echantillonage et estimation

7/31/2019 Echantillonage Et Estimation

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CHANTILLONNAGE - ESTIMATION

- Partie A - chantillonnage -

L'objectif de cette partie est de rpondre la problmatique suivante : comment, partir d'informations (couple

moyenne-cart-type ou proportion) connues sur une population, peut-on prvoir celles d'un chantillon ?

Nous distinguerons deux cas : celui o l'on tudie une moyenne dans un chantillon et celui o l'on tudie une

proportion dans un chantillon.

A.1. tude de la moyenne d'un chantillon

On dispose d'une population sur laquelle est dfinie une variable alatoire Xdont on connat l'esprance (ou la

moyenne) et l'cart-type .

On s'intresse aux chantillons de taille n. Auront-ils tous la mme moyenne ? Non, certains peuvent tre

constitus d'lments atypiques et avoir une moyenne trs diffrente de celle de la population (surtout si

l'chantillon est de petite taille).

Notons X la variable alatoire qui, chaque chantillon de taille n, associe sa moyenne ( Xs'appelle encore la

distribution des moyennes des chantillons). Que peut-on dire de cette variable alatoire X ?

Thorme Central Limite - Version 1 - (Version faible)

Contexte : variable alatoire Xqui suit une loi normale sur la populationXN( ; )

On prlve, au hasard, un chantillon (tirages avec remise(1) ou assimils) de taille n de moyenne X.

Alors la variable alatoire Xsuit galement une loi normale :

XN ;n

(1)Un tirage avec remise est encore appel "tirage non exhaustif". Si on fait un tirage sans remise (tirage exhaustif), on modifie la taille de la

population au fur et mesure des tirages, ce qui compliquerait les calculs (intervention d'un facteur d'exhaustivit). Ceci dit, pour des grandespopulations le tirage sans remise s'assimile un tirage avec remise.

Echantillons de taille n ... i54321

Population

Moyenne connue.Ecart-type connu.

{

Attnuation de la dispersion parle processus d'chantillonnage.
http://www.cours-fsjes.blogspot.com/


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Dmonstration :

Notons E {x1 ; x2 ; ... ; xn} un chantillon de n lments prlevs au hasard dans la population.

Pour tout i compris entre 1 et n, notons Xi la variable alatoire correspondant la valeur du i-me lment xi de

l'chantillon. Nous savons, par hypothse, que :

E(Xi) et (Xi)

La moyenne X des n valeurs de l'chantillon est :

X 1 2...

nX X X

n

D'aprs les proprits de la loi normale, nous savons qu'une combinaison linraire de variables alatoire qui

suivent la loi normale est encore une variable alatoire qui suit la loi normale. Comme chaque variable

alatoire Xi suit ici la loi normale N(, ), la variable alatoire moyenne Xsuit donc galement une loi

normale. Calculons ses paramtres.

D'aprs la proprit de linarit de l'esprance :

E X 1 2( ) ( ) ... ( )nE X E X E Xn

nn

D'aprs les proprits de la variance :

V X 1 2 2( ) ( ) ... ( )

nV X V X V X

n

2

2

n

n

2

n

D'o : X n

Thorme Central Limite - Version 2 - (Version forte)

Contexte : variable alatoire Xqui suit une loi quelconque sur la population avec E(X) et (X) .

On prlve, au hasard, un chantillon (tirages avec remise ou assimils) de taille n, avec n 30, de moyenne X.

Alors la variable alatoire Xsuit approximativement une loi normale :

XN ;n

Ce thorme d aux mathmaticiens De Moivre et Laplace est de dmonstration trs difficile. Il est admis ici.

Remarque : il ne faut pas confondre l'cart-typen

de la variable alatoire X(qui est dfinie sur l'ensemble

des chantillons possibles de taille n) avec l'cart-type d'un chantillon prlev. L'cart-type de l'chantillon

prlev n'interviendra pas dans nos calculs dans cette partie. Pour viter cette confusion, la quantitn

sera

parfois appele "erreur type".

Exemple :

Les statistiques des notes obtenues en mathmatiques au BAC STI en France pour l'anne 2006 sont :

Moyenne nationale : 10,44

cart-type : 1,46

Une classe de BTS comporte 35 lves en 2006/2007 issus d'un BAC STI en 2006.


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Calculer la probabilit que la moyenne de cette classe soit suprieure 10.

