Échantillonnage et estimation - tanger

27/11/2020

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Échantillonnage et Estimation

10:28

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Concepts fondamentaux de l’échantillonnage

• L’échantillonnage consiste à tirer des informations d’une fraction d’une population, de façon à tirer des conclusions au sujet de l’ensemble de la population.

• Son objectif est de fournir un échantillon représentatif de la population et générer des principales caractéristiques de la population étudiée

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Méthodes d'échantillonnage oAléatoire • Chaque personne ou objet de la population a la

même probabilité de faire partie de l’échantillon puisqu'ils sont tous prélevé au hasard.


Méthodes d'échantillonnage oSystématique • Chaque élément qui compose l'échantillon est

choisi de façon régulière, selon un intervalle régulier, à l'intérieur de la population ciblée.

• Taille population=17

• Taille échantillon =4

• On calcule le rapport


Régulière uniforme

Taille population 17 4,25 Taille échantillon 4

= =

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Méthodes d'échantillonnage o Stratifié • En se basant sur une caractéristique de la population ciblée,

on la divise d'abord en strates (sous-groupes) pour ensuite sélectionner de façon aléatoire des membres de chacune des strates en respectant leur proportionnalité dans la population.

• Le choix selon le rapport: Taille échantillon Taille population

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5

Taille échantillon 8 1 Taille population 16 2

= =

Couches

Théorème

• La variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population :

• la variable aléatoire d’un échantillon de taille n suit également une loi normale.


nXV

2

)(

nXVX

)()(mXE i )(

• Soit un échantillon aléatoire de taille n prélevé d’une population infinie ou d’une population finie avec remise. Si cette population possède une variable aléatoire X qui suit une loi de probabilité de moyenne E(X) = μ et de variance σ2, alors la moyenne de l’échantillon suit une loi de probabilité ayant les caractéristiques suivantes :

la population échantillon

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L’espérance de la V.A moyenne d’échantillonnage

• Propriété 1

• Soit X1,X2,…, Xn un échantillon de taille n, relatif à la V.A. parente X.

• L’espérance de la V.A moyenne d’échantillonnage est égale à la moyenne de la population μ


mXEXEXE ii )()()(

x3 x2

X4 .................

x1

xn

• La moyenne des n valeurs de l'échantillon est :

D'après la propriété de linéarité de l'espérance :


n

XXXXX nn

121 .............

n

XXXXEXE nn 121 .............

nn XXXXEn

XE 121 .............1

nn XEXEXEXEn

XE 121 .............1

mmmmn

XE ....................................1

mnmn

XE 1

mnmn

XEn

XEnn

XEXE

n

i

n

i

ni

111

111

n fois

m

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Variance de la V.A

• Propriété 2

• Soit X1,X2,…,Xn un échantillon aléatoire simple de taille n éléments prélevés au hasard dans la population. La variance de la la variable aléatoire de l’échantillon est égale à la variance de X divisée par la taille n de l’échantillon:


nXV

2

)(

n

XVX

• D'après les propriétés de la variance :

Avec

on a:


nn XVXVXVXVn

XV 1212.............

1

2

2

1n

nXV

n

XV2

n

XVX

2)( iXV

2222

2...........................

1

nXV

n fois

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Théorème 1 • Soit X La variable aléatoire qui suit une loi

quelconque sur la population avec E(X) = m et (X) =

• Pour un échantillon (tirages avec remise ou

population infinie ) de taille n, la variable aléatoire X suit une loi normale :


Exemple : La Moyenne des notes obtenues en mathématiques à la faculté

pour l'année 2016 est : m =10,25 Écart-type : = 1,5 Un groupe GA est composé de 100 étudiants prélevés par tirages avec remise. 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire de l’échantillon ? 3. Calculer la probabilité pour que la moyenne du groupe GA soit

Supérieure ou égale à 10 ?


