mathématiques et informatique 2013 - decitre.fr · x pc maths x mp maths b ... ce sujet est...

Annales des Concours

MP

Mathématiques et Informatique

2013

Sous la coordination de

Guillaume Batog

Professeur en CPGEAncien élève de l’École Normale Supérieure (Cachan)

Vincent Puyhaubert

Professeur en CPGEAncien élève de l’École Normale Supérieure (Cachan)

Par

Charles-Pierre Astolfi

ENS Cachan

Pierre-Elliott Bécue

ENS Cachan

Guillaume Batog

Professeur en CPGE

Arnaud Borde

École Polytechnique

Céline Chevalier

Enseignant-chercheur à l’université

Christophe Fiszka

ENS Cachan

Florian Metzger

ENS Cachan

Benjamin Monmege

ENS Cachan

Gilbert Monna

Professeur en CPGE

Sophie Rainero

Professeur en CPGE

Jules Svartz

ENS Cachan

Alexei Tsygvintsev

Enseignant-chercheur à l’université

Les auteurs remercient Jean-Julien Fleck pour la précieuse aide qu’il a apportée à la prépa-ration de cet ouvrage.

Des annales, pour quoi faire ?

Quand on prépare les concours, on ne peut rien laisser au hasard : il faut étudierchaque leçon, apprendre chaque exercice classique, en somme, travailler en détail toutce qui peut tomber. Reste à savoir ce qui tombe vraiment !

Se confronter aux écrits de la dernière session est le meilleur moyen de préparerla suivante. Les Annales des Concours sont également un bon outil pour préparerles compositions pendant l’année. L’idée directrice de cet ouvrage s’inspire des ma-nuels de Terminale mais nous avons ajouté, pour chaque sujet, des indications et denombreux commentaires méthodologiques et scientifiques. Dans le même esprit, nousavons regroupé en fin d’ouvrage les formulaires les plus utiles.

Comment utiliser cet ouvrage ?

Les devoirs pendant l’année sont des entraînements précieux, mais ils sont géné-ralement trop courts ou trop longs. Trop courts, parce que les compositions sur tableen temps limité ne vous laissent guère le loisir de creuser les questions ; en s’interdi-sant de consacrer aux questions difficiles le temps qu’elles méritent, on se condamneà ne savoir résoudre que les questions faciles – celles qui rapportent peu de points.Trop longs, parce que les devoirs à la maison vous laissent seul face à un énoncé dontcertaines questions sont susceptibles de vous bloquer complètement, ou de vous fairetravailler pendant un temps déraisonnable. En prépa, le temps est compté.

Muni de cet ouvrage, vous pourrez rationaliser votre préparation. Commencezpar parcourir l’énoncé, sans le lire de manière exhaustive ni tenter de le résoudre detête : cherchez simplement à acquérir une idée générale de la destination du problèmeet des moyens qu’il se propose d’employer pour y parvenir. Travaillez de votre côté,en vous reportant au corrigé à la fin de chaque partie pour vérifier que vous êtessur la bonne voie. Lorsque vous êtes confronté à une question qui semble insurmon-table, consultez les indications puis réessayez. Si cela ne suffit pas, n’hésitez pas àlire en détail la solution de cette question, vérifiez que vous l’avez bien comprise etconcentrez-vous sur la question suivante, sans l’aide du corrigé.

C’est dans cette perspective que nous avons écrit cet ouvrage, auquel nous avonsapporté tout notre soin : au moins trois personnes ont travaillé sur chaque corrigé.Nous espérons qu’il vous aidera efficacement dans votre préparation.

Écrivez-nous !

Vos critiques, suggestions ou propositions nous aideront à améliorer encore nosouvrages. Si vous souhaitez nous en faire part, n’hésitez pas à nous écrire :

[email protected]

Si vous détectez une erreur, nous vous serions reconnaissants de nous en faire part :

[email protected]

Retrouvez-nous en ligne

Sur notre site www.H-K.fr, vous trouverez nos errata (les erreurs signalées et lescorrectifs), des compléments, et bien d’autres ouvrages. Nous attendons votre visite.

Bon courage, et bonne réussite !Les auteurs

Cet ouvrage n’aurait pu exister sans l’aide d’Étienne Audebeau, Cédric Lépine, StéphaneRavier, Laure Valentin et Gladys Vanhemelsdaele. Qu’ils en soient ici remerciés.

Sommaire thématique

2004 – 2013

① : 1 fois depuis 2004

② : 2 fois depuis 2004...

⑨ : 9 fois depuis 2004

❶ : 1 fois depuis 2004 dont 2013

❷ : 2 fois depuis 2004 dont 2013...

❿ : 10 fois depuis 2004 dont 2013

E3A PSI Maths B

E3A PSI Maths A

CCP PSI Maths 2

CCP PSI Maths 1

CCP PC Maths 2

CCP PC Maths 1

CCP MP Maths 2

CCP MP Maths 1

Centrale PSI Maths 2

Centrale PSI Maths 1

Centrale PC Maths 2

Centrale PC Maths 1

Centrale MP Maths 2

Centrale MP Maths 1

Mines PSI Maths 2

Mines PSI Maths 1

Mines PC Maths 2

Mines PC Maths 1

Mines MP Maths 2

Mines MP Maths 1

X PC Maths

X MP Maths B

X MP Maths A

Alg

èbre

géné

rale

②

③

①

②

②

①

③

③

②

②

①

Pol

ynôm

es

③

①

②

①

❶

②

①

②

⑥

④

①

②

①

②

①

④

④

①

Com

bina

toir

e

①

①

①

①

Alg

èbre

linéa

ire

❹

❸

❿

①

❿

❽

①

❾

②

❿

①

❼

③

⑥

❸

④

❹

②

⑤

❼

⑥

❸

Alg

èbre

bilin

éair

e

③

①

⑥

⑦

④

①

❼

❹

⑤

②

③

①

③

❸

❸

②

④

Suites

etsé

ries

num

ériq

ues

②

②

①

②

②

②

②

②

❺

①

③

❷

①

①

①

①

①

③

①

Suites

etsé

ries

defo

nction

s

❺

①

④

❺

③

③

①

⑥

④

❸

①

③

①

②

③

②

Séri

esen

tièr

es

①

①

❹

⑤

❷

❹

❽

③

❶

①

❸

①

①

②

③

②

③

Séri

esde

Fou

rier

①

②

②

⑤

❼

❶

❷

❺

❸

①

①

①

②

①

①

Cal

culin

tégr

al

❻

❹

❷

❺

❽

①

④

④

❹

④

③

③

⑥

③

⑤

④

③

④

Équ

atio

nsdi

ffér

entiel

les

②

③

①

⑤

①

❸

①

❻

③

❸

④

❹

②

❹

①

②

③

③

Ana

lyse

géné

rale

②

⑥

①

①

③

①

⑤

①

①

②

④

③

⑥

③

⑦

④

④

③

❷

⑤

Fon

ctio

nsde

plus

ieur

sva

riab

les

①

❶

②

①

②

❶

③

①

①

①

②

①

②

①

③

Top

olog

ie

❶

①

①

②

①

②

❸

①

②

❸

④

❷

②

Géo

mét

rie

①

①

①

①

③

①

③

❹

③

③

①

①

①

①

②

①

Sommaire

Éno

ncé

Cor

rigé

Concours Communs

Polytechniques

Mathématiques 1 Deux exercices. Séries de Taylor etdéveloppement en série entière.

séries de Fourier, systèmes différentiels, séries

entières, développements en série entière

17 21

Mathématiques 2 Matrices toutes-puissantes.

algorithmique, coniques, calcul matriciel,

réduction

37 42

Centrale-Supélec

Mathématiques 1 Théorème de Jörgens.

fonctions de 2 variables, difféomorphismes,

équations différentielles, séries de Fourier

55 58

Mathématiques 2 Décomposition polaire et applications.

matrices orthogonales et symétriques,

topologie, réduction, trigonométrie

75 78

Informatique Diagrammes de décision.

logique, arbres binaires, automates finis

99 103

Mines-Ponts

Mathématiques 1 Applications bilinéaires symétriquesplates.

formes bilinéaires, diagonalisation, topologie

121 125

Mathématiques 2 Quelques propriétés géométriques dugroupe orthogonal.

espaces euclidiens, matrices orthogonales,

théorème spectral, convexité

137 142

Informatique Recherche d’un motif dans un texte.

tableaux, automates

161 175

8

Polytechnique

Mathématiques A Algèbres d’endomorphismes remarquablesen dimension infinie.

algèbre linéaire, projecteurs, réduction

187 191

Mathématiques B Exposant de Hölder ponctuel d’unefonction continue.

analyse générale, formules de Taylor, suites et

séries de fonctions

207 212

InformatiqueMP

Logique temporelle.

logique, arbres, automates

237 246

InformatiqueMP/PC

Points fixes de fonctions à domaine fini.

boucles for, boucles while, structures

conditionnelles, récursivité

263 268

Formulaires

Développements limités usuels en 0 278Développements en série entière usuels 279Dérivées usuelles 280Primitives usuelles 281Trigonométrie 284

CCP Maths 1 MP 2013 — Corrigé 21

CCP Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l’université) ;il a été relu par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) et Guillaume Batog (Professeuren CPGE).

Comme souvent dans les épreuves des Concours Communs Polytechniques,ce sujet est composé de trois énoncés distincts : deux petits exercices et un grandproblème, tous indépendants. Ils ne sont pas difficiles mais demandent de bien maî-triser les définitions des différents concepts en jeu.

• Le premier exercice exploite les deux théorèmes classiques (Dirichlet et Parse-val) des séries de Fourier pour calculer deux sommes à partir du développementen série de Fourier d’une fonction très simple.

• Le deuxième exercice s’intéresse au thème, pas si fréquent, des systèmes dif-férentiels. Il a dû se révéler dévastateur pour tout élève ayant fait l’impassesur ce sujet. La méthode pour traiter le seul exemple donné (système différen-tiel linéaire du premier ordre de taille 2) était laissée au choix des candidats,qui pouvaient utiliser les exponentielles de matrices (comme l’énoncé l’indi-quait) ou la diagonalisation.

L’objectif du problème est d’étudier les liens entre le caractère C∞ d’une fonctionet le fait qu’elle soit ou non développable en série entière.

• Dans une partie préliminaire composée de trois questions de cours, on rappellela valeur d’une somme classique et la définition de la fonction Gamma d’Euler,puis l’énoncé demande de démontrer la formule de Taylor avec reste intégral.Il admet ensuite le théorème énonçant qu’une fonction développable en sérieentière est de classe C∞.

• Dans une première partie, le sujet propose deux exemples d’utilisation de cethéorème, puis un théorème des moments, donnant une condition pour qu’unefonction développable en série entière sur un intervalle soit identiquement nullesur cet intervalle.

• Dans une deuxième partie, le sujet demande quelques contre-exemples pourmontrer que l’implication inverse du théorème mentionné est fausse, c’est-à-direqu’une fonction de classe C∞ n’est pas forcément développable en série entièreau voisinage de l’origine. Il s’appuie pour cela sur les intégrales à paramètre.

• Dans une troisième partie, très courte, l’énoncé conclut le problème en propo-sant une condition suffisante pour qu’une fonction de classe C∞ soit dévelop-pable en série entière au voisinage de l’origine.

En conclusion, les deux exercices font office de bons sujets de révision sur leursthèmes respectifs. Ils pourront également être utilisés comme entraînement en vue desoraux. Enfin, le problème permet d’évaluer sa maîtrise des développements en sérieentière grâce à ses nombreux exemples et contre-exemples.

22 CCP Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Indications

Exercice 1

1.2 Utiliser le théorème de Dirichlet et l’égalité de Parseval.

Exercice 2

2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A et exploiter le théorèmede Cayley-Hamilton.

2.2 La solution du système différentiel est donnée par t 7→ X(t) = e tAX(0).

Problème – partie préliminaire

1 Remarquer que la série demandée est la dérivée d’une série connue.

2 Effectuer une intégration par parties.

3 Raisonner par récurrence.

Problème – partie I

4 Montrer que f est développable en série entière sur R.

5 Utiliser la question 1 et l’unicité du développement en série entière.

6.a La fonction f est bornée sur [ 0 ; 1 ].

6.b Montrer que S(x) = f(x)2, intégrer terme à terme cette égalité, puis utiliserl’hypothèse sur f .

6.c Montrer que f (n)(0) = 0 pour tout n ∈ N.

Problème – partie II

7 Considérer f : x 7→ 1

1− x .

8.b Raisonner par récurrence.

8.c Le résultat se prouve par récurrence en utilisant le théorème de prolongementpar continuité.

8.d Raisonner par l’absurde en supposant que f soit développable en série entièresur un voisinage de 0.

9.a Montrer que la fonction est négligeable devant une fonction classique intégrable,puis vérifier toutes les hypothèses du théorème de dérivation des intégralesà paramètre.

9.b Développer la fonction donnée en série entière, et utiliser l’unicité de la décom-position en série entière pour en déduire ses dérivées successives en 0. Utiliserensuite la propriété admise à la fin de la question précédente.

9.c Étudier la convergence absolue de la série entière en considérant la suite dessommes partielles.

Problème – partie III

10.a Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral rappelée à la question 3 de lapartie préliminaire, puis montrer que l’intégrale en jeu tend vers 0 quand n tendvers l’infini.

10.b La fonction cosinus convient.


Exercice 1 : une série de Fourier

1.1 Dessinons la courbe représentative de f sur [ 0 ;π ], puis complétons-la parimparité puis périodicité sur R.

x

y

• • • • • • • • •π−π 2π−2π 3π−3π 4π−4π

1

−1

O

La fonction f est 2π-périodique et continue par morceaux, ce qui justifie l’exis-tence de ses coefficients de Fourier. Comme f est impaire, pour tout n ∈ N, an(f) = 0.Soit n ∈ N∗. Calculons bn(f) :

bn(f) =1

π

∫ π

−π

f(t) sin(nt) dt

=2

π

∫ π

0

f(t) sin(nt) dt car f est impaire

=2

π

∫ π

0

sin(nt) dt

=2

π

[−1n

cos(nt)

]π

0

bn(f) =2

nπ[−(−1)n + 1]

Finalement,

∀n ∈ N an(f) = 0 b2n+1(f) =4

(2n+ 1)πb2n+2(f) = 0

Si f est 2π-périodique et continue par morceaux, ses coefficients de Fou-rier sont donnés par les formules

∀n ∈ N an(f) =1

π

∫ π

−π

f(t) cos(nt) dt

∀n ∈ N∗ bn(f) =1

π

∫ π

−π

f(t) sin(nt) dt

Si f est paire alors, pour tout n ∈ N∗, bn(f) = 0 et si f est impaire,

alors, pour tout n ∈ N, an(f) = 0.


1.2 La fonction f est de classe C 1 par morceaux et 2π-périodique. D’après le théo-rème de Dirichlet, sa série de Fourier converge simplement et sa somme est égale àla fonction

x 7−→ 1

2[f(x+) + f(x−)]

Cette dernière valeur vaut 1 si x ∈ ] 2kπ ; (2k + 1)π [ pour k ∈ Z, d’où

∀k ∈ Z ∀x ∈ ] 2kπ ; (2k + 1)π [ 1 =+∞∑n=0

4

(2n+ 1)πsin ((2n+ 1)x)

On applique cette relation avec x =π

2. Comme on a l’égalité

∀n ∈ N sin((2n+ 1)

π

2

)= (−1)n

il vient+∞∑n=0

(−1)n2n+ 1

=π

4

En outre, comme f est continue par morceaux et 2π-périodique, le théorèmede Parseval assure que

1

4a0

2 +1

2

+∞∑n=1

(an

2 + bn2)=

1

2π

∫ 2π

0

|f(x)|2 dx

En remplaçant les coefficients an (pour n > 0) et bn (pour n > 1) par les valeurstrouvées à la question précédente, il vient

1

2

+∞∑n=0

(4

(2n+ 1)π

)2

=1

2π

∫ 2π

0

|f(x)|2 dx = 1

donc+∞∑n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8

Penser aux théorèmes de Dirichlet et de Parseval pour relier des calculs desomme au développement en série de Fourier d’une fonction bien choisie.Dans le premier cas, il faut également bien choisir le point auquel on appliquele théorème.


