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Mathématiques 1ère S janvier 2014

MathématiquesTable Des Matières

Fonctions trinômes 1 Exercice 1 1 Exercice 3 1 Exercice 4 1 Exercice 5 1 Exercice 6 1 Exercice 7 2 Exercice 8 2 Exercice 9 2 Exercice 10 2 Exercice 11 2 Exercice 12 3 Exercice 13 3 Exercice 14 3 Exercice 15 3 Exercice 16 3 Exercice 17 3

Fonction valeur absolue 4 Exercice 18 4 Exercice 19 4 Exercice 20 4 Exercice 21 4 Exercice 22 4 Exercice 23 5 Exercice 24 5

Fonction racine carrée 5 Exercice 25 5 Exercice 26 5 Exercice 27 5

Étude de fonctions 6 Exercice 28 6 Exercice 29 6 Exercice 30 6 Exercice 31 6

Fiche dérivation 7 dérivation 8

Exercice 32 8 Exercice 36 8 Exercice 37 8 Exercice 38 9 Exercice 39 9 Exercice 40 9 Exercice 41 9

Suites numériques 10 Exercice 42 10

Le cours Julie Table des matières


Exercice 43 10 Exercice 44 10 Exercice 45 11 Exercice 46 11 Exercice 47 11 Exercice 48 12 Exercice 49 12 Exercice 50 12 Exercice 51 12

Géométrie plane 13 Exercice 52 13 Exercice 53 13 Exercice 54 13 Exercice 55 13 Exercice 56 13 Exercice 57 14 Exercice 58 14 Exercice 59 14 Exercice 60 14 Exercice 61 15 Exercice 62 15 Exercice 63 15 Exercice 64 15 Exercice 65 15

Angles Et Trigonométrie 16 Exercice 66 16 Exercice 67 16 Exercice 68 16 Exercice 69 16 Exercice 70 17 Exercice 71 17 Exercice 72 17 Exercice 73 17 Exercice 74 17

Produit scalaire 18 Exercice 75 18 Exercice 76 18 Exercice 77 18 Exercice 78 18 Exercice 79 19 Exercice 80 19 Exercice 81 19 Exercice 82 19 Exercice 83 19

Probabilités 20 Exercice 84 20 Exercice 85 20 Exercice 86 21 Exercice 87 21 Exercice 88 21 Exercice 89 21 Exercice 90 21 Exercice 91 22 Exercice 92 22



Exercice 93 22 Statistiques 23

Exercice 94 23 Exercice 95 23 Exercice 96 24 Exercice 97 24 Exercice 98 24 Exercice 99 25



Fonctions TrinômesExercice 1 Soit f la fonction définie sur ℝ par : f (x )=x²−8x+ 15

1. Montrer que : f (x )=( x−4) ²−1 .

2. En déduire une forme factorisée de f(x).

3. Utiliser la forme la plus adaptée de f(x) pour répondre aux questions suivantes.

a) Calculer f (√3) .

b) Résoudre l'équation f (x )=0 .

c) Résoudre f (x )≥−14.

a) Résoudre l'équation f (x )=0 à l'aide du discriminant.

b) En déduire une forme factorisée de f(x).

c) Résoudre l'équation f (x )≥−1 à l'aide du discriminant.

Exercice 2

On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = x²-12x+14

1. Mettre f(x) sous forme canonique

a) Factoriser f(x)

b) En déduire la ou les solutions à l'équation f (x )=02.

a) Résoudre f (x )=0 à l'aide du discriminant

b) En déduire une factorisation de f(x)

Exercice 3

1. Résoudre 5x²−7x+ 1=0 2. Résoudre 5x²−6x+ 1=0

3. Résoudre 5x²−3x+ 1=0 4. Résoudre 9x²−6x+ 1=0

Exercice 4

1. Résoudre x²−5x+ 6≥0 2. Résoudre −6x²−4x−8< 0

3. Résoudre −x²−10x−25> 0

Exercice 5

Soit f (x )=x3+ 6x2

− x−30 Df =ℝ

1. Déterminer a, b, c tel que : f (x )=( x+ 3)(ax2+ bx+ c)

2. Résoudre l'équation f (x )=0

Exercice 6

Résoudre x4−x²−2=0

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Exercice 7 1. Écrire le schéma, le logigramme, l'algorithme d'un programme qui

• demande les coefficients d'un polynôme du second degré à l'utilisateur

• résout l'équation ax²+ bx+ c=0

• affiche la ou les solutions trouvées

2. Programmer cet algorithme sur votre calculatrice

Exercice 8 On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = -2x²-12x+14

1. Mettre f sous forme canonique puis sous forme factorisée

2. Étudier les variations de la fonction f

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f

4. Montrer que la fonction f admet un extremum (on précisera sa valeur et en quel point il est atteint)

5. Déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de 28 par f

6. Résoudre f(x)>14

7. Résoudre f(x)>0

Exercice 9

On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x) = -2x²-12x-13

1. Mettre f sous forme canonique

2. Étudier les variations de la fonction f

3. Dresser le tableau de variations de la fonction f

4. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [-6;0] dans un repère orthonormé

5. Montrer que la fonction f admet un extremum (on précisera sa valeur et en quel point il est atteint)

6. Déterminer le(s) antécédent(s) éventuels de -7 par f

7. Résoudre f(x)>-4

8. On considère les points A (2;-1) et B (0;21). déterminer l'expression de la fonction affine g dont la représentation graphique passe par A et B; puis la représenter sur la graphique.

9. Déterminer l'équation de la médiatrice de [AB]

Exercice 10 Dessiner l'allure de la courbe représentative de la fonction f (x )=−x²−10x−25 sans utiliser la calculatrice.

Exercice 11

1) Déterminer sur ℝ le signe de : −2x²+ 5x−3 , puis de 25x²−20x+ 4 .

