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Institut National de la Recherche Agronomique Centre de Recherche de Jouy-en-Josas Unité de Biométrie / Equipe MatRisq

Microbiologie prévisionnelle Estimation du paramètre de croissance maximum à partir des données de l’appareillage BIOSCREEN

Jean-Pierre Gauchi

[email protected]

Rapport technique 2001-5, 185 pp.

30 octobre 2001

Sommaire

Introduction…………………...………………………………………………………………………………..……...… p. 4

Première Partie : Dénombrements………………………………………………………………….… p. 6

I . Description des processus de dilution et du mode opératoire BIOSCREEN…… p. 7

II. Estimation des variances des différentes sources d’erreur………….…………..……….. p. 16

II.1 Estimation des variances d’erreur de pipetage…….……….……….…………………….… p. 16

II.2 Estimation des variances d’erreurs de comptage……...…….……….…………..……...… p. 19

II.3 Estimation des variances d’erreurs de manipulation ……...………………………….… p. 20

III. Calcul et estimation de l’espérance et de la variance du nombre et de la

concentration de bactéries dans un tube D1…………………………………….…….……..…… p. 22

III.1 Quelques formules fondamentales utiles………….………………………..…….…..….….… p. 23

III.2 Espérance et son estimation du nombre de bactéries dans un tube D1………… p. 26

III.3 Variance et son estimation du nombre de bactéries dans un tube D1…….…..… p. 31

III.4 Espérance et variance de la concentration en bactéries dans un tube D1……… p. 36

IV. Etude de la sensibilité de la variance des estimations du nombre de bactéries

dans un tube D1.………………………………………………………………………………………………….… p. 38

V. Calcul et estimation de l’espérance et de la variance du nombre et de la

concentration de bactéries dans les tubes D2 à D8……………………………….…….…….… p. 40

V.1 Tube D2………………………………………………………………………………………..…….….….….. p. 40

V.2 Tubes D3 à D8……………………………………………..………………………………..….….……..… p. 43

1

Deuxième Partie : Estimation du paramètre µmax……………………………...…….… p. 45

VI. Temps de détection…………………………………………………………………………….……………….… p. 45

VI.1 Les courbes Bioscreen…………………………………………………..…….…………..……….….… p. 45

VI.2 Calcul des temps de détection par régression inverse………………………..………...… p. 46

VI.3 Variances, intervalles de confiance et poids des temps de détection ……….….… p. 47

VII. La méthode IDRLS ………………………………………………………………………….……………….… p. 49

VII.1 Principe de la méthode IDRLS ………………………………………………..……...……….….… p. 49

VII.2 Régression robuste avec l’algorithme IRLS ……………………………………..………...… p. 50

VII.3 Détails de la méthode IDRLS …………………..………………………………………………….… p. 53

VII.4 Algorithme de la méthode IDRLS ………. ………………………………………………….….… p. 57

VII.5 Etude empirique de la robustesse de la méthode IDRLS ………. …….………….….… p. 58

VIII. Estimation du paramètre µmax par une méthode de moyenne des temps

de génération ……………………………………………………………………….………………………….… p. 66

Troisième Partie : Résultats……………………………………………………………………………….… p. 68 IX. Résultats en fonction du %NaCl ……………………………………………………………..…………… p. 69 X. Résultats en fonction du pH ………….…………………………………………………………..………… p. 80

Conclusion………………………………………..………………………………………………………………...……… p. 83

Bibliographie………………………………………..…………………………………………………………………… p. 85

2

Annexes…..…………..…………………………………………………………………………………….……….……… p. 86

Annexe 1 : Courbes BIOSCREEN %NaCl à partir des données E. Coli de l’ADRIA Quimper

Annexe 2 : Courbes BIOSCREEN %NaCl à partir des données Listeria de l’ADRIA Quimper

Annexe 3 : Courbes BIOSCREEN %NaCl à partir des données L.M 118 III et S. Enteridis

de l’ADRIA Quimper

Annexe 4 : Courbes BIOSCREEN %NaCl à partir des données Listeria de IPL

Annexe 5 : Courbes BIOSCREEN %NaCl à partir des données E. Coli ECF-187 de IPL

Annexe 6 : Courbes BIOSCREEN pH à partir des données E. Coli de l’ADRIA Quimper

Annexe 7 : Estimations des µmax obtenues à partir des données de l’ADRIA Quimper

Annexe 8 : Estimations des µmax obtenues à partir des données de l’IPL

Annexe 9 : Procédure SAS pour calculer les estimations de µmax avec 5 méthodes de régression

3

Introduction Ce rapport technique représente la contribution principale de l’équipe MatRisq de l’Unité de

Biométrie de Jouy-en-Josas au projet PREVIUS, sur l’année 2001. Il s’adresse principalement

aux microbiologistes de la cellule opérationnelle de ce projet. On rappelle que l’objectif majeur

de PREVIUS est la constitution d’une base de données sur la microbiologie prévisionnelle dans

le domaine des aliments. Cette base est renseignée à la fois par des données issues de la littérature

et des données issues d’expériences en laboratoire réalisées par les partenaires de PREVIUS

(ADRIA-Quimper, Institut PASTEUR de Lille, INRA de Lille, ENV de Maisons-Alfort, le

Groupe industriel Danone, la SOREDAB, le CTSCCV).

Le problème statistique principal qui nous intéresse ici est l’estimation (ponctuelle et par

intervalles de confiance) d’un paramètre particulier : « pente maximum de la courbe de

croissance bactérienne », paramètre noté maxµ . Pour atteindre cet objectif il nous faut dans un

premier temps résoudre le problème de l’estimation de la variance du nombre de bactéries

présentes dans un tube d’une solution bactérienne diluée. Ce travail fait l’objet de la première

partie de ce rapport, il met en jeu des données issues de comptages de colonies sur boites de Pétri

fournies par IPL.

Dans la deuxième partie de ce rapport on utilise des courbes de cinétique de croissance obtenues

avec l’appareillage BIOSCREEN (fournies par IPL et ADRIA-Quimper). Celui-ci permet de

réaliser rapidement des cinétiques de croissance bactérienne en tubes dilués et sur lesquels

l’évolution de cette croissance est suivie quasiment en continu par la mesure de la densité

optique. On expose et on compare plusieurs méthodes de régression avant d’en proposer une bien

adaptée à l’estimation de dans un tel contexte. La troisième partie est consacrée aux résultats

des méthodes exposées dans les parties I et II appliquées aux micro-organismes Listeria

Monocytogenes, Escherichia Coli et Salmonella Enteridis.

maxµ

4

Un avantage majeur du BIOSCREEN est qu’il permet d’étudier des conditions

environnementales de pH et d’activité de l’eau Aw variables. Ainsi, la suite attendue de cette

étude est l’élaboration de modèles dits secondaires (non linéaires au sens de la régression)

représentant l’évolution du en fonction de ces conditions environnementales. Ces modèles

secondaires sont caractérisés par des paramètres cardinaux : pHmin , pHmax , pHopt , Awmin ,

Awmax , Awopt, Tmin , Tmax , Topt dont les valeurs dépendent du micro-organisme étudié. Ce

travail fera l’objet d’un rapport ultérieur.

maxµ

5

Première Partie : Dénombrements L’objectif de cette partie est l’estimation (ponctuelle et par intervalles de confiance) du nombre et

de la concentration en bactéries dans un tube dilué, à partir de comptages de colonies sur boites

de Pétri. Les variances de ces nombres et concentrations nous permettront de disposer de poids à

affecter aux données intervenant dans les méthodes de régression de la deuxième partie.

La difficulté de ces estimations est due à l’existence de plusieurs sources d’erreur :

- erreurs de dilution (qu’on appellera aussi erreurs de pipetage),

- erreurs d’échantillonnage,

- erreurs de comptage des UFC (unités formant colonies) sur les boites de Pétri,

- erreurs humaines de manipulation, typiquement lors de l’étalement d’une petite quantité

de solution microbienne sur la boite de Pétri .

Les erreurs de dilution et d’échantillonnage jalonnent tout le processus de la préparation des

solutions bactériennes, depuis la préparation des solutions microbiennes primaires jusqu’à la

solution prête à étaler. Avant d’exposer les calculs statistiques (chap. III) il nous faut donc faire

une description détaillée du processus de dilution ainsi que du mode opératoire de l’appareillage

Bioscreen d’une part (chap. I), et expliquer comment obtenir des estimations des variances de ces

différents types d’erreur d’autre part (chap. II).

6

I . Description des processus de dilution et du mode opératoire Bioscreen On décrit ci-après ces processus de dilution et ce mode opératoire à partir des informations

recueillies au sein du groupe de travail PREVIUS ; les aspects purement biologiques de l’étape 1

ne seront qu’évoqués. On introduit au fur et à mesure les notations pour les tubes et les volumes

qui nous seront utiles par la suite. Ce mode opératoire se décompose en sept étapes :

- étape 1 : préparation du tube primaire P,

- étape 2 : préparation du tube D1,

- étape 3 : dénombrement dans le tube D1,

- étape 4 : préparation des tubes D2 à D8,

- étape 5 : ensemencement des microplaques,

- étape 6 : mesure de la densité optique en continu,

- étape 7 : calculs,

étapes que nous développons maintenant.

Etape 1 : préparation du tube primaire P

On part du stock d’une souche d’une espèce E (Listeria monocytogenes, E. Coli, …) conservé à –

80°C duquel on prélève une microbille d’inoculum que l’on place dans un tube rempli d’un

volume VP de milieu nutritionnel BHI adapté, à température ambiante. Ce tube est mis en

incubation à une température T dépendant de l’espèce E, pendant une durée ∆t. Ensuite un

repiquage est effectué à p% et ce deuxième tube est mis à incuber à une température T’ pendant

une durée ∆t’. On obtient ainsi un tube primaire P de concentration CP, correspondant à un

nombre de bactéries NP = CPVP .

7

Les valeurs usuelles pour les différentes grandeurs (mais dépendant de l’espèce E) sont :

- VP = 10 ml,

- T = 30°C,

- ∆t = 8 heures,

- p% = 1% ou 0.1%,

- T’ = 30°C,

- ∆t = 16 ou 24 heures,

- CP ≈ 109 bactéries/ml.

Remarque :

En réalité la valeur de CP est très mal connue, elle peut différer largement de 109 bactéries/ml.

Etape 2 : préparation du tube D1

On remplit n tubes à essais avec V1 ml de BHI pour n1 d’entre eux (tubes T1 à Tn1) et V2 ml de

BHI pour les n2 autres (tubes Tn1+1 à Tn1+n2). Ce faisant on fait des erreurs de pipetage quand on

place soit V1 ml, soit V2 ml dans les tubes. Ces erreurs, de nature aléatoire, sont évidemment

différentes selon les tubes mais leurs variances sont également différentes selon que l’on place V1

ou V2 : les volumes réels placés dans ces tubes lors d’une expérience donnée sont donc inconnus.

Ensuite, on pipette vP ml dans le tube P que l’on place dans le tube T1 , le tube T1 devient le tube

: ce faisant on fait encore une '1T erreur de pipetage (on prélève en fait un volume inconnu proche

de vP ml,) et une erreur d’échantillonnage (on prélève en fait un nombre de bactéries différent du

nombre attendu vP/VP). Notons dP = vP/(V1 + vP) le facteur de dilution. S’il y avait exactement NP

bactéries dans P et s’il n’y avait pas d’erreurs on aurait maintenant dans : '1T

- = NP vP/VP = CP vP bactéries, '1T

N

- un volume de solution égal à = V1 + vP , '1T

V

- une concentration théorique (nombre de bactéries par ml) de = / = CP dP . '1T

C '1T

N '1T

V

8

On opère ensuite par dilutions en cascade. Raisonnons avec la valeur usuelle de 4 pour n1. A

partir de on pipette vT que l’on place dans T2 où se trouvent déjà V1 ml de BHI, le tube T2

devient le tube ; puis de on prélève vT que l’on place dans T3 où se trouvent déjà V1 ml de

BHI, le tube T3 devient le tube , et enfin de on prélève vT que l’on place dans T4 où se

trouvent déjà V1 ml de BHI, le tube dans T4 devient le tube . En théorie , et devraient

donc contenir maintenant un volume de BHI exactement égal à = V1 + vT , (i = 2, 3, 4) en

négligeant le volume occupé par les bactéries dans les tubes, et de concentrations respectives '2T

C ,

e . En réalité, on fait à chaque cascade des erreurs de pipetage et d’échantillonnage. La

concentration réelle dans le tube T n’est donc pas C . Pour évaluer cette concentration on opère

comme à l’étape 3 ci-dessous.

'1T

'2T '

2T'

3T '3T

'4T '

2T '3T '

4T

'iT

V

'3T

C t

4 T4

'4T

C

Les valeurs usuelles pour les différentes grandeurs sont :

- n = 11,

- V1 = 9 ml,

- n1 = 4,

- V2 = 5 ml,

- n2 = 7,

- vP = 1 ml,

- vT = 1 ml (c’est-à-dire une dilution au dixième),

- , et = 107 , 106 et 105 bactéries/ml, respectivement, si on suppose 109

bactéries/ml dans le tube P.

'2T

C '3T

C '4T

C

9

Etape 3 : dénombrement dans le tube D1

On appelle maintenant le tube le tube D1, contenant un nombre inconnu de bactéries ND1, un

volume inconnu VD1 = et de concentration inconnue CD1 = . Pour établir le dénombrement

ND1 on procède de la façon suivante. A partir de D1 on prélève v1 ml que l’on place dans un tube

D1a contenant V1 ml de BHI, le tube D1a devient le tube . Puis à partir de on prélève va ml

que l’on place dans un tube D1b contenant V1 ml de BHI, le tube devient le tube . La

concentration théorique dans le tube est donc = CD1 d1d1a si on note d1 et d1a les facteurs

de dilution avec d1 = v1 / (V1 + v1) et d1a = va /(V1 + va). Enfin, depuis on prélève un volume vb

que l’on place, sans le diluer, dans un tube (l’indice e pour ensemencement) duquel on prélève

indépendamment S fois vbs ml (s = 1 ,…, S) qui servent à ensemencer indépendamment S boites

de Pétri. On dépose donc en théorie = vbs bactéries sur chacune des S boites b1s (l’indice

1 de b1s fait référence au tube D1). En opérant ainsi le microbiologiste espère déposer environ une

centaine de bactéries sur une boite compte tenu de la valeur supposée de 105 pour CD1. Au bout

de la durée adéquate il compte visuellement sur chaque boite b1s un nombre n1s de colonies. Si

celles-ci ne sont pas trop chevauchées et si on fait l’hypothèse que chaque bactérie déposée

conduit à une colonie (on parle alors d’unité formant colonie UFC) alors n1s est égal au nombre

de bactéries dans le volume déposé sur la boite b1s. Pour remonter à la concentration CD1 qui

l’intéresse vraiment, le microbiologiste calcule d’abord la moyenne

'4T

'4T

V '4T

C

'1aD '

1aD

'1bD

'1bD '

1bDC

'1bD

eD

'1bD

n '1bD

C

bsv

1n des comptages obtenus sur

les S boites puis obtient CD1 par CD1= 1 1bs an v d d1 . On dispose parfois de plusieurs vraies

répétitions de tubes D1 (pour une souche donnée), c’est-à-dire de tubes D1 préparés

indépendamment à partir de la microbille. On verra au chapitre III comment ces répétitions nous

seront utiles.

Remarque

En réalité, comme pour les étapes 1 et 2 des erreurs de pipetage et d’échantillonnage jalonnent

tout ce procédé de dilution et des erreurs de manipulation entachent la procédure

10

d’ensemencement qui se fait manuellement à l’aide d’un même râteau utilisé séquentiellement

pour étaler un volume sur une boites b1s. bsv

Les valeurs usuelles pour les différentes grandeurs sont :

- v1 = 1 ml,

- V1 = 9 ml,

- va = 1ml,

- vb = 1 ml,

- vbs = 0.1 ml,

- s = 1 à 5,

- n1s = on s’attend avec les valeurs précédentes à la valeur de 100 en supposant 109

bactéries/ml dans le tube primaire P.

La figure 1 schématise cette méthode de dénombrement d’un tube D1.

boite 1

boite 2

boite s D1(VD1 = V1+ vt)

D1a -> D'1a(V1 -> V1+v1)

D1b -> D'1b(V1 -> V1+va)

De(0 -> vb)

v1 va vb

vb1

vb2

vbs

Figure 1 : Schéma de la méthode de dénombrement d’un tube D1.

11

Etape 4 : préparation des tubes D2 à D8

Pour obtenir les tubes D2 à D8 on opère en cascade comme suit. On prélève v2 ml dans le tube D1

que l’on place dans le tube T5 où se trouvent déjà V2 ml de BHI (voir étape 2) : le tube T5 devient

le tube D2. Puis du tube D2 on prélève v2 ml que l’on place dans le tube T6 où se trouvent déjà V2

ml de BHI (voir étape 2) : le tube T6 devient le tube D3 et ainsi de suite jusqu’au tube D8. Une

valeur usuelle pour v2 est 5 ml (dilution au demi).

Sans erreur de pipetage ni d’échantillonnage la concentration en bactéries dans le tube Di, pour i

= 2 à 8, serait de , en notant d = v2/(V2 + v2) le facteur de dilution. En général d = 1/2

donc , pour i = 2 à 8.

iDD dCC

i 1=

iDD CC

i)2/1(

1=

Etape 5 : ensemencement des microplaques,

Une microplaque de BIOSCREEN est une plaque stérile en matière plastique et comportant 100

cupules (10 colonnes de 10). On dépose dans la première cupule de la première colonne vc

microlitres prélevés du tube D1, puis vc prélevés de D2 dans la deuxième cupule de cette première

colonne, etc … jusqu’à la huitième cupule de la première colonne où on dépose vc prélevés de D8.

Une valeur usuelle pour vc est 350 µl (= 0.350 ml). Les deux dernières cupules de la colonne sont

remplies par un BHI non inoculé (témoin). On opère de la même façon pour les 9 autres

colonnes, sachant qu’il ainsi possible de faire varier une condition environnementale de colonne

en colonne. Par exemple, on peut imposer une variation du pH (ou de l’Aw) des solutions de la

colonne 1 à la colonne 10.

On peut placer deux microplaques dans l’appareil. On note que les microplaques vierges sont

rigoureusement identiques (même lot de fabrication très précise et de stérilisation commune) ce

qui fait évacuer l’hypothèse d’un effet de la plaque vierge, hypothèse qui ne sera plus toujours

valide quand on considérera plus loin les plaques ensemencées et en fin de croissance

bactérienne.

La figure 2 résume les étapes 4 et 5.

12

v2

D1 T5 -> D2 T11 -> D8

témoins

pH1 pH2 pH10

vc

vcvc

v2 v2

Figure 2 : Schéma du mode opératoire de la préparation des dilutions pour une plaque de BIOSCREEN.

Etape 6 : mesure de la densité optique en continu

L’appareil BIOSCREEN est basé sur le principe que la turbidité d’une solution bactérienne

s’accentue quand la croissance bactérienne augmente au cours du temps. Corrélativement la

densité optique de cette solution évolue. Des études antérieures nombreuses ont montré une

relation linéaire de pente positive entre la densité optique et la masse bactérienne (vivante ou

morte, la distinction ne pouvant se faire dans ces conditions) dans la cupule. La relation linéaire

n’est valable que pour certaines gammes de concentration bactérienne, typiquement de 105 à 109

bactéries/ml ce qui est le cas des études réalisées ici.

Les paramètres usuels du BIOSCREEN sont : température de 30°C, régulée avec précision,

longueur d’onde de 600 nm, intervalle entre deux mesures optiques de 15 minutes. Avant la

mesure le milieu est agité pendant 30 secondes.

13

Etape 7 : calculs

Dans ce rapport on part des deux méthodes de calcul utilisées couramment par les

microbiologistes que l’on compare et que l’on améliore grâce à un point de vue statistique que

l’on développe dans la deuxième partie. On se contente ici de donner le principe de ces deux

méthodes appelées méthode de la droite de régression ordinaire et méthode de la moyenne des

temps de génération (Tg).

méthode de la droite de régression

Le principe est de calculer une droite de régression aux moindres carrés ordinaires des

logarithmes de concentration en inoculum dans les huit tubes en fonction des huit temps de

détection repérés sur les courbes de densité optique fournies par le Bioscreen (voir Figure 3). La

pente de cette courbe fournit l’opposé du µmax cherché. Aucun intervalle de confiance n’est

fourni.

méthode de la moyenne des Tg

On détermine sept temps de génération pour huit courbes en calculant les différences entre deux

temps de détection. Comme on a la relation Tg = Loge2/µmax on en déduit sept valeurs possibles

pour µmax dont on fait la moyenne par la suite. En réalité on verra que les valeurs aberrantes sont

souvent fréquentes parmi les huit valeurs et donc influencent fortement le µmax moyen ainsi

obtenu.