Ici, nous ne connaissons pas la loi sur la population, mais l'effectifn de l'chantillon est suprieur 30.

Nous allons donc pouvoir utiliser le T.C.L. 2.

Notons Xla variable alatoire qui, tout chantillon de taille n 35, fait correspondre sa moyenne.

Alors : XN ;n

N

1,4610,44;

35

Posons T10,44

1,46

35

Xainsi TN(0 ; 1).

Nous obtenons alors par centrage et rduction :

P( X 10) P10,44 10 10,44

1, 46 1, 46

35 35

X

P(T 1,78)

P(T 1,78)

(1,78)

Et par lecture directe de la table de la loi normale centre-rduite :

(1,78) 0,9625

Conclusion : il y a environ 96% de chance que, dans cette classe de BTS, la moyenne des notes au baccalaurat

de Mathmatiques soit suprieure 10.

A.2. tude d'une proportion dans un chantillon

Cette fois-ci, on dispose d'une population sur laquelle on tudie un caractre (ou attribut) A dont on connat la

proportion p dans la population.

On s'intresse aux chantillons de taille n. La proportion du caractre A dans les chantillons sera-t-elle

toujours la mme ? Evidemment non, cette proportion varie en fonction de l'chantillon choisi. Notons F la

variable alatoire qui, chaque chantillon de taille n, associe sa proportion du caractre A (F s'appelle

distribution des frquence des chantillons). Que peut-on dire de cette variable alatoire F?

1 (t)(t)

tt

Remarque : P(T t) P(T t)

En effet :

P(T t) 1 P(T t) 1 (t) (t) P(T t)

Echantillons de taille n ... pip5p4p3p2p1

Population

Proportion p connuedu caractre A

{

A

1 pp

AA


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Thorme

Contexte : une population sur laquelle on tudie un caractre A rpandu avec une frquence p.

On prlve, au hasard, un chantillon (tirages avec remise ou assimils) de taille n avec n 30.

On note Fla frquence du caractre A dans l'chantillon.

Alors la variable alatoire Fsuit approximativement une loi normale :

FN(1 )

;p p

pn

Dmonstration :

Nous allons avoir ici un modle binomial ou apparent dont on sait qu'il converge vers la loi normale.

Pour tout i compris entre 1 et n, notons Xi la variable alatoire dfinie par :

Xi 1 si le -me lment de l'chantillon possde l'attribut

0 sinon

i A

La variable alatoire Xi suit une loi de Bernoulli de paramtre p.

La variable alatoire X X1 X2 ... Xn est donc binomiale de paramtres n et p :

XB(n, p)

En consquence : E(X) np et (X) (1 )np p

La variable alatoire FX

ncorrepond ainsi la frquence de l'attribut A dans l'chantillon.

D'aprs les proprits de l'esprance et de l'cart-type :

E(F) ( )E X

n

p et (F) ( )X

n

(1 )p p

n

Exemple :

Une lection a eu lieu et un candidat a eu 40 % des voix.

On prlve un chantillon de 100 bulletins de vote.

Quelle est la probabilit que, dans l'chantillon, le candidat ait entre 35 % et 45 % des voix ?

Ici, nous avons n 100 et p 0,4. La variable alatoire Fcorrespondant la frquence des votes pour le

candidat dans l'chantillon vrifie donc :

FN0,4 0,6

0,4;100

N0,24

0,4;10

Posons T0,4

0,2410

Fainsi TN(0 ; 1). Nous obtenons alors par centrage et rduction :

P(0,35 F 0,45) P(1,02 T 1,02) 2 (1,02) 1

Et par lecture directe de la table de la loi normale centre-rduite (1,02) 0,8461.

D'o : P(0,35 F 0,45) 0,6922

Il y a donc environ 69 % de chance que, dans un chantillon de taille n 100, le candidat ait entre 35 % et

45 % des voix.


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En analysant l'exercice ci-dessus, on constate que l'on dispose des informations sur la population (ici,

l'ensemble des votes) parce que l'lection a dj eu lieu. On en dduit des informations sur l'chantillon. Mais,

dans la pratique, c'est souvent le phnomne rciproque que nous tudierons : les lections n'ont pas encore eu

lieu et on voudrait retrouver les informations sur la population grce un sondage ralis sur un chantillon.

D'o la deuxime partie de ce document consacre l'estimation.

