A Construction du lieu dEvans

On etudie le lieu dEvans du syste`me H(z) = N(z)D(z) boucle par un gain de retroaction K. On

trace le lieu des racines de P (z) = D(z) +KN(z). Soit la fonction de transfert sous la forme :

H(z) =

m1 z zin1 z pi

Re`gle 1 (Points de depart et points darrivee)Les n branches du lieu dEvans partent, pour k = 0, des poles de la boucle ouverte. Elles aboutissent,pour k +, soit aux zeros de la boucle ouverte, soit a` infini suivant les directions asymptotiques.

Re`gle 2 (Nombre de directions asymptotiques)Il existe nm directions asymptotiques.

Re`gle 3 (Symetie)Le lieu dEvans est symetrique par rapport a` laxe reel.

Re`gle 4 (Parties du lieu sur laxe reel)Un point de laxe reel appartient au lieu des racines si, et seulement si le nombre de points critiques(poles ou zeros) de la boucle ouverte situes a` sa droite sur cet axe est impair, chaque point etantcompte autant de fois que son ordre de multiplicite.

Re`gle 5 (Angles des asymptotes)Les asymptotes des nm branches a` linfini font avec laxe reel des angles

=(2+ 1)pi

nmavec = 0, 1, , nm 1

Re`gle 6 (Point de convergence des asymptotes sur laxe reel)Les asymptotes des nm branches a` linfini se coupent toutes en un point de laxe reel dabscisse :

=

n1 pi

m1 zj

nm

Re`gle 7 (Angles de depart dun pole et darrivee en un zero)Si px est un pole de la boucle ouverte, reel ou complexe, dordre de multiplicite qx, les angles dedepart des qx branches qui partent de px sont donnes par :

x =1

qx

mj=1

arg(px zj)

ni=1,i6=x

arg(px pi) (2+ 1)pi

Si zx est un zero de la boucle ouverte, reel ou complexe, dordre de multiplicite rx, les anglesdarrivee en ce point des rx branches qui aboutissent en zx sont donnes par :

x =1

rx

mj=1,j 6=x

arg(zx zj) +ni=1

arg(zx pi) (2+ 1)pi

Re`gle 8 (Points de separation sur laxe reel)Ils sont solution de

mi=1

1

z zi=

ni=1

1

z pi, ou

d

dzK(z) = 0 , ou

d

dz

1

H(z)= 0

Re`gle 9 (Angles des branches aux points de separation)Si N branches du lieu se coupent en un point de separation (cest-a`-dire que 2N morceaux decourbe partent de ce point), langle entre deux morceaux de courbes voisins vaut pi/N .

Re`gle 10 (Graduation du lieu en valeurs de K)La graduation vaut 0 aux poles, elle vaut + aux zeros et aux asymptotes

Jean-Matthieu Bourgeot