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Dans Les Mains Du Temps

LE GRAND JOUR DES MATHS 20061

INTRODUCTION

La thématique de Grand Jour des Maths2 est entièrement dédiée au temps.

Le temps est représenté par une horloge avec une petite aiguille pour les heures, une, plus

grande, pour les minutes, et parfois une troisième, la trotteuse pour les secondes, qui bouge plus

rapidement que les autres.

Nous considérerons une horloge sur laquelle le mouvement des aiguilles se fait sans à-coups de

manière parfaitement régulière. Pas une horloge qui saute et tressaute comme celle que l’on

peut trouver dans une gare, celle où l’aiguille des heures sautille de temps en temps, attend

ensuite sagement jusqu'à ce que celle des minutes la rejoigne puis saute un peu plus loin.

1 En anglais « hands » signifie les mains mais désigne aussi les aiguilles des horloges. Il y a donc dans le titre

anglais un jeu de mot intraduisible en français. 2 Les Maths Big Days (que nous traduisons ici par Grands jours des Maths) sont proposés tous les ans par

l’université d’Utrecht – celui-ci a été réalisé le 24 novembre 2006 -

http://www.fisme.science.uu.nl/rekenweb/groterekendag/

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Voici ci-dessous l’horloge dont nous parlons. Dénuée de toutes décorations qui la rendent plus

attirante au consommateur.

Cette horloge montre qu’il est exactement une heure. Bientôt, la grande aiguille dépassera la

petite ! Cela ce produira à une heure et cinq minutes.

L’aiguille des minutes commence sa course derrière celle des heures, mais comme elle avance

beaucoup plus vite que celle des heures, elle prendra très vite la tête par rapport à la petite

aiguille.

En guise d’échauffement pour le thème d’aujourd’hui, voici deux questions d’introduction :

A. Combien de fois, en l’espace de 12 heures, l’aiguille des heures et celle des

minutes sont-elles parfaitement superposées ?

B. Quand l’aiguille des minutes dépasse-t-elle celle des heures sur l’horloge ci-

dessus ?

Nous nous exprimons sur la base de « 12 heures » et non pas « un jour », car la seconde partie

d’une journée de 24 heures (un jour entier) est une réplique identique de la première partie.

Donc, lorsque l’on étudie une horloge normale, nous nous limitons à une durée de 12 heures, qui

commence exactement à 12h, jusqu’à ce qu’il soit 12h une nouvelle fois.

Nous ne prenons pas en compte la trotteuse pour commencer. Elle le sera lors en dernière partie

de cette activité.

En quoi consiste ce Grand Jour des Maths ?

Les problématiques de l’introduction nous donnent

déjà une idée de ce en quoi consiste la thématique :

les aiguilles d’une horloge et les différentes

positions qu’elles peuvent avoir.

Qui s’intéresse aux réponses des questions du type

de celles présentées dans l’introduction ?

Certainement pas le passager du train, ni le

propriétaire d’une montre design comme celle sur

l’image de droite. Ce sont les gens comme vous et

moi du Grand jour des Maths : car les

mathématiques s’attaquent à des questions

étonnantes et produisent des réponses tout aussi

déconcertantes.

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Les réponses ne sont pas les seules choses qui peuvent être déconcertantes, mais l’explication

aussi. Une explication telle que « c’est parce que vous pouvez le voir si vous le calculez » n’est

pas très claire.

Une bonne explication devient l’équivalent d’une lumière dans une salle aux trésors trop

sombre. Vous clignez des yeux et vous soupirez : « Bien sûr, c’est comme cela que ça marche.

Super ! »

Le contenu de la tâche

La partie A développe l’idée de la question A de l’introduction. Il y a beaucoup d’autres exemples

de questions utiles qui produisent des réponses intéressantes.

Centre d’intérêt : l’observation et le raisonnement.

La partie B est plus théorique et développe l’idée de la question B de l’introduction, avec des

calculs et un raisonnement exacts. L’utilisation de graphiques et de l’algèbre peut vous aider.

Centre d’intérêt : la précision.

Dans la partie C, les aiguilles de l’horloge changent de position. Essayez de voir comment vous

pouvez utiliser les connaissances acquises dans les parties A et B, ou essayez de trouver une

autre approche.

