Download - Axes Procedes Transfert Matiere3
Transferts de matière…..
Objectifs du cours : acquérir des compétences pour…
- déterminer les conditions de fonctionnement nominales d’une installation (débits, rendements, concentrations, pureté,…)
- dimensionner les installations
- pour cela, développer des approches globales (analyse dimensionnelle, bilans globaux, corrélations) ou détaillées (bilans locaux, profils de concentration)
Généralités sur les transferts de matière
Deux types de phénomènes de transfert de matière:
Diffusion
Convection
Phénomène moléculaire
Phénomène relatif à considérer par rapport au mouvement d’ensemble (barycentrique) du système
Loi de Fick : relation linéaire flux de diffusion – gradient de concentration
Implique un transport macroscopique de matière (écoulement)
A travers une surface :
Le long d’une surface :
)( outAinAA FFN
outextA xxh N
Généralités sur les transferts de matière (suite)
Comparaison avec les transferts thermiques
Similitudestransferts par diffusion et convectionloi linéaire de transfert conductif analogies entre corrélations (transferts interfaciaux)
Différencesdualité masse – quantité de matière (moles) difficultéloi linéaire de diffusion (Fick) inadaptée aux cas complexeséquilibre interfacial plus complexe que équilibre thermiquele transfert de matière peut résulter en la mobilité de l’interfacela diffusivité (coefficient de diffusion)est beaucoup plus faible que la diffusivité thermique : pénétration beaucoup plus faible
Qté de matière du constituant i : ni
Concentration molaire : ci
Fraction molaire : xi
Vitesse moyenne :
Vitesse de diffusion : vi – v*
Flux global molaire : Ni*
Flux de diffusion : Ji* = ci(vi – v*)
ii
ii
ii
* i
ivx
c
vcv
Masse du constituant i : mi
Concentration massique : i
Fraction massique : i
Vitesse moyenne :
Vitesse de diffusion : vi – v
Flux global massique : Ni = i vi
Flux de diffusion : Ji = i(vi – v)
ii
ii
ii
i
iv
vv
Généralités sur les transferts de matière (suite)
Composition : deux systèmes de description
Massique Molaire
Relations entre flux
0 0 * i
ii
i JJ j
jiii NJN j
*** jiii NxJN
Bilans matière
in
out
- dd
iipi RWWW outoutiininit
m
ii Vm Pour un système de volume V :
Win (Wout) : débit volumique d’entrée (sortie)
Wip (Wip *): débit volumique(entrée) à travers les parois
R i (R i*) création nette de i dans le système (réactions)
Bilan matière global
ii cVn
- dd
*i*ipi RWWW outoutiinini cct
n
Bilan matière (suite)
Expressions générales du bilan matière local (rappel)
iri NwMt . r
rii
*
r
ri . iri Nwt
c
wr : vitesse de réaction (en mol./temps/volume)
Mi : masse molaire de i
: coefficient stœchiomérique algébriqueri
Transferts thermiques par diffusion (rappels)
Diverses expressions de la loi de Fick dans un milieu binaire A B :
AABAJ DBA - BABBJ DBA -
AABA xccJ DBA* - BABB xccJ DBA* -
Un seul coefficient de diffusion : DAB
A et B gaz : 20°C : DAB= 1 à 2 x 10-5 m2/s ; (valeurs plus élevées si A ou B = H2)
A et B liquides : 20°C : DAB= 0,2 à 2 x 10-9 m2/s
Gaz dans solide : 20°C : DAB= 10-12 à 10-14 m2/s augmente beaucoup avec T
Solide dans solide : 20°C : DAB= 10-34 à 10-19 m2/s augmente beaucoup avec T
Valeurs typiques de DAB
Existence de formules semi-empiriques
Problème typique de diffusion de matière
Détermination du profil de concentration dans un milieu binaire
Transferts de matière par diffusion
**r
rA***
r
rA . . BAAABAABrBAAArA NNxxccwNNxJwt
c D
Forme générale de l’équation aux dérivées partielles de bilan (cas molaire)
Deux cas extrêmes importants
0 ** BA NN Diffusion équimolaire ou milieu immobile
0 * BN Diffusion de A dans B stagnant
Conditions aux limites usuellesDirichlet : CA (CB) = constante (contact avec milieu infini ; équilibre,…)