2) f est la fonction définie par f (x )=−2x²+ 5x−325x²−20x+ 4

a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.

b) Résoudre l'équation l'équation f (x )=0

c) Résoudre f (x )≤0

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Exercice 12

1. Soit P (x )=x3+ 2x2−5x −10 .

2. A l’aide de la calculatrice conjecturer une racine du polynôme P(x), puis la vérifier par le calcul.

3. En factorisant P(x), résoudre P(x) = 0.

Exercice 13

4. On considère la parabole P d'équation : y=2x²−3x−2

5. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

6. D est la droite d'équation y=m (m est un réel quelconque).

Déterminer algébriquement suivant les valeurs de m le nombre de points d'intersection de P et de D.

7. D' est la droite y=3x+ 6

Déterminer les coordonnées des points d'intersection de P et D'.

8. A l'aide de la calculatrice graphique et par une résolution graphique retrouver les résultats obtenus dans les questions précédentes.

Exercice 14 Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD = BE = x.

Déterminer x pour que l'aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.

Données : AB = 18m ; AC = 8m.

Exercice 15

Soit x∈ℝ . Dans un repère orthonormé d’unité un centimètre, soit A(0; 2), B(1; 0) et C(x, 0). On note A(x) l’aire du triangle ABC.

1. Faire trois figures (pour x = −1, 4, 1), justifier l’égalité A( x)=12

OA×BC

2. Exprimer A(x) en fonction de x.

3. Pour quel(s) x a-t-on A(x) = 5cm2 ?

4. Représenter la fonction A et dresser son tableau de variation.

Exercice 16 Soient a, b, c trois réels non nuls tels que a et c soient de signes contraires.

Démontrer que ax2+ bx+ c=0 admet deux racines exactement. (on ne demande pas le calcul des racines).

Exercice 17

Un commerce de reprographie facture 10 centimes chacune des 50 premières photocopies et 8 centimes les suivantes. Écrire un algorithme qui fait saisir le nombre de photocopies et affiche le prix. Programmer et tester cet algorithme.

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B

E

A D C

x

x


Fonction Valeur AbsolueExercice 18

1. Calculer ∣0∣ ; ∣17∣ ; ∣− 7∣ |; 10− 3 ; ∣√2−√3∣ ; ∣3,14−Π∣ ; 34−

27

2. Soient a ,b∈ℝ . Calculer ∣a²∣ et | ∣2ab−a² − b²∣ .

3. Résoudre |x + 1| = 3.

4. Soit n un entier positif. Calculer ∣ nn+ 1

−n+ 1n+ 2∣

5. Représenter dans un repère orthonormé d’unité un centimètre la courbe de la fonction valeur absolue

6. Donner (en justifiant) le tableau de variation de la fonction précédente.

Exercice 19

On considère une droite graduée d’unité un centimètre, et on note d(a, b) la distance entre deux réels a et b représentés sur cette droite.

1. Représenter les réels −7, 3, −2, 5. Calculer d(0,−7); d(0, 3); d(0;−2); d(0, 5).

2. Comment exprimer la distance d(0, x) d’un réel x à 0 ?

3. Calculer d(−7, 3); d(−7,−2); d(−7, 5); d(3;−2); d(3; 5); d(−2; 5).

4. Comment exprimer la distance la distance d(a, b) entre deux réels a et b ?

Exercice 20 Dire de chacune des affirmations suivantes si elle est vraie ou fausse. Justifier les affirmations vraies par une démonstration, et donner un contre-exemple aux affirmations fausses.

1) Pour tout réel y, | − 1 − y| = 1 + y.

2) Pour tous réels x et y, ||x| − |y|| = |x − y|

3) Pour tous réels a, b et c, d (a , c)⩽d (a ,b)+ d (b , c )

Exercice 21

Résoudre les équations suivantes :

∣x−2∣=7 ∣x−2∣=0 ∣x−2∣=−6

∣2x−3∣=0 ∣3x−1∣=∣7−4x∣ ∣2−x∣=∣x+ 3∣

∣x−1∣∣x+ 1∣=9

Exercice 22

1. Interpréter en termes de distance puis résoudre graphiquement les inéquations :

∣x−1∣≤3 ∣x+ 4∣> 2 ∣x−1∣≤∣x+ 6∣

2. Résoudre les inéquations suivantes :

∣−3x+ 2∣< 6 ∣x+ 4∣>∣6−2x∣

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Exercice 23

Exercice 24

Soit f telle que f (x )=∣x+ 2∣+∣x−1∣ . Soit C sa courbe représentative.

1. Écrire l'équation de C sans valeur absolue sur ]−∞ ;−2[ , sur ]−2 ;−1 [ et sur ]1 ;+ ∞[ .

2. Représenter C

3. Résoudre graphiquement f(x) = 2 ; f(x) = 3 et f(x) = 4.

Fonction Racine CarréeExercice 25

1. Donner le domaine de définition de la fonction f (x )=√ x

2. Démontrer que cette fonction est croissante sur son domaine de définition.

Exercice 26

1. Donner le domaine de définition de la fonction f (x )=√2x−4

2. Étudier les variations de f sur son domaine de définition.

Exercice 27

Soit la fonction f définie sur ℝ par : √ x²−8x+ 25 .

1. Justifier que la fonction f est définie sur ℝ .

2. Établir le tableau de variations de la fonction trinôme : u (x )=x²−8x+ 25

3. En déduire les variations de la fonction f.

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Étude De FonctionsExercice 28 Soit les fonctions f (x )=x²−3x+ 3 et g ( x)=2x−3

1. A l'aide de la calculatrice, tracer les deux courbes représentatives de f et g.

2. A l'aide du graphique, donner la position relative des deux courbes.

3. Remplir le tableau de valeurs suivant :

x -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

g(x)

f(x) - g(x)

4. Étudier le signe de f(x) – g(x)

5. Conclure : donner le lien entre le signe de f (x )– g (x ) et la position relative des courbes.

Exercice 29

Soit les fonctions f (x )=x ; g ( x)= x² et h( x)=√ x

1.

a) Calculer g(-x). Conclure sur la parité de g et la symétrie de sa courbe représentative.

b) Calculer f(-x). Conclure sur la parité de f et la symétrie de sa courbe représentative.

c) Tracer la courbe représentative de g(x), celle de g(-x) et celle de -g(x).

