a eu raison : il a, me semble-t il,pleinement atteint le but qu'il s'tait fix, savoir rdiger des livres de cours complets l'usage de tous les tudiantset pas seulement des polytechniciens en herbe. Les nombreux ouvrages d'approfondissement ou de spcialit seront,videmment, lus et savours plus tard, ... par ceux qui poursuivront. Pour l'instant, il faut, l'issue de la Terminale,assimiler compltement les nouvelles notions de base (la continuit, la convergence, le linaire...) ; le lecteur est guid,pas pas, par une main sre qui le tient plus fermement ds qu'il y a danger : les mises en garde contre certaines erreurssont le fruit de l'observation rpte de celles-ci chez les lves.

A tout instant, des exercices sont proposs qui vont l'interpeller : il sera heureux de pouvoir, quelques dizaines de pagesplus loin, soit s'assurer que, par une bonne dmarche il est parvenu au bon rsultat, soit glaner une prcieuse indica-tion pour poursuivre la recherche : le livre forme un tout, efficace et cohrent.

Prface

XII

J'ai dit quel rle majeur dans la formation d'un jeune esprit scientifique peut jouer un manuel qui lui servira de rf-rence pendant longtemps. Sa conception, sa rdaction, sa prsentation sont, alors, essentielles : on ne peut que viser la perfection !

C'est tout le sens du travail effectu par Jean-Marie Monier avec une comptence, un got, une constance admirables,depuis le premier manuscrit jusqu'aux ultimes corrections, dans les moindres dtails, avant la version dfinitive.Ces ouvrages qui rpondent un rel besoin aujourd'hui, seront, j'en suis persuad, apprcis par tous ceux qui ilss'adressent par d'autres aussi sans doute ceux-l mmes qui, plus tard, diront : Ma formation mathmatique debase, je l'ai faite sur le MONIER ! .

H. DurandProfesseur en Mathmatiques Spciales PT*au lyce La Martinire Monplaisir Lyon

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XIII

Avant-propos

Ce Cours de Mathmatiques avec exercices corrigs s'adresse aux lves des classes prparatoires aux grandes coles(2e anne MP-MP*), aux tudiants du premier cycle universitaire scientifique et aux candidats aux concours de recru-tement de professeurs.Le plan en est le suivant :

Analyse MPSI : Analyse en 1re anneAlgbre MPSI : Algbre en 1re anneGomtrie MPSI : Gomtrie en 1re anneAnalyse MP : Analyse en 2e anneAlgbre et gomtrie MP : Algbre et gomtrie en 2e anne.Cette nouvelle dition rpond aux besoins et aux proccupations des tudiant(e)s.Une nouvelle maquette, la convivialit accrue, assure un meilleur accompagnement pdagogique. Le programmeofficiel est suivi de prs ; les notions ne figurant pas au programme ne sont pas tudies dans le cours. Des exercices-types rsolus et comments, incontournables et cependant souvent originaux, aident le lecteur franchir le passage ducours aux exercices. Les trs nombreux exercices, progressifs et tous rsolus, se veulent encore plus accessibles et per-mettent au lecteur de vrifier sa bonne comprhension du cours.Des complments situs la limite du programme sont traits, en fin de chapitre, sous forme de problmes corrigs.

J'accueillerai avec reconnaissance les critiques et suggestions que le lecteur voudra bien me faire parvenir aux bonssoins de Dunod, diteur, 5, rue Laromiguire, 75005 Paris.

Jean-Marie Monier

XIV

Pour bien utiliser La page dentre de chapitre

Elle propose une introduction au cours, unrappel des prrequis et des objectifs, ainsiquun plan du chapitre.

Le cours

Le cours aborde toutes les notions du pro-gramme de faon structure afin den faciliterla lecture.La colonne de gauche fournit des remarquespdagogiques qui accompagnent ltudiantdans lassimilation du cours. Il existe quatretypes de remarques, chacun tant identifi parun pictogramme.

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Monier Alg

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Gomtrie

Monier A

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Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Les pictogrammes dans la marge

Commentaires pour bien comprendre le cours(reformulation dun nonc, explication dunedmonstration).

Indication du degr dimportance dun rsultat.

Mise en garde contre des erreurs frquentes.

Rappel dhypothse ou de notation.

Les exercices-types rsolus

Rgulirement dans le cours, des exercices-types rsolus permettent dappliquer sesconnaissances sur un nonc incontour-nable. La solution est entirement rdigeet commente.