CCP Maths 2 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Christophe Fiszka (ENS Cachan) ; il a été relu parFlorence Monna (Doctorante) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).

L’énoncé se compose d’un court exercice et d’un problème indépendant.

L’exercice propose de construire un algorithme pour déterminer les points à coor-données entières sur une hyperbole que l’on aura au préalable pris soin de tracer.Cet exemple simple testait la capacité des candidats à programmer rapidement leurscalculatrices.

Le problème en trois parties s’intéresse aux matrices « toutes-puissantes », c’est-à-dire aux matrices admettant pour tout entier n non nul une racine n-ième. Les deuxpremières parties sont indépendantes.

• La première partie est riche d’exemples. Dans un premier temps, on traite lecas relativement facile des matrices de taille 1. Puis dans un second temps,on donne une condition nécessaire mais non suffisante portant sur le déter-minant pour qu’une matrice soit « toute-puissante ». Après avoir diagonaliséexplicitement une matrice réelle de taille 3, on justifie que cette dernière estbien « toute-puissante ». On termine par deux derniers cas particuliers trèsinstructifs : celui des matrices de rotation et celui des matrices nilpotentes.

• La deuxième partie reprend en détail, mais sans le dire, la preuve d’un grandclassique : la décomposition de Dunford. On ramène ensuite l’étude de la notionde « toute-puissance » à celle des matrices unipotentes, c’est-à-dire des matricesdu type Ip +N avec N nilpotente.

• La dernière partie commence avec un rapide détour par les développementslimités afin de prouver un lemme sur les polynômes. Fort de ce résultat, on esten mesure de vérifier que toute matrice unipotente est « toute-puissante ».Par application de la partie précédente, on en déduit le résultat principaldu sujet :

Toute matrice complexe inversible est « toute-puissante ».

Ce sujet est relativement facile et classique. Il convient donc d’être particulière-ment soigneux et précis lors de la rédaction. Le problème a le mérite d’aborder denombreux points importants du programme sur le calcul matriciel et la réduction,ce qui en fait un bon problème de révision.


Indications

Exercice

2 Effectuer une boucle sur y.

3 On trouve deux couples solutions dont (1, 0).

Problème

Partie I

2.b Il suffit de donner une matrice dont le déterminant n’est pas dans T1(R).

4.a Calculer le polynôme caractéristique de A. Une valeur propre est double,déterminer la dimension du sous-espace propre associé pour conclure.

4.b Utiliser le fait qu’une matrice est TPR si et seulement si n’importe quellematrice qui lui est semblable l’est.

5.a Pour rappel, les matrices de rotation sont les matrices Rθ avec

Rθ =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)et θ ∈ R

6.b Si B est une racine n-ième de N, alors B est aussi nilpotente. Étudier l’indicede nilpotence de B, c’est-à-dire le plus petit entier non nul pour lequelBk = 0.

Partie II

7 C’est une application directe du lemme des noyaux.

Partie III

12.a Rappelons le principe de la division euclidienne. Pour tous (P, S) ∈ K[X]2

avec S non nul, il existe un unique couple (Q,R) ∈ K[X]2 tel que

P = S×Q+R avec deg(R) < p

12.b Comme on ne cherche pas à calculer U, il n’est pas nécessaire d’expliciter ledéveloppement limité de (1+ x)α. Seule l’existence d’un tel développementsuffit, or cette dernière est assurée par la formule de Taylor-Young.

13.b Factoriser λIp +N sous la forme λ(Ip + N) avec N nilpotente.

14.a Pour cette conclusion, il faut reprendre les résultats des questions 13.b et 11.

14.b Ne pas oublier les matrices nilpotentes...

15 Penser à regrouper par blocs les matrices de rotation de la question 5, quisont bien « toutes-puissantes » mais en général non diagonalisables dans R.


Exercice

1 L’équation de la tangente au point M(x0, y0) ∈ H s’obtient par dédoublementdes termes :

TM : x0x− 13y0y = 1

De plus, l’hyperbole intersecte l’axe des abscisses (la droite d’équation y = 0) auxpoints M1(1, 0) et M2(−1, 0). Les tangentes en ces points sont

TM1: x = 1 et TM2

: x = −1

On peut aussi réécrire l’équation de l’hyperbole sous la forme

H : (x−√13y)(x +

√13y) = 1

On lit directement les équations des asymptotes :

x =√13y et x = −

√13y

Ces informations aident à tracer l’hyperbole H.

Hx

y

2 L’idée de l’algorithme est de faire une boucle parcourant les valeurs possibles

de y. À y fixé, la solution positive de x2 − 13y2 = 1 est donnée par x =√1 + 13y2.

On teste ensuite que la valeur obtenue est bien entière.

Pour y variant de 1 à 200 faire

Calculer x =√1 + 13y2

Si x est entier alors afficher (x, y)Fin Pour

Il convient toutefois de prendre quelques précautions lorsque l’on teste siun nombre est bien entier. Par exemple, si l’on choisit y = 6485 alors√1 + 13y2 ≃ 23382.000 pourtant (23382)2 − 13y2 = −1... En effet, en pous-

sant un peu plus loin l’approximation, on constate que cette racine n’estpas entière

√1 + 13y2 ≃ 23382.00004. En toute rigueur, évitons donc de se

limiter à regarder si la valeur fournie par la machine est bien entière carcette dernière est approximative. Si on dispose d’un sous-programme quipermet de tester si un nombre est entier (comme par exemple la commandetype(?,integer) sous Maple), le problème ne se pose pas. Sinon un com-promis simple est de considérer l’entier le plus proche de

√1 + 13y2, puis

tester si ce dernier est bien solution de x2 − 13y2 = 1.


3 Un calcul à l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice donne deux possibilités dontune non triviale

(1, 0) et (649, 180)

Précisons le code dans différents langages : (à gauche le code, à droitela réponse)

• Sous Maple,entier := proc (n) entier(200);

local S, y; [1, 0],[649,180]

S := ;

for y from 0 to n do

if type(sqrt(1+13*y^2), integer)

then S:=S union[sqrt(1+13*y^2),y]fi;

od;

RETURN(S);

end;

• Sous la calculatrice TI-83 plus et sans utiliser un sous-programme devérification si un nombre est entier ou non,

PROGRAM:TEST prgmTEST

:FOR(Y,0,200)

:ROUND((1+13*Y^2)^(1/2),0)-> X 1

:IF X^2-13*Y^2=1 0

:THEN

:DISP X,Y 649

:END 180

:END Done

• Sous Matlab, en évitant l’utilisation d’une boucle et en traitant leproblème matriciellement,

y=[0:1:10^7]; ans =

x=round(sqrt(1+13*y.^2)); 1 0

[I,J]=find((x.^2-13*y.^2)==1); 649 180

[x(I),y(I)] 842401 233640

Dans le dernier exemple, on trouve une nouvelle solution à x2 − 13y2 = 1avec (842401, 233640).

De plus, il est possible de répondre à la question sans même l’utilisationd’un logiciel de calcul. On peut par exemple faire un tableau de valeurs afinde « deviner » les bonnes valeurs...

58 Centrale Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Centrale Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Alexei Tsygvintsev (Enseignant-chercheur à l’univer-sité) ; il a été relu par Clément Mifsud (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Pro-fesseur en CPGE).

Le but de ce sujet est d’étudier l’ensemble des solutions de l’équation aux dérivéespartielles

∀ (x, y) ∈ Ω∂2f

∂x2(x, y)× ∂2f

∂y2(x, y)−

(∂2f

∂x ∂y(x, y)

)2

= 1 (1)

Bien qu’elle soit majoritairement portée sur les fonctions de plusieurs variables, cetteépreuve couvre un ensemble assez large du programme d’analyse puisque sont no-tamment utilisées, outre les outils du calcul différentiel, les équations différentielleslinéaires et non linéaires ainsi que les séries de Fourier. Le problème est divisé enquatre parties.

• La première partie est consacrée à l’étude des couples (f, g) solutions des équa-tions dites de Cauchy-Riemann

∂f

∂x=∂g

∂y

∂f

∂y= −∂g

∂x

On démontre notamment via le développement en série trigonométrique de

f : (r, θ) 7−→ f(r cos θ, r sin θ)

que si les dérivées partielles de f et g sont bornées, alors elles sont constantes.

• Dans la deuxième partie, on étudie quelques solutions particulières de l’équa-tion (1). Il s’agit notamment de montrer qu’il existe au voisinage de chaquepoint de R2 un ouvert sur lequel l’ensemble des solutions de l’équation (1) quine sont pas polynomiales est infini.

• La troisième partie est indépendante des autres. On établit une condition suf-fisante pour qu’une application de classe C1 soit un difféomorphisme de R2

dans R2.

• La quatrième partie consiste à démontrer le théorème de Jörgens selon lequell’ensemble des solutions de l’équation (1) définies sur R2 est constitué des fonc-tions polynomiales de degré 2.

Cette épreuve est en définitive un excellent moyen de mettre à l’épreuve sa com-préhension des fonctions de plusieurs variables.

Centrale Maths 1 MP 2013 — Corrigé 59

Indications

Partie I

I.A.1 Appliquer la formule de dérivation d’une application composée.

I.A.2 Utiliser les équations de Cauchy-Riemann et le résultat de la question I.A.1.

I.B.2 Montrer que En est un espace vectoriel de dimension 2 et utiliser la questionprécédente.

I.C.1 Appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètre. Utiliser en-suite le résultat de la question I.A.2 dans l’expression de la dérivée obtenuepar la formule de Leibniz puis intégrer par parties.

I.C.2 Pour montrer que cn,f appartient à En, établir des résultats similaires à ceuxde la question I.C.1 pour cn,g. Pour le caractère borné, justifier que la fonc-tion f , et donc f , est bornée au voisinage de 0. Enfin, utiliser la forme dessolutions de En établie à la question I.B.2.

I.C.2 Fixer r > 0 puis appliquer les résultats sur les séries de Fourier à θ 7−→ f(r, θ).

I.D.1 Majorer grossièrement (cn,f )′.

I.D.2 Utiliser l’expression de la question I.C.2.

Partie II

II.B Appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz à une équation différentielle nonlinéaire du premier ordre bien choisie.

II.C Utiliser le fait qu’un polynôme ayant une infinité de racines est nul.

II.D.2 Calculer le membre gauche de l’équation (1) lorsque W est de la forme donnéepar l’énoncé, puis traiter les deux implications séparément.

II.D.3 Remarquer qu’avec la forme de W, on obtient W(x, y) = W(rx, y/r) pourtout (x, y) ∈ R2 et tout r > 0.

II.F Distinguer les deux cas x0y0 = 0 et x0y0 6= 0 et utiliser la question II.D.2.

Partie III

III.B.1 Introduire ϕ : t 7−→ p+ t(q − p).III.B.2 Utiliser la question III.B.1 et la linéarité à gauche du produit scalaire.

III.C.1 Penser à la formule de la différentielle d’une fonction composée.

III.C.2 Utiliser l’inégalité de Cauchy-Schwarz et le résultat de la question III.B.2.

III.C.3 À l’aide du résultat de la question III.C.2, ramener la recherche du minimumglobal à un compact de R2.

III.C.4 Remarquer qu’un point en lequel un minimum global est atteint est néces-sairement un point critique.

III.D Justifier à l’aide de l’hypothèse de l’énoncé que la différentielle de F en toutpoint est inversible.


Partie IV

IV.A Déterminer le signe du produit et de la somme des valeurs propres de lamatrice JacF(x, y)− I2.

IV.B.1 Sachant que F est un C 1-difféomorphisme, écrire les fonctions ϕ et ψ commeles fonctions coordonnées d’une composée de fonctions C 1.

IV.B.2 Utiliser les relations entre les matrices jacobiennes de fonctions composées.

IV.B.3 Montrer que ϕ et ψ vérifient les équations de Cauchy-Riemann et appliquerla question I.D.

IV.B.4 Utiliser la question I.D.2.

IV.B.5 Noter A et B les valeurs constantes de ∂ϕ/∂u et ∂ϕ/∂v. Exprimer ensuite ret t comme les racines d’une équation du second degré à coefficients constantsqu’on exprimera en fonction de A et B.

IV.C Commencer par utiliser le fait que ∂2f/∂x2 soit constante pour en déduireune forme simple de f . Dériver ensuite deux fois par rapport à y et utiliserle fait que ∂2f/∂x2 soit constante.


I. Les équations de Cauchy-Riemann

I.A.1 Soit (r, θ) ∈ R∗+×R. La fonction f est définie comme une fonction composée

de f et de (r, θ) 7→ (r cos θ, r sin θ) qui sont des applications de classe C1. On endéduit que f est de classe C1 par composition. D’après la formule de la chaîne,

∂f

∂r(r, θ) =

∂(r cos θ)

∂r

∂f

∂x(r cos θ, r sin θ) +

∂(r sin θ)

∂r

∂f

∂y(r cos θ, r sin θ)

soit∂f

∂r(r, θ) = cos θ

∂f

∂x(r cos θ, r sin θ) + sin θ

∂f


De même,

∂f

∂θ(r, θ) =

∂(r cos θ)

∂θ

∂f

∂x(r cos θ, r sin θ) +

∂(r sin θ)

∂θ

∂f


et∂f

∂θ(r, θ) = −r sin θ∂f

∂x(r cos θ, r sin θ) + r cos θ

∂f


I.A.2 En dérivant la fonction g au point (r, θ) ∈ R∗+ × R, on retrouve les formules

analogues à celles obtenues dans la question I.A.1 :

∂g


∂g

∂x(r cos θ, r sin θ) + sin θ

∂g


∂g

∂θ(r, θ) = −r sin θ ∂g

∂x(r cos θ, r sin θ) + r cos θ

∂g


Il suffit maintenant de remplacer dans les égalités précédentes les dérivées partiellesde g en fonctions des dérivées partielles de f grâce aux équations de Cauchy-Riemann

∂f

∂x=∂g

∂yet

∂f

∂y= −∂g

∂x

Ainsi,

∂f


∂g

∂y(r cos θ, r sin θ)− sin θ

∂g

∂x(r cos θ, r sin θ)

∂f

∂θ(r, θ) = −r sin θ ∂g

∂y(r cos θ, r sin θ)− r cos θ ∂g

∂x(r cos θ, r sin θ)

En comparant ces expressions avec les formules pour (∂f/∂r)(r, θ) et (∂f/∂θ)(r, θ)de la question I.A.1, il vient

∀(r, θ) ∈ R∗+ × R

∂f

∂r(r, θ) =

1

r× ∂g

∂θ(r, θ) et

∂g

∂r(r, θ) = −1

r× ∂f

∂θ(r, θ)

I.B.1 Soit α ∈ R. L’application ϕα est de classe C ∞ sur R∗+ avec pour tout réel t,

ϕα′(t) = α tα−1 et ϕα

′′(t) = α(α − 1) tα−2

et par conséquent,

t2 ϕα′′(t) + t ϕα

′(t)− n2 ϕα(t) = t2 α(α− 1) tα−2 + t α tα−1 − n2 tα

= (α2 − n2)tα


Centrale Maths 2 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et AntoineSihrener (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur la décomposition polaire de matrices : pour toute matrice inver-sible A, il existe une unique matrice orthogonale O et une unique matrice symétriquedéfinie positive S telles que A = OS.

• La première partie se concentre sur les résultats théoriques autour de la décom-position polaire. Très complète, elle mêle questions de cours, calculs pratiquessur un exemple et démonstrations substantielles demandant une grande partd’initiative personnelle. On y trouve à la fois de l’algèbre linéaire et de la to-pologie. Cette partie n’est pas de tout repos !

• La deuxième partie propose deux applications de la décomposition polaire.L’une consiste à montrer que deux matrices réelles sont orthogonalement sem-blables lorsqu’elles sont semblables dans C via une matrice complexe U vérifiantUtU = In. L’autre invite à établir une condition nécessaire et suffisante pour

qu’un système matriciel possède une solution dans GLn(R).

• La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle consiste à déter-miner pour tout n ∈ N∗ les éléments propres de la matrice carrée de taille n

An =

2 −1 0 . . . 0

−1 2 −1 . . ....