2.

a) Déterminer le signe de f (x )−g ( x)

b) En déduire la position relative des deux courbes représentatives de f et g.

c) A l'aide de la calculatrice, tracer les deux courbes représentatives de f et h.

d) En déduire le signe de la fonction f (x )−h (x) .

Exercice 30

Soit la fonction f définie sur ℝ par : f (x )=1

−x²−10x−25.

1. Déterminer le domaine de définition de f.

2. Établir le tableau de variations de la fonction trinôme : u (x )=−x²−10x−25

3. En déduire les variations de la fonction f.

Exercice 31

Étudier les variations des fonctions suivantes :

1. g ( x)=−3√ x+ 3 2. f (x )=−3√x+ 3−9 3. h( x)=1

−2x+ 6

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Fiche DérivationDéfinition du nombre dérivé : dérivée de la fonction f au point d'abscisse a :

f ' (a)=limh→ 0

f (a+ h)− f (a)h

C'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse a.

Tangente : tangente à Cf au point d'abscisse a :

yT= f ' (a)(x−a)+ f (a)

Dérivées à connaître :

Fonction DérivéeK 0

x 1

U+ V U '+ V '

UV U ' V + UV '

UV

U ' V−UV '

V 2

U n nU ' U n−1

cosU −U ' sin U

sin U U ' cosU

1V

−1V²

√UU '

2√U

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DérivationExercice 32 Soit la fonction f(x) = x² et C sa courbe représentative.

1. Tracer C sur l'intervalle [-4;4] à l'aide de la fonction « table » de votre calcuatrice.

2. Déterminer graphiquement f'(1), f'0) et f'(-2)

3. Vérifier vos résultats par le calcul.

Exercice 33

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le nombre dérivé en a :

1. f (x )=5 – 2x et a = -6

2. f (x )=4x² – 6x+2 et a = -1

3. f (x )=−3x²+2x+2 et a = 0

Exercice 34

En utilisant la définition du nombre dérivé, étudier la dérivabilité des fonctions suivantes en a, où a est un réel fixé.

1. f (x )=1x

2. g ( x)=2

5− x

3. h( x)=4−3

2x+14. f (x )=a+

bcx+d

Exercice 35

Donner le domaine de définition des fonctions suivantes :

1. f (x )=x²+ 3x−1 2. l (x )=1x

3. h( x)=−2x+ 3

4. g ( x)=√x 5. k ( x)=√2x−3 6. i(x )=5x

x²−1

7. j (x )=−2x²+ 5x−325x²−20x+ 8

8. k ( x)=2x+ 6

√ x²+ 19. j (x )= √2x+ 3

25x²−20x+ 1

Exercice 36 Dériver les fonctions suivantes, après avoir déterminé leur ensemble D de définition et D' de dérivabilité.

1. f (x )=43

x6−√2 x²−x+ 1 ; 2. f (x )=

4x2 x²−x+ 1

3. h( x)=√2x+ 1 4. g ( x)=(2x+ 3)(x−1)

5. h( x)=(2x+ 1)2004

6. g ( x)=√x ( x−1x)

Exercice 37

Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x )=x3−3x²−9x+ 7 et C sa courbe représentative.

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1. Donner son domaine de définition.

2. Étudier les variations de la fonction f sur R.

3. a) Déterminer l'équation de la tangente à C au point d'abscisse 1. On appelle T cette tangente.

b) Vérifier que pour tout x réel (x−1)3=x3−3x²+ 3x−1 .

c) En déduire la position relative de la courbe C et de la tangente T.

Exercice 38

On considère la fonction f définie sur [-1,3] par f (x )=x3−4x²+ 4x . On appelle Cf sa courbe représentative.

1.

a) Déterminer f'(x) et étudier son signe.

b) Dresser le tableau de variations de f.

c) Précisez les extremums de la fonction f.

2. On appelle (T) la tangente à Cf au point d'abscisse 1.

Montrer que l'équation réduite de (T) est y=−x+ 2 .

3. On considère la droite (D) d'équation y=4x .

La courbe Cf admet-elle une tangente parallèle à la droite (D) ? Si oui, précisez en quels points.

4. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec les axes de coordonnées.

5. Tracer (T) ainsi que Cf.

Exercice 39

On considère la fonction f définie sur [0,3] par f (x )=2x3+ 12x²+ 2 . On appelle Cf sa courbe

représentative.

1) a. Déterminer f'(x) et étudier son signe.

b. Dresser le tableau de variations de f.

c. Précisez les extremums de la fonction f.

d. Déterminer le signe de f.

On considère la fonction g définie sur [0,3] par g ( x)=x3−2

x+ 4. On appelle Cg sa courbe représentative.

2) a. Déterminer g'(x).

b. A l'aide de la question 1) d, déterminer le signe de g'(x).

c. Dresser le tableau de variations de g.

Exercice 40

Démontrer que la fonction f (x )=2√ x n'est pas dérivable en 0.

Exercice 41 Écrire un algorithme qui fournit le tableau de valeurs de la fonction f(x) = -2x²-12x-13, pour x allant de -6 à 0 avec un pas de 0,5. On souhaite obtenir en sortie une liste des images correspondantes.

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Suites NumériquesExercice 42 Étudier le sens de variation des suites suivantes :

1. un=8

3n+ 12. un=5∗(2)3n−2

3. un=3n

n+ 14. un=n+ (

12)

n

5. un=0,99n+

n100

6. un=√n+ 3

Exercice 43

Le 1er janvier 2005, Sabrina et Johanna ont placé chacune 3 000 € à la banque.