XV

Les exercices et problmes

Dans chaque chapitre, la fin dune sous-partie,des noncs dexercices sont proposs poursentraner. La difficult de chaque exercice estindique sur une chelle de 1 4.A la fin de certains chapitres,des noncs de pro-blmes proposent daller plus loin.

Les solutions des exercices et problmes

Tous les exercices et problmes sont corrigs.Les solutions sont regroupes en fin douvrage.

cet ouvrage

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Les mthodes retenir

Rgulirement dans le cours,cette rubrique pro-pose une synthse des principales mthodes connatre.

Chapitre 3 Suites numriques

XVI

Remerciements

Je tiens ici exprimer ma gratitude aux nombreux collgues qui ont accept de rviser des parties du manuscrit ou dela saisie: Robert AMBLARD, Bruno ARSAC, Chantal AURAY, Henri BAROZ, Alain BERNARD, IsabelleBIGEARD, Jacques BLANC, Grard BOURGIN, Grard-Pierre BOUVIER, Grard CASSAYRE, Gilles CHAF-FARD, Jean-Yves CHEVROLAT, Jean-Paul CHRISTIN, Yves COUTAREL, Catherine DONY, Hermin DURAND,Jean FEYLER, Nicole GAILLARD, Marguerite GAUTHIER, Daniel GENOUD, Christian GIRAUD, Alain GOU-RET, Andr GRUZ, Andr LAFFONT, Jean-Marc LAPIERRE, Jean-Paul MARGIRIER, Annie MICHEL, RmyNICOLA, Michel PERNOUD, Jean REY, Ren ROY, Philippe SAUNOIS, Patrice SCHWARTZ et Grard SIBERT.Enfin, je remercie vivement les ditions Dunod, Gisle Maus, Bruno Courtet, Michel Mounic, Nicolas Leroy etDominique Decobecq, dont la comptence et la persvrance ont permis la ralisation de ces volumes.

Jean-Marie Monier

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3

1CHAPITRE 1Espaces vectorielsnorms

IntroductionLes notions danalyse relatives aux suites et fonctions relles ou complexesqui ont servi de base lenseignement de premire anne vont tre gnra-lises au cas despaces vectoriels, souvent de dimension finie, munis denormes. Une premire approche a dj t faite lors de ltude lmentairedes fonctions de deux variables relles, Analyse MPSI, ch. 11.Une attention particulire est porte aux espaces prhilbertiens, cest--direles espaces vectoriels rels ou complexes munis dun produit scalaire (etnon ncessairement de dimension finie).

Prrequis Les nombres rels (Analyse MPSI, ch. 1) Les nombres complexes (Analyse MPSI, ch. 2) Suites numriques (Analyse MPSI, ch. 3) Espaces vectoriels (Algbre MPSI, ch. 6) Espaces vectoriels (Algbre MPSI, ch. 6) Applications linaires (Algbre MPSI, ch. 7).

Objectifs Gnralisation des notions danalyse relatives aux rels et aux com-

plexes (convergence de suites, limites, continuit) vues en premireanne, au cas des espaces vectoriels norms

Acquisition du vocabulaire topologique : voisinages, parties ouvertes,parties fermes, intrieur, adhrence, frontire, parties denses, ...

Mise en vidence dapplications remarquables et frquemment rencon-tre : applications continues, uniformment continues, lipschitziennes,homomorphismes

tude spcifique des applications linaires continues Dfinition et tude de parties remarquables jouant un rle essentiel :

parties compactes, compltes, connexes par arcs Bilan sur les espaces prhilbertiens rels ou complexes.

1.1 Vocabulairede la topologiedun espacevectoriel norm 4

Exercices 10, 13, 25, 28,30, 38

1.2 Limites, continuit 39

Exercices 48, 51, 57

1.3 Compacit 58

Exercices 62, 66

1.4 Compltude 66

Exercices 67, 71

1.5 Connexit par arcs 72

Exercices 75

1.6 Espacesprhilbertiens 76

Exercices 82, 88, 95, 98

Problmes 98

Plan

Chapitre 1 Espaces vectoriels norms

4

Dans ce chapitre 1, K dsigne R ou C .Une tude lmentaire a t faite dans Analyse MPSI (ch. 3, 4, 11).On abrge espace vectoriel en ev.

