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Exercices résolus de mathématiques.

GSP 13

EXGSP120 – EXGSP129

http://www.matheux.be.tf

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Décembre 08

http://www.matheux.be.tf/


EXGSP130 – FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009

Dans un triangle , on note respectivement ' et ' les pieds des hauteurs issues des sommets et .

On note le point d'intersection de ces hauteurs. On trace le cercle circonscrit au triangle '

ABC A B A B

H AC

' et,

par les points 'et ', on mène respectivement les tangentes et à ce cercle.

Démontrer que est un diamètre de

On note l'intersection des droites et . Démontrer que le trian

BA

A

B C

A B d d

a CH

b P AB d

C

gle ' est isocèle.

En déduire que le point est situé au milieu du côté

En déduire que la droite passe par .B

PA B

c P AB

d d P

B

A

A’

B’

O

C

dA

dB

P

H

1

1

1

1

1

324

C

C’


Les angles ' et ' sont droits car ' et ' sont des hauteurs.

Les points ' ' sont donc cocycliques et [ ] est un diamètre de .

Les angles ' et ' sont droits. Les points ' ' sont c

HB C HA C AA BB

HB CA HC

BB A AA B AB A B

C

1 1

ocycliques.

Soit ' le cercle circonscrit au quadrilatère définit par ces points. [ ] est un diamètre de '.

Les angles et ' sont égaux car ce sont des angles inscrits dans ' qui interceptent

le m

AB

B A

C C

C

1 2

1 2

1 2

ême arc. Dans , l'angle inscrit ' intercepte le même arc que l'angle tangentiel ' .

Ils sont donc égaux. Il en résulte que ' , c'est-à-dire que le triangle ' est isocèle

et '

' et ' so

A B

B B PBB

PB PB

B B

C

1 1

1 2 1 1

nt complémentaires puisque ' est une hauteur. et sont complémentaires

puisque ' est un triangle rectangle et comme ' nous avons ' ,

c'est-à-dire que le triangle ' est isocèle et

BB B A

BB A B B B A

APB PA

'.

Dès lors, et est le milieu de [ ]. (C'est le centre de ') et [ '] est une médiane

du triangle rectangle ' , donc ' et le triangle ' est isocèle.

Soit le centre de . ' est une ta

PB

PA PB P AB PA

AA B PA PB PA B

O PB

C

C ngente à et le triangle ' est rectangle.

Or les triangles ' et ' sont égaux puisqu'ils ont un côté commun, que '= '

et que '= '. Les angles ' et ' sont égaux et droits. Nous conc

PB O

PB O PA O OA OB

PB PA PA O PB O

C

luons que

' est la tangente à en ' et qu'elle passe par .BA P d A P C

Le 16 aout 2009.


EXGSP131– FACSA, ULG, Liège, Juillet 2009

On note le centre du cercle circonscrit à un triangle , et ' le pied de la médiane issue de de ce

triangle. On note le centre de gravité du triangle ' .

Démontrer que les droites ' et

O ABC A A

G AA B

AA OG

sont perpendiculaires si et seulement si le triangle est isocèle

en . :Calculer '.

ABC

B Suggestion AA OG

A

A’B C

G

O

C’ D

Soit ' le milieu de . Joignons ' qui est une médiatrice de .

Pour avoir une condition nécessaire et suffisante, il suffit de vérifier que le produit scalaire '. 0.

Pour allèger l'écr

C AB C O AB

AA OG

car est le centre de gravité du triangle '

iture, tous les couples de points ci-dessous désignent des vecteurs. Nous n'indiquons pas

la flèche au dessus de ces couples.

2' ' ' '

3G

ABA

OG OC C B BG OC C B BD

OC

car car est le milieu de '

car ' '

2 2 2 2 1' ' ' ' . '

3 3 3 3 2

2 1 1 1 1' ' ' ' ' '

3 3 3 3 3

1 1'. ' . ' ' '

3 3

.

BD BA AD DAA

AA AB BA

C B BA AD OC C B BA AA

OC C B BA AB BA OC C B AB BA

AA OG AB BA OC C B AB BA

AB O

2

2 ' 2 '0 car

1 1' '. ' . ' '. ' . '

3 3AB C B AB C B

C BA OC AB C B BA C B AB AB BA

1

. '3

AB BA

2

2

2 2 2

0 car '

1'

3

4 1' ' ' ' 2 ' '. ' ' '

3 3

'. ' '. ' '. '

A B

BA

BA OA A B BC C B BA C B C B BA

BA OA BA A B BA BC

22 ' '. 'C B BA C B

2

2 2

2 2 2 2 2

'

2 22 2 2 2

4 1' '

3 3

2 1 2' ' ' ' '

3 3 3

La relation est vérifiée si : ' ' 0 ' ' ' ' ' '

et donc le triangle est isocèle;

A B

C B BA

A B C B BA C B A B

C B A B C B A B C B A B C B A B

BA BC ABC

Le 16 aout 2009.