Neuman : paroi imperméable 0 ou 0 ** BA NN
Robin: loi de transfert interfacial AextAi xxhJ m *
*r
rA . ArA Nwt
c
Problèmes stationnaires de diffusion de matière à coefficient de diffusion constant
Systèmes non réactifs : wr = 0
** . 0 BAAABAAB NNxxcc D
1er cas :Diffusion équimolaire et concentration totale constante :
0 ** BA NN ccc BA . 0 22BAABA ccxcc
En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes
CA1
CA2
y1 y2
y
12
1
12
1 yyyy
cccc
AA
AA
12
12* - yyccJ AA
ABA D
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Systèmes non réactifs
Diffusion équimolaire et concentration totale constante (suite)
En géométrie cylindrique avec conditions aux limites constantes
1
2
21*
ln2 -
DDccJ AA
ABA D
D2
D1
En géométrie sphérique avec conditions aux limites constantes
2112
21* 2 - AAABA ccDD
DDJ
D
D2
D1
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Systèmes non réactifs
2ème cas : Diffusion de A dans B stagnant
0 * BN
**** BAAAA NNxJN *** AAAA NxJN AABAA xcNx - 1 * D
*r
rA . ArA Nwt
c *. 0 AN constante * AN A
A
AB
A
xx
cN
1
-
*
D
En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes
12
1
1
2
1
yyyy
A
A
A
A
cccc
cccc
A
A
AB
A
ccc
cN
d - dy *
D
1
2
12
*A ln - A
AAB
cccc
yycN D
Si c >> cA 1n casau trouvéeexpression 12
12
*A
ccc
yycN AAABD
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Systèmes non réactifs
Comparaison des deux cas extrêmes en géométrie plane à une dimension et conditions aux limites constantes
1er cas : Diffusion
équimolaire
2ème cas: Diffusion de A
dans B stagnant
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène
Gaz A
Liquide B
z = 0
z = L
cA0
Réaction d’absorption du gaz A dans le liquide B A + B = AB (w = kcA)
Calculer la quantité de A absorbée grâce à ce dispositif
A passe en solution dans B où il diffuse et réagit
dd 0 **** ABBAAA NNNxJzw
zNw Ad
d - 0**
r
rA . ArA Nwt
c
Hypothèse de milieu immobileHypothèse de B très prépondérant
zxcccJ A
ABABBAA dd - * D
0 . dd
- 2
2
AA
AB ckzc
D
Conditions aux limites :
z = 0 cA = cA0 (équilibre)
z = L (paroi étanche)0 dd zcA
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène (suite)
AB
AB
A
AkL
LzkL
cc
D
D2
2
0 cosh
- 1cosh
La capacité d’absorption flux molaire de A en z = 0, soit :
ABAB
AAB
z
AABA
kLkLL
czcJ
DDDD
220
0
* tanh dd -
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Système réactif (une réaction chimique)
Exemple 2 : Diffusion avec réaction chimique hétérogène
Situation physique : réacteur catalytique de dimérisation :
2 A = A2
Représentation du voisinage de la surface d’une particule
de catalyseur
** 2 21 - AA NN
Réaction stœchiométrique à la surface
zNwt
c iid
d *
i
Bilans dans le « gas film »
** 2 et AA NN
indépendants de z
Problèmes stationnaires de diffusion de matière Système réactif (une réaction chimique)
Diffusion avec réaction chimique hétérogène (suite)
* 2*** AAAAA NNxJN
constante 21 - ** 2 AA NN
zcJ A
AAA dd -
2* D
zx
x
cN A
A
AAA d
d
2 - 1 - 2*
D 0 d
d
2 - 1dd 2
zx
x
c
zA
A
AAD
z
AA xx - 1
02 - 1 2 - 1
Conditions aux limites : z = 0, xA = xA0 ; z = , xA = 0
2 - 1
1ln 2
0
* 2
A
AAA x
cN
D
Quantité de A transformée par unité de temps et unité de surface du catalyseur
Problèmes non stationnaires de diffusion de matièreType de sujets d’intérêt :
• atteinte de l’état stationnaire : temps d’homogénéisation des concentrations
•comportement dans un environnement de concentration variable
Analogie quasi-complète avec le transfert thermique
• a : diffusivité thermique DAB
• Cp T cA
• Q JA*
Principaux résultats conservés moyennant les substitutions ci-dessus, par exemple, effets de pénétration :
distance de pénétration : tAB D
Flux interfacial : tccJ AB
AAiA - 0* D
