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Dynamique des structures

Transparents du cours

Professeur I. Smith

Dr. P. Lestuzzi

Semestre d’automne 2013/2014

Laboratoire d'Informatique et de Mécanique Appliquées à la Construction

ÉC OLE POLYTEC HNIQUEFÉDÉRALE D E LAUSANNE


Analyse dynamique des structures1 Systèmes à un degré de liberté

1.0 Introduction1 1 O ill ti ti1.1 Oscillations non amorties1.2 Oscillations amorties1.3 Oscillations entretenues1.4 Transmissibilité1.5 Mouvement de la fondation1.6 Forces

1 6 1 Force quelconque1.6.1 Force quelconque1.6.2 Force appliquée brusquement1.6.3 Force d’explosion1.6.4 Force transmise par une masse1.6.5 Evaluation numérique

Analyse dynamique des structures2 Systèmes à masse repartie

2.1 Corps rigides2 2 C fl ibl2.2 Corps flexibles

3 Systèmes à plusieurs degrés de liberté3.1 Oscillations non amorties3.2 Oscillations amorties3.3 Oscillations entretenues3 4 Amortissements massiques3.4 Amortissements massiques

4 Reponses et spectres

5 Indications pratiques

1

1.0 Analyse Dynamique

Déplacement Harmonique

Temps

Dé l t PériodiqueDéplacement

Temps

Périodique

Déplacement

Transitoire

Temps

Déplacementp

Temps

2

k [N/m]m [kg] Déplacement

initial x0

( )

Système de base

( )x x t=x

E,I mk

EI3,

L

kL

= 3

Pour des mouvementsverticaux

Mouvements possibles(pour chaque masse)

2D -- 3 degrés de liberté :xyrotation

3D -- 6 degrés de liberté :xyzrotation xy rotation xz rotation yz

Ce cours se limite pour l’essentiel à 2D pour pouvoir mieux se concentrer sur les bases.

3

Flexion mE,I

L / 2 L / 2

kEI

L=

483 Mouvement vertical de m

Traction Torsion

L kEAL

=E,A[ ]k Nm radT /

Rotationde la poutrem

Chopra 1 3 1

xF

Chopra 1.3.1

x xF F k

kRR

réf [1]

4

Rappel

réf [1]

babaa uLEIu

LEI

LEI

LEIM 22

6624−++= θθ

Rappel – équations générales (M = moments ; V = réactions)

),:::,( tsdéplacemenuurotations baba ==θθ

LLLL 22

MEIL

EIL

EIL

uEIL

ub a b a b= + + −2 4 6 6

2 2θ θ

EI EI EI EI6 6 12 12V

EIL

EIL

EIL

uEI

Lua a b a b= + + −

6 6 12 122 2 3 3θ θ

VEIL

EIL

EIL

uEI

Lub a b a b= − − − +

6 6 12 122 2 3 3θ θ

5

Aluminium

gPlexiglas A

ccél

érat

ion,

réf [1]

Temps [s]

Chopra sm 2 1 1

x t( )

x

V0

CChopra sm 2.1.1x0C

C C

réf [1]

6

1.1 Oscillations non amorties

k [N/m]m [kg]

k [N/m]

Point d’équilibre

Positionm [kg] Positiondéformée

x0x

1) Isoler le corps2) Dessiner les forces qui agissent sur le corps

d 2

H thè

kx t( ) mx md xdt

=2

2

Hypothèses :- ressort linéaire- le ressort n’a pas de masse- aucune friction

7

La loi de Newton (pour un degré de liberté et un mouvement dans la direction de x seulement) :

F mxx =∑F =∑ La force de rappel du ressortFx =∑ La force de rappel du ressort

= −kxmx kx= − mx kx+ = 0

Avec ωn

km

= x xn+ =ω 2 0m

2 formulations de la solution :1) x t A t B tn n( ) sin cos= +ω ω

x t C tn( ) cos( )= −ω φ2)A B C, , ,φ sont des

constantes

Etudions la formulation 1

x t A t B tn n( ) sin cos= +ω ω

quand t x x B x= = ⇒ =0 0 0,

( ) cos sinx t A t B tn n n n= −ω ω ω ω

( )n

nVAVAVtxtω

ω 000,0 =⇒=⇒==quand

x tV

t x tn

n n( ) sin cos= +00ω

ω ω

8

Etudions la formulation 2 de la solutionx t C tn( ) cos( )= −ω φquand ( )t x x x C C= = ⇒ = − =0 0 0, cos cosφ φ

( )( ) sinx t C t= − −ω ω φ( )( ) sinx t C tn n= − −ω ω φ

( ) ( ) φωφω sinsin,0 00 nn CCVVtxt =−−=⇒==quand

x CV

C C xV

n n02 2 2 0

2

22 2

02 0

2

= = ⇒ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟cos sinφ

ωφ

ω⎛ ⎞V

φω

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟arctg

Vxn

0

0

x t xV

t arctgV

xnn

n( ) cos= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2 02

0

0ωω

ω

ωn : pulsation propre

21 2

nnf

ωπ

=x C x

Vmax = = +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

2 02fréquence [sec-1]

1 2n

n

Tf

πω

= = nmax ⎝ ⎠0 ω

( )( ) sinx t C tn n= − −ω ω φ maxx xV

nn

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω

ω02 0

2

V⎛ ⎞2

période [sec]

( ) cos( )x t C tn n= − −ω ω φ2maxx x

Vn

n= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ω

ω2

02 0

ωnT

p

kI

2 =Torsion2 2

22 2

N m/rad Kg m / s sKg m Kg m

−⎡ ⎤⎡ ⎤• • ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦• •⎣ ⎦ ⎣ ⎦

9

L’effet du poids− + + =k x mg mxst( )∂

k mgst∂ =

m

∂st

Pointd’é ilib

k xst( )∂ +x

mx kx+ = 0

g

(il n’y a pas d’effet !)

md’équilibre

mg

ω∂n

st

g=

! Cet argument n’est valable que pour des systèmes linéaires

Quelques valeurs pour TStructure T(s)

Bâtiment - 26 étages N-S 1,7E-O 2,2T 1,1

Bâtiment - 3 étages N-S 0,63E-O 0,74T 0,46

Barrage Hauteur d’eau125m m

100 0 29100 0,29110 0,31

Pont suspendu Travers 18,2Vertical 10,9Long 3,8

Cheminée 250 m 3,6

10

Quelques valeurs (approximatives) pour la fréquenceType de pont Portée (m) Fréquence (Hz)

Section ouverte 20 5 - 1135 3 - 4,250 2 550 2,5

Caisson à hauteur constante 30 2,5 - 6,250 2 - 3,5

Caisson à hauteur variable 60 2 - 380 - 110 1,5 - 2

Pont arc 70 - 90 2 - 3Mixte 65 1 25Mixte 65 1,25

80 1,25Haubané 60 0,3

92 0,996 0,75140 0,6

Chopra p9

x

F

Chopra p9

p10

x xF F

réf [1]

11

ρ =∑∑

EI L

EI Lb bpoutres

c ccolonnes

/

/réf [1]

12


1.0 Introduction1 1 O ill ti ti1.1 Oscillations non amorties1.2 Oscillations amorties1.3 Oscillations entretenues1.4 Transmittance1.5 Mouvement de la fondation1.6 Forces


1.2 Oscillations amorties

Dé l t

k [N/m]

[k ] Déplacementinitial x0

( )x x t=

x

m [kg]

c [N s/m][kg/s]

x

F mxx =∑ − − =kx cx mx xcm

xkm

x+ + = 0

x x xn+ + =2 02λ ω [ ]12 −= smcλ

13

x x xn+ + =2 02λ ω

Solution : x t Aert( ) =

Equation caractéristique : r r n2 22 0+ + =λ ω

Deux solutions pour r :

r rn n12 2

22 2= − + − = − − −λ λ ω λ λ ω

x t C e C er t r t( ) = +1 21 2

a) Faible amortissement nωλ <

ν ω λ λ ν λ ν= − = − + = − −n r i r i2 21 2,

λ ω2 2 0− <n

[ ][ ]x t e C t D tt( ) cos sin= +−λ ν ν

νλ 00

000 )0()0( xVDxCVxetxx +==⇒==

( )A t( ) − λ φ( )x t Ae tt( ) cos= −−λ ν φ

22 0 0 0 00

0

V x V xA x arctgx

λ λφν ν

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

14

ν ω λ ω ζ ζλω

= − = − =n nn

2 2 21

La valeur, , est le coefficient d’amortissement ζpar rapport à la plusation propre

Type de construction ζ

Béton 0,02 - 0,15Acier 0,001 - 0,07 (peu d’amortissement)Bois 0 05 - 0 20Bois 0,05 - 0,20

e t− λ- Facteur d’amortissement pour xmax maxx maxx

ν ω ζ= −n 1 2 - pulsation propre pour des oscillationsamorties - plus petite que ωn

TD

A

A

réf [1]

15

TD =2πν

xq

xr

réf [1]

Mesurer l’amortissement par le taux de diminution de l’amplitude (coefficient d’amortissement)x Aer

t= −λ x Aeq

t=

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟λ

πν

2

πλ⎟⎞

⎜⎛ x 2

Après 1 cycle :

δλνπλ

===⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

Dq

r Txx 2ln

πζδων 2≈⇒≈ n

πδζ2

≅

Faible amortissement

nDq

r Tnnxx δλ

νπλ

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 2ln

nn

πδζ2

≅

Après n cycles :

16

b) Grand amortissement λ ω> n λ ω2 2 0− >n

Pas de vibrations -- la position de l’équilibre est atteinte lentement

c) Amortissement critique

Pas de vibrations -- la position de l’équilibre est atteinte plus rapidement qu’en b) !

Grand amortissementAmortissement critique

réf [1]

x tA( )

ζ = 1

ζ = 2

ζ = 0 1,

réf [1]

17

x t( )Oscillationsnon amorties

Oscillationsamorties

réf [1]

La plupart des structures

réf [1]

18

x tA( )

réf [1]

Nombre de cycles pour reduire l’amp-litude à 50% de salitude à 50% de sa valeur originale

réf [1]

19

1.3 Oscillations entretenues ou forcées

k [N/m]F F( ) i

[ ]

m [kg]

( )x x t=

c [N sec/m]

F t F t( ) sin= 0 ω

x

sinx x xFm

tn+ + =2 2 0λ ω ω

Exemples• Ouvrages pour piétons (et coureurs à pied)• Machines dans des bâtiments

T fi d t• Trafic sur des ponts• Vent sur des cheminées• Vent sur des ponts haubanés et suspendus• Halles de gymnastique et de sport• Salles de danse et de concert• Structures pour des parcs d’attraction• Structures près d’un système de transport• Structures fabriquées en nouveaux matériaux

20

a) Amortissement très faible

sinx xFm

tn+ =ω ω2 0

Solution complète = solution homogène +solution particulière

x t x t x th p( ) ( ) ( )= +

x t D th n( ) cos( )= −ω φ (la forme est comme avant)

x t X tp ( ) sin= ω

après substitution : ( )

XF ko

n

=−

/

/12

ω ω

F t( ) F0

x tX( )

Réponsetotale

Equilibre

réf [1]

21

x t x t x th p( ) ( ) ( )= +

La solution homogène devient nulle avec le temps il y

( )x t D t

F ktn

o

n

( ) cos( )/

/sin= − +

−ω φ

ω ωω

12

( )x t

F kto( )

/

/sin=

−12

ω ωω

La solution homogène devient nulle avec le temps … il ya toujours un peu d’amortissement.

La solution particulière est la solution d’équilibre

( )n/1 ω ω

∂st oF k= / déplacement de la masse sous une force statique, Fo

dst Rx •= ∂max Rd - facteur de l’amplification( )2/1

1

nωω−=

sm 3.1.4 firstx t( )∂

ω ω ζ= =n 0

sm 3.1.3 add points on horizontal axisst∂

réf [1]

22

Rd ζ = 0

Différencede phase

ω ω/ nréf [1]

b) avec amortissement

sinx x xFm

tn+ + =2 2 0λ ω ω

Comme avant, x t x tp( ) ( )=

x t E t bp ( ) sin( )= −ω

dst RxE •== ∂max

Maintenant, doit inclure l’effet de l’amortissementRd

( ) ( ) ( )Rd

n n n

=− +

1

1 42 2 2 2 2ω ω λ ω ω ω/ / /

[ ]b arctg n= −2 2 2λω ω ω/ ( )

23

ωω

ζ

ωn

nx xF

k

= =

= =

0 2 0 05

0 0 0 0

, ,

( ) ( )

x t

st

( )∂

réponse totaleà l’équilibre

réf [1]

x t

st

( )∂

ζ = 0 2,

La réponseà l’équilibrepour

RéponseF t st( ) / ∂

Rd = 1 29,

Rd = 2 5,

ω ω/ ,n = 0 5

ω ω/ n = 1

x t

st

( )∂

Rd 2 5,

ω ω/ n = 2

n

x t

st

( )∂

Rd = 0 32,

n

t T/ réf [1]

24

Rd

Différencede phase

ω ω/ nréf [1]

25




1.4 Transmittance

( ) ( ) ( )TRF t cx t kx t= +

Force transmise du système au support : ( )TRF t

Ces forces sont déphasées de 90 degrés.

