axes procedes transfert matiere3

Transferts de matière…..

Objectifs du cours : acquérir des compétences pour…

- déterminer les conditions de fonctionnement nominales d’une installation (débits, rendements, concentrations, pureté,…)

- dimensionner les installations

- pour cela, développer des approches globales (analyse dimensionnelle, bilans globaux, corrélations) ou détaillées (bilans locaux, profils de concentration)

Généralités sur les transferts de matière

Deux types de phénomènes de transfert de matière:

Diffusion

Convection

Phénomène moléculaire

Phénomène relatif à considérer par rapport au mouvement d’ensemble (barycentrique) du système

Loi de Fick : relation linéaire flux de diffusion – gradient de concentration

Implique un transport macroscopique de matière (écoulement)

A travers une surface :

Le long d’une surface :

)( outAinAA FFN

outextA xxh N

Généralités sur les transferts de matière (suite)

Comparaison avec les transferts thermiques

Similitudestransferts par diffusion et convectionloi linéaire de transfert conductif analogies entre corrélations (transferts interfaciaux)

Différencesdualité masse – quantité de matière (moles) difficultéloi linéaire de diffusion (Fick) inadaptée aux cas complexeséquilibre interfacial plus complexe que équilibre thermiquele transfert de matière peut résulter en la mobilité de l’interfacela diffusivité (coefficient de diffusion)est beaucoup plus faible que la diffusivité thermique : pénétration beaucoup plus faible

Qté de matière du constituant i : ni

Concentration molaire : ci

Fraction molaire : xi

Vitesse moyenne :

Vitesse de diffusion : vi – v*

Flux global molaire : Ni*

Flux de diffusion : Ji* = ci(vi – v*)

ii

ii

ii

* i

ivx

c

vcv

Masse du constituant i : mi

Concentration massique : i

Fraction massique : i

Vitesse moyenne :

Vitesse de diffusion : vi – v

Flux global massique : Ni = i vi

Flux de diffusion : Ji = i(vi – v)

ii

ii

ii

i

iv

vv

Généralités sur les transferts de matière (suite)

Composition : deux systèmes de description

Massique Molaire

Relations entre flux

0 0 * i

ii

i JJ j

jiii NJN j

*** jiii NxJN

Bilans matière

in

out

- dd

iipi RWWW outoutiininit

m

ii Vm Pour un système de volume V :

Win (Wout) : débit volumique d’entrée (sortie)

Wip (Wip *): débit volumique(entrée) à travers les parois

R i (R i*) création nette de i dans le système (réactions)

Bilan matière global

ii cVn

- dd

*i*ipi RWWW outoutiinini cct

n

Bilan matière (suite)

Expressions générales du bilan matière local (rappel)

iri NwMt . r

rii

*

r

ri . iri Nwt

c

wr : vitesse de réaction (en mol./temps/volume)

Mi : masse molaire de i

: coefficient stœchiomérique algébriqueri

Transferts thermiques par diffusion (rappels)

Diverses expressions de la loi de Fick dans un milieu binaire A B :

AABAJ DBA - BABBJ DBA -

AABA xccJ DBA* - BABB xccJ DBA* -

Un seul coefficient de diffusion : DAB

A et B gaz : 20°C : DAB= 1 à 2 x 10-5 m2/s ; (valeurs plus élevées si A ou B = H2)

A et B liquides : 20°C : DAB= 0,2 à 2 x 10-9 m2/s

Gaz dans solide : 20°C : DAB= 10-12 à 10-14 m2/s augmente beaucoup avec T

Solide dans solide : 20°C : DAB= 10-34 à 10-19 m2/s augmente beaucoup avec T

Valeurs typiques de DAB

Existence de formules semi-empiriques

Problème typique de diffusion de matière

Détermination du profil de concentration dans un milieu binaire

Transferts de matière par diffusion

**r

rA***

r

rA . . BAAABAABrBAAArA NNxxccwNNxJwt

c D

Forme générale de l’équation aux dérivées partielles de bilan (cas molaire)

Deux cas extrêmes importants

0 ** BA NN Diffusion équimolaire ou milieu immobile

0 * BN Diffusion de A dans B stagnant

Conditions aux limites usuellesDirichlet : CA (CB) = constante (contact avec milieu infini ; équilibre,…)

Neuman : paroi imperméable 0 ou 0 ** BA NN

Robin: loi de transfert interfacial AextAi xxhJ m *

*r

rA . ArA Nwt

c

Problèmes stationnaires de diffusion de matière à coefficient de diffusion constant