10XP

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• (Théorème 1)

• la moyenne de l’échantillon de m=µ =10,25 Écart-type de l’échantillon est:


nNX

;~

100

5,1;25,10~ NX 15,0;25,10~ NX

n

;~ NX

1. la variable aléatoire X est distribué normalement avec une moyenne et un écart type : 2. la loi de la variable aléatoire

25,10 5,1

5,1 ; 25,10~ NX

X

X


n

XT

100

5,1

25,10

XT

1;0~ NTPassage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite

100

5,1

25,1010

100

5,1

25,1010

XPXP

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67,1

100

5,1

25,101010

TPTPXP

254,9595254,067,167,110 TPTPXP

la probabilité pour que la moyenne de Le groupe GA soit >=10 est de 95,254 %

Théorème 2 • Soit X La variable aléatoire qui suit une loi

quelconque sur la population de taille N avec E(X) = m et (X) = .

• Pour un échantillon (TIRAGE SANS REMISE OU EXHAUSTIF ) de taille n:

• si le Taux de sondage n/N < 0,1=10% la variable aléatoire X suit une loi normale :

• si n/N >= 0,1=10%, la variable aléatoire X suit une loi normale :

10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 16 Facteur d’exhaustivité

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Exemple : La Moyenne des notes obtenues en probabilité à la faculté pour l'année

2015 est : m =10,25 Écart-type : = 1,5 Un groupe GB de 100 étudiants est tiré sans remise d’une classe de 500

étudiants. 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X ? 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire de l’échantillon ? 3. Calculer la probabilité pour que la moyenne du groupe GB soit

inférieure ou égale à 10,5?


5,10XP

• Taux de sondage n/N=100/500=0,2>0,1

• Donc on fait la correction avec le facteur d’exhaustivité

• (Théorème 2)

• la moyenne de l’échantillon de m=µ =10,25

• Écart-type de l’échantillon est:

•


1;~

N

nN

nNX

1500

100500

100

5,1;25,10~ NX 12,0;25,10NX

1

N

nN

n

XT

1;0NT Passage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite

1

N

nN

n

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08,212,0

25,105,105,10

TPTPXP

la probabilité pour que la moyenne de Le groupe A soit <=10,5 est de 98,124 %

98124,008,208,25,10 TPTPXP

Exercice 3

• Les masses des paquets des pièces envoyées à un client sont distribuées avec une moyenne de 300 kg et un écart-type de 50 kg.

• Un échantillon de 25 paquets est envoyé au hasard.

1. Soit X la variable aléatoire associe la masse des paquets. 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire X 3. Déterminer la loi de la variable aléatoire qui est à chaque échantillon

de 25 paquets associe la masse moyenne des paquets sachant que le tirage de l'échantillon soit réalisé par le tirage avec remise.

4. La probabilité pour que la masse de paquet reçu au hasard dépasse la limite de 328 kg

5. Déterminer la loi de la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 25 paquets associe la masse moyenne des paquets sachant que le tirage de l'échantillon soit réalisé avec un tirage sans remise d’une population de 200 paquets.


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La proportion dans un échantillon • Théorème

• une population sur laquelle on étudie un caractère A répandu avec une proportion p.

• On prélève, au hasard, un échantillon. • On note F la fréquence du caractère A dans

l'échantillon. • Alors la variable aléatoire F suit approximativement

une loi normale :


à condition que la taille de l’échantillon n soit supérieure ou égale à 30 (n >= 30) et le produit n p >= 5.

n

pqpNF ;

1;

N

nN

n

pqpNF

Tirage sans remise Tirage avec remise

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• La loi de X est B(n, p).

• La variable aléatoire correspond ainsi à la fréquence de l'attribut A dans l'échantillon

• D'après les propriétés de l'espérance et de l'écart-type :

• les Xi suivent des lois de Bernoulli B(p)


n

XF

Exemple : • Dans Une élection, un candidat a eu 30 % des voix.