Centre d’intérêt : appliquer vos acquis tirés des parties A et B dans une nouvelle

situation, ou soyez rebelle et développez votre propre stratégie.

La partie D appartient aux « accros » du temps réel. Ils peuvent enfin faire preuve de leurs

connaissances ! Ne vous inquiétez pas si vous n’arrivez pas jusque là.

Centre d’intérêt : prendre son temps et se concentrer sur ses idées et son approche.

Le résultat final

Vous avez étudié l’idée de la lecture du temps de différentes façons. Vous avez suivi les questions

ou (de manière rebelle) trouvé votre propre démarche.

Le résultat final devient alors :

Un projet dans lequel les aiguilles d’une horloge représentent le cœur de vos

interrogations et où vous proposez des solutions avec des réponses les plus

claires et les plus belles possibles.

Ne soyez pas tentés par l’idée de donner des réponses à des questions individuelles mais essayez

de créer un rapport cohérent de vos résultats obtenus aujourd’hui, qui sera facile à lire par ceux

qui n’ont pas les questions précises sous les yeux.

Conseils

Utilisez des stylos noirs et du matériel pour dessins afin que le travail puisse être

photocopié.

Pensez au fait que vous travaillez en temps limité ! Rédiger un rapport peut prendre

beaucoup de temps. Commencez à l’heure !

Divisez les tâches entre vous si vous êtes d’accord sur votre approche au sein d’un

groupe.

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Partie A : En tenant compte de la position des aiguilles

La question A de l’introduction peut être développée en examinant d’autres positions spéciales

des deux aiguilles.

A1 Si les deux aiguilles se tiennent comme si l’une était la rallonge de l’autre, par exemple à

6 heures pile, alors les deux aiguilles forment un angle de 180 degrés.

Combien de fois en l’espace de 12 heures les aiguilles sont-elles séparées par un angle de

180 degrés ?

La différence entre un angle de 0 degré et de 180 degrés n’est pas ambiguë : vous savez

exactement ce que cela veut dire. Mais si l’on vous demande combien de fois les aiguilles

forment un angle de 90 degrés, vous devriez demander : « Qu’entendez-vous par un angle de

90 degrés ? ». Il y a en réalité toujours deux angles que l’on peut voir : si un angle est de

90 degrés, alors il y a aussi un angle de 270 degrés.

Dans cet exercice nous sommes d’accord sur le fait que l’angle entre les deux aiguilles est

toujours le plus petit possible.

Donc lorsqu’il est 3 heures pile et 9 heures pile les deux aiguilles forment un angle de 90 degrés,

mais il y a d’autres positions des aiguilles qui forment un angle de 90 degrés.

A2 Combien de fois en l’espace de 12 heures, les aiguilles forment-elles un angle de

90 degrés, de 120 degrés, de 30 degrés ?

Si vous voulez communiquer vos réponses aux questions ci-dessus de manière claire aux

personnes qui ne connaissent pas le contenu de cet exercice, c’est une bonne idée de penser à la

manière dont vous allez le faire. Vous devez prendre en compte les illustrations avec des

graphiques, et une notation numérique, ou… (à remplir par vous-même !)

Certaines positions des aiguilles sont clairement plausibles et d’autres paraissent (presque)

impossibles. Les questions suivantes étudient ces (im)possibilités.

A3 On vous pose quatre fois la même question « Quelle heure est-il ? » et deux fois, il est

possible de trouver une réponse alors que deux fois c’est impossible. A vous de jouer…

Vous n’avez pas à calculer l’heure effective, vous devez seulement déterminer pourquoi la

position des deux aiguilles est possible ou non.

a. Les aiguilles se tiennent comme si l’une était la rallonge de l’autre et celle des minutes

est très proche du ‘11’. Quelle heure est-il ?

b. Les aiguilles forment un angle de 90 degrés et celle des minutes est parfaitement

horizontale. Quelle heure est –il ?

c. Les aiguilles sont symétriques par rapport à la ligne horizontale qui passe entre le pivot

des aiguilles et celle des heures est proche du ‘8’. Quelle heure est-il ?

d. Les deux aiguilles sont horizontales. Quelle heure est-il ?