0 −1 2. . . 0

.... . .

. . .. . . −1

0 . . . 0 −1 2

Elle exige beaucoup de rigueur dans les calculs et une bonne aisance avec lesformules de trigonométrie.

• La quatrième partie porte sur l’étude de

Mn = sup Tr (AO) |O ∈ O(n)

où O(n) désigne le groupe orthogonal et A une matrice carrée d’ordre n.On établit d’abord une formule générale pour Mn, puis on traite le cas par-ticulier où A est égale à An à un coefficient de la matrice près. Il est nécessaired’avoir les idées claires à ce stade du sujet afin d’adapter efficacement les tech-niques employées au cours de la partie III. La dernière question demande detrouver un équivalent de Mn, question très longue et technique qui peut êtretraitée indépendamment de tout le reste.

Ce problème couvre un très large spectre du programme d’algèbre linéaire et dé-borde même sur le programme d’analyse (topologie, équivalents de suites). Très long,il offre de nombreuses possibilités pour rebondir en cas de blocage.


Indications

Partie I

I.A.1 Raisonner par double implication en se ramenant à des calculs matriciels :si X et Y sont les vecteurs colonnes respectifs de deux vecteurs x et y de Rn

dans une base orthonormée, alors 〈x | y〉 = tXY. Utiliser le théorème spec-

tral pour le sens indirect.

I.B.1 Remarquer que l’endomorphisme induit par v sur Ker (u − λId) est diago-nalisable et ne possède qu’une seule valeur propre.

I.B.2 Définir v sur une décomposition de Rn en sous-espaces propres de u.

I.B.3 Choisir un polynôme interpolateur de Lagrange.

I.C.2 Raisonner par analyse/synthèse en construisant S et O à partir de A.Cette question utilise les résultats des trois questions précédentes.

I.C.3 Diagonaliser tAA pour trouver une matrice S telle que S2 =

tAA.

I.D.1 Montrer que O(n) est un fermé borné deMn(R). Se rappeler que pour unematrice orthogonale M, tMM = In et tous ses coefficients sont inférieurs à 1en valeur absolue.

I.D.2 Pour une matrice M ∈ S+n (R), tXMX > 0 pour tout vecteur X. Écrirealors S+n (R) comme une intersection quelconque de fermés de Mn(R).

I.D.3 Pour une matrice M, considérer la suite (M− (1/p)In)p>0.

I.D.4 Considérer une suite (Ak)k∈N= (OkSk)k∈N avec Ok ∈ O(n) et Sk ∈ S++

n (R)pour tout k ∈ N. Utiliser un critère de compacité pour trouver O, puisexhiber S.

I.E Avec les mêmes techniques que celles employées au cours de la question I.D.4,utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour montrer que ϕ−1

est continue.

Partie II

II.A.1 Passer à la conjuguée puis transposer la relation A = UBU−1.

II.A.2.a Considérer la fonction z 7→ det(X + zY) définie sur C.

II.A.2.b Identifier partie réelle et partie imaginaire dans la relation A = UBU−1.

II.A.2.c Remplacer i par µ.

II.A.3.a La relation BS2 = S2B s’obtient par calcul à partir de AP = PB. Pour laseconde égalité, utiliser la question I.B.3.

II.B.1 Prendre un vecteur propre X pour tAA dans le système (∗).

II.B.2.b Utiliser la première ligne du système (∗).II.B.2.c Utiliser la seconde ligne du système (∗).

Partie III

III.B Initialiser pour p = 1 et p = 2 puis effectuer une récurrence, les formulestrigonométriques seront utiles.

III.C Déterminer p racines distinctes du polynôme Pp à partir des solutions del’équation sin((p+ 1)θ) = 0 sur ] 0 ;π [.

III.D Trouver une formule de récurrence sur les coordonnées d’un vecteur propre.


Partie IV

IV.A Utiliser le théorème de représentation des formes linéaires à l’aide d’un pro-duit scalaire dans un espace euclidien.

IV.B.1 L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.

IV.B.3 Utiliser la décomposition polaire A = OS, diagonaliser S et permuter lesmatrices dans la trace grâce à la propriété Tr AB = Tr BA pour toutesmatrices A et B de Mn(R).

IV.B.4 Majorer Tr DΩ pour tout Ω ∈ O(n) en utilisant que tous les coefficientsde Ω sont inférieurs ou égaux à 1.

IV.C.1 Calculer formellement Tr AM.

IV.C.2 Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss.

IV.C.3 Calculer A−1 t(A−1) colonne par colonne et l’exprimer en fonction de la ma-trice An de la partie III. En déduire son polynôme caractéristique à partirde celui de An et trouver ses racines avec la même méthode qu’aux ques-tions III.B et III.C.

IV.C.4 Dans la formule de la question IV.B.4, µ1, . . . , µn sont les inverses des valeurspropres obtenues à la question IV.C.3.

IV.C.5 Introduire la fonction f définie par f(θ) = 1/(2 cosθ) pour θ ∈ [ 0 ;π/2 [ etcomparer la somme Mn avec une intégrale In de f :

0 6 Mn −2n+ 1

πIn 6 un

avec un à déterminer. Calculer In à l’aide d’une règle de Bioche pour pouvoiren trouver un équivalent.


I. Décomposition polaire d’un endomorphisme de Rn

Ce sujet débute par une question de cours ultra classique qu’il ne faut surtoutpas négliger !

I.A.1 Considérons Rn muni du produit scalaire canonique 〈· | ·〉 défini par

〈(x1, x2, . . . , xn) | (y1, y2, . . . , yn)〉 =n∑k=1

xkyk

Rappelons que si B est une base orthonormée de Rn, alors 〈x | y〉 = tXY où X et Ysont respectivement les matrices colonnes des vecteurs x et y de Rn dans la base B.

Supposons que u est autoadjoint positif. Notons M la matrice de u dans une baseorthonormée B de Rn.

• Puisque u est autoadjoint, 〈x | u(y)〉 = 〈u(x) | y〉 pour tous x, y ∈ Rn. NotonsX = MatB x et Y = MatB y. Ainsi,

〈x | u(y)〉 = tXMY et 〈u(x) | y〉 = t

(MX)Y =tX

tMY

En notant (Ek)16k6n la base canonique de l’espace des matrices colonnes detaille n, on obtient en particulier que

∀ i, j ∈ 1, . . . , n tEiMEj =

tEi

tMEj

d’où ∀ i, j ∈ 1, . . . , n Mij =(tM)ij

donc tM = M, c’est-à-dire que M est symétrique.

• Puisque u est défini positif, 〈x | u(x)〉 > 0 pour tout x ∈ Rn\0. Soit x unvecteur propre de u pour la valeur propre λ. Alors

0 < 〈x | u(x)〉 = 〈x | λx〉 = λ 〈x | x〉 = λ ‖x‖2

d’où λ > 0 pour toute valeur propre λ de u, donc de M.

Réciproquement, supposons que la matrice de u dans toute base orthonorméede Rn soit un élément de S++

n (R). Notons M = MatB u pour une base orthonormée B

de Rn.

• Comme M est symétrique, on obtient pour tous vecteurs x et y de Rn

〈u(x) | y〉 = t(MX)Y =

tX

tMY =

tXMY = 〈x | u(y)〉

avec X = MatB x et Y = MatB y donc u est autoadjoint.• Puisque M est symétrique réelle, le théorème spectral assure qu’il existe une

base C orthonormée de vecteurs propres c1, . . . , cn de u pour les valeurs propresλ1, . . . , λn respectivement, strictement positives car M ∈ S++

n (R). Soit x unvecteur non nul de Rn. Notons

X = MatC x =t(x1 · · · xn

)et Y = MatC u(x) =

t(λ1x1 · · · λnxn

)

Calculons 〈x | u(x)〉 = tX Y =

n∑i=1

λi xi2 >

(Min16i6n

λi

)‖x‖2

Puisque toutes les valeurs propres sont strictement positives et que x est nonnul, on en déduit que 〈x | u(x)〉 > 0 pour tout x 6= 0 donc u est défini positif.

L’endomorphisme u est autoadjoint défini positif si et seulement si samatrice dans n’importe quelle base orthonormée appartient à S++

n (R).

Centrale Informatique MP 2013 — Corrigé 103

Centrale Informatique MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Benjamin Monmege (ENS Cachan) ; il a été relu parCharles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce problème étudie la représentation de formules logiques à l’aide d’arbres et dediagrammes de décision. Le sujet est composé de cinq parties.

• La partie I introduit les arbres de décision, qui sont des arbres binaires permet-tant de représenter des formules logiques. Un algorithme d’évaluation d’un telarbre, représenté comme un vecteur, est demandé.

• La partie II demande d’écrire une procédure compactant au maximum un arbrede décision en construisant un « diagramme de décision » (dit réduit) dont lesnœuds correspondent à des formules logiques différentes.

• La partie III commence par donner une méthode directe (sans passer par lesarbres de décision) construisant un diagramme de décision à partir d’une for-mule logique. On s’intéresse ensuite aux diagrammes de décision ordonnés,qui ont la propriété qu’une formule logique admet un unique diagramme dedécision ordonné réduit, ce qui permet de décider facilement si deux formuleslogiques sont équivalentes, ou si l’une est une tautologie.

• La partie IV cherche à construire un circuit logique à partir d’une formule,d’abord directement, puis en utilisant les diagrammes de décision. Pour cela,on introduit et étudie des multiplexeurs, qui sont des petits circuits basiquespermettant de réaliser physiquement des diagrammes de décision.

• Enfin, la partie V, très différente des précédentes, s’intéresse à la représentationdes solutions de combinaisons booléennes d’équations linéaires sur les entiersgrâce à des automates finis. Une construction est proposée et il est demandé del’appliquer à un exemple d’équation linéaire.

Les parties sont indépendantes, même si les parties II et III utilisent des défini-tions des parties précédentes. Le sujet aborde largement les notions de logique auprogramme ; plus accessoirement, la partie I utilise des arbres binaires, et la partie Vdes automates finis. Il s’agit d’un problème relativement facile et classique : en effet,plusieurs sujets de concours se sont déjà intéressés aux diagrammes de décision,par exemple les sujets 1999 et 2012 de l’X. Il contient assez peu de questions deprogrammation (celles-ci sont toutes regroupées dans les deux premières parties).Quelques questions théoriques de logique sont cependant difficiles, d’autant que laformulation de l’énoncé est parfois très floue.

104 Centrale Informatique MP 2013 — Corrigé

Indications

Partie I

I.C Utiliser une fonction récursive auxiliaire qui parcourt le chemin de la racineà une feuille, en fonction de la valuation des variables rencontrées, que l’oncalcule grâce à la fonction de la question I.B.

Partie II

II.B Parcourir le vecteur représentant le diagramme à l’aide d’une boucle while àla recherche d’un nœud où la règle d’élimination peut s’appliquer. On sortirade la boucle dès qu’un tel nœud est trouvé.

II.C Procéder de même que dans la question II.B, mais en utilisant deux boucleswhile imbriquées pour parcourir l’ensemble des couples de nœuds.

II.D Attention, l’énoncé de cette question est erroné. Prouver seulement la conditionnécessaire de l’assertion : si le diagramme est réduit, alors aucune des deuxrègles de simplification ne peut lui être appliquée. Trouver ensuite un contre-exemple à la réciproque.

Partie III

III.B Développer la formule (a→ b, c)→ d, e pour trouver sa forme normale disjonc-tive, la simplifier puis la factoriser afin de voir apparaître l’opérateur (a→ ·, ·).

III.C Commencer par utiliser les questions III.A et III.B pour transformer touteformule logique en une formule n’utilisant que l’opérateur (x → ·, ·) avec xune variable.

III.E Montrer que pour toute valuation v des variables de f ,

(t→ f [t = 1], f [t = 0])(v) = f(v)

III.F Expliquer comment construire un diagramme de décision ordonné à partird’une formule logique. En appliquant les règles de simplification de la partie II,on obtient alors un diagramme de décision ordonné où ni la règle d’élimina-tion ni la règle d’isomorphisme ne peuvent s’appliquer. Conclure en supposantque l’équivalence de la question II.D est vraie pour les diagrammes de déci-sion ordonnés.

III.G Faire une récurrence sur le nombre n de variables de la fonction booléenne.

III.H Utiliser la construction de la question III.F, et l’unicité prouvée dans la ques-tion III.G.

Partie IV

IV.A Commencer par dénombrer les mintermes sur un ensemble à n variables.

Partie V

V.C Faire en sorte que le langage reconnu par un état k′ de l’automate A−→a ,k soit

l’ensemble des mots v ∈ A∗ tels que −→v est une solution de 〈−→a | −→x 〉 = k′.

V.D En partant de l’état initial de A−→a ,k, montrer que l’on construit uniquementdes états de la forme

k

2p−

p∑i=1

αi2p−i+1

avec p un entier naturel, et (αi)16i6p des entiers que l’on borne uniformément.

Centrale Informatique MP 2013 — Corrigé 105

I. Arbres de décision

I.A Pour construire un arbre de décision, on peut, par exemple, créer un vecteurde type noeud de taille égale au nombre de nœuds de l’arbre, que l’on initialise parexemple avec des feuilles vrai. On remplace ensuite les nœuds un par un avec leurvaleur réelle. Pour information, on a représenté à droite la numérotation choisie pourcréer l’arbre.

let monAD = make_vect 7 (Feuille true);;

monAD.(0) <- Decision ("e",1,2);

monAD.(2) <- Decision ("a",3,4);

monAD.(3) <- Decision ("r",5,6);

monAD.(4) <- Feuille false;

monAD.(6) <- Feuille false;;

0

1 2

3

5 6

4

I.B On parcourt la liste l des seules variables vraies à la recherche de la variable x,grâce à une fonction récursive. Si on trouve la variable x, on renvoie true ; si on arriveà la fin de la liste l sans l’avoir trouvée, on renvoie false. La fonction eval_var

est de type ’a -> ’a list -> bool : en particulier, si on suppose que son premierargument est une chaîne de caractères, on obtient une fonction de type string ->

string list -> bool.

let rec eval_var x l =

match l with

|[] -> false

|y::l’ -> (y = x) || (eval_var x l’);;

I.C On utilise une fonction auxiliaire parcours récursive de type int -> bool telleque parcours v renvoie l’évaluation du sous-arbre de racine d’indice v. Si v est unefeuille, l’évaluation est immédiate. Sinon, on calcule la valuation de la variable à laracine grâce à la fonction eval_var puis on évalue le sous-arbre gauche si la variables’évalue à vrai et le sous-arbre droit dans le cas contraire. La fonction parcours estappelée à partir de la racine d’indice 0. La fonction eval est de type noeud vect ->

string list -> bool.

let eval arbre l =

let rec parcours v =

match arbre.(v) with

|Feuille b -> b

|Decision (x,w,w’) ->

if (eval_var x l) then parcours w else parcours w’

in parcours 0;;

106 Centrale Informatique MP 2013 — Corrigé

II. Diagrammes de décision

II.A La fonction diag commence par supprimer le nœud v en associant la va-leur Vide à l’élément correspondant du vecteur codant le diagramme de décision.On parcourt ensuite ce vecteur à l’aide d’une boucle for à la recherche d’un nœudu tel qu’au moins l’un de ses sous-arbres est v : dans ce cas, le (ou les) sous-arbre(s)est (sont) remplacé(s) par w. La fonction redirige est de type noeud vect -> int

-> int -> unit.

let redirige diag v w =

diag.(v) <- Vide;

for u = 0 to vect_length diag - 1 do

match diag.(u) with

|Decision (x,v1,v2) when v1 = v && v2 = v ->

diag.(u) <- Decision (x,w,w)

|Decision (x,v1,v2) when v1 = v ->

diag.(u) <- Decision (x,w,v2)

|Decision (x,v1,v2) when v2 = v ->

diag.(u) <- Decision (x,v1,w)

|_ -> ()

done;;

II.B La fonction trouve_elimination, de type noeud vect -> int, parcourt levecteur codant le diagramme de décision à la recherche d’un nœud v pouvant êtreéliminé. On réalise ce parcours à l’aide d’une boucle while. On initialise ainsi deuxréférences v et b enregistrant l’indice courant et un booléen vrai si et seulement siun nœud pouvant être éliminé a déjà été trouvé. La référence v est initialisée à 0

et b à false. On sort de la boucle lorsque la référence v atteint la fin du vecteur oulorsque b devient égal à true.

let trouve_elimination diag =

let m = vect_length diag in

let v = ref 0 and b = ref false in

while !v < m && not !b do

match diag.(!v) with

|Decision (x,w,w’) when w = w’ -> b := true

|_ -> v := !v + 1

done;

if !b then !v else -1;;

II.C La fonction trouve_isomorphisme, de type noeud vect -> int * int, réa-lise un parcours similaire à la fonction de la question II.B. À l’aide de deux boucleswhile imbriquées, l’ensemble des couples d’indices (v, w), avec v < w, est par-couru : une boucle externe parcourt l’ensemble des indices v dans l’ordre croissant,et une boucle interne parcourt l’ensemble des indices de v+1 au dernier dans l’ordrecroissant. Pour chaque couple, on cherche si v et w sont deux feuilles de même valeur,ou deux nœuds vérifiant les conditions décrites dans l’énoncé.