14

t e m p st 1 t 2 t8 t 3

Tg 1 Tg 2

D 1 D 2 D 8

D O

Figure 3 : Schéma de principe d’obtention des temps de détection ti et des temps de génération Tgi sur les courbes de densité optique en fonction du temps, issues du Bioscreen.

15

II . Estimation des variances des différentes sources d’erreurs

Pour mener à bien nos calculs statistiques ultérieurs nous aurons besoin d’estimation des

variances des erreurs des sources d’erreurs signalées plus haut. Ces estimations ont été possibles

grâce à des données expérimentales et des informations fournies par les microbiologistes. Les

erreurs d’échantillonnage liées à la nature de la loi de probabilité attachée au prélèvement (loi

binomiale) seront examinées au chapitre III.

II .1 Estimation des variances d’erreurs de pipetage

Dans le cadre de cette étude les microbiologistes de l’IPL nous ont fourni plusieurs répétitions de

pipetées pesées avec une balance de grande précision (tableau 1).

Opérateur 1

Pipetée de 0.1 ml Pipetée de 1 ml Pipetée de 5 ml Pipetée de 9 ml 0.1000 0.98 5.02 8.97 0.0929 1.00 5.04 8.97 0.1019 0.98 5.00 8.97 0.0928 0.99 4.99 9.02 0.1000 1.00 4.98 9.00 0.1000 0.99 4.99 9.02 0.0971 1.00 5.00 9.03 0.0990 0.99 5.01 9.04 0.1051 1.00 4.98 9.01 0.0997 1.00 4.96 9.02

Moyenne = 0.0989 Variance = 1.4224×10-5




Opérateur 2

0.1256 1.02 5.02 0.0982 1.01 4.99 0.0959 1.00 5.00 0.0848 1.01 5.02 0.1127 1.00 4.99 0.1017 1.01 4.99 0.1130 1.01 5.02 0.0826 1.00 5.00 0.1019 1.00 4.99 0.1082 1.00 5.00




Tableau 1 : pesées en grammes de différentes pipetées (les densités des solutions pipetées sont considérées suffisamment proches de 1 pour assimiler 1 gramme à 1 millilitre).

16

Ces données nous ont permis d’estimer des variances de pipetage comme on le montre

maintenant.

Pour les pipetées de 0.1, 1 et 5 ml nous avons testé au préalable l’égalité des variances des deux

échantillons (opérateurs 1 et 2) par un test usuel de Fisher-Snedecor (test F) au risque de première

espèce de 5%.

Estimation de la variance d’une pipetée d’un volume souhaité de 0.1 ml Les variances des deux échantillons de pipetées de 0.1 ml, notées q0.1, figurant au tableau 1, sont

déclarées significativement différentes au moyen du test F : les résultats de l’opérateur 2 sont plus

dispersés que ceux de l’opérateur 1. Mais comme dans la suite de l’expérience BIOSCREEN on

ne sait pas quel opérateur exécute telle ou telle pipetée (ce n’est pas forcément toujours le même

opérateur qui prépare toutes les solutions d’une expérience BIOSCREEN) on prendra comme

estimation de la variance de la pipetée q0.1 la valeur 9.18963×10-5 obtenue en calculant la

variance des données des deux échantillons réunis. On prendra comme estimation de l’espérance

la valeur cible de 0.1 ml.

Donc :

1.0)(ˆ1.0 =qE

50.1

ˆ( ) 9.18963 10V q −= × .

Estimation de la variance d’une pipetée d’un volume souhaité de 1 ml Les variances des deux échantillons de pipetées q1 ne sont pas déclarées significativement

différentes par le test F : les résultats de l’opérateur 2 présentent une dispersion comparable à

ceux de l’opérateur 1. On choisira comme estimation de la variance de la pipetée de 1 ml la

valeur 9.9737×10-5 obtenue en calculant la variance des données des deux échantillons réunis.

On prendra comme estimation de l’espérance la valeur cible de 1 ml.

Donc :

1)(ˆ1 =qE

51

ˆ ( ) 9.9737 10V q −= × .

17

Estimation de la variance d’une pipetée d’un volume souhaité de 5 ml

Les variances des deux échantillons de pipetées q5 ne sont pas déclarées significativement

différentes par le test F : les résultats de l’opérateur 2 présentent une dispersion comparable à

ceux de l’opérateur 1. On choisira comme estimation de la variance de la pipetée q5 la valeur

3.3132×10-4 obtenue en calculant la variance des données des deux échantillons réunis. On

prendra comme estimation de l’espérance la valeur cible de 5 ml.

Donc :

5)(ˆ5 =qE

45

ˆ( ) 3.3132 10V q −= × .

Estimation de la variance d’une pipetée d’un volume souhaité de 9 ml On choisira comme estimation de la variance de la pipetée q9 la valeur 6.9444×10-4. On prendra

comme estimation de l’espérance la valeur cible de 9 ml.

Donc :

9)(ˆ9 =qE

49

ˆ( ) 6.9444 10V q −= × .

Estimation de la variance d’une pipetée d’un volume souhaité de 350 µl D’après les microbiologistes la pipetée de 350 µl est connue à ± 0.3125 % (valeur obtenue par

interpolation linéaire à partir de volumes encadrants) ce qui nous conduit à un intervalle de

confiance approximatif (à 95%), exprimé en ml, de [ 0.34891 ; 0.35109 ] soit une variance

estimée pour une pipetée de 0.350 ml de :

18

27

0.3500.35109 0.34891ˆ( ) 3.0927 10

2 1.96V q −−⎛ ⎞= =⎜ ⎟×⎝ ⎠

×

On prendra comme estimation de l’espérance la valeur cible de 0.350 ml.

Donc :

35.0)(ˆ35.0 =qE

70.35

ˆ( ) 3.0927 10V q −= × .

On récapitule ces résultats dans le tableau 2.

Pipetée E V

0.1q 0.1 59.18963 10−×

1q 1 59.9737 10−×

5q 5 43.3132 10−×

9q 9 46.9444 10−×

0.35q 0.35

73.0927 10−×

Tableau 2 : Estimations des espérances et des variances des pipetées. II .2 Estimation des variances d’erreurs de comptage

L’erreur dont il est question ici est l’erreur faite en comptant les UFC sur la boite de Pétri. En

effet, les praticiens expérimentés de ces comptages recommandent que le nombre d’UFC sur une

boite de Pétri soit proche de 100 pour permettre un comptage facile et entaché de peu d’erreur. Il

arrive cependant que le nombre d’UFC sur le boite dépasse largement la valeur de 100 (par

exemple 200 ou 300) ce qui conduit au chevauchement plus ou moins partiel de quelques UFC et

donc à une erreur dans le comptage du nombre total d’UFC sur la boite.

Il est difficile d’estimer rigoureusement la variance de ce comptage si ce n’est au prix de

nombreuses manipulations longues, délicates et coûteuses. On se contentera ici de faire une

19

estimation basée sur les informations fournies par ces praticiens, tout en envisageant trois cas

possibles :

- Dans la plage des 50-150 UFC on supposera une erreur de ±3 UFC correspondant à une

variance de comptage de 18 (estimation basée sur deux comptages, donc un seul degré

de liberté).

- Pour des nombres d’UFC supérieurs à 150 on supposera une erreur de ±6 UFC

correspondant à une variance de comptage de 72.

La variance d’erreur de comptage sera notée par la suite où ( rsV K% ) rsK% désigne la variable

aléatoire associée au comptage sur une boite s ensemencée par une solution bactérienne préparée

à partir d’une répétition r , notée D1r, d’un tube D1.

II .3 Estimation des variances d’erreurs de manipulation

Ces erreurs, d’origine humaine, sont également très difficiles à apprécier. Elles proviennent

essentiellement du « geste » effectué pour étaler la solution sur la boite de Pétri : c’est

l’ensemencement. Ce geste peut être manuel, c’est la technique dite du râteau ; en outre, ce râteau

sert en général à ensemencer au moins deux boites ce qui peut propager encore une erreur sur le

comptage futur. Le geste peut également être effectué par un appareil qui dépose selon une

spirale la solution sur la boite de Pétri. A titre d’exemple, d’après les spécialistes, pour deux

boites ensemencées par étalement manuel à partir de solutions préparées selon le même protocole

(mais évidemment soumises à des erreurs de dilution et d’échantillonnage) on peut compter un

nombre d’UFC de 80 pour l’une et 120 pour l’autre. Pour les données disponibles on considérera

ainsi deux situations possibles :

- Dans la plage des 50-150 UFC on supposera une erreur de ±50 UFC correspondant à

une variance de comptage de 625 en supposant que les intervalles d’incertitude sont

assimilables à des intervalles de confiance à 95% et donc qu’ils recouvrent quatre écart-

types.

- Pour des nombres d’UFC supérieurs à 150 on supposera une erreur de ±62 UFC

correspondant à une variance de comptage d’environ 1000.

20

La variance d’erreur de comptage établie sur S boites sera notée par la suite où

désigne la variable aléatoire associée aux comptages sur S boites chacune étant ensemencée par la

même solution bactérienne préparée à partir d’une répétition r d’un tube D1. Cependant, les S

boites diffèrent également par les volumes réalisations de la variable aléatoire .

( )rV K% rK%

bsv bsv%

On étudiera au chap. IV la sensibilité des résultats à la variation des variances de tous ces types

d’erreur.

21

III. Calcul et estimation de l’espérance et de la variance du nombre et de la

concentration de bactéries dans un tube D1

Pour établir ces calculs et estimations il nous faut montrer :

- comment les erreurs d’échantillonnage et de dilution se propagent depuis un tube D1r ,

une répétition d’un tube D1 , jusqu’au volume , bsv

- et comment prendre en compte les erreurs détaillées au chap. II.

Pour l’établissement des formules nous aurons besoin de formules fondamentales bien connues

rappelées au §III.1. Notre approche sera semi-analytique dans le sens où les calculs seront

essentiellement basés sur des formules analytiques mises à part quelques simulations rendues

nécessaires dans les cas d’absence de formules exactes ou d’approximation médiocre.

Pour l’application numérique on utilisera les hypothèses numériques de variances du chap. II et

les données de comptage sur boites de Pétri du tableau 3.

Répétitions D1r Souche 1 (E. Coli)

Souche 2 (E. Coli)

Souche 3 (L.M.)

Souche 4 (L.M.)

du tube D1 (1.08×109) (1.26×109) 1.94×109) 1.41×109) 1 245 75 1150 ( ?) 175 2 260 145 1210 ( ?) 232 3 119 150 55 221 4 85 150 73 225 5 145 160 250 213 6 185 105 253 266 7 120 90 267 216 8 65 150 320 197 9 275 150 231 145 10 140 75 205 141 Moyenne 164 128 207 218 Ecart-type 74 33 94 27

Tableau 3 : Comptages moyens d’UFC (à partir de deux boites de Pétri) pour 4 souches et 10 répétitions de tubes D1 par souche ; entre parenthèses apparaissent les concentrations supposées dans la microbille de la souche, en bactéries/ml. NB : les valeurs 1150 et 1210 de la souche 3 étant suspectes ont été remplacées par la moyenne des 8 autres valeurs.

22

Enfin, on supposera, comme habituellement dans ce type d’expérience, que les bactéries dans les

différents tubes sont en suspension et ne sont pas agrégées, hypothèse raisonnable si la dilution

dans un tube est assez grande.

III.1 Quelques formules fondamentales utiles

Espérance totale et variance totale

Pour une variable aléatoire Y conditionnée par les réalisations d’une variable aléatoire X

on rappelle que l’on a :

))(()( XYEEYE = (1)

))(())(()( XYVEXYEVYV += . (2)

Espérance d’un quotient de variables aléatoires

Il est bien connu que l’espérance d’un quotient n’est pas égale, en général, au quotient des

espérances, tout particulièrement dans les cas où les variables aléatoires du numérateur et du

dénominateur suivent des lois uniformes sur [0 ;1] ou des gaussiennes centrées réduites.

Toutefois, dans les cas qui nous intéressent ici en supposant des lois gaussiennes de moyennes et

variances spécifiées, nous avons vérifié à chaque fois, par simulation, que l’approximation

suivante était tout à fait acceptable :

)()(

YEXE

YXE ≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . (3)

Variance d’un quotient de variables aléatoires

Pour deux variables aléatoires non indépendantes X et Y (Kendall & Stuart, 1976) on a:

( )34

2

2 )(),cov()(2

))(())()((

))(()(

YEYXXE

YEXEYV

YEXV

YXV −+≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ . (4)

23

Variance d’un produit de variables aléatoires indépendantes

peut écrire la variance de leur

(5)

emarque :

obtient facilement la formule (5) en appliquant la définition de la variance sur le produit des h

(6)

(7)

←

ar exemple, pour deux variables aléatoires indépendantes X et Y on retombe sur la formule

22 YVXEXV + . (8)

Pour h variables aléatoires indépendantes Xi , i = 1,…, h on PV

produit comme la somme de 2h - 1 termes. Les 1hC premiers termes sont constitués du produit de

la variance d’une variable aléatoire, notée iV , et du produit des carrés des espérances des h-1

autres variables aléatoires, notées iE , les 2C termes suivants sont constitués du produit de deux

variances et du produit des espérances carrées des h-2 variables aléatoires, etc… et enfin le

dernier terme est constitué du produit des variances des h variables aléatoires. Chaque terme de la

somme globale est constitué de h éléments. On écrit :

h

{ } { }∏∏∑∏∑∏∑=∉<<∉<≠=

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×××+++=

−−

−

h

ii

iijj

iiiiii

iijj

iiii

ijj

h

iiP VEVVVEVVEVV

hh

h1,,

2

,

22

1 11121

121

2121

21KK

LL

R

→

On

variables aléatoires, qui conduit à (6), qui elle-même se développe en (7), c’est-à-dire :

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∏∏

==

2

11

h

ii

h

iiP XEXEV ∏∏

==

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=h

ii

h

ii EXE

1

2

1

2

{ } ∏∏==

−=h

ii

h

iiP EXEV

1

2

1

2 ∏∏==

−+=h

ii

h

iii EEV

1

2

1

2 )(

P

exacte bien connue (Kendall & Stuart, 1976) :

(()()()( YEYVXVXYV += )())(()())

24

Variance d’un produit de variables aléatoires non indépendantes

man, 1962). On se contentera On peut aussi établir une formule générale (voir par exemple Good

de donner ici la formule exacte pour deux variables aléatoires non indépendantes, formule qui

nous sera utile par la suite.

( )2222 )()()())(()())(()( YXEYVXEXVYEXYV ∆∆++=

( ) ( ))()()(2))(()(2 22 YXEYEYXEXE ∆∆+∆∆+

22 ( ) ( ) ( , ) ( , )E X E Y Cov X Y Cov X Y+ − (9)

vec :

Cov(X,Y) la covariance entre X et Y.

On b ppant les termes de :

a

- )(XEXX −=∆ ,

- )(XEYY −=∆ ,

-

éta lit facilement cette formule en dévelo

{ }2))(()( XYEXYEXYV −= .

n remarque dans (9) la présence de moments mixtes centrés d’ordre 3 et 4.

a formule (9) se simplifie dans le cas où X et Y sont des variables gaussiennes. En effet, d’une

}( 4433 zEzzEz

O

L

part les moments mixtes d’ordre 3 s’annulent et d’autre part, en dérivant la fonction

caractéristique d’une loi gaussienne conjointe de quatre variables aléatoires zi, i = 1,…,4,

(Anderson, 1958), on a :

{ ))())((( 2211 zEzzEzE ))())(( −−

, ) ( , ) ( , ) ( , )Cov z z Cov z z Cov z z Cov z z Cov z z Cov z z= + +

ce qui conduit ici à :

)

−−

1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 3 4( , ) ( , ) (

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ,E X Y V X V Y Cov X Y⎡ ⎤∆ ∆ = +⎣ ⎦

onc finalement (9) se simplifie en

) 2 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )E X E Y Cov X Y V X V Y Cov X Y+ + + . (10)

D2 2( ) ( ( )) ( ) ( ( )) (V XY E Y V X E X V Y= + 2

25

III.2. Calcul de l’espérance et de son estimation du nombre de bactéries dans un tube D1

n rappelle que l’on note D1r une répétition r , r = 1,…, R, d’un tube D1 , R prenant la valeur 10

otons :

-

O

dans cette étude.

N

1rDN% la variable aléatoire « nombre de bactéries dans un tube D1r», et

-

1( )

rDE N%

1( )

rDV N% son espérance et sa variance respectives,

1

~DN la variable aléatoire « D1nombre de bactéries dans un tube », )~(

1DNE et )~(1DNV son

espé

- colonies sur la boite »,

an une répétition D1r d’un

tub 1

n s’intéresse donc dans ce paragraphe au calcul et à l’estimation de

rance et sa variance respectives,

1rsn% la variable aléatoire « nombre de 1rsb

- la variable aléatoire « nombre de colonies correspond t à 1rn%

e D », E( n% ) et V( n% ) son espérance et sa variance respectives, 1r 1r

O )~(1DNE . Pour y parvenir on

.

ompte tenu des hypothèses postulées précédemment, la probabilité d’avoir un nombre

rob les

= Prob

s’intéressera dans un premier temps au calcul et à l’estimation de %

1( )

rDE N

C 1rsP 1rsn

de bactéries dans le dernier volume prélevé v s’exprime à l’aide des p abilités conditionnel

des étapes de dilution (deux dans notre situation) et de l’étape finale de prélèvement. En partant

du dernier prélèvement et en remontant jusqu’au premier on peut écrire :

bs

1rsP ( 1 1rs bs rs bn v n v∈ ∈ )×Prob( 1 1rs b rs an v n v∈ ∈ )×Prob( 1 1rs a rsn v n v1∈ ∈ )×Prob( 1 1rsn v∈ )

( 11)

Chaque volume apparaissant dans (11) , ayant été prélevé par pipetage, est entaché d’une erreur

expérimentale ; il sera donc considéré comme la réalisation d’une variable aléatoire et en

26

conséquence la probabilité est une réalisation de la variable aléatoire . Alors, la variable

aléatoire suit une loi Binomiale de paramètres aléatoires

1rsP 1rsP%

1rsn%1rDN% et . On écrit : 1rsP%

1rsn% ∼ B(1rDN% , ) 1rsP%

avec :

1rsP% = bs

b

vv

×%

%1

~~

~~~

~~~

1

111 D

a

a

b

Vv

vVv

vVv

×+

×+

=1

1bs b

ab D

v v d dv V

× ×% % % %

%% (12)

où 1

aa

a

vdV v

=+%%

% % et 1

11 1

vdV v

=+%%

% % sont les facteurs (aléatoires) de dilution.

Les volumes pipetés sont surmontés d’un tilde pour souligner leur caractère aléatoire. Leurs

espérances et variances sont différentes mais restent constantes respectivement pour toutes les

répétitions D1r du tube D1 et toutes les souches. On rappelle (voir étape 3 du chap. I) que la

formation du volume bv~ n’amène à aucune dilution mais cette manipulation conduit à une

nouvelle erreur de pipetage.

Comme la variable aléatoire est conditionnée par 1rn%1rDN% et , on peut écrire d’après (1) que : 1rsP%

E( ) =1rn%11 1( ( , ))

rr D rsE E n N P% % %% (13)

et d’après la définition de l’espérance d’une loi binomiale il vient :

11 1( ( , ))rr D rsE E n N P% % %% =

1 1(r

)D rsE N P% % (14)

Par ailleurs, on peut considérer que les deux variables aléatoires 1rDN% et sont indépendantes

puisque :

1rsP%

- d’une part le nombre de bactéries dans un tube D1r dépend du nombre de bactéries

présentes dans la souche congelée et des erreurs de pipetage, indépendantes les unes des

autres, réalisées depuis le tube primaire jusqu’au tube D1r ,

- d’autre part, la variable aléatoire est constituée de volumes aléatoires formés en aval

de la préparation du tube D1r.