1.1 Vocabulaire de la topologie d'un espace vectoriel norm

1.1.1 Norme, distance associe1) Dfinition d'une norme, exemples

Dfinition

On appelle norme sur un K-ev E toute application N : E R telle que :(i) K, x E, N (x) = ||N (x)(ii) x E, (N (x) = 0 x = 0)(iii) (x,y) E2, N (x + y) N (x) + N (y).On appelle espace vectoriel norm (en abrg evn) tout couple (E,N ) o E est un K-ev et N une norme sur E.

Remarque : Soit (E,N ) un K-evn.

1) En appliquant (i) = 0 , on dduit N (0) = 0 .2) Pour tout x de E , en appliquant (iii) x on dduit alors :0 = N (0) = N (x + (x)) N (x) + N (x) = N (x) + | 1|N (x) = 2N (x),et donc N (x) 0.La condition N (x) 0 serait donc superflue dans la dfinition.

Une norme sur E est souvent note ||.|| : E Rx ||x || , ou encore ||.||E.

S'il n'y a pas de risque d'ambigit, on note E au lieu de (E,N ).

Exemples :

1) Les trois normes usuelles sur Kn (dites aussi normes standard sur Kn ).Soit n N . Considrons, pour tout x = (x1,. . . ,xn) de Kn , les rels ||x ||1, ||x ||2, ||x ||dfinis par :

||x ||1 =n

k=1|xk |, ||x ||2 =

( nk=1

|xk |2) 1

2, ||x || = Max

1kn|xk |.

Vrifions que les applications ||.||1, ||.||2, ||.|| : Kn R ainsi dfinies sont desnormes. Les calculs suivants sont valables pour tous x = (x1,. . . ,xn),y = (y1,. . . ,yn)de Kn et de K.

a) (i) ||x ||1 =n

k=1|xk | = ||

nk=1

|xk | = || ||x ||1

(ii) ||x ||1 = 0 n

k=1|xk | = 0 (k {1,. . . ,n}, |xk | = 0)

(k {1,. . . ,n}, xk = 0) x = 0

(i) : positive-homognit

(ii) : non-dgnrescence

(iii) : ingalit triangulaire.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

On rajoute quelquefois :

(iv) x E,N (x) 0 , ce qui esten fait inutile (cf. ci-dessous).

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

On note 0 le rel nul (ou le complexe nul)et aussi 0 le vecteur nul.

Ces exemples sont fondamentaux.

1.1 Vocabulaire de la topologie dun espace vectoriel norm

5

(iii) ||x + y||1 =n

k=1|xk + yk |

nk=1

(|xk | + |yk |)=n

k=1|xk | +

nk=1

|yk | = ||x ||1 + ||y||1.

b) (i) ||x ||2 =( n

k=1|xk |2

) 12=

(||2

nk=1

|xk |2) 1

2= ||( n

k=1|xk |2

) 12= || ||x ||2

(ii) ||x ||2 = 0 n

k=1|xk |2 = 0 (k {1,. . . ,n}, |xk |2 = 0) x = 0

(iii) L'ingalit ||x + y||2 ||x ||2 + ||y||2 est acquise pour K = R d'aprs l'tude des pro-duits scalaires (cf. Algbre MPSI, 10.1.2 Th. 2). Nous allons cependant en donner une preu-ve lmentaire.

||x + y||2 ||x ||2 + ||y||2 ||x + y||22 ||x ||22 + 2||x ||2||y||2 + ||y||22

n

k=1

(|xk + yk |2 |xk |2 |yk |2) 2||x ||2||y||2 R

( nk=1

xk yk) ||x ||2||y||2

n

k=1xk yk

||x ||2||y||2

1k,ln

xk yk xl yl

1k,ln|xk |2|yl |2

1k


6

En effet, pour tous f,g de B(X;K) et tout de K :(i) || f || = Sup

xX| f (x)| = || Sup

xX| f (x)| = || || f ||

(ii) || f || = 0 (x X, | f (x)| = 0) f = 0(iii) || f + g|| = Sup

xX| f (x) + g(x)| Sup

xX(| f (x)| + |g(x)|)

SupxX

| f (x)| + SupxX

|g(x)| = || f || + ||g||.

La norme ||.|| sur B(X;K) est appele norme de la convergence uniforme car (cf. 5.1.1) une suite ( fn)n converge uniformment vers f sur X si et seulement si :{

Il existe N N tel que, pour tout n N , fn f B(X;K)|| fn f ||

n 0.