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L’horloge chez le coiffeur

Chez le coiffeur vous regardez le miroir. S’il y a une horloge normale derrière vous accrochée au

mur, vous pouvez la voir mais selon une image inversée. Imaginez que c’est une horloge sans

numéros. Faites le vide dans votre esprit et regardez ce que vous voyez sans l’interprétation de

votre esprit qui vous indique la réalité.

A4

a. Dans le miroir, vous voyez qu’il est environ 2h05. Quelle heure est-il en réalité ?

b. Y a-t-il des heures dans la journée pour lesquelles il n’y a pas de différence entre une

image réelle ou celle projetée par le miroir ?

c. Si vous regardez l’horloge pendant longtemps, vous verrez l’horloge dans le miroir

marcher dans le sens inverse. Bizarre. Mais si vous ne regardez l’heure que de temps en

temps, vous verrez toujours une position des aiguilles qui peut apparaître sur une vraie

horloge. Expliquez pourquoi.

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Partie B : Calculer les positions des aiguilles

Dans la partie A, vous avez déjà été confrontés à l’idée selon laquelle certaines positions des

aiguilles sont impossibles. Les trois horloges suivantes illustrent certaines de ces impossibilités.

Si l’aiguille des minutes indique exactement le 9, celle des heures ne peut pas indiquer

exactement le 10. Nous ne travaillons qu’avec des horloges ultra précises aujourd’hui.

Dans ces exemples, l’explication est simple : l’aiguille des heures indique une heure pile, donc

celle des minutes doit indiquer exactement le 12.

Mais qu’est-ce qui est possible ?

B1 Ci-dessous, vous pouvez voir deux horloges différentes.

a. Sur l’horloge de gauche vous ne pouvez voir que l’aiguille des heures. Elle indique

exactement la marque de 8 minutes.

a. Trouvez la(es) position(s) que l’aiguille des minutes peut avoir.

b. Sur celle de droite vous ne pouvez voir que l’aiguille des minutes. Elle indique

exactement 6 minutes.

c. Trouvez la(es) position(s) que l’aiguille des heures peut avoir.

« La grande aiguille indique 6 minutes » cela veut dire qu’il est une certaine heure et 6 minutes.

Si la petite aiguille indique 8 minutes, alors cela n’a rien à voir avec 8 heures. Il nous faut plus de

précision. L’horloge est divisée en 60 indicateurs de minutes ; les 12 indicateurs plus gras sont

les indicateurs pour les heures (de 1 à 12). La combinaison entre la position de la minute et la

position corrélative de l’heure nous donne l’heure qu’il est.

Nous allons nous intéresser aux positions de l’aiguille des heures et de l’aiguille des minutes ainsi

qu’à l’heure correspondante.

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Afin de faire la différence entre les deux (positions des aiguilles et heure qu’il est), nous devons

nous mettre d’accord sur le fait que :

Les positions des aiguilles sont exprimées en degrés par rapport à la ligne

verticale orientée vers le haut.

Lorsqu’il est exactement 3h10, la grande aiguille est à un angle de 60 degrés et la petite est à un

angle d’un peu plus de 90 degrés.

B2

a. L’angle entre les deux aiguilles change constamment. Quel angle retrouve-t-on le plus

souvent : celui qui apparaît à 3h10 ou celui qui apparaît à 3h40 ?

b. Quel est l’angle entre les deux aiguilles à 4h22 ?

La grande aiguille fait un cercle de 360 degrés en une heure et recommence sa course ; la petite a

besoin d’exactement 12 heures avant de recommencer. De ce fait, il y a une autre différence qu’il

faut prendre en compte.

Si l’on ne considère que la position de la petite aiguille (en degrés par rapport à la ligne

verticale), nous ne prenons alors pas en compte le nombre de tours de 360 degrés que l’aiguille

a déjà effectués. Il y a donc une différence entre la position de l’aiguille par rapport à la ligne

verticale et l’angle qu’elle a effectué depuis l’heure de départ 12 heures (ou 0 heure).

Lorsqu’il est 3h10 la grande aiguille a déjà fait 3 tours complets.

Pour la grande aiguille (celle des minutes) nous utilisons la lettre ‘g’ de deux façons :

g correspond à l’angle effectué par la grande aiguille depuis l’heure de

départ 0 heure ;

G correspond à la position de la grande aiguille (en degrés) par rapport à la

ligne verticale.