hm1 et hm2 : coefficients de transfert de matière interfaciaux
définition mais pas loi physiqueRésistance au transfert négligeable de la zone interfaciale : équilibre : yAi = f(xAi)
Transferts de matière interfaciauxSituation : échange de matière entre deux milieux à travers une interface
Milieu 1
Milieu 2xA
yA
yAi
xAi
Un seul flux de matière (stationnarité)
JA* = hm1(xA – xAi) = hm2(yAi – yA)
Courant de gaz B
Tissu imbibé du liquide AVapeur de A transféré dans le courant gazeux
Définition d’un coefficient de transfert global
Transferts de matière interfaciaux
Par analogie avec le transfert thermique ? JA* = Hm(xA – yA)
FAUX
Exemple : le transfert du dioxygène de l’air à l’eau : xA = 0,2 ; yA = 5 x 10-5
La force motrice du transfert n’est pas : (xA – yA), mais … xA – f(xA)
JA* = hm1(xA – xAi)
JA* = hm2(yAi – yA) = hm2m(xAi – xA*)
*
21
* 1 1 Amm
AA Jmhh
xx
1 1 121 mm
Im mhhH ** AA
ImA xxHJ avec
yA
xA
Courbe d’équilibre
xAi
yAi
Au voisinage de l’équilibre : yA - yAi = m(xA - xAi )
Définition d’un coefficient de transfert global (suite)
Transferts de matière interfaciaux
Symétriquement, on définit : 1 1
12 mmIIm h
mhH
** AAIImA yyHJ
m est calculé à partir de la connaissance de l’équilibre de A entre les deux phases (ex : constante de Henry dans le cas de la dissolution de O2 dans l’eau
hm1 et hm2 calculés au moyen de corrélations entre nombres adimensionnels
Elles dépendent :- de la géométrie de l’interface
- du type de transfert convectif :
- de la position relative fluide – paroi :
Corrélations
la situation de convection forcée est de loin la plus courante
Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial
Convection forcée :
Variables : D DAB v h
L M.L-3 M.L.T-1 L2.T-1 L.T-1 L-2.-1
Théorème de Buckingham : m = n – r = 3
Nombres sans dimension :
Forme de la corrélation : Sh = f(Re, Sc)
ABD Sc
vD Re
ABchDSD
h
Nombre de Schmidt
Nombre de Sherwood ou de Nusselt massique
Nombre de Reynolds
Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial
Convection libre:
Variables : D DAB
g x h
L M.L-3 M.L.T-1 L2.T-1 _ L.T-2 _ L-2.-1
Théorème de Buckingham : m = n – r = 5
Nombres sans dimension :
Forme de la corrélation : Sh = f(Grm, Sc)
ABD Sc
ABchDSD
h
Nombre de Schmidt
Nombre de Sherwood ou de Nusselt massique
2
23
Gr A
mxgD
Nombre de Grashof
massique
: coefficient d’expansion volumétrique
AA xx - - A
Transferts de matière interfaciaux
Corrélations (suite)
Analogie avec les transferts thermiques interfaciaux
Exemple : transfert autour d’une sphère : 3
121
Re 60,0 2 Sh ScMatière (convection forcée) :
Une abondante bibliographie … formules, abaques,…
R. B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, J.R. Welty, C.E. Wicks, R.E. Wilson, W.J. Beek, K.M. Muttzall, J.W. van Heuven, déjà cités
Chaleur (convection forcée) : 31
21PrRe 60,0 2 Nu
Analogie générale dite de Chilton-Colburn
Transferts de matière interfaciauxModèle du film
Hypothèse : le transfert interfacial dans un des milieux est assimilé à un transfert diffusif dans une couche interfaciale d’épaisseur
AiAmAiAA xxh
xxcJ -
- AB* D
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
Gaz A
Liquide B
0 . dd
- 2
2
AA
AB ckzc
D AB
Dchm
Deux cas extrêmes :
1) Réaction très lente
xAi
xA
z
2) Réaction très rapide
h AB
D
cDhS m
D AB
Dchm
Transferts de matière interfaciauxModèle du film
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
1) Réaction très lente
Hypothèse : réaction négligeable dans le film ; se produit essentiellement dans le volume V
quantité transportée dans le film >> quantité consommée par la réaction :
hm.xAiS >> k.cAi..S soit : hmxAi >> k.cAi.mh
c ABD 1 2AB
ch
k
m
D
1 Ha 2AB
ch
k
m
D Nombre de Hatta
Stationnarité globale NA*S = hm.(xAi – xA)S = V.k.cA
mAiA hSVk
VkchN.