1rsP%

27

Ainsi, on a pour chaque répétition D1r :

1( )rE n% = ( ) (1 1r )D rsE N E P×% % (15)

= ( )1rDE N ×%

1

1bs b

ab D

v vE dv V

⎛ ⎞× × ×⎜⎜

⎝ ⎠

% % % %%%

d ⎟⎟ (16)

= ( )1rDE N ×%

1

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

)~()~( 1dEdE a × (17)

puisque que les trois variables aléatoires 1

bs b

b D

v vv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

, ad~ et sont indépendantes, les volumes

ayant été pipetés indépendamment. On peut donc obtenir facilement une estimation de

l’espérance à partir de (17) si on explicite les autres termes et que l’on dispose d’une

estimation de .

1~d

( 1rDE N% )1( )rE n%

Explicitation du terme 1

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

Compte tenu du processus de dilution c’est la même réalisation de la variable aléatoire qui

intervient deux fois mais il nous faut considérer cependant que deux variables aléatoires quotients

non indépendantes constitue ce terme pour ne pas perdre l’information liée à la variance de .

Donc on écrit :

bv%

bv%

1

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

= 1 1

cov ,bs b bs b

b D b D

v v v vE Ev V v V

⎛ ⎞ ⎛⎛ ⎞+ ×⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝

% % % %%% %

⎞⎟⎟⎠

% (18)

On peut approximer les espérances des deux quotients de (18) en utilisant (3) après avoir vérifié

l’approximation (3) par simulation de lois gaussiennes, soit :

1

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

= 1 1

( ) ( )cov ,( ) ( )

bs b bs b

b D b D

v v E v E vv V E v E V

⎛ ⎞+ ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% % %%% %

%%

(19)

28

Pour l’estimation de cette espérance, on établira ci-dessous une estimation de la covariance par

simulation en supposant une distribution gaussienne pour les termes , bsv% bv~ et 1

~DV et en utilisant

les informations du tableau 2.

Application numérique :

En simulant pour les termes , bsv% bv~ et 1

~DV les lois gaussiennes respectives :

- N( moy = 0.1 ; var = 9.19×10-5),

- N( moy = 1 ; var = 9.97×10-5),

- N( moy = (9+1) ; var = (6.94×10-4 + 9.97×10-4)),

on obtient :

1

cov ,bs b

b D

v vv V

⎛ ⎞⎜⎜⎝ ⎠

% %%%

⎟⎟ = -1.0×10-6 , ce qui correspond à une corrélation d’environ –0.41,

et donc à partir de (19) on a :

1

ˆ bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞×⎜⎜

⎝ ⎠

% %%%

⎟⎟ = (-1.0×10-6 )+(0.1/1) × (1/10) ≈ 0.01 . (20)

Explicitation des termes )~( adE et )~( 1dE

En simulant :

- pour 1~V la loi gaussienne : N( moy = 9 ; var = 6.94×10-4),

- pour 1~v et av~ la loi gaussienne : N( moy = 1 ; var = 9.97×10-5),

on obtient les estimations :

1

ˆ a

a

vEV v⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

%% %

≈ 1

ˆ ( )ˆ ( )

a

a

E vE V v+

%% %

= 0.1

1

1 1

ˆ vEV v⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

%% %

≈ 1

1 1

ˆ ( )ˆ ( )

E vE V v+

%% %

= 0.1 (21)

29

On a donc :

( )1rDE N% = 1

1 1 1 1 1

( )( ( ) / ( )) ( ( ) /( ( ) ( ))) ( ( ) /( ( ) ( )))

r

bs a a

E nE v E V E v E v E V E v E v E V× + × +

%% %% % % % % %

)

)

. (22)

Estimations pour chaque souche i 1

ˆ (i DE N%

Tout d’abord on obtient l’estimation pour chaque souche i en remplaçant dans (22) les

espérances par leurs estimations, ce qui donne pour le dénominateur environ 10-4. En ce qui

concerne on dispose au tableau 3 d’estimations

1ˆ (

ri DE N%

1( )rE n% 1ˆ ( )rE n% basées sur deux boites. Cela revient

à multiplier les comptages du tableau 3 par le facteur 104 . Par exemple, pour la répétition 1rD ,

pour la souche 1 on a : ( )111ˆ

DE N% =2.45×106 .

Et pour chaque souche i on déduit :

)~(ˆ1)~(ˆ11

1rD

R

riDi NE

RNE ∑

=

= (23)

ce qui conduit aux estimations cherchées :

)~(ˆ11 DNE = 1.64×106 ; )~(ˆ

12 DNE = 1.24×106 ; )~(ˆ13 DNE = 2.06×106 ; )~(ˆ

14 DNE = 2.02×106. (24)

30

III.3 Calcul de la variance et de son estimation du nombre de bactéries dans un tube D1

On s’intéresse dans ce paragraphe au calcul et à l’estimation de )~(1DNV . Tout d’abord on

accédera à une estimation avant d’obtenir l’estimation . 1

ˆ (rDV N% )

1ˆ ( )DV N%

En utilisant (2) on écrit :

11 1 1 1( ) ( ( , )) ( ( , )rr r D rs r DV n V E n N P E V n N P= +% % % % % %% % %

1 1 )r rs . (25)

Désignons par et ( )1

GrU ( )

1DrU les deux termes du membre de droite de (25) et explicitons-les ci-

dessous.

Explicitation du terme ( )1

GrU

La variable aléatoire étant conditionnée par1rn%1rDN% et , son espérance conditionnelle est aussi

une variable aléatoire. Le terme est la variance de cette espérance aléatoire. Comme

1rsP%

( )1

GrU

11 1( , )rr D rsE n N P% % %%

1 1rD rsN P% %= , on écrit :

( )1

GrU = V(

1 1rD rsN P% % )

= V [1

( )rDN ×%

1r

bs b

b D

v vv V

⎛ ⎞⎟⎟ 1× ×⎜⎜

⎝ ⎠

% %%%

~~ dda × ] (26)

car d’une part les quatre termes aléatoires de la variance sont indépendants (voir plus haut la

justification donnée lors du calcul de l’espérance de1rDN% ). Il suffit maintenant d’utiliser (5) pour

h = 4 . Il vient :

( )1

GrU = ×

1( )

rDV N%1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

% %%%

)×~( adV × )~( 1dV

+ ×1

( )rDV N%

1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

% %%%

)×~( adV × 2

1))~(( dE

31

+ ×1

( )rDV N%

1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

× 2))~(( adE × )~( 1dV

+ ×1

( )rDV N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

× )~( adV × )~( 1dV

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

% %%%

)×~( adV × )~( 1dV

+ ×1

( )rDV N%

1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

× 2))~(( adE × 21))

~(( dE

+ ×1

( )rDV N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

× )~( adV × 21))

~(( dE

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1r

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

%%%

)×~( adV × 2

1))~(( dE

+ ×1

( )rDV N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟

⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

2))×~(( adE × )~( 1dV

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

× 2))~(( adE × )~( 1dV

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

× )~( adV × )~( 1dV

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

2))⎜

×~(( adE × )~( 1dV

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

× )~( adV × 21))

~(( dE

+ ×1

2( ( ))rDE N%

1

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

× 2))~(( adE × 21))

~(( dE

32

+ ×1

( )rDV N%

1

2

bs b

b D

v vEv V

⎛ ⎞⎛ ⎞×⎜ ⎟

⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

% %%%

2))×~(( adE

)

× . (27) 21))

~(( dE

Dans (27) apparaît la première inconnue cherchée, à savoir . Les estimations de toutes les

espérances ont été réalisées au paragraphe III.2, il ne reste plus qu’expliciter et estimer les termes

de variances.

1(

rDV N%

Explicitation des termes )~( adV et 1( )V d%

Avec (4) on peut calculer les variances des facteurs de dilution et en obtenir une estimation après

avoir effectué une estimation du terme de covariance par simulation comme suit.

En simulant :

- pour la loi gaussienne : N( moy = 9 ; var = 6.94×10-4), 1~V

- pour 1~v et av~ la loi gaussienne : N( moy = 1 ; var = 9.97×10-5),

on obtient par simulation :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ a

a vVv ~~

1,~ovc1

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

1 ~~1,~ovc

vVv = -9.4 ×10-7 , (28)

ce qui conduit par (4) à :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ a

a

vVvV ~~~

ˆ1

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

1~~

~ˆ

vVvV = 6.94×10-6 . (29)

Explicitation du terme 1

bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%%

Il nous faut calculer la variance du produit de deux variables aléatoires non indépendantes. En

observant l’aspect approximativement gaussien des histogrammes de 10000 simulations de

chacune des deux variables bs

b

vv%

%et

1

~~

D

b

Vv on peut utiliser (10) avec l’estimation de la covariance

33

fournie plus haut, à savoir -1.0×10-6 . On utilise aussi (4) avec le terme de covariance nulle pour

calculer les variances des quotients bs

b

vv%

% et

1

~~

D

b

Vv .


1

ˆ bs b

b D

v vVv V

⎛ ⎞×⎜⎜

⎝ ⎠

% %%%

=⎟⎟ 10-2×5.6×10-6 + 10-2×1.0×10-6 + 2×10-2×(-1.0×10-6) + 5.6×10-6×1.0×10-6 +10-12

≈ 4.6×10-8. (30)

Explicitation du terme ( )1

DrU

Explicitons maintenant le terme ( )1

DrU =

11 1( ( , ))rr D rsE V n N P% % %% . Par définition on a :

1 11 1 1( , ) (1r rr D rs D rs rsV n N P N P P= −% % % % % %% 1 ) (31)

Comme on a indépendance entre 1rDN% et on a en conséquence également l’indépendance

entre

1rsP%

1rDN% et . Il vient : 11 rsP− %

( )1

DrU =

1 1 1(( ) (1 ))rD rs rsE N P P−% % %

= 1 1 1( ) ( (1 )

rD rsE N E P P× −% % % )rs

rs ⎤⎦

⎤⎦

)

= 1

21 1( ) ( ) ( )

rD rsE N E P E P⎡× −⎣% % %

= (32) ( )1

21 1 1( ) ( ) ( ( ))

rD rs rs rsE N E P V P E P⎡× − −⎣% % % %

avec = V [1( rsV P%1

bs b

b D

v vv V

⎛ ⎞× ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

% %%% 1

~~ dda × ] . (33)

Il suffit ensuite d’appliquer (5) avec h = 3 pour calculer . 1( )rsV P%


34

On obtient = 40.5×10-24 ≈ 0, négligeable devant ainsi que devant

, on a alors :

1ˆ( rsV P% ) )

)

1ˆ ( rsE P% 2

1ˆ( ( ))rsE P%

1ˆ ( rsE P%

( )1

ˆ DrU ≈

1 1ˆ ˆ( ) (

r)D rsE N E P×% %

)

.

(34)

Les estimations ayant déjà été rencontrées plus haut, on peut obtenir une estimation des

termes

1ˆ (

rDE N%

( )1

DrU pour chaque souche i . Par exemple pour la souche 1 on a : ≈ 245, ≈ 260,

…. , ≈ 140.

( ),111

ˆ DU ( ),112

ˆ DU

( ),1110

ˆ DU

Estimation de 1( )rV n%

Disposant d’une estimation de ( )1

DrU et d’estimations de tous les termes de en dehors de

il sera alors possible d’extraire une estimation de si on connaît une estimation de

. On atteint celle-ci avec les variances supposées aux paragraphes II.2 et II.3 à savoir

et .

( )1

GrU

1(

rDV N% ) )

)

1(

rDV N%

1( rV n%

( )rsV K% ( )rV K%

Un résultat bien connu de l’analyse de variance : une estimation possible de la variance totale est

égale à la somme pondérée d’une estimation de la variance expliquée et d’une estimation de la

variance résiduelle, nous permet d’écrire qu’une estimation possible de la variance totale de

selon les K comptages sur chaque boite et les comptages moyens des S boites est : 1rn%

1ˆ ( rV n% ) = ( 1)

1K SSK−−

ˆ( )rsV K% +( 1)

1S KSK−−

ˆ( )rV K% . (35)

On utilisera (35) avec les valeurs S = 2, K = 2, et et prenant les valeurs données aux

§II.2 et II.3.

ˆ( )rsV K% ˆ ( )rV K%

Estimations )~(ˆ1Di NV

On a donc pour chaque souche i :

35

= - pour toutes les valeurs de r permises. On peut ensuite extraire les

estimations grâce à (27). Enfin on a :

( ),1

ˆ G irU 1

ˆ ( )rV n% ( ),1

ˆ G irU

1ˆ (

ri DV N% )

1

1ˆ ˆ( ) (ri D i DV N V N

1)

R=% % (36)

Soit numériquement :

- )~(ˆ11 DNV = 2.63×1010,

- )~(ˆ12 DNV = 4.33×1010,

- )~(ˆ13 DNV = 7.09×109,

- )~(ˆ14 DNV = 1.30×1010 . (37)

III.4 Espérance et variance de la concentration en bactéries dans un tube D1

Notons 1

~DC la variable aléatoire « concentration en bactéries dans un tube D1 ». On a :

1

~DC =

11

~~DD VN . (38)

Par simulation on est conduit à :

)~(ˆ11 DCE = 1.81×105 ; )~(ˆ

12 DCE = 1.38×105 ; )~(ˆ13 DCE = 2.29×105 ; )~(ˆ

14 DCE = 2.25×105. (39)

Pour la variance de 1

~DC on écrit :

V(1

~DC ) = )~~(

11 DD VNV . (40)

On utilise (4) avec le terme de covariance nul et il vient :

V(1

~DC ) = 4

2

2 ))~(())~()(~(

))~(()~(

~~

1

11

1

1

1

1

D

DD

D

D

D

D

VENEVV

VENV

VN

V +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . (41)

Tous les termes de (41) ont été estimés plus haut, on obtient numériquement :

36

- )~(ˆ11 DCV ≈ 3.18×108 ,

- )~(ˆ12 DCV ≈ 4.65×108,

- )~(ˆ13 DCV ≈ 8.42×107 ,

- )~(ˆ14 DCV ≈ 1.59×108 . (42)

En passant aux logarithmes népériens on a, en utilisant pour les variances l’approximation usuelle

1 1

2ˆ ( ( )) (1 ( ( )) ) ( )i e D i D i DV Log C E C V C≈% %1

% : (43)

- ))~((ˆ11 De CLogE ≈ 12.11 et ))~((ˆ

11 De CLogV ≈ 9.69×10-3,

- ))~((ˆ12 De CLogE ≈ 11.84 et ))~((ˆ

12 De CLogV ≈ 24.3×10-3,

- ))~((ˆ13 De CLogE ≈ 12.34 et ))~((ˆ

13 De CLogV ≈ 1.6×10-3,

- ))~((ˆ14 De CLogE ≈ 12.32 et ))~((ˆ

14 De CLogV ≈ 3.2×10-3. (44)

Ces variances nous permettront ultérieurement de construire des poids pour les logarithmes de

concentrations lors de l’établissement de la droite de régression pour l’estimation du paramètre

µmax dans la deuxième partie de ce rapport.

37

IV. Etude de la sensibilité de la variance des estimations du nombre de bactéries dans le

tube D1

Plusieurs facteurs peuvent jouer sur l’amplitude de cette variance. Nous essayons dans ce

paragraphe de quantifier l’effet de 8 facteurs sur l’estimation de cette variance, , au

moyen d’une étude de sensibilité basée sur un plan de simulation factoriel complet, après avoir

défini trois niveaux de variation plausibles pour ces 8 facteurs (soit un plan 38 correspondant à

6561 expériences de simulation).

1ˆ ( DV N% )

)

Facteur F1 : Variance de la pipetée de 9 ml , 3 niveaux étudiés : 10-4 , 8×10-4 , 15×10-4 .

Facteur F2 : Variance de la pipetée de 1 ml , 3 niveaux étudiés : 0.2×10-4 , 3.2×10-4 , 6.2×10-4 .

Facteur F3 : Variance de la pipetée de 0.1 ml , 3 niveaux étudiés : 0.5×10-4 , 10-4 , 1.5×10-4 .

Facteur F4 : Nombre de boites de Pétri , 3 niveaux étudiés : 2, 5, 8.

Facteur F5 : Variance des répétitions d’un tube D1, 3 niveaux étudiés : 2000, 4000, 6000.

Facteur F6 : Nombre supposé d’UFC sur la boite de Pétri , 3 niveaux étudiés : 50, 100, 150.

Facteur F7 : Variance du comptage intra-boites , 3 niveaux étudiés dépendant du niveau du

facteur F6 soit : F7 = 10 , 20 , 30 pour F6 = 50 ; F7 = 20, 30, 40 pour F6 = 100 et F7 = 30, 40, 50

pour F6 = 150.

Facteur F8 : Variance du comptage intra-boites , 3 niveaux étudiés : 200, 400, 800.

Parmi les 6561 expériences 2002 conduisent à un calcul impossible (variance négative par

exemple). Avec les 4559 autres on peut établir un modèle de régression (par exemple de type

PLS pour mieux gérer la multicolinéarité engendrée par les 2002 valeurs manquantes de la

réponse).

Le résultat de cette analyse de sensibilité peut se résumer par le modèle de régression PLS

suivant, où les coefficients traduisent les effets (centrés-réduits pour permettre une comparaison

pertinente) des facteurs :

1ˆ ( DV N% = 1.37214 - 0.0525256F3 + 0.157706F4 - 0.105122F6 + 0.526148F8

+ 0.304982F82 - 0.179412F3×F8 + 0.193341F3×F8 - 0.405969F3×F8 (45)

38

ainsi que par le graphique de la figure 4 :

Figure 4 : Graphique des coefficients PLS du modèle

1ˆ ( )DV N%

Il apparaît ainsi que la variance inter-boites est un facteur très influent de la variance du nombre

de bactéries dans le tube D1. On déduit à partir du modèle (45) par un calcul élémentaire que le

« pattern » idéal des facteurs est le suivant :

Facteur F3 = 1.5×10-4 ; Facteur F4 = 2 ; Facteur F6 = 150 ; Facteur F8 = 200, les 4 autres facteurs

étant indifférents (dans la plage étudiée ici bien sûr), ce « pattern » conduisant à une estimation

calculée pour d’environ 1.85×10-7 soit environ 1000 fois plus faible que dans le

« pattern » actuellement utilisé.

1ˆ ( DV N% )

En d’autres termes, la conclusion que l’on peut tirer d’une telle étude de simulation est qu’il faut

chercher à améliorer la reproductibilité de la phase d’étalement sur la boite de Pétri (on peut

espérer que le procédé « spirale » est meilleur que le procédé « râteau » qui semble à proscrire)

pour diminuer la variance des comptages d’une boite à l’autre d’une part, et plutôt être en

39

situation de compter 150 UFC que 50, un nombre trop faible de celles-ci ayant tendance à faire

augmenter . 1

ˆ ( DV N% )


concentration de bactéries dans les tubes D2 à D8

On traitera d’abord le cas du tube D2 que l’on généralisera ensuite aux tubes suivants.

V.1 Tube D2

Selon le protocole décrit au chapitre I on rappelle que le tube D2 est formé en prélevant un

volume v2 ml dans le tube D1 (typiquement v2 = 5ml, dilution au demi) que l’on place dans le

tube T5 où se trouvent déjà V2 ml de BHI le tube T5 devenant alors le tube D2. Notons 2

~DN la

variable aléatoire « nombre de bactéries dans le tube D2 ». On s’intéresse à calculer et estimer son

espérance et sa variance.

Espérance de 2

~DN

On peut écrire :

= ( )×1

~DNE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

2~~

~

vVvE (46) )~(

2DNE = ( ))~,~~( 212PNNEE DD = )~~( 21

PNE D = ( ) ( )2~~

1PENE D ×

On a vérifié par simulation, car disposant d’une estimation de l’espérance et de la variance de

2~v , que l’on pouvait utiliser l’approximation (3) pour écrire ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

2~~

~

vVvE ≈

)~~()~(

11

2

vVEvE+

. Ainsi, avec

)~(ˆ2vE = 5 ml, on obtient pour chaque souche i en utilisant les résultats (24) les estimations :

40

)~(ˆ21 DNE ≈ 0.82×106 ; )~(ˆ

22 DNE ≈ 0.62×106 ; )~(ˆ23 DNE ≈ 1.03×106 ; )~(ˆ

24 DNE ≈ 1.01×106. (47)

Variance de 2

~DN

On peut écrire :

))~,~~(())~,~~(()~( 22 12122PNNVEPNNEVNV DDDDD += . (48)

Comme précédemment, désignons par et ( )2

GU ( )2

DU les deux termes du membre de droite de (48)

et explicitons-les.

Explicitation de ( )2

GU

On a : ( )2

GU = ))~,~~(( 212PNNEV DD = )~~( 21

PNV D (49)

Avec les données relatives à q5 dans le tableau 2 et par simulation on obtient )~(ˆ2PV = 5.04×10-6 .