Sabrina a choisi un placement rapportant chaque année 5% d'intérêts simples (les intérêts sont dits simples lorsqu'ils sont calculés chaque année à partir du capital initial).

En revanche, Johanna a choisi un placement à 4% d'intérêts composés (les intérêts sont dits composés lorsqu'ils sont calculés chaque année à partir du capital de l'année précédente)

Soit sn le capital de Sabrina l'année 2005 + n et jn le capital de Johanna l'année 2005 + n.

On admet que ni Sabrina, ni Johanna ne retirent de l'argent de la banque.

1. Donner la valeur de s0 et j0, puis calculer s1, s2, s3 et j1, j2, j3.

2. Montrer que sn+ 1=sn+ 150 et j n+ 1= jn∗1,04

3. En déduire la nature des suites (sn) et (jn) et leurs éléments caractéristiques.

4. Exprimer sn et jn en fonction de n.

5. A l'aide d'un tableur, compléter les cellules C4 à D6 en utilisant des formules.

6. Représenter les 20 premiers termes des suites (sn) et (jn) sur le même graphique. Discuter, suivant les valeurs de n, du placement le plus intéressant.

Exercice 44

Soit un programme qui

demande à l'utilisateur les valeurs de u0, r et n

calcule le niéme terme de la suite un=u0+ nr

1. Écrire le schéma de ce programme

2. Écrire le logigramme de ce programme

3. Écrire le pseudo-code de ce programme.

4. Tester le programme avec la calculatrice

5. Quelle est la nature de cette suite ?

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Exercice 45 Une automobile est vendue neuve au prix de 15 000 € au 1er janvier 2002.

On calcule sa « cote » annuelle (prix de vente estimé) de la façon suivante : chaque année, la nouvelle cote au 1er janvier est égale à la précédente diminuée de 25 %, le tout étant ensuite augmenté de 500 €.

On appelle Pn le montant de la cote au 1er janvier de l'année 2002 + n.

1.

a) Calculer P0, P1 et P2.

b) Déterminer, pour un entier n quelconque, l'expression de Pn+1 en fonction de Pn.

2.

a) On pose pour tout entier naturel n : un=Pn−2000 .Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le 1er terme et la raison.

b) Exprimer un en fonction de n. En déduire l'expression l'expression de Pn en fonction de n.

3.

a) Quel est le sens de variation de la suite (un) ? En déduire le sens de variation de la suite (Pn).

b) Quelle est la limite de la suite (Pn) ?

c) Déterminer à l'aide de la calculatrice l'année à partir de laquelle le véhicule aura une cote inférieure à 5000€.

4. Écrire un algorithme qui permet de vérifier ce chiffre.

Exercice 46

1. Soit la suite (un) définie par u0 = 12 et pour tout entier n, n≥1 , un+ 1=2un+ 5

3.

a) Donner u1, u2, u3 sous forme fractionnaire.

b) Démontrer que la suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2. On définit la suite (vn) pour tout entier n par : vn=un−5

a) Donner v0, v1, v2, v3 sous forme fractionnaire.

b) Calculer vn+1 en fonction de un.

c) En déduire que (vn) est une suite géométrique dont on indiquera la raison.

d) Exprimer vn puis un en fonction de n.

e) Quelle est la limite de la suite (vn) ? En déduire la limite de la suite (un).

Exercice 47

Soit un programme qui

demande à l'utilisateur u0, q et n.

calcul les n 1er termes de la suite v n+ 1=vn qn et affiche le niéme terme

1. Écrire le schéma de ce programme

2. Écrire le logigramme de ce programme

3. Écrire le pseudo-code de ce programme.

4. Tester le programme avec la calculatrice

5. Quelle est la nature de la suite ? Exprimer vn en fonction de n.

Le cours Julie 11


Exercice 48 Lors d’un jeu, Marc doit répondre à la question suivante :

≪ Le premier jour, nous vous offrons 100 € ; puis chaque jour suivant, nous vous offrons 5 %

de plus que la veille et une somme fixe de 20 €. Au bout de combien de jours aurez-vous gagné 10 000 € ≫ ?

1. Pour tout entier naturel n non nul, on note un le montant total en € versé à Marc le

n-ième jour. Ainsi, u1 = 100.

a) Calculer u2.

b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, un+1 = 1, 05un + 20.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = un + 400.

a) Calculer v1.

b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique et préciser sa raison.

c) Exprimer vn en fonction de n puis en déduire que un = 500 × 1, 05n−1− 400.

d) Déterminer, en fonction de n, la somme v1 + v2 + · · · + vn.

3. Quelle réponse Marc doit-il donner ?

4. Vérifier la réponse de Marc à l'aide d'un algorithme.

Exercice 49

Soit la suite (un) définie par u0=12

et pour tout entier n, n≥1 , un+ 1=2un

2+ 7un

.

1. Démontrer que la suite (un) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

2. On admet que pour tout entier n, n≥1 , un est non nul et on définit la suite (vn) pour tout entier n par :

vn=2−un

un

a) Calculer vn+1 en fonction de un.

b) En déduire que (vn) est une suite arithmétique dont on indiquera le premier terme et la raison.

c) Exprimer vn puis un en fonction de n.

d) Quelle est la limite de la suite (vn) ? En déduire la limite de la suite (un).

Exercice 50 Soit la suite un avec n∈ℕ telle que : un=6n² .

Écrire un algorithme qui :

1) Demande à l'utilisateur de choisir un réel A.

2) Détermine et affiche le rang de la suite un à partir duquel un est supérieur à A.

3) Quelles conditions doit vérifier un ?

Exercice 51

Soit la suite un avec n∈ℕ telle que : un=5+ 2r .

Écrire un algorithme qui demande à l'utilisateur une valeur de n et affiche toutes les valeurs de un jusqu'à n.