4) Soient (a,b) R2 , tel que a < b , et E = C([a; b],K) le K-ev des applications continuesde [a; b] dans K. Considrons, pour toute f de E , les rels || f ||1, || f ||2 dfinis par :

|| f ||1 = b

a

| f |, || f ||2 =( b

a

| f |2) 12

.

Vrifions que les applications ||.||1,||.||2 : C([a; b],K) R ainsi dfinies sont desnormes. On a, pour tous f,g de C([a; b],K) et tout de K :

a) (i) || f ||1 = b

a

| f | = || b

a

| f | = || || f ||1

(ii) || f ||1 = 0 b

a

| f | = 0 f = 0 ,

car f est continue

(iii) || f + g||1 = b

a

| f + g| b

a

(| f | + |g|)

= b

a

| f | + b

a

|g| = || f ||1 + ||g||1.

b) (i) || f ||2 =( b

a

| f |2) 1

2=(||2

ba

| f |2) 1

2= ||

( ba

| f |2) 1

2= || || f ||2

(ii) || f ||2 = 0 b

a

| f |2 = 0 f = 0,

car f est continue(iii) L'ingalit || f + g||2 || f ||2 + ||g||2 est consquence de l'ingalit de Cauchy-Schwarz pour les intgrales :

ba

f g2

( b

a

| f |2)( b

a

|g|2)

.

5) Plus gnralement, avec les notations de 4), pour tout p de [1,+[, l'application :||.||p : C([a; b],K) R

f ( b

a

| f |p) 1p

est une norme, appele norme de Hlder.

Pour toute f de C([a; b],K) , || f ||p p Supx[a;b]| f (x)| , ce qui justifie ici la notation || f ||.

Rviser les proprits de la norme ||.||dans Analyse MPSI, 4.1.8.

Monier Alg

bre Monier

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Monier A

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La continuit de f est ici essentielle.

Cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Cor. 4.

Monier Alg

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Monier

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Monier

La continuit de f est ici essentielle.

Cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Cor. 4.

Monier Alg

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Cf. Analyse MPSI, 6.2.5 Thorme, pourle cas rel,et plus loin 2.3.4 2) th.3 pourle cas complexe.

Monier Alg

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Monier A

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Algbre Gom

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Cf. exercice 1.1.9 p. 10.Moni

er Algbre Monier

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Monier A

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Monier

Cf. exercice 1.1.9 d) p. 10.Moni

er Algbre Monier

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Monier A

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Algbre Gom

Gomtrie

Monier


7

2) Distance associe une norme

Dfinition

Soit (E,||.||) un evn ; on appelle distance associe ||.|| l'application d : E2 Rdfinie par : (x,y) E2, d(x,y) = ||x y||.

En particulier : x E, d(0,x) = ||x ||.

Proposition 1

Soient (E,||.||) un evn et d la distance associe ||.|| . On a :

1) (x,y) E2, d(y,x) = d(x,y)2) (x,y) E2, (d(x,y) = 0 x = y)3) (x,y,z) E3, d(x,z) d(x,y) + d(y,z)4) (x,y) E2, K, d(x,y) = ||d(x,y)5) (x,y,z) E3, d(x + z,y + z) = d(x,y).

Preuve 1) d(y,x) = ||y x || = || (x y)|| = ||x y|| = d(x,y)2) d(x,y) = 0 ||x y|| = 0 x y = 0 x = y3) d(x,z) = ||x z|| = ||(x y) + (y z)|| ||x y|| + ||y z|| = d(x,y) + d(y,z)4) d(x,y) = ||x y|| = ||(x y)|| = || ||x y|| = ||d(x,y)5) d(x + z,y + z) = ||(x + z) (y + z)|| = ||x y|| = d(x,y).

Remarques :

1) Soit E un ensemble ; on appelle distance sur E toute application d : E2 R satisfaisantles conditions 1), 2), 3) prcdentes. On appelle espace mtrique tout couple (E,d) o E estun ensemble et d une distance sur E .2) Si E est un K-ev et d : E2 R une application satisfaisant les cinq conditions 1), 2), 3),4), 5) prcdentes, alors il existe une norme et une seule ||.|| sur E telle que :

(x,y) E2, d(x,y) = ||x y|| .3) Les proprits 3), 4), 5) peuvent tre interprtes graphiquement (pour la norme eucli-

dienne usuelle dans R2 ) :

Exercices 1.1.1, 1.1.3 1.1.10.

La formule

d(x,y) = ||x y||exprime la distance laide de la norme.