2 2 2 2max max maxTRF c x k x− = + max maxx x= ω

k 2 24 λ2 2 2 2 2max max maxTRF c x k xω− = +

x RFk

Rst d dmax = • = •∂ 0

ck

n

22 2

4

4=

λω

2 2

max 0 4

4 1TR dn

F F R λ ωω− = +

26

2 2

max 0 1 4TR dn n

F F R ω λω ω−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

max 0TR fF F R− =

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 22 2

1 4 / /

1 / 4 / /

n nf

n n n

Rω ω λ ω

ω ω λ ω ω ω

+=

− +

( )2 21 4 / 1 4nRλ ω ζ+ +( )

( )2 / 2n

n fn

Rζ

ω ωλ ω ζ

= ⇒ = =

( )210

1 /f d

n

R Rλω ω

= ⇒ = =−

0TR fF F R=

F t( )

R f

max 0TR fF F R−

ω ω/ n réf [1]

27

1.5 Mouvement de la fondation

[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( )a g a g ak x t x t c x t x t mx t− − − − =

2 22 2a a n a g n gx x x x xλ ω λ ω+ + = +

Déplacement prescrit :

a a a g gmx kx cx cx kx+ + = +

a a n a g n g

Accélération prescrite :

Transformer le mouvement de la masse, en mouvement relatif, x

ax

(!! )a g a gx x x x x x x ω= − ⇒ = + ≠

22 n gx x x xλ ω+ + = −

28

0( ) sing gx t x tω=

prennent la place de la force entretenue

Déplacement prescrit :

a a a g gmx kx cx cx kx+ + = +

g gcx kx+

est l’amplitude d’une forceéquivalente qui agit sur la masse

Ces deux élements sont déphasés de 90 degrés

0 sing gkx kx tω= 0 cosg gcx cx tω ω=

( )2* 20gF x c kω= +

*F

est le mouvement statique équivalent de la masse sans mouvement de la fondation

équivalente qui agit sur la massesans mouvement de la fondation

* * /st F k∂ = *st∂

Comme avant, x t x tp( ) ( )=

x t G tp ( ) sin( )= +ω φ

*max éq st dG x R∂−= = ⋅

une solution est

l’amplitude à l’équilibre

( )2 20g

d

x c kG R

kω +

= • ck

n

22 2

4

4=

λω

224 1G x Rωλ= + • R R +

⎛⎜

⎞⎟⎛⎜

⎞⎟1 4

2 2ω λ

max 0éq g fG x x R−= =

0 44 1g dn

G x Rλω

= + • R Rf dn n

= +⎝⎜

⎠⎟⎝⎜

⎠⎟1 4

ω ω

29

)(txg

R f

g

ω ω/ n réf [1]

Exemple

Chopra p89 - change units

Une voiture se trouve sur un viaduc avec des supports tous les 30 m Des déformations de longue durée ont provoqué une

7,5 cm

30 m 30 m réf [1]

les 30 m. Des déformations de longue durée ont provoqué une flèche verticale de 15 cm en travée. La déformée du tablierpeut être approximée par une fonction sinusoïdale ayant uneamplitude de 7,5 cm. La masse de la voiture est de 2000 kg;la suspension fournit une constante de ressort de 145 KN/met l’amortissement est de 40%.

30

a) Quand la vitesse est de 70 Km/h, trouver l’amplitude du mouvement vertical de la voiture.

hypothèse : les pneus sont rigides et ils ne décollent pas du tablier

0( ) sing gx t x tω= 0 7,5x cm=0( )g g 0 ,

ω π ω π= = ⇒ = =2 2 4 07/ / / , / secT T L V V L radz z

ωωωn

n

km

rad= = = =1450002000

8 51 0 48, / sec ,

λ ω ζ/ ,n = = 0 40

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 22 2

1 4 / /1, 24

1 / 4 / /

n nf

n n n

Rω ω λ ω

ω ω λ ω ω ω

+= =

− +

max 0 1, 24 7, 5 9, 3éq g fx x R cm− = = × =

b) Déterminer la vitesse de la voiture à la résonance

Pour de petites valeurs d’amortissement, la vitesse à laquelleil y a résonance est atteinte quand . Ici, l’amortisse-ment est de 40% et cette approximation n’est pas valable. N d d l l l it i i i l f t

nωω ≈

Nous devons donc calculer la vitesse qui maximise le facteur d’amplification. Ceci est quand

( ) ( )

2 2

2 22 2

1 4 0, 4

1 4 0, 4f

n

Rβ ωβ

ωβ β

+= =

− +

2' ' 0f fR ou R =

' 2 0 0,893 0,893 8,51 7, 6 / secfR radβ ω= = ⇒ = × =

VL

m km hz = = =ωπ2

36 3 131, / sec /

31




1.6 Forces1.6.1 Force quelconque

Considérons le cas où l’excitation est quelconque.

dτ

Si la structure est au reposavant , la réponse dusystème est

t = τ

t

F t( )

( ) ( )F d mxτ τ τ=

( )F dτ ττ

t( )

( )( ),x

F dm

xττ τ

τ= = 0

[ ]x t e A t B tt( ) cos ( ) sin ( )( )= − + −− −λ τ ν τ ν τSystème amorti :

32

Les conditions initiales : A = 0( )

BF d

m=

τ τν

Pour , vibration amortiet > τ

( )t

F dtt( ) i ( )( )− −λ τ τ τ

λ2 2x t em

tt( ) sin ( )( )= −λ τ

νν τ ν ω λ= −n

2 2

Principe de superposition (une réponse linéaire seulement)

dτ → 0

t

∫1 ( )x t

mF e t d

t t( ) sin ( )( )= −∫ − −10ν

τ ν τ τλ τ

Quand λ = 0, ( )x tm

F t dn

t

n( ) sin ( )= −∫1

0ωτ ω τ τ

( )F τ

τ Δτ

( )τ−txsystèmenon amorti

systèmeamorti réf [1]

t

33

421

F

Réponse à la pulsation 1

τ

t

1 2

τRéponse à la pulsation

Réponse à la pulsation 2 t

τRéponse à la pulsation

Réponse totale

t

tx

réf [1]

1.6.2 La réponse aux forces appliquées brusquement

F0

Fx t( )F t( )

t

x t st( ) / ∂

t Tn/

∂πωst n

Fk

T= =0 2

réf [1]

34

( )x tm

F t dn

t

n( ) sin ( )= −∫1

0ωτ ω τ τ

F t F( ) = 0

tF

t dF tt n

t

( ) i ( )cos ( )−⎡⎢

⎤⎥∫

=

0 0 ω ττ

Sans amortissement :

( )

x tm

t dm

Fk

t

nn

n

n

n

n

( ) sin ( )( )

cos

= − =⎣⎢

⎦⎥

= −

∫=

0

0

0

0

0 1

ωω τ τ

ω ω

ω

τ

Dans ce cas ( ) 2,0 == dRλ

Avec amortissement :

x tFk

e t tt( ) cos sin= − +−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−02

11

λ νζζ

ν

x t( ) / ∂

F0

Fx t( )F t( )

t T/

x t st( ) / ∂

ttr t Tn/

réf [1]

35

F t( )x t( ) F t( )

4.5.1

F0

réf [1]

x t st( ) / ∂

sm 4.5.2x t st( ) / ∂

x t st( ) / ∂

réf [1]

36

Spectre de réponse

453

R xd st= max / ∂

t Tr n/

réf [1]

Mouvement brusque de la fondation

*0 0 0*

2g g

stn

F mx xk k

∂ω

= = = (accélération prescrite)n

2* max

max0

/ n ad a st

g

xR xx

ω∂= =

Les valeurs données ici pour le facteur de réponse sontaussi valables pour un mouvement de la fondation.

prescrite)

aussi valables pour un mouvement de la fondation.

37

Pressions d’air dues aux explosions - importantes pour des aéroports et certaines structures industrielles (par exemple, l’industrie pétrochimique et les centrales électriques).

1.6.3 Force d’explosion

L’équilibre n’est pas atteint. Les conditions initiales doivent être considérées.

3 Méthodes :

1 S iti1 Superposition

2 Intégrale de Duhamel

3 Equations différentielles

Méthode 1 Superposition

F0

ttt

F0

( ) 01 FtF =

td

FF

SM 4.6.2

F

td

( ) 02 FtF −=− F0

FF t0 sinω

( ) tFtF ωsin01 = ( ) ( )dttFtF −= ωsin02

FF

tF0

F t0 sinω

td

tF0

− F0réf [1]

38

Méthode 2 Duhamel

F

F2 phasesoscillations entretenues t td≤F0

td

t

oscillations entretenues oscillations libres

t td≤t td>

Phase 1 : t td≤

( )

x tF

mt d

Fm

t

Fk

t

nn

t

n

n

n

t

n

( ) sin ( )cos ( )

cos

= − =−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= −

∫=

=

0

0

0

0

0 1

ωω τ τ

ωω τω

ω

τ

τ

t td>Phase 2

x t x t t tx t

t td n dd

nn d( ) ( ) cos ( )

( )sin ( )= − + −ω

ωω

F F( )x tFk

td n d( ) cos= −0 1 ω ( ) sinx tFk

td n n d= 0 ω ω

( )[ ]x tFk

t t t t t tn d n d n d n d( ) cos cos ( ) sin sin ( )= − − + −0 1 ω ω ω ω

t)( ttttxndn

st

ωω cos)(cos)(−−=

∂

x t tT

t tTst

d

n

d

n

( )sin sin

∂π

π= •−⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

2ω

πn

nT=

2

39

sm 4.7.2

force( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

réf [1]

Ré i l

La réponse de la structure dépend de la durée de laforce. Après l’application, il est possible de n’avoiraucune vibration. Ceci a lieu, quand la déformation etla vitesse de la masse sont nulles lorsque la force acessé d’être appliquée.

tT

d

n≥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12x

Fkmax =

2 0

Réponses maximales

Durée longue :( )td

Facteur de réponse (déformations), phases 1 & 2Rd

( )R

x t t T t T

t Td

d

st

d n d n

d n

= =− ≤

≥

⎧

⎨⎪

⎩⎪

max ( ) cos / /

/∂

π1 212

212

40

Méthode 3 Equations différentielles

Force d’impulsion en forme de demi-sinusoïde

F( )F t t t tsin / ≤⎧⎪ π

F0

td

t

( )mx kx f t

F t t t tt t

d d

d

( )sin /

+ = =≤≥

⎧⎨⎪

⎩⎪0

0π

2 CasPour chaque cas, 2 phasesoscillations entretenues - oscillations libres

t td≤t td>

2 Cas

ω ω≠ ≠n d nt T/ /1 2ω ω= =n d nt T/ /1 2

Cas 1Cas 2

Cas 1

ωπ

ωπ

∂= = =t T

Fkd

nn

st

2 0

ω ω≠ ≠n d nt T/ /1 2

t t≤

( ) ( ) ( ) ( )[ ]x t

T tt t T t t T

st n dd n d n

( )

/sin / / sin /

∂π π=

−−

1

1 22 22

t td≤

t td≥

( )( )

x t T t t T

T t

tT

tTst

n d d n

n d n

d

n

( ) / cos( / )

/sin

∂π

π=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2 12

22

41

ω ω= =n d nt T/ /1 2Cas 2

( ) ( ) ( )[ ]x tt T t T t T

( )sin / / cos /π π π= −

12 2 2

t td≤

( ) ( ) ( )[ ]t T t T t Tst

n n nsin / / cos /∂

π π π2

2 2 2

t td≥

x t tT

( )cos

∂π

π= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥2

212Tst n∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦2 2

force( )x t st/ ∂

sm 4.8.24.8.44 9 3

( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂4.9.34.10.14.10.24.11.2( )x t st/ ∂

réf [1]

42

1er 2e 3eR xd st= max / ∂

Rd

Rd

réf [1]

force( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

( )x t st/ ∂

réf [1]

43

Rd

Spectre de réponse

493

Rd

réf [1]

4 10 1 F0

Spectre de réponse

4.10.1 F0

F0

F

Rd

F0

réf [1]

44

F0 2/max

0 /xF k

Spectre de réponse

4.10.2π F0

4

F0

réf [1]

4.11.2

Rd

Spectre de réponse

réf [1]

45

Applications

Pour l’analyse, l’évolution de la pression en fonction du temps est généralement approximée par un triangle.