Le cours Julie 12


Géométrie PlaneExercice 52 On considère M tel que :

2 MA+ MB=3 AC+ 3 AB

Exprimer AM en fonction de AB et AC

Exercice 53

Soit ABC un triangle et les points N et P vérifiant :

AN=−34

AB−BC et AP=−12

AB+ 2 AC

1. Placer les points N et P.

2. Exprimer AN en fonction de AB et AC

3. Déterminer k tel que AN=k AP

4. Qu'en déduisez-vous pour les points A, P, et N?

Exercice 54

Dans un repère orthonormal, on considère les points A(2;1); B(-1;3); C(5;-4)

1. Calculer AC

2. Calculer les coordonnes de I milieu de [BC]

3. Calculer les coordonnées de M vérifiant AM =−12

AC

4. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.

Exercice 55

IJ (7 ;−3) et MN (4 ;a)

Déterminer a pour que (IJ) et (MN) soient parallèles.

Exercice 56

Placer, dans un repère (O , i , j ) , les points A(2,0), B(-1,4) et C(-4,3). Soit I, J, K les milieux respectif des segments [AB], [AC] et [BC].

1. Prouver que A, B et C ne sont pas alignés et donner l'équation de chacune des médianes du triangle ABC.

2. Calculer les coordonnées du point d'intersection des trois médianes. Comment s'appelle ce point ?

3. Donner les coordonnées de I, J et K dans le repère (A , AB , AC ) .

4. Soit P le point tel que IP= IB+34

BC . Donner les coordonnées de P dans le repère (A , AB , AC ) .

Le cours Julie 13


Exercice 57 On donne le point A(0;-2) et le vecteur u (−4 ;5) . On considère la droite D passant par A et de vecteur directeur u .

Les points suivants sont-ils sur la droite D ?

B(4;-7) ; C(0;3) ; D(4;-3) et E(8;-12)

Exercice 58

Dans un repère (O , i , j ) , on considère les points A(-1;2) et B(3;-5).

1. Donner un vecteur directeur à la droite (AB)

2. Les vecteurs suivants sont-ils vecteurs directeurs à la droite (AB) ?

u (2 ;−72) ; v (6 ;−

212) ; w (

−43

;73)

3. Donner une équation cartésienne de la droite (AB)

4. Donner l'équation réduite de la droite (AB)

5. Le point C(5;-2) appartient-il à la droite (AB) ?

6. Déterminer l'ordonnée du point E d'abscisse 5 qui appartient à la droite (AB).

Exercice 59

Dans un repère (O , i , j ) , on considère les points A(3;-7) et B(-2;0).

1. Donner une équation réduite de la droite (AB)

2. En déduire son coefficient directeur.

3. Donner un vecteur directeur à la droite (AB)

4. En déduire une équation cartésienne de la droite (AB)

5. Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles à la droite (AB) ?

D : y=−57

x+ 2 ; Δ : y=−57

x−7 ; Γ : y=75

x−7 ;

C : 5x−7y+ 9=0 ; T : 5x+ 7y+ 5=0 ; d : 7x+ 5y+ 9=0 .

6. Représenter graphiquement la droite (AB) et ses parallèles.

Exercice 60 On considère la droite (d) représentée ci-contre.

1. Lire graphiquement le coefficient directeur de la droite (d).

2. En déduire les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (d).

Le cours Julie 14

Oi

j


Exercice 61 Soit A, B, C trois points non alignés.

Soit D et E les points tels que BD=43

BC et DE=14

DA

1. Construire une figure.

2. Exprimer la vecteur AB en fonction des vecteurs BC et AD .

3. Exprimer la vecteur CE en fonction des vecteurs BC et AD .

4. En déduire que les droites (AB) et (CE) sont parallèles.

Exercice 62

ABCD est un parallélogramme. E, F et G sont les points définis par : AD= DE , DF=14

CD et 3 GD+GC=0 .

Démontrer que les droites (EF) et (AG) sont parallèles.

Exercice 63

ABC est un triangle. D est un point du segment [AB]. E et F sont les points définis par DE=2 AB+12

AC et

AF= AB+54

AC . Démontrer que les droites (DE) et (CF) sont parallèles.

Exercice 64

Dans un repère (O , i , j ) , on considère les points : A(-1;4), B(2;-2) et C(-3;3).

1. Donner une équation cartésienne de la droite (Δ), parallèle à la droite (AB) et passant par le point C.

2. Déterminer la valeur de α pour laquelle le point D (-2;α) appartient à la droite (Δ).

3. Le point E (−12

;32) appartient-il à la droite (Δ) ?

Exercice 65

1. Dans un repère (O , i , j) , on considère les droites (d) et (d') ont pour équations respectives : −x+ 4y+ 1=0et 5x+ 2y−5=0

a) Vérifier que (d) et (d') ne sont pas parallèles.

b) Calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (d) et (d').

2. Dans un repère (O , i , j) , les droites (d), (d') et (d'') ont pour équations respectives : x−4y+ 6=0 ; x+ 2y−12=0 et −5x+ 8y+ 6=0 .

a) Vérifier que les droites (d) et (d') ne sont pas parallèles.

b) Calculer les coordonnées du point d'intersection A des droites (d) et (d').

c) Vérifier que A est aussi un point de (d'').

d) Que peut-on en déduire pour les droites (d), (d') et (d'') ?

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Angles Et TrigonométrieExercice 66

L'unité est le radian. Soit le cercle trigonométrique et le repère (O ;OA , OB) .