La formule

||x || = d(0,x)exprime la norme laide de la distance.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

1) : symtrie

2) : sparation

3) : ingalit triangulaire

4) : positive homognit

5) : invariance par translation.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Cf. exercice 1.1.2 p. 10.Moni

er Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

d(x, y

) d(y, z)

y

x zd(x, z)

y

0

y

x

d( x, y)

d(x,y)

x

Proprit 3) :ingalit triangulaire

Proprit 4) :positive homognit

Proprit 5) :invariance par translation

y

x

z

x + y

x + z

0


8

Proposition 2 Ingalit triangulaire renverse

Soient (E,||.||) un evn et d la distance associe ||.|| . On a :1) (x,y) E2, ||x y|| ||x || ||y||2) (x,y,z) E3, d(x,y) d(x,z) d(y,z).Preuve 1) ||x || = ||(x y) + y|| ||x y|| + ||y||, d'o ||x || ||y|| ||x y||.En changeant x et y : ||y|| ||x || ||y x || = ||x y|| .Ainsi ||x y|| Max(||x || ||y||,||y|| ||x ||) =

||x || ||y||.2) d(x,y) = ||x y|| = ||(x z) (y z)||

||x z|| ||y z|| = d(x,z) d(y,z). 3) Construction de normes

a) Norme induite sur un sous-ev

Soient (E,||.||) un evn, d la distance associe ||.|| . Pour tout sev F de E , l'application F R

x ||x || est une norme sur F, appele

norme induite sur F par || || (de E), et encore note || ||. Pour toute partie X de E, l'application X X R

(x,y)d(x,y)est appele distance

induite sur X par d, et encore note d.

b) Normes sur un produit fini de K-evn

Soient n N, (Ek,Nk)1kn des K-evn, E =n

k=1Ek. Considrons pour tout

x = (x1,. . . ,xn) de E, les rels 1(x),2(x),(x) dfinis par :

1(x) =n

k=1Nk(xk), 2(x) =

( nk=1

(Nk(xk))2) 1

2, (x) = Max

1knNk(xk).

Les applications 1,2, sont des normes sur E, appeles normes standard surn

k=1Ek associes N1,. . . ,Nn .

4) Algbres normes

Rappelons qu'une algbre (ou K-algbre) est un K-ev A muni d'une loi interne, note ici ou par l'absence de symbole, telle que :

(i) est distributive sur + :(x,y,z) A3,

{x(y + z) = xy + xz(y + z)x = yx + zx

(ii) K, (x,y) A2, (x)y = (xy) = x(y).

Si de plus est commutative (resp. associative, resp. admet un neutre), on dit que A est une K-algbre commutative (resp. associative, resp. unitaire).

Exercice 1.1.2.

Une norme sur E induit une norme surtout sev de E .Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Il est clair que, pour tout sev de E , ladistance induite sur F par d est aussi ladistance associe la norme induitesur F par || ||.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

nk=1

Ek = E1 . . . En.

Les dfinitions de v1,2,gnralisent celles de || ||1, || ||2,|| || vues sur Kn (exemple 1) p.4).Lapreuve du fait que ce sont des normes estanalogue celle de lexemple 1).

Rappels dalgbre gnrale, cf. AlgbreMPSI.


9

Dfinition

Soient A une K-algbre, N une norme sur le K-ev A .

1) On dit que N est compatible avec la multiplication de A si et seulement si : C R+, (x,y) A2, N (xy) C N (x)N (y).

2) On dit que N est une norme d'algbre si et seulement si : (x,y) A2, N (xy) N (x)N (y).

On appelle K-algbre norme tout couple (A,N ) o A est une K-algbre et N unenorme d'algbre sur A .

Proposition

Pour tout ensemble non vide X, B(X;K) est une algbre norme, la troisime loitant la multiplication.

Preuve

On sait dj que (B(X;K), || ||) est un evn.De plus, B(X,K) est une algbre et :

( f,g) (B(X,K) )2 , || f g|| || f ||||g|| . Nous verrons plus loin ( 1.2.5 p. 53) que, si (E,|| ||) est un K-evn, alors (LC(E),||| |||) estune K-algbre norme.

