dominique muller laboratoire inter-universitaire de psychologie cours 5

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Dominique Muller

Laboratoire Inter-universitaire de Psychologie

Cours 5

Bureau : 238Tel : 04 76 82 58 90

Email : [email protected]

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3b) Test du résidu

3b) Test du résidu => nous allons mettre ensemble tout ce qui n’est pas le modèle théorique :

Chgti=β0 +β1Modi + ε i

MA :

MC :

Pour une fois, le logiciel ne fera pas tout seul la comparaison de modèles qui nous intéresse.

Comment faire ?

Nous allons faire les deux modèles (MA et MC), l’un après l’autre :

=> SCEA

=> SCEC

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Trouver la SCEA

Ici, nous faisons « tourner » ce modèle uniquement pour obtenir la SCE

=> SCEA = 1531.63

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Trouver la SCEC

Là encore, nous faisons « tourner » ce modèle uniquement pour obtenir la SCE.

ATTENTION : la SCE que nous allons retenir correspond, paradoxalement, à ce que nous appelons habituellement la SCEA


=> SCEC = 1591.64

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3b) Test du résidu

3b) Test du résidu => nous allons mettre ensemble tout ce qui n’est pas le modèle théorique :


MA :

MC : SCE

C=1591.64

Test du résidu => SCR =SCEC −SCEA =1591.64 −1531.63 =60

31.0

42063.1531

2460

=

=

=

paNSCE

pcpaSCR

FA

Modèle significatif ET résidu non significatif => hypothèse vérifiée

Nous pourrions également être encore plus durs avec nous-mêmes en testant le F du résidu avec un ddl de l’effet = 1

=> dans ce cas F(1,16) = 0.63

63.1531=ASCE

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Un modèle théorique alternatif ?Test d’un modèle alternatif : prédiction d’une augmentation linéaire

Ici le modèle théorique est significatif ET le résidu ne l’est pas F(1,16) = 1.13

Problème : pour les deux modèles, nous avons le modèle théorique significatif ET résidu non significatif…

T TA TV TVA

Lin -3 -1 1 3

Quad 1 -1 -1 1

Cub -1 3 -3 1

63.1531=ASCE

Chgti=β0 +β1Lini + ε i

MC : 1639.56CSCE =Pour le test du résidu =>

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Mesure (Y ou VD) : performance dans un jeu vidéo

Prédicteur (X ou VI) => Sexe : hommes (- 0.5) vs femmes (0.5)

= 0 1β β εi iPerf Sexe = 106.82 80.54iPerf Sexe

Prédiction pour Hommes (= - 0.5) => = =106.82 80.54( 0.5) 147HPerf

Prédiction pour Femmes (= 0.5) => = =106.82 80.54(0.5) 67FPerf

b1 = - 80.54 : lorsque l’on passe des hommes aux femmes la performance diminue de 80.54

Variables confondues et ajustement

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80.54

= 0 1β β εi iPerf Sexe = 106.82 80.54iPerf Sexe

Variables confondues et ajustement

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Analyse de Covariance (ANCOVA) et régressions multiples

0 1 2β β β εi iPerf Sexe DICc=

Imaginons que nous disposions également d’une variable (ou covariant) pouvant avoir un impact sur la performance à ce jeu :

Une variable continue : dépendance/indépendance à l’égard du champ (DIC). Échelle de 0 à 20 (+ = + indépendant à l’égard du champ)

( )i iavec DICc DIC DIC=

Pas nécessaire ici mais important par la suite

Pour savoir si l’effet du sexe est dû à la différence en termes de DIC, nous allons utiliser un modèle dit ANCOVA :

Sexe (X) Perf (Y)

DIC (cov)

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Aparté : Prédire versus causer

X Y ?

Que faut-il pour affirmer un lien de causalité ?

