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DS n° 4 Terminale S 733 11/01/2016
Mathématiques
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Exercice 1 ( 10 points )
Partie A
Soit g la fonction définie sur [0; +∞[ 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥𝑒𝑥 + 1
1) Déterminer la limite de g en +∞
2) Dresser le tableau de variations de la fonction g
3) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞[ . On note a
cette solution . Donner un encadrement de a à 0,01 près
4) Démontrer que :
𝑒𝑎 =1
𝑎 − 1
5) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x
Partie B
Soit h la fonction définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que :
ℎ(𝑥) =4𝑥
𝑒𝑥 + 1
Etudier le sens de variations de h
Partie C
On considère la fonction f définie et dérivable sur [0; +∞[ telle que
𝑓(𝑥) =4
𝑒𝑥 + 1
On note C sa courbe dans un repère orthonormé (𝑂; 𝑖; 𝑗) . La figure est donnée ci-dessous .
Pour tout réel positif ou nul x , on note : M le point de C de coordonnées (x ;f(x)) , P le point
de coordonnées (x ;0) , Q le point de coordonnées (0 ;f(x))
1) Démontrer que l’aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse a (
défini dans la partie A)
2) Toute trace de recherche même incomplète , ou d’initiative même infructueuse , sera
prise en compte dans l’évaluation
Dans cette question , on suppose que M a pour abscisse a . La tangente T en M à C est-elle
parallèle à la droite (PQ) ? Justifier
DS n° 4 Terminale S 733 11/01/2016
Mathématiques
Exercice 2 ( 7 points )
Dans un zoo , l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé
d’un toboggan et d’un plongeoir .
On a observé que si un manchot choisit le toboggan , la probabilité qu’il le reprenne est 0,3 .
Si un manchot choisit le plongeoir , la probabilité qu’il le reprenne est 0,8 . Lors du premier
passage , les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis .
On note : 𝑇𝑛 l’événement « le manchot choisit le toboggan lors de son nième passage »
𝑃𝑛 l’événement « le manchot utilise le plongeoir lors de son nième passage »
𝑢𝑛 = 𝑝(𝑇𝑛) c'est-à-dire la probabilité de l’événement 𝑇𝑛
1) Donner les probabilités : 𝑝(𝑇1) , 𝑝(𝑃1) , 𝑝𝑇1(𝑇2) 𝑒𝑡 𝑝𝑃1
(𝑇2)
2) Calculer 𝑝(𝑇2)
3) Montrer que pour tout entier naturel n non nul , 𝑢𝑛+1 = 0,1𝑢𝑛 + 0,2
4) Emettre une conjecture concernant la limite de la suite (𝑢𝑛) en utilisant la calculatrice
5) On considère la suite (𝑣𝑛) définie par :
𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 −2
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a) Démontrer que la suite (𝑣𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison et
le premier terme
b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de n puis en déduire l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de n
c) Démontrer votre conjecture .
Exercice 3 ( 3 points )
1) Démontrer le théorème suivant : « si A et B sont deux événements indépendants , alors
A et �̅� sont aussi des événements indépendants »
2) Ecrire un algorithme qui demande à l’utilisateur les valeurs 𝑝(𝐴) , 𝑝(𝐵) 𝑒𝑡 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
et qui affiche alors l’indépendance ou non des événements A et B
.