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

Si N est compatible avec la multiplicationde A, alors il existe C R+ tel que :(x,y) A2 ,N (xy) C N (x)N (y) ,

et lapplication

N : A R dfinie par :x A, N (x) = C N (x)est une norme dalgbre sur A.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Cf. Analyse MPSI, 4.1.8 Prop. 3.Moni

er Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Les mthodes retenir

Norme, distance associe

Pour montrer quune application est une norme sur un K-espace vectoriel (ex. 1.1.3 1.1.9), revenir la dfi-nition (Df. p. 4).

Pour exprimer la distance d associe une norme N sur E, utiliser :(x,y) E2 , d(x,y) = N (x y) ,

et, pour exprimer une norme N partir distance associe d sur E, utiliser :

x E, N (x) = d(0,x) ,(ex. 1.1.2).

Pour tablir une ingalit faisant intervenir une norme (ex. 1.1.10), on pourra essayer dappliquer judicieuse-ment lingalit triangulaire.


10

1.1.1 Trouver toutes les normes sur le R -espacevectoriel R .

1.1.2 Soient E un K-ev, d : E2 R une applicationtelle que, pour tout (x,y,z) de E3 et tout de K :

1) d(y,x) = d(x,y)2) d(x,y) = 0 x = y3) d(x,z) d(x,y) + d(y,z)4) d(x,y) = ||d(x,y)5) d(x + z,y + z) = d(x,y) .

Montrer qu'il existe une norme unique N sur E telle que :

(x,y) E2, d(x,y) = N (x y).

1.1.3 Soient E un K-ev, N : E R une applicationtelle que :1) x E {0}, N (x) > 02) N (0) = 03) (x,y) E2, K, N (x + y) ||N (x) + N (y) .Montrer que N est une norme sur E .

1.1.4 Soient E un K-ev, p N, N1,. . . ,Np des normessur E , (1,. . . ,p) Rp+ {(0,. . . ,0)}, N : E Rdfinie par :

x E, N (x) =p

k=1k Nk(x).

Montrer que N est une norme sur E .

1.1.5 Soient E = C([0; 1],R), p N,( f1,. . . , fp) E p , N : Rp R l'application dfinie par :

(x1,. . . ,xp) Rp, N (x1,. . . ,xp) = 1

0

p

k=1xk fk(t)

dt.Dterminer une CNS sur ( f1,. . . , fp) pour que N soit unenorme sur Rp.

1.1.6 Soient E,F deux K-ev, ||.||F une norme sur F ,f L(E,F), N : E R

x || f (x)||F.

Trouver une CNS sur f pour que N soit une norme sur E .1.1.7 Soient n N, a0 . . . ,an R deux deux distincts.On note :

N : Rn[X] R, P N (P) =n

k=0|P(ak)| .

Montrer que N est une norme sur Rn[X].

1.1.8 Normes de Hlder sur Kn

Soient n N, p ]1;+[, q = pp 1

(donc 1p

+ 1q

= 1).

a) Montrer : (a,b) (R+)2, ab 1p ap + 1

qbq .

On note ||.||p : Kn R l'application dfinie par :

(x1,. . . ,xn) Kn, ||(x1,. . . ,xn)||p =( n

k=1|xk |p

) 1p,

et de mme pour ||.||q .b) Montrer, pour tout (x,y) de (Kn)2 :

)

n

k=1xk yk

||x ||p||y||q (analogue de l'ingalitde Cauchy-Schwarz), o (x1,. . . ,xn) = x et(y1,. . . ,yn) = y) ||x + y||p ||x ||p + ||y||p.

c) En dduire que ||.||p est une norme sur Kn , appelenorme de Hlder.d) Montrer, pour tout x de Kn : ||x ||p ||x ||

p+,

o ||x || = Max1kn

|xk | lorsque x = (x1,. . . ,xn) .

1.1.9 Normes de Hlder sur C([a; b],K)Soient (a,b) R2 tel que a < b, E = C([a; b],K),p ]1;+[, q = p

p 1.

a) Montrer : (,) (R+)2, 1p p + 1

pq

(cf. exercice 1.1.8 a)).On note ||.||p : E R l'application dfinie par :

f E, || f ||p =( b

a

| f (t)|p dt) 1p

,

et de mme pour ||.||q .b) Montrer, pour tout ( f,g) de E2 :

)

b

a

f g || f ||p||g||q

) || f + g||p || f ||p + ||g||p.c) En dduire que ||.||p est une norme sur E , appelenorme de Hlder.d) Montrer, pour tout f de E : || f || || f ||

p+o || f || = Sup

t[a;b]| f (t)|.