Il existe une corrélation entre X et Y

X précède Y dans le temps

La relation entre X et Y n’est pas factice (« spurious »)

0 1β β εi iY X=

Pour la dernière condition, le plus sûr reste l’aléatorisation au sein de conditions expérimentales (pas seulement la manipulation)

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b1 = - 80.54 correspond à l’augmentation de la prédiction du score au jeu pour

un changement d’une unité sur la variable sexe

Interprétation des coefficients : régressions simples et multiples

b3.1 = - 63.76 correspond à l’augmentation de la prédiction pour un

changement d’une unité sur la variable sexe, et ce, lorsque le DIC ne change

pas = après avoir contrôlé le DIC = au-delà de l’effet du DIC

b3.2 = 5.12 correspond à l’augmentation de la prédiction pour un changement

d’une unité sur l’échelle de DIC, et ce, lorsque le sexe ne change pas =

après avoir contrôlé l’effet du sexe = au-delà de l’effet du sexe

= 106.82 80.54iPerf Sexe

= 0 1β β εi iPerf Sexe

0 1 2β β β εi iPerf Sexe DICc= 106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc=

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Un effet du sexe : Analyse de Covariance (ANCOVA)

106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc=

b1 = - 63.76 : lorsque l’on passe des hommes aux femmes la performance diminue de 63.76, et ce, à niveau constant de DIC

L’effet du sexe a diminué (de - 80.54 à - 63.76) mais reste significatif

b2 = 5.12 : lorsque l’on augmente d’une unité sur l’échelle de DIC, la performance augmente de 5.12, indépendamment du sexe

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Représentation des relations simples

Afin d’aller plus loin dans l’interprétation, nous pouvons calculer les relations simple entre DICc et la performance en fonction du sexe

Pour ce faire nous allons ramener l’équation à une forme : Perfi=β0 + β1DICci + ε i

Nous mettrons donc d’un coté tous les termes SANS DICc (qui définiront l’ordonné à l’origine) et de l’autre ceux AVEC DICc (qui définiront la pente) :

106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc=

106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc= ( ) ( )iPerf DICc =

Relation simple de DICc et Perf pour Hommes (= - 0.5) :

=> (106.82 63.76 * 0.5) (5.12)HPerf DICc= 138.67 5.12 * DICc=

Relation simple de DICc et Perf pour Femmes (= 0.5) :

=> (106.82 63.76 * 0.5) (5.12)FPerf DICc= 74.94 5.12 * DICc=

106.82 63.76Sexe 5.12

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Représentation des relations simples

Maintenant que nous connaissons les équations des deux droites de régression, nous pouvons les tracer en prenant deux points arbitraires sur DICc (par exemple : - 10 et 8)

106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc=

Pente (simple) de DICc pour Hommes : 138.67 5.12 *HPerf DICc=

Pente (simple) de DICc pour Femmes : 74.94 5.12 *FPerf DICc=

(106.82 63.76 ) (5.12)iPerf Sexe DICc=

Hommes :

Femmes :

DICc = -10 DICc = 8

138.67 5.12( 10) 87.49HPerf = = 138.67 5.12(8) 179.66HPerf = =

74.94 5.12( 10) 23.73FPerf = = 74.94 5.12(8) 115.90FPerf = =

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ANOVA et ANCOVA

= 106.82 80.54iPerf Sexe

63.7680.54

106.82 63.76 5.12iPerf Sexe DICc=

Modèle ANOVA Modèle ANCOVA

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Représentation graphique du Modèle ANCOVA

(106.82 63.76 ) 5.12iPerf Sexe DICc= Est-il raisonnable d’imposer à ces pentes d’être parallèles ?

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Représentation graphique du Modèle ANCOVA

(106.82 63.76 ) 5.12iPerf Sexe DICc= Est-il raisonnable d’imposer à ces pentes d’être parallèles ?

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Ici, nous permettons aux pentes de DIC de changer en fonction du sexe

On va donc se poser la question de savoir si ce modèle décrit mieux les données (réduit l’erreur de prédiction) que le précédent

Le postulat des pentes parallèles

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Comment tester si ce postulat est justifié ou non ?