- Partie B - Estimation -

L'objectif de cette partie est de rpondre la problmatique suivante : comment, partir d'informations (couple

moyenne/cart-type ou proportion) calcules sur un chantillon, retrouver ou plutt estimer celles d'une

population entire ? L'estimation est le problme rciproque de l'chantillonnage. (Mais nous aurons besoin des rsultats

tablis sur la thorie de l'chantillonnage pour passer la phase estimative).

Nous distinguerons deux cas : celui o l'on cherche estimer la moyenne d'une variable alatoire dfinie sur

une population et celui o l'on cherche estimer la proportion d'individus p ayant tel caractre dans la

population.

B.1. Estimation d'une moyenne

B.1.1. Estimation ponctuelle

Contexte : on considre une variable alatoire Xsur une population de moyenne (ou esprance) inconnue et

d'cart-type inconnu (ou connu). On suppose que l'on a prlev un chantillon de taille n (tirage avec remise

ou assimil) sur lequel on a calcul la moyenne e et l'cart-type e.

Une estimation ponctuelle de la moyenne de la population est :

e

Une estimation ponctuelle de l'cart-type e de la population est :

1

n

n e

Proportion :p inconnueMoyenne : inconnueEcart-type : connu ou inconnu

Echantillon de taille nEchantillon de taille n

PopulationPopulation

peconnue

e connuee connu

ESTIMATION d'une PROPORTIONESTIMATION d'une MOYENNE


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Le coefficient1

n

n s'appelle correction de biais. Lorsque la taille n de l'chantillon est assez grand (en

pratique n 30), ce coefficient est trs voisin de 1, si bien que, dans ce cas, on peut estimer e.

Exemple :Une universit comporte 1500 tudiants. On mesure la taille de 20 d'entre eux. La moyenne e et l'cart-type e

calculs partir de cet chantillon sont :

e 176 cm et e 6 cm

Nous pouvons donc estimer les paramtres de la population :

176 cm et 2019

6 6,16 cm

Remarque :Nous n'avons fait qu'une estimation, il est bien sr impossible de retrouver les vraies caractristiques et de

la population.

L'estimation ponctuelle permet surtout de disposer d'une valeur de rfrence pour poursuivre/affiner les calculs.

On souhaiterait notamment pouvoir faire une estimation par intervalle, en contrlant le risque pris.

B.1.2. Estimation par intervalle de confiance

Le contexte est le mme que le prcdent, sauf que nous allons raisonner en deux temps, une phase a priori (ou

prvisionnelle) dans lequelle on suppose que l'chantillon n'est pas encore prlev et une phase a posteriori

dans laquelle on suppose connue la moyenne e et l'cart-type e de l'chantillon et donc la moyenne estime

et l'cart-type estim de la population.

- PHASE A PRIORI- Mise en place du modle prvisionnel -

Nous avons vu, dans la thorie sur l'chantillonnage, que si Xest la variable alatoire correspondant la

moyenne d'un chantillon de taille n pris au hasard, alors le Thorme Central Limite permet d'affirmer que X

suit approximativement une loi normale :

X N ;n

Nous allons chercher un intervalle qui contient avec une confiance arbitraire de 95% (cela pourrait aussi tre 99% ou

un autre coefficient de confiance). Nous cherchons donc un rayon rtel que :

P( X r X r) 0,95Probabilit que la moyenne de lapopulation tombe dans un intervalle

du type [ X r; X r]

X rX r

X


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Cette disposition des ingalits n'est pas pratique mais il y a une correspondance remarquable entre deux

vnements qui va nous faciliter les calculs :

X r X r

Retranchons Xet dans chaque membre :

r X r

Multiplions par 1 : r X r

Remettons les ingalits dans l'ordre croissant :

r X r

Nous sommes ainsi ramens calculer :

P( r X r) 0,95

On sait que la variable alatoire TX

n

n

X

suit la loi normale centre-rduite N(0 ; 1).

Nous obtenons donc, par centrage et rduction :

Pr X r

n n n

0,95

Pr n r n

T

0,95

Pr n r n

T

0,95

2r n

1 0,95

r n

0,975

(t) 0,975 o tr n

Nous cherchons donc, par lecture inverse de la table de la loi normale centre rduite une borne ttelle que :

(t) 0,975

La borne t 1,96 convient.

La borne tdpend du coefficient de confiance choisi.

Avec un coefficient de confiance de 99%, nous aurions obtenu :

2r n

1 0,99

Dans la pratique, nous partironsde cette criture pour dterminerun intervalle de confiance.

