ds plaque plast dec 2005 correc

Plaque & Plasticit / M1

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ds_plaque_plast_dec_2005_correc.doc - 1 - Laurent BAILLET / UFR Mcanique UJF Grenoble

Examen crit du 16 Dcembre 2005 DUREE 3h00

Avertissements et conseils Le barme de chaque problme est approximatif.

La prsentation, la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements entreront

pour une part importante dans lapprciation de la copie.

Lisez attentivement le sujet avant de commencer et grez votre temps !

Aucune copie ou feuille ne sera prise en compte ds que lexaminateur aura quitt la salle

dexamens.

Problme I (8 pts)

But : Etudier le comportement lasto-plastique dun cylindre soumis extrieurement une pression.

On considre un cylindre de rayon intrieur ir , de rayon extrieur 0r et de longueur infinie

suivant z (cf. figure 1). On notera le rapport des deux rayons : i

0

r

r= . Le cylindre est soumis

une pression uniforme de compression 0p (on prendra 0p >0) sur son rayon extrieur 0r .

Figure 1 : Modle du cylindre.

Les caractristiques du cylindre sont dcrites ci-dessous :

E module dYoung ; =0.3 coefficient de Poisson.

1. Donner lexpression du dplacement radial ru en fonction de E, , , r .

2. Donner lexpression des contraintes , r sachant quelles drivent de la fonction dAiry

2CrrlnA += avec dr

d

r

1r

= et

2

2

dr

d = .

3. Reprsenter graphiquement les composantes non nulles du tenseur des contraintes pour 3= .

p0

ri

r0

p0

ri

r0


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4. Dterminer en utilisant le critre de Tresca la valeur limite de p0 pour laquelle une zone du

cylindre se plastifie. Les rsultats seront donns en fonction de la limite dcoulement 0 du

matriau en traction.

Commenter la valeur du rapport 0

0p

.

5. Mme question que 4. mais avec le critre de Von-Mises.

En augmentant la pression externe et en supposant que le matriau a un comportement

parfaitement plastique, la zone plastique stend dans le cylindre. Supposons que la pression

externe soit telle que la zone plastique ait atteint un rayon rp, )rrr( 0pi ).

Montrer que : p

0rr lnp

==

.

En dduire les expressions des contraintes r et dans la zone lastique en fonction de

.r,r,p,p,,, 00pp0

10. Calculer en fonction de p0 ,, la valeur de la pression externe 0p responsable de la plastification locale du cylindre jusquau rayon .rp

Application numrique : 2p = et 3=


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Problme II (3 pts)

La figure 2 reprsente deux tapes de lemboutissage dune tle. Les pices sont symtriques par

rapport laxe z et sont supposes avoir une profondeur (axe y) suffisamment importante pour

appliquer les hypothses de dformations planes.

La figure 2.a reprsente la tle plane avant emboutissage. A la fin de lemboutissage (figure 2.b), la

tle est coince entre le poinon, la matrice et le serre-flanc.

1. Quel est le rle du serre-flanc lors de cette opration demboutissage ?

2. On utilise deux tles dont les comportements sont respectivement rigide parfaitement plastique

(tle I) et lastique avec un crouissage linaire (tle II). Pour chaque tle (I & II), esquisser sa

forme une fois libre des contraintes de contact dues au poinon, la matrice et au serre-flanc.

Donner pour les deux dessins, les valeurs des angles , , par rapport langle droit (par exemple : >90, >90,


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Problme III (6 pts & 3 pts)

Les deux parties de ce problme sont indpendantes.

But : Calculer la flche et les contraintes dans une plaque circulaire charge transversalement et

appuye extrieurement.

Une plaque circulaire, en appui sur son contour extrieur, est charge transversalement et

uniformment par une pression q (cf. figure 3.).

Les caractristiques de la plaque sont dcrites ci-dessous :

E module dYoung ; coefficient de Poisson h paisseur, a rayon de la plaque,

D la rigidit de flexion de la plaque.

Figure 3. Plaque circulaire de rayon a, charge transversalement et appuye extrieurement.

Partie I

I.1. A partir de lexpression de leffort tranchant Qr exerc sur un cercle de rayon r, montrer que

lexpression de la flche verticale est la suivante

)CrlnB4

rA

32

r(

D2

qw

24

+++=

o A, B et C sont des constantes.