Systèmes non réactifs : wr = 0

** . 0 BAAABAAB NNxxcc D

1er cas :Diffusion équimolaire et concentration totale constante :

0 ** BA NN ccc BA . 0 22BAABA ccxcc

En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes

CA1

CA2

y1 y2

y

12

1

12

1 yyyy

cccc

AA

AA

12

12* - yyccJ AA

ABA D

Problèmes stationnaires de diffusion de matière Systèmes non réactifs

Diffusion équimolaire et concentration totale constante (suite)

En géométrie cylindrique avec conditions aux limites constantes

1

2

21*

ln2 -

DDccJ AA

ABA D

D2

D1

En géométrie sphérique avec conditions aux limites constantes

2112

21* 2 - AAABA ccDD

DDJ

D

D2

D1


2ème cas : Diffusion de A dans B stagnant

0 * BN

**** BAAAA NNxJN *** AAAA NxJN AABAA xcNx - 1 * D

*r

rA . ArA Nwt

c *. 0 AN constante * AN A

A

AB

A

xx

cN

1

-

*

D

En géométrie plane à une dimension avec conditions aux limites constantes

12

1

1

2

1

yyyy

A

A

A

A

cccc

cccc

A

A

AB

A

ccc

cN

d - dy *

D

1

2

12

*A ln - A

AAB

cccc

yycN D

Si c >> cA 1n casau trouvéeexpression 12

12

*A

ccc

yycN AAABD


Comparaison des deux cas extrêmes en géométrie plane à une dimension et conditions aux limites constantes

1er cas : Diffusion

équimolaire

2ème cas: Diffusion de A

dans B stagnant

Problèmes stationnaires de diffusion de matière Système réactif (une réaction chimique)

Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène

Gaz A

Liquide B

z = 0

z = L

cA0

Réaction d’absorption du gaz A dans le liquide B A + B = AB (w = kcA)

Calculer la quantité de A absorbée grâce à ce dispositif

A passe en solution dans B où il diffuse et réagit

dd 0 **** ABBAAA NNNxJzw

zNw Ad

d - 0**

r

rA . ArA Nwt

c

Hypothèse de milieu immobileHypothèse de B très prépondérant

zxcccJ A

ABABBAA dd - * D

0 . dd

- 2

2

AA

AB ckzc

D

Conditions aux limites :

z = 0 cA = cA0 (équilibre)

z = L (paroi étanche)0 dd zcA


Exemple 1 : Diffusion avec réaction chimique homogène (suite)

AB

AB

A

AkL

LzkL

cc

D

D2

2

0 cosh

- 1cosh

La capacité d’absorption flux molaire de A en z = 0, soit :

ABAB

AAB

z

AABA

kLkLL

czcJ

DDDD

220

0

* tanh dd -


Exemple 2 : Diffusion avec réaction chimique hétérogène

Situation physique : réacteur catalytique de dimérisation :

2 A = A2

Représentation du voisinage de la surface d’une particule

de catalyseur

** 2 21 - AA NN

Réaction stœchiométrique à la surface

zNwt

c iid

d *

i

Bilans dans le « gas film »

** 2 et AA NN

indépendants de z


Diffusion avec réaction chimique hétérogène (suite)

* 2*** AAAAA NNxJN

constante 21 - ** 2 AA NN

zcJ A

AAA dd -

2* D

zx

x

cN A

A

AAA d

d

2 - 1 - 2*

D 0 d

d

2 - 1dd 2

zx

x

c

zA

A

AAD

z

AA xx - 1

02 - 1 2 - 1

Conditions aux limites : z = 0, xA = xA0 ; z = , xA = 0

2 - 1

1ln 2

0

* 2

A

AAA x

cN

D

Quantité de A transformée par unité de temps et unité de surface du catalyseur

Problèmes non stationnaires de diffusion de matièreType de sujets d’intérêt :

• atteinte de l’état stationnaire : temps d’homogénéisation des concentrations

•comportement dans un environnement de concentration variable

Analogie quasi-complète avec le transfert thermique

• a : diffusivité thermique DAB

• Cp T cA

• Q JA*

Principaux résultats conservés moyennant les substitutions ci-dessus, par exemple, effets de pénétration :

distance de pénétration : tAB D

Flux interfacial : tccJ AB

AAiA - 0* D

hm1 et hm2 : coefficients de transfert de matière interfaciaux

définition mais pas loi physiqueRésistance au transfert négligeable de la zone interfaciale : équilibre : yAi = f(xAi)