• On prélève un échantillon de 100 bulletins de vote. • Quelle est la probabilité , dans l'échantillon pour

que, le candidat ait entre 25 % et 35 % des voix ? • n = 100 et p = 0,3. La variable aléatoire F

correspondant à la fréquence des votes pour le candidat dans l'échantillon vérifie donc :


n

pq

nF

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• T N(0 ; 1). Nous obtenons alors par centrage et réduction :


n

pqpNF ;~

100

7,03,0;3,0~ NF 046,0;3,0NF

n

pFT

2135,025,0 tTtPFP

09,1046,0

3,025,01

t 09,1

046,0

3,035,02

t

à condition que la taille de l’échantillon n soit supérieure ou égale à 30 (n >= 30) et le produit n p >= 5.

n=100 bulletins > 30 ET nxp=100x0.3=30 > 5

• Et par lecture directe de la table de la loi normale centrée-réduite

• P(1,09) = 0,8621.

• Il y a entour 72,42% de chance que, dans un échantillon de taille n = 100, le candidat ait entre 25 % et 35 % des voix.


09,109,135,025,0 TPFP

109,1235,025,0 PFP

7242,018621,0235,025,0 FP

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L'estimation • L'objectif de L'estimation est de répondre à la

problématique suivante : comment, à partir de la moyenne, l’écart-type ou la proportion) calculées sur un échantillon, on estime celles d'une population entière?

• Nous distinguerons deux cas : • on cherche à estimer la moyenne µ (ou m) d'une

variable aléatoire définie sur une population • on cherche à estimer la proportion d'individus p ayant

tel caractère dans la population.


Xe

e

Estimation échantillon population

Estimation d'une moyenne 1. Estimation ponctuelle

• On considère une variable aléatoire X sur une population de moyenne µ (ou m) inconnue et d'écart-type inconnu ou connu.

• On prélève un échantillon de taille n sur lequel on a calculé la moyenne µe et l'écart-type e.

• (ou µe) est une estimation ponctuelle « de la moyenne µ (ou m) de la population est :

10:20 https://www.facebook.com/ecours/ 30 e

mnmn

XEn

XEnn

XEXE

n

i

n

i

ni

111

111

X

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L’estimation ponctuelle (S) de l'écart-type de la population

• Une estimation ponctuelle de l'écart-type de la population est:


en

nVS

1'ˆ

Cas d’une population de distribution inconnue (écart type inconnu)

Pour une population de distribution de probabilité inconnue (écart type inconnu), on utilise la quasi-variance V’ = S² comme estimation de la variance de la population.

S

écart-type estimé :écart-type plus près de l’écart de la population

Le coefficient de correction de biais

n

XxV

i

e

2

2

11

'

2

22

n

Xx

n

nVS

i

e

S

Passage de La loi normale vers La loi normale centrée réduite


variance σ2 est connue

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Exemple d’application

• Concernent l’automatisation des grandes entreprises, on a trouvé que un écart-type de 3,2 ans.

• On prélève un échantillon de 64 entreprises de l’ensemble. La moyenne de l’échantillon est de 12,4 ans

1) Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l’écart-type


ans 12,4)( XE

ans 2,3

ans 2,3 σ de la population est connue

L’estimation ponctuelle de la moyenne

2) Probabilité que l’âge moyen soit inférieur à 11,8 années ?


ans 0,464

3,2

nX

σ de la population est connue implique que

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3) Probabilité que l’âge moyen se trouve entre 11,4 et 13,4 années ?


variance σ2 est inconnue (σ de la population est inconnu)

• Si la variance σ2 est inconnue, alors un grand échantillon (n ≥ 30) permet de déduire une valeur fiable de variance de l’ échantillon


n

XxV

i

e

2

2

2

2

2

2

22

1'

11'

n

XxSV

n

Xx

n

n

n

nSV

i

i

e

2

e

Variance plus près de la Variance de la population

Quasi Variance

Ecart type estimé plus près de la Variance de la population

1

2

n

XxS

i

een

n

n

nS

11

2

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en

nS

1

(Utilisation de l’Ecart type estimé)

Exemple d’application • Concernent l’automatisation des grandes

entreprises, on a prélève un échantillon de 64 de l’ensemble d’entreprises.