Il suffit maintenant d’appliquer (5) et l’estimation en découlera immédiatement avec les

informations disponibles. On obtient ainsi pour les 4 souches : ( ),12

ˆ GU ≈ 6.59×109 ; ≈ 1.08×1010 ; ≈ 1.79×109 ; ≈ 3.27×109 . (50) ( ),22

ˆ GU ( ),32

ˆ GU ( ),42

ˆ GU


DU

On a : ( )2

DU = ))~,~~(( 212PNNVE DD = ))~1(~~( 221

PPNE D −

( )2

DU = ( ) ( )2222 ))~(()~()~(~

1PEPVPENE D −−× . (51)

Tous les termes de (51) sont estimables facilement. Pour chaque souche i on aboutit aux

estimations : ( ),12

ˆ DU ≈ 4.10×105 ; ≈ 3.10×105 ; ≈ 5.15×105 ; ≈ 5.05×105 . (52) ( ),22

ˆ DU ( ),32

ˆ DU ( ),42

ˆ DU

et donc :

41

)~(ˆ21 DNV ≈ 6.59×109 ; )~(ˆ

22 DNV ≈ 1.08×1010 ; )~(ˆ23 DNV ≈ 1.80×109 ; )~(ˆ

24 DNV ≈ 3.27×109 .

(53)

Espérance et variance de 2

~DC

es principes que pour le tube D1 , avec 2

Selon les mêm ~DC =

22

~~DD VN où 22

~~~2

vVVD += et

~ )(2)~(2

VV D ur les co : 2vV= (dilution au demi), on a po ncentrations

~(ˆ21 DCE )≈ 0.76×105 ; )~(ˆ

22 DCE ≈ 0.64×10 ; )~(ˆ23 DCE5 ≈ 1.03×10 ; )~(ˆ

24 DCE 55 ≈ 1.14×10 . (54)

)~(ˆ21 DC )~(ˆ

22 DCV ≈ 2.28×108 ; )~(ˆ23 DCV ≈ 5.25×108 ; )~(ˆ

24 DCV≈ 3.25×108 ; V ≈ 6.77×107 , (55)

t pour les logarithmes :

e

))~((ˆ21 De CLogE ))~((ˆ

21 De CLogV≈ 11.24 et ≈ 0.056, -

))~((ˆ22 De CLogE ))~((ˆ

22 De CLogV ≈ 11.07 et ≈ 0.056, -

))~((ˆ23 De CLogE ))~((ˆ

23 De CLogV ≈ 11.54 et - ≈

-

0.049,

))~((ˆ24 De CLogE ≈ 11.64 et ))~((ˆ

24 De CLogV ≈ 0.005. (56)

42

V.2 Tubes D3 à D8

En appliquant itérativement les mêmes principes que précédemment on obtient les résultats

consignés au tableau 4 où nous rappelons également les résultats des paragraphes précédents. Tube )~(ˆ

iDNE (×104 )

)~(îDNV

(×1010 )

)~(îDCE

(×103 )

)~(îDCV

(×108 )

))~((îDe CLogE

))~((ˆ

iDe CLogV

Souche 1 D1 164 2.63 164 2.63 12.00 0.009778 D2 82 0.659 82 0.659 11.31 0.009801 D3 41 0.165 41 0.165 10.62 0.009816 D4 20.5 0.0414 20.5 0.0414 9.93 0.009851 D5 10.25 0.0104 10.25 0.0104 9.23 0.009899 D6 5.125 0.0026 5.125 0.0026 8.54 0.009899 D7 2.5625 0.00065 2.5625 0.00065 7.85 0.009899 D8 1.2812 0.000164 1.2812 0.000164 7.16 0.009991

Souche 2 D1 124 4.33 124 4.33 11.73 0.028161 D2 62 1.083 62 1.083 11.03 0.028174 D3 31 0.271 31 0.271 10.34 0.028200 D4 15.5 0.068 15.5 0.068 9.65 0.028304 D5 7.75 0.017 7.75 0.017 8.96 0.028304 D6 3.875 0.00425 3.875 0.00425 8.26 0.028304 D7 1.9375 0.00106 1.9375 0.00106 7.57 0.028237 D8 0.9687 0.00027 0.9687 0.00027 6.88 0.028773

Souche 3 D1 206 0.709 206 0.709 12.23 0.001671 D2 103 0.179 103 0.179 11.54 0.001687 D3 51.5 0.0454 51.5 0.0454 10.85 0.001712 D4 25.75 0.0115 25.75 0.0115 10.16 0.001734 D5 12.875 0.00292 12.875 0.00292 9.46 0.001762 D6 6.4375 0.000740 6.4375 0.000740 8.77 0.001786 D7 3.2187 0.000189 3.2187 0.000189 8.08 0.001824 D8 1.6094 0.0000485 1.6094 0.0000485 7.38 0.001872

Souche 4 D1 202 1.3 202 1.3 12.22 0.003186 D2 101 0.327 101 0.327 11.52 0.003206 D3 50.5 0.0823 50.5 0.0823 10.83 0.003227 D4 25.25 0.0207 25.25 0.0207 10.14 0.003247 D5 12.625 0.0052 12.625 0.0052 9.44 0.003262 D6 6.3125 0.0013 6.3125 0.0013 8.75 0.003262 D7 3.1562 0.000332 3.1562 0.000332 8.06 0.003333 D8 1.5781 0.0000844 1.5781 0.0000844 7.36 0.003389

Tableau 4 : Espérances et variances des nombres de bactéries, des concentrations et de leurs logarithmes des tubes D1 à D8 pour les 4 souches étudiées.

43

On observe sur le tableau 4 que les coefficients de variation du nombre de bactéries, ˆ ˆ( ) / (

iDV N E N% % )iD , changent peu du tube D1 au tube D8. Par exemple pour la souche 1 il prend

les valeurs : 0.098886 , 0.098999 , 0.099074 , 0.099254 , 0.099493 , 0.099493 , 0.099493 , 0.099955.

On dispose désormais dans la dernière colonne du tableau 4 de variances qui nous permettent de

calculer des poids (inverses de ces variances) à associer aux logarithmes des concentrations afin

d’estimer les paramètres de la droite de régression avec une meilleure prise en compte de la

variabilité des ordonnées (voir paragraphe suivant). Le tableau 5 donne ces poids. Le poids

moyen général est de 253. Ces poids seront les valeurs initiales des poids de la méthode itérative

IDRLS (voir §VII.3). On verra plus loin comment calculer des poids pour les valeurs de la

variable explicative (temps de détection).

Tube Souche 1 Souche 2 Souche 3 Souche 4

D1 102.266 35.5104 598.533 313.877 D2 102.033 35.4940 592.682 311.957 D3 101.879 35.4613 584.196 309.872 D4 101.510 35.3309 576.576 308.001 D5 101.022 35.3309 567.690 306.520 D6 101.022 35.3309 560.019 306.520 D7 101.022 35.4142 548.150 300.048 D8 100.090 34.7548 534.055 295.071

Poids moyens 101 35 570 306

Tableau 5 : Poids des logarithmes des tubes D1 à D8 pour les 4 souches étudiées.

44


concentration de bactéries dans les tubes D2 à D8

On traitera d’abord le cas du tube D2 que l’on généralisera ensuite aux tubes suivants.

V.1 Tube D2

Selon le protocole décrit au chapitre I on rappelle que le tube D2 est formé en prélevant un

volume v2 ml dans le tube D1 (typiquement v2 = 5ml, dilution au demi) que l’on place dans le

tube T5 où se trouvent déjà V2 ml de BHI le tube T5 devenant alors le tube D2. Notons 2

~DN la

variable aléatoire « nombre de bactéries dans le tube D2 ». On s’intéresse à calculer et estimer son

espérance et sa variance.

Espérance de 2

~DN

On peut écrire :

= ( )×1

~DNE ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

2~~

~

vVvE (46) )~(

2DNE = ( ))~,~~( 212PNNEE DD = )~~( 21

PNE D = ( ) ( )2~~

1PENE D ×

On a vérifié par simulation, car disposant d’une estimation de l’espérance et de la variance de

2~v , que l’on pouvait utiliser l’approximation (3) pour écrire ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 11

2~~

~

vVvE ≈

)~~()~(

11

2

vVEvE+

. Ainsi, avec

)~(ˆ2vE = 5 ml, on obtient pour chaque souche i en utilisant les résultats (24) les estimations :

)~(ˆ21 DNE ≈ 0.82×106 ; )~(ˆ

22 DNE ≈ 0.62×106 ; )~(ˆ23 DNE ≈ 1.03×106 ; )~(ˆ

24 DNE ≈ 1.01×106. (47)

41

Variance de 2

~DN

On peut écrire :

))~,~~(())~,~~(()~( 22 12122PNNVEPNNEVNV DDDDD += . (48)

Comme précédemment, désignons par et ( )2

GU ( )2

DU les deux termes du membre de droite de (48)

et explicitons-les.


GU

On a : ( )2

GU = ))~,~~(( 212PNNEV DD = )~~( 21

PNV D (49)

Avec les données relatives à q5 dans le tableau 2 et par simulation on obtient )~(ˆ2PV = 5.04×10-6 .

Il suffit maintenant d’appliquer (5) et l’estimation en découlera immédiatement avec les

informations disponibles. On obtient ainsi pour les 4 souches : ( ),12

ˆ GU ≈ 6.59×109 ; ≈ 1.08×1010 ; ≈ 1.79×109 ; ≈ 3.27×109 . (50) ( ),22

ˆ GU ( ),32

ˆ GU ( ),42

ˆ GU


DU

On a : ( )2

DU = ))~,~~(( 212PNNVE DD = ))~1(~~( 221

PPNE D −

( )2

DU = ( ) ( )2222 ))~(()~()~(~

1PEPVPENE D −−× . (51)

Tous les termes de (51) sont estimables facilement. Pour chaque souche i on aboutit aux

estimations : ( ),12

ˆ DU ≈ 4.10×105 ; ≈ 3.10×105 ; ≈ 5.15×105 ; ≈ 5.05×105 . (52) ( ),22

ˆ DU ( ),32

ˆ DU ( ),42

ˆ DU

et donc :

)~(ˆ21 DNV ≈ 6.59×109 ; )~(ˆ

22 DNV ≈ 1.08×1010 ; )~(ˆ23 DNV ≈ 1.80×109 ; )~(ˆ

24 DNV ≈ 3.27×109 .

(53)

42

Espérance et variance de 2

~DC

Selon les mêmes principes que pour le tube D1 , avec 2

~DC =

22

~~DD VN où 22

~~~2

vVVD += et

)~(2)~( 22vVVV D = (dilution au demi), on a pour les concentrations :

)~(ˆ21 DCE ≈ 0.76×105 ; )~(ˆ

22 DCE ≈ 0.64×105 ; )~(ˆ23 DCE ≈ 1.03×105 ; )~(ˆ

24 DCE ≈ 1.14×105. (54)

)~(ˆ21 DCV ≈ 3.25×108 ; )~(ˆ

22 DCV ≈ 2.28×108 ; )~(ˆ23 DCV ≈ 5.25×108 ; )~(ˆ

24 DCV ≈ 6.77×107 , (55)

et pour les logarithmes :

- ))~((ˆ21 De CLogE ≈ 11.24 et ))~((ˆ

21 De CLogV ≈ 0.056,

- ))~((ˆ22 De CLogE ≈ 11.07 et ))~((ˆ

22 De CLogV ≈ 0.056,

- ))~((ˆ23 De CLogE ≈ 11.54 et ))~((ˆ

23 De CLogV ≈ 0.049,

- ))~((ˆ24 De CLogE ≈ 11.64 et ))~((ˆ

24 De CLogV ≈ 0.005. (56)

43

V.2 Tubes D3 à D8

En appliquant itérativement les mêmes principes que précédemment on obtient les résultats

consignés au tableau 4 où nous rappelons également les résultats des paragraphes précédents. Tube )~(ˆ

iDNE (×104 )

)~(îDNV

(×1010 )

)~(îDCE

(×103 )

)~(îDCV

(×108 )

))~((îDe CLogE

))~((ˆ

iDe CLogV

Souche 1 D1 164 2.63 164 2.63 12.00 0.009778 D2 82 0.659 82 0.659 11.31 0.009801 D3 41 0.165 41 0.165 10.62 0.009816 D4 20.5 0.0414 20.5 0.0414 9.93 0.009851 D5 10.25 0.0104 10.25 0.0104 9.23 0.009899 D6 5.125 0.0026 5.125 0.0026 8.54 0.009899 D7 2.5625 0.00065 2.5625 0.00065 7.85 0.009899 D8 1.2812 0.000164 1.2812 0.000164 7.16 0.009991

Souche 2 D1 124 4.33 124 4.33 11.73 0.028161 D2 62 1.083 62 1.083 11.03 0.028174 D3 31 0.271 31 0.271 10.34 0.028200 D4 15.5 0.068 15.5 0.068 9.65 0.028304 D5 7.75 0.017 7.75 0.017 8.96 0.028304 D6 3.875 0.00425 3.875 0.00425 8.26 0.028304 D7 1.9375 0.00106 1.9375 0.00106 7.57 0.028237 D8 0.9687 0.00027 0.9687 0.00027 6.88 0.028773

Souche 3 D1 206 0.709 206 0.709 12.23 0.001671 D2 103 0.179 103 0.179 11.54 0.001687 D3 51.5 0.0454 51.5 0.0454 10.85 0.001712 D4 25.75 0.0115 25.75 0.0115 10.16 0.001734 D5 12.875 0.00292 12.875 0.00292 9.46 0.001762 D6 6.4375 0.000740 6.4375 0.000740 8.77 0.001786 D7 3.2187 0.000189 3.2187 0.000189 8.08 0.001824 D8 1.6094 0.0000485 1.6094 0.0000485 7.38 0.001872

Souche 4 D1 202 1.3 202 1.3 12.22 0.003186 D2 101 0.327 101 0.327 11.52 0.003206 D3 50.5 0.0823 50.5 0.0823 10.83 0.003227 D4 25.25 0.0207 25.25 0.0207 10.14 0.003247 D5 12.625 0.0052 12.625 0.0052 9.44 0.003262 D6 6.3125 0.0013 6.3125 0.0013 8.75 0.003262 D7 3.1562 0.000332 3.1562 0.000332 8.06 0.003333 D8 1.5781 0.0000844 1.5781 0.0000844 7.36 0.003389

Tableau 4 : Espérances et variances des nombres de bactéries, des concentrations et de leurs logarithmes des tubes D1 à D8 pour les 4 souches étudiées.

44

On observe sur le tableau 4 que les coefficients de variation du nombre de bactéries, ˆ ˆ( ) / (

iDV N E N% % )iD , changent peu du tube D1 au tube D8. Par exemple pour la souche 1 il prend

les valeurs : 0.098886 , 0.098999 , 0.099074 , 0.099254 , 0.099493 , 0.099493 , 0.099493 , 0.099955.

On dispose désormais dans la dernière colonne du tableau 4 de variances qui nous permettent de

calculer des poids (inverses de ces variances) à associer aux logarithmes des concentrations afin

d’estimer les paramètres de la droite de régression avec une meilleure prise en compte de la

variabilité des ordonnées (voir paragraphe suivant). Le tableau 5 donne ces poids. Le poids

moyen général est de 253. Ces poids seront les valeurs initiales des poids de la méthode itérative

IDRLS (voir §VII.3). On verra plus loin comment calculer des poids pour les valeurs de la

variable explicative (temps de détection).

Tube Souche 1 Souche 2 Souche 3 Souche 4

D1 102.266 35.5104 598.533 313.877 D2 102.033 35.4940 592.682 311.957 D3 101.879 35.4613 584.196 309.872 D4 101.510 35.3309 576.576 308.001 D5 101.022 35.3309 567.690 306.520 D6 101.022 35.3309 560.019 306.520 D7 101.022 35.4142 548.150 300.048 D8 100.090 34.7548 534.055 295.071

Poids moyens 101 35 570 306

Tableau 5 : Poids des logarithmes des tubes D1 à D8 pour les 4 souches étudiées.

45

Deuxième Partie : Estimation du paramètre µmax

Pour faire cette estimation la pratique actuelle des microbiologistes concernés consiste à utiliser

l’une ou l’autre des deux méthodes suivantes :

- la méthode de la moyenne des temps de génération, temps obtenus directement sur les

courbes de densité optique en fonction du temps (voir annexes),

- la méthode de la droite de régression consistant à régresser les logarithmes des

concentrations de l’inoculum en fonction des temps de détection lus sur les courbes de

Bioscreen.

Dans cette deuxième partie nous proposons une méthode plus rigoureuse et mieux adaptée pour

obtenir l’estimation de ce paramètre µmax . Notre méthode est basée sur une régression prenant en

compte à la fois les erreurs de mesure sur les logarithmes de concentration de l’inoculum (au

moyen des poids calculés dans la première partie) et les erreurs sur les temps de détection

obtenues par régression inverse (voir ci-dessous §VI.3). En outre, notre méthode, impliquant

également l’algorithme IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares), confère une grande

robustesse au résultat final.

VI. Temps de détection

VI.1 Les courbes de Bioscreen

A partir des courbes expérimentales de la densité optique en fonction du temps DO = f(t), figurant

dans les annexes, on cherche à établir des droites de régression sur la partie linéaire montante de

la courbe DO = f(t). Pour ce faire il faut dans un premier temps décider sur quelle plage de

variation de la densité optique calculer cette droite. En effet, la même plage ne peut pas être

utilisée à chaque fois : la partie linéaire pouvant résider par exemple sur une plage [0.1-0.8] pour

un certain faisceau de courbes ou bien sur une plage [0.3-0.6] pour un autre faisceau mais faisant

45

partie de la même étude, sachant qu’en outre apparaissent parfois des courbes aberrantes (voir par

exemple la figure supérieure de la page A6-4). Décider de la plage pertinente de façon

automatique, par programme, est une tâche difficile puisqu’il faudrait à chaque fois faire une

analyse complète de la forme de la courbe de la densité optique sur tout l’étendue [0-1], forme

qui peut être extrêmement variable sur cette étendue, comme on peut le voir sur certaines figures

en annexe. Si la forme des courbes était toujours d’un profil très régulier on pourrait à la rigueur

envisager une démarche automatique basée sur un algorithme itératif de type alterné (très simple

au demeurant) permettant la recherche simultanée de la meilleure plage et de la meilleure droite

de régression. L’objectif de cet algorithme serait de trouver un compromis entre une plage

suffisamment large pour capter le maximum de la variabilité inhérente à la partie linéaire mais

pas trop large toutefois pour éviter de capter une variabilité provenant des parties courbes

inférieure et supérieure. Par exemple, pour illustrer de façon extrême cette dernière situation, si

deux points d’acquisition consécutifs seulement sont pris en compte, on disposera d’une droite

parfaite, calculée sur ces deux points, mais alors aucune variabilité expérimentale ne sera

appréhendée pour la suite des calculs.

Nous nous sommes donc contentés de décider « à l’œil » d’une plage correcte correspondant à

une partie linéaire acceptable, en ayant vérifié à chaque fois qu’une variation modérée des bornes

de cette plage n’entraînait pas d’effet sensible sur le résultat final à savoir l’intervalle de

confiance du paramètre µmax.

Une fois cette zone décidée, une régression linéaire usuelle (aux moindres carrés ordinaires) est

réalisée pour modéliser la relation linéaire de la densité optique en fonction du temps. A partir de

cette régression on obtient ensuite pour chaque courbe, c’est-à-dire pour chaque dilution, un

temps de détection défini par l’abscisse correspondant à l’ordonnée de même densité optique

pour le faisceau des huit courbes. On détaille cette méthodologie dans le paragraphe suivant.

VI.2 Calculs des temps de détection par régression inverse

En fait cette détermination du temps de détection repose sur une méthode très connue et très

ancienne dite de régression inverse. Celle-ci va nous permettre d’obtenir l’abscisse cherchée, le

46

temps de détection, avec un intervalle de confiance traduisant sa fiabilité (appelé parfois

intervalle fiduciaire). Exposons maintenant cette méthode.

La partie linéaire (sur la plage de DO choisie) de chaque courbe est formé d’un ensemble de n

couples de points . Soit la droite de régression calculée à partir de ces couples

où est la densité calculée , t le temps, et respectivement les estimations des paramètres

ordonnée à l’origine et pente de la droite. En se plaçant à l’ordonnée , milieu de la plage de

variation de DO (on sait que c’est le meilleur endroit possible car la prédiction du modèle

présente ici son plus faible intervalle de confiance), on obtient une estimation du temps de

détection cherché par la formule évidente : . Il reste maintenant à calculer un

intervalle de confiance pour .