1. Placer les points extrémités des arcs AM de mesures :−2 Π

3; −Π

3; −Π

4;

Π4

; Π3

; 2 Π

3;

7Π4

; 7Π3

, 8 Π

3

2. Indiquer sur le cercle où se fait la lecture des cosinus et des sinus de ces angles.

3. Compléter le tableau :

x −2 Π3

−Π3

−Π4

0 Π4

Π3

2 Π3

7Π4

7Π3

8 Π3

cos (x)

sin( x)

Exercice 67

Résoudre les équations suivantes :

1. sin(−x )=sin(Π3) 2. cos(3x)=cos(−Π

4)

3. sin(2x+ Π3)=sin(Π) 4. cos(2x−Π

4)=cos(2Π)

Exercice 68 Résoudre les équations suivantes :

1. sin(2x)=0 2. cos (−x)=0

3. sin(2x+ Π3)=0 4. cos(2x−Π

4)=−1

5. sin(−x+ Π2)=√3

26. cos (3x−Π

3)=−√2

2

Exercice 69

1. Donner la mesure principale de (OA ,OB)= 51π12

2. Quatre de ces mesures sont celles d'un même angle. Trouver l'intrus et justifier. 9π4

;17π

4;−7π

4;

13π4

; π4

.

3. On donne (u , v )=π6

et (u , w)= π12

.

Donner les mesures des angles suivants : (u ,−v ) ; (u ,3 u) ; (v , w) ; (−2 w ,−5 v)

Le cours Julie 16


4. On considère les points A, B, C, D et E tels que

( AB , AC )=5π6

; ( AB , AE )=2π3

; ( AD , AE)=π3

5. Démontrer que ACD est un triangle rectangle.

6. On a appris que cos(π4 )=

√22

. Comment le prouver ?

7. Donner deux valeurs de x comprises entre −π et π telles que sin x=−12

(justifier)

Exercice 70

ABC est un triangle rectangle en A tel que : ABC=π3

rad .

H est le point de [BC] tel que : (AH )⊥(BC )Déterminer la mesure principale des angles suivants : ( AB ; BC ) , ( AB ;CA) ,( AH ; BC ) et ( AH ; BA) .

Exercice 71

Soit (O ; i , j ) un repère orthonormé et (C) le cercle trigonométrique.

Soit A et B les points de (C) correspondants respectivement à −3π4

et 5π6

Déterminer la mesure principale de l'angle (OB ;OA)

Exercice 72 u , v et w sont trois vecteurs non nuls tels que : (u ; v )=π

4(2π) et (u ; w)=π

6(2π) .

Donner une mesure des angles : ( v ; u) , (u ;− v ) , ( v ; w) et (2 u ;3 v )

Exercice 73

A partir de cos(Π4) , déterminer les valeurs exactes de cos (Π

8) et sin(Π

8)

Exercice 74 Dans chaque cas, représenter sur un cercle trigonométrique l'ensemble des points M du cercle associés aux nombres x tels que :

1.12≤cos x≤1 2. cos x≤−√2

2

3. sin x>12

4. −√22≤sin x≤0

Le cours Julie 17

A

C

B

H


Produit ScalaireExercice 75 L'unité graphique est le centimètre.

1. Construire les points A, B, C tels que : AB = 4 ; AC = 5 et AB . AC=−4

2. Déterminer une valeur approchée en degré à 10-1 près de l'angle BAC

3. On donne le point I tel que : AI=AB+ AC ; calculer AI² puis AI

Exercice 76

Placer, dans un repère (O , i , j ) , les points A(2,0), B(-1,4) et C(-4,3). Soit I, J, K les milieux respectif des segments [AB], [AC] et [BC].

1. Prouver que A, B et C ne sont pas alignés et donner l'équation de chacune des médianes du triangle ABC.

2. Calculer les coordonnées du point d'intersection des trois médianes. Comment s'appelle ce point ?

3. Donner les coordonnées de I, J et K dans le repère (A , AB , AC ) .

4. Soit P le point tel que IP= IB+34

BC . Donner les coordonnées de P dans le repère (A , AB , AC ) .

Exercice 77 ABCD est un rectangle tel que AD = 2 et AB= 4, BCE est un triangle direct rectangle isocèle en C. On nomme I le milieu du segment [AB]. On sait alors que ID=√8 et IE=√20

1. Calculer les produits scalaires suivants : IA⋅CE , AD⋅BC et ID⋅IB

2. Calculer ( IA+ AD )⋅( BC+ CE ) . Que peut-on en déduire pour les droites (ID) et (BE) ?

3. En déduire ID⋅IE puis une valeur de l'angle ( ID , IE ) au degrés près.

Exercice 78

1. Calculer AB . AD puis AB et AD. En déduire une valeur approchée de l'angle ( AB , AD )

2. Calculer CD⋅DA , AB⋅CD , BC⋅AD .

Le cours Julie 18

1

1

B

D

C

A


Exercice 79

Affirmations V F Affirmations

Pour tous vecteurs u , v , w(2 u – v )⋅w = 2( u⋅w)– ( v⋅w) m m

A, B, C sont des points distincts.AB 2

+ AC 2=BC 2 si, et seulement si,

AB⋅AC=0

Pour tous vecteurs uet v∥u+ v∥2

= ∥u∥2+ 2 u⋅ v+∥v∥2 m m sin(π+ x)=sin x

Si u⋅v = u⋅w , alors v = w m mSi A(3;3) alors ses coordonnées polaires sont

A[3 ; π4 ]

Pour tous vecteurs u et v ,

u⋅v =12[∥u+ v∥

2−∥u∥

2−∥v∥

2] m mVous allez répondre faux à cette question et vous gagnerez donc 0,5 points

Exercice 80

Équilibre et Travail d'une forceOn rappelle qu'un objet est en équilibre si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle.

1. Un objet M est soumis à l'action de trois forces comme l'indique la figure ci-contre.a. Cet objet est-il en équilibre ?

b. Déterminer le travail de la résultante des forces :R= F1+ F 2+ F3 si l'objet se déplace de D à C, avec DC = 4 m.