0SPP

Valeurs typiques : PS0 = 100 - 500 mbar

0SP

td

t

Valeurs typiques : PS0 100 500 mbartd = 0.05 – 0.2 s

La réponse de la structure dépend de la durée d’application de la force.

46

3 cas possibles :

1) ωn·td < 0.4, impulsive, Rd < 1

la réponse dépend seulement de l’impulsion (aire sous p p p (la courbe)

2) ωn·td > 40, quasi-statique

la réponse dépend seulement de la charge effective

3) 0.4 < ωn·td < 40, dynamique

une analyse dynamique temporelle est nécessaire pour déterminer la réponse

Références :

G.C. Mays and P.D. Smith, “Blast effects on buildings”, Thomas Telford Publications, London, 1995.

U.S. Department of the Army Technical Manual, TM5-1300. “Design of structures to resist the effects of accidental explosions” Washington DC, 1990. (téléchargeable sur internet)

47

1.6.4 Force transmise par une masse

a) Après l’impact, les corps restent ensembles

x t( )

V1m1

m2

L’energie cinétique passe dansla déformation du ressort.

La quantité de mouvement estconservée.

( )m V m m V1 1 1 2 2= +

Rappel : oscillations non amorties

x tV

t x tn

n n( ) sin cos= +00ω

ω ω

0 V Vm V1 1x0 0= V V

m m0 21 1

1 2= =

+

( )x tm V

m mt

nn( ) sin=

+1 1

1 2 ωω

m V k V( )x

m Vm m n

max =+

1 1

1 2 ωF k x

km m

m V

nmax max= =

+•

1 2

1 1

ω

ω n

km m

2

1 2=

+ F m V nmax = 1 1ω

48

b) Contact et rebondissement

1 1 1 1avant aprèsimpulsion P m V m V= = −

22

PVm

=

p

P

2

( ) sin nn

Px t tm

ωω

=

49




1.6.5 Evaluation numériqueLa résolution des équations différentielles n’estsouvent pas possible si la force est complexe ou sile comportement est non-linéaire.

Dans ces cas, on procède à un calcul numérique,où la réponse de la structure est calculée d’unemanière incrémentale. Un intervalle constant det t l t d téΔttemps, est normalement adopté :

On commence avec les valeurs connues :

Δt

ii ttt −=Δ +1

xi xi xi

50

Au temps , ces valeurs satisfont la loi de Newton :i

Force prescrite)(tFxckxxm =++

Déplacement prescrit

Accélération prescrite

L’intégration numérique permet de calculer x x x

a a a g gmx kx cx cx kx+ + = +22 n gx x x xλ ω+ + = −

L intégration numérique permet de calculer xi+1 xi+1 xi+1

( )F t

F1F2

Fi Fi+1

0F

Soit

( )x tCalculer

x1

x2

xi xi+1

réf [1]

51

Thèmes importants

H thè d b• Hypothèses de base

• Incrément Δt

• Exactitude

Méthode 1 : l’intégration numérique de la convolution (Duhamel)

( ) ( )

0

1( ) sin ( )t tx t F e t d

mλ ττ ν τ τ

ν− −= −∫

t

∫1

Quand λ = 0, ( )x tm

F t dn

t

n( ) sin ( )= −∫1

0ωτ ω τ τ

0

1( ) ( )sin ( )t

g nn

x t x t dτ ω τ τω

= − −∫

! Cette méthode n’est valable que pour des systèmes linéaires

0

sinm

m gi n m iin

tx x tωω −

=

Δ= ∑

52

Méthode 2 : la méthode de Newmark (1959)

Deux équations tirées d’un développement en série limitée( )

22 n gx x x xλ ω+ + = −

(Expansion de Taylor)

1 1[(1 ) ]i i i ix x t x txγ γ+ += + − Δ + Δ2 2

1 1[(0,5 ) ]i i i i ix x x t t x t xβ β+ += + Δ + − Δ + Δ

β γ, - constantes qui définissent la variation de sur- elles influencent la stabilité et la précision

x Δt

Procédure : Pour les systèmes linéaires, la méthode de Newmark est non itérative

a) Choisir les constantes et les valeurs initiales :

Δt , ,β γi i ix x xet les valeurs initiales :

b) Formuler

, ,i i ix x x

1 1( )2i i i itx x x x+ +

Δ= + ⋅ +

2 21 1[(0,5 ) ]i i i i ix x x t t x t xβ β+ += + Δ + − Δ + Δ

c) La troisième équation vient de la loi de Newton

d) Les trois valeurs inconnues peuvent êtredéterminées

21 1 12i g i n ix x x xλ ω+ + += − − −

1 1 1, ,i i ix x x+ + +

53

βγ etComment choisir ?

Valeurs usuelles :104

161

21 nTt ≤Δ≤≤= βγ

( )x t( )x t

1ix + 1ix +

CAS 1 CAS 2

10462

5.4.1ix ix

réf [1]

CAS 1: Trouver les valeurs de γ et β pour l’accélération moyenne

)()()(2/1)( 1

ττττ

xxxxxx

i

ii

⋅+=+= + ))(2/()( 1+++= iii xxxx ττSubstituer

)(: =Δ= xxtLorsque ττ )1()( +Δ

+= xxtxx1)(,: +=Δ= ixxtLorsque ττ )1()(2 11 ++ ++= iiii xxxx

2 2

1( ) ( ) ( )2 4i i i i i ix x x x x x x xτ ττ τ τ τ += + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + +

1)(,: +=Δ= ixxtLorsque ττ )2()(4 1

2

1 ++ +Δ

+Δ+= iiiii xxttxxx

Comparer (1) et (2) avec les équations de Newmark

41

21

== βλ et

54

CAS 2: Trouver les valeurs de γ et β pour l’accélération linéaire

)(2

)()()( 1

2

1 iiiiiii xxt

xxxxxt

xx −Δ

+⋅+=−Δ

+= ++τττττ

)(: =Δ= xxtLorsque ττ )3())(2/( +Δ+= xxtxx1)(,: +=Δ= ixxtLorsque ττ )3())(2/( 11 ++ +Δ+= iiii xxtxx

2 3

1( ) ( )2 6i i i i ix x x x x x

tτ ττ τ += + ⋅ + ⋅ + −

Δ

1)(,: +=Δ= ixxtLorsque ττ

)4()(22

xxtxtxtxx Δ+

Δ+Δ+= )4()(

62 11 iiiiii xxxxtxx −++⋅Δ+= ++

Comparer (3) et (4) avec les équations de Newmark

61

21

== βλ et

Des méthodes numériques peuvent donner desamplitudes plus petites et des décalages de phasespar rapport aux valeurs exactes.

Valeurst

AccélérationAccélérationli é i( )x t

sm 551exactes moyennelinéaire( )x t

D’autresméthodes

réf [1]

55

Méthode 3 : Interpolation de l’excitation

Systèmes linéaires a un degré de liberté seulementF(τ) = Fi + τ(ΔFi / Δti) ; ΔFi = Fi+1 - Fi

Réponse – Addition de trois partiesRéponse Addition de trois parties1) Vibration libre avec et comme conditions de départ2) Force échelon – pas de conditions de départ3) Force variable linéaire – pas de conditions de départ

)sin()cos1(sincos)(Δ

−Δ

Δ+−++=

n

nin

in

n

ini ttk

FkFxxx

ωτωττωτω

ωτωτ

ixix

11

11

)cos1(sincossin)(

++

++

′+′+′+′=+++=

Δ=

−Δ

Δ+++−=

iiiii

iiiii

nn

in

in

n

ini

n

FDFCxBxAxDFCFxBAxx

ttk

FkFxxx

τ

τωω

τωτωω

τωω

τ

Méthode 4 : Différence centrale

Approximation

Newton

21111 2

2 txxxx

txxx iii

iii

i Δ+−

=Δ−

= −+−+

Fkxxcxm =++Newton

Regrouper

iFkxxcxm =++

xtmkx

tc

tmFx

tc

tm

iiii2

22 21212 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ−

Δ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ+

Δ −+

kFx

Fxk

i

i

ˆˆ

ˆˆ

1

1

=

=

+

+

56

Réponses non linéaires

mx f x x cx F t( , ) ( )+ + =( ),

2 g

f x xx x xλ+ + = −

La fonction, remplace . La méthode de Newmark est maintenant itérative puisque la force résistantedépend de l’historique :

• du mouvement

f x x( , ) kx

gm

• de la vitesse

Aussi, l’amortissement pourrait être non linéaire mais celui-ci est rarement calculé parce que les relations nécessaires à sadétermination ne sont généralement pas connues.

Cas particulier

La rigidité dépend de la valeur du mouvement. La loi incrémentale de Newton devient

m x f x c x F tiΔ Δ Δ Δ( ) ( )+ + =m x f x c x F tiΔ Δ Δ Δ( ) ( )+ +

où la rigidité incrémentale est

( )Δ Δf x k xi i i( )sec

=si l’incrément de temps est petit, la rigidité tangentielle peutêtre utilisée ( )Δ Δf k( ) ( )Δ Δf x k xi i T i( ) ≅

! Attention aux erreurs lorsque la plasticité est importante

Newmark est non itératif lorsque est connue.f x( )

57

5.7.1

f x( )

( )ki T ( )ki sec

Δ

f x i( )

f x i( ) +1Δf x i( )

Δxi

xi +1xi

x

réf [1]

58

Analyse dynamique des structures2 Systèmes à masse répartie



4 Réponses et spectres


2 Systèmes à masse répartieLes éléments du système ne sont pas situés tous au même endroit. Le but général est de trouver les valeurs géquivalentes, m*, c*, k* et q*

)(**** tqxkxcxm =++

Ces valeurs permettent de traiter des systèmes à masse é ti tili t é é li ti d tè à

Dans cette partie, nous utilisons z : )(**** tqzkzczm =++

répartie en utilisant une généralisation des systèmes à un degré de liberté. Les valeurs équivalentes sont formulées par une application du principe des travaux virtuels.

0=−↔= ieei WWWW δδδδ

59

2.1 Corps rigides

( )txqtxQ ξ⋅⋅=),(

Exemple 1

ammI 4, 1 ⋅=∞

2mm = 0, =∞ mI

( )a

qQ ξ),(x

c1 k1 c2 k2

B CA

a 2a a a a a

δz

Schéma des déplacements, des forces et des inerties

z(t)

Position incrémentéePosition déformée

B

( )

MI1

Position initiale

Q1

8a/3a 2a a a a a

fD1 fI1 fS1 fD2 fI2 fS2

60

L’influence d’une force axiale

δz

δhα β

B

z(t)

C

α β N

C4a 3a

61

Exemple 2

b

k

az(t)

q(t)

f

z(t)δz

fI1

fS1

fI2MI

q

−=θpI12

62

2.2 Corps flexiblesCes systèmes peuvent avoir un nombre infini de degrés de liberté. Une analyse à un seul degré de liberté est possible, y g p ,à condition de connaître a priori l ’allure de la déformée.

( ) ( ) ( )( )

( )tzx

tzxtxuΨ

⋅Ψ=,est la forme de la déformée (max(Ψ(x)) = 1 )

est l’amplitude de déplacement au point caractéristique

x est la distance le long du corps

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tzxtxutzxtxutzxtxu

⋅Ψ=⋅Ψ ′′=′′⋅Ψ′=′

,,,

Diverses formes de dérivées

δzExemple

z(t)N

ut(x,t)e(t)

u(x,t)

x LΙ(x), m(x)

ug(t)

63

’’’’

Voir la page suivante pour les développements

Détermination de δ(dϕ) et δe

δzz(t)

e(t)dx ρ

dϕ

dx

ϕ( ) ( )( ) ( ) zdxxdxtxudxd δδ

ρδϕδ Ψ ′′=′′=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ,

u’ δu’ δe

u’

Translationhorizontale et verticale ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dxxtzzdxtzxzx

txudxtxutxuwe

⋅Ψ′⋅=⋅⋅Ψ′⋅⋅Ψ′=

′⋅⋅′=′⋅=2

),(),(),(

δδ

δδ

64






3 Systèmes à plusieurs degrés de libertéx1 x2 x3

m3 x3 m3 x3

m1 m2

k3k2k1m3

m1

m2 x2

x1 m1

m2 x2

x1

I I I1 2 3= = = ∞

65

3.1 Oscillations non amortiesPour chaque degré de liberté, la loi de Newton est appliquée.

∑ =+N

nmnmm xkxm 0∑=n

nmnmm1

Pour N degrés de liberté, il y a N équations : Nn →= 1

mnk représente la force à la position, et/ou dans la direction, m sous l’action d’un déplacement unique et unitaire en mode n.