Probabilit que la moyenne X del'chantillon tombe dans un

intervalle centr en .

Cette proprit dcoule de lasymtrie de la valeur absolue :

|X Y| r

Cela signifie que l'cart entre X

et Yest infrieur r, ce qui s'crit

indiffremment :r X Y r

Y r X Y r

Ou encore :

r Y X r

X r Y X r

On constate ici que le fait de ne pasconnatre n'est pas gnant, ce stade.

Rappel : si TN(0 ; 1) alors :

P( T ) 2 () 1

En effet :

P( T ) () ()

() (1 ())

2 () 1

r r

X


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(t) 0,995

t 2,575

Par la suite, nous noterons tle rel tel que 2 (t) 1 Co Cest le degr de confiance choisi.

Ainsi, notre rel rrecherch est tel que :r n

t

Le rayon rde l'intervalle cherch est : r tn

- PHASE A POSTERIORI- Utilisation des valeurs estimes ponctuellement -

Nous supposons maintenant que l'chantillon a t tir, nous obtenons donc une reprsentation e de la

variable alatoire X:

Nous pouvons affirmer que l'intervalle obtenu pour cet chantillon

e e;t tn n

fait partie d'une famille dans laquelle 95 % contiennent la vraie moyenne de la population.

On l'appelle intervalle de confiance 95 % (ou autre selon le coefficient de confiance dcid pralablement).

Pour calculer les bornes de cet intervalle, deux cas de figure se prsentent selon que nous connaissons ou pas

l'cart-type de la population. S'il est connu, il n'y a rien faire :

IC e e;t tn n

Si l'cart-type de la population n'est pas connu, on le remplace par son estimation ponctuelle 1

n

n e.

Dans ce cas, nous obtenons : r e1

nt

n n

e

1t

n

Nous pouvons donc estimer avec une confiance de 95 % (ou 99 % selon le cas) que la moyenne de la

population appartient l'intervalle :

IC e ee e;1 1

t tn n

Remarques :

L'intervalle de confiance est centr en la valeur e car c'est la seule valeur de rfrence que nous disposons.

Le centre de l'intervalle de confiance ( savoir e) dpend de l'chantillon choisi (puisque e en dpend).

Son rayon en dpend aussi lorsqu'on ne connat pas l'cart-type de la population.

La vraie valeur de la moyenne de la population peut ne pas appartenir l'intervalle de confiance.

Le rayon de l'intervalle de confiance ( savoir la quantit r tn

) dpend du degr de confiance Cchoisi.

Plus le degr de confiance Cest proche de 100%, et plus la borne tsera leve et donc le rayon grand.

On ne retiendra pas cette formule.Dans la pratique, on refait les calculs.

e re r

e


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Illustration :

Exemple :

Une universit comporte 1500 tudiants. On mesure la taille de 20 d'entre eux. La moyenne e et l'cart-type e

calculs partir de cet chantillon sont :

e 176 cm et e 6 cm

Nous avons dj estim ponctuellement les paramtres de la population :

176 cm et 2019

6 6,16 cm

Dterminons maintenant une estimation de par intervalle de confiance 95% (ou au risque de 5 %).

Notons X la variable alatoire correspondant la moyenne d'un chantillon de taille 20 pris au hasard.

Nous savons que : X N ;n

N ;

20

On calcule un rayon rtel que : P( r X r) 0,95

On pose T

20

X r

, ainsi Tsuit la loi normale centre-rduite N(0 ; 1).

Nous avons donc : P20 20r r

T

0,95

220r

1 0,95

20r

0,975

(t) 0,975 o t20r

Nous cherchons donc, par lecture inverse de la table de la loi normale centre rduite une borne ttelle que :

(t) 0,975

La borne t 1,96 convient.

Ainsi, notre rel rrecherch est tel que :20r

1,96

e

99%

99%

95%

e

e

XPopulation

Echantillon 1

Echantillon 2

Echantillon 3

Un intervalle deconfiance ne contient

pas forcment lamoyenne de la

population.

Un intervalle deconfiance 95 % est

plus petit qu'unintervalle de confiance 99%. Il risque moinsde contenir la valeur

moyenne .


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r1,96

20

Mais une fois l'chantillon tir, nous avons obtenu un cart-type estim 6,16 cm.