I.2. Justifier que la constante B est nulle.

I.3. Donner les conditions aux limites permettant de dterminer les constantes A et C dans

lexpression de la flche. Calculer A et C en fonction de , a.

I.4. Montrer que lexpression finale de la flche peut se mettre sous la forme

))1(

)5(

a

r

)1(

)3(2

a

r(

D64

qaw

2

2

4

44

+

++

+

+= .

En dduire la valeur de la flche maximale.

Application numrique : Calculer la valeur de la flche maximale avec

D=146520Nmm, =0.3, a=500mm, q=10-3 MPa.

I.5. Donner les expressions des contraintes r et ainsi que de leur maximum maxr et max .

Tracer r et .

z

r

qh

2a


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Partie II

Dans cette partie, on utilise lapproche nergtique pour le calcul de la flche w de la plaque

circulaire charge transversalement (cf. figure 3.).

On se place dans les hypothses de Kirchhoff, c'est--dire que le cisaillement transverse est nglig

( 0== yzxz ). La plaque est suppose avoir un comportement linaire lastique.

II.1. Donner lexpression de lnergie de dformation U en coordonnes polaires.

II.2. On suppose que lexpression de la flche est

a2

rcosC)r(w

pi= ,

o C est la constante dterminer.

Le chargement q(r, )=q tant constant sur toute la plaque, montrer que le travail des forces extrieures Wext sur la plaque scrit

)2(qCa4

W2

ext = pipi.

II.3. Aprs calcul, on montre que lnergie de dformation U scrit

)a64/()168)(Ci8ln84( C DU 2232 pipipipi +++=

o =

=

pipipi

0t1)/tdt-(cos(t)+ )ln( + )(Ci et ))nln(

i

1(lim

n..1in

= =

. est la constante dEuler et

)(Ci pi est lintgrale cosinus.

En prenant les valeurs numriques de la question I.4. on trouve 2C 6.773629U = .

En dduire les valeurs de C et de la flche maximale.

II.4. Comparer et commenter cette valeur de la flche maximale par rapport celle de la question

I.4. Ecrire les conditions aux limites sur le bord de la plaque et vrifier si elles sont satisfaites.

Commenter.


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___________________________________ CORRECTION _______________________________

Problme I

Remarque : un exercice similaire (pression interne dans un cylindre creux) a t trait en travaux

dirigs. De nombreux rsultats issus de ce TD sont donc repris dans cette correction sans les

dmonstrations.

1. 0rrirrrr p ; p ; 0u 0i0 === === ;

0

0

u

u

rr

; problme en dformations planes.

))((E

rru zrr +== et )( rz += .

Do ))1()1((E

ru r

2

r +=

2. On a C2r

A2r

+= et partir de 0irr

==

et 0rr p0 == on obtient les expressions en

dformations planes :

)r

r9(

8

p)

r

r(1

p2

2

00

2

2

02

2

0

r

=

=

, )r

r9(

8

p)

r

r(1

p2

2

00

2

2

02

2

0 +

=+

=

et 4

p9

1

p2)( 0

2

2

0

rz

=

=+= .

3. Reprsentation graphique des contraintes.

0rr p0 == , 4

p5 0)rr( 0

== ,

4

p9 0)rr( i

== et 0

0z p675.0

4

)3(.p9=

= .

Remarque : zr = pour 0r527.0r = .

-p0r

z

4

p9 0

0p675.0

4

p5 0

-p0r

z

4

p9 0

0p675.0

4

p5 0


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4. Critre de Tresca : on voit immdiatement que la contrainte de cisaillement maximale est pour

r=ri , rz ,, tant les contraintes principales.

00r p4

9 == , c'est--dire 000 44.0

9

4p == .

5. Critre de Von-Mises : on vrifie (trac ou tude de fonction) que la contrainte quivalente de

Von-Mises est maximale aussi en r=ri. On trouve partir de

[ ] 22r2r2r 0)()()(21

=++ 00 5.0p =

Autre mthode : on utilise la relation entre la limite dcoulement de Tresca et celle de Von-Mises

MisesTresca

00 3

2 = do MisesMises

00 3

244.0p =

6. A partir de

=

+

==

0rdr

d rr

0rr

on obtient en intgrant Arln0r += .