Notation matricielle :

( )⇒−= φωtAx mm sinSi 2M K 0x xω− + =

M K 0x x+ =

n

( )( )

k m x k x k x112

1 1 12 2 13 3− + + ⎫⎪

ω

Noter :

2M K 0x xω− + =

TM=M TK=K

n

n

( )( )

k x k m x k xk x k x k m x

21 1 222

2 2 23 3

31 1 32 2 332

3 3

0+ − ++ + −

⎬⎪

⎭⎪=ω

ω

Une solution autre que la solution triviale existe quand le déterminant est nul.Ces genres de problèmes sont appelés les “problèmes de

n

n

Ces genres de problèmes sont appelés les “problèmes de valeurs caractéristiques”. Les solutions pour sont les “valeurs caractéristiques” (eigenvalues).Avec les valeurs caractéristiques (fréquences propres), il estpossible de déterminer les modes propres, (les formes relatives).

ω 2

66

Système de masses + ressorts

m1 m2

k3k2k1m3

x1 x2 x3

Causes

Effets

x1 1= x2 1= x3 1=

selonx1

m1 m1 m1

selon

selonx2

x3

m2

m3 m3 m3

m2m2

La méthode de Holzer

Cette méthode utilise l’itération et l’interpolation pourestimer les fréquence propres.• choisir une valeur pour la pulsationchoisir une valeur pour la pulsation• vérifier si les conditions d’équilibre sont satisfaites• sinon, modifier la valeur et revérifier

Prenons le problème de trois masses avec les masses etles rigidités égales à unité.

Avec 5,013 == etx ωAvec 5,013 netx ω

432

332 =

−=

kmxkxx nωm3

( )k x x3 2−2

3 nmx ωm3 en tant que corps libre

67

m2 et en tant que corps libres

m2

( )k x x2 1−2

2 nmx ωm3

m3

23 nmx ω

1652

22

321 =

+−=

kmxmxxx nn ωω

Maintenant les trois masses en tant que corps libres

Fkxmxmxmx +++ 222 ωωω Fkxmxmxmx nnn +=++ 1123 ωωω

F est la force extérieure nécessaire pour l’équilibre F =1364

Lorsque 4,0=nω F = −0 16,

L’interpolation linéaire donne1sec445,0 −=nω

( )F t2Cadres m2

( )f tS 2

m1( )F t1

( )f tb

( )f tSa1

( )EI poutres = ∞

x

x2

2kF2(t)

F (t) ( )f tSb1

( ) ( ) ( )f t f t f tS Sa

Sb

1 1 1= +

( )⎬⎫

⎨⎧

⎬⎫

⎨⎧

⎬⎫

⎨⎧⎥⎤

⎢⎡ tFfxm S 1111 0

x1

c c1 2 0= =

1kréf [1]

F1(t)

)(tFfxm mSmmm =+

1 1 2 2 13

2 2 2 2

12S cn

colonnesS

f k k k x EIkf k k x h

+ −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

∑

( )( )⎭⎬

⎩⎨=

⎭⎬

⎩⎨+

⎭⎬

⎩⎨⎥⎦

⎢⎣ tFf

fxm S

S

2

1

2

1

2

1

2

1

0

m

68

zn

z1 z2

Formuler : déplacement, x = f(a, z), est le produit d’un facteur de forme, a, et une fonction harmonique, z, additionné pour tous les modes.

x2

( )x2 0x2

x1x1 ( )x1 0x1

réf [1]

a

z1

x

x2

a21

x2

x1x1 a11

1

réf [1]

69

sm 10.1.3

a

z2

x

x2

a22

x2

x1x1

a12

1

réf [1]

Fréquences propres et modes propresChoisir une équation pour z tn ( )

z t C t B tn n n n n( ) cos sin= +ω ω

( ) ( )* ( ) cos sinn n n n n n n nx t a z t a C t B tω ω= = +

2 ( ) 0n n n nMa Ka z tω⎡ ⎤− + =⎣ ⎦

2 0Ma Kaω− + =2 0nK MωΔ = − =

n N= →1

(Noter le *)

0n n nMa Kaω + n

Il y a N solutions pour et donc N fréquences propres,N modes propres (eigenvectors) et N périodes propres.

ωn

70

[ ]11 12 1

21 22 2

N

Nmn

a a aa a a

A a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥

La matrice de vecteurs modaux ou la matrice modale(eigenvecteurs)

1 2M M MNa a a⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

La matrice spectrale 21

22 2

ωω

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥Ω

2KA MA= Ω

2 2

2Nω

⎢ ⎥Ω =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Modes propresSans les conditions initiales, l’amplitude des vibrations estarbitraire. On ne peut que déterminer les amplitudes relatives;ce qui donne la forme de la vibration. On fixe une amplitude etles autres sont automatiquement définies

Quand deux modes propres sont exprimés par des vecteursnormalisés et lorsque les masses ont la même valeur, on voitque leur produit scalaire est zéro. Ceci implique que lesmodes de vibrations sont orthogonaux.

les autres sont automatiquement définies.

L’orthogonalité est un aspect central à la compréhensionet l’analyse de systèmes à plusieurs degrés de liberté.Une preuve plus générale est maintenant donnée.

71

OrthogonalitéQuand , les conditions d’orthogonalité sont valablesω ωn r≠

0 0T Tn r n ra Ka a Ma= =

2 0n n nMa Kaω− + =PreuveLa loi de Newton pour le n-ième mode :

- multiplions par :- transposons les deux côtés :

La loi de Newton pour le mode r :

Tra 2T T

r n n r na Ka a Maω=

2 0r r rMa Kaω− + =2T T

2T Tn r n n ra Ka a M aω=

( ),K M symétrique

- multiplions par :Tna 2T T

n r r n ra Ka a M aω=

2 2T Tn n r r n ra M a a M aω ω=

( )2 2 0 0T Tn r n r n ra M a a M aω ω− = ⇒ =

( ) ( )N

x t a z t= ∑

La superposition des effets des différents modes est donc possible. Par exemple le mouvement est :( )x t1

( ) ( )1 11

n nn

x t a z t=

= ∑

Le vecteur donne la contribution de( )1a n N= →

zn est l’amplitude de la déformée correspondant au mode n.

Le vecteur, donne la contribution de chaque mode de vibrations au mouvement de .

( )1 1na n N= →m1

72

L’orthogonalité implique qu’il y a deux matrices diagonales :

* TK A KA=

* TM A MA=

Les élements sont :

* *T Tn n n n n nk a Ka m a Ma= =

Aussi 2* *n n nk mω=

(Il est possible a ssi de démontrer q e le tra ail effect é par les(Il est possible aussi de démontrer que le travail effectué par les forces d’inertie du n-ième mode dans les mouvements du r-ième mode est zéro.)Les réponses de chaque mode peuvent être calculées d’une manière indépendante des autres modes et elles peuventensuite être combinées pour obtenir la réponse totale.

Exemple

E10.4x1

x2 a22 1=

a12 1= −

a21 1=

a11

12

=

2mM

m⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3k kK

k k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

11 2réf [1]

2 0nK MωΔ = − = ω ω1 222

= =km

km

73

2 0n n nMa Kaω− + =Substituer les valeurs des fréquences proprespour trouver les modespropres a

aa1

11

21=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

n = 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

0032

2 21

11

21

11

aa

kkkk

aa

mm

mk

n = 1

n = 2

⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 032 kk⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

00322

22

12

22

12

aa

kkkk

aa

mm

mk

a2

11=−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥a1

1 21=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

/ (La position de l’amplitude maximale est fixée à l’unité)

Oscillations non amorties : étudions le degré de liberté

( ) ( )x t a C t B tnn

N

n n n n1 11

= +=∑ cos sinω ω

( ) ( )N

∑

( )x t1

( )x a Bnn

N

n n1 11

0 ==∑ ω

( ) ( )sin cosx t a C t B tnn

n n n n n n1 11

= − +=∑ ω ω ω ω

( )x a Cnn

N

n1 11

0 ==∑

( )atztx =)(*Pour chaque mode : ( ) nnn atztx =)(Pour chaque mode :

( ) nnn atztx =)(*

( ) )0(01

11 n

N

nn zax ∑

=

= ( ) ( )x a znn

N

n1 11

0 0==∑

74

( )C zn n= 0 ( )B zn n n= /0 ω

( ) ( )1 11

(0)0 cos sinN

nn n n n

n

zx t a z t tω ωω

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

1n nω= ⎝ ⎠

Reprenons notre exemplesoit : x(0)=(1, 2) et la vitesse est nulle

D’abord, nous devons calculer l’expansion modale de cesconditions initiales. Ici x(0)=x, un déplacement imposé.

( )1

0N

r rr

x a z=

= ∑ multiplions les 2 côtés par Tna M

( )1

0N

T Tn n r r

r

a Mx a Ma z=

= ∑ Chaque terme vaut zéro sauf lorsque r n=

( )0T Tn n n na Mx a Ma z= ( )0

*

T Tn n

n Tn n n

a Mx a Mxza Ma m

= =

Dans notre exemple

( )[ ]

[ ]1

11 1

2 11/ 2 1

2 30 22 1/ 2 3 / 2

1/ 2 11

T

T

mma Mx mz

ma Ma mm

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )[ ]

[ ]2

22 2

2 11 1

2 00 02 1 3

1 11

T

T

mma Mxz

ma Ma mm

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = = =−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

75

Les vitesses initiales sont nulles : ( ) ( )z z1 20 0 0 0= =

( ) ( )z t t z t1 22 0= =cosω

( )tx1 12/1 ⎫⎧⎫⎧⎫⎧ ( )( ) tttxtx

112

1 cos21

cos212/1

ωω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Il n’y a pas de contribution du 2ème mode. Le mouvementinitial est proportionnel au 1er mode et donc orthogonal au2ème mode.

Exemple 2 - Soit x(0) = (-1/2, 2)( ) ( ) ( ) ( )z t t z t t z z1 1 2 2 1 20 1 0 1= = = =cos cosω ω

( )( ) tttxtx

212

1 cos11

cos12/1

ωω⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

76






3.2 Oscillations amorties

Conditions initiales(0) (0)x x x x

M C K 0x x x+ + =

(0) (0)x x x x= =

Réutilisons la notation des systèmes sans amortissement

0MAz CAz KAz+ + =

* * * 0M z C z K z+ + =* TC A CA=multiplier par TA

Lorsque est diagonale, nous avons N équations différentiellesen coordonnées modales. Ceci est appelé un amortissementclassique. Les modes propres sont les mêmes que pour lessystèmes sans amortissement. Lorsque n’est pas diagonale,les modes propres sont différents.

*C

*C

77

Amortissement non classique

znz2

z1

( ) 10 mm ax =

sm 10.9.1

x1

x2

a21

x2

x11

a11

réf [1]

Les matrices :

21

M m⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3 11 1

K k−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

1 2 2

2 2

5 44 4

c c cC c

c c+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

La matrice, , estdéterminée d’unemanière analogueà la matrice

a2

11=

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥a1

1 21=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

/

C

K

1⎣ ⎦1⎣ ⎦

1, 25 3, 5*

3, 5 17TC A CA

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦Non diagonale : les équationsdifférentielles sont couplées

78

m m

Amortissement classique

z1

( )x an n0 1=m m

x2

a21

x2

z1

ν1

x1 a11 x1

réf [1]

79

1 2 2

2 2

6 22 2

c c cC c

c c+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦⎣ ⎦

* * * 0M z C z K z+ +

mzz

czz

kzz

153

1512

0 756

00

1

2

1

2

1

2

, , ,⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

* * * 0M z C z K z+ + =

Les deux équations ne sont pas couplées

* * * 0n n n n n nm z c z k z+ + =

* * *T T Tn n n n n n n n nk a Ka m a Ma c a Ca= = =Les éléments sont :

Ils se trouvent dansN équations

* *2 * 2 *

n nn n

n n n

c cm m

λ ζω

= =

Les méthodes de résolution sont les mêmes que pour lessystèmes à un degré de liberté.

Quatre observations valables pour les conditions initiales qui sont proportionnelles à un des modes propres :

1 La réponse des autres modes est zéro.p2 Le mode de l’oscillation n’est pas influencé par

l’amortissement.3 Le mouvement des masses n’est pas influencé par

l’amortissement.4 Le mouvement de chaque étage est harmonique.