Mines Maths 1 MP 2013 — Corrigé 125

Mines Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relupar Antoine Sihrener (Professeur en CPGE) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

Le problème porte sur l’algèbre linéaire et bilinéaire. Il introduit la notion d’ap-plication bilinéaire symétrique plate et envisage quelques-unes de ses propriétés.Notons une petite intervention de la topologie.

• La partie A est consacrée au cas particulier des formes bilinéaires symétriques,le but étant de démontrer que les formes bilinéaires symétriques plates sontexactement celles qui sont de rang 1.

• La partie B généralise la très classique diagonalisation simultanée de deux endo-morphismes qui commutent : les endomorphismes étant symétriques, on montrel’existence d’une base orthonormale commune de diagonalisation, et on étendle résultat à un ensemble quelconque d’endomorphismes. Si l’on connaît bienla diagonalisation simultanée, cela ne présente pas de difficulté majeure.

• À la partie C, on passe au cas des applications bilinéaires symétriques de (Rn)2

dans Rp et on introduit la notion de vecteur régulier pour ces applications.Après quelques questions techniques, dont une relativement difficile, on établitune propriété des applications bilinéaires symétriques plates. On revient ensuiteau cas général pour démontrer que l’ensemble des vecteurs réguliers pour uneforme bilinéaire symétrique donnée est un ouvert dense de Rn.

• La dernière partie porte sur le cas particulier des applications bilinéaires sy-métriques de (Rn)2 dans R

n de noyau nul, le but final étant d’établir que cesapplications sont diagonalisables.

Il n’est jamais commode de devoir, en trois heures, découvrir, comprendre etmanipuler une notion nouvelle. Ce sujet plutôt abstrait est donc très formateur.

126 Mines Maths 1 MP 2013 — Corrigé

Indications

Partie A

2 Dans le cas où a ⊗ b est symétrique, comparer les noyaux des formes linéaires aet b.

3 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles puis chercherce que donne l’hypothèse sur le rang de ϕ pour les valeurs propres de la matricede ϕ.

4 Remarquer que dans le cas p = 1, le produit scalaire n’est rien d’autre que leproduit usuel des nombres réels.

5 Utiliser le théorème de réduction des matrices symétriques réelles pour obtenirune base dans laquelle la matrice de ϕ est diagonale. Puis, en utilisant l’hypothèse« ϕ est une forme plate », démontrer que tous les termes diagonaux de la matricesont nuls sauf un.

Partie B

7 Si ui0 est un endomorphisme symétrique qui n’est pas une homothétie, l’espacevectoriel E est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres de ui0 .Si (ui)i∈I est une famille d’endomorphismes qui commutent avec ui0 , la restrictionde ces endomorphismes à chaque sous-espace propre Eλ de ui0 définit une familled’endomorphismes symétriques de Eλ qui commutent.

Partie C

8 Penser à faire apparaître un polynôme caractéristique, le spectre d’une matriceréelle est fini.

9 Extraire une sous-matrice inversible de la matrice des coordonnées des vecteursa1, a2, . . . , ar pour appliquer la question précédente.

10 Après l’indication de l’énoncé, utiliser la question 9 pour montrer l’existence d’unnombre réel t tel que ϕ(x, y) ∈ Im (ϕ(x+ ty)) et aboutir à une contradiction.

11 Utiliser la question précédente, puis l’hypothèse que ϕ est une application bili-néaire symétrique plate.

12 Penser à la continuité du déterminant.

13 À partir d’un vecteur non régulier v′ et d’un vecteur régulier v, montrer à l’aidede la question 8 l’existence de vecteurs réguliers de la forme v′ + tv avec t ∈ R.

Partie D

14 Application immédiate de la question 11.

15 Écrire 〈ψ(x)(y) | z〉 = 〈ϕ(x) ϕ(v)−1(y) | ϕ(v) ϕ(v)−1(z)〉 puis revenir à la dé-finition de ϕ pour pouvoir utiliser l’hypothèse que ϕ est une forme bilinéairesymétrique plate.

16 Utiliser le fait que ϕ est bijective et la question précédente.

17 Poser εi = ϕ(v)−1(ei), puis exprimer ϕ(εi, εj) et ϕ(εj , εi).


A. Formes bilinéaires symétriques plates

1 Montrons d’abord l’unicité. Supposons qu’il existe deux endomorphismes u et vtels que

∀(x, y) ∈ Rn × Rn ϕ(x, y) = 〈u(x) | y〉 = 〈v(x) | y〉Il en résulte 〈u(x) | y〉 − 〈v(x) | y〉 = 0. Par linéarité à gauche du produit scalaire,〈u(x) − v(x) | y〉 = 0 pour tout couple (x, y) de vecteurs de Rn. Ainsi, pour x ∈ Rn,le vecteur u(x)−v(x) est orthogonal à tout élément y de Rn. Par conséquent, il appar-tient au sous-espace vectoriel orthogonal de Rn pour le produit scalaire canonique,qui est réduit au vecteur nul. Il en résulte que u(x) − v(x) = 0, ceci pour tout xélément de Rn, ce qui implique u = v.

Montrons maintenant l’existence. On désigne par (ei)16i6n la base canoniquede R

n. On définit un endomorphisme u de Rn en posant

u(ei) =n∑j=1

ϕ(ei, ej)ej

L’endomorphisme u est défini par la donnée des images des vecteurs de la base ca-nonique. On a

〈u(ei) | ek〉 =⟨ n∑j=1

ϕ(ei, ej)ej

∣∣∣ ek⟩=

n∑j=1

ϕ(ei, ej)〈ej | ek〉 = ϕ(ei, ek)

puisque la base canonique de Rn est orthonormale pour le produit scalaire canonique.Ainsi, on définit un endomorphisme u tel que ϕ(ei, ej) = 〈u(ei) | ej〉 pour tout coupled’entiers i et j compris entre 1 et n. Par linéarité de u et bilinéarité de ϕ et duproduit scalaire canonique de Rn, on en déduit

∀(x, y) ∈ (Rn)2 ϕ(x, y) = 〈u(x) | y〉

Il existe un unique endomorphisme u de Rn tel que

ϕ(x, y) = 〈u(x) | y〉 pour tout (x, y) ∈ (Rn)2.

On peut aussi utiliser le théorème de représentation des formes linéairesdans un espace vectoriel de dimension finie. Pour tout x ∈ Rn, l’applica-tion y 7→ ϕ(x, y) est une forme linéaire, donc il existe un unique élémentde Rn, que l’on note u(x), tel que, pour tout y ∈ Rn, ϕ(x, y) = 〈u(x) | y〉.On définit ainsi une application u de R

n dans lui-même (à cause de l’unicitédu vecteur u(x)) et on montre ensuite que cette application est linéaire.

Par hypothèse, ϕ est une forme bilinéaire symétrique :

∀(x, y) ∈ (Rn)2 ϕ(x, y) = ϕ(y, x)

d’où ∀(x, y) ∈ (Rn)2 〈u(x) | y〉 = ϕ(x, y) = ϕ(y, x) = 〈u(y) | x〉 = 〈x | u(y)〉

L’application u est un endomorphisme symétrique de l’espace euclidien (Rn, 〈 | 〉).

L’endomorphisme u étant symétrique de Rn dans lui-même, il est diagonalisabledans une base orthonormale (ε1, . . . , εn). Ainsi, 〈u(εi) | εj〉 = 0 si i est différent de j,ce qui est équivalent à ϕ(εi, εj) = 0, pour tout couple (i, j) d’entiers naturels distinctscompris entre 1 et n. Il en résulte que

L’application ϕ est diagonalisable.


2 Puisque, pour tout couple (x, y) de vecteurs de Rn, (a⊗b)(x, y) = a(x)b(y) est unproduit de nombres réels, l’application a⊗b est à valeurs dans R. Soient (x, y, z) ∈ Rn

et (λ, µ) ∈ R2. On a

(a⊗ b)(λx + µy, z) = a(λx+ µy)b(z)

= (λa(x) + µa(y))b(z)

= λa(x)b(z) + µa(y)b(z)

(a⊗ b)(λx + µy, z) = λ(a⊗ b)(x, z) + µ(a⊗ b)(y, z)Il en résulte que a⊗ b est linéaire à gauche, on montre de même qu’elle est linéaireà droite. Finalement,

a⊗ b est une forme bilinéaire.

L’application a⊗ b est symétrique si et seulement si

∀ (x, y) ∈ (Rn)2 a(x)b(y) = a(y)b(x)

Supposons que a et b ne sont pas des formes linéaires nulles. Il existe un vecteury appartenant à Rn tel que a(y) soit non nul. Soit x un élément du noyau de a. Ona alors a(x)b(y) = 0, d’où a(y)b(x) = 0, ce qui entraîne que b(x) = 0. Il en résulteque Ker (a) ⊆ Ker (b). On montre par un raisonnement analogue l’inclusion inverse.Les deux formes linéaires ayant le même noyau, elles sont proportionnelles.

Réciproquement, si l’on suppose que b = λa avec λ ∈ R, on a

∀(x, y) ∈ (Rn)2 (a⊗ b)(x, y) = a(x)λa(y) = λa(x)a(y) = a(y)λa(x) = (a⊗ b)(y, x)Par conséquent,

La forme bilinéaire a⊗b est symétrique si et seulementsi les formes linéaires a et b sont proportionnelles.

3 Soient (e1, e2, . . . , en) une base qui diagonalise ϕ et (f1, f2, . . . , fn) la base dualecorrespondante. Puisque ϕ est de rang 1, la matrice de ϕ dans la base (e1, e2, . . . , en),qui est diagonale, a un seul terme non nul. En changeant l’ordre des vecteurs de labase, si nécessaire, on peut supposer que la matrice de ϕ est diag(λ, 0, . . . , 0).

Soient x = (x1, x2, . . . , xn) et y = (y1, y2, . . . , yn) deux éléments de Rn écrits dansla base (e1, e2, . . . , en). Avec la matrice de ϕ, on a ϕ(x, y) = λx1y1 = λf1(x)f1(y).Si λ est positif, on pose f =

√λf1 ; si λ est négatif, on pose f =

√−λf1, c’est-à-dire

f =√|λ|f1. Dans les deux cas,

∃ f ∈ Rn∗ ϕ = +− f ⊗ f

Voici une démonstration alternative pour éviter le recours à la dualité.Soit A la matrice de ϕ dans la base canonique de Rn. Puisque la formebilinéaire ϕ est de rang 1, la matrice A est de rang 1. D’après le théorèmedu rang, elle admet un noyau de dimension n− 1, hyperplan que l’on désignepar H.

Soit u un vecteur unitaire de Rn, orthogonal à H. Tout vecteur x de Rn

se décompose de manière unique sous la forme x = x1 + λu avec x1 ∈ H.Posons alors g(x) = λ. L’unicité de la décomposition de x dans la sommedirecte Rn = H ⊕ Ru assure que g(x) est défini de manière unique, ainsi gest une application de Rn dans R.


Mines Maths 2 MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relupar Silvère Gangloff (ENS Ulm) et Nicolas Martin (ENS Lyon).

Ce problème, composé d’algèbre et de topologie, a pour finalité de démontrerque l’enveloppe convexe de l’ensemble On(R) des matrices orthogonales est la bouleunité fermée B de Mn(R), au sens de la norme subordonnée à la norme euclidiennecanonique, et que les matrices orthogonales constituent les points extrémaux de B.Il se compose de six parties. Les quatre premières sont indépendantes entre elles maisles résultats que l’on y établit servent dans les deux dernières.

• Dans la première partie, on s’intéresse à des résultats généraux sur les matrices.

• La deuxième partie permet d’établir l’existence de la décomposition polaired’une matrice : on y démontre que toute matrice A d’ordre n s’écrit sous laforme A = US, où U ∈ On(R) et S est une matrice symétrique réelle positive.

• Dans la troisième partie, on démontre l’existence et l’unicité du projeté d’unvecteur x de E sur une partie H convexe et compacte d’un espace euclidien E :pour tout x ∈ E, il existe un unique h0 dans H tel que

‖x− h0‖ = Infh∈H‖x− h‖

De plus, on établit une caractérisation de ce projeté à l’aide du produit scalaire.

• La quatrième partie traite de l’enveloppe convexe conv(H) d’une partie H de E ;on y prouve que conv(H) est constituée des combinaisons convexes d’au plusdimE+1 éléments et que l’enveloppe convexe d’un compact de E est elle-mêmeune partie compacte de E.

• Dans la cinquième partie, on démontre que l’enveloppe convexe conv(On(R))de l’ensemble des matrices orthogonales est un compact de Mn(R), puis qu’elleest égale à la boule unité B.

• Enfin, après avoir défini les points extrémaux de B comme les éléments Ade B tels que l’écriture A = (B+C)/2, avec B et C appartenant à B, entraîneA = B = C, on établit que On(R) est l’ensemble des points extrémaux de B.

Ce sujet est intéressant et bien construit. Les résultats qui y sont démontrés sontrelativement classiques et peuvent avoir été rencontrés en exercice ou en problèmedurant l’année scolaire, mais que les candidats qui ne les ont pas vus se rassurent :les parties sont bien guidées et comportent suffisamment de questions intermédiairespour pouvoir être traitées. Dans l’ensemble, le sujet est abordable, il n’est pas trèslong et il ne comporte pas de question exagérément difficile. C’est un bon problème derévision, à aborder après avoir fini les chapitres de topologie et d’algèbre euclidiennede deuxième année.


Indications

Partie A

3 On rappelle qu’une matrice symétrique A ∈Mn(R) est positive si, et seulement si,〈AX,X〉 > 0 pour tout X ∈Mn,1(R).

Partie B

4 Travailler dans une base orthonormée de diagonalisation de tAA. Prouver par

double inégalité que ‖A‖2 = Max√

λ | λ ∈ sp( tAA

).

5 Diagonaliser tAA dans une base orthonormée puis construire une racine carréede la matrice diagonale obtenue.

6 Travailler à nouveau dans une base orthonormée de diagonalisation de tAA.

7 Pour construire un isomorphisme qui conserve la norme, il suffit de définir uneapplication linéaire qui envoie une base orthonormée sur une base orthonormée.

8 Définir u par son action sur les sous-espaces supplémentaires Im h et Ker h.

Partie C

10 Séparer l’existence de l’unicité. Pour l’unicité, remarquer que l’application q dé-finie dans l’énoncé est polynomiale de degré 2.

11 Raisonner par double implication en utilisant l’indication de l’énoncé pour l’unedes implications et l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour l’autre.

Partie D

12 Utiliser la définition de l’enveloppe convexe, c’est-à-dire démontrer que l’ensembledes combinaisons convexes d’éléments de H est la plus petite partie convexe de Equi contient H.

14 Pour assurer la positivité des coefficients de la combinaison linéaire, introduirele plus petit élément de l’ensemble des λi/|µi| pour i ∈ [[ 1 ; n ]] tel que µi 6= 0.