Exercice 81

Trouver le centre et le rayon du cercle qui a pour équation x²+ y² – 2x+ 9=0

Exercice 82

La distance d(A,D) d'un point A à une droite D est définie comme la distance de A à la projection orthogonale H du point A sur la droite D. Le plan est muni d'un repère orthonormé.

1. Montrer que d(A,D) < AM pour tout point M ϵ D différent de H.

2. Soit D la droite d'équation y = 2x+1. Déterminer une équation de la droite perpendiculaire P à D passant par A(5, 1). (On pourra écrire une condition pour que M(x, y) ϵ P)

3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de A sur D.

Exercice 83

1. Soit A et B deux points distincts du plan. Quel est le lieu des points M tels que AM . MB=0 ?2. Soit C un cercle et A un point du plan. Montrer qu'une droite passant par A est tangente au cercle C en un point

M si et seulement si M appartient à l'intersection du cercle C et du cercle de diamètre [OA].

3. Dans un repère orthonormé, soit C le cercle de centre Ω(0, 1) et de rayon 1. Déterminer une équation du cercle (trouver une condition nécessaire et suffisante pour que M(x, y) ϵ C).

4. Déterminer les équations des tangentes au cercle passant par A(-1, -1).

Le cours Julie 19

135°

150°

D

C

M

5N

F 1 F 2

2√2 N

F 3

2√3N


ProbabilitésExercice 84 Une urne contient deux boules rouges numérotées de 1 à 2, deux boules vertes numérotées de 1 à 2 et une boule bleue. Ces boules sont indiscernables au toucher et on tire successivement et sans remise deux boules de l'urne. On note leur couleur.

1. Décrire l'ensemble Ώ des tirages possibles. Ces tirages sont-ils équiprobables ?

2. a) Vérifier que la probabilité d'obtenir deux boules vertes est égales à 110

.

b) On considère les événements suivants :

A : « on obtient au moins une boule rouge »

B : « les deux boules tirées sont de la même couleur »

C : « la boule tirée est bleue »

Calculer les probabilités suivantes; on justifiera soigneusement les réponses :

A , A , B , C , A∩B , A∪B , B∩C .

3. On considère le jeu suivant : une boule bleue gagne 4 points, une boule rouge gagne 1 point et une boule verte perd 3 points.

On appelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de points gagnés ou perdus.

a) Déterminer l'ensemble Ώ' des valeurs prises par X.

b) Déterminer la loi de probabilités de X.

c) Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de la variable aléatoire X. On détaillera le calcul.

d) Comment peut-on interpréter l'espérance mathématique de X?

Exercice 85 Lors d'un jeu télévisé trois chanteurs A, B et C interprètent chacun 5 chansons.

Les téléspectateurs sont invités à choisir trois de ces chansons et à les classer dans l'ordre de leur préférence.

1. Combien y a-t-il de listes possibles?

2. Un téléspectateur établit « au hasard » la liste gagnante en tirant d'une urne les titres de trois chansons.

Donner la probabilité pour que cette liste comporte :

a) 3 chansons du chanteur A;

b) 3 chansons du même chanteur; soit p1 cette probabilité;

c) 2 chansons exactement du même chanteur; soit p2 cette probabilité;

d) 3 chansons de trois chanteurs différents; soit p3 cette probabilité;

3. Calculer p1 + p2 + p3. Expliquer le résultat obtenu.

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Exercice 86 On a truqué un dé tétraédrique, dont les faces sont numérotées de 1 à 4, de sorte que la probabilité d'apparition de toute face paire soit le double de celle de tout face impaire. Marion et Cécile jouent avec ce dé; si, après un unique lancer, le résultat est impaire, Marion donne x € à Cécile et sinon, Cécile donne y € à Marion (x et y sont deux entiers naturels non nuls).

1. Proposer des valeurs pour s et y rendant ce jeu équitable.

2. Quelle est la forme générale des couples (x;y) rendant le jeu équitable?

Exercice 87

La roulette est un jeu pour lequel on doit choisir une case dans laquelle tombera la boule lancée : les numéros des cases vont de 0 à 37.

1) Avec une calculatrice, simuler une partie de roulette.

2) A partir de cette simulation,fournir un échantillon de taille 50 de cette expérience. Dans cet échantillon, quelle est la fréquence du 0? Du 1?

Exercice 88 On donne l'algorithme ci-contre :

1) Quelle expérience aléatoire simule cet algorithme?

2) Programmer cet algorithme et le faire fonctionner. Qu'obtient-on?

Variables N, C, i entiersEntrées Saisir NInitialisation C prend la valeur 0Traitement Pour i variant de 1 à N C prend la valeur C + Partie entière de (random x 20) Fin PourSortie Afficher C/N

Exercice 89 Soit l'expérience suivante : on lance un dé à six face et on s'intéresse au numéro situé sur la face supérieure du dé. On simule cette expérience.

Écrire l'algorithme permettant d'obtenir la fréquence de 2 obtenus sur n lancers.

Exercice 90 On dispose d'un sac contenant quatre jetons : deux rouges et deux verts.On effectue des tirages successifs sans remise jusqu'à obtenir deux jetons rouges.On note les couleurs des jetons obtenus dans l'ordre. Par exemple R1V2R3.

1. Donner la liste des différents résultats possibles.2. A l'aide d'un arbre pondéré, montrer que chaque résultat est équiprobable.

3. Quelle est la probabilité d'obtenir un jeton vert en second ? D'obtenir deux jetons verts ? D'avoir obtenu un jeton vert en second si l'on a déjà obtenu 2 jetons verts ?

4. On définit la variable aléatoire X qui associe à une partie le nombre de jetons verts obtenus. Donner sa loi de probabilité ainsi que son espérance.

5. Un joueur gagne 3 euros par jeton vert obtenu. A combien doit-on fixer le prix d'une partie pour que le jeu soit équilibré ?