80

z2( )x an n0 2=ν

mm

x2

a22

a12

x2

ν2

x1a12 x1

réf [1]

L’amortissement influence les fréqences propres et lespériodes propres ...

ν ω ζn n n= −1 2

( ) ( ) ( )∑ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++=

N

nnnnn

nnt

mnm tzztzeatx nn sin00cos0)( νν

ωζνωζ

Le mouvement est :

… mais cette influence n’est pas importante quand ζ ≤ 20%

= ⎦⎣n n1 ν

81

Le niveau de l’amortissement est influencé par plusieurs facteurs. Par exemple :

• le type de structure (pont, bâtiment, barrage, tour, …)• le matériel de construction (acier, béton, maçonnerie, bois …)• la technologie de construction (précontrainte soudage )• la technologie de construction (précontrainte, soudage …)• proximité de la limite élastique

Structures de génie civil : 0,001 < ζ < 0,20

Structures non-homogènes – Amortissement de RayleighLa matrice d’amortissement C dépend d’une addition desLa matrice d amortissement, C, dépend d une addition des composants pondérés des matrices M et K. La matrice C est alors diagonale. Voir Chopra, réf [1].

3.3 Oscillations entretenues

Sans amortissement

12.1.1 p 430

I = ∞

x1

x2

x2x1F0 F0

p

réf [1]

82

tF

xx

kkkkk

xx

mm

ωsin0

0

2

1

22

221

2

1

2

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

Choisir x x1 1⎧ ⎫ ⎧ ⎫xx

xx

t1

2

1

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

max

maxsinω

1max 02

2max 0x F

K Mx

ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎡ ⎤− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭⎩ ⎭

Ceci donne

11max 02

2max 0x F

K Mx

ω−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭⎩ ⎭

2 0K MωΔ = − =Les fréquences propres sont obtenues de

Les amplitudes valent

22 1 2 1 2

22 2 2

k k m kK M

k k mω

ωω

⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤− = ⎢ ⎥⎣ ⎦ − −⎣ ⎦

( )( )2 2 2 2 2K M m mω ω ω ω ω− = − −( )( )1 2 1 2K M m mω ω ω ω ω=

21max 02 2 2

222max 2 1 2 1

10

x Fk m kx k k k mK M

ωωω

⎡ ⎤−⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥+ −− ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦

( )F k m 2ω( )( )( )

( )( )

xF k m

m m

xF k

m m

10 2 2

1 22

12 2

22

20 2

1 22

12 2

22

max

max

=−

− −

=− −

ωω ω ω ω

ω ω ω ω

83

SM E12 1E l

xF k

1

0 2max

/ SM E12.1Exemple

21 2mm =

k kk k

1

2

2==

0

xxF k

2

0 2max

/

réf [1]

Oscillations entretenues - avec amortissement

( )* * *n n n n n nm z c z k z F t+ + =Il y a N équations

Une fois découplés, les systèmes à N degrés de libertépeuvent être traités comme N systèmes à un degré deliberté.

Les mouvements sont calculés par une superpositionmodale. Pour la position/sens de mouvement 1 :

( ) ( )x t a z tn nn

N

1 11

==

∑

84

3.4 Amortissements massiques (Tuned mass damper)

F0

Applications : Bâtiments, tours, ponts

x1

x2

pp , , p

L’amortisseur est efficace uniquement sur une fourchette limitée de fréquences. Il peut être utilisé quand la vibration n’est pasharmonique. Meilleures applications : systèmes à un degré deliberté ou systèmes où un seul mode de vibration risque d’entrainer des problèmes.

ω ω μ11

12

2

2

2

1

* *= = =km

km

mm

( )( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )

xFk1

0

1

2

2

2 1

2

1

2

2

2

2 1

2

1

1 1max

*

* * * * * *

/

/ / / /=

−

+ − − −

ω ω

μ ω ω ω ω ω ω μ ω ω

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )x

Fk2

0

1 2 1

2

1

2

2

2

2 1

2

1

1 1max * * * * * */ / / /

=+ − − −μ ω ω ω ω ω ω μ ω ω

85

x1maxxF k

1 1max

/<

μ = 0 2,ω ω1 2

* *=

Den Hartog p96sm 12.2.1b

F k0 1/ F k0 1/

réf [1]

La masse de l’amortisseur

quand ω ω= 2*

xF

20= −x

k22

max

Et la force sur la masse de l’amortisseur vaut

k x m x F2 22

2 2 0max max= = −ω

L’amortisseur applique une force égale à l’excitation dansle sens opposé.

La fourchette d’opération de l’amortisseur dépend du rapportde masse, . μ

86

Amortisseurs massiques avec amortissement classique

ωω

21

1=

/ ( )ζ2

2 13

3=

m m/

Valeurs pour le meilleur amortissement

22 11+ m m/ ( )

ζ22 1

38 1+ m m/

Ces formules ne sont théoriquement valables que pour ζ1 0=

L’approximation est aussi valable pour un faible amortissement t t lstructural.

Le paramètre le plus critique est la fréquence. Des contrôlesréguliers sont essentiels pour assurer que la fréquence de l’amortisseur massique soit compatible à celle de la structure.

D’autres indications pratiques :

Essayer d’abord de modifier la fréquence propre de la structure.

Les meilleures applications sont des structures unidimension-ppnelles, telles que des tours, des ponts et des cheminées. Les applications aux dalles demandent plusieurs amortisseurs, ce qui amène à un plus grand investissement.

Les mauvaises applications sont des structures massives quisont déjà amorties.

501

151

1

2 >>mm

Bonnes valeurs initiales - devrait être variable

Contrôler : le mouvement de , la résistance à la fatigue desressorts, l’entretien des ressorts, le comportement réel.

m2

m2

87


Bachmann, H. and Weber, B.Structural EngineeringStructural Engineering

International, 1/95

Figures

Fig. 1

88

Fig. 2

Fig. 3

89

Fig. 4

Fig. 5

90

Fig. 6

91

2

3

93

4

5

94

Fig. 16

95

Tuned Vibration Absorbers for "Lively" Structures

Summar's'

In the first part of this paper, the theoretical background and a design procedurefor tuned vibration absorbers are presented. In the second part, practical experi-ences with two footbridges and a diving platform are described. Experimentsconfirm both the applicability of the proposed design procedure and the effec-tiveness of the absorbers.

Introduction

Human activities such as walking andjumping can produce dynamic forceswith a predominant frequency contentaround 2 Hz. Coincidentally, 2 Hz isalso the fundamental frequency ofmany structures, especially foot-bridges. In many cases these structuresare lightly damped, a condition de-scribed as "lively." and can undergolarge vibrations. These vibrations cancreate a serviceability problem be-cause users can become frightened bythe structure's readily perceived mo-tions. Structures that are easily excitedare also tempting targets for acts ofvandalism. One measure against ex-cessive vibrations is the application oftuned vibration absorbers. They havebeen known for some time, but havenot been widely used, perhaps becausecivil engineers feel uncomfortable withsuch machine-like devices. This paperillustrates the theoretical and practicalexperiences with three structures sub-jected to human-induced vibrations.whose dynamic behavior has been im-proved by tuned vibration absorbers.References to examples with wind-and traffic-induced vibrations are giv-en in [I].

(2)

Structural Engineering International 1/95 Science and Technology 31

Hugo BachmannProf.Swiss Federal Inst. of Technology (ETH)Zurich. Switzerland

Hugo Bachmann. born in 1935. receivedhis civil engineering and doctorate degreesfrom the ETH Zurich. After working withconsulting and contracting firms, he re-turned to the ETH as Professor of CivilEngineering. His teaching and researchactivities concentrate on reinforced andprestressed concrete, structural vibrationsand earthquake engineering.

Using a dimensionless form, the para-meters m11, CH, kH, fllj CT, kT, F andthe two variables u11, UT can be re-duced to the five parameters rnT / rn11,fT / fH. i,. r and the two dime nsion-less variables tH/UHQ, lIT! UJ.

Optimal Absorber Parameters

The behavior of the two-degrees-of-freedom system can be visualized con-sidering the dynamic amplificationcurves in Fig. 2 ('flT!IflH = 1/100, =1%). The excitation frequencyf is nor-malized by the eigenfrequency of thestructure. Without the absorber, thewell-known curve for a single-degree-of-freedom system results. For a struc-ture with an absorber. i.e., for a two-degrees-of-freedom system, the ampli-fication curve typically exhibits twohumps, one below the eigenfrequencyof the absorber and one above theeigenfrequency of the structure. Theoptimal absorbing capacity is obtainedif both humps have the same height. asshown by the curve for fT = fe,,,,. For astructure with no damping, the optimalparameters have been determined in[2] as

f1 = fi (1)1 + rn7 /

I 3m / '11H3

\ 8(1 /mH)

To see whether they are also applica-ble to damped structures, the optimaltuning can be investigated by calculat-ing amplification curves for differentabsorber parameters and comparingtheir maximum values. The maximumamplifications constitute a surfacewith a minimum at the optimal para-meters. Fig. 3 shows the contours of

Benedikt WeberResearcherSiss Federal Inst. of Technology (ETH)Zurich. Switzerland

Benedikt Weber, born in 1953. receivedhis civil engineering degree from the ETHin 1977 and his \lasters degree fromStanford Univ. in 1980. After five years inprofessional practice. he returned to theETH and received his doctoral degreethere in 1994. His main research interest isin structural dynamics and earthquakeanalysis of arch dams.

4g. Peer-reviewed by internationalexperts and accepted h' the IABSEPublications Committee

Theoretical Background

Two-Degrees-of-Freedom System

The simplest model for a structurewith a tuned vibration absorber is atwo-degrees-of-freedom system. It isused here to develop the theoreticalbackground and will be discussedsubsequently in connection with thedesign of tuned vibration absorbers.Fig. 1 shows the general set-up of atwo-degrees-of-freedom system.

10

00.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20

frequency ratio

0.90 1.00 1.10frequency ratio

Fig. 3: Contours of naxinuan aniplifica—(ions

1.00

0.98

0.96

0.94

0.92

0.90

________________________

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04mass ratio m.J./rnH

Fig. 4: Optina! absorber frequency

this surface for the previous example.The minimal amplification is 11.6 atthe pointf7 If = 0.99 and 1= 6%.

The sensitivity of the tuning can be ap-preciated by considering the contourlevel for an amplification of 15. To ob-tain a maximum amplification belowthat value, the tuning of the frequencyhas to be in the range cL = 0.96—1.02.i.e.. within ±3%. On the other hand.the damping value can he in the rangeof 1 = 3%—ll%. which is betweenhalf and almost double the optimalvalue. Clearly the optimal point is rela-

tivelv insensitive to the damping, butthe exact frequency tuning is crucial.By calculating numerically the optimalfrequency for different mass ratios andfor different structural damping val-ues. the curves given in Fig. 4 havebeen obtained. The curve for , = 0%corresponds to the formula given inEqs. (I) and (2). For higher structuraldamping values and high mass ratios.the optimal frequency of the absorberis slightly less than the one given bythe formula. However, since tuned vi-bration absorbers are only effectivefor lightly damped structures, the for-mulas in Eqs. (1) and (2) are sufficient-ly accurate for any practical applica-tion.

Design Procedure

Excitation

The excitation force due to various hu-man activities is described in [1]. It canbe expressed as a Fourier series as:

F(t)=G+iG1 sin(2Jrft)+ 1G7 sin(2 . 2Jrft — -, ) +... (3)

As a simplified procedure. each har-monic is considered separately. Themaximum steady-state response is ob-tained if the excitation frequency f =if,, equals the frequency of the modeconsidered. Because the activity ratelies within a certain range, each modecan usually only be excited by a certainharmonic. Depending on the eigenfre-quencies of the structure, the first, sec-ond or third term is important. Themost severe loading is typically due tojumping. with a force amplitude ofAG = 1.8G. Assuming the weight ofthe person jumping to be G = 800 N.this leads to an amplitude of the first

0.05 Fourier term of AG1 = 1440 N.

Equivalent Single-Degree-of-Freedom System

A first step in designing an absorber isto determine the dynamic parametersof the structure. i.e.. the mass and thestiffness of an equivalent single-de-gree-of-freedom system correspondingto a certain mode of vibration. Forpractical reasons. the stiffness is usual-ly calculated from the mass and theeigenfrequencv. The eigenfrequencycan be accurately determined based onexperimental data. A reliable value isessential to obtain an optimal frequen-cy tuning. The modal mass can be esti-mated assuming a mode shape and cal-culating the corresponding kinetic en-

ergv (Rayleighs quotient). To obtainan equivalent single-degree-of-free-dom system with the same displace-ment as the structure. the assumedmode shape has to be scaled to a valueof 1 at the location and in the directionof the absorber. Similar considerationshave to be made in a finite elementanalysis.