m*
Transferts de matière interfaciauxModèle du film
Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1
1) Réaction très rapideHypothèse : La réaction se produit entièrement dans le film
0 . dd
- 2
2
AA
AB ckzc
D
Conditions aux limites : cA = cAi à z = 0 ;
cA = 0 pour z =
AB
exp D
kzcc AiA
AiABA
ABzA ckzcN DD d
d - 0*
kch ABm D
kz
cc
Ai
Ai ABr
dd
- n pénétratio DHa 2
AB
r
ch
k
m
D
m
AB
hcD Épaisseur du film
Echangeurs de matière
Généralités
Echangeur de matière = appareil dans lequel les deux phases devant échanger un composé A (au moins) sont mises en contact étroit (aire interfaciale importante)
Le choix et le dimensionnement des échangeurs dépendent :
- de l’équilibre thermodynamique entre les phases variables : pression, température ; paramètre : m
- du flux de matière échangée variables : débits, vitesses d’agitation ; paramètres : hm, Hm
Efficacité maximale d’un échangeur
F1 ; youtF1 ; yin
F2 ; xoutF2 ; xin
Echange « parfait » : xout = myout
Bilan : F1c1yin+ F2c2xin = F1c1yout+ F2c2xout
Echangeurs de matière
1
22
1
22
1
1
ccm
ycxc
myx in
in
inout
1
1
FF
FF
Exemple : objectif : extraction maximale d’un composé de la phase 1 par la phase 2
Hyp : c2in nul dans la phase extractante
1
1
22 1
ccmmyx inout
1FF
Critères de l’opérateur choix des conditions de fonctionnement : choix de facteur d’extraction
1
22 ccm
1FF
Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant
Echangeurs de matière
F2 ; xout
F2 ; xin
F1 ; yout
F1 ; yin
Par exemple : épuration de la phase gazeuse 1 par absorption d’un de ses composants dans la phase liquide 2
Colonne à contre courant remplie d’un garnissage (packing) de surface d’échange a par unité de volume
Condition d’équilibre d’absorption : x = m.yChangement de variable : x* = m.y
Problème de dimensionnement (hauteur) de la colonne chargée d’assurer l’ échange indiqué
Echangeurs de matière(exemples de garnissage)
D’après Bird, Stewart, Lihtfoot)
Anneaux de Raschig
Spirales de Wilson
Anneaux de Fenske
Billes de verre
Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)
Echangeurs de matière
Bilan stationnaire dans une tranche de hauteur z
z
z +z
Phase liquide :
zaSxxHzxzzxc IImL *2 )()( 0 F axxc
Hzxv
L
IIm dd 0 :soit *2
Phase gazeuse :
zaSxxHzzyzyc IImG *1 )()( 0 F axxcH
zyv
G
IIm dd - 0 :soit *1
axxvc
Hzx
L
IIm dd *
2
axxvm
cH
zx
G
IIm -
- dd
- *
1
* axx
vc
vmc
vcH
zxx
G
L
L
IIm 1 dd
*
1
2
2
*
d 1 d
2*
*z
caSH
xxxx
L
IIm
F
1
2 avec
vc
vmc
G
L
Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)
Echangeurs de matière
d 1 d
2*
*z
caSH
xxxx
L
IIm
FIntégration de sur la hauteur de la colonne
Lc
aSHxxxx
L
IIm
outin
inout 1 ln2*
*
F L
caSH
xxxx
L
IIm
outin
inout 1 ln2*
*
F
*
*ln (N.U.T.) transfertde unitésd' nombre
outin
inout
xxxx
L = N.U.T. x H.U.T.x (1-) Exemple : H.U.T. = 6 à 60 cm pour anneaux Raschig
hauteur de l’unité de transfert = aSH
cIIm
L 2 F
Notion d’échange théorique
Echangeurs de matière
Définition : hauteur équivalente de l’étage théorique (HETP)
HETP : hauteur de la colonne dont les flux de sortie sont en équilibre
z
z +HETP
F2 ; y(z)
F2 ; y(z+HETP)
F1 ; x(z)
F1 ; x(z+HETP) x(z) = m.y(z+HETP)
HETPc
aSHHETPzxHETPzx
zxzx
L
IIm 1 )( )()( )(
ln2
*
F
HETPc
aSHHETPzxHETPzx
zxzx
L
IIm 1 )( )()( )(
ln2
*
*
F
1 )( )()( )(
ln*
HUTHETP
zxHETPzxzxzx
)( )()( )( *
zxHETPzxzxzx
Égalité pour = 1 1ln
HUT
HETP