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Dynamique des structures Régime forcé harmonique Pr. Karim Houmy Département Energie et Agroéquipement IAV Hassan II

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Dynamique des structures

Régime forcé harmonique

Pr. Karim Houmy

Département Energie et Agroéquipement

IAV Hassan II

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Le régime forcée harmonique est le comportement de l’oscillateurélémentaire soumis à l’action d’une force extérieure harmonique pure

L’équation du mouvement est la forme

La solution de cette équation est la somme de la solutioncomplémentaire de l’équation homogène avec p(t) = 0 et de lasolution particulière de l’équation non homogène, donc liée à la chargep(t) soit

Régime forcé conservatif

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Régime forcé conservatif

Le régime forcé est conservatif quand c=0. L’équation du mouvement devient :

La solution complémentaire est la réponse en régime conservatif libre

Cherchons une solution particulière de la forme

Nous supposons donc que le mouvement est harmonique, de même fréquenceque la force extérieure harmonique et en phase avec elle.De plus, nous supposons que la pulsation naturelle du système n’est pas

présenté dans l’expression de la solution particulière.

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Régime forcé conservatif

Dans laquelle on a tenu compte du fait que ଶ

. Définissons la pulsation relative

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Régime forcé conservatif

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Régime forcé conservatif

A = 0

La solution générale de l’équation s’écrit

Et la vitesse s’obtient par dérivation de

Pour des conditions initiale = t = 0 au repos, c’est-à-direon déduit les constantes d’intégration A et B

La solution complète devient

Oùଵ

ଵఉమ= amplitude dynamique

௦௧ = déplacement dû à l’amplification statique de la force

= composante du déplacement total ayant la fréquence de la chargeappliquée, appelée aussi régime forcé harmonique

= composante du déplacement total ayant la fréquence naturelle dusystème, appelée aussi régime libre transitoire

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Régime forcé conservatif

Pour ߚ = 1, ݐ =

. On peut cependant calculer le déplacement u(t) par la règle de l’Hospital

lim௫→

(ݔ)

(ݔ)= lim

௫→

ᇱ(ݔ)

ᇱ(ݔ)

limఉ→ଵ

ݐ = limఉ→ଵ

ݐ −ݐߚݏ ݐݏ

ߚ2−=

1

2−ݐݏ) ݐ ݏ (ݐ

Donc, après avoir remplacé ഥ� ߚ�ݎ , nous obtenons

Rଵ

ଵఉమ

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Régime forcé conservatif

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Régime forcé dissipatifଶ

Dont la solution complémentaire est la réponse en régime dissipatif libre del’équation homogène sans second membre

కఠ௧

. Nous cherchons une solution particulière de la forme

ଵ ଶ

Où il est nécessaire d’avoir deux constantes d’intégration parce que, dans lecas d’un système amorti, il a en général deux inconnues, l’amplitude etl’angle de phase. La vitesse est obtenue par dérivation

ଵ ଶ

Et l’accélération s’exprime

ଵଶ

( ଶଵ ଶ + ଵ

ଶଶ

ଶଵ ଶ

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Régime forcé dissipatifPar identification des termes en et cos on obtient les deux équationssuivantes :

ଶଶ ଶ

( ଵଶ ଶ

D’où on obtient les constantes ଵ et ଶ

ଶ ଶ ଶ ଶ

ଶ ଶ ଶ

La solution complète est la somme de la solution complémentaire etde la solution particulière et est donnée par :

కఠ௧

ଵఉమ మା ଶకఉ మଶ )

Où le premier terme correspond au régime transitoire qui disparaît

rapidement à cause du terme కఠ௧ et le deuxième terme correspond aurégime libre permanent. Les constantes A et B de la partie transitoire de laréponse totale peuvent être évaluées pour des conditions initiales données.

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Régime forcé dissipatifSoient ݑ Ͳ (0)ݑ�ݐ� le déplacement initial et la vitesse initiale, les constantes A et B valent :

ଶ ଶ ଶ

ଶ ଶ

ଶ ଶ ଶ

On ne s’intéressera dans le reste de cette partie qu’à la partie permanente de laréponse après disparition des termes transitoires due à l’amortissement du système.La réponse permanente s’écrit :

ሺଵఉమ)మା ଶకఉ మଶ )

కఠ௧

ଵఉమ మା ଶకఉ మଶ )

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Régime forcé dissipatif

ଶ ଶ ଶ

ଵ ଵ

ଵଶ

Et l’angle de phase est le retard de la réponse par rapport à la force appliquée

Dଵ

(ଵఉమ)మା(ଶకఉ)మ

(ଵఉమ)మା ଶకఉ మଶ )

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Régime forcé dissipatif

Dଵ

(ଵఉమ)మା(ଶకఉ)మ

Regardons les deux paramètres D et

ଵଶ

D est le facteur dynamique d’amplification ௫

st le déphasage de la réponse des déplacements au chargement

Ces termes dépendent de

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Régime forcé dissipatif

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Régime forcé dissipatifRégime permanent du à une force cosinus

L’équation du mouvement de l’oscillateur en régime forcé dissipatif est la suivante :

ଵ ଶ

La solution particulière est similaire à l’équation

Et les constantes sont

ଶ ଶ ଶ ଵ

ଶ ଶ ଶ

ଵఉమ మା ଶకఉ మଶ )

La réponse permanente peut aussi s’exprimer

Dans laquelle et sont donnés par బ

(ଵఉమ)మା(ଶకఉ)మet

ଵ ଶకఉ

ଵఉమ