15 Suivre l’indication de l’énoncé.

Partie E

16 Appliquer le résultat de la question 15.

18 Se servir de la condition caractérisant le projeté orthogonal établie dans la ques-tion 11.

19 Utiliser la formule de la question 1 avec une base orthonormée de diagonalisationde S.

Partie F

21 Se souvenir du cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire.

22 Appliquer le résultat de la question 9.

23 Que pourrait-on dire de A si tous les di étaient égaux à 1 ?

24 Commencer par construire deux matrices diagonales Dα et D−α telles que D soitégale à (Dα +D−α)/2, en modifiant le je coefficient de la diagonale de D à l’aidedu résultat de la question 23. Pour vérifier que Aα et A−α sont bien dans B,penser à la question 4.


A. Produit scalaire de matrices

1 Soient A une matrice d’ordre n et (e1, . . . , en) une base orthonormée de Rn.Notons u l’endomorphisme canoniquement associé à A et B = (bi,j)16i,j6n la ma-trice de u dans la base (e1, . . . , en). Puisque cette base est orthonormée, pour tout(i, j) ∈ [[ 1 ; n ]]2,

bi,j = 〈u(ej), ei〉 = 〈Aej , ei〉

L’énoncé autorise l’identification des vecteurs avec des matrices colonnes,ce qui justifie ici l’identification du vecteur u(ej), élément de R

n, avec lamatrice colonne Aej , élément de Mn,1(R), le vecteur ej étant alors lui-mêmeconsidéré comme une matrice colonne.

Il s’ensuit, comme les matrices A et B sont semblables puis par définition de la traced’une matrice,

Tr A = Tr B =n∑i=1

bi,i =n∑i=1

〈Aei, ei〉

En conclusion, Tr A =n∑i=1

〈Aei, ei〉

2 Notons ϕ :

Mn(R)

2 −→ R

(A,B) 7−→ Tr( tAB

)

et démontrons que ϕ est un produit scalaire sur Mn(R).

• ϕ est bien à valeurs dans R.

• ϕ est symétrique. En effet, pour tout (A,B) ∈Mn(R)2,

ϕ(B,A) = Tr( tBA

)= Tr

(t( tBA

) )

car une matrice et sa transposée ont la même trace. Ainsi,

ϕ(B,A) = Tr( tAB

)= ϕ(A,B)

• Démontrons que ϕ est linéaire à gauche. Soient A, B et C dans Mn(R) et λ ∈ R.Par linéarité de la transposition, puis distributivité et linéarité de la trace, on a :

ϕ(λA+ B,C) = Tr( t(λA+ B)C

)

= Tr((λ

tA+

tB)C

)

= Tr(λtAC +

tBC

)

= λ Tr( tAC

)+Tr

( tBC

)

ϕ(λA+ B,C) = λϕ(A,C) + ϕ(B,C)

Ainsi, ϕ est une forme symétrique et linéaire à gauche, c’est donc une formebilinéaire symétrique.


• Pour démontrer que ϕ est définie positive, utilisons la question 1 avec la basecanonique de Rn, notée (e1, . . . , en), qui est bien une base orthonormée pour leproduit scalaire canonique de Rn. Soit A une matrice d’ordre n,

ϕ(A,A) = Tr( tAA

)=

n∑i=1

〈 tAAei, ei〉 =n∑i=1

〈Aei,Aei〉 =n∑i=1

‖Aei‖2 > 0

Rappelons en effet que, pour toute matrice B d’ordre n et tous vec-teurs x et y de Rn, on a

〈 tBx, y〉 = 〈x,By〉

La forme bilinéaire ϕ est donc positive. En outre, si ϕ(A,A) = 0, alors

∀i ∈ [[ 1 ; n ]] ‖Aei‖ = 0

car une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chaque termeest nul. Il en découle

∀i ∈ [[ 1 ; n ]] Aei = 0Mn,1(R)

La famille (e1, . . . , en) étant une base de Rn, on conclut que A = 0Mn(R).

ϕ est une forme bilinéaire symétrique définie posi-tive, c’est-à-dire un produit scalaire, sur Mn(R).

3 Soient A et B deux matrices symétriques réelles positives. D’après le cours,la matrice B est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.Soit (e1, . . . , en) une telle base, soient également (λ1, . . . , λn) ∈ Rn les valeurs propres,éventuellement confondues, associées à cette famille de vecteurs propres. Elles sontpositives car B est positive. D’après le résultat de la question 1,

〈A,B〉 = Tr( tAB

)=

n∑i=1

〈 tABei, ei〉 =n∑i=1

λi 〈 tA ei, ei〉

par définition des λi et linéarité à gauche du produit scalaire. Puis

〈A,B〉 =n∑i=1

λi〈ei,Aei〉

Or, la matrice A est également symétrique réelle positive. Par conséquent,

∀i ∈ [[ 1 ; n ]] 〈ei,Aei〉 > 0

d’où, par somme de nombres positifs, 〈A,B〉 > 0.

Pour toutes matrices symétriques réelles positives A et B, 〈A,B〉 > 0.

Dans ce sujet, une matrice symétrique réelle est dite positive lorsque sesvaleurs propres sont positives ou nulles. Il s’agit habituellement d’une carac-térisation et l’on définit usuellement les matrices symétriques réelles positivescomme les matrices symétriques réelles telles que

∀X ∈Mn,1(R) 〈AX,X〉 > 0

Mines Informatique MP 2013 — Corrigé 175

Mines Informatique MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Charles-Pierre Astolfi (ENS Cachan) ; il a été relu parGuillaume Batog (Professeur en CPGE) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).

Ce sujet étudie divers algorithmes permettant de trouver toutes les positions d’unechaîne de caractères dans un texte. Il est composé de cinq parties indépendantes, troisaxées sur la programmation et deux traitant d’automates.

• La première partie demande d’implémenter un algorithme naïf en programma-tion impérative. Les questions sont assez simples et de difficulté croissante.

• La deuxième partie est une amélioration de l’algorithme en supprimant cer-taines comparaisons inutiles. Cette partie est plutôt facile une fois que l’on acompris l’amélioration proposée. Le sujet fait toujours travailler sur un exempleavant d’aborder les questions plus difficiles.

• La troisième partie porte sur une implémentation des automates, exercice trèsclassique probablement déjà traité en cours.

• La quatrième partie fait programmer un nouvel algorithme basé sur l’automate(déterministe et complet) reconnaissant le langage des mots de suffixe m.

• La cinquième partie propose une méthode pour construire efficacement l’auto-mate des suffixes précédent. Cette partie comporte des questions théoriques.

C’est un sujet long où la programmation prend une place prépondérante. Il étaittout à fait possible de rester bloqué pendant les trois heures de l’épreuve sur lesquestions de programmation. La complexité des fonctions programmées est systéma-tiquement demandée.

176 Mines Informatique MP 2013 — Corrigé

Indications

Partie I

2 Il s’agit de donner la complexité en nombre de comparaisons de caractères.

3 Utiliser la question 1 pour toutes les positions s possibles.

Partie II

5 Parcourir m de gauche à droite en respectant l’invariant suivant : à la fin del’itération i, le tableau D est correct pour le préfixe de longueur i.

6 Noter que c n’apparaît pas dans le motif.

8 À quoi correspond D(numero(clé)) ?

10 De combien au maximum φ peut-il augmenter à chaque étape ? Dans quel cas ?

Partie IV

19 Donner une expression rationnelle qui décrit LSm.

20 Il faut rajouter des transitions à l’état initial.

22 Que signifie passer par l’état final lorsqu’on exécute un mot sur l’automate DSm ?

Partie V

24 Les préfixes d’un mot x à une lettre sont ε et x.

26 Le seul suffixe de ε est ε.

27 Montrer d’abord que hm(hm(u)x) est à la fois un suffixe de ux et un préfixe de m,puis montrer qu’il s’agit du plus long mot vérifiant cette propriété.

30 Raisonner par récurrence sur la longueur de u.

31 On peut raisonner par équivalence en utilisant les questions 25 et 30.

34 Construire successivement les automates DSm0, DSm0m1

, . . . ,DSm dans la mêmetable de transition de taille l(m) en utilisant les règles de la question 32.

Mines Informatique MP 2013 — Corrigé 177

I. Algorithme simple

1 On compare lettre par lettre m à ts · · · ts+l(m)−1 (la sous-chaîne de t de lon-gueur l(m) commençant en s). Si on rencontre un indice i tel que mi 6= ti, le motifne se trouve pas dans t à la position s et on peut renvoyer false tout de suite, sansexécuter d’autre comparaison. Pour faire cela, on utilise une référence continue,initialisée à true et qui devient fausse si et seulement s’il existe i tel que mi 6= ti.

let est_present m t s =

let continue = ref true

and i = ref 0 in

while (!continue && !i < string_length m) do

if m.[!i] != t.[s + !i] then continue := false;

incr i;

done;

!continue;;

En Caml, les fonctions incr et decr sont standard et définies par

let incr r = r := (!r) + 1 and decr r = r := (!r) - 1;;

2 Dans le pire des cas, m et ts · · · ts+l(m)−1 sont égaux et on doit effectuer l(m)comparaisons pour s’en assurer. En revanche si m0 6= ts, on peut s’arrêter tout desuite après cette première comparaison.

est_present effectue toujours au moins 1 et au plus l(m) comparaisons.

L’énoncé parle de la complexité sans la définir. Dans les problèmes sur leschaînes de caractères, il est sous-entendu qu’il s’agit de complexité en nombrede comparaisons de caractères.

3 On utilise une référence pos vers une liste pour stocker les positions de toutes lesoccurrences de m dans t. Une position de m ne peut évidemment pas être strictementsupérieure à l(t)− l(m).

let positions m t =

let pos = ref [] in

for i=((string_length t) - (string_length m)) downto 0 do

if est_present m t i then pos := i :: (!pos);

done;

!pos;;

Il faut parcourir le texte de droite à gauche pour obtenir la liste des positionsdans l’ordre croissant.

4 Chacun des l(t)− l(m)+ 1 passages dans la boucle peut effectuer dans le pire descas l(m) comparaisons.

Dans le pire des cas, positions effectue l(m) (l(t)− l(m) + 1) comparaisons.

Cette complexité est atteinte lorsque tous les indices entre 0 et l(t) − l(m) sontdes positions du motif, par exemple si le texte est au (a répété u fois) et le motif av

avec u > v.

178 Mines Informatique MP 2013 — Corrigé

II. Une amélioration de la méthode précédente

5 On parcourt le motif m de gauche à droite, et pour tout 0 6 i < l(m) on metà jour D pour indiquer que m apparaît à la position i. On maintient l’invariant deboucle suivant : à la fin de l’itération i, le tableau D est correct pour la sous-chaînem0 · · ·mi.

let calcul_D m nbSigma =

let D = make_vect nbSigma (-1) in

for i=0 to (string_length m) - 1 do

D.(numero m.[i]) <- i

done;

D;;

On effectue l(m) itérations et chaque itération prend un temps constant (mettreà jour un tableau), d’où

calcul_D est de complexité linéaire en l(m).

6 Puisque c n’apparaît pas dans m1 , alors pour toute position φ telle que 5 6 φ 6 8,le texte t1 ne contient pas d’occurrence de m1 à la position φ. Sinon, cela signifieraitqu’on a trouvé une occurrence de m1 qui contient c, ce qui est impossible.

La prochaine valeur de φ est 9 qui n’est pas une position de m1 dans t1 .

7 Lorsque φ = 9, la clé est la lettre de t1 qui se trouve à l’indice 13, c’est-à-dire a.

φ = 9

9 10 11 12 13 14a b b a a bb b a a

Comme la dernière lettre de m1 est aussi un a, on avance φ d’une lettre et doncφ = 10. C’est la position d’une occurrence de m1 dans t1 .

φ = 10

10 11 12 13 14b b a a bb b a a

Lorsque φ = 10 la clé est la lettre de t1 en position 14. Étant donné que la dernièreoccurrence de b dans m1 est en position 2 on devrait avancer la fenêtre de 3 positions,soit φ = 13. Mais l’énoncé suppose que φ 6 l(t1 ) − l(m1 ) = 11, le décalage n’estdonc plus possible. Il n’y a aucune occurrence de m1 dans t1 après cette position.

8 Il faut avancer la fenêtre de recherche de sorte que la clé = tφ+l(m) soit direc-tement en regard de la dernière occurrence de clé dans le motif, soit à la positiond = D(numero(clé)) dans le motif. Ainsi, les lettres du texte et du motif coïncident àla position φ+ l(m) si on effectue un décalage de φ+ l(m)−(φ+d) = l(m)−d. On re-marque que ce décalage est possible si φ+l(m)−d 6 l(t)−l(m) soit φ+2l(m) 6 l(t)+d,ce qui est le cas lorsque φ+ 2l(m) < l(t) (d peut valoir −1.)

La position suivante de la fenêtre est φ+ l(m)−D(numero(tφ+l(m))).

X Maths A MP 2013 — Corrigé 191

X Maths A MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jules Svartz (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog (Professeur en CPGE).

Ce sujet d’algèbre porte sur l’étude de 3 opérateurs « quantiques » E, F et Het leurs relations : ce sont des endomorphismes de l’espace vectoriel V de dimensioninfinie des fonctions de Z vers C telles que l’ensemble k ∈ Z | f(k) 6= 0 soit fini.C’est un sujet long, composé de quatre parties qui totalisent 43 questions.

• La première partie a d’abord pour objet de définir une base de V et de construireles opérateurs E, F et H par leurs valeurs sur les éléments de cette base. La suiteest consacrée à la détermination de conditions sur F et H pour que les relationsH E = E H + 2E puis E F = F E + H soient vérifiées. En fin de partie,il est demandé de démontrer que la sous-algèbre d’endomorphismes engendréepar l’un des opérateurs E, F ou H est isomorphe à une algèbre de polynômes.

• La deuxième partie introduit des objets qui seront utiles dans la quatrièmepartie : d’une part, un endomorphisme sur un sous-espace vectoriel de V dedimension finie, d’autre part un projecteur de V sur ce sous-espace.

• La troisième partie propose de déterminer des conditions sur F et H pour queles relations H E = q2E H puis E F = F E + H + H−1 soient vérifiées.Elle est, comme la première partie, assez calculatoire.

• Enfin, dans la quatrième partie, on s’aperçoit que sous les conditions trouvéesdans la troisième partie, les opérateurs E, F et H vérifient une condition decompatibilité avec le projecteur défini dans la deuxième partie. On se placeessentiellement dans le cadre rassurant de la dimension finie ; encore fallait-ilparvenir jusque-là.

Ce long sujet d’algèbre linéaire porte sur une large part du programme d’algèbrede première et deuxième années, avec en plus quelques questions d’arithmétique.L’ensemble est abordable, mais le cadre inhabituel de la dimension infinie a certai-nement dérouté nombre de candidats.

192 X Maths A MP 2013 — Corrigé

Indications

Partie I

2 Déterminer explicitement l’inverse.

3.a Montrer que vii∈Z est une famille libre et génératrice de V.

3.b Calculer E(vi)(k) pour tous i, k ∈ Z.

6.a Se restreindre à l’espace Vect vi | i ∈ Supp(f).6.b Pour W un sous-espace comme dans l’énoncé, montrer tout d’abord que H

possède une valeur propre dans W en utilisant la question précédente, puismontrer qu’un vecteur propre associé est colinéaire à l’un des vii∈Z.

7.b Calculer Ei(v0) et Fi(v0) pour tout i ∈ Z.

8.a Il existe un morphisme d’algèbre surjectif C[X]→ C[E]. Il ne reste qu’à montrerl’injectivité !

8.c Utiliser le fait que les valeurs propres de H annulent tout polynôme annulateurde H.

Partie II

9 Utiliser le théorème de Gauss.

10.b Résoudre le système induit par l’équation Gaw = λw, pour w un vecteur colonnede taille ℓ et λ = bqi avec 0 6 i < ℓ.

11 Vérifier que l’image de Pa est contenue dans Wℓ et que Pa induit l’identité surce sous-espace.

Partie III

15.b L’énoncé parle ici de la plus petite période strictement positive de λ.

15.c Calculer µ(i+ t)−µ(i). Montrer que si cette quantité est nulle pour tout i ∈ Z,un certain polynôme admet tous les complexes q2i comme racines.