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Exercice 91 On déplace un jeton sur un axe gradué suivant la règle suivante : lorsque le résultat d'un dé (équilibré) est pair le jeton avance d'un nombre de cm égal au résultat, sinon il recule d'un nombre de cm égal au résultat. Un élève réalise l'algorithme (faux) ci-contre pour simuler 1 000 tirages :

1. Que représente les variables X, N, et D ?

2. Si on lance le programme, que constate-t-on ? Corriger la boucle ?

3. Expliquer pourquoi « affecter X + D * (-1)D à X » permet de modifier l'abscisse du jeton selon le résultat du dé, conformément à l'énoncé.

4. En lançant le programme avec la boucle corrigée, l'élève constate qu'il n'a que 6 résultats différents : -1000, 20000, -3000, 4000, -5000, 6000. Expliquer ce phénomène et corriger le programme.

5. Estimer le résultat affiché par le programme correct avec un calcul. (On pourra commencer par calculer le déplacement moyen consécutif à un lancer de dé).

VariablesN, X, D entiersInitialisationAffecter 0 à XAffecter 1 à NAffecter un nombre entier aléatoire entre 1 et 6 à DTraitementTant que N <= 1000 Affecter X + D * (-1)D à X Fin Tant que Sortie fficher X

Exercice 92 À venir

Exercice 93 À venir

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StatistiquesExercice 94 Voici les notes de mathématiques d'une classe de seconde :

15 5 14 18 14 12 10 8 12 8 5 10 8 12 13 4 8 10 13 16 9 17 20 7 14 8 11 12 7 181. Rassembler ces données par notes croissantes en indiquant l'effectif de chaque note. Calculer les effectifs

cumulés croissants. Calculer la fréquence chaque note.

Notes

Effectifs

Effectifscumuléscroissants

Fréquences

2. Quel est l'effectif total de ce groupe?

3. Déterminer la note médiane.

4. Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série.

5. Déterminer son étendue et son mode.

6. Calculer la moyenne en maths de cette classe. Arrondir le résultat à 0,1 près.

7. Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice.

8. On choisit au hasard une copie. Quelle est la probabilité que la note de cette copie soit supérieure ou égale à 10?

9. Représenter cette série statistique à l'aide d'un diagramme en bâtons.

Exercice 95 La distribution des salaires d'une entreprise a été rassemblée dans le tableau suivant :

Tranches de salaires

[800;1100[ [1100;1500[ [1500;2000[ [1800;2500[ [2500;3500[ [3500;6000[

effectif 215 105 32 12 3 11. Quel est l'effectif total de ce groupe?2. Déterminer la tranche de salaire médiane.3. Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série.4. Déterminer son étendue et son mode.5. Calculer la moyenne des salaires. Arrondir le résultat à 0,1 près.6. Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice.

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Exercice 96 Les durées (en seconde) des communications d'un standard téléphonique sont regroupées en classes de même amplitude. On a représenté (ci-contre) le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série.

1. Faire apparaître, dans un tableau, les classes, les effectifs et les fréquences de cette série.

2. Préciser la classe modale de la série et son étendue; déterminer graphiquement sa médiane et calculer sa moyenne. Donner une interprétation de ces paramètres.

Exercice 97

Un laboratoire de physique nucléaire a réalisé 23 mesures de la masse d'un électron au repos (en 10-31 kg) :

masse 9,109520 9,109525 9,109536 9,10937 9,10941 9,10945 9,10962

effectif 1 3 5 7 4 2 1

Effectifs cumulés croissants

fréquences1. Remplir le tableau ci-contre2. Quel est l'effectif total de ce groupe?3. Déterminer la masse médiane.4. Déterminer la valeur du premier quartile et du troisième quartile de cette série.5. Déterminer son étendue et son mode.6. Calculer la moyenne des masses. Arrondir le résultat à 10-6 près.7. Vérifier vos réponses à l'aide de la calculatrice.8. Représenter le diagramme en boîte de la série.

Exercice 98

Pour qu'un fabricant de chocolat puisse faire figurer le label « 90% de cacao » sur ses produits, il faut que, lors de la production, le pourcentage moyen de la teneur en cacao appartienne à l'intervalle [84,5%;95,5%], que σ<3,5 et qu'au moins 94% de la production ait un pourcentage de teneur en cacao compris entre [m-2 σ;m+2 σ].La teneur de plaques de chocolat de la société REGALOU est la suivante :

Pourcentage de teneur en cacao Nombre de plaquettes

[70;80[ 7

[80;83[ 23

[83;85[ 55

[85;88[ 75

[88;90[ 17

[90;95[ 3

1. Calculer le pourcentage moyen de teneur en cacao.

2. Calculer la variance et l'écart type.

3. Calculer les fréquences cumulées croissantes.

4. Quel est le pourcentage de plaquettes dont la teneur en cacao se situe dans l'intervalle [m-2 σ;m+2 σ] ?

5. La société REGALOU pourra-t-telle accoler l'étiquette « 90% de cacao » sur ses produits ?

Le cours Julie 24


Exercice 99 Une association de consommateurs pèse 200 baguettes dans une boulangerie industrielle. La masse théorique est de 250 g. On donne ci-dessous le polygone des effectifs cumulés croissants de la variable statistique continue « masse d'une baguette ».

1. Compléter le tableau suivant :

Masse en g [235; 240[ [240; 245[ [245; 250[ [250; 255[ [255; 260[ [260; 265[

effec. cumulé

effectif2. Déterminer les classes contenant la médiane et chacun des quartiles.

3. On fait l'hypothèse que la répartition est uniforme à l'intérieur des classes. Proposer un calcul de la médiane et de la moyenne. Lire les quartiles graphiquement.

4. Déterminer la moyenne des carrés de façon analogue (on approchera la moyenne des carrées du centre de chaque classe). En déduire l'écart-type de la série.

5. Quel est le pourcentage de baguettes dont la masse se situe dans l'intervalle ] x−s , x+s [ ?

Le cours Julie 25

maths 1eres

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