D'o : r 2,7

La ralisation de l'intervalle de confiance 95% sur cet chantillon est :

IC [176 2,7 ; 176 2,7]

IC [173,3 ; 178,7]

Nous pouvons donc estimer, avec une confiance de 95 % que la taille moyenne de la population est comprise

entre 173,3 cm et 178,7 cm.

B.2. Estimation d'une proportion

B.2.1. Estimation ponctuelle

Contexte : on considre un caractre (ou attribut) A sur une population dont la proportion p est inconnue. On

suppose que l'on a prlev un chantillon de taille n (tirage avec remise ou assimil) sur lequel on a calcul la

proportion pe d'individus ayant le caractre A.

Notons Fla variable alatoire correspondant la proportion du caractre A dans un chantillon de taille n pris

au hasard. On rappelle qu'alors Fsuit approximativement une loi normale :

FN ; pp o p (1 )p p

n

Une estimation ponctuelle p

de la proportion p de l'attribut A dans la population est :p pe

Une estimation ponctuelle p de l'cart-type p est selon le cas :

1n

n e e(1 )p p

n

e e

(1 )

1

p p

n

si n 30

e e(1 )p p

n

si n > 30

1

4n

si statisticien pessimiste

Exemple :

quelques jours d'une lection, un candidat fait effectuer un sondage. Sur les 150 personnes interroges, 45 se

disent prtes voter pour lui aux prochaines lections.

La proportion d'individus prte voter pour ce candidat dans l'chantillon est ici de pe 45

150 0,3.

On estime donc qu'il en est de mme dans la population (comment pourrait-on faire autrement ?) :

p pe 0,3

Quand l'indication p, on peut ici l'estimer par :

p e e(1 )p p

n

0,3 0,7

150

0,037

Ces estimations ponctuelles de

l'cart-type ne sont pas utiles dans

l'immdiat. Elle serviront pour la

dtermination d'un intervalle de

confiance de la proportion.

Correction de biais.


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On voudrait aller plus loin et, au lieu d'une simple proportion, calculer un intervalle contenant, avec une

confiance arbitraire fixe au dpart, la proportion p d'individus prts voter pour ce candidat.

B.2.2. Estimation par intervalle de confiance

Le contexte est le mme que le prcdent. Nous avons vu, dans la thorie sur l'chantillonnage, que si Fest la

variable alatoire correspondant la proportion d'un caractre dans un chantillon de taille n pris au hasard,

alors Fsuit approximativement une loi normale :

FN ; pp o p (1 )p p

n

Nous avons dj remarqu que le fait que p soit inconnu n'est pas gnant dans les calculs a priori. Le problme

ici, c'est que nous ne connaissons pas l'cart-type(1 )p p

n

. Nous le remplaerons, dans la phase a posteriori,

par son estimation ponctuelle (qui est e e(1 )

1

p p

n

en gnral ou e e

(1 )p p

n

si la correction de biais n'est

pas propose ou encore 14n

si nous voulons une hypothse pessimiste).

Cherchons un intervalle qui contient p avec une confiance arbitraire de 90 % (cela pourrait tre un autre coefficient de

confiance). Nous cherchons donc un rayon rtel que :

P(F r p F r) 0,90

Nous avons dj vu que cette probabilit pouvait s'crire de manire plus pratique :

P(p r F p r) 0,90

On sait que la variable alatoire Tp

F p

suit la loi normale centre rduite N(0 ; 1).

Nous obtenons donc, par centrage et rduction :

Pp p p

p r p F p p r p

0,90

Pp p

r rT

0,90

2p

r

1 0,90

p

r

0,95

On cherche une borne ttelle que : (t) 0,95 avec tp

r

Par lecture inverse de la table de la loi normale centre rduite N(0 ; 1) :

t 1,645

Ce qui nous permet de calculer r: r tp

Supposons maintenant l'chantillon prlev. Nous avons donc une estimation pontuelle de p et p.

Ainsi, la ralisation de l'intervalle de confiance dans l'chantillon est :


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IC e e e ee e(1 ) (1 )

;1 1

p p p pp t p t

n n

Remarques :

Si on n'effectue pas la correction de biais, l'intervalle de confiance est :

IC e e e ee e(1 ) (1 );p p p pp t p tn n

On peut galement se placer dans une hypothse pessimiste en choisissant un cart-type maximal. Nous

savons que la parabole d'quation y x(1 x) admet un maximum gal 14

en12

.

Ainsi l'cart-type maximal est1

4n. Il a, de plus, l'avantage d'tre indpendant de p.