EXGSP132 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2008.

On considère un cercle de rayon . Un hexagone régulier est un hexagone dont tous les côtés ont la même

longueur. On considère deux hexagones réguliers, le premier inscrit dans et l'autre circonscr

RC

C, it à .

1) On demande de calculer les périmètres de ces deux hexagones.

2) On demande ensuite de déduire des résultats du point 1) deux approximations du nombre , l'un

par défaut, l'autre par excès.

C

A

O

A’BB’

C

C’

D

D’ E E’

F

F’

R

Le périmètre de l'hexagone inscrit est simplement égal à 6 .

3 2 3L'angle ' vaut 30° ' . tan 30 ' '

3 3

Le périmètre de l'hexagone circonscrit est donc : 4 3

La longueur de la circonférence du cercle

R

R RA OA AA R A F

R

est comprise entre les périmètres des deux hexagones :

6 2 4 3 3 2 3 3.46R R R

Le 16 aout 2009.


EXGSP133 – EPL, UCL, Louvain, septembre 2008.

On donne deux circonférences de centres fixes et choisies de telle manière que le rapport de

leurs rayons soit constant.

1) Trouvez les lieux décrits par les points de contact des tangentes communes.

2) Expliquez votre démarche au moyen d'un dessin clair et précis.

P

O O’

A

B

A’

B’

'Soit le rapport des rayons des deux cercles.

La tangente ' coupe l'axe ' en un point . Les triangles rectangles et ' ' sont

' 'semblables et on a : 1

La tangente ' coupe l'axe

Rk

R

AA OO P PAO PA O

PO OAk

PO OA

BB

' en un point '. Les triangles rectangles ' et ' ' ' sont

' ' 'semblables et on a : 2

'

' ' ' ' ' ' ' '1 2 1 1 '

' ' '

Les points et ' sont donc confondus

OO P P BO P B O

P O OBk

P O OB

PO P O PO OO P O OO OO OOPO P O

PO P O PO P O PO P O

P P

.

On en déduit que toutes les tangentes sont concourantes en P


Le quadrilatère est inscriptible dans un cercle de diamètre puisque 90

Le lieu des points de tangence au petit cercle est donc un cercle de diamètre .

Le quadrilatère ' ' ' est insc

PBOA PO PBO PAO

PO

PB O A

riptible dans un cercle de diamètre ' puisque ' ' ' ' 90

Le lieu des points de tangence au grand cercle est donc un cercle de diamètre '.

Calculons les diamètres de ces cercles en fonction du r

PO PB O PA O

PO

apport et de la distance '.

' 1'

1 1 1' ' ' ' ' ' ' ' '. '.

1 1

k OO

POk PO PO

PO k

kPO PO OO PO OO PO PO OO PO OO PO OO

k k k k

Le 16 aout 2009.


EXGSP134 – FACS, ULB, Bruxelles – juillet 2009.

Les côtés d'un carré sont divisés en quatre segments de même longueur. On numérote de 1 à 16

les points des subdivisions en commençant par un des sommets du carré et en tournant dans le sens

horlogique. On relie le point 2 au point 7, le point 6 au point 11, le point 10 au point 15 et le

point 14 au point 3. Les quatre droites ainsi obtenues déterminent un quadrilatère.

a) Quelle est la nature de ce quadrilatère?

b) Combien de fois l'aire du quadrilatère est-elle comprise dans celle du carré initial?

1) Les triangles rectangles 2 5 7 et 6 9 11 sont isométriques car les côtés de l'angle droit sont

de même mesure. Les angles correspondant sont donc de même amplitude.

Les triangles 3 2 et 6 7 sont isométriqB C

ues (un côté de même mesure compris entre deux

angles de même amplitude), et, comme les angles 3 2 et 2 3 sont complémentaires, les triangles

sont de plus rectangles.

Finalement, on en déduit que les qua

B B

tre triangles 3 2 , 6 7 , 10 11 et 14 15 sont

tous isométriques.

2 7 2 7 6 11 6 11

On démontre de la même façon que :

En conclusion, le quadrilatère est un carré.