16.c Montrer que toutes les valeurs propres obtenues en question 16.b sont égales.

16.e L’équation R(λ(0), µ(0), q) = z se ramène à une équation de degré 2 en λ(0).

Partie IV

17.b Utiliser le fait que λ est ℓ-périodique.

19 Montrer que Pa E Pa et Pa E coïncident sur les vecteurs de la base vii∈Z.

20.a Pour que la question ait un sens, on pourra supposer que Pa est dorénavant uneapplication dont l’espace d’arrivée est Wℓ.

20.b Montrer que le sous-espace considéré est le noyau de Pa.

X Maths A MP 2013 — Corrigé 193

I. Opérateurs sur les fonctions à support fini

1.a La fonction nulle ayant un support vide, celui-ci est en particulier fini doncV 6= ∅. De plus, pour tout (λ, f, g) ∈ C×V2,

Supp(λf + g) ⊂ Supp(λf) ∪ Supp(g) ⊂ Supp(f) ∪ Supp(g)

Ainsi Supp(λf + g) est un ensemble fini et λf + g appartient à V. Par conséquent,

V est un sous-espace vectoriel de CZ.

1.b Soit (λ, f, g) ∈ C× CZ × CZ. Alors pour tout k ∈ Z

E(λf + g)(k) = (λf + g)(k + 1)

= λf(k + 1) + g(k + 1)

E(λf + g)(k) = λE(f)(k) + E(g)(k)

de sorte que E(λf + g) = λE(f) + E(g). Par conséquent,

E ∈ L(CZ)

De plus, pour tout f ∈ CZ et tout k ∈ Z,

E(f)(k) 6= 0 ⇐⇒ f(k + 1) 6= 0 ⇐⇒ k + 1 ∈ Supp(f)

Ainsi, Supp(E(f)) = k − 1 | k ∈ Supp(f). En particulier si f ∈ V, Supp(f)et Supp(E(f)) sont tous deux finis. Par suite,

V est stable par E.

2 Considérons E′ :

CZ −→ CZ

f 7−→ (k 7→ f(k − 1))

En raisonnant de manière similaire à la question précédente, on montre que E′ estun élément de L(CZ) et que, de plus, V est stable par E′. Notons toujours E′ l’endo-morphisme induit sur V, alors pour toute fonction f ∈ V, E′ E(f) = E E′(f) = f .Par conséquent E est inversible d’inverse E′ et en particulier

E ∈ GL(V)

Notons que comme V est de dimension infinie (ce qui est un corollaire durésultat de la question suivante), il ne suffit pas de montrer que E est injectifou surjectif pour conclure que c’est un endomorphisme inversible.

3.a Pour montrer que la famille vii∈Z est une base de V, il suffit de montrerqu’elle est libre et génératrice.

Soit I un ensemble fini de Z, et (λi)i∈I ∈ CI. Supposons que

∑i∈I

λivi = 0. Alors

∀ k ∈ I 0 =

(∑i∈I

λivi

)(k) = λk

Par suite, la famille vii∈Z est libre.

194 X Maths A MP 2013 — Corrigé

Soit f ∈ V. Puisque Supp(f) est fini, on peut écrire f =∑

i∈Supp(f)

f(i)vi. Ainsi,la famille vii∈Z est une famille génératrice de V.

La famille vii∈Z est une base de V.

3.b Pour k ∈ Z, E(vi)(k) = vi(k + 1) =

1 si k = i− 1

0 sinon

Par conséquent, E(vi) = vi−1

4 Soit i ∈ Z. On a H E(vi) = H(vi−1) = λ(i − 1)vi−1

et (E H+ 2E)(vi) = E(λ(i)vi) + 2vi−1 = λ(i)E(vi) + 2vi−1 = (λ(i) + 2)vi−1

Deux applications linéaires sont égales si et seulement si elles coïncident sur une basede l’espace de définition. Par suite,

H E = E H+ 2E ⇔ ∀ i ∈ Z λ(i− 1) = λ(i) + 2

⇔ ∀ i > 0 λ(i) = λ(i − 1)− 2 et λ(−i) = λ(−i+ 1) + 2

⇔ ∀ i > 0 λ(i) = λ(0)− 2i et λ(−i) = λ(0) + 2i

H E = E H+ 2E ⇔ ∀ i ∈ Z λ(i) = λ(0)− 2i

5 Soit i ∈ Z. On a E F(vi) = E(µ(i)vi+1) = µ(i)E(vi+1) = µ(i)vi

et (F E + H)(vi) = F(vi−1) + λ(i)vi = (µ(i − 1) + λ(0)− 2i)vi (question 4)

d’où E F = F E + H ⇐⇒ ∀i ∈ Z µ(i) = µ(i − 1) + λ(0)− 2i

Montrons l’équivalence entre cette dernière proposition et celle de l’énoncé. Suppo-sons µ(i)− µ(i − 1) = λ(0)− 2i pour tout i ∈ Z. Alors pour tout i > 0

µ(i) = µ(0) +i∑

k=1

(λ(0)− 2k)

= µ(0) + iλ(0)− i(i+ 1)

µ(i) = µ(0) + i(λ(0)− 1)− i2

de plus µ(−i) = µ(0) +i∑

k=1

(µ(−k)− µ(−k + 1))

= µ(0) +i∑

k=1

(−2(k − 1)− λ(0))

= µ(0)− i(i− 1)− λ(0)iµ(−i) = µ(0)− i(λ(0)− 1)− i2

Par suite, pour tout i ∈ Z, µ(i) = µ(0) + i(λ(0)− 1)− i2. En conclusion,

E F = F E + H ⇐⇒ ∀i ∈ Z µ(i) = µ(0) + i(λ(0)− 1)− i2

212 X Maths B MP 2013 — Corrigé

X Maths B MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Florian Metzger (ENS Cachan) ; il a été relu par SamuelBaumard (ENS Ulm) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet est consacré au thème original de l’exposant de Hölder ponctuel d’unefonction continue.

• Dans la première partie on définit l’ensemble Γs(x0) des f ∈ C([ 0 ; 1 ]) vérifiant

Hs,x0(f) = Sup

x∈Irx0

|f(x)− f(x0)||x− x0|s

< +∞

On y montre la décroissance de la fonction s 7→ Γs(x0) pour l’inclusion, ce quipermet de définir l’exposant de Hölder d’une fonction f en x0 par

αf (x0) = Sup s ∈ [ 0 ; 1 [ | f ∈ Γs(x0)

On étudie, de façon théorique ainsi que sur des exemples, le lien entre cetexposant et le module de continuité de f défini pour h ∈ [ 0 ; 1 ] par

ωf (h) = Sup|f(x) − f(y)| : (x, y) ∈ [ 0 ; 1 ]2 et |x− y| 6 h

La dernière question de cette partie est astucieuse ; le reste relève de l’analyseplus classique de première année.

• La deuxième partie est consacrée à l’étude du système dit de Schauder, c’est-à-dire la famille indexée par j ∈ N et k ∈ [[ 0 ; 2j−1 ]] de fonctions positives « en tri-angle » de support

[k 2−j ; (k + 1)2−j

], de maximum 1 atteint en (k+1/2)2−j.

Le résultat principal de cette partie est que toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ]et nulle au bord de l’intervalle est développable en série de fonctions suivantcette « base », avec convergence uniforme de la série et avec des « coefficientsde Schauder »

cj,k(f) = f((k + 1/2)2−j)− f(k 2−j) + f((k + 1)2−j)

2

Enfin, si f ∈ Γs(x0) est nulle au bord, alors les coefficients de Schauder véri-fient aussi une sorte d’inégalité höldérienne localisée en x0 dans laquelle inter-vient Hs,x0

(f). Ici, beaucoup de technique et une compréhension fine de la po-sition relative de deux subdivisons dyadiques différentes de [ 0 ; 1 ] sont requises.

• Enfin, dans la dernière partie on s’intéresse à une réciproque partielle de l’in-égalité sur les coefficients obtenue en fin de deuxième partie, en rajoutantune hypothèse de décroissance logarithmique sur le module de continuité ωf .On en déduit une minoration de l’exposant de Hölder. Ici encore, peu de réfé-rences au cours, mais beaucoup de technique, de rapidité d’esprit et d’aisancedans les calculs sont nécessaires pour s’en sortir.

Ce sujet est long, difficile car technique, calculatoire, et éloigné du cours travaillépendant l’année. Même si les résultats développés sont intéressants et ont des appli-cations concrètes en mathématiques (ondelettes, traitement du signal), dans l’optiquede l’entraînement aux concours il ne constitue pas vraiment un bon sujet de révision.

X Maths B MP 2013 — Corrigé 213

Indications

Première partie

1.a Remarquer que |x− x0|−s1 = |x− x0|−s2 × |x− x0|s2−s1 avec s2 − s1 > 0.Pour déterminer Γ0(x0) : toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est bornée.

1.b Se servir du taux de variation de la fonction en x0.

1.c Utiliser le fait que la fonction valeur absolue n’est pas dérivable en zéro.

3.a Pour la croissance, établir que les ensembles dont on prend le supremum sontcroissants en h pour l’inclusion. Pour la continuité en zéro, calculer ωf (0) etnoter que toute fonction continue sur [ 0 ; 1 ] y est uniformément continue.

3.b Prendre h 6 h′ et (x, y) ∈ [ 0 ; 1 ]2 vérifiant |x− y| 6 h′ et distinguer suivantque |x− y| est inférieur ou supérieur à h.

4.a La relation |f(x)− f(y)| 6 ωf(|x− y|) est valable pour tous x, y ∈ [ 0 ; 1 ].

4.b Noter que q est continue sur [ 0 ; 1 ] et dérivable sur ] 0 ; 1 ]. Pour la deuxièmepartie de la question, prendre hn = 2−2n et trouver xn et yn vérifiant

|yn − xn| 6 hn, cos(π/xn) = −1 et cos(π/yn) = 1

Deuxième partie

5.a Distinguer les cas suivant la parité de k.

5.b Remarquer que θj,k(x) 6= 0 équivaut à x ∈]k 2−j ; (k + 1)2−j

[.

5.c Tracer la fonction θj,k pour visualiser la continuité. Ensuite, si n > j, montrer

[ ℓ 2−n ; (ℓ+ 1)2−n ] ⊂[p 2−j ; (p+ 1)2−j

]

pour un certain entier k ∈ Tj . Distinguer les cas suivant que p 6= k ou p = k.Pour ce dernier on montrera que [ ℓ 2−n ; (ℓ+ 1)2−n ] est inclus dans l’une desmoitiés de l’intervalle

[k 2−j ; (k + 1)2−j

].

5.d Distinguer suivant que x et y sont dans[k 2−j ; (k + 1)2−j

]ou non.

6 Se servir de l’uniforme continuité d’une fonction continue sur [ 0 ; 1 ].

7.a Distinguer suivant que j > i, i > j, ou i = j.

• Si j > i, utiliser la question 5.c.

• Si i > j, situer par rapport à l’intervalle[ℓ 2−i ; (ℓ+ 1)2−i

], les points

αj,k = k 2−j, βj,k = k 2−j + 2−j−1 et γj,k = (k + 1)2−j

En particulier, montrer qu’ils sont toujours en dehors ou à une extrémitéde cet intervalle, ce qui assure que la fonction θi,ℓ y est nulle.

• Si i = j, utiliser le résultat de la question 5.b.

7.b Montrer la convergence normale de la série en majorant le terme général aprèsavoir tracé le graphe de la fonction

∑k∈Tj

θj,k. En utilisant des opérations sur les

séries convergentes, établir ensuite que

∀(j, k) ∈ I cj,k(fa) =

+∞∑j=0

cj,k(faj )

8.a Penser à l’inégalité des accroissements finis et au résultat de la question 7.b.

214 X Maths B MP 2013 — Corrigé

8.b Utiliser la formule de Taylor-Lagrange avec la majoration du reste pour unefonction de classe C2 entre les points x et (x+ y)/2, puis y et (x + y)/2.

9.a Se souvenir de la question 5.b.9.b Expliciter une relation de récurrence entre Snf et Sn−1f puis distinguer suivant

la parité de ℓ. Si ℓ est pair, utiliser la question 5.b. Si ℓ est impair, utiliser enplus la question 9.a.

9.c Interpréter le résultat de la question 9.b en termes d’hérédité d’une propriétésur les entiers.

10.a Pour ε > 0, utiliser un réel η > 0 associé et donné par l’uniforme continuité de f .Pour x ∈ [ 0 ; 1 ], considérer n > − log2 η − 1 et ℓ = kn+1(x). En utilisant l’in-égalité triangulaire, majorer la différence |f(x)− Snf(x)| par la somme de troistermes en introduisant les points f(ℓ 2−n−1) et Snf(ℓ 2

−n−1). Que fournissentalors les questions 9.a et 9.c, ainsi que l’uniforme continuité de f ?

10.b Calculer Sn(θj,k) pour j ∈ [[ 0 ; n ]] et k ∈ Tj en utilisant la question 7.a.Pour la norme, remarquer que Snf est affine par morceaux avec une subdi-vision qui fournit les maxima potentiels, puis utiliser la question 9.c. Trouverenfin une fonction telle que Snf = f .

11.a L’inégalité se réécrit : (as + bs)/2 6 ((a+ b)/2)s

11.b Faire intervenir f(x0) par inégalité triangulaire dans la définition de cj,k(f)puis examiner les trois cas

x0 ∈[k 2−j ; (k + 1)2−j

]ou x0 < k2−j ou x0 > (k + 1)2−j

Troisième partie

12 Passer au logarithme en base 2 et utiliser la partie entière.13. Noter que θj,k(x) est non nul si et seulement si k = kj(x). Se servir ensuite du

résultat de la question 5.d.14.a Commencer par utiliser la propriété (P1), puis l’inégalité de la question 11.a,

et enfin montrer que∣∣∣x0 − kj(x) 2−j

∣∣∣ 6 |x− x0|+∣∣∣x0 − kj(x0) 2−j

∣∣∣

Se souvenir ensuite que |x− x0| 6 2−n0 et utiliser la condition j 6 n0.14.b Sommer les inégalités de la question 14.a et se servir de la définition de n0.

15 Ici encore, utiliser la définition de kj(x0) et de n0.16 Considérer X = p ∈ N | ωf (2−p) > 2−n0s. Utiliser la condition ‖f‖∞ = 1

en lien avec le fait qu’une fonction continue sur un segment atteint ses bornes.Montrer que X est majoré.

17 Reprendre le découpage de la question 10.a afin d’utiliser les questions 9.a et 9.cavec n > n1, en majorant à présent à l’aide de ωf (2−n−1).

18.a La somme portant sur Tj ne comporte qu’un élément. Se servir de (P1) puis serappeler que

∣∣∣x0 − kj(x) 2−j∣∣∣ 6 |x− x0|+ 2−j

18.b La propriété (P2) donne l’inégalité droite par croissance de la fonction x 7→ x1/N.19 Majorer |f(x)− f(x0)| par trois différences où interviennent Snf(x) et Snf(x0).

Distinguer ensuite les cas suivant que n0 > n1 ou n0 < n1. Montrer que fappartient à Γs(x0) dans le premier cas et à Γ(1−1/N)s pour tout N ∈ N∗ dansle second cas, grâce aux inégalités des questions 14.b, 15 et 18.b.

X Maths B MP 2013 — Corrigé 215

I. Définition de l’exposant de Hölder ponctuel

1.a Soient x0 ∈ [ 0 ; 1 ], λ ∈ R, s ∈ [ 0 ; 1 [ et f, g ∈ Γs(x0). Posons h = λf + g.Alors h ∈ C car C est un R-espace vectoriel et

∀x ∈ [ 0 ; 1 ] |h(x)− h(x0)| 6 |λ| |f(x)− f(x0)|+ |g(x)− g(x0)|

Notons Hs,x0(ϕ) = Sup

x∈[ 0 ;1 ]rx0

|ϕ(x) − ϕ(x0)||x− x0|s

pour toute fonction ϕ ∈ Γs(x0).

Remarquons que pour tout ϕ ∈ C, l’ensemble

|ϕ(x) − ϕ(x0)| / |x− x0|s | x0 ∈ [ 0 ; 1 ]est un sous-ensemble non vide de R+. Il admet par conséquent une bornesupérieure dans R+ ∪ +∞. Cela légitime la définition de Γs(x0).