Transferts de matière interfaciauxSituation : échange de matière entre deux milieux à travers une interface

Milieu 1

Milieu 2xA

yA

yAi

xAi

Un seul flux de matière (stationnarité)

JA* = hm1(xA – xAi) = hm2(yAi – yA)

Courant de gaz B

Tissu imbibé du liquide AVapeur de A transféré dans le courant gazeux

Définition d’un coefficient de transfert global

Transferts de matière interfaciaux

Par analogie avec le transfert thermique ? JA* = Hm(xA – yA)

FAUX

Exemple : le transfert du dioxygène de l’air à l’eau : xA = 0,2 ; yA = 5 x 10-5

La force motrice du transfert n’est pas : (xA – yA), mais … xA – f(xA)

JA* = hm1(xA – xAi)

JA* = hm2(yAi – yA) = hm2m(xAi – xA*)

*

21

* 1 1 Amm

AA Jmhh

xx

1 1 121 mm

Im mhhH ** AA

ImA xxHJ avec

yA

xA

Courbe d’équilibre

xAi

yAi

Au voisinage de l’équilibre : yA - yAi = m(xA - xAi )

Définition d’un coefficient de transfert global (suite)


Symétriquement, on définit : 1 1

12 mmIIm h

mhH

** AAIImA yyHJ

m est calculé à partir de la connaissance de l’équilibre de A entre les deux phases (ex : constante de Henry dans le cas de la dissolution de O2 dans l’eau

hm1 et hm2 calculés au moyen de corrélations entre nombres adimensionnels

Elles dépendent :- de la géométrie de l’interface

- du type de transfert convectif :

- de la position relative fluide – paroi :

Corrélations

la situation de convection forcée est de loin la plus courante


Corrélations (suite)

Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial

Convection forcée :

Variables : D DAB v h

L M.L-3 M.L.T-1 L2.T-1 L.T-1 L-2.-1

Théorème de Buckingham : m = n – r = 3

Nombres sans dimension :

Forme de la corrélation : Sh = f(Re, Sc)

ABD Sc

vD Re

ABchDSD

h

Nombre de Schmidt

Nombre de Sherwood ou de Nusselt massique

Nombre de Reynolds



Analyse dimensionnelle du transfert de matière interfacial

Convection libre:

Variables : D DAB

g x h

L M.L-3 M.L.T-1 L2.T-1 _ L.T-2 _ L-2.-1

Théorème de Buckingham : m = n – r = 5

Nombres sans dimension :

Forme de la corrélation : Sh = f(Grm, Sc)

ABD Sc

ABchDSD

h

Nombre de Schmidt

Nombre de Sherwood ou de Nusselt massique

2

23

Gr A

mxgD

Nombre de Grashof

massique

: coefficient d’expansion volumétrique

AA xx - - A



Analogie avec les transferts thermiques interfaciaux

Exemple : transfert autour d’une sphère : 3

121

Re 60,0 2 Sh ScMatière (convection forcée) :

Une abondante bibliographie … formules, abaques,…

R. B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, J.R. Welty, C.E. Wicks, R.E. Wilson, W.J. Beek, K.M. Muttzall, J.W. van Heuven, déjà cités

Chaleur (convection forcée) : 31

21PrRe 60,0 2 Nu

Analogie générale dite de Chilton-Colburn

Transferts de matière interfaciauxModèle du film

Hypothèse : le transfert interfacial dans un des milieux est assimilé à un transfert diffusif dans une couche interfaciale d’épaisseur

AiAmAiAA xxh

xxcJ -

- AB* D

Application au cas de transfert avec réaction d’ordre 1

Gaz A

Liquide B

0 . dd

- 2

2

AA

AB ckzc

D AB

Dchm

Deux cas extrêmes :

1) Réaction très lente

xAi

xA

z

2) Réaction très rapide

h AB

D

cDhS m

D AB

Dchm



1) Réaction très lente

Hypothèse : réaction négligeable dans le film ; se produit essentiellement dans le volume V

quantité transportée dans le film >> quantité consommée par la réaction :

hm.xAiS >> k.cAi..S soit : hmxAi >> k.cAi.mh

c ABD 1 2AB

ch

k

m

D

1 Ha 2AB

ch

k

m

D Nombre de Hatta

Stationnarité globale NA*S = hm.(xAi – xA)S = V.k.cA

mAiA hSVk

VkchN.