Lorsqu’il est 3h10 alors : g = 1140 degrés et G = 60 degrés.

Sur le graphique ci-dessous, les positions des aiguilles (en degrés) sont tracées en fonction du

temps (en heures).

Les positions de la grande aiguille G (en bleu) et celles de la petite aiguille P (en rouge) sont

représentées pour chaque instant t entre 3 heures et 4 heures.

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Notez que 12 (heures) sur l’axe horizontale et 360 (degrés) sur l’axe verticale ont été tous les deux

remplacés par le 0. Cela montre que l’heure et la position des aiguilles ont recommencé un nouveau

tour.

Les formules algébriques suivantes font référence au graphique :

G = 360t – 1080

P = 30t pour

Les graphiques complets de G et P ainsi que toutes formules algébriques (pour toutes valeurs de

t à partir de t = 0 jusqu’à t = 12) sont utiles lorsqu’on calcule la position des aiguilles.

Bien sûr, vous pouvez choisir votre propre méthode. La seule condition étant que vous devez

pouvoir défendre votre position.

Dans la partie A, on vous a demandé combien de fois certaines positions des aiguilles

apparaissaient pendant une période de 12 heures. Une question logique pour continuer est :

B3 A quelles heures précises les aiguilles sont-elles :

exactement superposées ?

exactement à l’opposées l’une de l’autre ?

à un angle de 90 degrés, 120 degrés, 30 degrés ?

Notez que lorsqu’on dit « exactement » on ne veut pas dire « en minutes ou en secondes ou en

dixième de secondes exactement ».

Vous pouvez aussi utilisez des fractions pour l’heure exacte, par exemple 2 heures et 12

minutes.

Les graphiques et les formules algébriques peuvent aussi être utiles pour d’autres types de

questions. Mais, encore une fois, si vous avez votre propre moyen de répondre à ces questions

utilisez-le, mais faites attention à bien avoir une explication claire des choix que vous faites.

B4 Voici une montre qui est souvent présentée dans des

publicités. Les aiguilles sont à des angles exactement égaux par

rapport à l’axe vertical entre le point de pivot des aiguilles,

comme des bras qui invitent le consommateur. Prenez-en note !

a. Quelle est l’heure exacte sur cette montre ?

b. Il y a un plus grand nombre de positions symétriques

par rapport à l’axe vertical (même si elles sont moins

habituelles dans les publicités). A quelles heures est-ce

le cas ?

c. Les aiguilles sont symétriques par rapport à l’axe

horizontal entre le pivot des aiguilles et la petite aiguille

est proche du 8. Quelle est l’heure exacte ?

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B5 A cause d’un problème de montage, la petite aiguille commence à aller dans le mauvais sens au milieu de la nuit à 0 heures (minuit). La grande aiguille, par contre, continue à avancer dans la bonne direction. Calculez à quelle heure les aiguilles de cette horloge seront exactement superposées.

B6 Inventez au moins deux problèmes vous-mêmes que vous pouvez résoudre en utilisant le

graphique et les formules algébriques. Il est évident que ce serait préférable si vous pouviez

avoir les solutions aussi.

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Partie C : Cauchemar ?

Durant la nuit, vous vous réveillez et voyez sur votre réveil qu’il est juste minuit passé. Vous

vous rendormez mais une heure après environ, vous vous réveillez de nouveau. Vous êtes

sidéré ! C’est comme si le temps s’était arrêté. Par chance, vous réalisez votre erreur : la grande

et la petite aiguille ont échangé leur place.

Il est clair qu’au moment juste avant que les deux aiguilles échangent leurs places, les positions

des aiguilles étaient possibles, comme dans le cas ci-dessus. La question est, toutefois, lorsque

les aiguilles ont échangé leurs places, est-ce que les nouvelles positions sont possibles ?

Le raisonnement suivant devrait vous aider à comprendre.

Examinez les positions de la grande et la petite aiguille sur l’horloge de gauche (appelons-les G1

et P1 pour le moment).

Puisque la grande aiguille tourne 12 fois plus vite que la petite aiguille, l’angle effectué par les

aiguilles en degrés correspond à : g = 12P.