),( ii td td 10ˆˆˆ β+β=

d 0β 1β

*d

*t

*t 10**ˆ/)ˆˆ(ˆ ββ−= dt

*t

VI.3 Variances, intervalles de confiance et poids des temps de détection

L’intervalle de confiance sera défini par les bornes inférieure et supérieure . Calculons

d’abord . Cette valeur est l’abscisse du point d’intersection de la droite :

Lt*Ut*

Lt*Lt*

*10*ˆˆˆˆˆ tdd β+β== , (57)

et de la courbe d’équation (voir figure 5) : 2/12

*ˆ

)ˆ(1ˆˆ* ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−=

t

L

t Stt

nfsdd L (58)

où :

- , Lt

td L *10ˆˆˆˆˆ

*β+β=

- t est la moyenne des n temps , it

- ∑ =−=

n

i it ttS1

2)( ,

- s est l’écart-type résiduel de la régression,

47

- f est égal à )2,2,1(2 −α− nF avec )2,2,1( −α− nF le percentile usuel de la distribution

de Fisher-Snedecor pour un risque α fixé ici à 5%.

tem ps

LO G (c onc inoc )

d d *

droite de régres s ion

bandes de c onfianc e à 95%

tL t ** *tU

Figure 5 : Schéma de principe de la régression inverse : estimation de et de son intervalle de confiance. *t

En égalant (57) et (58), en réarrangeant et en élevant au carré on aboutit à l’équation du second

degré :

(59) 0ˆ2)ˆ( *2

* =++ RtQtP LL

avec :

- , )/(ˆ 2221 tSsfP −β=

- *21

22 ˆˆ)/( tStsfQ t β−= ,

- )/()/(ˆˆ 22222*

21 tStsfnsftR −−β= .

On obtient la même équation pour , de sorte que et sont les racines de (59). Ainsi, après

quelques réarrangements on trouve les deux racines :

Ut*Lt*

Ut*

( ))/(ˆ

)/()/ˆ()/)ˆ(()ˆ(ˆˆ

ˆ222

1

2/12221

2**1

*

*

t

ttU

L

SsfnSsfnSddfsddt

t

t−β

−β+−±−β+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

(60)

48

D’une façon générale, il est possible que l’écartement des deux branches hyperboliques par

rapport à la droite de régression soit suffisamment grand pour qu’il n’y ait pas deux racines à

(59). Cependant, nous avons vérifié que cette situation ne se manifeste jamais avec les courbes

que l’on dispose dans cette étude et donc deux racines ont pu être extraites à chaque fois.

A titre d’exemple pour les courbes de la microplaque 1 de la page A1-1de l’annexe A1 on obtient

les estimations de et son intervalle de confiance suivants (tableau 6) : *t

Courbe (Di) Lt* *t Ut* variance poids

1 2 3 4 5 6 7 8

7.36 7.58 8.10 8.51 9.03 9.36 9.75

10.24

7.47 7.70 8.20 8.62 9.14 9.49 9.90

10.46

7.59 7.82 8.29 8.73 9.25 9.63

10.05 10.70

.0006875 .0007515 .0004984 .0003156 .0003212 .0004620 .0005779 .0013604

1454 1331 2006 3169 3113 2165 1730 735

Tableau 6 : Un exemple d’estimations et d’intervalles de confiance pour les temps de détection pour les huit courbes correspondant aux huit tubes de dilution D1 à D8 , pour la plage de DO de [0.35↔0.65], pour la plaque 1 de la page A1-1 de l’annexe A1.

Ces calculs ont été réalisés pour toutes les courbes des annexes A1 à A6.

VII La méthode IDRLS VII.1 Principe de la méthode IDRLS Le calcul de la droite de régression sur les huit logarithmes de la concentration en bactéries en

fonction des huit temps de détection estimés plus haut permet de déduire facilement une

estimation du paramètre µmax cherchée. En effet comme chaque dilution provient de la dilution

précédente diluée au demi d’une part et comme d’autre part, par définition, on a µmax = Loge2/Tg,

49

Tg étant le temps de génération, c’est-à-dire le temps nécessaire à l’inoculum de doubler de taille,

alors la pente (négative car les données sont placées dans l’ordre de dilution croissante) de cette

droite de régression n’est autre que l’opposé de l’estimation de µmax .

Plusieurs méthodes sont possibles pour calculer cette droite de régression : une régression

ordinaire, une régression avec prise en compte des erreurs sur les logarithmes des concentrations

d’inoculum, une régression avec prise en compte des erreurs sur les logarithmes des

concentrations d’inoculum et également les erreurs sur les temps de détection. Après de

nombreux essais, nous nous sommes orientés vers une régression de ce dernier type (donc

doublement pondérée) mais en utilisant en outre une repondération itérative des observations et

des temps de détection au moyen d’un algorithme IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares)

modifié. Celui-ci garantit une grande robustesse aux résultat finaux, à savoir l’estimation de µmax

et l’intervalle de confiance de l’estimation. Cette méthode sera dénommée IDRLS (Iteratively

Doubly Reweighted Least Squares). Rappelons tout d’abord le principe de l’algorithme classique

IRLS avant de détailler la méthode IDRLS. VII.2 Régression robuste avec l’algorithme IRLS

Principe

C’est un algorithme itératif pour estimer des coefficients de régression. A chaque itération on

calcule des moindres carrés et à chaque itération les poids des observations yi changent. Les poids

sont fonction des résidus de l’itération précédente de telle façon que les observations associées à

des grands résidus ont moins de poids que les observations associées à des résidus plus faibles.

Ainsi, les observations extrêmes, aberrantes, inhabituelles ont moins d’influence que les autres

observations.

Cet algorithme est également utilisé en régression logistique et en régression non linéaire.

50

Moindres carrés pondérés

Soit y = Xβ + ε , le modèle statistique postulé pour la réponse y avec :

- X la matrice (n×p) des prédicteurs, réduite ici à 2 colonnes (le terme constant et le temps

de détection),

- β le vecteur (p×1) des paramètres inconnus,

- ε le vecteur des erreurs que l’on supposera pour le moment i.i.d et distribuées selon

N(0,σ2).

Si l’on pose :

- Y le vecteur (n×1) des observations de la réponse y,

- W la matrice (n×n) diagonale des poids (non négatifs), considérés pour le moment

comme fixes,

alors on peut faire une estimation pondérée de β par (si est de rang p) : WXX'

WYX')WXX'(β 1W

−= . (61)

D’un point de vue théorique on peut rappeler les aspects bien connus suivants. Supposons que

pour W fixé, la distribution conditionnelle de Y sachant X a pour moyenne Xβ et a pour variance

σ2W où σ2 est la variance résiduelle. Alors, pour W fixé, a pour moyenne et pour

variance σ2I, I matrice identité. Le théorème de Gauss-Markov permet d’indiquer que est la

valeur de β qui minimise la somme des carrés résiduels : , et est ainsi

l’estimateur non biaisé et de variance minimale de β.

YW1/2 XβW1/2

Wβ

)Xβ-W(Y)'Xβ-(Y Wβ

En outre, si la distribution conditionnelle de Y sachant X est gaussienne pour W fixé alors est

aussi l’estimateur du maximum de vraisemblance de β, et l’estimateur du maximum de

vraisemblance de σ2 associé est la somme pondérée des résidus carrés :

Wβ

2Ws

ns )/βXY(W)'βXY( WW2W −−= (62)

51

Algorithme IRLS

Quand W n’est pas fixé on peut se placer dans le cadre de l’algorithme IRLS. Notons maintenant

l’estimation de β à l’itération u dépendant de W calculée à l’itération u-1. Le i-ème

élément diagonal de , noté , est une fonction w(.) du i-ième résidu réduit obtenu en

utilisant pour prédire . On a :

)(W 1)-(β u

u

)(W u )(W uii

)(W 1)-(β u

u iy

)(W uii = = , (63) )( )(u

izw )( )(uizw −

avec :

, (64) )(W

)(W

)()1(1)-( /)β'x( uu

iiu

i uu syz −−=

où :

- est le vecteur ligne correspondant à la ligne i de la matrice X, 'xi

- ns uuuuuuu /)βXY(W)'βXY( )(

W1)-()(

W)(

W 1)-(1)-()1( −−=− . (65)

La fonction scalaire w(.) est une fonction monotone, non négative et non croissante. On peut

proposer , ∀i. (66) )1/(2)( 2ii zzw +=

Ainsi IRLS, pour démarrer, part d’une solution initiale qui est la matrice identité si on ne

dispose pas de poids a priori, puis calcule comme suit :

)0(W

)1(W (0)β

YWX')XWX'(β (0)1(0)(1)W (0)

−= , (67)

puis comme suit : )1(W )0(s

ns /)βXY(W)'βXY( )1(W

(0))1(W

)1(W (0)(0))0( −−= , (68)

et enfin les comme suit : )1(Wii

)1(Wii = =)( )1(izw

2)1(W

)1(W )/)β'x((1

2)0((0) sy ii −+

, ∀i. (69)

52

La suite du déroulement de l’algorithme consiste à mettre à jour (67) avec les poids de (69) puis

enchaîner les étapes suivantes. On observe une convergence rapide (moins de 10 itérations) se

traduisant, pour ce qui nous intéresse ici, par une stabilisation de la pente de la droite de

régression, c’est-à-dire l’opposé de l’estimation du paramètre cherchée.

Dans notre cas on dispose d’une solution initiale dont les termes diagonaux sont les inverses

des variances des logarithmes népériens des concentrations d’inoculum (voir tableau 5).

)0(W

A titre d’exemple, on montre dans le tableau 7 une évolution de maxµ et de l’intervalle de

confiance de . maxµ

itérations maxµ [ ; ] L

maxµ Umaxµ

1 2 3 4 5 6 7 8

0.58713 0.57469 0.57548 0.57545 0.57544 0.57545 0.57545 0.57545

0.53445 0.63982 0.54647 0.60290 0.54746 0.60350 0.54772 0.60318 0.54764 0.60325 0.54767 0.60324 0.54766 0.60324 0.54766 0.60324

Tableau 7 : Un exemple d’évolution de maxµ et de l’intervalle de confiance de . maxµ

VII.3 Détails de la méthode IDRLS

Il nous faut donc, d’après le principe exposé au §VII.2, introduire dans IRLS vu ci-dessus, une

deuxième pondération, celle sur les temps de détection (voir par exemple la dernière colonne du

tableau 6). Cependant procéder ainsi implique un changement profond sur la méthode des

moindres carrés. Examinons d’abord le cas non itéré, c’est-à-dire le cas d’une relation

fonctionnelle (de façon rigoureuse on ne peut plus employer le terme de régression) avec erreurs

sur les deux variables.

53

Relation fonctionnelle avec erreurs sur les deux variables

Le cadre classique peut se décrire ainsi. Soit un individu i décrit par deux méthodes A et B. Pour

cet individu i la méthode A fournit mesures in ijX avec j = 1,…, et la méthode B fournit

mesures avec j = 1,…, . On dispose de n individus. On suppose les deux modèles à erreurs

gaussiennes pour chaque individu i :

in im

ijY im

2

2

, (0, )

, (0, )i

i

ij i ij ij

ij i ij ij

X x

Y yε

δ

ε ε σ

δ δ σ

⎧ = +⎪⎨

= +⎪⎩

(70)

où ix , , iy 2iδσ et 2

iεσ sont des paramètres à estimer. On suppose également l’existence d’une

liaison fonctionnelle où f est une fonction linéaire ou non (par rapport à ses propres p

paramètres

( )iy f x= i

kθ ).

L’objectif principal est alors d’estimer les p paramètres kθ de cette fonction f.

Nous nous placerons maintenant dans un cadre adapté à notre problème pour développer la

méthode. On postule toujours le modèle (70) mais :

- , et donc les et 1 ,i in m= = ∀i ijY ijX se réduisent à et iY iX ,

- on dispose d’estimations 2ˆiδσ et 2ˆ

iεσ préalables à la méthode IDRLS (voir tableau 4) et

donc de poids initiaux des réalisations et iY iX définis respectivement par (0) 2ˆ1/i i

wδ δσ= et

(0) 2ˆ1/i

wiε εσ= , poids qui ne seront pas à estimer par la suite (voir tableau 5).

Puisque que l’on suppose des erreurs gaussiennes (hypothèse très souvent vérifiée en cas de

mesures) on utilise la méthode du maximum de vraisemblance pour atteindre l’objectif principal

défini plus haut.

La vraisemblance L des données s’écrit ici :

2 2

21

( ) ( )1 1exp exp2 22 2

i ii i

ni i i i

i

X x Y yLε δε δσ σπσ πσ=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛−= − × −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦∏ 2

⎞−⎟⎟⎠

(71)

qui comprend 4n paramètres. Elle devient une vraisemblance simplifiée L′ en remplaçant les

inverses des variances par les poids proposés plus haut, que l’on supposera constantes du

54

problème. Le nombre de paramètres dans L′ est donc de 2n. Cette vraisemblance L′ concerne 2n

données car on dispose de deux mesures pour chacun des n individus. Elle s’écrit :

((0) (0)

(0) 2 (0) 2

1

1exp ( ) ( )2 2

i i

i i

n

i i i ii

w wL w X x wδ ε

ε δπ=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥′ = − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∏ )Y y− (72)

Pour maximiser L′ on peut maximiser Log L′ :

( )(0) (0)

(0) 2 (0) 2

1

1exp ( ) ( )2 2

i i

i i

n

i i i ii

w wLogL Log w X x w Y yδ ε

ε δπ=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥′ = − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∑ −

)

)

(73)

Comme l’exponentielle est décroissante, pour maximiser (73) il suffit donc de minimiser S par

rapport aux paramètres de S :

( (0) 2 (0) 2

1

( ) ( )i i

n

i i i ii

S w X x w Y yε δ=

= − + −∑ (74)

( (0) 2 (0) 2

1

( ) ( ( ))i i

n

i i i ii

S w X x w Y f xε δ=

= − + −∑ (75)

( ) ( )2 2(0) (0) (0) (0)

1

( )i i i i

n

i i i ii

S w X w x w Y w f xε ε ε ε=

⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ (76)

On remarque dans (76) que s’il n’y avait pas d’erreur sur les ix alors S ne serait autre que la

forme usuelle de la somme des carrés résiduelle d’une régression pondérée sur la réponse

seulement.

Faisons apparaître les paramètres de la fonction f et le modèle Z qui correspond à la minimisation

de S. Pour ce faire notons ixI et

iyI les indicatrices correspondant à l’absence et à la présence des

réalisations iX et pondérées. Le tableau de données se présente alors sous la forme (où la

première ligne est constituée des intitulés des colonnes correspondantes :

iY

55

1 1

1

2

1

1

2

1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 1

0 0

0 0 0

n n

n

n

x x y

n

n

0

1

yZ I I I

w X

w X

w X

w Y

w Y

ε

ε

ε

δ

δ

L L L

L L

L L

M M M O M M M

L

L L L

M M M M M M

L L L

I

M

(77)

et le critère S à minimiser peut se réécrire :

( )2(0) (0)

1

( )i i i i

n

i i x i yi

S Z x w I f x w Iε=

= − −∑ δ (78)

où les valeurs iZ sont celles de la colonne Z de la matrice précédente (les observations pondérées).

Le modèle Z s’écrit donc :

(0) (0)

1 1( )

i i i i

n n

x i y ii i

Z w I x w I f xε δ= =

= +∑ ∑ (79)

Les termes (0)i xw Iε i

et (0)i yw Iδ i

sont supposés connus. Notons iβ les paramètres ix à estimer et

soit 0 1 0 1( )i if x x iθ θ θ θ= + = + β . Le terme 1 iθ β rend compte du caractère non linéaire du modèle

Z. On s’oriente donc maintenant vers les outils bien connus de la régression non linéaire pour

trouver des estimations des n + 2 paramètres iβ , 0θ et 1θ .

On peut donc encore réécrire Z comme :

(0) (0)0 1

1 1

( )i i i i

n n

x i i yi i

Z w I w Iε β θ θ β= =

= + +∑ ∑ δ (80)

On calcule les dérivées partielles de Z par rapport à ses paramètres :

(0) (0)1 , 1, ,

i ii ix yi

Z w I w I i nε δσ σθ

β∂

= + =∂

K

(0)

10ii

n

yi

Z w Iδσθ =

∂=

∂ ∑

56

(0)

11ii

n

y ii

Z w Iδσ β

θ =

∂=

∂ ∑ (81)

pour permettre l’utilisation d’une procédure plus performante de régression non linéaire. On

utilisera ici la PROC NLIN de SAS.

VII.4 Algorithme de la méthode IDRLS

L’algorithme complet de la méthode IDRLS s’écrit donc :

De u = 1 à umax , tant que le seuil d’arrêt sur la variation de 1θ n’est pas atteint, faire à l’itération

courante u :

- on pondère les logarithmes de concentration et les temps de détection avec les ( 1)i

uwδ− et les

respectifs, ( 1)i

uwε−

- on construit le vecteur ( )uZ ,

- on estime les paramètres par une régression non linéaire usuelle de ( )uZ sur les

indicatrices pondérées par les racines carrées des poids,

- on récupère les résidus studentisés associés à chaque élément de ( )uZ ,

- on construit les nouveaux poids ( )i

uwδ et ( )i

uwε avec la formule (69), et on passe à l’itération

u + 1.

A l’itération 1 on utilise les (0)i

wδ et (0)i

wε vus plus haut (tableau 5).

La convergence est observée de façon empirique sur tous les jeux de données traités.

57

VII.5 Etude empirique de la robustesse de la méthode IDRLS

Sans pour autant faire une étude complète de la robustesse de la méthode IDRLS, on propose

cependant de procéder à une étude empirique de cette robustesse, à base de simulation et d’études

de quelques cas particuliers.

Etude 1

Partons du jeu de données du tableau 8. Log(conc)

de l’inoculum

Poids des log(conc)

de l’inoculum

Temps de détection Poids des temps de

détection

12.00 11.31 10.62 9.93 9.23 8.54 7.85 7.16

102.266 102.033 101.879 101.510 101.022 101.022 101.022 100.090

21.3796 22.3508 23.2267 23.9975 25.6851 26.2635 27.9275 28.2107

25.997 30.590

109.909 183.316 92.391

598.013 32.306

182.567

Tableau 8 : Données utilisées pour l’étude de robustesse de IDRLS, issues de la sixième condition

d’aw de la plaque 1 d’E. Coli d’ADRIA-Quimper, voir page A1-6.

En quelque sorte, plus le poids d’un temps de détection est faible et plus ceci traduit que ce temps

a été obtenu par une régression sur une partie montante de la courbe DO = f(t) entâchée d’une

variabilité importante. On souhaite que l’estimation de µmax et son intervalle de confiance reste

robuste relativement à cette variabilité.

Si on n’utilise pas les poids des temps de détection donnés dans le tableau 8 mais que l’on affecte

un poids très faible (poids = 1) ou très fort (poids = 5000), valeurs de poids que l’on peut

toutefois rencontrer dans la pratique, à chacun des huit temps de détection du tableau 8, on peut

examiner le résultat sur les 256 combinaisons possibles. Par exemple, les 15 premières

combinaisons sont : Obs COL1 COL2 COL3 COL4 COL5 COL6 COL7 COL8 COL9 COL10 COL11 COL12 COL13 COL14 COL15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 6 1 1 1 1 5000 5000 5000 5000 1 1 1 1 5000 5000 5000 7 1 1 5000 5000 1 1 5000 5000 1 1 5000 5000 1 1 5000 8 1 5000 1 5000 1 5000 1 5000 1 5000 1 5000 1 5000 1

58

On obtient ainsi avec cinq méthodes de régression : Moindres carrés ordinaires (OLS), Moindres

carrés pondérés (WLS), Moindres carrés itérativement repondérés (IRLS), Moindres carrés avec

pondérations de la réponse et de la variable explicative (DWLS) et enfin Moindres carrés avec

repondérations itératives de la réponse et de la variable explicative (IDRLS) les résultats du

tableau 9 :

Méthode Borne inf

Int de conf.

Estimation

de µmax

Borne sup

Int de conf.

Ecart-type

de l’estimation

Coeff. de variation

de l’estimation

OLS 0.58578 0.66277 0.73975 0.031462 4.74702

WLS 0.58538 0.66249 0.73961 0.031515 4.75705

IRLS 0.60325 0.67476 0.74627 0.029225 4.33111

DWLS Voir graphiques figures 6 et 7

IDRLS 0.62181 0.68339 0.74498 0.025168 3.68278

Tableau 9 : Résultats de l’étude 1 de robustesse.