1.1.10 Soient (E,||.||) un evn, (a,b) (E {0}) E,f : R R

t ||ta + b||. Montrer que f est convexe (c'est--dire : (u,v) R2, [0; 1],

f (u + (1 )v) f (u) + (1 ) f (v),cf. Analyse MPSI, 5.4.1 Df.)

et que : lim f = +.

Exercices


11

D

unod

. La

phot

ocop

ie n

on a

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ise

est u

n d

lit.

Exercice-type rsolu

Un exemple de norme sur R2, trac de la boule unit ferme

On considre lapplication

N : R2 R, (x,y) N (x,y) = SuptR

|x + t y|1 + t2 .

a) Montrer que N est une norme sur R2.b) Dterminer et tracer, dans R2 usuel, la boule ferme B N (0 ; 1).

1.1.2 Boules, sphresSoient (E,||.||) un K-evn et d la distance associe.

Dfinition

Soient a E , r R+ ; on dfinit les parties suivantes de E, appeles respective-ment boule ouverte, boule ferme, de centre a et de rayon r :

B(a; r) = {x E; d(a,x) < r}B(a; r) = {x E; d(a,x) r}.

On appelle aussi sphre de centre a et de rayon r : S(a; r) = {x E; d(a,x) = r}.

Remarque : Si E = {0} , alors, pour tous a,b de E et r,s de R+, on a :

B(a; r) = B(b; s)ou

B (a; r) = B (b; s)ou

S(a; r) = S(b; s)

{a = br = s

Ainsi, une boule ouverte (resp. boule ferme, resp. sphre) de E n'a qu'un centre et qu'un rayon .

On peut noter BE (a; r)au lieu de B(a; r) pour viter des confusions, si plusieurs evn inter-viennent.

Exemples :

Dans R2 , on peut reprsenter graphiquement les boules fermes de centre O et de rayon 1pour les trois normes usuelles :

Remarquer lingalit stricte pour la bouleouverte, large pour la boule ferme.

B'.1 (0; 1)

y

x1

1

O 1

1

B'.2 (0; 1)

y

x

1

1O O

B'.

(0; 1)

1

x1

y

1

1Exercices 1.1.11 1.1.13.

Cf. exercice 1.1.11 5) p.13.Moni

er Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier


12

Conseils

Ne pas oublier de montrer d'abord l'exis-

tence de N (x,y) pour tout (x,y) R2.

Par exemple, remplacer t par 0 puis rempla-cer t par 1.

Ingalit triangulaire dans R .

Proprit de la borne suprieured'une somme de deux fonctions.

Dfinition de la boule unit ferme

BN (0 1).

Proprit des trinmes rels : si un trinmerel du second degr garde un signeconstant sur tous les rels, alors son discri-minant est 0.

Solution

a) ExistenceSoit (x,y) R2.Soit t R.

Si |t | 1, alors : |x + t y|1 + t2

|x | + |t ||y|1 + t2

|x | + |y|1 + t2 |x | + |y|.

Si |t | 1, alors : |x + t y|1 + t2

|x | + |t ||y|1 + t2

|x | + t2|y|1 + t2 |x | + |y|.

Ceci montre : t R, |x + t y|1 + t2 |x | + |y|,

donc l'application t |x + t y|1 + t2 est borne, d'o l'existence de N (x,y).

(i) On a, pour tout R et tout (x,y) R2 :

N((x,y)

) = SuptR

|x + ty|1 + t2 = || SuptR

|x + t y|1 + t2 = ||N (x,y).

(ii) On a, pour tout (x,y) R2 :

N (x,y) = 0 SuptR

|x + t y|1 + t2 = 0 t R,

|x + t y|1 + t2 = 0

t R, x + t y = 0 (x,y) = (0,0).

(iii) On a, pour tous (x,y), (x ,y) R2 :

N((x,y) + (x ,y)) = N (x + x ,y + y) = Sup

tR

(x + x ) + t (y + y)1 + t2

SuptR

( |x + t y|1 + t2 +

|x + t y|1 + t2

)

SuptR

|x + t y|1 + t2 + SuptR

|x + t y|1 + t2 = N (x,y) + N (x

,y).

On conclut : N est une norme sur R2.

b) On a, pour tout (x,y) R2 :(x,y) B N (0 ; 1) N (x,y) 1

SuptR

|x + t y|1 + t2 1 t R,

|x + t y|1 + t2 1

t R, 1 t2 x + t y 1 + t2

t R,{

t2 + yt + (1 + x) 0t2 yt + (1 x) 0

{

y2 4(1 + x) 0(y)2 4(1 x) 0

{

y2 4(x + 1)y2 4(x + 1).