7. La valeur de A est obtenue sachant que 0irr

==

, donc

Arln0r += Arln0 i0rr i +=== i0 rlnA += .

8. Finalement dans la zone plastique r

rln i0r = et de la contrainte circonfrentielle

0r = .

9. En r=rp on cherche obtenir la valeur de prr pp == .

On a donc : p

0

i

0

0

p

0

i

p

0prr lnr

r

r

rln

r

rlnp

p

=====

.

10. Dans la zone lastique,

= )r

r(p)

r

r1(p

1

12

2

02

p02

2

0

p2

p

r et

++

= )r

r(p)

r

r1(p

1

12

2

02

p02

2

0p2

p

.

On en dduit quau rayon r=rp, si on est la limite de la plasticit

( 0rrrrrr pppp == ==== ) que :

)ln2

1(p

2

1p

p

2

p

2

p

0p2

p

2

p

00

+

=+

= .


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On trouve pour 2p = et 3= : 0p2p

2

p

00 78.0p2

1p

=+

= .


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Problme II

1. Le serre-flanc permet de maintenir durant lopration langle a une valeur de 90.

2.

Tle libre

z

x>90

=90

>90

Tle maintenueTle libre

z

x>90

=90

>90

Tle maintenue


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Problme III

Partie I

I.1. La force quivalente suivant z une pression q pour un rayon variant de 0 r est donne par

22

r

0qr

2

rq2rqdr2F pipipi === , do lquation dquilibre suivant z est donne par

02

rq2rQ2FrQ2

2

rr =+=+ pipipi c'est--dire 2

rqQr = .

Sachant que 2

qr)w

dr

dr

dr

d

r

1(

dr

dDQr == , on en dduit aprs intgration lexpression de la

flche verticale

D2

qr)w

dr

dr

dr

d

r

1(

dr

d=

)Ar2

r(

D2

qw

dr

dr

dr

d 3+=

)B2

rA

8

r(

D2

qw

dr

dr

24

++=

)r

B

2

rA

8

r(

D2

qw

dr

d 3++=

)CrlnB4

rA

32

r(

D2

qw

24

+++=

o A, B, C sont les constantes dintgration.

I.2. La flche doit tre finie en son centre (r=0), la constante B est donc nulle.

I.3. Les deux conditions sont : 0w ar == et 0)r

w

rr

w(DM

2

2

)ar(r=

+

==

.

0w ar == 0C4

Aa

32

a0

24

=++=

)2

rA

8

r(

D2

q

r

w 3+=

et )2

A

8

r3(

D2

q

r

w 2

2

2

+=

ar

32

ar2

2

))2

rA

8

r(

r)

2

A

8

r3((0)

r

w

rr

w(

==+++==

+

)1(4

)3(aA

2

+

+= et donc

)1(32

)5(aC

4

+

+= .

I.4. Immdiat ))1(

)5(

a

r

)1(

)3(2

a

r(

D64

qaw

2

2

4

44

+

++

+

+=

La flche maximale est donne pour r=0 (centre de la plaque) : mm1728.27)1(

)5(

D64

qaw

4

max =+

+=


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I.5. On calcul : )ra)(3(h4

qz3

12

h

zM 2233

rr +== ; [ ]2233 r)31(a)3(h4

qz3

12

h

zM ++== ,

et 2

2

rh

qa)3(

8

3maxmax

+== .

Partie II

II.1 Lnergie de dformation en coordonnes cartsiennes scrit

+

=S

22

2

2

2

22

2

2

2

2

dS))yx

w(

y

w

x

w)(1(2)

y

w

x

w(

2

DU .

Pour une gomtrie et un chargement symtrique, on a vu que

2

2

2

2

dr

(.)d

x

(.)=

; dr

(.)d

r

1

y

(.)2

2

=

; yx

w2

=0,

on trouve donc

= =

+

=a,0r 2,0 2

22

2

2

rdrd]r

w

r

w

r

1)1(2)

r

w

r

1

r

w[(

2

DU

pi

II.2. Le travail des forces extrieures est donn par

)2(qCa4

rdrda2

rcosCqrdrd)r(qwW

2

a,0r 2,0a,0r 2,0

ext === = == =

pipi

pipipi

Une intgration par partie avec a2

rsin

a2u

a2

rcosu

pi

pi

pi==& et 1vrv == & permet de trouver le

rsultat ci-dessus.