Absorber Parameters

\\'hen designing an absorber, a majordesign decision is the choice of themass ratio mT/in/I. The mass ratio di-rectlv influences the response of thestructure and the relative movementof the absorber mass. The mass ratiocan be chosen with the aid of the de-sign curves given in Figs. 5 and 6.

32 Science and Technology Structural Engineering International 1/95

VIIIti CT

F(t)Y1tH

kH ITCH

Fig. 1: Two-degrees-offreedon system

50S. 40

30

20

C,

TopIf1=0.98f!no absorber;

Fig. 2: Ainplificatioiz curves

0.20I-.

0.15

0.10

0.05

0.000.80 1.20

Si_2'b0

Notations

Structure parameters

m11 = massc11 = dashpot constantk11 = spring constantii,, = displacement

11H0 = quasi-static displacementUHO = AGI/kH

f/I = eigenfrequency

f1, = k,j/in /(2)= damping ratio

ci! = c[//(2lJkH/I?I/I)

Absorber parameters

HIT = massCT = dashpot constant

kT = spring constant

11T = displacementfr = eigenfrequency

fr 'kT/fllT/(2Jr)cr = damping ratio

T= CT/(2\kT/FflT)

Excitation force

F(i) = force applied to structureG = weight of active personAG1 = force amplitude of

ith harmonic= activity rate= phase lag of ith harmonic

relative to first harmonic= time

f = frequency of excitation

Fig. 5: Design curve for structure displacement

0.05

Fig. 5 gives the maximum dynamic am-plification of the structure equippedwith an absorber. For design purposes.this value is multiplied by the quasi-static displacement uH() = ziG,/k,, ofthe structure to get the dynamic dis-placement amplitude. Often the designcriteria is based on a maximum accel-eration (typically 0.5 mIs). rather thana displacement. The acceleration canbe calculated by multiplying the dis-placement by (2,rf)2. The mass ratiomT/niH = 0 corresponds to the casewithout an absorber and the amplifica-tion has the value 1I(2ç11). As can beseen from Fig. 5. the absorber is mostefficient for lightly damped structures.For structures with a damping ratio of

= 5 %, the absorber has almost noeffect. Also, enlarging the absorbermass beyond a mass ratio of 1/50 = 0.02has not much effect, even for lightlydamped structures.

The second consideration is the rela-tive displacement of the absorbermass, which can be determined bymultiplying UHO h the maxinium am-plification given in Fig. 6. This valuehas to be considered for the design ofthe absorber itself. Increasing the ab-sorber mass can reduce the absorbermass displacement even if the structur-al displacement is not much reduced.Having decided on the value of themass ratio, the absorber parameterscan readily be calculated by Eqs. (1)and (2). For practical reasons, the ab-sorber usually cannot be built withmass and stiffness values exactly as cal-culated. The stiffness is realised by asuitable combination of availablesprings, and the mass is adjusted ac-cordingly.

Higher-Order 1'! odes

An absorber can only be tuned to oneparticular frequency. normallc to the

frequency of the fundamental mode ofthe structure. If other modes also haveto be damped. more than one absorberis necessary. Typically, if only the fun-damental mode is damped by an ab-sorber. higher-order modes doniinatethe acceleration in a steady-stateanalysis. However, from a practicalpoint of view. these modes are not im-portant. Although it is possible to ex-cite modes with higher frequenciesthrough the higher Fourier terms ofthe excitation force, it is generallyquite difficult to obtain the steady-state response. which requires main-taining the exact excitation frequencyover a long period of time.

Experimental Considerations

Before Installation

To be able to determine the optimalabsorber parameters. the frequencyand the damping of the relevant modeof the structure have to be establishedfirst. This is most precisely accom-plished h testing. A useful test isdropping a sandbag. which excites thestructure in a wide frequency band.The eigenfrequencies show up as sharppeaks in the Fourier spectrum.

Tuning the absorber in the laboratoryis a valuable, even necessary part ofthe installation. Frequency and damp-ing can be determined by measuringthe free vibration response and inter-preting the resulting decay curve. Prac-tically. free vibration is achieved by ex-citing the absorber manually and thenremoving the force, or by moving theabsorber with a lifting device and thensuddenly stopping the absorber's mo-tion. Forced vibration is only valid ifthe excitation is well defined. For ex-

ample, measuring the vibrations dur-ing manual excitation does not yield aunique eigenfrequency because of thehigh damping (typically 10%). Oneproblem which has to be considered isthat the damping devices themselvesare not purely viscous, and also con-tribute to the stiffness. This means thatthe damping and the frequency cannotbe adjusted independently. As can beseen from Fig. 3. the damping does notneed to be very accurate. whereas ex-act frequency tuning is crucial.

After Installation

Final tuning of the absorber frequencyis done after the installation. An accu-rate method consists in exciting thestructure equipped with the absorberby dropping a sandbag. This impulsiveforce covers a wide frequency rangeand the Fourier spectrum of the struc-tural response resembles the amplifi-cation curve of Fig. 2. If the absorber isoptimally tuned. two humps of equalheight will appear. The method onlyworks for smaller structures where theimposed energy is high enough.

Other useful tests are comparisonswith the absorber locked and un-locked. Locking the absorber can beachieved simply by somehow restrain-ing the movement of its mass. The ra-tio of the maximum values with the ab-sorber locked and unlocked are a mea-sure for the effectiveness of the ab-sorber. For these comparisons, it isimportant to apply an identical force inthe corresponding experiments. Ideal-lv. a mechanical shaker would he usedfor the excitation, but froni a practicalpoint of view it is much simpler, al-though not as accurate, to excite thestructure by human activities such asjumping and running using a pace-giv-ing metronome.


0.00 0.01 0.02 0.03 0.04mass ratio niT /mH

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05mass ratio rn.1. /mH

Fig. 6: Design curve for relative absorber dicplaceineni

2.50m

I

Fig. 7: Girder footbridge Fig. 8: Girder fooihridge: cross section wit/iabsorbers

Practical Examples

Girder Footbridge

The first example is a footbridge withfour spans as shown in Fig. 7. It consistsof two steel girders and a concrete slabmade up of plates of size 2.5 rn x 2.5 m,which are supported by neoprenebearings. The cross section is shown inFig. 8. The bridge showed excessive vi-bration under normal use primarilydue to the low damping of the steelgirders. The fundamental frequencywas determined experimentally to be2.46 Hz and the damping ratio to lie inthe range of çiq = 0.2—0.4%, dependingon the displacement amplitude. Themodal mass was determined usingRayleighs quotient as niH = 30500 kg.The stiffness follows as kH = 7280kN/m.

The design excitation force was takento be \G1 = 1280 N. corresponding toone person jumping with the reso-nance frequency in the center of the

main span. Assuming a damping ratioof H = 0.25 % leads to a dynamic am-plification factor of 200 and a steady-state acceleration amplitude of 8.4rn/s2. An acceptable value of accelera-tion was assumed to be about 0.5 m/s2.Thus the dynamic amplification factorhad to be reduced from 200 down to12. Referring to the design curves inFig. 5. the mass ratio has to be about0.012. The actual absorber mass cho-sen was 350 kg. corresponding to amass ratio of 0.0115. This leads to atheoretical steady-state acceleration of0.053 g. The optimal absorber parame-ters are frn,, = 0.0989 = 2.43 Hz and

= 6.5%. The relative displacenientof the absorber mass, according to thedesign curves in Fig. 6. is ± 15 mm.

The design of the absorber is shown inFig. 9. The main problem was to con-struct an absorber taking into accountthe limited space available. The twoidentical absorbers consist each of amass of 175 kg supported h' foursprings and of two damping devices.

The damping device is a rod sub-merged in a viscous fluid. The frequen-cy can be modulated by a variablemass and the damping can be adjustedby varying the submerged length of therod.The absorber was first tuned in thelaboratory before it was installed onthe bridge. It was fine-tuned on site.using the spectrum of the responsefrom a dropped sandbag (Fig. 10). Theabsorber mass was adjusted until thetwo humps between 2 and 3 Hz wereapproximately equal.

Accelerations due to one person jump-ing are shown in Fig.1l. The high effec-tiveness of the absorber is denionstrat-ed h comparing the values with theabsorber locked and unlocked.

The maximum values of selected testswith one person and with the absorberlocked and unlocked are shown inTable 1. The ratio, which is an indica-tion of the effectiveness of the ab-sorber, is also given. Clearly, with theabsorber locked, the maximum values

1400mm

Fig. 9: Girder footbridge: vibration absorber

300 mmTest Accelerations (iri/s) Ratio

Locked Unlocked

Jumping 9.0 0.48 19.0Walking 1.2 0.24 5.0Running 1.7 0.59 2.9

.0 1 2 3 4 5

frequency [Hz]

Fig. 10: Girder footbridge: spectrum (sand-bag)


16.Om 25.lm

absorber

20.1 m 17.6m

L1C. _.

0.50

0.40

0.30

0.20

Table 1: Girder footbridge: mnaxinlumn verti-cal accelerations

Fig. 11: Girder footbridge: accelerations (jumping)

z7z_/

absorber

30 ni

Fig. /2: Cable-staved footbridge

-C 45 m

Fig. 13: Cable-staved footbridge cross sec-(ion

depend on the kind of loading and itsduration. The steady-state case is onlyobtained for jumping. For walking andrunning, the time needed to cross thebridge is too short to reach steady-state conditions. The values with theabsorber unlocked all lie around theacceptable value of 0.5 m/s2.

Cable-Stayed Footbridge

The second example is a cable-stayedfootbridge with a steel girder (Fig. 12).This case is different from the othertwo in the respect that the installationof an absorber was planned before thebridge was built. Therefore, the firstanalyses were performed by finite ele-ment calculations. The fundamentalfrequency was determined to be fH=1.98 Hz. the modal stiffness k1, =3500 N/mm and the modal mass mH =23000 kg. The damping ratio was as-sumed to be ,, = 0.5 %. The locationfor the absorber was chosen becausethis is where the fundamental modeshape has its largest amplitude. Usingan excitation force of G1 = 1.8 x800 N acting at the location of theabsorber yields an acceleration of6.3 mIs. which is about ten times theacceptable value. With a planned ab-sorber mass of 800 kg this value woulddecrease to 0.46 m/s2. This absorbermass was chosen somewhat larger thanabsolutely necessary, because spacewas no problem in this case. Theplacement of the absorber is shown inFig. 13.

The design of the absorber is shown inFig. 1-I. Because the absorber parame-ters were based on a finite elementanalysis rather than on measurements,the absorber was designed to be ad-justable for a wide range of frequen-cies. In addition to variation of themass. there were also three sets ofsprings with different stiffnesses avail-able. The actual absorber mass afterthe frequency tuning was 1000 kg, cor-responding to a mass ratio of 0.044.leading to a theoretical maximum ac-celeration of 0.44 mi's and a maximum

relative movement of the absorbermass of± 14mm.

After the bridge was built. the eigen-frequencies were determined experi-mentally h' analyzing the free vibra-tions produced by a dropped sandbagand by a person jumping. The funda-mental frequency was fH = 2.12 Hz.which is close to the calculated valueof 1.98 Hz. Higher modes were alsoquite close to the calculated values.The damping ratio was about 0.5 % forlow acceleration amplitudes in therange of 0.1—0.2 m/s2. However, forlarger amplitudes the damping wasmuch more than anticipated. Up to anamplitude of 1 m/s2 it was about 1%,and for higher amplitudes it was evenlarger. Because the fundamental fre-quency was close to the predicted val-ue, the different sets of springs werenot actually needed. The tuning wasperformed in the laboratory by vary-ing the mass only.

Various tests with one or two personsjumping or running were performed.Fig. /5 shows the comparison of the ac-celeration response due to one person

jumping, both with the absorberlocked and unlocked. The absorber isnot as effective as in the first example.One reason is that the locked caseused as a reference already has a lowvalue because the structure itself hasconsiderable damping. especially forhigher displacement amplitudes. Theother reason is that the influence ofhigher modes is no longer negligible,as can be seen from the time history.Maximum values for one person jump-ing and running are shown in Table 2.Although the ratios between thelocked and the unlocked cases arerather low, the absorber performs wellin that it reduces the response from anexcessive to an acceptable value.