B C D A

BC B C C D CD

AB BC CD DA

ABCD


2

2

2

2 1 1 9 3 132) On a tan cos cos

43 1 tan 13 131

9

9 2 13sin 1 sin

13 13

2 5 3D'une part : 2 7 13

cos 3 13

13

3 13 2 13D'autre part : 2 2 3 .cos et 7 6 7 .sin

13 13

3 13 2 13 8 13Donc : 2 7 2 7 13

13 13 13

Le rap

B C

BC B C

2

1 5 9 13 4 13port des aires est alors :

48 13

13

ABCD

A

A

Le 22 juin 2010.


EXGSP135 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2010.

On considère un cercle passant par les extrémités et de l'hypoténuse d'un triangle rectangle .

Ce cercle coupe la droite en et en un autre point noté '. De même, il coupe la droite en

B C ABC

AB B B AC C

et en un autre point '. Les points 'et ' sont distinct de .

Démontrer que la médiane issue de du triangle est confondue avec la hauteur issue de du

triangle ' '.

C B C A

A ABC A

AB C

1 1

1 1 1 2

Comme le triangle est rectangle en et que est une médiane, le triangle

est isocèle : . 1

Les points , ', ' et sont cocycliques. Donc ' et comme ' ' , nous en

déduisons qu

ABC A AO AOC

A C

B B C C B C C C

1 2

1 1 1 2

e ' . 2

Cependant, comme , en tenant compte de 1 et 2 , nous tirons : ' .2 2

Ces angles sont donc complémentaires. Le triangle ' est rectangle en et est

une hauteur.

B C

B C A C

AHC H AH

Le 13 juillet 2010.


EXGSP136 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2010.

2 2

Un point appartient à la diagonale d'un carré . Démontrer l'égalité :

.

où désigne la longueur d'un côté du carré, et ou représente la longueur du segment .

P BD ABCD

BP DP AP c

c XY XY

2

0

2

2

. .

. . . Car et sont perpendiculaires

.

.

.

CD

BP DP BA AP DA AP

BA DA BA AP AP DA AP BA DA

AP CD DA AP

AP CA AP

AB BP CA

2

2

0

2 22 2

. . Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.

car . .

La projection de sur est

AP

AB CA BP CA AP

c AP AB CA AB AC AB c

AC AB AB

Le 13 juillet 2010.


EXGSP137 – EPL, UCL, Louvain, juillet 2010, série 2.

Un quadrilatère est cyclique si ses quatre sommets sont situés sur une même circonférence.

1. Montrez que la somme des angles opposés d’un quadrilatère cyclique est égale à .

2. Illustrez votre démon

stration à l’aide d’un dessin clair et précis.

On considère ensuite un triangle quelconque. On choisit un point sur chaque arête de ce triangle.

Soit le point sur l’arête , le point sur l’arêt

ABC

D AB E

e et le point sur l’arête .

3. Démontrez que les cercles , et sont concurrents théorème de Miquel .

La propriété des quadrilatères cycliques démontrée au point 1. sera bien évidemment

AC F BC

ADE BDF CEF

d’une grande utilité.

4. Illustrez votre démonstration à l’aide d’un dessin clair et précis.

L'angle inscrit intercepte l'arc . L'angle inscrit intercepte l'arc .

Ensemble, ils interceptent la totalité du cercle. Or l'amplitude d'un angle inscrit vaut la

moitié de l'angle au cent

CAB CBD CDB CAB

re qui intercepte le même arc. L'angle au centre qui intercepte

la totalité du cercle vaut 2 . En conclusion : . Les angles sont donc

supplémentaires.

De la même façon, on déduira que :

CAB CDB

ACD ABD

.


2 1

2

Soit l'intersection des cercles déterminés par les points , , et les points , , .

En vertu de la proposition précédente, on a alors :

et

Or dans le triangle :

On déduit :

G A D E C E F

G A G C

ABC A B C

G

1

2 1

3 2 1

3

3

2

Et comme : 2

On conclut :

Autrement dit, les angles et sont supplémentaires. Le point est donc situé sur le cercle

déterminé par les points . Les trois cercle

B G

B G G

G G G

B G

B G G

BDF

s sont donc concurrents.

Le 16 aout 2009.


EXGSP138 – Polytech, Umons, Mons, juillet 2010, Série C.

Considérons un quadrilatère tel que:

ses diagonales et sont perpendiculaires entre elles et se coupent en un point

sur mais qui reste entre et ;

ce point est le

ABCD

AC BD

P AC A C

P

variable

variable

milieu de ;

sa diagonale est de longueur ;

sa diagonale est de longueur ;

les 2 angles variables et , quelle que soit la position

et quelle so

BD

BD

AC

PAB PDC

P

variable

constante

restent égaux entre eux

it la position de .