Il vient alors

∀x ∈ [ 0 ; 1 ]r x0|h(x) − h(x0)||x− x0|s

6 |λ|Hs,x0(f) + Hs,x0

(g)

La borne supérieure étant le plus petit des majorants on en déduit que

Supx∈[ 0 ;1 ]rx0

|h(x)− h(x0)||x− x0|s

6 |λ|Hs,x0(f) + Hs,x0

(g) < +∞

Par suite, λf + g ∈ Γs(x0)

En remarquant que la fonction nulle appartient à Γs(x0) on peut ainsi conclure que

L’ensemble Γs(x0) est un sous-R-espace vectoriel de C.

Soient deux réels s1, s2 vérifiant 0 6 s1 6 s2 < 1 et f ∈ Γs2(x0). Alors

|f(x)− f(x0)||x− x0|s1

=|f(x)− f(x0)||x− x0|s2

× |x− x0|s2−s1 6 Hs,x0(f) |x− x0|s2−s1

Comme s2 − s1 > 0, il vient que |x− x0|s2−s1 est borné, donc

Supx∈[ 0 ;1 ]rx0

|f(x)− f(x0)||x− x0|s1

< +∞

c’est-à-dire f ∈ Γs1(x0). Finalement,

∀ 0 6 s1 6 s2 < 1 Γs2(x0) ⊂ Γs1(x0)

Enfin, par définition,

Γ0(x0) =

f ∈ C | Sup

x∈[ 0 ;1 ]rx0

|f(x)− f(x0)| < +∞⊂ C

Réciproquement, si f ∈ C, alors la fonction x 7−→ f(x) − f(x0) est continue surl’intervalle compact [ 0 ; 1 ], donc elle y est bornée. A fortiori

Supx∈[ 0 ;1 ]rx0

|f(x)− f(x0)| < +∞

Cela montre que C ⊂ Γ0(x0). Ainsi,

∀x0 ∈ [ 0 ; 1 ] Γ0(x0) = C

246 X Informatique MP 2013 — Corrigé

X Informatique MP 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Guillaume Batog (Professeur en CPGE) ; il a été relupar Benjamin Monmege (ENS Cachan) et Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE).

En logique propositionnelle, on décrit la syntaxe des formules construites à partird’un ensemble de variables et à l’aide des connecteurs logiques ¬, ∨, ∧. Puis on définitla sémantique de ces formules à l’aide d’une relation de satisfiabilité d’une valuationdes variables sur une formule. Dans la logique temporelle présentée dans ce problème,on ajoute des connecteurs temporels X (juste après), G (désormais), F (un jour)et U (jusqu’à) dont la sémantique est précisée par une relation de satisfiabilité d’unmot u sur une formule ϕ. Ce sujet a pour objectif d’étudier les langages de motsreconnus par une formule de cette logique. Il est composé de 4 parties, qu’il estpréférable de traiter dans l’ordre.

• La première partie, préliminaire, permet de se familiariser avec la logique tem-porelle. Elle doit être traitée assez rapidement mais avec rigueur car les ques-tions, faciles en apparence, recèlent des cas particuliers cachés.

• Dans la deuxième partie, on transforme toute formule en une formule normalisée(sans connecteurs F et G) qui lui est logiquement équivalente (c’est-à-dire ayantle même langage de mots). Puis on écrit une fonction vérifiant si un mot satisfaitune formule normalisée. L’algorithmique sous-jacente consiste simplement àparcourir des arbres représentant les formules. La dernière question, portantsur une étude de complexité, est la plus ardue du problème.

• La troisième partie présente une méthode plus efficace pour vérifier si un motsatisfait une formule. On montre en fin de partie qu’elle peut être vue commel’exécution d’un mot sur un automate, qui peut être construit à partir dela formule.

• La quatrième partie débute par deux questions classiques sur les automates.Elles apportent une aide précieuse pour écrire ensuite une fonction décidant siune formule est satisfiable (c’est-à-dire si son langage de mots est non vide).Pour traiter cette question, il est nécessaire d’avoir bien compris les ressorts dela troisième partie. Enfin, la dernière question, indépendante de tout le reste,propose un exemple de langage rationnel qui n’est pas un langage de motssatisfaisant une formule de la logique temporelle.

Outre que les notions abordées sont nouvelles aux concours, la difficulté de cesujet tient au fait qu’il est impossible de traiter les questions de programmationsans avoir réussi à répondre aux questions théoriques qui les précèdent, excepté pourles fonctions faciles qui ne rapportaient que peu de points. L’intrication (naturelle)entre logique et automates en fait un sujet intéressant pour qui souhaite avoir unaperçu d’un domaine d’étude de l’informatique théorique appliquée à la vérificationde programmes.

X Informatique MP 2013 — Corrigé 247

Indications

Partie I

3 Rappelons que la formule VRAI n’est vraie que pour les positions de mot.

5 Une lettre b d’un tel mot est toujours suivie de la lettre a sauf s’il s’agit de ladernière lettre du mot.

7 Écrire la sémantique de u |= ϕUψ et distinguer les cas j = 0 et j 6= 0 puis i = 0et i 6= 0 dans la définition donnée par l’énoncé. Le but est de faire apparaître(u, 1) |= ϕUψ.

Partie II

9 Utiliser l’opérateur U.

10 Trouver un lien entre F et G

11 La fonction veriteN s’appuie sur les règles sémantiques de l’énoncé et sur l’équi-valence logique de la question 7.Montrer la terminaison de la fonction par récurrence forte sur (n, k), élémentde N

∗×N muni de l’ordre lexicographique, où n désigne la taille de la formule enargument et k le nombre de lettres du mot à partir de la position donnée.Pour obtenir la complexité de la fonction, poser T(ϕ, k) le nombre d’appels récur-sifs pour une formule ϕ, un mot u et une position |u| − k puis établir l’inégalitéde récurrence

T(ϕ, k) 6 2 +k∑j=1

[T(ϕ1, j) + T(ϕ2, j)

]

où ϕ1 et ϕ2 sont les sous-formules (éventuellement vides) du connecteur à laracine de ϕ. Enfin, montrer que T(ϕ, k) 6 λk |ϕ|k avec λk indépendant de ϕà déterminer.

Partie III

13 Démontrer la propriété par induction structurelle sur la formule ϕ.

14 Effectuer la mise à jour de bas en haut en suivant les règles obtenues au cours dela question 13.

17 Considérer maj comme la fonction de transition d’un automate.

Partie IV

20 Montrer que le plus petit mot reconnu par un automate à n états (reconnaissantun langage non vide) est de taille au plus n− 1.

21 Implémenter l’algorithme de la question 19 en utilisant l’automate décrit à laquestion 17.

22 Démontrer par induction structurelle sur ϕ que toute formule ϕ appartient à unensemble V(N) ou F(N) avec N ∈ N∗ où

V(N) = ϕ | ∀n > N an |= ϕ et F(N) = ϕ | ∀n > N an 6|= ϕ

248 X Informatique MP 2013 — Corrigé

I. Préliminaires

1 Notons P(x) la propriété de la question (x).

• P(a) est vraie car le mot u n’est constitué que des lettres a et b à partir de laposition 4.

• P(b) est fausse car elle équivaut à la propriété (u, 3) |= G(pa ∨ pc) qui estfausse puisque a4 = b /∈ a, c.• P(c) est vraie car P(a) est vraie.

• P(d) est vraie car a3 = c et toutes les lettres précédant a3 sont a ou b.

2 Un mot u possède une lettre x si et seulement si u |= Fpx. Ainsi,

Le mot u contient un a suivi plus tard d’un b si et seulement si u |= F(pa ∧ Fpb).

D’autres formules peuvent être trouvées pour cette question et les suivantes.Elles sont « logiquement équivalentes » entre elles (cf. question 7). Celle pro-posée ici a l’avantage de la concision.

3 Excepté dans le cas où l’entier i ne correspond pas à une position du mot u,la formule VRAI est toujours satisfaite par (u, i), d’où

i = |u| − 1 ⇐⇒ i 6 |u| − 1 et i+ 1 > |u|

⇐⇒ (u, i) |= VRAI et (u, i+ 1) 6|= VRAI

i = |u| − 1 ⇐⇒ (u, i) |= VRAI ∧(¬X(VRAI)

)

Ainsi, Fin = VRAI ∧(¬X(VRAI)

)

4 Puisque le mot u satisfait la formule Fin uniquement à la dernière position,

u se termine par un a si et seulement si u |= F(pa ∧ Fin).

5 Décrivons un mot u de (ab)+ :

• la première lettre est un a, soit u |= pa ;

• la dernière lettre est un b, soit u |= F(pb ∧ Fin) (question 4) ;

• pour tout i tel que 0 6 i 6 |u| − 1,

ai vaut a ou b, soit (u, i) |= pa ∨ pb ;

si ai = a alors ai+1 = b, soit (u, i) |= (¬pa) ∨Xpb ;

si ai = b et ai n’est pas la dernière lettre de u, alors ai+1 = a, soit(u, i) |=

(¬(pb ∧ ¬Fin)

)∨Xpa.

Finalement, u ∈ (ab)+ si et seulement si u |= ϕ avec

ϕ = pa ∧ F(pb ∧ Fin) ∧G((pa ∨ pb) ∧

((¬pa) ∨Xpb

)∧((¬pb) ∨ Fin ∨Xpa

))

X Informatique MP 2013 — Corrigé 249

6 Un mot u satisfait la formule ϕ si, et seulement si, il existe j 6 |u|−1 (opérateur F)tel que :

• la lettre aj est un a (formule pa) ;

• le suffixe aj+1 . . . a|u|−1 ne contient pas la lettre a (formule X(G(¬pa))) ;

• le suffixe aj . . . a|u|−1 contient le motif bc (formule F(pb ∧Xpc)).

L’automate suivant reconnaît le langage Lϕ :

a, b, c

a

b, c

b c

b, c

7 Soit u un mot de longueur n ∈ N. Montrons la propriété

u |= ϕUψ ⇐⇒ u |= ψ ∨(ϕ ∧ (X(ϕUψ))

)

Puisque le mot vide ne satisfait aucune formule, cette propriété est vraie pour le motvide. Considérons un mot u non vide (n > 1). Par définition,

u |= ϕUψ ⇐⇒ ∃ j 6 n (u, j) |= ψ et ∀ i < j (u, i) |= ϕ

Distinguons les cas j = 0 et j > 1 :

u |= ϕUψ ⇐⇒ (u, 0) |= ψ

ou(∃ 1 6 j 6 n (u, j) |= ψ et ∀ i < j (u, i) |= ϕ

)

Distinguons les cas i = 0 et i > 1 :

∀ i < j (u, i) |= ϕ ⇐⇒ (u, 0) |= ϕ et ∀ 1 6 i < j (u, i) |= ϕ

d’où u |= ϕUψ ⇐⇒ u |= ψ ou

(u |= ϕ et ∃ 1 6 j 6 n

((u, j) |= ψ et ∀ 1 6 i < j (u, i) |= ϕ

))

On reconnaît la sémantique de ϕUψ à partir de la position 1 du mot u :

u |= ϕUψ ⇐⇒ u |= ψ ou(u |= ϕ et (u, 1) |= ϕUψ

)

soit u |= ϕUψ ⇐⇒ u |= ψ ∨(ϕ ∧ (X(ϕUψ))

)

pour tout mot u. Autrement dit,

ϕUψ ≡ ψ ∨(ϕ ∧ (X(ϕUψ))

)

Une paraphrase du type « un mot u satisfait ϕUψ si, et seulement si, il sa-tisfait ψ ou s’il satisfait ϕ et si le suffixe de u obtenu en supprimant sapremière lettre satisfait ϕUψ » est une justification sans doute insuffisanteà un concours comme l’X.

268 X Informatique MP/PC 2013 — Corrigé

X Informatique MP/PC 2013 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Arnaud Borde (École polytechnique) ; il a été relu parSimon Billouet (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).

Cette épreuve est commune aux filières PC et MP option sciences de l’ingénieuret ne compte que pour l’admission. Ce corrigé a été rédigé en Maple car ce langageest le plus utilisé en prépa, même s’il est plus destiné au calcul formel qu’à la pro-grammation. D’autres langages comme C++, Caml, Java et Python étaient autorisés.Les fonctions écrites n’utilisant que la syntaxe de base, vous pourrez sans difficultéles réécrire dans le langage de votre choix.

Le sujet propose l’étude des points fixes de fonctions à domaine fini, en se basantsur les ensembles En = 0, . . . , n− 1. Il est composé de deux parties.

• La première s’intéresse au cas général et aux notions d’attracteur principal etde temps de convergence.

• La seconde examine le cas particulier des fonctions croissantes, d’abord au sensusuel du terme puis généralisé avec une relation d’ordre binaire quelconque. Lesujet se termine avec l’exemple de la divisibilité en tant que relation d’ordre.

Cette année, quatre questions ne demandent pas d’écrire de code. Deux d’entreelles (les questions 11 et 12) consistent en des démonstrations de mathématiques etles deux autres demandent de justifier la complexité d’un code.

C’est un sujet plus difficile que les années précédentes ; en particulier, les ques-tions demandant d’écrire des algorithmes de complexité logarithmique peuvent êtreconsidérées comme hors-programme. En dehors de ces questions, il est à la portéed’un élève ayant un minimum préparé cette épreuve spécifique à ce concours. Unebonne maîtrise de la programmation récursive permet de gagner du temps sur un cer-tain nombre de questions. L’énoncé dans son ensemble est clair et les questions biendétaillées. On regrettera juste la remarque sur le type de passage par paramètre, quien plus d’être elle aussi hors-programme, est inutile pour la plupart des candidats,cette distinction n’existant pas en Maple.

Rédiger du code sur papier est un exercice auquel il convient d’accorder un soinparticulier. Un code (sur papier ou sur ordinateur) est très rarement juste dès le dé-but : un brouillon s’impose donc pour éviter de multiples ratures et rajouts. De même,afin de faciliter la lecture du code par le correcteur, il est important de l’indenter etde l’espacer afin d’en dégager la structure (quelles sont les parties qui le composent,à quelles boucles appartiennent les instructions). Il ne faut pas non plus hésiter à com-menter (avec # sous Maple) son code, surtout s’il est long, et à expliquer les grandeslignes de sa démarche.

X Informatique MP/PC 2013 — Corrigé 269

Indications

Partie I. Recherche de point fixe : cas général

1 On peut s’arrêter dès que l’on rencontre un point fixe.

2 Parcourir le tableau et tenir à jour un compteur.

3 Le code peut être écrit soit avec une boucle for soit de manière récursive.

4 Combiner les codes des questions 2 et 3.

5 Remarquer qu’une fonction qui admet un attracteur principal n’a qu’un seul pointfixe et que cet attracteur principal est atteint en au plus n itérations pour chaqueentier.

6 Utiliser la formule de récurrence donnée par l’énoncé.

7 Construire récursivement grâce à la formule de l’énoncé un tableau contenant tousles temps de convergence.

Partie II. Recherche efficace de points fixes

8 La condition de croissance d’une fonction f représentée par un tableau t estdonnée par t[i] 6 t[i + 1] pour 0 6 i 6 n− 2.

9 Procéder par dichotomie sur le domaine En en utilisant l’assertion de l’énoncé.

10 Un algorithme logarithmique a pour particularité le fait que doubler la tailledu tableau rajoute un nombre fixe d’instructions (correspondant à un « tourde boucle »).