Autrement dit, si on doit permettre aux pentes de DICc de changer en fonction du sexe

Le postulat des pentes parallèles

Avec le modèle ANCOVA un seul paramètre change lorsque l’on change de sexe : l’ordonné à l’origine

C’est un postulat (implicite) assez fort : les pentes ne varient pas en fonction du niveau du sexe et sont donc parallèles

? Perf

i=(β0 +β1Sexei ) +β2DICci + ε iNous avions :

Perfi=( ) + ( )DICci + ε i

(MC)

(MA)

0 1 2β β β εi iPerf Sexe DICc=

Nous allons permettre à la pente de DICc de changer en fonction du sexe en ajoutant un paramètre dans la partie pente de l’équation :

β2 + β3Sexei β0 +β1Sexei

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Test de cette supposition implicite

Notons que :

Équivaut à :

Savoir s’il est intéressant de laisser DIC varier en fonction du Sexe, c’est-à-dire de savoir s’il y a une INTERACTION entre Sexe et DIC, revient donc à tester le produit de ces deux facteurs

Perfi=(β0 +β1Sexei ) + (β2 +β3Sexei )DICci + ε i

Perfi=β0 +β1Sexei +β2DICci +β3Sexei * DICci + ε i

Perfi=β0 +β1Sexei +β2DICci +β3Sexei * DICci + ε i Perf

i=β0 +β1Sexei +β2DICci +ε i

MC : MA :

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Avant d’utiliser un modèle ANCOVA:

Yi=β0 +β1X i +β2COVi + ε i

Nous devons vérifier que b3 n’est pas significatif dans le modèle :

On appelle ça la règle d’homogénéité de la régression

Ici le test de l’interaction est juste un test que l’on doit faire pour s’assurer que nous avons le droit d’utiliser le model ANCOVA

Règle d’homogénéité de la régression

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Concrètement dans les données…

Pour avoir : Perfi=β0 +β1Sexei +β2DICci +β3Sexei * DICci + ε i

… … … … …

… … … … …9.45DIC =

( 9.45)i iavecDICc DIC= *i i iavec sexdicc sexe dicc=

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Note: perf = video

Pour avoir :

Concrètement dans l’analyse…

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L’estimation de ce modèle nous donne :

99.17 63.35 5.25 9.33 *iPerf Sexe DICc Sexe DICc=

significativement donc l’effet de DICc dépend du sexe3 0b

(99.17 63.35 ) (5.25 9.33 )iPerf Sexe Sexe DICc=

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Perfi=β0 +β1Sexei +β2DICci +ε i

MC :

MA :


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Avant d’utiliser un model ANCOVA:

Yi=β0 +β1X i +β2COVi +ε i

Nous devons vérifier que b3 n’est pas significatif dans le model:

On appelle ça la règle d’homogénéité de la régression

Ici le test de l’interaction est juste un test que l’on doit faire pour s’assurer que nous avons le droit d’utiliser le modèle ANCOVA

Test d’hypothèse de moderation

Néanmoins, cette interaction sera souvent un test théoriquement intéressant en lui-même.

Règle d’homogénéité de la régression

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Notons que :

Équivaut à :

Donc le test de b3 nous indique tout autant que l’effet du sexe dépend du niveau de DIC

Autrement dit :

- la DIC module l’effet du sexe

Perfi=(β0 +β1Sexei ) + (β2 +β3Sexei )DICci + ε i


Mais également à : Perfi=(β0 +β2DICci) + (β1 +β3DICci )Sexei + ε i

- le sexe module l’effet de la DIC

DIC (X) Perf (Y)

Sexe (Z)

Sexe (X) Perf (Y)

DIC (Z)

=

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Test de modération

Yi=β0 +β1X i +β2Zi +β3 X i * Zi + ε i

Une variable Z est dite modératrice lorsqu’elle module l’effet d’une variable X sur un mesure Y => l’effet de X sur Y dépend des valeurs de Z

Montrer qu’il existe une modération revient à montrer qu’il existe une interaction entre X et Z (inutile de montrer avant que X a un effet sur Y)

Le statut de variable modulatrice (Z) ou de variable indépendante principale (X) dépend de la théorie

X Y

Z

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Modèles contenant une interaction

L’estimation de ce modèle nous donne :

99.17 63.35 5.25 9.33 *iPerf Sexe DICc Sexe DICc=


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