Puisque G1 est égal à un peu plus de 30 degrés, alors P1 doit être égal à un peu plus de 2,5 degrés.

Sur l’horloge de droite ça doit être l’inverse : G2 est égal à un peu plus de 2,5 degrés et P2 à un

peu plus de 30 degrés. Mais l’aiguille des minutes a fait un cercle de plus de 360 degrés ! Donc G2

doit être égal à un peu plus de 362,5 degrés.

Une première approche afin de déterminer l’heure exacte en utilisant une estimation initiale

peut être schématisée comme ci dessous.

Avec une première estimation :

P1 = 2,52 pour l’horloge de gauche, les autres valeurs peuvent être calculées :

Juste après 12 heures : Mais juste après 1 heures

(quand les deux aiguilles changent de place)

P1 = 2,52 P2 = 30,24

12 12

b1 = 30,24 b2 = 362,88

Donc la position de la grande aiguille après 1 heure est alors G2 = 2,88 degrés. Pas mal, mais ça

pourrait être mieux ! L’écart entre P1 et G2 pourrait être réduit.

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Examinez avec attention le calcul dans le diagramme ci-dessus et essayez une nouvelle fois en

utilisant une autre estimation pour P1 sur l’horloge de gauche afin que la valeur de G2 sur

l’horloge de gauche soit égale à P1.

Maintenant prêtez attention à la manière dont vous avez procédé dans vos calculs.

Essayez d’en faire une description à un niveau plus général et de l’utiliser pour répondre aux

deux questions suivantes :

C1 Combien y a-t-il de positions exactes des aiguilles sur une période de 12 heures telles que

lorsque les aiguilles sont échangées, cela produise encore une position correcte des

aiguilles ?

C2 Calculez certaines de ces positions exactes des aiguilles.

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Part D : Heures, minutes et secondes : un challenge pour les

« accros » du temps réel

La trotteuse, qui mesure les secondes, n’a pas joué de rôle pour l’instant. Toutefois, dans cette

partie, nous allons l’inclure ! La trotteuse fait le tour de l’horloge en une minute. Sur une période

de 12 heures, elle fait donc 720 tours.

Donc, pour la trotteuse comme pour l’aiguille des minutes, il est nécessaire de faire la différence

entre la position des aiguilles par rapport à la ligne verticale (qui pointe vers le haut) et l’angle

qu’elle a effectué depuis 0 heures.

Nous sommes d’accord sur le fait que :

s est l’angle effectué depuis l’heure de départ = 0 heures.

S correspond à la position de la trotteuse (en degrés) par rapport à la ligne verticale.

A t = 0 (12 heures) toutes les aiguilles sont superposées.

D1 Déterminez s’il y a d’autres moments où les trois aiguilles sont superposées. Vous pouvez

vous aider des résultats obtenus dans la partie B.

D2 Y a-t-il un (des) moment(s) où l’aiguille des heures, celle des minutes, et celle des

secondes sont toutes séparées par un angle de 120 degrés?

Une autre division du temps ; de nouvelles opportunités ?

Jusqu’à maintenant nous avons utilisé une division standard du temps :

Lorsque l’aiguille des heures fait un tour complet, celle des minutes fait 12 tours

complets ;

Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait 60 tours

complets.

Cette division du temps peut s’appeler la division (12, 60). Peut-être êtes-vous déçus par les

réponses que vous avez trouvées pour D1 et D2 avec cette division du temps. En effet, le

positionnement parfait des trois aiguilles n’arrive pas souvent. Mais peut-être qu’une autre

division du temps serait la solution à nos problèmes !

Définissons la division (p, q) du temps ainsi :

Lorsque l’aiguille des heures fait un tour complet, celle des minutes fait p tours

complets ;

Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait q tours

complets.

Donc pour une division (10,10) on obtient :

Lorsque l’aiguille des heures fait 1 tour complet, celle des minutes fait 10 tours complets.

Lorsque l’aiguille des minutes fait 1 tour complet, celle des secondes fait 10 tours

complets.

La dernière question de notre activité sera alors :

D3 Pour quelle division (p, q) du temps peut-on trouver des moments où les trois aiguilles

sont séparées par un angle de 120 degrés ?