On demande :

Par les méthodes de la géométrie :

A. de déterminer le lieu du point ;

B. de déterminer le lieu du point , milieu du côté variable ;

C. de déterminer l

BD

B

M BC

synthétique

e lieu du point , centre de gravité du triangle variable ;

D. de déterminer s'il existe une circonférence inscrite au quadrilatère qui soit

simultanément tangente aux 4 côtés de ce quadrilatère

G ACB

ABCD

.

Par les méthodes de la géométrie :

E. de déterminer, dans le système d'axes orthonormés ( étant le milieu de et

étant aligné sur et orienté comme ) l'équation des parab

OXY O AC

OX AC AC

analytique

oles admettant

la diagonale comme directrice et le point comme foyer, dans le cas où

40 et 50.

BD A

BD AC


1 1

1 1

1 2 1 2

. par hypothèse.

car les triangles rectangles et sont égaux

( est commun et par hypothèse).

Or et sont complémentaires. Donc 90 .

regarde donc selon un angle

A A D

D B BPC DPC

PC PD PB

A B B B

B AC

droit. Le lieu de est donc un demi-cercle de diamètre .

. Le point ,étant le milieu de , est l'image de selon l'homothétie de centre et de

rapport 1/2. Le lieu de est donc un demi-cercl

B AC

B M BC B C

M e de diamètre / 2 et de centre

(avec / 4).

. Soit le milieu de . Le point est situé sur la médiane au 1/3 en partant de .

est donc l'image de selon l'homothétie de centre et de rapp

AC F

CF CA

C O AC G OB O

G B O

ort 1/3.

Le lieu de est le demi-cercle de centre et de rayon / 3.G O AC

. Si ce cercle existe, son centre est sur puisque est un axe de symétrie du quadrilatère.

Soit l'intersection de la bissectrice de et de .

Donc est le centre d'un cercle tangent aux côtés

D AC AC

H B AC

H .

Par symétrie, ce cercle sera aussi tangent aux côtés et .AD DC


1 1

1 1 1

1

2 2

1 1 1 1

. Il faut d'abord déterminer l'abscisse du point . Pour cela déterminons les valeurs possibles

de l'angle ou .

. tan . tan . tantan

tan

5 tan 2 2 tan 2 tan 5 tan 2 0

E P

A D

BPAC AP PC DP D AC A BP DP A

A

A A A A

1

1

1

1

22 22

2

1tan

2

1er cas : tan 2

2010. La directrice a alors pour équation : 15

2tan

Un parabole est le lieu des points équidistants du foyer et de la directrice :

40025 15

20

1

A

A

A

BPAP y

A

yx y x x

1

1

22 22

ème cas : tan 1/ 2

2040. La directrice a alors pour équation : 15

1/ 2tan

Un parabole est le lieu des points équidistants du foyer et de la directrice :

40025 15

20

A

BPAP y

A

yx y x x


Le 16 aout 2009.


EXGSP139 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 10.

On considère un triangle rectangle en . Le centre du cercle inscrit à ce triangle est noté .

Ce cercle rencontre les côtés , et du triangle en trois points notés respectivement

, et .

Dan

ABC A O

AB AC BC

P Q R

s le triangle , le pied de la hauteur issue de est noté .

1) Déterminer la valeur de l'angle .

2) Démontrer que les points , et sont alignés.

PQR Q H

PQR

O C H

1

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

a) Soit donc

et sont deux angles tangentiels qui interceptent le même arc :

Donc dans le triangle : 1

Or l'angle inscrit intercepte le même arc que et :

L

PQR Q

P R P R

BPR B P R

Q P R P R Q

1 1

2 2

2 2

a relation 1 s'écrit : 22

2b) Appliquons cette relation à l'angle .2 2 4

Le triangle rectangle est donc aussi isocèle et

D'autre part, le triangle est isocè

BB Q Q

AR R

QHR HR HQ Q R

CQR

3 3

2 3 2 3

le puisque et sont deux tangentes issues d'un même

point . et .

Considérons maintenant les triangles et . Ils sont isométriques car ils ont un angle

égal compris entr

CR CQ

C RC QC R Q

HRC HQC

R R Q Q

1 2

e deux côtés égaux ( et ).

Nous concluons que les angles et sont égaux. est alors situé sur la bissectrice de l'angle .

Comme est aussi sur cette bissectrice puisque le centre du ce

HR HQ RC QC

C C H C

O

rcle inscrit est le point de rencontre

des bissectrices, , et sont alignés.O H C

Le 30 septembre 2010.

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