Le tableau 9 montre un écart-type et un coefficient de variation plus faibles pour la méthode

IDRLS. Les trois premières méthodes OLS, WLS et IRLS ne prennent pas en compte les poids

sur les temps (variable explicative). La méthode DWLS prend en compte ces poids et pour les

256 combinaisons de poids possibles on obtient les graphiques des figures 6 et 7.

Sur les graphiques des figures 6 et 7 apparaissent également (en traits pointillés) l’estimation et

les deux bornes de confiance pour la méthode IDRLS, obtenues en fin d’itération, pour chacune

des 256 combinaisons. On constate une constance remarquable dans la convergence.

59

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 64

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

65 128

Figure 6 : Méthode DWLS , combinaisons de poids 1 à 128 :évolution de l’estimation de µmax et des bornes de son intervalle de confiance. En traits pointillés apparaissent les résultats de la méthode IDRLS.

60

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

129 192

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

193 256

Figure 7 : Méthode DWLS , combinaisons de poids 129 à 256 :évolution de l’estimation de µmax et des bornes de son intervalle de confiance. En traits pointillés apparaissent les résultats de la méthode IDRLS.

61

Sur la figure 8 apparaît la variation correspondante de l’écart-type de DWLS tandis que la ligne

horizontale représente celui de IDRLS.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

1 256

Figure 8 : Méthode DWLS , combinaisons de poids 1 à 256 : évolution de l’écart-type de l’estimation de µmax . La ligne horizontale représente les résultats de la méthode IDRLS.

Etude 2

On part du jeu de données du tableau 8 mais on suppose la présence d’une courbe DO = f(t)

aberrante parmi les huit (voir par exemple page A4-7). Ainsi, on remplace la première valeur du

temps 21.3796 par 28 ou bien dans un autre essai la dernière valeur 28.2107 remplacée par 20.

On obtient les résultats du tableau du tableau 10.

62

Méthode Borne inf

Int de conf.

Estimation

de µmax

Borne sup

Int de conf.

Ecart-type

de l’estimation

Coeff. de variation

de l’estimation

Première valeur aberrante

OLS -0.25813 0.37478 1.00769 0.25866 69.0150

WLS -0.26195 0.37179 1.00554 0.25900 69.6617

IRLS 0.24896 0.57634 0.90371 0.13379 23.2141

DWLS -0.12830 0.56281 1.25391 0.28243 50.1822

IDRLS 0.30497 0.63290 0.96083 0.13401 21.1742

Solution exacte obtenue sans valeur aberrante avec IDRLS

0.62377 0.68378 0.74380 0.024525 3.58668

Dernière valeur aberrante

OLS -0.40038 0.20360 0.80757 0.24683 121.236

WLS -0.39620 0.20761 0.81142 0.24676 118.859

IRLS 0.12925 0.50373 0.87821 0.15304 30.3818

DWLS -0.30651 0.31641 0.93932 0.25456 80.4542

IDRLS 0.20527 0.57842 0.95158 0.15249 26.3638


On constate au tableau 9 la remarquable proximité de la solution IDRLS de la solution exacte

dans les deux situations. Les méthodes OLS, WLS et DWLS semblent totalement inadaptées.

Etude 3

Enfin, on peut tenter la présence de valeurs aberrantes en plus des poids 1 et 5000 de l’étude 1.

C’est l’objet de cette étude.

En remplaçant la première valeur 21.3796 par 28 d’une part et la cinquième valeur 25.6851 par

28 d’autre part, et en utilisant pour chacun des deux cas les 256 combinaisons de poids 1 et 5000

on obtient les résultats du tableau 10 et ceux des figures 9 et 10.

63

Méthode Borne inf Int de conf.

Estimation de µmax

Borne sup Int de conf.

Ecart-type de l’estimation

Coeff. de variation de l’estimation

Première valeur aberrante + combinaisons de poids

OLS -0.25813 0.37478 1.00769 0.25866 69.0150

WLS -0.26195 0.37179 1.00554 0.25900 69.6617

IRLS 0.24896 0.57634 0.90371 0.13379 23.2141

DWLS Voir graphique de la figure 9

IDRLS 0.30497 0.63290 0.96083 0.13401 21.1742

Solution exacte obtenue sans valeur aberrante avec IDRLS

0.62377 0.68378 0.74380 0.024525 3.58668

Cinquième valeur aberrante + combinaisons de poids

OLS 0.36046 0.57432 0.78819 0.087403 15.2185

WLS 0.36085 0.57418 0.78752 0.087185 15.1842

IRLS 0.49561 0.63110 0.76659 0.055372 8.77379

DWLS Voir graphique de la figure 10

IDRLS 0.50872 0.64374 0.77876 0.055178 8.57154


-3

-2

-1

0

1

2

3

1 256

Figure 9 : Méthode DWLS ,première valeur aberrante + combinaisons de poids 129 à 256 :évolution de l’estimation de µmax et des bornes de son intervalle de confiance. En traits pointillés apparaissent les résultats de la méthode IDRLS.

64

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1 256

Figure 10 : Méthode DWLS , cinquième valeur aberrante + combinaisons de poids 129 à 256 :évolution de l’estimation de µmax et des bornes de son intervalle de confiance. En traits pointillés apparaissent les résultats de la méthode IDRLS.

A nouveau on retrouve la remarquable stabilité de la méthode IDRLS.

65

VIII. Estimation du paramètre µmax par une méthode de moyenne des temps

de génération

Sur la figure 3 apparaissent les temps de génération Tg que l’on définit par la différence absolue

de deux temps de détection successifs. Pour huit courbes on dispose de sept temps de génération

et donc de sept valeurs de déduites de la relation µmax = Loge2/Tg. Une méthode simple pour

obtenir une estimation de pourrait être alors de faire la moyenne arithmétique de ces sept

valeurs, en testant auparavant l’éventuelle présence de valeurs aberrantes. Pour des faibles

nombres tels que 7 , nous avons choisi le test de Dixon pour décider d’écarter une valeur un peu

trop loin des six autres.

maxµ

maxµ

Rappel du test de Dixon

Soient une série de n résultats expérimentaux classés par valeurs croissantes.

L’hypothèse H0 à contrôler est l’appartenance de tous les résultats à une même population

gaussienne. Si n ≤ 10 alors la fonction discriminante est :

nxx ,,1 K

- )()( 112max xxxxr n −−= si on teste la plus grande des valeurs,

- )()( 11min xxxxr nnn −−= − si on teste la plus petite des valeurs.

Le tableau 11 donne les valeurs de telles que Prob( ou < ) = p quand H0 est vraie. pr minr maxr pr

n\p 0.95 0.99

3 4 5 6 7 8 9

10

0.941 0.765 0.642 0.560 0.507 0.468 0.4.37 0.412

0.988 0.889 0.780 0.698 0.637 0.590 0.555 0.527

Tableau 11 : Valeurs de pour les risques 5% et 1%. pr

66

Intervalles de confiance pour maxµ

On choisira pour intervalle de confiance de maxµ l’intervalle de confiance de la moyenne des

valeurs restantes après le test de Dixon, calculé avec la formule habituelle :

[ qnst qn −−µ −−α− /ˆ 1);2/(1max ; qnst qn −+µ −−α− /ˆ 1);2/(1max ] (82)

où :

- q est le nombre de valeurs supprimées par le test de Dixon.

- est l’estimation du paramètre maxµ maxµ obtenue en faisant la moyenne arithmétique des n-

q valeurs de Log2/Tg lues sur les courbes,

- est le fractile d’ordre 1-(α/2) , α est choisi à 5% ici, d’une loi de Student à n-

q-1 degrés de liberté,

1);2/(1 −−α− qnt

- s est la racine carrée d’une estimation non biaisée de la variance des n-q données, c’est-à-

dire : ( ) )1/()(1

2 −−−= ∑ −

=qnxxs qn

i i , (83)

Le test de Dixon et la formule (82) ont été appliqués sur tous les résultats issus des courbes

données dans les annexes. Les résultats figurent dans les tableaux de la troisième partie de ce

rapport.

67

ANNEXE 1

COURBES BIOSCREEN :

DENSITE OPTIQUE EN FONCTION DE %NaCl

(PROVENANCE DE L’ADRIA-QUIMPER)

E. COLI

(2 plaques)

Annexe 1 - 0

ADRIA-QUIMPER / NaCl=0.50% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 2

ADRIA-QUIMPER / NaCl=1% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 3


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 4


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 5


temps (minutes)600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 1 - 6

ANNEXE 2

COURBES BIOSCREEN :



LISTERIA MONOCYTOGENES

(2 plaques)

Annexe 2 - 0

ADRIA-QUIMPER / LM/ NaCl=0.5% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 1


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 2


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ADRIA-QUIMPER / LM/ NaCl=1% / PLAQUE 2

temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 3


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 4


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 300 600 900 1200 1500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 5


temps (minutes)300 600 900 1200 1500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)0 300 600 900 1200 1500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 2 - 6

ANNEXE 3

COURBES BIOSCREEN :



LISTERIA MONOCYTOGENES 118 III (plaque 1)

S. ENTIRIDIS (plaque 2)

Annexe 3 - 0

ADRIA-QUIMPER / LM-III/ NaCl=0.5% /PLAQUE 1

temps (minutes)300 500 700 900 1100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ADRIA-QUIMPER / S. ENTERID. / NaCl=0.5% / PLAQUE 2

temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Annexe 3 - 1

ADRIA-QUIMPER / LM-III/ NaCl=0.75% /PLAQUE 1

temps (minutes)300 500 700 900 1100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)300 600 900 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 3 - 2

ADRIA-QUIMPER / LM-III/ NaCl=1% /PLAQUE 1

temps (minutes)300 500 700 900 1100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ADRIA-QUIMPER / S. ENTERID. / NaCl=1% / PLAQUE 2

temps (minutes)300 600 900 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 3 - 3

ADRIA-QUIMPER / LM-III / NaCl=1.5% / PLAQUE 1

temps (minutes)300 500 700 900 1100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)300 600 900 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 3 - 4

ADRIA-QUIMPER / LM-III / NaCl=3% / PLAQUE 1

temps (minutes)400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)500 1000 1500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 3 - 5

ADRIA-QUIMPER / LM-III / NaCl=5% / PLAQUE 1

temps (minutes)600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0

0.2

0.4

0.6

0.8


temps (minutes)1200 1600 2000 2400 2800 3200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Annexe 3 - 6

ANNEXE 4

COURBES BIOSCREEN :


(PROVENANCE DE L’Institut Pasteur de Lille)

LISTERIA MONOCYTOGENES

(2 plaques)

Annexe 4 - 0

IPL / LM / NaCl = 0.5% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Plaque 2 : contamination

Annexe 4 - 1


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Plaque 2 : contamination

Annexe 4 - 2

IPL / LM / NaCl = 1% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

IPL / LM / NaCl= 1% / PLAQUE 2

temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 4 - 3


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

IPL / LM / NaCl= 1.5% / PLAQUE 2

temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 4 - 4


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 4 - 5


temps (minutes)0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 4 - 6


temps (minutes)1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8


temps (minutes)1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Annexe 4 - 7

ANNEXE 5

COURBES BIOSCREEN :


(PROVENANCE DE L’Institut Pasteur de Lille)

E. COLI ECF-187

(2 plaques)

Annexe 5 - 0

IPL / EC 187 / NaCl=0.5% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 1


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 2

IPL / EC 187 / NaCl=1% / PLAQUE 1

temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 3


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)0 200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 4


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200 1400

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 5


temps (minutes)600 1000 1400 1800 2200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


temps (minutes)600 1000 1400 1800 2200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Annexe 5 - 6

ANNEXE 6

COURBES BIOSCREEN :

DENSITE OPTIQUE EN FONCTION DU pH


E. COLI ECF-187

(2 plaques)

Annexe 6 - 0

ADRIA / EC / pH= 4.49 / PLAQUE 1

temps (minutes)600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


temps (minutes)0.5 1 1.5 2 2.5 3

(X 1000)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Annexe 6 - 1


temps (minutes)400 800 1200 1600

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6


temps (minutes)300 600 900 1200 1500

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Annexe 6 - 2


temps (minutes)300 600 900 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8


temps (minutes)300 600 900 1200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Annexe 6 - 3


temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Annexe 6 - 4


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.3

0.6

0.9


temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Annexe 6 - 5


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.3

0.6

0.9


temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Annexe 6 - 6


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)200 400 600 800 1000

00.10.2

0.30.4

0.50.60.7

Annexe 6 - 7


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


temps (minutes)200 400 600 800 1000 1200

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Annexe 6 - 8


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.4

0.8

1.2


temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 6 - 9


temps (minutes)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(X 1000)

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5


temps (minutes)200 400 600 800 1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Annexe 6 - 10

ANNEXE 7

ESTIMATIONS DES µmax OBTENUES

A PARTIR DES DONNEES DE L’ADRIA-QUIMPER

Annexe 7-0

ADRIA E. COLI AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 1

Temps de détection pour les 8 dilutions

NaCl = 0.5% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 7.1135 7.2588 7.4043 0.042747 .001827303 547.255 2 7.3351 7.4939 7.6525 0.046654 .002176576 459.437 3 7.8408 7.9883 8.1355 0.043310 .001875735 533.124 4 8.2532 8.4221 8.5931 0.045599 .002079286 480.934 5 8.7640 8.9479 9.1357 0.049869 .002486893 402.108 6 9.0946 9.3004 9.5182 0.056829 .003229546 309.641 7 9.5098 9.6972 9.8885 0.050807 .002581317 387.399 8 10.0437 10.2649 10.4972 0.060842 .003701748 270.143


NaCl = 1% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 7.3717 7.5047 7.6378 0.039105 .001529183 653.94 2 7.7691 7.9192 8.0674 0.043844 .001922339 520.20 3 8.3343 8.4218 8.5100 0.023568 .000555451 1800.34 4 8.7796 8.8888 8.9981 0.029316 .000859435 1163.56 5 9.0456 9.1911 9.3389 0.039349 .001548334 645.86 6 9.7260 9.8395 9.9524 0.030366 .000922096 1084.49 7 10.0949 10.2200 10.3474 0.033884 .001148109 871.00 8 10.5575 10.6751 10.7937 0.031684 .001003886 996.13

Annexe 7-1



NaCl = 5% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 20.8647 21.3796 21.8976 0.19613 0.038466 25.997 2 21.8788 22.3508 22.8248 0.18080 0.032690 30.590 3 22.9773 23.2267 23.4764 0.09539 0.009098 109.909 4 23.8049 23.9975 24.1902 0.07386 0.005455 183.316 5 25.4131 25.6851 25.9575 0.10404 0.010824 92.391 6 26.1569 26.2635 26.3702 0.04089 0.001672 598.013 7 27.4656 27.9275 28.3921 0.17594 0.030954 32.306 8 28.0170 28.2107 28.4043 0.07401 0.005477 182.567

Annexe 7-2

Caractéristiques du paramètre mumax pour chaque taux de NaCl

et pour chaque méthode de régression

OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.47521 1.58319 1.69117 0.044130 .001947414 2.78738 2 1.36079 1.47754 1.59429 0.047714 .002276616 3.22929 3 1.44449 1.51483 1.58518 0.028747 .000826415 1.89773 4 1.31841 1.44180 1.56518 0.050424 .002542575 3.49730 5 1.00907 1.13551 1.26196 0.051677 .002670461 4.55094 6 0.58578 0.66277 0.73975 0.031462 .000989838 4.74702

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.47538 1.58353 1.69168 0.044199 .001953508 2.79114 2 1.36036 1.47725 1.59415 0.047774 .002282332 3.23396 3 1.44463 1.51502 1.58541 0.028766 .000827458 1.89869 4 1.31799 1.44135 1.56472 0.050415 .002541698 3.49777 5 1.00890 1.13577 1.26264 0.051848 .002688189 4.56499 6 0.58538 0.66249 0.73961 0.031515 .000993199 4.75705

IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.46659 1.56855 1.67050 0.041665 .001735972 2.65628 2 1.38937 1.48640 1.58343 0.039653 .001572372 2.66773 3 1.47937 1.51847 1.55756 0.015976 .000255219 1.05209 4 1.30048 1.41357 1.52667 0.046221 .002136335 3.26976 5 1.02628 1.12411 1.22193 0.039979 .001598330 3.55652 6 0.60325 0.67476 0.74627 0.029225 .000854082 4.33111

DWLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.47677 1.58569 1.69462 0.044514 .001981494 2.80723 2 1.36301 1.47988 1.59675 0.047760 .002280970 3.22726 3 1.44488 1.51519 1.58551 0.028735 .000825720 1.89648 4 1.31801 1.44090 1.56379 0.050221 .002522112 3.48536 5 1.00766 1.13709 1.26653 0.052895 .002797830 4.65173 6 0.58552 0.66488 0.74423 0.032430 .001051731 4.87767

IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.47569 1.57640 1.67711 0.041156 .001693843 2.61077 2 1.39770 1.49643 1.59516 0.040346 .001627811 2.69616 3 1.47901 1.52035 1.56170 0.016898 .000285530 1.11143 4 1.31019 1.41624 1.52229 0.043339 .001878256 3.06012 5 1.03467 1.13503 1.23539 0.041014 .001682139 3.61347 6 0.62181 0.68339 0.74498 0.025168 .000633421 3.68278

Annexe 7-3

ADRIA E. COLI AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 2





Annexe 7-4




Annexe 7-5



OLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.13908 1.33751 1.53594 0.081093 .006576062 6.06297 2 1.08796 1.31783 1.54769 0.093941 .008824953 7.12849 3 1.38734 1.46959 1.55185 0.033615 .001129955 2.28735 4 1.31874 1.38432 1.44989 0.026799 .000718161 1.93587 5 1.08008 1.13563 1.19117 0.022701 .000515334 1.99898 6 0.51113 0.60450 0.69787 0.038157 .001455965 6.31218

WLS




IDRLS


Annexe 7-6

ADRIA L.M. AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 1


NaCl = 0.5% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 8.8330 9.1253 9.4286 0.08754 0.007664 130.487 2 9.3973 9.7527 10.1419 0.10943 0.011976 83.502 3 9.9703 10.3075 10.6819 0.10459 0.010940 91.408 4 10.5778 10.9303 11.3063 0.10708 0.011466 87.215 5 11.3312 11.5668 11.8063 0.06983 0.004877 205.053 6 11.9111 12.1871 12.4779 0.08331 0.006941 144.066 7 12.5995 12.8704 13.1505 0.08099 0.006560 152.442 8 13.1480 13.5249 13.9166 0.11982 0.014358 69.648


NaCl = 1% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 -2.1804 11.3223 20.7295 3.72141 13.8489 0.072 2 11.2913 11.4418 11.5948 0.04072 0.0017 603.172 3 11.8810 12.1258 12.3785 0.07312 0.0053 187.032 4 12.6373 12.8125 12.9969 0.04824 0.0023 429.645 5 13.3590 13.5261 13.6999 0.04574 0.0021 477.875 6 14.0845 14.3376 14.5965 0.07525 0.0057 176.600 7 14.7137 14.8845 15.0558 0.04590 0.0021 474.695 8 15.4872 15.6459 15.8054 0.04269 0.0018 548.755

Annexe 7-7




Annexe 7-8








Annexe 7-9

ADRIA L.M. AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 1





Annexe 7-10




Annexe 7-11








Annexe 7-12

ADRIA L.M. III AW (4 taux de NaCl)

PLAQUE 1






Annexe 7-13



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.95749 0.99974 1.04199 0.017265 .000298091 1.72698 2 0.96537 0.98553 1.00569 0.008239 .000067875 0.83596 3 0.78075 0.80444 0.82813 0.009682 .000093745 1.20360 4 0.53026 0.58611 0.64196 0.022824 .000520923 3.89411

WLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.95732 0.99968 1.04204 0.017313 .000299724 1.73180 2 0.96545 0.98561 1.00576 0.008237 .000067846 0.83571 3 0.78078 0.80445 0.82812 0.009674 .000093596 1.20262 4 0.53029 0.58615 0.64201 0.022829 .000521145 3.89467

IRLS


DWLS


IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.96963 1.00145 1.03327 0.013004 .000169108 1.29853 2 0.96785 0.98596 1.00406 0.007399 .000054739 0.75040 3 0.77669 0.79962 0.82256 0.009373 .000087846 1.17213 4 0.53725 0.58392 0.63058 0.019070 .000363678 3.26594