Test Accelerations (mis2) Ratio

Locked Unlocked

Jumping 1.1 0.45 2.4Running 0.45 0.3 1.5

Table 2: Cable-stayed footbridge: ,naximurnvertical accelerations


10mm

—- -.700 mm

2500 mm 700 mni

Fig. 14: Cable-staved footbridge: vibration absorber

0

0 5 10 15

Fig. 15: Cable-stayed footbridge: accelerations (jumping)

time [s]20

Diving Platform

The last example is a reinforced con-crete diving platform (Fig. 16). It con-sists of a Y-shaped shaft with two slabsat the 3 m and 5 m levels. The twobranches are connected by a tie-beamat the level of the lower slab. The plat-form could he excited excessively byshaking it horizontally on the railingparallel to the pool. Some cracks in theshaft were observed.

In a first stage. the structure was thor-oughly studied, both by finite elementcalculations and experimental modalanalysis. The analysis showed that themain vibrations were in the first modeas depicted in Fig. 16. Measured valueswere f11 = 2.6—2.7 Hz for the funda-mental frequency and , = 1.5—2.0%for the damping ratio. A special prob-1cm in this example as the fact thatthe movement of the structure at theabsorber location is oblique, with alarger component in the horizontaldirection, as indicated. An ideal ab-sorber would have to move in the samedirection, but such a device is difficultto construct. Instead it was decided todesign a horizontally moving absorber.The classical solution of a pendulumwas not feasible in this case becausethe length of the pendulum would onlybe about 3 cm. The novel design finallyused is shown in Fig. 17. It consists of amass hanging on steel plates acting assprings. It moves like a pendulum butthe stiffness is provided by the springs.Besides the mass, the stiffness can alsobe varied h adjusting the length of thesprings. The damping device is again arod submerged in a viscous fluid. Therod. however, moves horizontally in-stead of vertically.

The modal mass of the platform wasdetermined by the finite element mod-el with the appropriate scaling of themode shape as rn11 = 12000 kg. For thedesign of the absorber a reduction fac-tor for the accelerations of about 5 waspostulated. Assuming a damping ratioof 1.5%. the dynamic amplifica-

tion has to be reduced from 33 down to7. According to the design curves inFig. 5, the corresponding mass ratiois 0.03. The mass actually chosen was335 kg corresponding to a mass ratio of0.028.

First testing of the platform showed anamplitude-dependent eigenfrequencywhich was somewhat higher than theone determined by the experimentalmodal analysis, because in the mean-time the cracks in the shaft had beenrepaired by epoxy injection. The fre-quencv was 2.9 Hz for accelerationamplitudes of 0.05 m/s2 and 2.7 Hz foramplitudes of 2 mIs2. The absorberwas tuned for an expected frequencyof 2.8 Hz.

Tests with the absorber locked and un-locked were performed exciting the

structure by jumping or by shaking iton the railing. Fig. 18 shows the com-parison of the accelerations inducedby two persons shaking with the ab-sorber locked and unlocked. Maxi-mum values of accelerations due toshaking by two persons and due tojumping by one person are comparedin Table 3. As can he observed, the ab-sorber is very effective. The desired re-duction factor of 5 was more or lessobtained in the tests shown here and inother tests.

Test Accelerat ions (mis2) Ratio

Locked Unlocked

Jumping 1.3 0.3 4.3Shaking 3.2 0.5 6.4

Table 3: Diving platform: ,naxi,nuni lion—

coma! accelerations

ConcIusion

Vibration absorbers can be designedbased on simple dynamics. The two de-sign charts in Figs. 5 and 6. and the for-mulas from Den Hartog given in Eqs.(1) and (2) are sufficient to determinethe absorber's parameters.

Recommended values for the mass ra-tio are 0.03—0.04 if space for the tunedvibration absorber is not restricted.Lower values, down to 0.01. still leadto effective absorbers for lightlydamped structures. This choice, how-ever, leads to large relative move-ments of the absorber mass.

The exact tuning of the absorber fre-quencv is crucial, whereas the dampingneed only be adjusted approximately.For long-term operation of tuned vi-bration absorbers it is important thatthe device is accessible for mainte-nance and re-tuning in case the dv-namic properties of the structurechange.

References

[1] BACII\IANN. H.. A\1\IANN. \V. etal. Vibration Problems in Structures — Prac—

uail Guidelines. Birkhäuser Verlag. Basel.40 Boston. Berlin. 1994.

[2] DEN HARTOG. J. P. Mechanical Vi-brations. \lcGraw-Hill. New York. 1940.


absorber

£

Fig. /6: Diving platform

C

610mm

Fig. 17: Diving platform: vibration absorber

0 10 20 30

Fig. 18: Diving platformmz: accelerations shaking)

time [sJ






4 Réponses et Spectresz

x

ySix degrés de liberté

Séismes : Très peu d’enregistrements existent. La plupart sont de faibles amplitudes.

Problèmes : les mesures sont uniaxiales et les conditions de sol ont de grandes influences sur les mesures

103

réf [1]

gox

gx

gox

gx

réf [1]

goxgx

104

x

réf [1]

Méthode des forces de remplacement (normes)

)(* tF

( ) ( ) ( )tmAtxmtF n*2* == ω ( )tA* la réponse en forme de la

pseudo-accélération

( ) ( )txktF =*

La force de remplacement est la réponse en forme de la

( )x t est connu auparavant

La force de remplacement est la réponse en forme de la pseudo-accélération multipliée par la masse et non pasl’accélération imposée multipliée par la masse.

( ) ( )txtA n2* ω= ω

πn

nT2

22

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

105

*

réf [1]

Spectres de réponse

La réponse maximale des oscillations en fonction des fréquences propres de plusieurs systèmes porte le nomde spectre.

Amax x

x

ζ = 2%*

Tn

x

La force de remplacement dépend de la pulsation propre etde l’amortissement (pour des systèmes à un degré de liberté).

106






5 Indications pratiquesSouvent, des formules simples donnent une précisioncomparable aux résultats de calculs numériques.

Il est utile de chercher des résultats de cas précédents.

Dans le doute, vérifier par des mesures in situ.

Pour des cas à risques, prévoir des méthodes simples pourmodifier la fréquence propre de la structure par des h t d i idité i d h t dchangements de rigidité, voire par des changements des

positions des masses.

Des astuces sur chantier sont parfois moins chères et plussûres qu’une analyse complexe qui est faite avec des hypothèses incertaines.

107

5.1 Relations approximatives

δ

réf [2]

108

réf [2]

réf [2]

109

Ponts haubanés

réf [2]

réf [2]

110

réf [2]

réf [2]

111

5 2 A l d é5.2 Analyse des réponses dans le domaine fréquentiel

Pourquoi analyser dans le domaine fréquentiel ?

La réponse d’une structure est rarement harmonique. Il y a souvent un mélange de fréquences et d’amplitudes. Les questions suivantes peuvent trouver une réponse :questions suivantes peuvent trouver une réponse :

Comment interpréter le signal ?

Quelles sont les fréquences critiques ?

Un amortissement supplémentaire est-il nécessaire ?Un amortissement supplémentaire, est il nécessaire ?

Faudrait-il limiter les actions (par exemple, dues au trafic) qui agissent sur la structure ?

112

La transformée de Fourier : Les signaux peuvent être considérés comme une somme infinie de fonctions harmoniques (systèmes linéaires uniquement).

113

( ) ( ) i tA a t e dtωω∞ −= ∫

Transformée analytique

( ) ( )A a t e dtω−∞

= ∫

2( ) ( ) i ftA f a t e dtπ∞ −

−∞= ∫

114

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

Pourquoi ?

Applications numériques p. ex. mesures digitalisées (souvent le cas !) N Mesures Valeurs numériques { ak} k= 0,1, 2,3, … ,N−1

115

Analyse dynamique des structures6 Effets du vent

6.0 Problématique6 1 N ti d b6.1 Notions de base6.2 Modélisation des effets du vent

6.2.1 Principes 6.2.2 Modélisation des pressions6.2.3 Modélisation des forces6.2.4 Effets dynamiques

6 3 Limitations6.3 Limitations6.4 Exemples

6.4.1 Lothar6.4.2 Réponse d’un pont haubané6.4.3 Douane de Boncourt

6.5 Résumé

6.0 Problématique- Les grandes tempêtes peuvent produire des

dégâts considérables. Les quelques exemples ti é d t êt é t tt t ttirés de tempêtes récentes attestent que ces dégâts ne concernent principalement que le second œuvre.

- Les dégâts ne sont pas seulement importants pour les constructions touchées mais sont aussi la source de débris qui vont propager les dégâtsla source de débris qui vont propager les dégâts sur de grandes distances.

116

6.0 Problématique

6.0 Problématique

117

6.0 Problématique

6.0 Problématique

118

6.0 Problématique- Le cas de la tornade survenue dans la vallée

de Joux en 1971 est particulier car les vitesses d t t l l t l t dé é ldu vent ont, localement, largement dépassé les valeurs de dimensionnement.

- Il y a eu des effets de soulèvent de l’ensemble de quelques toitures et la ruine par instabilité de hangars. On observe généralement ce type de dégâts uniquement sur le passage de cyclonesdégâts uniquement sur le passage de cyclones tropicaux. Ce phénomène est donc très rare en Suisse (la période de retour est supérieure à 100 ans).

6.0 Problématique

119

6.0 Problématique

Vent Dégâts locaux par arrachage de tuiles

6.0 ProblématiqueExemple de l’effet domino :

Fr. 1’000.-

Fr. 10’000.-

Fr. 100’000.-

120

6.0 ProblématiqueLe vent a des vitesses et des directions très variables dans le temps :

Vitesses moyennes à Longeville du 3.12.02 au 19.12.02

5

6

7

8

9

10

se [m

/s]

0

1

2

3

4

03.12.2002 08.12.2002 13.12.2002 18.12.2002Temps

Vite

s

6.0 ProblématiqueLa direction variable du vent est associée aux changements de situations météorologiques et aux t b lturbulences

Directions des vents à Longeville du 3.12.02 au 19.12.02

200240280320360

ion

[°]

04080

120160

03.12.2002 08.12.2002 13.12.2002 18.12.2002Temps

Dire

ct

121

6.0 ProblématiqueLa vitesse des rafales est, en Suisse, environ le double de la vitesse moyenne :

Rafales à Longeville du 3.12.02 au 19.12.02

15

20

25

30

ale

[m/s

]

0

5

10

03.12.2002 08.12.2002 13.12.2002 18.12.2002Temps

Raf

a

45

50

55

60

Station ANETZ 1: La Dole, mesures de 1979 à 2001.Vitesses moyennes [m/s] sur 10 minutes,basé sur les valeurs extrêmes annuelles.

MesuresGumbel

V l d

20

25

30

35

40

45

Vite

sse

[m/s

]

Valeur annuelle

Valeur de dimensionnement 1.2 fois V 50 = 57 m/s

14 Fachtagung VKF 17 septembre 2009Gebäudeschutz gegen wind

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

5

10

15

20

−ln(−ln(1−1/T))

© EPFL−LASEN 18−Jul−2002 − NbVal 23, VSeuil 5.00 m/s, moindres carrees: y = 31.31 + 4.26*x

Vitesse pour la période de retour T=30 ans: 45.7 m/sVitesse pour la période de retour T=50 ans: 47.9 m/s

Valeur annuelle V 1an = 26 m/s en moyenne 10 minutes

122

La pression dynamique est proportionnelle au carré de

6.0 Problématique

La pression dynamique est proportionnelle au carré de la vitesse

q=ρ V2 / 2

Il y a donc un facteur 16 entre la charge due au vent lors d’une tempête annuelle ressentie en moyenne et la rafale de dimensionnement

6.0 ProblématiqueLe vent peut devenir un cas de charge critique suite à la diminution du poids propre et à l’augmentation d l’él t d t tde l’élancement des structures :

123

6.0 ProblématiqueEn conclusion, la nature et l’ampleur des dégâts peuvent être très différentes :

- soulèvement total ou partiel de toitures- arrachement de façades- rupture par fatigue d’éléments, ou de

l’ensemble d’une construction, sollicités par des vibrations entrant en résonance avec l’action du ventl action du vent

- dégâts secondaires induits par l’impact de débris volants emportés par le vent

6.0 ProblématiqueL’ingénieur doit assurer la sécurité structurale de l’ouvrage au cours de sa durée de vie, c’est-à-dire

’il f t à t t i t tqu’il faut à tout instant que :

R ≥ E

L’ingénieur doit aussi assurer l’aptitude au service.

124

6.1 Notions de baseLe vent a pour origine les différences de pression induites par les différences de températures à la

f d l T C diffé d isurface de la Terre. Ces différences de pression produisent la circulation générale des masses d’air autour de la Terre.