Dans ce cas, la ralisation de l'intervalle de confiance dans l'chantillon est :

IC e e1 1

;4 4p t p tn n

Exemple :

A quelques jours d'une lection, un candidat fait faire un sondage. Sur les 150 personnes interroges, 45 se

disent prtes voter pour lui aux prochaines lections.

La proportion d'individus prte voter pour ce candidat dans l'chantillon est ici de pe 45

150 0,3.

On a dj estim ponctuellement : p pe 0,3 et p 0,037

Dterminons maintenant une estimation de p par intervalle de confiance 80%.

Notons Fla variable alatoire correspondant la proportion d'individus prts voter pour ce candidat dans un

chantillon de taille 150 pris au hasard.

Nous avons vu qu'approximativement :

FN ; pp o p (1 )p p

n

On cherche un rayon rtel que : P(p r F p r) 0,8

2p

r

1 0,8

p

r

0,9

Par lecture inverse de la table de la loi normale centre-rduite, on cherche une borne ttelle que :

(t) 0,9 avec tp

r

La valeur t 1,28 convient donc : r 1,28 p

Supposons maintenant l'chantillon prlev. Une estimation ponctuelle de p est p 0,037.

D'o : r 0,047

On ne retiendra pas cette formule.Dans la pratique, on refait les calculs.


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La ralisation de l'intervalle de confiance dans cet chantillon est alors

IC [0,3 0,047 ; 0,3 0,047]

IC [0,253 ; 0,347]

IC% [25,3 ; 34,7]

Nous pouvons estimer, avec une confiance de 80 %, que la proportion d'individus dans la population prts

voter pour le candidat en question est comprise entre 25,3 % et 34,7 %.

Exercice :

Une usine fabrique des cbles. Un cble est considr comme conforme si sa rsistance la rupture X est

suprieure 3 tonnes. L'ingnieur responsable de la production voudrait connatre, en moyenne, la rsistance

la rupture des cbles fabriqus.

Il n'est, bien sr, pas question de faire le test sur toute la production (l'usine perdrait toute sa production !).

Un technicien prlve donc un chantillon de 100 cbles dans la production. Notons X la variable alatoire

correspondant la force exercer sur le cble pour le rompre. Le technicien obtient les rsultats suivants :

E( X) 3,5 tonnes

( X) 0,4 tonne

Proportion de cbles dont la rsistance est suprieure 3 tonnes : pe 0,85

1. a. Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l'cart-type de la variable alatoire Xdans la

production.

b. Dterminer une estimation par intervalle de confiance 95 % de la moyenne de X.

2. a. Donner une estimation ponctuelle de la proportion p de cbles conformes dans la production.

b. Dterminer une estimation par intervalle de confiance 90 % de cette proportion.


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- RSUM -

- Echantillonnage -

- Estimation -

Echantillons de taille n de moyenne X

XN ;n

o et sont la moyenne et l'cart-type

dans la population.

Echantillons de taille n avec une frquence F

FN(1 )

;p p

pn

o p est la proportion dans la population.

PROPORTIONMOYENNE

Proportion inconnue p dans une population.

Echantillon de taille n connu avec une proportion pe.

Une estimation ponctuelle de p est pe.

Une estimation ponctuelle de p est e e(1 )

1

p p

n

si

n 30 ou e e(1 )p p

n

sinon (n > 30).

Pour estimer p par intervalle avec une confiance C

(par ex 95%), on cherche un rayon rtel que :P(p r F p r) C

o FN ; pp avec p (1 )p p

n

On exprime ren fonction de p et on remplace p par

son estimation ponctuelle.

IC [pe r; pe r]

Population de moyenne inconnue et d'cart-type .

Echantillon de taille n connu de moyenne e et d'cart-type e.

Une estimation ponctuelle de est e.

Une estimation ponctuelle de est1

n

n e si n 30 ou

tout simplement e sinon (n > 30).

Pour estimer par intervalle avec une confiance C (par

ex 95%), on cherche un rayon rtel que :P( r X r) C

o XN ;n

On exprime ren fonction de et on remplace par sa valeur

connue ou son estimation ponctuelle.

IC [e r; e r]

PROPORTIONMOYENNE

Coefficient de confiance 80 % 90 % 95 % 99 %Valeur de (t) 0,9 0,95 0,975 0,995

Borne t 1,28 1,645 1,96 2,575

echantillonage et estimation

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