Annexe 7-14

ADRIA S. ENTERIDIS AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 2





Annexe 7-15




Annexe 7-16





IRLS



IDRLS


Annexe 7-17

ADRIA E. COLI PH (10 niveaux de pH)

PLAQUE 1


pH = 4.49 Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 9.59234 9.81535 10.0473 0.05205 0.002709 369.132 2 8.86028 9.14120 9.4544 0.06796 0.004619 216.507 3 7.86054 8.30652 8.7845 0.10570 0.011172 89.513 4 7.54395 7.92549 8.3485 0.06526 0.004258 234.840 5 7.05708 7.28499 7.5178 0.05271 0.002778 359.950 6 6.63239 6.89667 7.1689 0.04352 0.001894 528.056 7 6.05006 6.35638 6.6914 0.07336 0.005382 185.791 8 5.64319 5.87331 6.1030 0.03729 0.001391 719.042

pH = 4.78 Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 8.38332 8.70383 9.03749 0.087767 .007703016 129.819 2 7.89173 8.18692 8.49079 0.080373 .006459896 154.801 3 7.42742 7.69414 7.96876 0.072629 .005274993 189.574 4 6.95431 7.19048 7.45716 0.057524 .003308973 302.209 5 6.49915 6.77439 7.05464 0.063546 .004038047 247.644 6 6.02969 6.30473 6.59122 0.064236 .004126254 242.351 7 5.54304 5.82349 6.12013 0.066016 .004358095 229.458 8 5.25799 5.48905 5.75482 0.040298 .001623940 615.786



Annexe 7-18


pH = 6.51 Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids 1 9.19726 9.51110 9.8292 0.11195 0.01253 79.786 2 8.80054 9.15824 9.5235 0.12619 0.01592 62.795 3 8.64438 8.81728 8.9900 0.06320 0.00399 250.349 4 6.65373 8.40484 10.0907 0.64453 0.41542 2.407 5 7.41672 7.67140 7.9291 0.08780 0.00771 129.721 6 -1.29957 6.49723 13.2656 2.86977 8.23557 0.121 7 -1.98550 6.12183 13.2171 3.00033 9.00201 0.111 8 6.02428 6.29530 6.5689 0.09506 0.00904 110.652



Annexe 7-19



Annexe 7-20

Caractéristiques du paramètre mumax pour chaque niveau de pH


OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.11749 1.24013 1.36276 0.05012 0.00251 4.041 2 1.42727 1.49007 1.55287 0.02566 0.00066 1.722 3 1.32642 1.44218 1.55793 0.04731 0.00224 3.280 4 1.42414 1.48586 1.54759 0.02523 0.00064 1.698 5 1.45623 1.58378 1.71133 0.05213 0.00272 3.291 6 0.92073 1.21022 1.49970 0.11831 0.01400 9.776 7 0.60679 1.39060 2.17441 0.32033 0.10261 23.035 8 0.02713 1.84869 3.67025 0.74443 0.55418 40.268 9 -0.76373 0.09124 0.94622 0.34941 0.12209 382.950 10 -0.71249 -0.16642 0.37965 0.22317 0.04980 134.099

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.11700 1.23985 1.36270 0.05020 0.00252 4.049 2 1.42704 1.48985 1.55266 0.02567 0.00066 1.723 3 1.32618 1.44201 1.55784 0.04734 0.00224 3.283 4 1.42402 1.48580 1.54759 0.02525 0.00064 1.699 5 1.45641 1.58418 1.71195 0.05222 0.00273 3.296 6 0.92100 1.21023 1.49946 0.11820 0.01397 9.767 7 0.60633 1.39039 2.17445 0.32043 0.10268 23.046 8 0.03010 1.84540 3.66069 0.74187 0.55037 40.201 9 -0.76408 0.09307 0.95021 0.35030 0.12271 376.395 10 -0.71254 -0.16686 0.37883 0.22301 0.04973 133.655

IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.15073 1.24779 1.34486 0.03967 0.00157 3.179 2 1.42885 1.47702 1.52520 0.01969 0.00039 1.333 3 1.37115 1.44343 1.51570 0.02954 0.00087 2.046 4 1.43881 1.48768 1.53655 0.01997 0.00040 1.342 5 1.46514 1.56854 1.67194 0.04226 0.00179 2.694 6 0.93466 1.19788 1.46109 0.10757 0.01157 8.980 7 0.70349 1.28348 1.86347 0.23703 0.05618 18.468 8 0.56452 1.87857 3.19261 0.53702 0.28839 28.587 9 -0.76733 0.13789 1.04311 0.36994 0.13686 268.285 10 -0.70921 -0.22838 0.25246 0.19651 0.03861 86.045

Annexe 7-21

DWLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.121 1.2394 1.358 0.048 0.00 3.898 2 1.430 1.4943 1.559 0.026 0.00 1.761 3 1.330 1.4450 1.560 0.047 0.00 3.245 4 1.425 1.4859 1.546 0.025 0.00 1.664 5 1.462 1.5858 1.709 0.050 0.00 3.181 6 1.333 1.4517 1.571 0.049 0.00 3.346 7 0.893 3.2661 5.639 0.970 0.94 29.695 8 1.053 2.7283 4.404 0.685 0.47 25.094 9 -259.611 19.0798 297.771 113.891 12971.12 596.920 10 -2.171 -0.8993 0.373 0.520 0.27 -57.805

IDRLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 1.15664 1.25521 1.35379 0.04028 0.00162 3.2092 2 1.43114 1.47924 1.52734 0.01966 0.00039 1.3289 3 1.36991 1.45074 1.53157 0.03303 0.00109 2.2769 4 1.44025 1.49065 1.54105 0.02060 0.00042 1.3817 5 1.47420 1.57718 1.68015 0.04208 0.00177 2.6682 6 1.00232 1.27571 1.54909 0.11172 0.01248 8.7576 7 0.82271 1.59001 2.35731 0.31357 0.09832 19.7211 8 0.90876 3.08374 5.25872 0.88883 0.79003 28.8233 9 -0.21334 0.92631 2.06596 0.46574 0.21691 50.2786 10 -0.83119 -0.35507 0.12104 0.19457 0.03786 -54.7973

Annexe 7-22

ADRIA E. COLI PH (10 niveaux de pH)

PLAQUE 2






Annexe 7-23





Annexe 7-24



Annexe 7-25



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.54750 0.88718 1.22686 0.13882 0.019271 15.647 2 0.73617 0.76351 0.79085 0.01117 0.000125 1.463 3 0.39229 0.89507 1.39785 0.20547 0.042220 22.956 4 0.87737 0.93540 0.99343 0.02372 0.000562 2.535 5 1.21257 1.31005 1.40754 0.03984 0.001587 3.041 6 1.29489 1.35346 1.41204 0.02394 0.000573 1.769 7 1.36915 1.42285 1.47654 0.02194 0.000482 1.542 8 1.36642 1.47705 1.58768 0.04521 0.002044 3.061 9 1.39032 1.48671 1.58310 0.03939 0.001552 2.650 10 -0.37965 0.16642 0.71249 0.22317 0.049803 134.099

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.54691 0.88663 1.22635 0.13884 0.019275 15.659 2 0.73603 0.76339 0.79076 0.01118 0.000125 1.465 3 0.39141 0.89597 1.40052 0.20620 0.042519 23.014 4 0.87738 0.93542 0.99346 0.02372 0.000563 2.536 5 1.21246 1.31004 1.40762 0.03988 0.001590 3.044 6 1.29498 1.35349 1.41201 0.02391 0.000572 1.767 7 1.36908 1.42298 1.47687 0.02203 0.000485 1.548 8 1.36631 1.47686 1.58740 0.04518 0.002041 3.059 9 1.39007 1.48668 1.58330 0.03948 0.001559 2.656 10 -0.37883 0.16686 0.71254 0.22301 0.049733 133.655

IRLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.60504 0.88831 1.17158 0.11577 0.013402 13.0321 2 0.73723 0.76464 0.79204 0.01120 0.000125 1.4647 3 0.61562 0.90242 1.18923 0.11721 0.013738 12.9883 4 0.89683 0.93443 0.97202 0.01536 0.000236 1.6443 5 1.20079 1.29591 1.39102 0.03887 0.001511 2.9996 6 1.29463 1.34915 1.40367 0.02228 0.000496 1.6514 7 1.37518 1.41575 1.45633 0.01658 0.000275 1.1713 8 1.41293 1.47831 1.54369 0.02672 0.000714 1.8073 9 1.40358 1.48628 1.56897 0.03379 0.001142 2.2737 10 -0.27170 0.21585 0.70339 0.19925 0.039700 92.3111

Annexe 7-26

DWLS


IDRLS


Annexe 7-27

ADRIA L.M. PH (9 niveaux de pH)

PLAQUE 1






Annexe 7-28






Annexe 7-29



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.42280 0.46122 0.49963 0.015699 .000246474 3.40393 2 0.62818 0.72480 0.82142 0.039487 .001559247 5.44804 3 0.71892 0.79297 0.86701 0.030261 .000915757 3.81624 4 0.96081 0.97123 0.98165 0.004259 .000018137 0.43849 5 0.96179 1.00577 1.04974 0.017970 .000322934 1.78674 6 0.99136 1.01450 1.03764 0.009459 .000089467 0.93235 7 1.02611 1.04593 1.06575 0.008101 .000065623 0.77450 8 1.02511 1.04180 1.05848 0.006818 .000046491 0.65449 9 0.94252 1.00433 1.06615 0.025263 .000638240 2.51544

WLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.42281 0.46120 0.49959 0.015688 .000246123 3.40163 2 0.62791 0.72490 0.82189 0.039637 .001571057 5.46785 3 0.71872 0.79287 0.86702 0.030304 .000918304 3.82200 4 0.96078 0.97122 0.98166 0.004268 .000018215 0.43943 5 0.96165 1.00581 1.04997 0.018047 .000325695 1.79427 6 0.99132 1.01451 1.03769 0.009475 .000089772 0.93393 7 1.02605 1.04590 1.06575 0.008112 .000065803 0.77559 8 1.02509 1.04181 1.05853 0.006834 .000046707 0.65600 9 0.94238 1.00435 1.06631 0.025323 .000641230 2.52129

IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.43423 0.46021 0.48619 0.010618 .000112744 2.30722 2 0.63632 0.70351 0.77070 0.027459 .000754018 3.90319 3 0.72248 0.79102 0.85956 0.028011 .000784600 3.54108 4 0.96393 0.97138 0.97883 0.003044 .000009269 0.31342 5 0.97476 1.00594 1.03712 0.012741 .000162343 1.26661 6 0.99040 1.01210 1.03379 0.008866 .000078612 0.87603 7 1.02960 1.04512 1.06063 0.006341 .000040213 0.60676 8 1.02707 1.03972 1.05236 0.005167 .000026700 0.49699 9 0.95927 0.99856 1.03784 0.016055 .000257770 1.60785

DWLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.42358 0.46387 0.50416 0.016465 .000271104 3.54954 2 0.63050 0.72367 0.81684 0.038075 .001449694 5.26137 3 0.72253 0.79644 0.87035 0.030203 .000912235 3.79227 4 0.96119 0.97132 0.98144 0.004138 .000017120 0.42598 5 0.96360 1.00668 1.04977 0.017606 .000309979 1.74893 6 0.99280 1.01539 1.03798 0.009232 .000085223 0.90918 7 1.02720 1.04649 1.06577 0.007881 .000062113 0.75311 8 1.02646 1.04333 1.06019 0.006892 .000047501 0.66059 9 0.94712 1.01052 1.07391 0.025907 .000671176 2.56374

Annexe 7-30

IDRLS


Annexe 7-31

ADRIA L.M. PH (9 niveaux de pH)

PLAQUE 2






Annexe 7-32





Annexe 7-33


Annexe 7-34



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.51452 0.53712 0.55973 0.00924 0.000085 1.7200 2 0.74407 0.77125 0.79843 0.01111 0.000123 1.4404 3 0.44940 0.95962 1.46983 0.20851 0.043478 21.7289 4 0.88838 0.95089 1.01339 0.02555 0.000653 2.6865 5 1.27628 1.33379 1.39130 0.02350 0.000552 1.7621 6 1.29489 1.35346 1.41204 0.02394 0.000573 1.7688 7 1.36915 1.42285 1.47654 0.02194 0.000482 1.5423 8 1.36400 1.47744 1.59089 0.04636 0.002149 3.1380 9 1.39730 1.49686 1.59642 0.04069 0.001656 2.7182

WLS

Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.51452 0.53712 0.55972 0.00924 0.000085 1.7197 2 0.74390 0.77120 0.79849 0.01116 0.000124 1.4467 3 0.44874 0.96067 1.47259 0.20921 0.043770 21.7778 4 0.88836 0.95088 1.01339 0.02555 0.000653 2.6868 5 1.27617 1.33368 1.39120 0.02351 0.000553 1.7625 6 1.29498 1.35349 1.41201 0.02391 0.000572 1.7668 7 1.36908 1.42298 1.47687 0.02203 0.000485 1.5479 8 1.36385 1.47723 1.59060 0.04633 0.002147 3.1366 9 1.39709 1.49684 1.59658 0.04076 0.001662 2.7234

IRLS


DWLS


Annexe 7-35

IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.51480 0.53064 0.54648 0.00647 0.000042 1.2199 2 0.75483 0.77091 0.78699 0.00657 0.000043 0.8525 3 0.72524 1.04877 1.37229 0.13221 0.017480 12.6065 4 0.91227 0.95802 1.00378 0.01870 0.000350 1.9518 5 1.27438 1.31843 1.36249 0.01800 0.000324 1.3656 6 1.30080 1.35469 1.40859 0.02203 0.000485 1.6259 7 1.37651 1.41836 1.46022 0.01711 0.000293 1.2060 8 1.41179 1.48250 1.55321 0.02890 0.000835 1.9491 9 1.42473 1.50787 1.59101 0.03398 0.001154 2.2533

Annexe 7-36

ANNEXE 8

ESTIMATIONS DES µmax OBTENUES

A PARTIR DES DONNEES DE L’Institut Pasteur de Lille

Annexe 8- 0

IPL L.M AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 1





Annexe 8- 1




Annexe 8- 2





IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.76317 0.77764 0.79211 .005914333 .000034979 0.76055 2 0.74845 0.76320 0.77795 .006028194 .000036339 0.78986 3 0.73551 0.75372 0.77192 .007440883 .000055367 0.98723 4 0.71605 0.73940 0.76275 .009542321 .000091056 1.29055 5 0.69124 0.69621 0.70119 .002033779 .000004136 0.29212 6 0.52351 0.52667 0.52983 .001292316 .000001670 0.24537


IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.76250 0.77813 0.79377 .006389453 .000040825 0.82113 2 0.74698 0.76189 0.77680 .006093198 .000037127 0.79975 3 0.73682 0.75538 0.77394 .007585326 .000057537 1.00417 4 0.71729 0.73977 0.76225 .009187385 .000084408 1.24192 5 0.69171 0.69651 0.70131 .001960443 .000003843 0.28147 6 0.52378 0.52687 0.52997 .001265561 .000001602 0.24020

Annexe 8- 3

IPL L.M AW (4 taux de NaCl)

PLAQUE 2






Annexe 8- 4



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.71191 0.73085 0.74980 0.007742 .000059932 1.05925 2 0.64651 0.68008 0.71364 0.013718 .000188173 2.01706 3 0.67923 0.68892 0.69861 0.003962 .000015695 0.57506 4 0.54569 0.56036 0.57502 0.005992 .000035906 1.06936

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.71188 0.73085 0.74982 0.007752 .000060097 1.06072 2 0.64661 0.68013 0.71364 0.013697 .000187601 2.01385 3 0.67919 0.68892 0.69865 0.003978 .000015821 0.57736 4 0.54572 0.56041 0.57509 0.006001 .000036010 1.07080

IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.71532 0.73074 0.74616 0.006301 .000039706 0.86231 2 0.66756 0.69208 0.71660 0.010020 .000100398 1.44779 3 0.68315 0.68985 0.69655 0.002738 .000007498 0.39694 4 0.54668 0.55802 0.56936 0.004635 .000021481 0.83058

DWLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.71178 0.73055 0.74933 0.007674 .000058897 1.05050 2 0.64642 0.68007 0.71372 0.013752 .000189111 2.02211 3 0.67947 0.68908 0.69868 0.003925 .000015403 0.56955 4 0.54554 0.56036 0.57517 0.006054 .000036647 1.08032

IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.71521 0.73071 0.74620 0.006331 .000040087 0.86648 2 0.66736 0.69234 0.71732 0.010209 .000104216 1.47450 3 0.68276 0.68985 0.69694 0.002898 .000008397 0.42006 4 0.54627 0.55816 0.57005 0.004859 .000023606 0.87048

Annexe 8- 5

IPL E.C.187 AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 1


NaCl = 0.5% Dil tinf t0 tsup écart-type variance poids

1 6.9423 7.0725 7.2025 0.043552 .001896820 527.198 2 7.2923 7.4902 7.6879 0.067801 .004597027 217.532 3 7.9505 8.0767 8.2026 0.042204 .001781151 561.435 4 8.6535 8.8048 8.9556 0.050591 .002559461 390.707 5 9.2680 9.4511 9.6339 0.062700 .003931247 254.372 6 9.9763 10.1647 10.3524 0.064443 .004152919 240.794 7 10.6297 10.7641 10.8985 0.046059 .002121440 471.378 8 11.3255 11.4554 11.5858 0.043583 .001899440 526.471



Annexe 8- 6




Annexe 8- 7







IDRLS


Annexe 8- 8

IPL E.C.187 AW (6 taux de NaCl)

PLAQUE 2





Annexe 8- 9




Annexe 8- 10





IRLS



IDRLS


Annexe 8- 11

IPL LM PH (9 niveaux de pH)

PLAQUE 1





Annexe 8- 12





Annexe 8- 13



Annexe 8- 14



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.40998 0.44016 0.47035 0.012337 .000152191 2.80273 2 0.57085 0.60764 0.64443 0.015037 .000226109 2.47465 3 0.72195 0.74902 0.77609 0.011062 .000122362 1.47683 4 0.87248 0.91527 0.95805 0.017487 .000305784 1.91056 5 0.86949 0.90327 0.93704 0.013802 .000190502 1.52804 6 0.93372 0.96428 0.99484 0.012488 .000155957 1.29509 7 0.94371 0.97233 1.00095 0.011697 .000136815 1.20296 8 0.93174 0.95453 0.97732 0.009314 .000086748 0.97575 9 0.89037 0.92316 0.95595 0.013400 .000179562 1.45154

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.40991 0.44014 0.47037 0.012355 .000152651 2.80711 2 0.57079 0.60765 0.64451 0.015064 .000226915 2.47900 3 0.72180 0.74895 0.77610 0.011095 .000123101 1.48143 4 0.87242 0.91523 0.95803 0.017493 .000306004 1.91133 5 0.86938 0.90313 0.93689 0.013793 .000190253 1.52726 6 0.93362 0.96426 0.99489 0.012519 .000156730 1.29832 7 0.94364 0.97230 1.00096 0.011714 .000137207 1.20473 8 0.93167 0.95451 0.97734 0.009332 .000087091 0.97770 9 0.89023 0.92307 0.95592 0.013424 .000180214 1.45431

IRLS


DWLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.40940 0.44057 0.47174 0.012737 .000162224 2.89096 2 0.57056 0.60725 0.64393 0.014993 .000224785 2.46899 3 0.72280 0.74950 0.77620 0.010913 .000119088 1.45600 4 0.87247 0.91570 0.95892 0.017666 .000312073 1.92920 5 0.87009 0.90420 0.93831 0.013941 .000194342 1.54176 6 0.93485 0.96534 0.99583 0.012460 .000155264 1.29079 7 0.94454 0.97399 1.00345 0.012037 .000144896 1.23587 8 0.93488 0.95586 0.97684 0.008574 .000073515 0.89701 9 0.89142 0.92447 0.95752 0.013508 .000182461 1.46114

Annexe 8- 15

IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.41651 0.44022 0.46393 0.009689 .000093874 2.20090 2 0.57858 0.60732 0.63606 0.011745 .000137941 1.93389 3 0.72845 0.74846 0.76847 0.008178 .000066878 1.09264 4 0.87725 0.91027 0.94329 0.013495 .000182121 1.48255 5 0.88094 0.90581 0.93068 0.010165 .000103328 1.12220 6 0.94451 0.96764 0.99078 0.009454 .000089387 0.97706 7 0.94796 0.97254 0.99712 0.010044 .000100892 1.03281 8 0.93813 0.95523 0.97234 0.006990 .000048859 0.73175 9 0.90018 0.92893 0.95768 0.011750 .000138071 1.26494