• La moyenne de l’échantillon est 12,4 ans

• L’écart-type de l’échantillon est 3 ans

1) Donner une estimation ponctuelle de ?


ans 12,4)( XE

et

024,3363

64

1

e

n

nS

024,3 SEstimation des vraies caractéristiques la moyenne et de l’écart-type de la population.

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• Exemple :

• un section comprend 500 individus. On mesure le poids de n=36 d'entre eux. La moyenne et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :

• e = 65 Kg et e = 3 Kg

• Nous pouvons donc estimer les paramètres de la population :


KgX 65

Kgn

nS e 043,33

35

36

1ˆ

Estimation des vraies caractéristiques la moyenne et de l’écart-type de la population.

e

043,3 S

• Exemple :

• un section comprend 500 individus. On mesure le poids de n=36 d'entre eux. La moyenne et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :

• e = 65 Kg et e = 3 Kg

• Probabilité que le poids moyen soit supérieur à 66.5 Kg ? :


KgX 65

e

043,3 S

0015,0

9985,0196,21

96,2

36

043,3

655,665,65

TP

TP

n

S

XPXP

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Estimation par intervalle de confiance • On considère une population de moyenne m

inconnue et l'écart type est connu ( ). On veut estimer la moyenne m de la population à partir d'un échantillon de taille n de moyenne

• On sait que suit approximativement une loi

Donc la variable aléatoire T définie par :


eX

X

nXN

,~

n

mXT

• intervalle de confiance à 1-α % : • La probabilité que la moyenne m appartienne à cet intervalle soit

égale à α où αϵ [0 ; 1].

• 1-α est le coefficient de confiance et α est le seuil • On fixe La probabilité à 1-α et on cherche les extrémités (– t) et (t)

10:20 42

2

12

11

112

tP

tPtTtP

1tTtP

1

21

21

tTtP

96.1

975,02

05,01

21

05,0%5 %951

975,0

21

tt

tP

Lecture inverse

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La probabilité

12

12

1

t

n

mXtP

On borne le m

1

21

21

tTtP

1

21

21 n

tmXn

tP

n

1

21

21 n

tXmn

tXP

1

21

21 n

tXmn

tP

1; 2

12

1 ntX

ntXmP

X

L'intervalle de confiance de la moyenne m avec un coefficient de confiance de α

1

1

21

21 n

tXmn

tP

• Utilisation des valeurs estimées ponctuellement

• L'intervalle de confiance de la moyenne m obtenu est:


nt

ntIC

ee

2

12

1

;

Xe

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l'écart-type de la population est connu

• l'écart-type de la population est connu, il n'y a rien à faire .

• L'intervalle de confiance de la moyenne m


nt

ntIC

ee

21

21

;

• l'écart-type de la population n'est pas connu • Si l'écart-type S de la population n'est pas connu, on le

remplace par son estimation ponctuelle :

• Nous pouvons donc estimer avec une confiance de 95

% (ou 99 % selon le cas) que la moyenne m de la population appartient à l'intervalle :


n

St

n

StIC

ee

21

21

;

1;

1 21

21 n

tn

tIC e

e

e

e

l'écart-type de la population est inconnu

Cas d’un échantillon d’effectif supérieur ou égal à 30 (n >= 30) :

en

nS

1ˆ

normale loi laivement approximatsuit X

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• Exemple :

• Une établissement de 1500 étudiants on a mesuré le poids de 40 étudiants. La moyenne e et l’écart-type calculé à partir de cet échantillon est : e = 65 Kg et σe =3Kg .

• Donner L’estimation ponctuelle des paramètres de la population?