Hurricane LindaSource : Nasa

125

6.1 Notions de baseLes masses d’air s’écoulent sur la surface du globe. Au contact de la surface immobile, il se forme la

h li it t hé icouche limite atmosphérique :Source : document Do188, SIA 261

6.1 Notions de baseLe frottement de l’air sur les obstacles provoque de la turbulence dans la couche limite atmosphérique.

L’influence du sol se fait sentir à plus grande hauteur lorsque les obstacles sont plus grands.

La dimension des tourbillons augmente avec la taille des obstacles.

126

6.1 Notions de baseLa diminution de la vitesse proche du sol est associée à une augmentation de l’intensité de la t b lturbulence :

6.1 Notions de baseL’intensité de la turbulence est définie par le rapport entre l’écart-type des fluctuations de la vitesse du

t t l itvent et la vitesse moyenne :

VI σ

=

127

6.1 Notions de baseLe spectre du vent montre que les différentes tailles des tourbillons se mélangent en continu :

6.1 Notions de basela répartition des diamètres des tourbillons suit

une loi universelle (décroissance en e-5/3γ)- le spectre est fonction de la vitesse moyenne

du vent et de la taille des tourbillons les plus énergétiques

- la taille des tourbillons les plus énergétiques ne dépend que de la rugosité, cette taille est appelée l’échelle de la turbulence

128

6.1 Notions de baseIl existe toujours une fréquence dans la turbulence qui entrera en résonance avec la ou les f é ( ) d l t tfréquence(s) de la structure.

6.1 Notions de baseL’influence de la topographie se manifeste par une modification de la forme du profil de vitesse

O b ti li dmoyenne. On observe, en particulier, des survitesses au-dessus des reliefs, soit aux sommets des collines et des montagnes.

129

6.1 Notions de baseL’ingénieur doit assurer la sécurité structurale pour une construction, sur sa durée de vie, en sachant

l’é ilib t l t tque l’équilibre est rompu ou que la rupture est atteinte si les charges dépassent la résistancedurant un bref instant.

6.2 Modélisation du vent6.2.1 Principes

Démarche retenue dans la norme SIA 261 pour la dét i ti d h d tdétermination des charges de vent :- définition des actions dues au vent pour assurer

la sécurité structurale et l’aptitude au service- charges de remplacement quasi-statiques pour

tenir compte de l’action instantanée la plus forte de la variation temporelle due au vent

- interaction et effets dynamiques par calcul- interaction et effets dynamiques par calcul spectral

130


Approche en deux étapes, en fonction du t t d t tcomportement des structures :

- Approche quasi-statique du vent pour les structures indéformables et immobiles

- Approche d’interactions dynamiques pour les structures se déplaçant sous l’action du vent

Le modèle de la norme SIA 261 est basé sur une approche semi-empirique de la partie quasi-statique des effets du vent lorsque la partie dynamique est négligeable, soit pour la grande majorité des constructions.


Principe de calcul des charges de vent selon la SIA 261norme SIA 261 :

C’est-à-dire: multiplication d’une pression de référence par des facteurs tenant compte de

k p ref f red dQ q A c c c= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

référence par des facteurs tenant compte de l’influence de la géométrie de la construction, de l’environnement et des caractéristiques mécaniques de la structure

131

6.2 Modélisation du vent6.2.2 Modélisation des pressions

La vitesse du vent, variable en fonction de la h t d d d l t déli éhauteur de mesure au dessus du sol, est modélisée par la pression dynamique qp:

q : pression dynamique de référence

pohp qcq ⋅=

qpo : pression dynamique de référencech : coefficient de hauteur tenant compte de la

hauteur au dessus du sol et des différences de rugosité de ce sol


La pression dynamique qp est définie comme la i i ’ tit f l épression qui s’exerce sur une petite surface placée

perpendiculairement à l’écoulement et arrêtant le filet fluide :

132


- Ce sont les rafales qui doivent être prises en comptes et non les vitesses moyennes.

- La période de retour doit être supérieure à la durée de vie de l’ouvrage.


Valeur de référence de la pression dynamique qp0 :

133


La carte représente la pression dynamique des rafales cinquantennales.Elle est basée sur des mesures de ces rafales durant plus de 20 ans.La période de retour est la même que celle qui estretenue pour l’Eurocode II.


Le coefficient du profil de répartition ch exprime la i ti d l i d i d dvariation de la pression dynamique au-dessus du

sol pour différentes rugosités de sol :

ch =1.6 ⋅zzg

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

α r

+ 0.375⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

2

Il vaut ch = 1 à 10 m au-dessus du sol pour la catégorie de terrain rural. Les grandeurs αr et zgsont caractéristiques des différentes rugosités. Elles sont constantes pour un profil donné.La norme SIA 261 définit 4 catégories de terrains.

134


Le coefficient du profil de répartition du vent ch :


Le coefficient de pression cp caractérise la variation d l i à l f d’ é àde la pression à la surface d’un corps exposé à un fluide en mouvement:

L’exemple ci-contremontre le cas théoriquede la répartition des pressions autour d’unpressions autour d uncylindre circulaire calculé pour un écoulement à potentiel de vitesse

135


Le coefficient de pression cp est le rapport entre la ppression p en un point d’une surface et la pression dynamique qp:

En toute logique, il faut que la pression dynamique soit calculée avec la vitesse de la rafale et non pas

pp q

pc =

soit calculée avec la vitesse de la rafale et non pas avec la vitesse moyenne.La pression s’exerce sur l’enveloppe des constructions. Elle est de signe positif lorsqu’elle agit en direction de la paroi.


Le coefficient de pression cp pour le cas d’un é l é l d’ li d i l iécoulement réel autour d’un cylindre circulaire :

136


Comparaison de la géométrie de l’écoulement d’ li d é l d’ li dautour d’un cylindre carré avec le cas d’un cylindre

circulaire. Les détachements de l’écoulement,soit les points de séparation, se fixentsur l’arrête du carrésur l arrête du carré. Ils ne sont pas fixessi la forme est circulaire :

137


La géométrie de l’enveloppe des coefficients de i d’ i lpression cp autour d’une construction est complexe :

6.2 Modélisation du vent6.2.3 Modélisation des forces

L’action du vent sur la structure est à chaque instant la moyenne spatiale des pressions sur l’ensemble de l’enveloppe.

138


Le coefficient de force cf :

Où F [N] est la force exercée par le vent sur l’ensemble de l’ouvrage C’est aussi l’intégrale des

c f =F

qp ⋅ A

l ensemble de l ouvrage. C est aussi l intégrale des pressions.

Le coefficient de force dépend de la géométrie de l’ouvrage et de la direction du vent.


- Pour le calcul des forces sur une façade ou sur un mur extérieur, il faut tenir compte des pressions intérieures.

- Les forces sont calculées par intégration des pressions ou avec des coefficients de force.

- Le coefficient cred permet de tenir compte de l’effet du moyennage des pressions par la y g p psurface de la paroi.

- Plus la surface est grande plus la force diminue.

139


Le facteur de réduction cred :

prend en compte la répartition spatiale des pressions exercées par le vent et dépend ainsi de la géométrie et de la hauteur de la structure en question


Le facteur de réduction cred :

140

6.2 Modélisation du vent6.2.4 Effets dynamiques

Les mouvements de la structure qui interfèrent avec la turbulence des écoulements sont appelés effets dynamiques.

Le facteur dynamique cd:prend en compte la résonance de la structure porteuse avec la turbulence agissant dans laporteuse avec la turbulence agissant dans la direction du vent et perpendiculairement à celui-ci. Il dépend de la fréquence propre, du mode associé et de l’amortissement de la structure porteuse.


Méthode spectrale pour leq

Cf*A

Méthode spectrale pour le calcul des interactions dynamiques

52

K

δ

141



Actions dynamiques du vent sur les constructions :Phénomènes entretenus

2max ( , , , )P f V D Fϕ=

Effo

rts m

ax.

Effo

rts m

ax.

2max ( , , )P f V Fξ=

142


Phénomènes entretenus (suite)

Phénomènes auto-excités (divergents)

.sS VD

n =

Effo

rts m

ax.

2max ( , , )c AP f V Fξ=

0

0yx

CC

αα

=

∂+ <

∂


Phénomènes auto-excités (divergents)

2

0

2

Mc

KCD

V α

αρ

α=

≅∂∂

143

6.3 LimitationsParticularités importantes:

- Les normes SIA 261 et 261/1 ne donnent aucunes informations sur les calculs dynamiques

- Ces informations sont publiées dans le commentaire à cette norme (D0 188)

- Les normes SIA 261 et 261/1 sont par principe compatibles avec les Eurocodes, en particulier p pl’ENV II.

- La formulation est celle de la méthode dite simplifiée de cette norme européenne.


- Période de retour des rafales considérées: 50 ans, selon l’analyse faite pour la norme SIA160, 30 ans et γ=1.5 suffisent à ramener la période de retour à 120 ans

- Dans la norme suisse, les coefficients cp et cfconsidèrent des géométries simplifiées des bâtiments.

- Les coefficients cp et cf permettent de traiter presque tous les cas, car les géométries sont représentatives du parc de bâtiments Suisse.

144


- La prise en compte de différents effetsdynamiques n’est pas considéré dans les normes mais précisée dans le commentaire.

- débris volants

6.3 LimitationsLa norme SIA 261 ne s’applique pas aux ouvrages exceptionnels, tels que :- ouvrages de géométrie particulière- ouvrages construits sur des sites exposés- structures dynamiquement sensibles (Ponts

haubanés et suspendus, cheminées)- très grandes toituresou des ouvrages soumis à des interactions ouou des ouvrages soumis à des interactions ou interférences avec d’autres constructions.

La norme SIA 261 n’est applicable que pour des constructions dont la hauteur ne dépasse pas 200 m

145

6.4 Exemples6.4.1 Lothar (26.12.1999)

- une tempête exceptionnelle- selon l’OFEFP des tempêtes aussi violentes se

produisent tous les 13 ans- la période de retour en un point géographique est

supérieure à 50 ans- à notre connaissance cet ouragan n’a provoqué,

en Suisse, aucun dégât de structuresen Suisse, aucun dégât de structures- de très nombreux dégâts au second œuvre, pour

quelques milliers de francs par sinistre- au total les dégâts aux bâtiments se chiffrent à

600 Mio de francs

6.4 Exemples6.4.1 Lothar (26.12.1999), exercice

Selon le rapport de l’OFEFP on peut lire :- Les vitesses de pointe des vents ont même

franchi le seuil des 140 [km/h] dans les vallées, à Delémont elles ont atteint 170 [km/h] et 181 km/h à Brienz.

- En montagne, on a enregistré des vitesses de pointe de 230 km/h sur le Säntis et de 249 [km/h] sur le Jungfraujoch.

Que représentent ces vitesses par rapport à la norme SIA 261 ?

146

6.4 Exemples6.4.1 Lothar (26.12.1999)

Sécurité du calcul SIA face aux vitesses mesurées :

EndroitVitesse en km/h

Vitesse en m/s

Pression dynamique KN/m2

Pression dynamique de la carte KN/m2

Avec Gamma 1.5 Sécurité

Vallées 140 39 0.907 0.9 1.35 1.49Delémont 170 47 1.338 0.9 1.35 1.01Brienz 181 50 1.517 1.3 1.95 1.29Säntis 230 64 2.449 1.1 1.65 0.67

3.3 4.95 2.02Jungfrauhoch 249 69 2.870 3.3 4.95 1.72

6.4 Exemples6.4.2 Réponse d’un pont haubané

Spectre de réponse d’un pont haubané :

147


Comparaison entre le spectre de déplacement mesuré en soufflerie et le même spectre calculé à l’aide de la méthode spectrale :

Calculated

M easured1.000

10.00

f S F

F

b.

σ 2

(a)

0.010

0.10 1.00

0.001

0.100

f du

0.010


- mensuration en soufflerie de la réponse aérodynamiquecalcul de la réponse mécanique à l’aide des- calcul de la réponse mécanique à l aide des codes numériques de calculs de structures généralement par la méthode des éléments finis

- calcul des spectres de déplacements et de contraintes par produit du spectre du vent par les réponses aérodynamiques et mécaniques

- intégration des spectres de contraintes pour g p pobtenir

- les valeurs maximales des contraintes à comparer avec la résistance ultime des sections

148

6.4 Exemples6.4.3 Douane de Boncourt

Film

6.8 Résumé- vérifier la sécurité structurale et l’aptitude au

service vis-à-vis du ventSIA 261 déli ti b é- SIA 261 : modélisation basée sur une approche semi-empirique de la part quasi-statique des effets du vent

- avoir conscience des limitations des normes

149

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