Annexe 8- 16

IPL LM PH (8 niveaux de pH)

PLAQUE 2





Annexe 8- 17





Annexe 8- 18


Annexe 8- 19



OLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.56740 0.60678 0.64617 0.016096 .000259077 2.65266 2 0.72490 0.75070 0.77651 0.010547 .000111250 1.40501 3 0.92671 0.95381 0.98091 0.011075 .000122666 1.16118 4 0.97699 1.00211 1.02723 0.010268 .000105424 1.02460 5 0.95781 0.98433 1.01085 0.010839 .000117487 1.10117 6 0.97550 0.99969 1.02388 0.009886 .000097731 0.98890 7 0.94453 0.97565 1.00678 0.012721 .000161821 1.30383 8 0.94698 0.96848 0.98999 0.008789 .000077251 0.90753

WLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.56738 0.60671 0.64604 0.016074 .000258367 2.64933 2 0.72480 0.75063 0.77647 0.010558 .000111471 1.40654 3 0.92661 0.95372 0.98082 0.011077 .000122694 1.16143 4 0.97692 1.00208 1.02724 0.010284 .000105751 1.02622 5 0.95776 0.98428 1.01079 0.010836 .000117418 1.10091 6 0.97534 0.99962 1.02390 0.009923 .000098457 0.99263 7 0.94447 0.97556 1.00665 0.012705 .000161411 1.30231 8 0.94696 0.96845 0.98994 0.008783 .000077140 0.90690

IRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.57562 0.60867 0.64171 0.013506 .000182412 2.21895 2 0.72498 0.75019 0.77541 0.010305 .000106184 1.37359 3 0.93340 0.95234 0.97128 0.007740 .000059905 0.81272 4 0.98648 1.00312 1.01975 0.006798 .000046212 0.67768 5 0.96128 0.98128 1.00128 0.008175 .000066828 0.83308 6 0.99009 1.00667 1.02324 0.006775 .000045895 0.67297 7 0.94954 0.96827 0.98699 0.007653 .000058574 0.79042 8 0.95305 0.96949 0.98593 0.006718 .000045126 0.69290

DWLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.56741 0.60691 0.64641 0.016142 .000260555 2.65967 2 0.72449 0.74989 0.77529 0.010379 .000107714 1.38401 3 0.92771 0.95575 0.98380 0.011461 .000131356 1.19916 4 0.97701 1.00235 1.02769 0.010354 .000107208 1.03299 5 0.95801 0.98558 1.01316 0.011268 .000126961 1.14325 6 0.97686 1.00122 1.02558 0.009954 .000099079 0.99417 7 0.94554 0.97748 1.00942 0.013051 .000170339 1.33521 8 0.94690 0.96862 0.99034 0.008876 .000078776 0.91632

Annexe 8- 20

IDRLS Obs mulow mu muup ecmu vmu cvmu 1 0.57466 0.60949 0.64433 0.014236 .000202661 2.33569 2 0.72421 0.74995 0.77570 0.010522 .000110703 1.40297 3 0.93247 0.95201 0.97154 0.007984 .000063743 0.83864 4 0.98848 1.00469 1.02090 0.006624 .000043883 0.65935 5 0.96100 0.98061 1.00022 0.008013 .000064214 0.81718 6 0.99018 1.00653 1.02287 0.006680 .000044619 0.66364 7 0.94771 0.96777 0.98784 0.008199 .000067228 0.84723 8 0.95231 0.96993 0.98755 0.007200 .000051846 0.74237

Annexe 8- 21

ANNEXE 9

PROCEDURE SAS

POUR CALCULER LES ESTIMATIONS DE µmax

AVEC 5 METHODES DE REGRESSION

Annexe 9 - 0

/*************** REGMACRO00.SAS *******************/; /* programme pour exploiter en une seule fois */; /* toutes les plaques 1 de six taux de NaCl */; /* au moyen des regressions : */; /* OLS, WLS , IRLS ,DWLS, IDRLS */; /* Exemple avec les donnees adria ecoli aw plaque1 */; ; title; options linesize=85 ps=31000; /**** macroprocedure MREG pour seuiller les fichiers ***/; /**** et calculer les temps de seuil ***/; %macro mreg(f1=1,f2=1,k1=1,k2=1); %do i=&f1 %to &f2; data resul&i;xlow=0; x0=0 ;xup=0 ;sp=0; sp2=0; poids=0; %end; %do i=&f1 %to &f2; data don&i; infile "d:\previus\bioscreen\adria\datarap1\ecawp1_&i..txt"; input t d1-d8; %end; %do i=&f1 %to &f2; data comp&i;set don&i; %if &i=1 %then %do; dlow1=0.25 ; dup1=0.65 ; seuil1=1000/60;%end; %if &i=2 %then %do; dlow2=0.25 ; dup2=0.65 ; seuil2=1000/60;%end; %if &i=3 %then %do; dlow3=0.30 ; dup3=0.70 ; seuil3=1000/60;%end; %if &i=4 %then %do; dlow4=0.30 ; dup4=0.70 ; seuil4=1000/60;%end; %if &i=5 %then %do; dlow5=0.25 ; dup5=0.70 ; seuil5=1000/60;%end; %if &i=6 %then %do; dlow6=0.20 ; dup6=0.70 ; seuil6=2000/60;%end; %end; %do i=&f1 %to &f2; %do k=&k1 %to &k2 ; data d00; set comp&i; t=t/60 ; if t > seuil&i then delete ; data don&i&k;merge d00(keep=t d&k dlow&i dup&i); if d&k < dlow&i then delete ; if d&k > dup&i then delete ; %end; %end; %do i=&f1 %to &f2; %do k=&k1 %to &k2 ; data prev1;set comp&i(keep=dlow&i dup&i); dens0=(dlow&i+dup&i)/2; data prev2;set prev1;if _N_ > 1 then delete;

Annexe 9 - 1

d00=dens0; proc reg data=don&i&k outest=coeff noprint; model d&k=t ; data coeff2 ;set coeff(keep=_RMSE_ INTERCEPT T) ; rename _RMSE_ = s INTERCEPT=b0 T=b1 ; data prev3; merge prev2 coeff2; x0=(d00-b0)/b1 ; data conf; set prev3(keep=x0 s b1); proc means data=don&i&k noprint mean n var; var t; output out=desc mean=moy n=n var=var ; data proba ;set desc(keep=n) ; fisher=finv(0.95,2,n-2);fisher=sqrt(2*fisher) ; data conf2; merge conf desc proba;sxx=var*(n-1); pp=b1*b1-(fisher*fisher*s*s)/sxx ; qq=2*((fisher*fisher*s*s*moy/sxx)-(b1*b1*x0)); rr=(b1*b1*x0*x0)-(fisher*fisher*s*s)*((n+1)/n)-(fisher*fisher*s*s*moy*moy/sxx) ; delta=qq*qq-4*pp*rr;rac=sqrt(delta) ; xlow=((-qq)-rac)/(2*pp) ; xup=((-qq)+rac)/(2*pp) ; sp=(xup-xlow)/(2*fisher) ;sp2=sp*sp; poids=1/sp2; data res1;set conf2(keep=xlow x0 xup sp sp2 poids); proc append base=resul&i data= res1 ; %end; %end; %do i=&f1 %to &f2; data final&i ; set resul&i ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=final&i ; %end; %mend; %mreg(f1=1,f2=6,k1=1,k2=8); run; /**** fin de la macroprocedure MREG *********/; /**** constitution du fichier des valeurs ***/; /**** de la reponse et de leurs poids *******/; data repy; input y wy; cards; 12.00 102.266 11.31 102.033 10.62 101.879 9.93 101.510 9.23 101.022 8.54 101.022 7.85 101.022 7.16 100.090 ; /***********************************************/;

Annexe 9 - 2

/** macroprocedure OLS (regression ordinaire) **/; %macro OLS(f1=1,f2=1); data rols0;mulow=0; mu=0 ;muup=0 ;ecmu=0; vmu=0; cvmu=0; %do i=&f1 %to &f2; data regols;merge final&i(keep=x0) repy(keep=y); proc reg data=regols outest=coef1 tableout noprint; model y=x0/influence ; data par1&i ;set coef1(keep=x0) ; if _n_ ^=1 then delete; x0=-x0;rename x0=mu ; data ect1&i ;set coef1(keep=x0) ;if _n_^=2 then delete; rename x0=ecmu ; data ba1&i ;set coef1(keep=x0) ;if _n_^=5 then delete; x0=-x0;rename x0=muup ; data bb1&i ;set coef1(keep=x0) ;if _n_^=6 then delete; x0=-x0;rename x0=mulow ; data rols1&i; merge bb1&i par1&i ba1&i ect1&i ; vmu=ecmu*ecmu;cvmu=100*(ecmu/mu); proc append base=rols0 data= rols1&i ; %end; data rols2 ; set rols0 ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=rols2 ; %mend; %OLS(f1=1,f2=6); run; /****************************************************/; /** macroprocedure WLS (regression ponderee sur Y) **/; %macro WLS(f1=1,f2=1); data rwls0;mulow=0; mu=0 ;muup=0 ;ecmu=0; vmu=0; cvmu=0; %do i=&f1 %to &f2; data regwls;merge final&i(keep=x0) repy(keep=y wy); proc reg data=regwls outest=coef2 tableout noprint; model y=x0/influence ; weight wy; data par2&i ;set coef2(keep=x0) ; if _n_ ^=1 then delete; x0=-x0 ;rename x0=mu ; data ect2&i ;set coef2(keep=x0) ;if _n_^=2 then delete; rename x0=ecmu ; data ba2&i ;set coef2(keep=x0) ;if _n_^=5 then delete; x0=-x0 ;rename x0=muup ; data bb2&i ;set coef2(keep=x0) ;if _n_^=6 then delete; x0=-x0 ;rename x0=mulow ; data rwls1; merge bb2&i par2&i ba2&i ect2&i; vmu=ecmu*ecmu;cvmu=(ecmu/mu)*100;

Annexe 9 - 3

proc append base=rwls0 data= rwls1 ; %end; data rwls2 ; set rwls0 ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=rwls2 ; %mend; %WLS(f1=1,f2=6); run; /********************************************/; /** macroprocedure IRLS ( ponderee sur Y) **/; %macro IRLS(f1=1 , f2=1) ; data rirls0;mulow=0; mu=0 ;muup=0 ;ecmu=0; vmu=0; cvmu=0; %do i=&f1 %to &f2; data regirls&i;merge final&i(keep=x0) repy(keep=y wy); data transit&i;set regirls&i ; %do k=1 %to 10; proc reg data=transit&i noprint; model y=x0 /r ; weight wy ; output out=rirls1&k r=r stdr=stdr; data rirls2&k ; set rirls1&i(keep=r stdr) ; wy=r/stdr;wy=2/(1+wy**2) ; data transit&i ; merge regirls&i(keep=x0 y) rirls2&k(keep=wy); %end; proc reg data=transit&i outest=coef3 tableout noprint; model y=x0/influence ; weight wy; data par3&i ;set coef3(keep=x0) ; if _n_ ^=1 then delete; x0=-x0 ;rename x0=mu ; data ect3&i ;set coef3(keep=x0) ; if _n_^=2 then delete; rename x0=ecmu ; data ba3&i ;set coef3(keep=x0) ; if _n_^=5 then delete; x0=-x0 ;rename x0=muup; data bb3&i ;set coef3(keep=x0) ; if _n_^=6 then delete; x0=-x0 ;rename x0=mulow ; data rirls3; merge bb3&i par3&i ba3&i ect3&i; vmu=ecmu*ecmu;cvmu=100*(ecmu/mu); proc append base=rirls0 data=rirls3 ; %end; data rirls4 ; set rirls0 ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=rirls4 ; %mend;

Annexe 9 - 4

%IRLS(f1=1, f2=6) ; run; /********************************************/; /**** constitution des fichiers necessaires a DWLS ***/; data dony ;input yobs wy ; cards ; 12.00 102.266 11.31 102.033 10.62 101.879 9.93 101.510 9.23 101.022 8.54 101.022 7.85 101.022 7.16 100.090 ; data d51;input x1-x8 ; cards; 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ; data d53; input xw1-xw8 ; cards; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; data d61;input y1-y8 ; cards; 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ; data d63; input yw1-yw8 ; cards; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; data quantile; input tstud; cards;

Annexe 9 - 5

2.447 ; /**********fin de constitution des fichiers**********/; /************** regression DWLS.SAS *****************/; %macro WNLS(f1=1 , f2=1); data rwnls0;mulow=0; mu=0 ;muup=0 ;ecmu=0; vmu=0; cvmu=0; %do i=&f1 %to &f2 ; data donx&i ;set final&i(keep=x0 poids); rename x0=xobs; rename poids=wx; data d1&i;merge donx&i dony; data d11&i; set d1&i(keep=wx wy); wxn=sqrt(wx) ; wyn=sqrt(wy) ; data d2&i ; merge d1&i(keep=xobs yobs) d11&i(keep=wxn wyn) ; xw=xobs*wxn ; yw=yobs*wyn ; data d31&i ; set d2&i(keep=xw) ; rename xw= rep ; data d32&i ; set d2&i(keep=yw) ; rename yw= rep ; data d4&i ; set d31&i d32&i ; data d52&i; merge d51 d11&i(keep=wxn) ; %do k=1 %to 8;xw&k=wxn*x&k ;%end; data d54&i ; set d52&i(keep=xw1-xw8) d53 ; data d62&i; merge d61 d11&i(keep=wyn) ; %do k=1 %to 8;yw&k=wyn*y&k ;%end; data d64&i ; set d63 d62&i(keep=yw1-yw8) ; data d7&i; merge d54&i d64&i ; data tot&i ; merge d4&i(keep=rep) d7&i(keep=xw1-xw8 yw1-yw8); proc NLIN data=tot&i outest=coef noitprint; parms a1= 7 a2= 7 a3= 8 a4= 8 a5= 9 a6= 9 a7= 10 a8= 15 b = 16 c = -1; model rep=a1*xw1+a2*xw2+a3*xw3+a4*xw4+a5*xw5+a6*xw6+a7*xw7+a8*xw8 + (b+c*a1)*yw1 +(b+c*a2)*yw2 +(b+c*a3)*yw3 + (b+c*a4)*yw4 + (b+c*a5)*yw5 +(b+c*a6)*yw6 +(b+c*a7)*yw7 + (b+c*a8)*yw8 ;

Annexe 9 - 6

der.a1=xw1+c*yw1 ; der.a2=xw2+c*yw2 ; der.a3=xw3+c*yw3 ; der.a4=xw4+c*yw4 ; der.a5=xw5+c*yw5 ; der.a6=xw6+c*yw6 ; der.a7=xw7+c*yw7 ; der.a8=xw8+c*yw8 ; der.b =yw1+yw2+yw3+yw4+yw5+yw6+yw7+yw8 ; der.c =a1*yw1+a2*yw2+a3*yw3+a4*yw4+a5*yw5+a6*yw6+a7*yw7+a8*yw8 ; data rwnls1&i; set coef(keep=c); if _n_ > 1 then delete ; c=-c ;rename c=mu; data rwnls2&i; set coef(keep=c); if _n_ ^=11 then delete ; c=sqrt(c);rename c=ecmu; data rwnls4&i;merge rwnls1&i(keep=mu) rwnls2&i(keep=ecmu) quantile; mulow=mu-tstud*ecmu ; muup=mu+tstud*ecmu ;vmu=ecmu*ecmu; cvmu=100*(ecmu/mu); data rwnls5; merge rwnls4&i(keep=mulow) rwnls4&i(keep=mu) rwnls4&i(keep=muup) rwnls4&i(keep=ecmu) rwnls4&i(keep=vmu) rwnls4&i(keep=cvmu) ; proc append base=rwnls0 data=rwnls5 ; %end; data rwnls6 ; set rwnls0 ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=rwnls6 ; %mend; %WNLS(f1=1,f2=6); run; /****************************************************/; /************** regression IDRLS.SAS *****************/; %macro IRWNLS(f1=1,f2=1,k1=1,k2=1); data rils0;mulow=0; mu=0 ;muup=0 ;ecmu=0; vmu=0; cvmu=0; %do j=&f1 %to &f2 ; data donx&j ;set final&j(keep=x0 poids); rename x0=xobs; rename poids=wx; data d1&j;merge donx&j dony; data transit; set d1&j; %do i=&k1 %to &k2; data d11&j&i; set transit(keep=wx wy); wxn=sqrt(wx) ; wyn=sqrt(wy) ; data d2&j&i ; merge transit(keep=xobs yobs) d11&j&i(keep=wxn wyn) ; xw=xobs*wxn ; yw=yobs*wyn ; data d31&j&i ; set d2&j&i(keep=xw) ; rename xw=rep ; data d32&j&i ; set d2&j&i(keep=yw) ; rename yw=rep ;

Annexe 9 - 7

data d4&j&i ; set d31&j&i d32&j&i ; data d52&j&i; merge d51 d11&j&i(keep=wxn) ; %do k=1 %to 8;xw&k=wxn*x&k ;%end; data d54&j&i ; set d52&j&i(keep=xw1-xw8) d53 ; data d62&j&i; merge d61 d11&j&i(keep=wyn) ; %do k=1 %to 8;yw&k=wyn*y&k ;%end; data d64&j&i ; set d63 d62&j&i(keep=yw1-yw8) ; data d7&j&i; merge d54&j&i d64&j&i ; data tot&j&i ; merge d4&j&i(keep=rep) d7&j&i(keep=xw1-xw8 yw1-yw8); proc NLIN data=tot&j&i outest=coef noprint noitprint; parms a1= 7 a2= 7 a3= 8 a4= 8 a5= 9 a6= 9 a7= 10 a8= 15 b = 16 c = -1; model rep=a1*xw1+a2*xw2+a3*xw3+a4*xw4+a5*xw5+a6*xw6+a7*xw7+a8*xw8 + (b+c*a1)*yw1 +(b+c*a2)*yw2 +(b+c*a3)*yw3 + (b+c*a4)*yw4 + (b+c*a5)*yw5 +(b+c*a6)*yw6 +(b+c*a7)*yw7 + (b+c*a8)*yw8 ; der.a1=xw1+c*yw1 ; der.a2=xw2+c*yw2 ; der.a3=xw3+c*yw3 ; der.a4=xw4+c*yw4 ; der.a5=xw5+c*yw5 ; der.a6=xw6+c*yw6 ; der.a7=xw7+c*yw7 ; der.a8=xw8+c*yw8 ; der.b =yw1+yw2+yw3+yw4+yw5+yw6+yw7+yw8 ; der.c =a1*yw1+a2*yw2+a3*yw3+a4*yw4+a5*yw5+a6*yw6+a7*yw7+a8*yw8 ; output out=rul1&j&i student=resstud ; data rul2&j&i ; set rul1&j&i(keep=resstud); poids=2/(1+resstud**2); data rulx&j&i;set rul2&j&i ; if _n_ > 8 then delete ;rename poids=wx; data ruly&j&i;set rul2&j&i ; if _n_ < 9 then delete ;rename poids=wy; data transit ; merge d1&j(keep=xobs yobs) rulx&j&i(keep=wx) ruly&j&i(keep=wy); data rils1&j&i; set coef(keep=c); if _n_ > 1 then delete ; c=-c ;rename c=mu; data rils2&j&i; set coef(keep=c); if _n_ ^=11 then delete ; c=sqrt(c);rename c=ecmu; data rils4&j&i;merge rils1&j&i(keep=mu) rils2&j&i(keep=ecmu) quantile; mulow=mu-tstud*ecmu ; muup=mu+tstud*ecmu ;vmu=ecmu*ecmu; cvmu=100*(ecmu/mu); data rils5; merge rils4&j&i(keep=mulow) rils4&j&i(keep=mu)

Annexe 9 - 8

rils4&j&i(keep=muup) rils4&j&i(keep=ecmu) rils4&j&i(keep=vmu) rils4&j&i(keep=cvmu) ; %end; proc append base=rils0 data=rils5 ; %end; data rils6 ; set rils0 ; if _n_ =1 then delete ; proc print data=rils6 ; %mend; %IRWNLS(f1=1,f2=6,k1=1,k2=20); run; /****************************************************/; quit; run; /****************************************************/;

Annexe 9 - 9

estimation du paramètre de croissance maximum à … · institut national de la recherche...

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