• Déterminer L'intervalle de confiance de la moyenne à 95% de confiance?


Exemple

• L’estimation ponctuelle des paramètres de la population :


Kge 65ˆ

Kgn

ne 038,33

39

40

1ˆ

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• intervalle de confiance de la moyenne à 1-α=95 %


Kge 65ˆ

96.1

975,02

05,01

21

112

975,0

21

tt

tP

tPtTP

nt

ntIC

ee

ˆ;

ˆ

21

21

normale loi uneivement approximatsuit X 3040 n

• intervalle de confiance de m à 95 %


Kge 65ˆ

nt

ntIC ee

ˆ;

ˆ975,0975,0

047,66;953,63IC

40

038,396,165;

40

038,396,165IC

Kgn

ne 038,33

39

40

1ˆ

325,6

038,396,165;

325,6

038,396,165IC

047,165;047,165 IC

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• l'écart-type de la population est inconnu et n<30 donc X suit un loi de student de degré n-1 ( est calculé depuis la table de loi de student)

• on le remplace par son estimation ponctuelle :


nt

ntIC nene

ˆ;

ˆ1,1,

l'écart-type de la population est inconnu Cas d’un échantillon d’effectif inférieur à 30 (n <30) :

en

nS

1ˆ

1, nt

Intervalle de confiance à 1-α %

• Exemple :

• Une université comporte 1500 étudiants.

• On mesure le poids de 20 étudiants. La moyenne e et l'écart-type e calculés à partir de cet échantillon sont :

• e = 65 Kg et e = 3 Kg


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• intervalle de confiance à 95 %

• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student)

•

• 1-α=95 % α=0,05

• et n=20

• degré n-1=20-1=19


nt

ntIC nene

ˆ;

ˆ1,1,

093.219,05.01, tt n


• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student )

•

• 1-α=95 % α=0,05

• et n=20

• degré n-1=20-1=19


nt

ntIC

ne

ne

ˆ;

ˆ

1,2

11,2

1

093.219,975.01,

21

ttn

2

1

21

112

ttP

tPtTP

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• intervalle de confiance à 95 % avec n<30


Kge 65ˆ

44.66;56.63IC

20

078,3093.265;

20

078,3093.265IC

Kgn

ne 078,33

19

20

1ˆ

nt

ntIC nene

ˆ;

ˆ1,1,

• Estimation de p.

• F est une variable aléatoire de proportion des individus ayant une certaine caractéristique, dans l’échantillon.

• L’estimateur sans biais de p est

•

• Avec E(F)=f=pe la proportion de l’échantillon. • Une estimation ponctuelle de l'écart-type est :


Estimation d'une proportion

)1( ff

)1( ee pp

n

pp

n

eeX

)1(

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• Estimation par intervalle de confiance

Si n est grand, n >= 30, np>=5 et n(1-p) >=5


L’intervalle de confiance de la proportion

n

pptp

n

pptpIC ee

eee

e

)1(;

)1(

2

1

2

1

l’intervalle de confiance de niveau α sur p

Exemple :

• À quelques jours d'une élection, un candidat a effectué un sondage. Sur les 150 personnes interrogées, 50 a voté pour lui aux prochaines élections.

1. Déterminer l'intervalle de confiance de la proportion à 95% de confiance?


3,0150

50epOn estime la proportion

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• Estimation par intervalle de confiance l'intervalle de confiance de la proportion à 1-α=95% de confiance:

n >= 30, np>=5 et n(1-p) >=5

150>= 30, 0,3X150>=5 et 0,7X150 >=5


n

pptp

n

pptpIC ee

e

ee

e

)1(;

)1(

21

21

037,096,13,0;037,096,13,0%95

IC

96,1 ou 05,0 95,01975,0

2

05,01

tt

373,0;227,0IC

037.0150

)3.01(3.0)1(

n

ppee

150

)3.01(3.096,13,0;