11 Appliquer k fois la croissance de f .

12 Ne pas oublier que 1 divise tous les entiers et en particulier tous les xm.

13 Utiliser le résultat de la démonstration précédente.

14 Regarder comment évolue la suite des itérés de 1 par f .

Formulaires

278

Développements limités usuels en 0

ex = 1 +

x

1!+x2

2!+ · · ·+ xn

n!+ O

(xn+1

)

sh x = x+x3

3!+ · · ·+ x2n+1

(2n+ 1)!+ O

(x2n+3

)

ch x = 1 +x2

2!+x4

4!+ · · ·+ x2n

(2n)!+ O

(x2n+2

)

sinx = x− x3

3!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n+ 1)!+ O

(x2n+3

)

cosx = 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ O

(x2n+2

)

(1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1)

2!x2 + · · ·+ α(α − 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn +O

(xn+1

)

1

1 − x

= 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn +O(xn+1

)

ln(1 − x) = −x− x2

2− x3

3− x4

4− · · · − xn

n+O

(xn+1

)

1

1 + x

= 1− x+ x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn +O(xn+1

)

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · ·+ (−1)n−1x

n

n+O

(xn+1

)

√

1 + x = 1 +x

2− x2

8+ · · ·+ (−1)n−1 1× 3× · · · × (2n− 3)

2× 4× · · · × 2nxn + O

(xn+1

)

1√

1 + x

= 1− x

2+

3

8x2 − · · ·+ (−1)n 1× 3× · · · × (2n− 1)

2× 4× · · · × 2nxn +O

(xn+1

)

Arctan x = x− x3

3+ · · ·+ (−1)n x

2n+1

2n+ 1+ O

(x2n+3

)

Argth x = x+x3

3+ · · ·+ x2n+1

2n+ 1+ O

(x2n+3

)

Arcsin x = x+1

2

x3

3+ · · ·+ 1× 3× · · · (2n− 1)

2× 4× · · · × 2n

x2n+1

2n+ 1+ O

(x2n+3

)

Argsh x = x− 1

2

x3

3+ · · ·+ (−1)n 1× 3× · · · (2n− 1)

2× 4× · · · × 2n

x2n+1

2n+ 1+ O

(x2n+3

)

th x = x− x3

3+

2

15x5 − 17

315x7 +O

(x9)

tanx = x+1

3x3 +

2

15x5 +

17

315x7 +O

(x9)

279

Développements en série entière usuels

eax =

∞∑n=0

an

n!xn a ∈ C , x ∈ R

sh x =∞∑n=0

1

(2n+ 1)!x2n+1 x ∈ R

ch x =∞∑n=0

1

(2n)!x2n x ∈ R

sinx =∞∑n=0

(−1)n(2n+ 1)!

x2n+1 x ∈ R

cosx =∞∑n=0

(−1)n(2n)!

x2n x ∈ R

(1 + x)α = 1 +∞∑n=1

α(α − 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn (α ∈ R) x ∈ ]−1 ; 1 [

1

a− x

=∞∑n=0

1

an+1xn (a ∈ C∗) x ∈ ]−|a| ; |a| [

1

(a − x)2=

∞∑n=0

n+ 1

an+2xn (a ∈ C∗) x ∈ ]−|a| ; |a| [

1

(a − x)k=

∞∑n=0

Ck−1n+k−1

an+kxn (a ∈ C∗) x ∈ ]−|a| ; |a| [

ln(1 − x) = −∞∑n=1

1

nxn x ∈ [−1 ; 1 [

ln(1 + x) =∞∑n=1

(−1)n−1

nxn x ∈ ]−1 ; 1 ]

√

1 + x = 1 +x

2+

∞∑n=2

(−1)n−1 1× 3× · · · × (2n− 3)

2× 4× · · · × (2n)xn x ∈ ]−1 ; 1 [

1√

1 + x

= 1 +∞∑n=1

(−1)n 1× 3× · · · × (2n− 1)

2× 4× · · · × (2n)xn x ∈ ]−1 ; 1 [

Arctan x =∞∑n=0

(−1)n2n+ 1

x2n+1 x ∈ [−1 ; 1 ]

Argth x =∞∑n=0

1

2n+ 1x2n+1 x ∈ ]−1 ; 1 [

Arcsin x = x+∞∑n=1

1× 3× · · · × (2n− 1)

2× 4× · · · × (2n)

x2n+1

2n+ 1x ∈ ]−1 ; 1 [

Argsh x = x+∞∑n=1

(−1)n 1× 3× · · · × (2n− 1)

2× 4× · · · × (2n)

x2n+1

2n+ 1x ∈ ]−1 ; 1 [

280

Dérivées usuelles

Fonction Dérivée Dérivabilité

xn n ∈ Z nxn−1 R∗

xα α ∈ R αxα−1 R∗+

eαx α ∈ C αeαx R

ax a ∈ R∗+ ax ln a R

ln |x| 1

xR

∗

loga x a ∈ R∗+ r 1 1

x ln aR∗

cosx − sinx R

sinx cosx R

tanx 1 + tan2 x =1

cos2 xR r

π2+ kπ

∣∣∣ k ∈ Z

cotan x −1− cotan 2 x =−1

sin2 xR r πZ

ch x sh x R

sh x ch x R

th x 1− th 2 x =1

ch 2 xR

coth x 1− coth 2 x =−1

sh 2 xR∗

Arcsin x1√

1− x2]−1 ; 1 [

Arccos x−1√1− x2

]−1 ; 1 [

Arctan x1

1 + x2R

Argsh x1√

x2 + 1R

Argch x1√

x2 − 1] 1 ; +∞ [

Argth x1

1− x2 ]−1 ; 1 [

281

Primitives usuelles

I Polynômes et fractions simples

Fonction Primitive Intervalles

(x− x0)n x0 ∈ R

n ∈ Z r −1(x− x0)n+1

n+ 1

n ∈ N : x ∈ R

n ∈ Z r (N ∪ −1) :

x ∈ ] −∞ ;x0 [ , ]x0 ; +∞ [

(x− x0)α x0 ∈ R

α ∈ Cr −1(x− x0)α+1

α+ 1]x0 ; +∞ [

(x− z0)n z0 ∈ C r R

n ∈ Z r −1(x− z0)n+1

n+ 1R

1

x− aa ∈ R ln |x− a| ] −∞ ; a [ , ]a ; +∞ [

1

x− (a+ ib)a ∈ R, b ∈ R

∗

1

2ln[(x− a)2 + b2

]

+ i Arctanx− ab

R

II Fonctions usuelles


lnx x(ln x− 1) ] 0 ; +∞ [

eαx α ∈ C∗ 1

αeαx R

sinx − cosx R

cosx sinx R

tanx − ln | cosx|]−π2+ kπ ;

π

2+ kπ

[

cotan x ln | sinx| ] kπ ; (k + 1)π [

sh x ch x R

ch x sh x R

th x ln(ch x) R

coth x ln | sh x| ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [

282 Primitives usuelles

III Puissances et inverses de fonctions usuelles


sin2 xx

2− sin 2x

4R

cos2 xx

2+

sin 2x

4R

tan2 x tanx− x]−π2+ kπ ;

π

2+ kπ

[

cotan 2 x − cotan x− x ] kπ ; (k + 1)π [

sh 2 xsh 2x

4− x

2R

ch 2 xsh 2x

4+x

2R

th 2 x x− th x R

coth 2 x x− coth x ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [

1

sinxln∣∣∣tan x

2

∣∣∣ ] kπ ; (k + 1)π [

1

cosxln∣∣∣tan

(x2+π

4

)∣∣∣]−π2+ kπ ;

π

2+ kπ

[

1

sh xln∣∣∣th x

2

∣∣∣ ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [

1

ch x2 Arctan ex R

1

sin2 x= 1 + cotan 2 x − cotan x ] kπ ; (k + 1)π [

1

cos2 x= 1 + tan2 x tanx

]−π2+ kπ ;

π

2+ kπ

[

1

sh 2 x= coth 2 x− 1 − coth x ] −∞ ; 0 [ , ] 0 ; +∞ [

1

ch 2 x= 1− th 2 x th x R

1

sin4 x− cotan x− cotan 3 x

3] kπ ; (k + 1)π [

1

cos4 xtanx+

tan3 x

3

]−π2+ kπ ;

π

2+ kπ

[

Primitives usuelles 283

IV Fonctions dérivées de fonctions réciproques


1

1 + x2Arctan x R

1

a2 + x2a ∈ R∗ 1

aArctan

x

aR

1

1− x2

Argth x

1

2ln

∣∣∣∣1 + x

1− x

∣∣∣∣

]−1 ; 1 [] −∞ ;−1 [ ,]−1 ; 1 [ , ] 1 ; +∞ [

1

a2 − x2 a ∈ R∗

1

aArgth

x

a1

2aln

∣∣∣∣a+ x

a− x

∣∣∣∣

]−|a| ; |a| [

] −∞ ;−|a| [ ,]−|a| ; |a| [ , ] |a| ; +∞ [

1√1− x2

Arcsin x ]−1 ; 1 [

1√a2 − x2

a ∈ R∗ Arcsinx

|a| ]−|a| ; |a| [

1√x2 + 1

Argsh x =

ln(x+√x2 + 1

) R

1√x2 − 1

Argch x

−Argch (−x)ln |x+

√x2 − 1|

] 1 ; +∞ [

] −∞ ;−1 [] −∞ ;−1 [ ou ] 1 ; +∞ [

1√x2 + a

a ∈ R∗ ln∣∣x+

√x2 + a

∣∣

a > 0 : R

a < 0 :]−∞ ;−√−a

[

ou ]√a ; +∞ [

1

(x2 + 1)21

2Arctan x+

x

2(x2 + 1)R

x2

(x2 + 1)21

2Arctan x− x

2(x2 + 1)R

284

Trigonométrie

I Fonctions circulaires

1 Premières propriétés

sinx cosx tanx cotan x

Ensemble dedéfinition

R R Rr

π2+ kπ

∣∣∣ k ∈ Z

Rr πZ

Période 2π 2π π π

Parité impaire paire impaire impaire

f(π − x) sinx − cosx − tanx − cotan x

f(π + x) − sinx − cosx tanx cotan x

f(π2− x)

cosx sinx cotan x tanx

f(π2+ x)

cosx − sinx − cotan x − tanx

Ensemble dedérivabilité

R R Rr

π2+ kπ

∣∣∣ k ∈ Z

Rr πZ

Dérivée cosx − sinx 1 + tan2 x =1

cos2 x

−1−cotan 2 x

=−1

sin2 x

2 Valeurs remarquables

π

6

π

4

π

3

1

2

√2

2

√3

2

1

2

0

π

2 π

2

0

tanx

cosx

cotan x

sinx

Trigonométrie 285

0 π/6 π/4 π/3 π/2

sinx 0√1/2

√2/2

√3/2 1

cosx 1√3/2

√2/2

√1/2 0

tanx 0 1/√3 1

√3 indéfini

cotan x indéfini√3 1 1/

√3 0

II Fonctions réciproques des fonctions circulaires

1 Définition

Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent unedifficulté pour résoudre les équations du type sinx = λ. Par exemple, π/6 , 5π/6 etπ/6 + 4π ont tous la même image par la fonction sinus. Les « fonctions circulairesréciproques » Arcsin , Arccos , Arctan et Arccot ne sont pas de vraies réciproques,puisque les fonctions de départ ne sont pas des bijections ; ajoutons qu’elles ne sontpas périodiques. Il faut les combiner avec la périodicité et, pour sinus et cosinus, avecles symétries par rapport à l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses respectivement.

• Si sinx = λ ∈ [−1 ; 1 ], alors x = Arcsin λ mod 2πou x = π −Arcsin λ mod 2π

• Si cosx = λ ∈ [−1 ; 1 ], alors x = Arccos λ mod 2πou x = −Arccos λ mod 2π

• Si tanx = λ ∈ R, alors x = Arctan λ mod π

• Si cotan x = λ ∈ R, alors x = Arccot λ mod π

Le problème réciproque est, lui, sans difficulté : si x = Arcsin λ, alors sinx = λ.

2 Propriétés

Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x

Ensemble dedéfinition

[−1 ; 1 ] [−1 ; 1 ] R R

Ensembleimage

[−π/2 ;π/2 ] [ 0 ;π ] ]−π/2 ;π/2 [ ] 0 ;π [

Période aucune aucune aucune aucune

Parité impaire aucune impaire aucune

Ensemble dedérivabilité

]−1 ; 1 [ ]−1 ; 1 [ R R

Dérivée1√

1− x2−1√1− x2

1

1 + x2−1

1 + x2

286 Trigonométrie

3 Relations

Arccos x+Arcsin x = π/2

Arctan x+Arctan y = Arctanx+ y

1− xy + επ où ε =

0 si xy < 1

1 si xy > 1 et x, y > 0

−1 si xy > 1 et x, y 6 0

Arctan x+Arccot x = π/2

Arccot x =

Arctan 1/x si x > 0

π +Arctan 1/x si x < 0

Arctan x+Arctan 1/x = sign(x) × π/2

III Formules

1 Corollaires du théorème de Pythagore

cos2 x+ sin2 x = 1

cos2 x =1

1 + tan2 x

sin2 x =1

1 + cot2 x=

tan2 x

1 + tan2 x

2 Addition des arcs

cos(a+ b) = cos a cos b− sina sin b cos p+ cos q = 2 cosp+ q

2cos

p− q2

sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a sin p+ sin q = 2 sinp+ q

2cos

p− q2

tan(a+ b)=tan a+ tan b

1− tan a tan btan p+ tan q=

sin(p+ q)

cos p cos q

cos(a− b) = cos a cos b+ sina sin b sin p− sin q = 2 sinp− q2

cosp+ q

2

sin(a− b) = sin a cos b− sin b cos a cos p− cos q =−2 sin p+ q

2sin

p− q2

tan(a− b)= tan a− tan b

1 + tan a tan btan p− tan q=

sin(p− q)cos p cos q

3 Arc double, arc moitié

cos 2x = cos2 x− sin2 x cos2 x =1 + cos 2x

2= 2 cos2 x− 1= 1− 2 sin2 x

sin 2x = 2 sinx cosx sin2 x =1− cos 2x

2

tan 2x =2 tanx

1− tan2 xtanx =

sin 2x

1 + cos 2x=

1− cos 2x

sin 2x

Trigonométrie 287

En notant t = tanx

2comme dans les règles de Bioche, on a :

sinx =2t

1 + t2cosx =

1− t21 + t2

4 Formule de Moivre

(cos a+ i sina)n = cosna+ i sinna

d’où cos 3a = cos3a− 3 cosa sin2a= 4 cos3a− 3 cos a

sin 3a = 3 cos2a sina− sin3a= 3 sina− 4 sin3a

tan 3a =3 tana− tan3 a

1− 3 tan2 a

5 Arcs en progression arithmétique

n∑k=0

sin kx =sin

nx

2sin

(n+ 1)x

2

sinx

2

n∑k=0

cos kx =cos

nx

2sin

(n+ 1)x

2

sinx

2

IV Trigonométrie hyperbolique

ch 2 x− sh 2 x = 1

ch (a+ b)= ch a ch b+ sh a sh b ch p+ ch q= 2 chp+ q

2ch

p− q2

sh (a+ b)= sh a ch b+ sh b ch a sh p+ sh q= 2 shp+ q

2ch

p− q2

th (a+ b)=th a+ th b

1 + th a th bth p+ th q=

sh (p+ q)

ch p ch q

ch (a− b)= ch a ch b− sh a sh b ch p− ch q= 2 shp+ q

2sh

p− q2

sh (a− b)= sh a ch b− sh b ch a sh p− sh q= 2 shp− q2

chp+ q

2

th (a− b)= th a− th b

1− th a th bth p− th q=

sh (p− q)ch p ch q

ch 2x= ch 2 x+ sh 2 x ch 2 x=ch 2x+ 1

2= 2 ch 2 x− 1

= 1 + 2 sh 2 x

sh 2x= 2 sh x ch x sh 2 x=ch 2x− 1

2

th 2x=2 th x

1 + th 2 xth x=

sh 2x

ch 2x+ 1=

ch 2x− 1

sh 2x

288 Trigonométrie

En notant t = thx

2, on a :

sh x =2t

1− t2 ch x =1 + t2

1− t2

(ch a+ sh a)n = ch na+ sh na

d’où ch 3a = ch 3 a+ 3 ch a sh 2 a

= 4 ch 3 a− 3 ch a

sh 3a = 3 ch 2 a sh a+ sh 3 a

= 4 sh 3 a+ 3 sh a

th 3a =3 th a+ th 3 a

1 + 3 th 2 a

mathématiques et informatique 2013 - decitre.fr · x pc maths x mp maths b ... ce sujet est...

Documents