13

1.1.3 Parties bornes d'un evnSoient (E,||.||) un K-evn, d la distance associe ||.||.

Dfinition 1

Une partie A de E est dite borne si et seulement si :

M R+, (x,y) A2, d(x,y) M.

Proposition 1

Une partie A de E est borne si et seulement si :

C R+, x A, ||x || C.

ConseilsLes courbes

C1 : y2 = 4(x + 1)C2 : y2 = 4(x + 1)

sont des paraboles, et elles se coupent auxdeux points (0, 2) et (0,2).

Solution

Trac de B'N (0; 1) (en bleu fonc)

y

x1

2

O 1

2

1.1.11 Soient (E,|| ||) un evn, (a,b) E2, (r,s) (R+)2, K {0} . Montrer :

1) B(a; r) + B(b; s) = B(a + b; r + s)2) B(a; r) = B(a; ||r)3) B(a; r) B(b; s) = ||a b|| r + s4) B(a; r) B(b; s) ||a b|| s r

5) B(a; r) = B(b; s) {

a = br = s

(on supposera E = {0} pour 4) et pour 5)).

1.1.12 Soient E un K-ev, N1,N2 deux normes sur E ,a E, r R+ ; on suppose BN1(a; r)= BN2(a; r).Montrer N1 = N2 .

1.1.13 Montrer que, dans tout evn, toute boule ouverte(resp. ferme) est convexe.

Exercices

Si un rel M convient, tout rel plusgrand convient aussi.Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Si un rel C convient, tout rel plusgrand convient aussi.Monier Algbre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier


14

Preuve

1) Supposons A borne ; il existe M R+ tel que : (x,y) A2, d(x,y) M.Si A = , il existe a A, et on a, pour tout x de A : ||x || ||x a|| + ||a|| M + ||a||.2) Rciproquement, supposons qu'il existe C R+ tel que : x A,||x || C.On a alors :

(x,y) A2, d(x,y) = ||x y|| ||x || + ||y|| 2C.

Remarque : Une partie A de E est borne si et seulement s'il existe une boule ferme (ouune boule ouverte) contenant A .

Dfinition 2

Soient X un ensemble, f : X E une application ; on dit que f est borne si etseulement si f (X) est une partie borne de E.

Ainsi : f : X E est borne si et seulement s'il existe C R+ tel que :x X, || f (x)|| C .

Dfinition 3

Soit A une partie borne et non vide de E.

On dfinit le diamtre de A , not diam (A), par : diam(A) = Sup(x,y)A2

d(x,y).

On peut noter, pour toute partie A non borne et non vide de E : diam (A) = +. Alors, pourtoute partie non vide A de E : A est borne si et seulement si diam (A) < +.

Proposition 2

1) Soient A,B P(E) telles que A B. Si B est borne, alors A est borne ; si,de plus, A = , alors : diam (A) diam (B).

2) Soient n N,A1,. . . An des parties bornes de E ; alors :n

i=1Ai est borne.

3) Toute partie finie de E est borne.

Preuve 1) Immdiat.2) Puisque A1,. . . ,An sont bornes, il existe C1,. . . ,Cn R+ tels que :

i {1,. . . ,n}, x Ai , ||x || Ci .

En notant C = Max1in

Ci , on a alors : x n

i=1Ai , ||x || C, ce qui montre que

ni=1

Ai est borne.

3) Se dduit de 2) en remarquant que tout singleton est born.

1.1.4 VoisinagesSoient (E,||.||) un K-evn, d la distance associe ||.||.Dfinition 1

Soient a E , V P(E) ; on dit que V est un voisinage de a (dans E) si et seule-ment s'il existe r R+ tel que B(a; r) V .On note VE (a) (ou V(a)) l'ensemble des voisinages de a (dans E).

Si A est une partie borne non vide deE,lensemble {d(x,y);(x,y) A2}est une partie non vide et majore de R ,donc admet une borne suprieure dansR ,note diam (A).Cependant,on ne dfinit pas de diamtrepour .

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

Autrement dit, un voisinage de a dansE est une partie de E qui contient aumoins une boule ouverte centreen a.

Monier Alg

bre Monier

Gomtrie

Monier A

lgbre Monier

Monier

Algbre Gom

Gomtrie

Monier

feuille tage

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