150

)3.01(3.096,13,0IC

Estimation par intervalle d’une variance • dans le cas d’une population qui suit une loi

normale

• Cas ou m est connu

10:20

La probabilité α est trouvée entre les deux bornes a et b

60

(1- α)/2 α+(1- α)/2= (α+1)/2

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Estimation par intervalle d’une variance

10:20

La probabilité α est trouvée entre les deux bornes a et b

61 a et b sont lus dans la table de La loi du Khi-Deux

L’intervalle de confiance de La variance au niveau α est:

nn

a

nS

b

nS

,2

1

2

,2

1

2

;

2

1

2

1

nna

nS

b

nS

,2

1

2

2

,2

1

2

nna

n

b

n

,2

1 ,

2

1

S S

Estimation par intervalle d’une variance • dans le cas d’une population qui suit une loi

normale

• Cas ou m est inconnu

10:20 62

L’intervalle de confiance de La variance au niveau α est:

1 ,2

1

2

1 ,2

1

2 1 ;

1

nna

Sn

b

Sn

27/11/2020



m est inconnu

10:20 63

L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=95% est:

α=95% :Les deux valeurs de probabilité des deux bornes b et a avec degré de liberté n-1 dans la table sont:

15 0,975;1,

2

1

15 ; 0,0251,

2

-1

aa

bb

n

n



6,262

27,488

15 0,975;1,

2

1

15 ; 0,0251,

2

-1

aa

bb

n

n

15 0,975;a 15 ; 0,025b

ICv95%=

27/11/2020


• Dans un grand lot des disques, on a prélevé au hasard 19 pièces dont on vérifie le diamètre.

• la moyenne de population µ=4.9 mm (diamètre)

• On trouve l’estimations ponctuelle de l'écart type S=0.21 mm

1. Estimer par un intervalle de confiance de la variance à 90%?



m est connu

10:20 66



,14403

,11701

0,05;19

0,95;19

19,2

,90 1,

2

-1

19,2

,90 1,

2

1

bab

aaa

n

n

19 ~ 19

~ 2

2

2

2

2

2

Sn

nS

nn

a

nS

b

nS

,2

1

2

,2

1

2

;

27/11/2020



117,10

0,20219 ;

144,30

0,211922

%90IC

91 ,95,0

2

91 ,05,0

2

%90

0,2119 ;

0,2119

abIC

,14403

,11701

0,05;19

0,95;19

19,2

,90 11,

2

-1

19,2

,90 119,

2

1

bab

aaa

n

nn

a

nS

b

nS

,2

1

2

,2

1

2

;

,0830 ; ,0280%90

ICv

,290 ; ,170%90

IC

L’intervalle de confiance de La variance au niveau α=90% est

L’intervalle de confiance de l’écart type au niveau α=90% est


• Exercice 4 • Une entreprise produit en grande quantité des pièces

destinées à l'industrie. Elle assure que les lots ont une proportion de 2 % pièces défectueuses.

• Le lot est accepté par le contrôle de production, si l'échantillon contient plus de 12 pièces défectueuses sur 400 :

• 1. Déterminer la loi de la variable aléatoire X 2. Déterminer la loi de la variable aléatoire F 3. Déterminer la probabilité que le lot testé, soit accepté. • ID: π (1.34) = 0.9099; π (1.43) = 0.9236; π (1.95)=0.9744

27/11/2020



m est inconnu

10:20 69



27,488

6,262

0,975

2

1

0,025

2

-1

bb

aa


• l'écart-type inconnu et n=20<30 donc X suit la loi de student de degré n-1 (t est calculé depuis la table de la loi de student )

•

• 1-α=95 % α=0,05

• et n=20

• degré n-1=20-1=19


nt

ntIC

ne

ne

ˆ;

ˆ

1,2

11,2

1

093.219,975.01,

21

ttn

2

1

21

112

ttP

tPtTP

Échantillonnage et estimation - tanger

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