m*



1) Réaction très rapideHypothèse : La réaction se produit entièrement dans le film

0 . dd

- 2

2

AA

AB ckzc

D

Conditions aux limites : cA = cAi à z = 0 ;

cA = 0 pour z =

AB

exp D

kzcc AiA

AiABA

ABzA ckzcN DD d

d - 0*

kch ABm D

kz

cc

Ai

Ai ABr

dd

- n pénétratio DHa 2

AB

r

ch

k

m

D

m

AB

hcD Épaisseur du film

Echangeurs de matière

Généralités

Echangeur de matière = appareil dans lequel les deux phases devant échanger un composé A (au moins) sont mises en contact étroit (aire interfaciale importante)

Le choix et le dimensionnement des échangeurs dépendent :

- de l’équilibre thermodynamique entre les phases variables : pression, température ; paramètre : m

- du flux de matière échangée variables : débits, vitesses d’agitation ; paramètres : hm, Hm

Efficacité maximale d’un échangeur

F1 ; youtF1 ; yin

F2 ; xoutF2 ; xin

Echange « parfait » : xout = myout

Bilan : F1c1yin+ F2c2xin = F1c1yout+ F2c2xout


1

22

1

22

1

1

ccm

ycxc

myx in

in

inout

1

1

FF

FF

Exemple : objectif : extraction maximale d’un composé de la phase 1 par la phase 2

Hyp : c2in nul dans la phase extractante

1

1

22 1

ccmmyx inout

1FF

Critères de l’opérateur choix des conditions de fonctionnement : choix de facteur d’extraction

1

22 ccm

1FF

Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant


F2 ; xout

F2 ; xin

F1 ; yout

F1 ; yin

Par exemple : épuration de la phase gazeuse 1 par absorption d’un de ses composants dans la phase liquide 2

Colonne à contre courant remplie d’un garnissage (packing) de surface d’échange a par unité de volume

Condition d’équilibre d’absorption : x = m.yChangement de variable : x* = m.y

Problème de dimensionnement (hauteur) de la colonne chargée d’assurer l’ échange indiqué

Echangeurs de matière(exemples de garnissage)

D’après Bird, Stewart, Lihtfoot)

Anneaux de Raschig

Spirales de Wilson

Anneaux de Fenske

Billes de verre

Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)


Bilan stationnaire dans une tranche de hauteur z

z

z +z

Phase liquide :

zaSxxHzxzzxc IImL *2 )()( 0 F axxc

Hzxv

L

IIm dd 0 :soit *2

Phase gazeuse :

zaSxxHzzyzyc IImG *1 )()( 0 F axxcH

zyv

G

IIm dd - 0 :soit *1

axxvc

Hzx

L

IIm dd *

2

axxvm

cH

zx

G

IIm -

- dd

- *

1

* axx

vc

vmc

vcH

zxx

G

L

L

IIm 1 dd

*

1

2

2

*

d 1 d

2*

*z

caSH

xxxx

L

IIm

F

1

2 avec

vc

vmc

G

L

Modélisation d’une colonne d’échange à contre-courant (suite)


d 1 d

2*

*z

caSH

xxxx

L

IIm

FIntégration de sur la hauteur de la colonne

Lc

aSHxxxx

L

IIm

outin

inout 1 ln2*

*

F L

caSH

xxxx

L

IIm

outin

inout 1 ln2*

*

F

*

*ln (N.U.T.) transfertde unitésd' nombre

outin

inout

xxxx

L = N.U.T. x H.U.T.x (1-) Exemple : H.U.T. = 6 à 60 cm pour anneaux Raschig

hauteur de l’unité de transfert = aSH

cIIm

L 2 F

Notion d’échange théorique


Définition : hauteur équivalente de l’étage théorique (HETP)

HETP : hauteur de la colonne dont les flux de sortie sont en équilibre

z

z +HETP

F2 ; y(z)

F2 ; y(z+HETP)

F1 ; x(z)

F1 ; x(z+HETP) x(z) = m.y(z+HETP)

HETPc

aSHHETPzxHETPzx

zxzx

L

IIm 1 )( )()( )(

ln2

*

F

HETPc

aSHHETPzxHETPzx

zxzx

L

IIm 1 )( )()( )(

ln2

*

*

F

1 )( )()( )(

ln*

HUTHETP

zxHETPzxzxzx

)( )()( )( *

zxHETPzxzxzx

Égalité pour = 1 1ln

HUT

HETP

axes procedes transfert matiere3

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