II.3. Lnergie potentielle totale est donc

)2(qCa4

6.773629cw-UE2

2

extp == pipi.

Le minimum de lnergie potentielle est donc obtenue en la drivant par rapport C

0)2(1000

.547258c31w-UC

Eext

p===

pipi

do mm8231.26C =

II.4. Les conditions aux limites sont

0)ar(w == et 0)r

w

rr

w()ar(M

2

2

r =

+

==

.


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La premire condition est vrifie mais pas la seconde. En effet on trouve que le moment

flchissant est non nul au niveau de lappui. Mais, comme on peut le voir graphiquement ci-

dessous, lapproximation de la flche par une fonction cosinus dans ce cas donne de bons rsultats.

Flche (partie II)

Moment flchissant Mr (partie II)

Flche (partie I)

Moment flchissant Mr (partie I)


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FICHIER MAPLE navier_somme_axisy.mws

> restart; Choix de deux fleches

> w:=(r,c)->c*cos(Pi*r/2/ray); := w ( ),r c c

cos

1

2

pi r

ray

> w:=(r,c)->c*q*ray^4/(64*DD)*(r^4/ray^4-2*(3+pois)/(1+pois)*r^2/ray^2+(5+pois)/(1+pois));

:= w ( ),r c1

64

c q ray 4

+ r4

ray 42 ( ) + 3 pois r2

( ) + 1 pois ray 2 + 5 pois + 1 pois

DD

Travail des forcesw exterieures

> wef_ext:=int(int(r*q*w(r,c),r=0..ray),teta=0..2*Pi); >

:= wef_ext + q2 c ray 6 pi

192 DD

q2 c ray 6 ( ) + 3 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

q2 c ray6 ( ) + 5 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

Energie de deformation

> ener:=DD/2*int(int (r *( ( diff(w(r,c),r,r)+ 1/r*diff(w(r,c),r) )^2 -2 *(1-pois) * (diff(w(r,c),r,r) * 1/r*diff(w(r,c),r))),r=0..ray),teta=0..2*Pi);

:= enerq2 c2 ray6 ( ) + pois 7 pi384 DD ( ) + 1 pois

Energie potentielle totale

> enerpottot:=-wef_ext+ener;

enerpottotq2 c ray6 pi

192 DD

q2 c ray 6 ( ) + 3 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

q2 c ray6 ( ) + 5 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

+ :=

q2 c2 ray6 ( ) + pois 7 pi384 DD ( ) + 1 pois

+

Derivee de l energie potentielle totale par rapport a C

> enerpottotc:=unapply(enerpottot,c);

enerpottotc c1

192

q2 c ray6 pi

DD

1

64

q2 c ray 6 ( ) + 3 pois piDD ( ) + 1 pois

+ :=

1

64

q2 c ray 6 ( ) + 5 pois piDD ( ) + 1 pois

1

384

q2 c2 ray6 ( ) + pois 7 piDD ( ) + 1 pois

+

> derivee_enpot:=diff(enerpottotc(c),c); derivee_enpot :=

+ + q2 ray 6 pi

192 DD

q2 ray 6 ( ) + 3 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

q2 ray 6 ( ) + 5 pois pi64 DD ( ) + 1 pois

q2 c ray 6 ( ) + pois 7 pi192 DD ( ) + 1 pois

Resolution pour trouver C

> fleche:=solve(derivee_enpot=0,c); := fleche 1

>

> q:=10^(-3);DD:=146520.15;ray:=500;pois:=0.3; >

:= q1

1000


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:= DD 146520.15 := ray 500 := pois 0.3

> evalf(fleche); 1.

>

> evalf(Ci(Pi));evalf(gamma); >

0.07366791192 0.5772156649

>

> evalf(w(0,fleche)); >

27.17285092

solution exacte

> pois:=0.3 ; q*ray^4/(64*DD)*(5+pois)/(1+pois); >

:= pois 0.3 27.17285091

>

> plot(w(r,fleche),r=0..ray);

> plot( (diff(w(r,fleche),r,r)+ pois/r*diff(w(r,fleche),r)),r=0..ray);

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